第二轮第2讲数学填空题的常用解法

第二轮第2讲数学填空题的常用解法
数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一样可分为：完形填空题、多项选择填空题、条件与结论开放的填空题. 这讲明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断显现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能预备.解题时，要有合理的分析和判定，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的差不多要求.
数学填空题，绝大多数是运算型(专门是推理运算型)和概念(性质)判定型的试题，应答时必须按规那么进行切实的运算或者合乎逻辑的推演和判定。

求解填空题的差不多策略是要在〝准〞、〝巧〞、〝快〞上下功夫。

常用的方法有直截了当法、专门化法、数行结合法、等价转化法等。

一、直截了当法
这是解填空题的差不多方法，它是直截了当从题设条件动身、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直截了当得到结果。

例1设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又
)()(b a b a -⊥+，那么实数m = 。

解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴
0)()(=-⋅+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-⋅-++-++j m m j i m m m j m m ，而i ，j
为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m 。

例2函数21
)(++=
x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，那么实数a 的取值范畴是 。

解：22121)(+-+
=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，2
21)(+-=x a
x g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴2
1
>a 。

例3现时盛行的足球彩票，其规那么如下：全部13场足球竞赛，每场竞赛有3种结果：胜、平、负，13长竞赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，那么某人获得特等奖的概率为 。

解：由题设，此人猜中某一场的概率为31
，且猜中每场竞赛结果的事件为相互独立
事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为133
1。

二、专门化法
当填空题的结论唯独或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，能够把题中变化的不定量用专门值代替，即能够得到正确结果。

例4 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分不为a 、b 、c 。

假设a 、b 、c 成等差数列，那么=++C
A C A cos cos 1cos cos 。

解：专门化：令5,4,3===c b a ，那么△ABC 为直角三角形，0cos ,5
3
cos ==C A ，
从而所求值为5
3。

例5 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，假设线段PF 、FQ 的长分不为p 、q ，那么
=+q
p 1
1 。

分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k 的直线与抛物线均有两个交点P 、Q ，当k 变化时PF 、FQ 的长均变化，但从题设能够得到如此的信息：尽管PF 、FQ 不定，但其倒数和应为定值，因此能够针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一样性。

解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为),41,
0(a 把直线方程a
y 41
=
代入抛物线方程得a x 21±
，∴a
FQ PF 21
||||==，从而a q p 411=+。

例6 求值=++++)240(cos )120(cos cos 222 a a a 。

分析：题目中〝求值〞二字提供了如此信息：答案为一定值，因此不妨令 0=a ，得结果为
2
3。

三、数形结合法
关于一些含有几何背景的填空题，假设能数中思形，以形助数，那么往往能够简捷地解决咨询题，得出正确的结果。

例7 假如不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<<⊆x x A ，那么实数a
的取值范畴是 。

解：依照不等式解集的几何意义，作函数24x x y -=和 函数x a y )1(-=的图象〔如图〕，从图上容易得出实数a 的取 值范畴是[)+∞∈,2a 。

例8 求值=+)2
1
arctan 3sin(π 。

解：=+)2
1
arctan 3sin(π)21sin(arctan 21)21cos(arctan 23+， 构造如下图的直角三角形，那么其中的角θ即为2
1
arctan ，从而
.5
1
)21sin(arctan ,52)21cos(arctan ==因此可得结果为101525+。

例9 实数x 、y 满足3)3(22=+-y x ，那么1
-x y
的最大值是 。

解：
1
-x y
可看作是过点P 〔x ，y 〕与M 〔1，0〕的直线的斜率，其中点P 的圆3)3(22=+-y x 上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率1
-x y
最大，最大值为
3tan =θ。

四、等价转化法
通过〝化复杂为简单、化生疏为熟悉〞，将咨询题等价地转化成便于解决的咨询题，从而得出正确的结果。

例10 不等式2
3
+
>ax x 的解集为〔4，b 〕，那么a= ，b= 。

解：设t x =，那么原不等式可转化为：,02
3
2<+-t at ∴a > 0，且2与)4(>b b 是
方程0232=+-t at 的两根，由此可得：36,8
1
==b a 。

例11 不论k 为何实数，直线1+=kx y 与曲线0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，那么实数a 的取值范畴是 。

