正版名校教师上课用课件人教九上数学26.3 实际问题与二次函数
合集下载
人教版九年级数学上册《实际问题与二次函数》课件(共13张PPT)
建 立 直 角 坐 标 系 。 则 ： B(0,1.5)
连 接 B 、 C ， 过 点 C 作 C E y轴 于 点 E 。
又 由 题 意 知 C B E = 4 5 ,B E = 2 米
A E = 3 .5 米 C E = B E = 2 米
顶 点 C 2 ,3 .5
设 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y = a ( x - 2 )2 + 3 . 5
B(0,1.5)在 抛 物 线 上
1.5 = a ( 0 - 2 )2 + 3 . 5
y
a=-
1 2
y=-
1 ( x - 2 )2 + 3 . 5 2
当 y = 0 时 ， 即 ： 0 = - 1 ( x - 2 )2 + 3 . 5 2
EC B
x1 7 2 , x2 7 2 0 (舍 ） A
y x
0
实际问题与二次函数（三）
y
x
o
课前预习
问题一：有一桥洞为抛物线形的拱桥，这个 桥洞的最大高度为16m，跨度40m，现在把它 的图形放在坐标系中，如图示，若跨度中心点 M左右5m处各垂直竖立一根铁柱支撑拱桥， 则铁柱有多高？
y
N
M o
P 40 x
解 ： 由谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
-2
B（2，-2）
-3
1米
D
课堂小结
㈠生活当中的拱桥、喷出的水柱、投篮时篮 球的运动路线等等都成抛物线形，因此我们 可以用二次函数的知识来解决此类相关问题。
㈡解决此类抛物线实际问题的一般步骤： ①建立适当的直角坐标系 。 ②求抛物线的解 析式 。 ③ 根据函数解析式和已知量求相关的量。
人教版九年级数学上册教学课件《实际问题与二次函数》
追问5：能直接根据函数的解析式求出它的顶点坐标和最大值吗？
追问6：对于一般形式的二次函数 y ax2 bx c 的最小（大）值又是怎么的呢？
归纳：当a＞0（a＜0），抛物线 y ax2 bx c 的顶点是最低（高）点，也就
是说，当 x b 时，二次函数有最小（大）值 4ac b2 。
t
0
1
2
3
4
5
6
h
0
25
40
45
40
25
0
追问3：你能根据表格中的数据，画出这个函数 (0≤t≤6)的图象吗？
探究新知
追问4：根据函数图象，观察出小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的
最大高度是多少？
归纳：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图
象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值。
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适应的坐标系，就可以 求出这条抛物线表示的二次函数。为解题简便，以抛物线的顶点为原点， 以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系。
巩固新知
练习1 已知：正方形ABCD的边长为4，E是BC上任意一点，且AE=AF，若 EC=x，请写出△AEF的面积y与x之间的函数关系式，并求出x为何值时y最大。
2a
4a
应用新知
例1：用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变 化。当l是多少米时，场地的面积S最大？
分析：先找出两个变量，然后写出S关于l的函数解析式，最后求出使S最大的l值。
应用新知
例2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映： 如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多 卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
人教版九年级上册实际问题与二次函数教学课件
在实践中感悟！
做 （１）：下列函数不一定是二次函数（ A ） ［其中m,k,a,b,c是常数］ （A）y=ax2+bx+c; （B）y=x2+bx－3m;
一 （C）y=－(x－3)(x+1);（D）y=(k2＋ 1)x2+2kx+k. （２）编题：写出一个二次函数解析式，使其
满足下列条件：
做
①解析式右边只有２项； ②右边各项系数之和为０
人 教 版 九 年 级上册 2 2.3 实 际 问 题与二 次函数 教 学 课 件
人 教 版 九 年 级上册 2 2.3 实 际 问 题与二 次函数 教 学 课 件
作业 要独立完成哟
何时橙子总产量最大
驶向胜利 的彼岸
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现 准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么 树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据 经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. (1)问题中有那些变量？其中 哪些是自变量？哪些是因变量？
（3）如果设总盈利为y元，那么请你写出y与x之间的关系式
y=(40-x)(20+2x)
２、面积最大化问题：你会充分利用材料吗？
用一根8m长的铝合金材料，做一个可分成上下两部分的 窗框，如图所示，问窗框的长和宽各为多少m时，才能使 通过的光线最多？
如果设窗框的宽为a m,则其长
为(4－2am) , 如果设窗框的面积为s
?
