2018年高考数学复习感知高考刺金四百题：第286—290题(含答案解析)高考

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2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第226—230题(含答案解析)

感知高考刺金226题函数())02f x x π≤≤的值域是__________．解：()()2232cos 2sin 1cos 1sin x x x x --=-+-设1sin ,1cos x a x b -=-=，则问题变为求y =的值域解法一：当0a ≠时，有y =将b a 视为圆()()22111a b -+-=上任一点与原点连线的斜率，结合图形可知0b a≥，所以10y -≤<，当0a =时，0y =综上可知，[]1,0y ∈-解法二：注意到y =联想其结构特征与三角函数中的正余弦定义式相似于是设直线OP 的倾斜角为θ，则02πθ≤≤所以[]cos 1,0y θ=-∈- 感知高考刺金227题已知(),a xb yc x y =+∈ R ，2a b == ，1c = ，()()0a c b c -⋅-= ，则a b - 的取值范围是________．解法一：考虑向量模的几何意义由2a b == 和()()0a c b c -⋅-= ，可作出图形 c 的终点C 必在以AB 为直径的圆'O 上又1c = ，故c 的终点C 必在以O 为圆心，1为半径的圆上所以问题转化为'O 与O （半径为1的小圆）有交点注意到'O 的半径为22ABa b-= ，圆心距1'2OO a b =+所以两圆相交需满足11222a ba ba b-+--≤≤+ 且有2222216a b a b a b ⎛⎫++-=+= ⎪⎝⎭作一个整体换元，设a b x += ，a b y -=问题转化为规划问题，已知2216222,x y x y x y x y +⎧+=⎪-≤-≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩R ，求y 的取值范围。

如图可得1y ⎤∈⎦解法二：代数方法a b -= ，因此只需求a b 的取值范围由()()0a c b c -⋅-= 得()20a b a b c c -++= 所以()1cos a b a b c a b c a b θ+=+=+≤+ 即()2221282a b a a b b a b +≤++=+ ，解得77a b -≤≤所以a b -= ，故1a b ⎤-∈⎦ 解法三：解析几何坐标方法解：设()1,0c = ，设A ，B 是以O 为圆心，2为半径的圆上两点，且AC ⊥BC ，则 | a －b | = AB = 2 MC ．∵MO 2 + MA 2 = OA 2，而MA = MC ，∴MO 2 + MC 2 = 4．设(),M x y ，则2222(1)4x y x y ++-+=，即2232x y x +-=．（*） | a －b | = AB = 2 MC== 由（*x ，∴11．11a b ≤-≤ ．感知高考刺金228题已知实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，则c 的最大值是________．解：记2,2,2a b c x y z ===，则x y xy x y z xyz+=⎧⎨++=⎩ 1111xy z xy xy ==+--因为4x y xy xy +=≥≥ 故141113xy z xy xy ==+≤-- 即c 的最大值是24log 3感知高考刺金229题设函数()241xf x x =+，()cos2cosg x x k x ππ=+，若对任意的1x ∈R ，总存在2x ∈R ，使得()()21g x f x =成立，则实数k 的取值范围是________．解法一：由题意知()f x 的值域是()g x 值域的子集，易得()f x 的值域是[]2,2-设cos t x π=，则()g x 的值域为()[]221,1,1h t t kt t =+-∈-的值域，再通过分类讨论进行解答()()141212k h h ⎧-≤-⎪⎪⎪-≤-⎨⎪≥⎪⎪⎩或()210482812k k h ⎧-≤-≤⎪⎪--⎪≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩或()201482812k k h ⎧<-<⎪⎪--⎪≤-⎨⎪⎪-≥⎪⎩或()()141212k h h ⎧-≥⎪⎪⎪≤-⎨⎪-≥⎪⎪⎩解得(),k ⎡∈-∞-+∞⎣解法二：解法一常规，但计算量较大，作为填空题不划算。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第86—90题(含答案解析)

感知高考刺金861．若对任意的[]0,5x ∈，不等式1145m n x x +≤+恒成立，则m 的最大值为，n 的最小值为。

解：当0x =时，1145m nx x +≤≤+恒成立，此时,m n ∈R 当(]0,5x ∈时，1114545m n m nx x x +≤≤+⇔≤-≤45m n ⇔≤≤45m n⇔≤ 令()f x =，则()f x 在(]0,5x ∈时单调递增，所以()11,815f x ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦所以11,48515m n ≤-≥-，即11,23m n ≤-≥- 2．某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从0～9这10个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的六个号码中至少有5 个与摇出的号码相同（不计顺序）即可得奖，则中奖的概率是。

解：542感知高考刺金871．若I 是椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点三角形12PF F ∆的内心，12PF F ∆的角平分线交12F F 于M ，则PI IM= 。

解法一：设12,PF m PF n ==，则2m n a += 又12PF F ∆的角平分线交12F F 于M ，所以1212PF PF F MF M=所以11211222PF PF PF a aF MF M F Mc c+===+ 因为1F I 也是12PF F ∠的角平分线，所以11PI PF a IMF Mc== 解法二：特殊情况法：因为题干里没有说是哪个焦点三角形，但却要求求定值，所以选取上顶点作为P ，则内心在y 轴上，设()0,I r ，则由()1122222S c b a c r ∆=⋅⋅=+ 得bcr a c=+，所以1PI b r a c a IM r c c -+==-=2．某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生x 名（3≤x ≤9），现从中选出 3人参加一项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为()f x ，则()max f x = 。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第291—295题(含答案解析)

感知高考刺金291题已知等差数列{}n a 的通项公式为2n a n =，公比为q 的等比数列{}n b 满足()*n n b a n ≥∈N 恒成立，且44b a =，则公比q 的取值范围是．解：由448b a ==得48n n b q -=⋅从结构分析，等比数列{}n b 是指数型函数上孤立的点，等差数列{}n a 是一次型函数上孤立的点已知指数函数图象与一次函数图象至少在4n =时有一个交点如果只有这一个交点，那么指数函数其他点都在一次函数上方；如果指数函数与直线有两个交点，那么3n =或5的点，指数函数图象必须在直线上方故只需满足3344b a b a ≥⎧⎨≥⎩，即345486810q q--⎧⋅≥⎪⎨⋅≥⎪⎩得54,43q ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦感知高考刺金292题已知圆O 为单位圆，,A B 为圆上两点，以AB 为边作正方形ABCD ，则OD 的取值范围是．解：本题我们使用转化的思想来解决。