解：题设条件等价于点〔0，1〕在圆内或圆上，或等价于点〔0，1〕到圆
42)(22+=+-a y a x ，∴31≤≤-a 。

例12 函数x x y -+-=3214单调递减区间为 。

解：易知.0],3,41
[>∈y x ∵y 与y 2有相同的单调区间，而313441122-+-+=x x y ，
∴可得结果为]3,8
13
[。

总之，能够多角度摸索咨询题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。

五、练习 1 函数()1+=x x f ，那么()._______31
=-f
讲解 由13+=
x ，得
()431
==-x f
，应填4.
请摸索什么缘故不必求()x f
1
-呢？
2． 集合⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪
⎨⎧∈-<≤-=N
x x M x ,2110log 11的真子集的个数是.______ 讲解 {}{}
N x x x x M ∈<≤=∈<≤=,10010N x 2,lgx 1，明显集合M 中有90个元素，其真子集的个数是1290-，应填1290-.
快速解答此题需要记住小结论;关于含有n 个元素的有限集合,其真子集的个数是.122
- 3． 假设函数()[]b a x x a x y ,,322
∈+-+=的图象关于直线1=x 对称，那么._____=b
讲解 由抛物线的对称轴为22+-
=a x ,得 4-=a ，而12
=+b a ，有6=b ，故应填6. 4． 果函数()2
2
1x x x f +=，那么
()()()()._____4143132121=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++f f f f f f f
讲解 容易发觉()11=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+t f t f ，这确实是我们找出的有用的规律，因此 原式＝()2731=
+f ，应填.2
7 此题是2002年全国高考题，十分有味的是，2003年上海春考题中也有一道类似题：
设()2
21+=
x
x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得
()()()()().______650f 45=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-f f f f
5． 点P ()ααcos ,tan 在第三象限，那么角α的终边在第____象限. 讲解 由得
⎩
⎨
⎧<>⇒⎩⎨⎧<<,0cos ,
0sin ,0cos ,0tan αααα 从而角α的终边在第二象限，故应填二.
6． 不等式()
120lg cos 2≥x
〔()π,0∈x 〕的解集为__________.
讲解 注意到120lg >，因此原不等式可变形为 .0cos 0cos 2≥⇔≥x x 而π<<x 0，因此2
0π
≤
<x ，故应填.20⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈≤
<R x x x ，π
7． 假如函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8
π
-=x 对称，那么._____=a
讲解 ()ϕ++=2sin 12a y ，其中a =ϕtan .
8
π
-
=x 是函数的对称轴，
282ππϕπ+=+⎪⎭
⎫
⎝⎛-∴k ，
即
Z k k ∈+
=，4
3π
πϕ， 因此 .14
3tan tan -=⎪⎭
⎫
⎝
⎛+==ππϕk a 故应填 1-. 在解题的过程中，我们用到如下小结论：
函数()ϕω+=x A y sin 和()ϕω+=x A y cos 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分不成轴
对称图形.
8． 设复数⎪⎭⎫
⎝⎛<<+=24
cos sin 21πθπ
θθz 在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向
旋转
4
3π
后得到向量2OZ ，2OZ 对应的复数为()ϕϕsin cos 2i r z +=，那么.____tan =ϕ 讲解 应用复数乘法的几何意义，得
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=43sin 43cos
12ππi z z ()()[]i θθθθcos sin 2cos sin 22
2
++--=， 因此 ，
1tan 21
tan 2cos sin 2cos sin 2tan -+=+-=θθθθθθϕ
故应填 .1
tan 21
tan 2-+θθ
9．设非零复数y x ,满足 02
2=++y xy x ，那么代数式 2005
2005
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+
y x y y x x 的值是
____________.
讲解 将方程变形为 112
=+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x ，
解那个一元二次方程，得
.2
321ω=±-=i y x 明显有231,1ωωω-=+=, 而166832005+⨯=,因此
原式＝()()
2005
2005200511
1ωωω+++
＝
()
()
2005
22005
21
ωωω
-+
-
＝
.112
=-+ω
ω
在上述解法中，〝两边同除〞的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视. 10．
{}n a 是公差不为零的等差数列，假如n S 是{}n a 的前n 项和，那么
._____lim =∞→n
n
n S na
讲解 专门取n a n =，有()2
1+=
n n S n ，因此有
().2112
12lim lim lim 2=+
=+=∞→∞→∞→n
n n n S na n n n n n 故应填2. 11．列{}n a 中，()⎪⎩⎪⎨⎧-=是偶数），（是奇数，
n n a n n n 5
2
51
n n a a a S 2212+⋅⋅⋅++=, 那么
.________2lim =∞
→n
n S
讲解 分类求和，得