星语心愿：
时间是一个常量,但对勤奋者来说,是一个 “变量”.
用“分”来计算时间的人比用“小时”来 计算时间的人时间多59倍.
人 教 版 九 年 级上册 2 2.3 实 际 问 题与二 次函数 教 学 课 件
初中数学人教版九年级上册《2实际问题与二次函数》课件
(2) 设合作社每天获得的利润为w元，
则w=x(-0.5x+110)-20(-0.5x+ 110) =-0.5x2+120x-2 200=-0.5(x-120)2+5000，
因为60≤x≤150，
所以当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，
故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元.
每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，
已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元润（元）
销售量（件）
20
20-x
300
300+20x
建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，
品买卖过程中，追求利润最大化是商家永恒的追求.如果你是商
场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
知识点1
某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，已知商品的进价
为每件 40 元，则每星期销售额是 18000 元，销售利润是 6000元.
数量关系
（1）销售额= 售价×销售量；
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
100
5时，y=-10×52+100×5+6000=6250.
当 x
2 (10)
即定价 65 元时，最大利润是 6250 元.
知识点1
例 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反应：
则w=x(-0.5x+110)-20(-0.5x+ 110) =-0.5x2+120x-2 200=-0.5(x-120)2+5000，
因为60≤x≤150，
所以当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，
故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元.
每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，
已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元润（元）
销售量（件）
20
20-x
300
300+20x
建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，
品买卖过程中，追求利润最大化是商家永恒的追求.如果你是商
场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
知识点1
某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，已知商品的进价
为每件 40 元，则每星期销售额是 18000 元，销售利润是 6000元.
数量关系
（1）销售额= 售价×销售量；
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
100
5时，y=-10×52+100×5+6000=6250.
当 x
2 (10)
即定价 65 元时，最大利润是 6250 元.
知识点1
例 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反应：
部编本九年级数学上册26.3.1实际问题与二次函数(一)(第1-2课时)优质 课件
（2）小王以每件120元的价格进回20件衣服，又以每件160 元的价格全部卖出，问这次销售活动小王共盈利多少元？
解： （160-120）×20=800（元） 答：这次销售活动小王共盈利800元。
（3）提出问题：某种商品每件的进价为30元，在某段时间 内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件，应如何定价才 能使利润最大？ 解：设定价为x元时所获利润为y元. 依题意得： 每件商品盈利(x-30)元 则有y=（100-x) (x-30） 化成一般式： 用公式法求得当x=65时使利润最大。 答：当定价为65元时利润最大。
合作交流：
探究一:某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖 出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元， 每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20 件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利 润最大？ 两种调整方法
涨价和降价
（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪 些量随之发生了变化？ 分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
思考：1.怎样确定x的取值范围？ 2.在降价的情况下，最大利润是多少？ 设每件降价a元，所获利润为b元，则b与a的函数关系 为： b (60 a)(300 20a ) 40(300 20a ) _______________________________________ 即： b 20a 2 100a 6000 (0 a 20) _______________________________________ 此二次函数的对称轴：__________ ，顶点坐标： x=2.5 （2.5,6125） ，当a=_______ ____________ 时，b最大，也就是说 2.5 57.5 元 在降价的情况下，降价_____ 2.5 元，即定价_______ 6125 时，利润最大，最大利润是____________ 。 答：当定价为65时，利润最大。
解： （160-120）×20=800（元） 答：这次销售活动小王共盈利800元。
（3）提出问题：某种商品每件的进价为30元，在某段时间 内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件，应如何定价才 能使利润最大？ 解：设定价为x元时所获利润为y元. 依题意得： 每件商品盈利(x-30)元 则有y=（100-x) (x-30） 化成一般式： 用公式法求得当x=65时使利润最大。 答：当定价为65元时利润最大。
合作交流：
探究一:某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖 出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元， 每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20 件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利 润最大？ 两种调整方法
涨价和降价
（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪 些量随之发生了变化？ 分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
思考：1.怎样确定x的取值范围？ 2.在降价的情况下，最大利润是多少？ 设每件降价a元，所获利润为b元，则b与a的函数关系 为： b (60 a)(300 20a ) 40(300 20a ) _______________________________________ 即： b 20a 2 100a 6000 (0 a 20) _______________________________________ 此二次函数的对称轴：__________ ，顶点坐标： x=2.5 （2.5,6125） ，当a=_______ ____________ 时，b最大，也就是说 2.5 57.5 元 在降价的情况下，降价_____ 2.5 元，即定价_______ 6125 时，利润最大，最大利润是____________ 。 答：当定价为65时，利润最大。
人教版九年级数学上册2实际问题与二次函数第1课时教学课件
25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ，绿化带一边
2
=
−
点，当
时，二次函数 = + + 有最小（大）
2
2
4 −
.