在圆O 上固定一点A ，点B 在圆O 上运动，点D 满足AD AB ⊥，且AD AB =。

故点B 绕点A 旋转2π后即得点D 故把圆O 绕点A 旋转2π后得到圆'O 即为点D 的轨迹，如图所示。

显然21OD OD OD ≤≤，即11OD ⎤∈⎦感知高考刺金293题在等差数列{}n a 中，25a =，621a =，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若2115n n m S S +-≤对任意*n ∈N 恒成立，则实数m 的取值范围是．解：43n a n =-，111543n S n =+++- 2115n n m S S +-≤即11141458115m n n n +++≤+++ 记()111414581f n n n n =++++++因为()()11108941f n f n n n +-=-<++ 故()f n 为单调递减数列，从而()()max 111415945f n f ==+=由条件得141545m ≥，解得143m ≥感知高考刺金294题已知函数()()()330,1f x x ax x =-∈，若关于x 的不等式()14f x >的解集为空集，则实数a = ．解：问题转化为3134x ax -≤对()0,1x ∈恒成立，求实数a 的值．解法一：绝对值函数分类讨论可以，略解法二：参变分离法311344x ax -≤-≤，即3311443x x a x x-+≤≤令()321144x g x x x x -==-在()0,1x ∈上单调递增，故()m a x 34g x =，令()3221111344884x h x x x x x x x +==+=++≥（这里也可以用导数去求）当且仅当12x =时取得等号，故()min 34h x = 故33344a ≤≤，即14a = 解法三：()f x 的几何意义为函数3y x =与直线3y ax =函数值之差的绝对值，又因为所求的a 为定值，故直线应在平面内“动弹不得”，故图象应如右图，其中14AB CD == 直线3y ax =被线段AB 、CD 控制着无法“动弹”，故应该有()11134f a =-=，14a =点评：本题虽然是三次函数，可能不太适合目前的高考，但将三次函数改为二次函数就是常见的绝对值问题了。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第316—320题(含答案解析)

感知高考刺金316在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为棱AA 1,CC 1的中点,则在空间中与三条直线A 1D 1,EF ,CD 都相交的直线条数为________条．解：在EF 上任意取一点M ,直线A 1D 1与M 确定一个平面,这个平面与CD 有且仅有1个交点N ,当M 取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD 有不同的交点N ,而直线MN 与直线A 1D 1,EF ,CD 均相交,故满足题意的直线有无数条．感知高考刺金317已知bc a ,ac b ,ab c 成等差数列,则①2b ac ≥；②ac b ≥2；③||||||2a cb +≥中,正确的是．（填入序号）解：2ac bc ab b a c=+⇒2(ac )2=(bc )2+(ab )2=|bc |2+|ab |2≥2|bc |⋅|ab |=2|ac |b 2⇒|ac |≥b 2, ∴①、②错,而||||||2a cb +≥,③对感知高考刺金318已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数,若对任意(0,)x ∈+∞,都有1[()]2f f x x-=,则不等式()2f x x >的解集为 .解：因函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数,故1()(f x t t x -=为正常数）,即1()f x t x=+, 从而有1()f x t x =+,又1()2f t t t =+=,所以1,t =从而1()1f x x=+, 由1(21)(1)()2120,0,x x f x x x x x +->+-><由得，即()0()2(0,1)f x f x x +∞>由于函数的定义域为（，），所以不等式的解集为.感知高考刺金319已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边c b a ,,成等比数列,则AB sin sin 的取值范围为。

解：由ac b =2且c b a >+,得()2b a b a >+,得022<--a ab b ,得2510+<<a b 又,a c b >+()2b c c b >+∴,即022>-+b bc c ,得215->b c ,又b c a b = 215215+<<-∴a b ,sin sin B A << 点评：本题是三角形里隐含的三边关系的应用,有时会成为高考大题第2小问中隐含的定义域要求,这个是值得注意的点。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第296—300题(含答案解析)

感知高考刺金296题若单调递增数列{}n a 满足1236n n n a a a n ++++=-，且2112a a =，则1a 的取值范围是．解：1236n n n a a a n ++++=-，12333n n n a a a n +++++=-两式相减得33n n a a +-=故数列单调递增，只需1234a a a a <<<即可31213332a a a a =---=-- 得不等式1111133322a a a a <<--<+ 解得1123,52a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭感知高考刺金297题已知,αβ均为锐角，且()sin cos sin ααββ+=，则tan α的最大值是．解：由sin cos cos sin sin sin ααβαββ-=化简得2222sin cos sin cos tan tan 1sin 2sin cos 12tan βββββαββββ===≤=+++当且仅当tan β时取得等号感知高考刺金298题已知函数22 () n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，且()(n af n f n =++，则123a a a a +++⋯+=. 解：当n 为奇数时，1+n 为偶数，22(1)21=-+=--n a n n n当n 为偶数时，1+n 为奇数， 22(1)21=-++=+n a n n n∴ 13=-a ，25=a ，37=-a ，49=a ，511=-a ， 713=a ，……∴ 122+=a a ，342+=a a ，即1220162016a a a ++=感知高考刺金299题在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,AC A B 的中点，点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长为．解：依题意，只需过点M 作直线BN 的垂面即可垂面与正方体表面的交线即为动点P 的轨迹分别取11,CC DD 中点,G H ，易知BN ⊥平面AGHD过M 作平面AGHD 的平行平面''EFG H ，点P 所构成的轨迹即为四边形''EFG H ，其周长与四边形AGHD 的周长相等，所以点P 所构成的轨迹的周长为2点评：本题中面面的交线（截痕）即为动点P 的轨迹，处理问题的关键抓住线面垂直，进行合理转换。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题第271—275题(含答案解析)

