2013年高考试题四川卷(理科数学)试题及每个题的详细解答学生版

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2013四川高考数学理科答案及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．2ABxxAxxB＝( )∩|．－41．(2013四川，理1)设集合＝＝{|0}＋2＝0}，集合，则＝{A．{－2} B．{2}?．．{－2,2} DC zAz的共轭复数表示复数如图，在复平面内，点，则图中表示2．(2013四川，理2) )．的点是(B A B．A．DC D．C． )．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( 3．(2013四川，理3)?xpA,xAxB2：是奇数集，集合∈4．(2013四川，理4)设，集合∈Z是偶数集．若命题B．( ∈)，则???????B p：A．A,2xp：xx∈A,2x．B B??????B ∈p：p：xA,2xA,2x∈B D．C．x ππ???????0,?xxf的部分图象如图所示，．5(2013四川，理5)函数φ()＝2sin(ω)＋??22??．( )则ω，φ的值分别是π?3 A．2，π?6B．2，π?6，．4Cπ34，D．2y22xyx )抛物线．＝4( 的焦点到双曲线＝－1的渐近线的距离是6)(20136．四川，理331 322．1 D． C． B．A．3xy?的图象大致是( )． 7．(2013四川，理7)函数x3?1ab，共，从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为8．(2013四川，理8)ab 的不同值的个数是( )．可得到lg －lgA．9 B．10 C．18 D．209．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )．11378424． D C．A．． B x?x e?a ayfx，若曲线设函数)(，)e＝(为自然对数的底数∈R四川，理10．(201310)xxyffyya的取值范围是( )())，＝)使得．(，则(＝sin 上存在点0000A．[1，e] B．[e－1－1,1]C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．523xyxy的项的系数是__________的展开式中，含．((2013四川，理11)二项式(用＋)11．数字作答)AOABAD，12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD＋λ＝交于点O，则λ＝__________.π??,π，则tan 2α的值是__________．sin 四川，理13)设2α＝－sin α，α∈ 13．(2013??2??2fxxfxxx，那么，(－)(＝)是定义域为R的偶函数，当4≥0时，(201314．四川，理14)已知fx＋2)＜5(的解集是__________．不等式PPPn个点，在平面α内的所有点中，为平面α15．(2013四川，理15)设内的，，…，n21PPPPPPPP 的一个“中到点，为点，…，，…，的距离之和最小，则称点若点，nn2211ABAB的中位点，现有下列命题：上的任意点都是端点位点”，例如，线段，ABCCABCABC的中位点；上，则①若三个点，是，共线，，在线段，②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；ABCD共线，则它们的中位点存在且唯一；，，，③若四个点④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．aaaaaa和为{}中，＋＝8，且在等差数列分本小题满分四川，理．16(201316)(12)n92134an项和．的等比中项，求数列{的首项、公差及前}nABCABCabc，，，，，的对边分别为17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△中，角A?B32?cos CAABBB， cos(＋cos )－sin(＋－且2＝)sin 25A的值；求cos (1)a?42BCBA b方向上的投影．(2)在若＝5，求向量，x某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量)分18)(本小题满分1218．(2013四川，理在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．yiPi＝1,2,3)的值为；的概率 ((1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出i n次后，统计记录了甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行(2)yii＝1,2,3)的值为的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．(输出甲的频数统计表(部分)yyy的值的值输出的值输出输出运行n 为3的频数为2的频数次数1为的频数10 14630 (697)3761 0272 100．乙的频数统计表(部分)yyy的值的值的值输出输出运行输出n 为3的频数为2的频数次数1为的频数7 301112 (353)1 0516962 100nyii＝乙所编程序各自输出(的值为1,2,3)分别写出甲、当2 ＝100时，根据表中的数据，的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；y的值为2的次数求输出ξ的分布列及数学期次，将按程序框图正确编写的程序运行(3)3望．ABCABCAA⊥底面12分)如图，在三棱柱中，侧棱－19．(2013四川，理19)(本小题满分1111ABCABACAABACDDBCBCPAD的，∠＝120°，是线段，的中点，分别是线段，，＝2＝1111中点．ABCPABCll⊥平内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线 (1)在平面1ADDA；面11lABMACNAAMN的余弦值．中的直线设(2)(1)交于点，交于点，求二面角－－122yx??1aCb＞：0)＞的两个(本小题满分20．(2013四川，理20)(13分)已知椭圆22ab41??,PFFC.(1,0)，且椭圆经过点焦点分别为1,0)(－，??2133??C的离心率； (1)求椭圆AlCMNQMN上的点，且，是线段(2)设过点的直线(0,2)两点，点与椭圆交于211??Q的轨迹方程．，求点222|AN||AM||AQ|2??2x?a,xx?0,fxa是实其中)14分)已知函数＝(理21．(2013四川，21)(本小题满分?ln x,x?0,?AxfxBxfxxx. ＜())，))(为该函数图象上的两点，且，数．设(，(212121fx)的单调区间；( (1)指出函数fxABxxx的最小值；，求 ()的图象在点，－处的切线互相垂直，且＜0(2)若函数122fxABa的取值范围．