值=
4
2 列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变
量的取值范围.
3 在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.
应用新知
问题3
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长
60
=
− ，
2
2
整理后得 = − + 30 0 < < 30 .
2
30
∴当 =−
=−
= 15 时，
2
2 × −1
2
2
4 −
−30
=
= 225.
有最大值为
4
4 × −1
60
−
2
探究新知
问题2 用总长为 60 m 的篱笆围城矩形场地，矩形面积
随矩形一边长 的变化而变化. 当 是多少米时，
ℎ 单位：m 与小球的运动时间 单位：s 之间的关系
2
式是 ℎ = 30 − 5 0 ≤ ≤ 6 . 小球的运动时间是多少
时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
2
ℎ = −5 + 30 0 ≤ ≤ 6 .
点的纵坐标最大
图象的最高点
探究新知
问题2 用总长为 60 m 的篱笆围城矩形场地，矩形面积
.
4
2
ℎ = −5 + 30 0 ≤ ≤ 6 .
引入新知
=−
2
=
−
点，当
时，二次函数 = + + 有最小（大）
2
2
4 −
.
值=
4
2 列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变
量的取值范围.
3 在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.
应用新知
问题3
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长
60
=
− ，
2
2
整理后得 = − + 30 0 < < 30 .
2
30
∴当 =−
=−
= 15 时，
2
2 × −1
2
2
4 −
−30
=
= 225.
有最大值为
4
4 × −1
60
−
2
探究新知
问题2 用总长为 60 m 的篱笆围城矩形场地，矩形面积
随矩形一边长 的变化而变化. 当 是多少米时，
ℎ 单位：m 与小球的运动时间 单位：s 之间的关系
2
式是 ℎ = 30 − 5 0 ≤ ≤ 6 . 小球的运动时间是多少
时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
2
ℎ = −5 + 30 0 ≤ ≤ 6 .
点的纵坐标最大
图象的最高点
探究新知
问题2 用总长为 60 m 的篱笆围城矩形场地，矩形面积
.
4
2
ℎ = −5 + 30 0 ≤ ≤ 6 .
引入新知
=−
人教版九年级上册数学《实际问题与二次函数》二次函数PPT教学课件
课堂小测
解析：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）, y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ）
（2）y=－100x2+600x+5500 （0＜x≤11 ） 配方得y=－100（x－3）2+6400 当x=3时，y的最大值是6400元. 即降价为3元时，利润最大. 所以销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.
(0≤x≤30)
当x=5时，y的最大值是6250. 定价:60+5=65（元）
新知探究
问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在的售
价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反 映：如调整价格，每降价一元，每星期可多卖出 20件。如何定价才能使利润最大？
巩固练习
解:设每件降价x元时的总利润为y元.
巩固练习
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度
t
b 2a
2
30 （
5）
3，
h
4ac b2 4a
4 （3025）
45．中的最大高度是 45 m．
小结
1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如 何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法. 2.利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写 出二次函数表达式是解决问题的关键.
知识归纳
一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最
低（高）点，所以当
x b 2a
时，二次函数
y=ax2+bx+c有最小（大）值 4ac b2 .