感知高考刺金题
在中，若，则的最小值为．
解：常规思路“切化弦”
感知高考刺金题
在平面直角坐标系中，设是圆上相异的三点，若存在正实数，使得
，则的取值范围是．
解：设，则，，
于是由得
故，两式平方相加得，
即
又
故
即，画出可行域如图，目标函数视为可行域内的点到的距离的平方，所以的最小值为
所以
感知高考刺金题
若对于满足的一切实数，不等式恒成立，则的取值范围为．
解：原不等式化为，∵，
∴或，
∴或
点评：本题常规的解法应该是将视为主元，将视为系数去解，但这个关于的不等式是三次不等式，不好处理，所以本题的解法是将不等式因式分解后先化简，在转为恒成立问题。

这个题目的解法也可以处理浙江省年高考题。

设，若时，均有，则．
本题有很多解法前面已经介绍过，这里用本题采用的方法再来处理一次。

解：将视为关于的二次不等式，即整理为
因为，故，
当
当时，，则，所以
即，即
当时，，则，所以
即，即
综上，
感知高考刺金题
如图，在平面直角坐标系中，椭圆被围于由条直线，所围成的。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第281285

感知高考刺金281题设对任意实数0x >，0y >．若不等式(2)x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为．解法一：1a x ≥=+t =，则()2112t g t t +=+ 令1t m +=，则()()2211423128412124t m g t t m m m+===≤==++-+- 故a解法二：待定系数法1111222k x x x kx y x y k k ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与题中所给不等式(2)x a x y ≤+相比对，待定系数可得11:1:222k k⎛⎫+= ⎪⎝⎭解得k =()2x x y +⎝⎭故a感知高考刺金282题已知P 是双曲线221168x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，()10F P PM λλ=>，22PF PM PN PM PF μ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭， 20PN F N =．若22PF =，则ON = ．解：由22PF PM PN PM PF μ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭知PN 是2MPF ∠的角平分线又20PN F N =，故延长2F N 交PM 于K ，则的角平分线又是高线，故2PF K ∆是等腰三角形，22PK PF == 因为22PF =，故110PF =，故112F K =注意到N 还是2F K 的中点，所以ON 是12F F K ∆的中位线，所以1162ON F K ==感知高考刺金283题设12a =，121n n a a +=+，21,*1nn n a b n a +=-∈-N ，则2015b = ．解：这种特殊的递推关系，一旦没有思路，先做几项找找规律就是最好的办法。

算出123262,,,35a a a ===，1233,7,15,b b b ===找规律发现234123321,721,1521,b bb ==-==-==- 所以严格证明时就能想到办法，去证211n n n a b a ++=-是等比数列 111221221111212211n n n n n n n n n n a a a a b b a a a a ++++++--++===+++--，故12n n b +=，得21n n b =-，2015201521b =-点评：一般数列题中不常见的特殊递推关系或这为了应景而求有2015这样大数据出现时，题目往往有规律，例如周期数列或者能观察猜测出数列通项。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题含答案解析)

感知高考刺金361题设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，22t ⎡⎤=⎣⎦，…，n t n⎡⎤=⎣⎦同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是．解：由[]1t =得12t ≤<由22t ⎡⎤=⎣⎦得223t ≤< 由44t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，所以22t ≤<由33t ⎡⎤=⎣⎦得334t ≤<，所以56t ≤<由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<与56t ≤<n 的最大值是4感知高考刺金362题过点()1,1M -的直线l 交圆()22:11C x y -+=于点,A B ，O 为坐标原点，若在线段AB 上的Q 满足112MA MB MQ+=，则min OQ = ．解：设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q m n ，直线():11l y k x =++则11MA +，21MB =+，1MQ + 由112MA MB MQ +=得12112111x x m +=+++ 由()()221111x y y k x ⎧-+=⎪⎨=++⎪⎩得()()()2222122210k x k k x k +++-++= 所以21222221k k x x k +-+=-+，()212211k x x k +=-+ 所以421k m =-+所以()42111n m m ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭整理得点(),Q m n 满足的轨迹方程为210m n --=所以min OQ ==感知高考刺金363题如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =u u u r u u u r，()*n E n ∈N 为AC 边上一列点，满足()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r，其中数列{}n a 满足0n a >，11a =，则{}n a 的通项公式为．解：由3BD DC =u u u r u u u r可得1344n n n E D E B E C =+u u u u r u u u u r u u u u r又()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r，且n n E C E A λ=u u u u r u u u u r故()113132444n n n n n n E D E B a E B a E D λ+⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r即()131********n n n n a E B a E D λλ+⎛⎫⎡⎤+=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭u u u u r u u u u r 因为,n n E B E D u u u u r u u u u r 不共线，故()1310416313204n na a λλ+⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，两式相除消去λ得132n n a a +=+，又11a =，所以1231n n a -=⋅-感知高考刺金364题若点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上运动,点B 在y 轴上运动,则对定点(3,2)P 而言,||PA PB +u u u r u u u r的最小值为．解法1：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-u u u r u u u r.若设||r PA PB =+u u u r u u u r ,则由题意可得222112(6)(4)x y y r -++-=.即,点A 在以2(6,4)D y -为圆心,以r 为半径的圆D :2222(6)(4)x y y r -++-=上.由圆C与圆D 有公共点A 可得2222||(61)(6)5r CD y +≥=-+-≥,从而3r ≥.解法2：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-u u u r u u u r.从而,22211211||(6)(4)(6)63PA PB x y y x x +=-++-≥-=-≥u u u r u u u r.解法3：由点A 在圆C 上可设(12cos ,22sin )A θθ+-+,(0,)B t ,则(2cos 5,2sin 6)PA PB t θθ+=-+-u u u r u u u r.故222||(2cos 5)(2sin 6)(2cos 5)52cos 3PA PB t θθθθ+=-++-≥-=-≥u u u r u u u r. 解法4：设Q 为AB 的中点,则2PA PB PQ +=u u u r u u u r u u u r,过,,P Q A 作y 轴的垂线,垂足分别为',','P Q A .由于13|'||||'||||'|||22PP PQ QQ PQ AA PQ ≤+=+≤+, 因此33|||'|22PQ PP ≥-=,即||2||3PA PB PQ +=≥u u u r u u u r u u u r .解法5：设'B 为点B 关于点P 的对称点，则|||'||'|PA PB PA PB B A +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r .由于点'B 在直线6x =上,点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上可得|'|523B A ≥-=u u u u r.解法6：同解法5，设'A 为点A 关于点P 的对称点,则|||'||'|PA PB PB PA A B +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r .由于点'A 在圆'C :22(5)(6)4x y -+-=上,点B 在y 轴上可得|'|523A B ≥-=u u u u ryxB'PCOA B感知高考刺金365题设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则112u x y =+的取值范围为．解：可行域如图所示，()1,2A ，()4,2B ，()3,1C ，所以14,12x y ≤≤≤≤设点(),P x y 是可行域内一动点，目标函数112u x y=+既是关于x 的减函数，又是关于y 的减函数所以当点P 与点C 重合时，此时x 取得最大值4，同时y 取得最大值2，此时u 取得最小值为1114222+=⋅ 对于每一个固定的y 的值，要使u 取得最大值，应使x 取得最小值，即点P 应位于线段AB 上，此时()5212x y y =-≤≤()()111152522252u y x y y y y y =+=+=--()12y ≤≤ 所以()max 54u y =，此时()1,2P 与点A 重合综上所述，1524u ≤≤感知高考刺金366题已知点,A B 是双曲线22122x y -=右支上两个不同的动点，O为坐标原点，则OA OB u u u r u u u rg的最小值为．解法一：韦达定理当AB k 存在时，设:AB l y kx b =+()222221122022x y k x kbx b y kx b⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩212122222,11kb b x x x x k k ++==-- ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b =+=+++=++++u u u r u u u r g()2222222222222241221111b k b k k b k k k k ++=+++==+>----当AB k 不存在是，222x y x m⎧-=⎨=⎩，则22121222OA OB x x y y m m =+=+-=u u u r u u u r g综上，2OA OB ≥u u u r u u u rg解法二：由于,A B 两点运动，故采取“一定一动”的原则，不妨先在B 点确定的情况下，让A 点运动到最小值，然后再让B 点运动，即取最小值的最小值。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第276—280题(含答案解析)