()()，n n n a a a a a a S 24212312+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=-
∴815
1152
5115
12
222lim =--
+-=∞
→n
n S ，故应填81
．
12．以下四个命题： ①()；
〉31
22≥+n n n ②()；1226422≥++=+⋅⋅⋅+++n n n n ③凸n 边形内角和为()()()；
31≥-=n n n f π ④凸n 边形对角线的条数是()()
().42
2≥-=
n n n n f
其中满足〝假设()0,k k N k k n ≥∈=时命题成立，那么当n=k+1时命题也成立’’.但不满足〝当
0n n =〔0n 是题中给定的n 的初始值〕时命题成立〞的命题序号是 .
讲解 ①当n=3时，13223
+⨯>，不等式成立；
② 当n=1时，21122
++≠，但假设n=k 时等式成立，那么
()()()()211122126422
2
++++=++++=++⋅⋅⋅+++k k k k k k ；
③ ()()π133-≠f ，但假设()()π1-=k k f 成立，那么 ()()()[]；ππ111-+=+=+k k f k f ④ ()()22444-≠
f ，假设()()2
2-=k k k f 成立，那么
()()()()()[].2
21131-++≠
-+=+k k k k f k f
故应填②③.
13．某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 假设号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，那么中奖面〔即中奖号码占全部号码的百分比〕为 .
讲解 中奖号码的排列方法是： 奇位数字上排不同的奇数有3
5P 种方法，偶位数字上排偶数
的方法有3
5，从而中奖号码共有3355⨯P 种，因此中奖面为
%,75.0%1001000000
53
35=⨯⨯P
故应填%.75.0
14． ()
()7
221-+x x 的展开式中3
x 的系数是.__________
讲解 由()
()()()7
7
27
2
2221-+-=-+x x x x x
知，所求系数应为()7
2-x 的x 项的系数与3
x 项的系数的和，即有
()()，1008224
4
76
67=-+-C C
故应填1008.
15． 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，那个球的表面积是________.
讲解 长方体的对角线确实是外接球的直径R 2, 即有
(),50543422
2222
=++==R R
从而 ππ5042
==R S 球，故应填.50π
16． 假设四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，那么其体积是 〔只需写出一个可能的值〕．
讲解 此题是一道专门好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是如何样构造的，依据〝三角形中两边之和大于第三边〞，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形状，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后运算出这三个四面体的体积分不为：
611,1211 ,1214，故应填.611、12
11
、1214 中的一个即可.
17． 如右图，E 、F 分不是正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，那么四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是 .〔要求：把可能的图的序号都填上〕
E
F
A 1
B 1
C 1
D 1
讲解 因为正方体是对称的几何体，因此四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也确实是在面ABCD 、面ABB 1A 1、面ADD 1A 1上的射影.
四边形BFD 1E 在面ABCD 和面ABB 1A 1上的射影相同，如图○
2所示； 四边形BFD 1E 在该正方体对角面的ABC 1D 1内，它在面ADD 1A 1上的射影明显是一条线段，如图○
3所示. 故应填○
2○3. 18 直线1-=x y 被抛物线x y 42
=截得线段的中点坐标是___________.
讲解 由⎩
⎨⎧=-=x y x y 4,
12消去y ，化简得
,0162
=+-x x
设此方程二根为21x x ，，所截线段的中点坐标为()00y x ，，那么
.
2132
002
10=-==+=
x y x x x ，
故 应填 ()2,3.
19 椭圆
125
92
2=+y x 上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，那么当m 取最大值时，点P 的坐标是_____________________.
讲解 记椭圆的二焦点为21F F ，，有
,10221==+a PF PF
那么知 .2522
2121=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+≤⋅=PF PF PF PF m 明显当521==PF PF ，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.
故应填()0,3-或().0,3
20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是()2002
2
≤≤=y x y ，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，那么玻璃球的半径r 的取值范畴是___________.
讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y 轴上，同时圆与抛物线切于抛物线的顶点，从
而可设大圆的方程为 ().2
2
2r r y x =-+
由 ()⎪⎩
⎪
⎨⎧==-+，，22
222x y r r y x 消去x ，得 ()0122
=-+y r y 〔*〕
解出 0=y 或().12r y -= 要使〔*〕式有且只有一个实数根0=y ，只要且只需要(),012≤-r 即.1≤r 再结合半径0>r ，故应填.10≤<r。