4a
巩固练习
1．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝
的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积
人教版数学九年级上册：2《实际问题与二次函数》课件(共37张)
【思路点拨】 （1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数 据写出函数解析式。 （2）先求x=3米时y的值，用拱桥最大高度减去｜y｜，然后与3.6 相比较即可得出答案。
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
解：（1）设抛物线解析式为y=ax2，
Hale Waihona Puke 因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，
解：（1）由题意知点D的横坐标为5，点B的横坐标为10，EF＝ 3，设OE＝h，则OF＝h－3，则点B（10，－h），D（5，3－ h）。 设抛物线的函数解析式为y=ax2，
设点B（10，n），点D（5，n+3），
n=10²•a=100a，n+3=5²a=25a，
即
n 100a n 3 25a
y 1 x2 25
解得
n 4
a
1 25
（2）∵ 货轮经过拱桥时的横坐标为x=3，
∴ 当x=3时，y 1 9
9
25 （ 4） 3.6
25
∴ 在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥。
实际问题与二次函数
（1）利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式： 当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c（a≠0）求 其解析式； 当已知顶点坐标为（k，h）和另外一点的坐标时，可用顶点式 y a(x h)2 k 求其解析式； 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0），（x2， 0）时，可用交点式 y a(x x1)(x x2 ) 求其解析式。
当水面降落1米，通过抛物线在图上的视察可转化为： 当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直 线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1代 入抛物线解析式得出：-1=-0.5x2+2，
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
解：（1）设抛物线解析式为y=ax2，
Hale Waihona Puke 因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，
解：（1）由题意知点D的横坐标为5，点B的横坐标为10，EF＝ 3，设OE＝h，则OF＝h－3，则点B（10，－h），D（5，3－ h）。 设抛物线的函数解析式为y=ax2，
设点B（10，n），点D（5，n+3），
n=10²•a=100a，n+3=5²a=25a，
即
n 100a n 3 25a
y 1 x2 25
解得
n 4
a
1 25
（2）∵ 货轮经过拱桥时的横坐标为x=3，
∴ 当x=3时，y 1 9
9
25 （ 4） 3.6
25
∴ 在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥。
实际问题与二次函数
（1）利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式： 当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c（a≠0）求 其解析式； 当已知顶点坐标为（k，h）和另外一点的坐标时，可用顶点式 y a(x h)2 k 求其解析式； 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0），（x2， 0）时，可用交点式 y a(x x1)(x x2 ) 求其解析式。
当水面降落1米，通过抛物线在图上的视察可转化为： 当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直 线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1代 入抛物线解析式得出：-1=-0.5x2+2，
九年级数学上册课件《实际问题与二次函数》(第3课时)
y O
C A
h
DB x
20 m
4．小结
（1）这节课学习了用什么知识解决哪类问题？ （2）解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问 题？ （3）你学到了哪些思考问题的方法？用函数的思想 方法解决抛物线形拱桥问题应注意什么？
九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数 （第3课时）
1．复习利用二次函数解决实际问题的方法
问题1 解决上节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
1．复习利用二次函数解决实际问题的方法
归纳： 1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高） 点，当
x b 2a
时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 y 4ac b2 ． 4a
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际 意义，确定自变量的取值范围；
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大 值或最小值.
2．探究“拱桥”问题
问题2 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
3．应用新知， 巩固提高来自问题5有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为
20 m，拱顶距离水面 4 m．
（1）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表
示的函数的解析式；
（2）设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往
船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 m．求水深
超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
2．探究“拱桥”问题
（1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
人教版九年级上册数学《实际问题与二次函数》二次函数说课教学课件
2.四个相等关系：
① 圆心角② 弧 弦④ 弦心距
【对应练习】
∠AOB=∠COD
AB=CD
∠AOB=∠COD
AB=CD
相等.
如图，在⊙O中，AB =AC，∠ACB=60°， 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
⌒ ⌒
例3
在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦的弦心距相等吗?
① 圆心角② 弧③ 弦④ 弦心距
A
60°
⌒
⌒
⌒
3.如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC= ．
40°
⌒
4.如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数.解：∵AB=AC，∴AB=AC.∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°-∠B -∠C=30°.
⌒
⌒
⌒
⌒
5.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：AB=CD.证明：∵AD=BC.∴AD=BC.∴AD+AC=BC+AC,即CD=AB.∴AB=CD.