感知高考刺金276题设,a b 是非零向量，且1a b -= ，32a b -= ，则2a b -的最大值是．解法一：（代数角度运算）令a b u -= ，3a b v -= ，则22u va b +-=题目简化为1u = ，2v = ，求2u v+的最大值2144cos 9244u v θ+++=≤ ，故322u v +≤ 解法二：（几何角度）画出1a b -= ，32a b -= 的几何图形，即1AB = ，2AC =，问题变为ABC ∆的两边分别为1和2，求中线AM 的长度的最大值。

23AM AB AC ≤+=（即构造平行四边形，发现三角形两边之和大于第三边，当构不成三角形时取得等号），故32AM ≤解法三：（坐标角度）将ABC ∆画成如图形状，则点B 在以A 为圆心，1为半径的圆上运动，再求中线AM 的最大值。

本题还可以建系设点做，设()0,0A ，()2,0C ，()cos ,sin B θθ，cos sin 1,22M θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 则222cos sin 591cos 2444AM θθθ⎛⎫=++=+≤ ⎪⎝⎭ 即32AM ≤点评：本题是一个向量的好题，妙在可以从代数、几何和坐标运算三种常见角度操作。

一般地，向量模长问题，平方就是代数运算，不平方是几何意义，必要时活用坐标建系。

感知高考刺金277题在ABC ∆，90BAC ∠=︒，以AB 为一边向ABC ∆外作等边ABD ∆，若2BCD ACD ∠=∠，AD AB AC λμ=+，则λμ+= ．解：注意到又是求向量系数之和，故可以用三点共线来做。

如图，延长DA 与BC 交于EABCM则AE xAB yAC =+，且1x y += AD mAE mxAB myAC ==+ 故ADm AEλμ+==-设2AB =，AC a =，ACD θ∠=，则tan θ=，2tan 3a θ=)22tan 21aaθ=-()22tan 3tan 2aa θθθ=+===即24a =，2a =即ABC ∆是等腰直角三角形，故135ACE ∠=︒，15AEC ∠=︒所以sin135sin15AE AC ==︒︒)21AE =故AD m AEλμ+==-=点评：本题入手是由三点共线，在处理的过程中利用三倍角的正切公式来处理条件中的二倍角关系，不知道是否有初中的平面几何知识可以迅速确定ABC ∆是等腰直角三角形。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题第356—360题(含答案解析)

感知高考刺金题
已知实数满足关系式，则的最小值是．
解法一：题干中出现的全是两数的和、平方和与乘积，所以考虑用均值不等式链条。

由或
所以
点评：这里注意因为题干中没有告诉我们的正负性，所以不能直接用来
求的取值范围，所以改为用重要不等式来来做。

虽然答案正好一样，但做法要注意。

解法二：遇到结构，所以用代数的极化恒等式变形。

令，则问题转变为已知，求的最小值。

因为
所以还需要计算定义域，即
所以
解法三：设，则视为的两根
所以
所以或
当且仅当时取得最小值。

感知高考刺金题
已知点为圆与圆的公共点，圆，圆，若，，则点与直线上任意一点之间的距离的最小值为．
解：设，，则，
所以，即
同理
所以是方程的两个实根
所以
所以点的轨迹方程为
所以点到直线的最短距离为
感知高考刺金题
已知向量满足，，则的取值范围是．
解：（一）几何角度
由和可以画图，找到向量模长的几何意义。

解法一：基底法
因为
因为三者都未知，属于一问三不知问题，所以考虑转基底做。

那么题目中哪些向量适合做基底呢？显然两个
向量长度已知，适合做基底。

（这里夹角未知是应该的，不然整个图就确定下来，就
不会是求最小值了。

）
所以由三点共线，且，可知
所以
解法二：解三角形
设，
则在与中运用余弦定理得
解得
又在中，利用三角形两边之和大于等于第三边得，即
所以
（二）代数角度
解法三：换元思想。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第96—100题(含答案解析)

