推荐学习高中数学 解三角形应用举例教案 苏教版必修5

教学目标：会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.教学重点：1.实际问题向数学问题的转化；2.解斜三角形的方法.教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定.教学过程：Ⅰ.课题导入解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用.Ⅱ.讲授新课［例1］自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1．95 m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1．40 m，计算BC的长（保留三个有效数字）.分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件，AC＝1．40 m，AB＝1．95 m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′.相当于已知△ABC的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理.解：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝1．952＋1．402－2×1．95×1．40×cos66°20′＝3．571∴BC ≈1．89 （m ）答：油泵顶杆BC 约长1．89 m.评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.［例2］某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A 为10 n mile 的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile ／h 的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile ／h 的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间.分析：设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为x h ，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的∠1，∠2可以求出，而AC 已知，BC 、AB 均可用x 表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题.解：设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为x h ，则AB ＝21x n mile ，BC ＝9x n mile ，AC ＝10 n mile ，∠ACB ＝∠1＋∠2＝45°＋（180°－105°）＝120°根据余弦定理，可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°得 （21x ）2＝102＋（9x ）2－2×10×9x cos120°， 即36x 2－9x 2×10＝0解得x 1＝23 ，x 2＝－512 （舍去） ∴AB ＝21x ＝14，BC ＝9x ＝6再由余弦定理可得：cos BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝142＋102－622×14×10 ＝0．9286， ∴∠BAC ＝21°47′，45°＋21°47′＝66°47′. 而舰艇方位角为66°47′，23 小时即40分钟.答：舰艇应以66°47′的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟.评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0°，360°）.在利用余弦定理建立方程求出x 后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题，故仍然利用余弦定理.从上述两个例题，大家可以看出，实际问题的解决关键在于转化为具体的解三角形问题，从而与我们已知的知识方法产生联系.在下面的例题分析中，我们继续加以体会.［例3］如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处（ 3 －1）海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船，奉命以10 3 海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.解：设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获（在D 点）走私船，则CD ＝10 3 t 海里，BD ＝10t 海里.∵BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝（ 3 －1）2＋22－2（ 3 －1）·2cos120°＝6 ∴BC ＝ 6 ∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC∴sin ABC ＝AC ·sin A BC ＝2sin12006＝22∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120° ∵BD sin ∠CBD ＝CDsin ∠CBD∴sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD ＝10t sin120°10 3 t ＝12 ， ∴∠BCD ＝30°，∴∠DCE ＝90°－30°＝60° 由∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，得∠D ＝30° ∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6 ∴t ＝610（小时）≈15（分钟）答：缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15分钟. ［例4］用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B 、D 间的距离为a ，测角仪的高度是b ，求气球的高度.分析：在Rt △EGA 中求解EG ，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC 中有较多已知条件，故可在△EAC 中考虑EA 边长的求解，而在△EAC 中有角β，∠EAC ＝180°－α两角与BD ＝a 一边，故可以利用正弦定理求解EA .解：在△ACE 中，AC ＝BD ＝a ，∠ACE ＝β，∠AEC ＝α－β，根据正弦定理，得AE ＝a sin βsin （α－β）在Rt △AEG 中，EG ＝AE sin α＝a sin αsin βsin （α－β）∴EF ＝EG ＋b ＝a sin αsin βsin （α－β） ＋b ，答：气球的高度是a sin αsin βsin （α－β）＋b .评述：此题也可以通过解两个直角三角形来解决，思路如下：设EG ＝x ，在Rt △EGA 中，利用cot α表示AG ；在Rt △EGC 中，利用cot β表示CG ，而CG －AG ＝CA ＝BD ＝a ，故可以求出EG ，又GF ＝CD ＝b ，故EF 高度可求.［例5］如图所示，已知半圆的直径AB ＝2，点C 在AB 的延长线上，BC ＝1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值.分析：要求四边形OPDC 面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P 在半圆上运动与∠POB 大小变化之间的联系，自然引入∠POB ＝θ作为自变量建立函数关系.四边形OPDC 可以分成△OPC 与等边△PDC ，S △OPC 可用12 ·OP ·OC ·sin θ表示，而等边△PDC 的面积关键在于边长求解，而边长PC 可以在△POC 中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决.解：设∠POB ＝θ，四边形面积为y ，则在△POC 中，由余弦定理得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos θ＝5－4cos θ∴y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12 ×1×2sin θ＋34（5－4cos θ） ＝2sin （θ－π3 ）＋534∴当θ－π3 ＝π2 即θ＝5π6 时，y max ＝2＋534.评述：本题中余弦定理为表示△PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性.另外,在求三角函数最值时,涉及到两角和正弦公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ的构造及逆用，应要求学生予以重视.Ⅲ.课堂练习课本P20练习1，2，3，4.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力.Ⅴ.课后作业课本P21习题1，2，3.解三角形应用举例（二）教学目标：进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用，熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力；通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产，生活实际中所发挥的重要作用.教学重点：1.实际问题向数学问题的转化；2.解斜三角形的方法教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧.这一节，我们给出三个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决. Ⅱ.例题指导［例1］如图所示，为了测量河对岸A 、B 两点间的距离，在这一岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，∠ADC ＝δ，试求AB 的长.分析：如图所示，对于AB 求解，可以在△ABC 中或者是△ABD 中求解，若在△ABC 中，由∠ACB ＝α－β，故需求出AC 、BC ，再利用余弦定理求解.