B
对接中考
2
在一个腰长为 10 cm 的等腰直角三角形的内部作一个矩形ABCD，使三角形的直角为矩形的一个内角，则矩形 ABCD 面积的最大值是 .
25 cm2
解：∵三角形AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE=10，∠E=∠F=45°，∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∠CDE=90°，∴∠ECD=45°，∴ED=CD，设AD=x，矩形面积为y，∴ED=CD=10-x，y=x(10-x)=-x2+10x=-(x-5)2+25，∴当x=5时，y取最大值为25．
∴∠ABD＝∠DCA.在△AEC和△DEB中，∠DCA＝∠ABD,∠AEC＝∠DEB,AC=BD,∴△AEC≌△DEB(AA
① 圆心角② 弧 弦④ 弦心距
【对应练习】
∠AOB=∠COD
AB=CD
∠AOB=∠COD
AB=CD
相等.
如图，在⊙O中，AB =AC，∠ACB=60°， 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
⌒ ⌒
例3
在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦的弦心距相等吗?
① 圆心角② 弧③ 弦④ 弦心距
A
60°
⌒
⌒
⌒
3.如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC= ．
40°
⌒
4.如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数.解：∵AB=AC，∴AB=AC.∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°-∠B -∠C=30°.
⌒
⌒
⌒
⌒
5.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：AB=CD.证明：∵AD=BC.∴AD=BC.∴AD+AC=BC+AC,即CD=AB.∴AB=CD.
B
对接中考
2
在一个腰长为 10 cm 的等腰直角三角形的内部作一个矩形ABCD，使三角形的直角为矩形的一个内角，则矩形 ABCD 面积的最大值是 .
25 cm2
解：∵三角形AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE=10，∠E=∠F=45°，∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∠CDE=90°，∴∠ECD=45°，∴ED=CD，设AD=x，矩形面积为y，∴ED=CD=10-x，y=x(10-x)=-x2+10x=-(x-5)2+25，∴当x=5时，y取最大值为25．
∴∠ABD＝∠DCA.在△AEC和△DEB中，∠DCA＝∠ABD,∠AEC＝∠DEB,AC=BD,∴△AEC≌△DEB(AA
人教版九年级数学上册 (实际问题与二次函数)二次函数课件(第3课时)
温故知新
下面是同一个二次函数的图象，请你根据它不同的坐标系中
的位置，说出它的二次函数的解析式形式.
y
y
y
O
x
x
x
O
O
知识讲解
1.利用二次函数解决实物中的抛物线形问题 问题 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m.水面 下降1 m，水面宽度增加多少?
y
O
x
4m
解：建立如图所示的平面直角坐标系.
那么 y 与 x 的函数解析式为 y＝y＝－－22xx2＋2＋2200xx＋＋440000 ，绿地 AEFG 的 最大面积为 44550 m2.
3. 如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 点以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始 沿 BC 向 C 点以 1 cm/s 的速度移动，如果 P，Q 分别从 A，B 同时出 发，t 秒后，△ PBQ 的面积 y 与 t 的函数解析式为 y＝y＝(128(8－－22t)tt)t ，当
课前预习
(一)知识探究 1. 求解几何图形面积的最大值问题，要熟悉图形的周 长、面积计算公式，如长方形周长＝ 22××((长长＋＋宽宽)) ，面积＝ 长长××宽宽 等，并根据实际问题和要求灵活变化．
2. 几何元素的变化，会使图形面积发生变化，要善于借 助已有知识建立二次函数模型，根据二次函数的 性质 确定 最值．
第二十二章 二 次 函 数
实际问题与二次函数
第1课时
新课时作业
03
05
教
课
例
巩
课
学
前
题
固
堂
目
预
人教部初三九年级数学上册 实际问题与二次函数 名师教学PPT课件
问题1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系 ?
问题2：你能用学过的数学知识表示矩形的面积与 一边长之间的数量关系吗?
问题3：如何利用矩形的面积与边长之间的数量关
系求出“当Ll(30-l),
即 S=-l2+30l (0<l<30).