感知高考刺金961．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,且BC,则c b b c+的最大值为 ,此时内角A 的值为。

解法一：由21sin 2ABC S bc A ∆==所以2222cos 2cos 4sin 6c b c b a bc A A A A b c bc bc π++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭ 所以当3A π=时,max4c b b c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 解法二：以BC 为x 轴,BC 中点为原点建系,则,0,,022a a B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,A x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ABAC =所以b c ==当0x =时,1b c= 当0x >时,b c =,当且仅当x =时取等号所以令2b t⎡⎤=∈⎣⎦,1y t=+单调递减,所以当2t =时,即x =时,max 4y = 此时AB =,AC =,则2221cos 22b c a A bc +-==,所以3A π= 由对称性可知,0x <时也一样。

2．某人抛掷一枚硬币,出现正反的概率都是12,构造数列{}n a ,使11n n a n ⎧=⎨-⎩（当第次出现正面时）（当第次出现反面时）,记()12*n n S a a a n =+++∈ N ,则42S =时的概率为。

解：42S =,需四次中有3次正面,1次反面,故344124C P ==感知高考刺金971．点P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限的弧上的任意一点,过P 引x 轴,y 轴的平行线,分别交直线b y x a=-于,Q R 两点,交y 轴,x 轴于,M N 两点,记OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ,当2ab =时,2212S S +的最小值为。

解：设()cos ,sin ,0,2P a b πααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 则()()0,sin ,cos ,0M b N a αα,()()sin ,sin ,cos ,cos Q a b R a b αααα-- 所以()()()()1211sin sin ,cos cos 22S a b S a b αααα== ()()22224444122222221sin cos sin cos 411sin cos 2sin cos 1sin 222S S a b ααααααααα+=+=+=+-=-≥ 当且仅当4πα=时取得最小值。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第236—240题(含答案解析)

感知高考刺金236题★已知函数()()2,t f x x t t t =--∈R ，设a b <，()()()()()()(),,a a b b a b f x f x f x f x f x f x f x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()y f x x a b =++-有四个零点，则b a -的取值范围是．解：()()2,t f x x t t t =--∈R 是开口形状确定，顶点(),t t -在y x =-上运动的抛物线，于是当,a b 取不同值时所对应的函数()f x 图象如图所示，是“W 型”的图象交点横坐标由()()22x a a x b b --=--解得12a b x +-= 函数()y f x x a b =++-有四个零点，可视为直线y x b a =-+-与函数()y f x =有四个交点，故只需两条抛物线的“交叉点”到直线y x =-的竖直距离大于b a -即可。

故21122b a b a b a ----⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，解得2b a ->感知高考刺金237题在ABC ∆中，若2AB =，2210AC BC +=，则ABC ∆的面积取得最大值时，最长的边长等于．解法一：设CH h =，AH x =，由题知2210a b +=，2c =，12ABC S ch h ∆== 因为()()22222222223144h b x a x h x x x =-=--⇒=-++=--+≤故()max 2ABC S ∆=，当且仅当1x =时，取得最大值，此时2a b c ===解法二：由余弦定理知2223cos sin 2AC BC AB C C AC BC AC BC +-==⇒=⋅⋅故1sin 22ABC S AC BC C ∆=⋅⋅=当且仅当AC BC ==感知高考刺金238题如图，,C D 在半径为1的O 上，线段AB 是O 的直径，则AC BD 的取值范围是．解法一：极化恒等式角度()AC BD AD DC BD DC DB =+=- 显然当,DC DB 均为O 的直径时，DC DB 最大为4；取BC 的中点M ，则由极化恒等式知()2222221111222DM OM OD DC DB DM BM DM OM +=-=+-≥-≥-=- 故14,2AC BD ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦解法二：投影角度AC BD AC CE =要求max AC BD ，显然在AC 确定的情况下，CE 最大。

2018最新数学高考一轮复习刺金四百题：第286—290题(含答案解析)

感知高考刺金286题若关于x 的方程22110x a x b x x ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭（其中,a b ∈R ）有实数根，则22a b +的最小值为．解：本题思路是转换主元，将关于x 的方程22110x a x b x x ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭看成关于,a b 的直线方程22110x a b x x x ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是目标22a b +视为直线上的点(),a b 到原点的距离平方原点到直线的最短距离的平方()2222222222212941651111x t x d t t t x x +-===++-≥++⎛⎫++ ⎪⎝⎭（令1x t x +=）当且仅当1x =±时，22a b +的最小值为45点评：同学们，你们还记得之前做过的几道比较经典的转换主元的题目吗？找找看，把几道题目放在一起，发现它们的门道。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第196—200题(含答案解析)