而AC 可在△ACD 内利用正弦定理求解，BC 可在△BCD 内由正弦定理求解.解：在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝α，∠ADC ＝δ，由正弦定理得AC ＝a sin δsin[1800－（α＋δ）] ＝a sin δsin （α＋δ） 在△BCD 中，由正弦定理得BC ＝a sin βsin[1800－（β＋γ）] ＝a sin βsin （β＋γ）在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝α－β，所以用余弦定理.就可以求得AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos （α－β）评述：（1）要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用； （2）注意体会例1求解过程在实际当中的应用.［例2］据气象台预报，距S 岛300 km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时30 km 的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km 以内的地区将受到台风的影响.问：S 岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.分析：设B 为台风中心，则B 为AB 边上动点，SB 也随之变化.S 岛是否受台风影响可转化为SB ≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB ，可设台风中心经过t 小时到达B 点，则在△ABS 中，由余弦定理可求SB .解：设台风中心经过t 小时到达B 点， 由题意，∠SAB ＝90°－30°＝60°在△SAB 中，SA ＝300，AB ＝30t ，∠SAB ＝60°， 由余弦定理得：SB 2＝SA 2＋AB 2－2SA ·AB ·cos SAB＝3002＋（30t）2－2·300·30t cos60°若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270，即SB2≤2702化简整理得，t2－10t＋19≤0解之得，5－ 6 ≤t≤5＋ 6所以从现在起，经过5－ 6 小时S岛开始受到影响，（5＋ 6 ）小时后影响结束.持续时间：（5＋ 6 ）－（5－ 6 ）＝2 6 小时.答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5－ 6 ）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2 6 小时.评述：此题为探索性命题，可以假设命题成立去寻求解存在条件，也可假设命题不成立去寻求解存在条件.本题求解过程采用了第一种思路.SB≤270是否有解最终转化为关于t的一元二次不等式是否有解，与一元二次不等式解法相联系.说明：本节两个例题要求学生在教师指导下自己完成，以逐步提高解三角形应用题的能力.练习：1.海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北60°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?答案：不会触礁.2.直线AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km／h速度由A向B行驶，同时摩托车以50公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小.答案：约1.3小时.Ⅲ.课时小结通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力.Ⅳ.课后作业课本P21习题4，5，6.解三角形应用举例［例1］某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile／h的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间.［例2］如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（ 3 －1）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10 3 海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.［例3］用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.［例4］如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.［例5］如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，试求AB的长.［例6］据气象台预报，距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km 的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响.问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.练习：1.海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北60°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?2.直线AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km／h速度由A向B行驶，同时摩托车以50公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小.解三角形应用举例1．在△ABC中，下列各式正确的是（）A.ab＝sin Bsin A B.a sin C＝csin BC.a sin(A＋B)＝c sinAD.c2＝a2＋b2－2ab cos(A＋B)2．已知三角形的三边长分别为a、b、a2＋ab＋b2，则这个三角形的最大角是（）A.135°B.120°C.60°D.90°3．海上有A、B两个小岛相距10 nmile，从A岛望B岛和C岛成60°的视角，从B岛望A 岛和C岛成75°角的视角，则B、C间的距离是（）A.5 2 nmileB.10 3 nmileC.1036nmile D.5 6 nmile4．如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据A.α、a、bB.α、β、aC.a、b、γD.α、β、γ5．某人以时速a km向东行走，此时正刮着时速a km的南风，那么此人感到的风向为 ，风速为 .6．在△ABC 中，tan B ＝1，tan C ＝2，b ＝100，则c ＝ . 7．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60° 的方向航行30 nmile 后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯 塔的距离是 .8．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为300，则甲、乙两楼的高分别是 .9．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔前进10 3 米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是 米. 10．在△ABC 中，求证：cos2A a 2 －cos2B b 2 ＝1a 2 －1b 2 .11．欲测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，求河宽.（精确到0.01 m ）12．甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45°方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28 nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？解三角形应用举例答案1．C 2．B 3．D 4．C 5．东南 2 a 6．4010 7．10 3 8．20 3 ，203 39．1510．在△ABC 中，求证：cos2A a 2 －cos2B b 2 ＝1a 2 －1b2 .提示：左边＝1－2sin 2A a 2 －1－2sin 2B b 2 ＝(1a 2 －1b 2 )－2(sin 2A a 2 －sin 2Bb2 )＝右边.11．欲测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，求河宽.（精确到0.01 m ）解：由题意C ＝180°－A －B ＝180°－45°－75°＝60° 在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A∴ BC ＝AB sin A sin C ＝120×sin45sin600＝120×2232＝40 6S △ABC ＝12 AB ·BC sin B ＝12AB ·h∴h ＝BC sin B ＝40 6 ×6＋24＝60＋20 3 ≈94.64 ∴河宽94.64米.12．甲舰在A 处，乙舰在A 的南偏东45°方向，距A 有9 nmile ，并以20 nmile/h 的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28 nmile/h 的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？解：设th 甲舰可追上乙舰，相遇点记为C则在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝120° 由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ABC (28t )2＝81＋(20t )2－2×9×20t ×(－12 )整理得128t 2－60t －27＝0 解得t ＝34 (t ＝－932舍去)故BC ＝15（nmi l e ），AC ＝21( nmi l e) 由正弦定理BACBCAC sin 120sin∴sin BAC ＝1521 ×32＝514 3∠BAC ＝arcsin 514 3故甲舰沿南偏东π4 －arcsin 514 3 的方向用0.75 h 可追上乙舰.。