因此，当 l b 30 15 时， 2a 2 (1)
y有最大值 4ac b2
4a
4a
前置作业
问题2. 求出下列二次函数的最值。
（1）y=x2-4x-5
(2)y=-x2-3x+4
解：（1）顶点坐标：（2，-9） 即当x=2时，最小值：-9；
（2）顶点坐标：（
-3 2
， 25
4
）
即 当 x= - 3 时， 最大值：25 。
2
4
合作探究 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S随矩形一边长l的变化而变化。当l是多少时， 场地的面积S最大？
变式训练2的图像
课堂小结
谈谈本节课你有哪些收获？ (1)如何利用二次函数的最值解决实际问题； (2)在解决问题的过程中应注意：最值有时不 在顶点处，则要利用函数的增减性来确定； （3）学到了“数形结合”的方法思考问题。
S有最大值
4ac b2 302 225
4a
4 (1)
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
变式训练1 （第1,2,3,4组的学生做） 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠 墙的矩形菜园，墙长32m，如何设计才能使得菜 园面积最大，最大面积是多少？
变式训练2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠 墙的矩形菜园，墙长18m，如何设计才能使得菜 园面积最大，最大面积是多少？
问题2：你能用学过的数学知识表示矩形的面积与 一边长之间的数量关系吗?
问题3：如何利用矩形的面积与边长之间的数量关
系求出“当Ll(30-l),
即 S=-l2+30l (0<l<30).
因此，当 l b 30 15 时， 2a 2 (1)
y有最大值 4ac b2
4a
4a
前置作业
问题2. 求出下列二次函数的最值。
（1）y=x2-4x-5
(2)y=-x2-3x+4
解：（1）顶点坐标：（2，-9） 即当x=2时，最小值：-9；
（2）顶点坐标：（
-3 2
， 25
4
）
即 当 x= - 3 时， 最大值：25 。
2
4
合作探究 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S随矩形一边长l的变化而变化。当l是多少时， 场地的面积S最大？
变式训练2的图像
课堂小结
谈谈本节课你有哪些收获？ (1)如何利用二次函数的最值解决实际问题； (2)在解决问题的过程中应注意：最值有时不 在顶点处，则要利用函数的增减性来确定； （3）学到了“数形结合”的方法思考问题。
S有最大值
4ac b2 302 225
4a
4 (1)
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
变式训练1 （第1,2,3,4组的学生做） 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠 墙的矩形菜园，墙长32m，如何设计才能使得菜 园面积最大，最大面积是多少？
变式训练2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠 墙的矩形菜园，墙长18m，如何设计才能使得菜 园面积最大，最大面积是多少？
人教版九年级上册数学课件实际问题与二次函数
思考：飞机从着陆的一瞬间开始计时，到滑行到最远 距离停下来所用的时间即为所求，也就是使S取得什 么值时的t的值？
解： s=60t-1.5t2
=-1.5(t-20)2+600
人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张P PT)
∴当t=20时，s最大，此时飞机才能停下来。
人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张P PT)
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张P PT)
5.检验结果的合理性
人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张P PT)
1.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m， 涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所 在的抛物线的函数关系式是___________. 2.在上题中，若水面下降，宽度变为2米，此时水面离涵洞顶点的 距离为_______米。
人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张P PT) 人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张P PT)
合作探究 达成目标
y
（2，2）
我们来比较一下
y
（0，0）
o
x
o （0，0）
（4，0） x
y（0，2）
谁最 合适
（-2，-2） （2，-2）
（-2，2）
y
（-2，0）
o
（2，0）
x
（-4，0）
o （0，0） x
解： s=60t-1.5t2
=-1.5(t-20)2+600
人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张P PT)
∴当t=20时，s最大，此时飞机才能停下来。
人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张P PT)
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张P PT)
5.检验结果的合理性
人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张P PT)
1.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m， 涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所 在的抛物线的函数关系式是___________. 2.在上题中，若水面下降，宽度变为2米，此时水面离涵洞顶点的 距离为_______米。
人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张P PT) 人教版九年级上册 数学 课件 22.3实际问题与二次函数(共20张P PT)
合作探究 达成目标
y
（2，2）
我们来比较一下
y
（0，0）
o
x
o （0，0）
（4，0） x
y（0，2）
谁最 合适
（-2，-2） （2，-2）
（-2，2）
y
（-2，0）
o
（2，0）
x
（-4，0）
o （0，0） x
人教版数学教材九年级上册《实际问题与二次函数》教学PPT
y
C
A
DB
O
x
(1).一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,篮球运行
的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5m时,
达到最高高度3.5m,然后准确落入篮筐,已知篮筐
中心到地面的距离为3.05m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的解析式
(2)该运动员是国家队后卫刘伟
的身高1.88m,在这次跳投中,
2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m
，则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？
6.如图:在平面直角坐标系中,坐标原点为
O,A点坐标为(4,0),B点坐标为(-1,0),以AB
的中心P为圆心,AB为直径作⊙P与y轴的正半
轴交于点C.