感知高考刺金196向量模块6．在ABC ∆中，5BC =，,G O 分别为三角形的重心和外心，且5OG BC =u u u r u u u r g ，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．上述三种情况都有可能解：()155552OG BC OC CG BC OC BC CG BC CG BC =⇔+=⇒+=⇒=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g 又()13CG CA CB =+u u u r u u u r u u u r ，所以()11532CA CB BC +=-u u u r u u u r u u u r g 故502CA CB =-<u u u r u u u r g ，故C ∠为钝角，所以ABC ∆是钝角三角形．感知高考刺金197向量模块7．已知向量0a b =r r g ，()()0a c b c --=r r r r g ，3a c -=r r ，1b c -=r r ，则a c +r r 的最大值是．解：数形结合，如图所示可知60ABD ACD ∠=∠=o故222cos603a c a c +-=o r r r r即223a c a c +-=r r r r ，得223a c a c a c +-=≥r r r r r r又由恒等式222222a c a c a c ++-=+r r r r r r 知22222343a c a c a c +=+-≥-r r r r r r注意这里出现不等式打架，故调整思路为：222223329a c a c a c +=+-=+≤r r r r r r故3a c +≤r r感知高考刺金198解析几何模块1．已知椭圆2222:1x y E a b +=的右焦点为2F ，直线l 与曲线()222:0C x y b x +=>相切于点M ，且交椭圆E 于,P Q 两点，则2F PQ ∆的周长为．解：设()()()1222,,,,,0P x y Q x y F c ，因为PQ 与圆()222:0C x y b x +=>相切于点M所以2222222221111121x cx PM OP OMx y b x b b a a ⎛⎫=-=+-=+--= ⎪⎝⎭ 同理2cx QM a =所以()222222222212111111122212x c c PF x c y x cx c b x cx a a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-+=-++-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2122,c c PF a x QF a x a a =-=-2222212122F PQ C PF QF PQ PF QF PM QMc c c c a x a x x x a a a a a ∆=++=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭感知高考刺金199解析几何模块2．在平面直角坐标系中，已知圆()()22:21C x a y a -+-+=，点()0,2A ，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +=，则实数a 的取值范围是．解法一：设(),M x y ，则M 的轨迹为()()22220210x y x y -+-++=，化简得()2214x y +-= 若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +=只需圆C 与()2214x y +-=有公共点所以13CN ≤≤，即()22133a a ≤+-≤，解得[]0,3a ∈解法二：由平行四边形四边平方和等于对角线之和，可得()222222420MA MO MN +=+= 故2MN =（其中N 为AO 中点），故()2214x y +-=，下同解法一．感知高考刺金200解析几何模块3．若对任意α∈R ，直线:cos sin 2sin 46l x y πααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭与圆()()22:1C x m y -+=均无公共点，则实数m 的取值范围是．解：1d => 故对任意α∈R ，()22sin 416m πα⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立等价于对任意α∈R ，()22sin 56m πα⎛⎫-+> ⎪⎝⎭或()22sin 36m πα⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立显然对任意α∈R ，()22sin 56m πα⎛⎫-+> ⎪⎝⎭不恒成立故只有对任意α∈R ，()22sin 36m πα⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立即223m -<，得15,22m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第256—260题(含答案解析)

感知高考刺金256题已知非零向量a r 和b r 互相垂直，则a b +r r 和2a b +r r 的夹角余弦值的最小值是．解：()()222cos 2a b a b a b a b θ++==+⋅+r r r r r r g r r r r 令22,a x b y ==r r ，则cos θ=感知高考刺金257题已知正数,a b 满足1910a b a b +++=，则a b +的取值范围是．解：设a b t +=，则1910t a b +=-又因为()1991916b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥ ⎪⎝⎭即()1016t t -≥，解得28t ≤≤当且仅当13,22a b ==时，2a b +=；当且仅当2,6a b ==时，8a b +=感知高考刺金258题已知实数,0x y >，若22x y +，则3x y +的最小值是．解法一：待定系数法1,02y x λλλ⎛⎫+>⎪⎝⎭ 1122212222y x y x y x x y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭待定系数法，令11:21:322λλ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得13λ= 故1237x y +≥，当且仅当91,77x y ==时取得解法二：()()()()()()323213221321x y x y x y xy x y xy xy λλλλλλλ+-=+---=-+--≥---令()()213210λλ---=，即76λ=时，1237x y +≥，当且仅当91,77x y ==时取得解法三：三角换元设,a x b y ==，原问题转化为2222a ab b ++=，求223a b +的最小值令cos a r θ=，sin 3b θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0r >，2223a b r += 故问题又转化为已知222222cos sin sin cos 233r r r θθθθ++=，求2r 的最小值于是2222261cos sin sin cos sin 235363r πθθθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故2212,37r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦评注：这里又遇到()223a b +的结构，故可三角换元设cos a r θ=，sin 3b θ=，10月1日每日征解有相同的处理方法。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第306—310题(含答案解析)

感知高考刺金306如图，矩形OABC 中，AB =1，OA =2，以B 为圆心、BA 为半径在矩形内部作弧，点P 是弧上一动点，PM ⊥OA ，垂足为M ，PN ⊥OC ，，垂足为N ，则四边形OMPN 的周长的最小值为．解：如图，连BP ，则BP=1，设∠CBP =α，(0,2πα⎤∈⎥⎦， cos cos PE DB BP αα===，sin sin PD BP αα==∴2cos PN α=-，1sin PM α=-四边形OMPN 的周长()22cos 1sin 234L πααα⎡⎤⎛⎫=-+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 当4πα=时，min 6L =-感知高考刺金307设1x 、2x 是关于x 的方程022=-++m m mx x 的两个不相等的实数根，那么过两点),(211x x A 、),(222x x B 的直线与圆1)1(22=+-y x 的位置关系是（）(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)随m 的变化而变化解：22121212AB x x k x x x x -==+-，∴直线AB ：))((12121x x x x x y -+=-，即 0)()(2112121=+-+-+x x x x y x x x ，即0)(2121=--+x x y x x x ，圆心()1,0到AB的距离d =，由韦达定理，m x x -=+21,m m x x -=221，∴22d == 取m =0，则d =0⇒相交；取m =2，则1d =>⇒相离，故选D感知高考刺金308 已知函数a x x x x f -+-++=11)(的图像关于垂直于x 轴的直线对称，则a 的取值集合是．解：若11a -<<，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-+≤<--+-≤-=1,31,21,21,3)(x a x x a a x a x x a x x a x f ，其图像呈“剑”形，如图，对称轴为x =a ，则1102a -+== 同理，若1a <-时，对称轴是1x =-，∴123a a +=-⇒=- 若1a >时，对称轴是1x =，∴123a a -+=⇒=感知高考刺金309在ABC ∆中，若8,|2|6AB AC AB AC ⋅=-=，则ABC ∆面积的最大值为．解：在ABC ∆中延长AC 到D ，使A C C D =，所以2AD AC =，则已知变为16,||6AB AD AB AD ⋅=-=。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第136—140题(含答案解析)

感知高考刺金136设函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，记(),M a b 为()y f x =在[]1,1-上的最大值（1）设2a ≥，求证：(),2M a b ≥（2）若(),2M a b ≤，请求出a b +的最值。

证明：（1）因为对称轴012a x =-≤-或012ax =-≥ ()()(){}{}maxmax 1,1max 1,1f x f f a b a b =-=++-+证法一：规划视角()()()()()22221112112110a b a b b a b a b a b a a b ++≤-+⇔++++≤+-++⇔+≤故(){}()()max1,410max 1,11,410b a a b f x a b a b b a a b ⎧+++>⎪=++-+=⎨+-+≤⎪⎩，又结合2a ≥，可以从规划视角来解题，以a 为横坐标，b 为横坐标建系，画出可行域()4102a b a +>⎧⎪⎨≥⎪⎩如图1所示，目标函数1122b ab a ++++=视为可行域内的点(),a b 到直线10x y ++=的距离的2倍，显然当(),a b 取点()2,1--时min 1222b a ++=⋅=同理，可行域()4102a b a +≤⎧⎪⎨≥⎪⎩如图2所示，目标函数1a b -+=视为可行域内的点(),a b 到直线10x y -++=的距离(),a b 取点()2,1-时min 12b a +-= 综上，(),2M a b ≥ 证法二：绝对值不等式()()(){}{}()()max max 1,1max 1,11111222f x f f a b a b a b a b a b a ba =-=++-+++--++++-+≥≥=≥解法三：(){},max 1,1M a b a b a b =++-+ 令1b t +=，则()(){},max ,M a b g t t a t a ==+-在同一个坐标系中画出1y t a =+和2y t a =-的图象，两者取其大，则显然当0t =时，()min 2g t a =≥故(),2M a b ≥ （2）解法一：规划视角()()()222211221231,211221231848122424424f a b a b a b a M a b f a b a b a b a a b a a a b f a b ⎧⎧⎪=++≤⎪⎧-≤++≤--≤≤-+⎪⎪⎪⎪≤⇔-=-++≤⇔-≤-++≤⇔-≤≤+⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≤-≤⎩⎛⎫⎪⎪-≤≤+-=-≤ ⎪⎩⎪⎝⎭⎩显然又是一个规划问题了。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第236—240题(含答案解析)

感知高考刺金236题★已知函数()()2,t f x x t t t =--∈R,设a b <,()()()()()()(),,a a b b a b f x f x f x f x f x f x f x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩,若函数()y f x x a b =++-有四个零点,则b a -的取值范围是．解：()()2,t f x x t t t =--∈R 是开口形状确定,顶点(),t t -在y x =-上运动的抛物线,于是当,a b 取不同值时所对应的函数()f x 图象如图所示,是“W 型”的图象交点横坐标由()()22x a a x b b --=--解得12a b x +-=函数()y f x x a b =++-有四个零点,可视为直线y x b a =-+-与函数()y f x =有四个交点,故只需两条抛物线的“交叉点”到直线y x =-的竖直距离大于b a -即可。

故21122b a b a b a ----⎛⎫+>- ⎪⎝⎭,解得2b a ->感知高考刺金237题在ABC ∆中,若2AB =,2210AC BC +=,则ABC ∆的面积取得最大值时,最长的边长等于．解法一：设CH h =,AH x =,由题知2210a b +=,2c =,12ABC S ch h ∆==因为()()22222222223144h b x a x h x x x =-=--⇒=-++=--+≤ 故()max 2ABC S ∆=,当且仅当1x =时,取得最大值,此时2a b c ===解法二：由余弦定理知2223cos sin 2AC BC AB C C AC BC AC BC+-==⇒=⋅⋅故1sin 22ABCS AC BC C ∆=⋅⋅=当且仅当AC BC ==,等号成立,感知高考刺金238题如图,,C D 在半径为1的O 上,线段AB 是O 的直径,则AC BD 的取值范围是．解法一：极化恒等式角度 ()AC BD AD DC BD DC DB =+=-显然当,DC DB 均为O 的直径时,DC DB 最大为4；取BC 的中点M ,则由极化恒等式知()2222221111222DM OM OD DC DB DM BM DM OM +=-=+-≥-≥-=-故14,2AC BD ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦解法二：投影角度 AC BD AC CE =要求max AC BD ,显然在AC 确定的情况下,CE 最大。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第201—205题(含答案解析)

感知高考刺金201题解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为．解法一：由MA MB λ=得()()222222x y x b y λ⎡⎤++=-+⎣⎦即()()()222222211244x y b x b λλλλ-+--+=- 故2222240411b b λλλ⎧+=⎪⎨-=⎪-⎩，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2λ= 又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-，所以由几何性质知点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离为52 解法二：作为小题，由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得1311b b λ==+-，解得12b =-，2λ= 感知高考刺金202题解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN =，当m 取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为．解：作''PP MP ⊥，由抛物线定义'PP PN ='1cos PN PP PM m PN m PM PMθ=⇒===，其中'MPP NMP θ=∠=∠要使m 取得最小值，即cos θ最小，即NMP θ=∠最大值，即''2PMP MPP π∠=-∠最小，此时MP 是抛物线的切线．设MP 的方程为2y kx =-，与28x y =联立得()2820x kx --=因为相切，故264640k ∆=-=，解得1k = 故()4,2P，24a PM PN =-= 由24c =，得1e =感知高考刺金203题解析几何模块6．已知斜率为1的直线l 过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F ，且与双曲线左、右支分别交于,A B 两点，若A 是线段BF 的中点，则双曲线的离心率为．解：由题意知122y y =()222222422120x y b a y b cy b a b x y c ⎧-=⎪⇒--+=⎨⎪=-⎩ 2121224212122232b c y y y b a b y y y b a ⎧+==⎪⎪-⎨⎪==⎪-⎩所以222492c b a =-，所以2218c a e =⇒=感知高考刺金204题解析几何模块7．已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的动点，12,F F 是其左、右焦点，O 坐标原点，若12PF PF OP +，则此双曲线的离心率是．解：设12,PF m PF n ==，则()22222222122422m n OP F F m n OP c +=+⇒+=+ 又2m n a -=，所以22224m mn n a -+= 所以2222224mn OP c a =+- ()222222222222444m n OP c OP c a OP b +=+++-=+ 所以22244m n b OP OP +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以m n OP +的最大值在OP a =时取到，所以22446b a +=所以222b a =，即e =感知高考刺金205题解析几何模块8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()22119x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 相交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围是．解：两圆有公共点的充要条件是15CM ≤≤，而5CM ≤恒成立，故只要min 1CM ≥时两圆必有公共点．由平面几何知识可知，min CM 为点C 到直线l 的距离d ，所以1d =≥，解得34k ≥-。