(1)求经过A,B,C三点的抛物线对应的解析式;
(2)设M为(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应
A
和这个学生推铅球
的成绩(单位:米)
O
B X(米)
4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧
道其高度为6m,宽度OM为12m,现以O为原点,OM所
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图:
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;
(2)求出这条抛物线的关系式;
(3)施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”
CDAB,使A,D点在抛物线上,B,C点在地面0M上,为
了筹备材料,需要求出“脚手架”三根木杆
AB,AD,DC的长度之和的 y 最大值是多少,请你帮
P
施工队算一下.
D A
OB
Cx
5.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,5)和 点B(3,2). (1)求抛物线的解析式; (2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动 的动圆,问当⊙P在运动过程中,是否存在 ⊙P与坐标轴相切的情况?若存在,请求出 圆心P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若⊙Q的半径为r,点Q在抛物线上,当 ⊙Q与两坐标轴都相切时,求半径r的值.
C
A
DB
O
x
(1).一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,篮球运行
的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5m时,
达到最高高度3.5m,然后准确落入篮筐,已知篮筐
中心到地面的距离为3.05m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的解析式
(2)该运动员是国家队后卫刘伟
的身高1.88m,在这次跳投中,
2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m
，则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？
6.如图:在平面直角坐标系中,坐标原点为
O,A点坐标为(4,0),B点坐标为(-1,0),以AB
的中心P为圆心,AB为直径作⊙P与y轴的正半
轴交于点C.
(1)求经过A,B,C三点的抛物线对应的解析式;
(2)设M为(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应
A
和这个学生推铅球
的成绩(单位:米)
O
B X(米)
4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧
道其高度为6m,宽度OM为12m,现以O为原点,OM所
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图:
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;
(2)求出这条抛物线的关系式;
(3)施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”
CDAB,使A,D点在抛物线上,B,C点在地面0M上,为
了筹备材料,需要求出“脚手架”三根木杆
AB,AD,DC的长度之和的 y 最大值是多少,请你帮
P
施工队算一下.
D A
OB
Cx
5.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,5)和 点B(3,2). (1)求抛物线的解析式; (2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动 的动圆,问当⊙P在运动过程中,是否存在 ⊙P与坐标轴相切的情况?若存在,请求出 圆心P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若⊙Q的半径为r,点Q在抛物线上,当 ⊙Q与两坐标轴都相切时,求半径r的值.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
x
A
B
D
C
l
学而有思:
通过建立平面直角坐标系,可以将有关抛物线的
实际问题转化为二次函数的问题. 有关抛物线形的实际问题的一般解题思路: 1.建立适当的平面直角坐标系
2.根据题意找出已知点的坐标 3.求出抛物线解析式
4.直接利用图象解决实际问题.
用抛物线的知识解决生活中的一些实 际问题的一般步骤： 建立直角坐标系
4
请同学们分4小组分别用图 (2),(3),(4),(5)完成此题 y y (0,0) (0,3) y 0 (0,2) (-2,-2) (2,0) (-2,1) (2,1) (2,-2) x (-2,0) 0 A A A B B B 坐标系的建立可有不同的方法, 0 C C D Dx C D 会得到不同的函数关系式,但 x 1 2 不同的方法得到的结果是一致 y x 的. 1 2 1 2 y x 2 2 y x 3 (2,2) (-2,2) y 2 y2
0 a ( 2 )2 2
∵抛物线过点(0,0)
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5( x 2 )2 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
x1 2 6 , x 2 2 6
∴这时水面的宽度为:
x 2 x1 2 6 m
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m
1 0.5( x 2 )2 2
探究：
如图的抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶 离水面 2 m,水面宽 4 m. (1)若水面下降 1 m, 水面宽度增加多少? (2)若货船在水面上的部分的横截面是矩形, 已知货船的宽为2.9m,且船高出水面1m,问货 y 船能否顺利通过这座桥?