2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第336—340题(含答案解析)

感知高考刺金336已知22252259x x a x a x c x x ++≤++≤++对任意x ∈R 恒成立，则a c += ．解：用两边夹逼的方法，令225259x x x x ++=++，解得2x =-故7447a a c ≤-+≤，即7c =所以()()22252712120x x ax ax a x a x ++≤++⇒-+-+≥对任意x ∈R 恒成立，所以 ()()()221013221810230a a a a a a ->>⎧⎧⎪⎪⇒⇒=⎨⎨∆=---≤-≤⎪⎪⎩⎩ 故172a c += 点评：这又是夹逼形式的好题，解法中让不等号两边同时取到，求出临界点的方法要注意。

感知高考刺金337已知非零向量a 与向量 b 的夹角为钝角，2b =，当2t =-时，()b ta t -∈R 取最小值65，则()a b a -= ．解法一：由当2t =-时，()b ta t -∈R 取最小值65，可知本题是“神图”的应用，如图所示，设,a b θ=，则()635sin 25πθ-== 即4cos 5θ=- ()221425a b b a =--= 故()24825a b a a b a -=-=- 解法二：22222b ta b a bt a t -=-+当且仅当22a bt a ==-时，222364425b ta b a b a -=++= 所以22a b a =-且3644225a b a b +-=，得232225a b a =-=- 故()24825a b a a b a -=-=-感知高考刺金338已知椭圆()2211221110,0x y a b a b +=>>和双曲线()2222222210,0x y a b a b -=>>有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若2222OF OP OF =，则双曲线的离心率的取值范围是．解：222222222cos ,OF OP OF OF OP OF OP OF =⇒= 2222222P P OF c x OF x a =⇒==> 故2222c e a =>感知高考刺金339已知函数()12x f x e x -=+-，()23g x x ax a =--+，若存在实数12,x x 使得()()120f x g x ==，且121x x -≤，则实数a 的取值范围是．解：因为()f x 是增函数，且()10f =，故11x =，所以原条件等价于230x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即231x a x +=+在[]0,2上有解因为[]412,0,21y x x x =++-∈+的值域为[]2,3，所以实数a 的取值范围是[]2,3感知高考刺金340在ABC ∆中，1tan 3A =，4B π=，若椭圆E 以AB 为长轴，且过点C ，则椭圆E 的离心率是．解：如图，作CD AB ⊥于D ，则3t a n CD AD CD A==，BD CD =设()2,0B ，则44AB AD BD CD ==+=，所以1OD CD ==，所以()1,1C设椭圆的方程为22221x y a b+=，将2a =与()1,1C 代入可得24b=，28 3c=故e=。

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感知高考刺金286题若关于x 的方程221
10x a x b x x ⎛⎫+
+++= ⎪⎝⎭（其中,a b ∈R ）有实数根，则22a b +的最小值为．
解：本题思路是转换主元，将关于x 的方程22
1
10x a x b x x ⎛
⎫+
+++= ⎪⎝⎭看成关于,a b 的直线方程22110x a b x x x ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
，于是目标22
a b +视为直线上的点(),a b 到原点的
距离平方
原点到直线的最短距离的平方()
2
2
2
2
2
222
2221
2
94
165
1
1
11
x t
x
d t t t x x +-=
=
=++
-≥
++⎛⎫++ ⎪⎝
⎭（令1
x t x
+
=）当且仅当1x =±时，22a b +的最小值为45
点评：同学们，你们还记得之前做过的几道比较经典的转换主元的题目吗？找找看，把几道题目放在一起，发现它们的门道。

感知高考刺金287题
设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，若12a a <，12b b <，且()21,2,3i i b a i ==，
则数列{}n b 的公比为．
解：22242131322132
b b a a b a a a a ===⇒=±，又1322a a a += 故13,a a 是方程222220x a x a -+=或222220x a x a --=的根，显然第一个方程的解是
123a a a ==
不符合，舍去，故(22
1322,12
a a a a ±=
= 又由()()22
121212120b b a a a a a a <⇒<⇒-+<
又21a a >，故12200a a a +>⇒>
综上可得(
(
(
2
2
33
1232222
1,113b a a a a a b a ==⇒==+=+
感知高考刺金288题
已知二次不等式2
20ax x b ++>的解集为1|x x a ⎧
⎫≠-⎨⎬⎩⎭
，且a b >，则22a b a b +-的最小值
为．
解：显然0a >且440ab ∆=-=，故1b a
=，又a b >，故1a b >>，
2
211
2
11a a a a a a a
a
⎛
⎫-++ ⎪⎝⎭=≥-
-
感知高考刺金289题
已知关于x 的方程()22222log 230x a x a +++-=有唯一解，则实数a 的值为．
解：这个方程显然直接解方程比较困难，因此越复杂的函数与方程越要从它的结构和性质入手来处理，我们可以发现这个函数()()22222log 23f x x a x a =+++-是偶函数，故零点必关于原点对称。

又由题意知函数的零点唯一，故必有且仅有
()00f =
解得1a =或3a =-
注意有两解的情况要引起重视，往往需要检验。

经检验，当3a =-时，()f x 的零点不唯一，故1a = 感知高考刺金290题
若函数()()220140f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[]1,1t t -+上总存在两实数
12,x x ，使得()()128f x f x -≥成立，则实数a 的最小值为．
解：式子()()128f x f x -≥描述的是函数()f x 在区间[]1,1t t -+上的“身高” 而由t 的任意性可知，题目只与函数的“形状”有关，与位置无关。

与()()220140f x ax x a =++>“相似”的标准二次函数是()2g x ax =
又因为函数在长度为2的区间内的“身高”恒大于等于8，故只需“最矮”时大于等于8即可。