1 2 y x 2
抛物线形拱桥，当水面在 l 时， 拱顶离水面2m，水面宽度4m，水 面下降1m，水面宽度增加多少？
当水面下降1m时，水面的纵 坐标为 y 3
当
y 3 时，x 6
所以，水面下降1m，水面的 宽度为 2 6 m
∴水面的宽ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ增加了 2 6 4 m
解二 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线 的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
实际问题
建立适当的坐标系
数学问题 (二次函数的问题)
二 次 函 数 的 图 象
利 用
目 标
求 解
实际问题 的答案
检验
数学问题
的答案
例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽 AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车 欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽 车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能, 请简要说明理由.
（3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同．最 内磁道的半径r是多少时，磁盘的存储量最大？
2 即y （45r r 2）（0 r 45） 0.0045 你能说出r为多少时磁盘的存储量y最大吗？
探究3如图的抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱桥
顶离水面2m,水面宽4m.若水面下降1m,水面宽度增 加多少? (2)从题目本身的哪些 问:(1)对于此题你能联想 条件,你能联想到用二 到用我们学过的什么数学 次函数解决这一问题? 知识来解决? (3)求水面宽度增加 多少,就是求解什么 数学问题? (4)要求线段CD的长, 2 需先求什么? (5)你会如何建立 A l B 平面直角坐标系的 1 方法? D C
0
1
2
3
4
5 5
6
7
8
9
10
x
-2
在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？
6
y
（4，4） （5，4）
4
20 0, 9
2
(７，３） （8，3）
●
0
1
2
3
4
5 5
6
7
8
9
10
X
-2
总结升华:
(有关抛物线形的实
际问题) 转化
1 a 9
0
4
8
x
20 当x 8时，y 9
如图，建立平面 直角坐标系， 点（4，4）是图中这段抛物 线的顶点，因此可设这段抛 物线对应的函数为：
∵篮圈中心距离地面3米
∴此球不能投中
y a x 4 4
2
(0≤x≤8)
20 抛物线经过点 0， 9
20 2 a0 4 4 9
若假设出手的角度和力度都不变, 则如何才能使此球命中?
探究
（1）跳得高一点 （2）向前平移一点
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度 为多少时能将篮球投入篮圈?
6
y
（4，4）
4
20 0, 9 2
（8，3） 20 8, 9
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m
解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中 的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y a ( x 2 )2 2
a 0.5
当x 1.2时，y 1.1 1.2 2 4.4 2.816 2.7
∴汽车能顺利经过大门.
解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系. ∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0) ∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
y ax 2 4.4
4a 4.4 0 a 1.1
∵抛物线过A(-2,0)
∴抛物线所表示的二次函数为 y 1.1 x 2 4.4
y ax 2 2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)
0 a 22 2
a 0.5 ∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5 x 2 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
1 0.5 x 2 2 x 6 这时水面宽度为 6 m 2
二次函数 问题求解
注意变量的取值范围
找出实际问题的答案
自主练习
一个涵洞成抛物线形，它的截面如图． 现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞 顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离 开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？ 是否会超过1 m？
y
20 9
（4，4）
1 2 y x 4 4 (0≤x≤8) 9
26.3 实际问题与二次函数(2)
探究
计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘， 磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道，如图，现有一张半径 为45mm的磁盘．
（1）磁盘最内磁道的半径为r mm，其上每 0.015mm的弧长为1个存储单元，这条磁道有多 少个存储单元？
（2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm，磁 盘的外圆周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？
(0,0)
A0 C
(4,0)
B Dx
(-4,0)
A C
0B D x
(0,0)
1 y (x 2) 2 2 2
1 y (x 2) 2 2 2
y 0
(-2,-2) ● (2,-2) ●
解：设这条抛物线表示的二次 函数为 y ax 2 由抛物线经过点（－2，2）， 1 x 可得 a 2 所以，这条抛物线的二次函数 为：