处的切线重合，求，的图象在点)(若函数(3)．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．答案：AAB＝{－2,2}－2}，，解析：由题意可得，＝{AB＝{－2}∩．故选A．∴2．答案：Bz表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称．解析：复数3．答案：D解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D．4．答案：D5．答案：A3T5ππ3π??????，解析：由图象可得，??43412??π2π55π?????1,2??sin Txfxωφ)中得，＝＝2，再将点，∴＝π代入，(2sin(2)＝则＋????π612????ππ5kk，∈Z令＋φ＝2π＋，26πkk∈Z解得，φ＝2π－，，3ππ??,?k又∵0，则取，φ∈＝??22??π?∴φ＝．.故选A36．答案：B?3x??3y x，即(1,0)，双曲线的渐近线方程为解析：由题意可得，抛物线的焦点为y＝0－，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离|?3?0|3?d?. 227．答案：Cx＝－1，(0，＋∞)，故排除A；取解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪?13x3xxy 的值且都为正，故1远远大于；当→＋∞时，＝3－，故再排除＝＞0B121?33x→0且大于0，故排除D，选C．x3?18．C答案：ab)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，解析：记基本事件为((1,9)，，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，a lg ba，其中基本＝20个基本事件，而lg lg －(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有ba lg的值相等，则不同值的个数为20－2和(3,1)，(9,3)使＝18(个)，事件(1,3)，(3,9)b故选C．9．答案：Cxyxy≤4；而所设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为，则由题意可得，0≤，≤4,0≤解析：xyxy|≤2}，{()||，－求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝S16?43阴影??P?. 由图示得，该事件概率S164正方形10．答案：Ayx∈[－sin 1,1]，解析：由题意可得，＝00x?x?e a yfx∈[0,1]，＝而由可知( )0x?x e xfa为增函数，) 时，(当＝＝0e?1yfy]．)∈[1∴时，∈[0,1] (，00e?1yff＞1.(∴))≥(0yffyy成立，故B，D))∴不存在∈[0,1]使＝(错；( 000x?x?e?1e yyfaxfx)(时)＝才有意义，而(1时，∈[0,1]时，只有＝1，当当＋＝e00f(1)＝0，fff(0)，显然无意义，故C错．故选(1))＝A．∴(第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．答案：1032CC32yx10.由二项式展开系数可得，解析：＝＝的系数为5512．答案：2ACAOABAD ABCD 2＝如图所示，在平行四边形解析：中，＋＝，∴λ＝2.3 13．答案：解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.π1??,π?.＝cos α又∵α∈，∴??22??32???cos1. ＝∴sin α231??2. ＝＝－1α＝2cosα，∴sin 2αcos 222?sin23.＝＝∴tan 2α?cos214．答案：(－7,3)2xxxx＜，解得，0≤45.解析：当＜≥0时，令5－fxfxxx＜，即－72＜＜5等价于－5又因为＜(5)为定义域为R的偶函数，则不等式(＋＋2)＜3；故解集为(－7,3)．15．答案：①④CABABC也不上，则线段解析：由“中位点”可知，若上任一点都为“中位点”，在线段例外，故①正确；ABCACBPAB中点，设腰长为为斜边2＝90°，如图所示，点Rt对于②假设在等腰△，中，∠33232CACBCPAPBPCAB，|＝而若4为“中位点”，则|则|＋|＋||||＝＜|||＝＋|，2故②错；BCADABBCCDBABCBDCA|＋4＝|＋|||＝|，则|＝1|||＋对于③，若|，三等分＝，若设||＝|CBCD|，故③错；|| |＋ABCDACBDOABCDO的一的交点为内任取不同于点对于④，在梯形中，对角线，在梯形与MMACMAMCACOAOC|，＝|||点，则在△|中，||＋||＞＋|MBDMBMDBDOBOD|，|||||同理在△中，|＋|＞|＝|＋则得，MAMBMCMDOAOBOCOD|， |＋|＋|||||＋|＋||＋|＋|||＞|O为梯形内唯一中位点是正确的．故三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．dnS.解：设该数列公差为项和为，前16．n2adadadad)． )＝(＋由已知，可得2＋＋28＝8，()(＋31111adddaadada}{的首项为＝，或3＝1－3＝)0，解得，＝4所以，，＋，即数列＝4，＝(0n11114，公差为0，或首项为1，公差为3.2?n3n nSnS＝4所以，数列的前.项和或＝nn217．A?B32cos?BCABABBA2(1)由－＋cos(解：＋))＝＋cos ，得－sin(－[cos()sin 1]cos 523?BBBBA )sin －cos －sin(，－＝53?BBABBA.)sin )cos －－sin(即cos(＝－533??ABAB.＝＋，即)则cos(＝－cos 5543?AAA＝sin ，＜＜(2)由cos π＝，得，055ba?由正弦定理，有，B sin A sin2sin Ab?B. ＝所以，sin 2aπ?B BabA.由题知，故＞＞，则43??2?2)(422cccc－2×5舍去×)，解得．＝1或＝－根据余弦定理，有7(＝5＋??5??2BCBABA B.|cos 方向上的投影为|故向量＝在218．x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24解：(1)变量种可能．1Pxy ；＝1，故从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出当的值为121Pyx ；的值为2，故＝当2,4,8,10,14,16,20,22从这8个数中产生时，输出231Pxy . 从6,12,18,24的值为3当，故＝这4个数中产生时，输出3611yyy 的值为3的概率的概率为所以，输出的值为12的概率为，输出，输出的值为 231. 为 6nyii ＝1,2,3)的值为的频率如下：( (2)当2 100＝时，甲、乙所编程序各自输出yyy 的值输出输出输出的值的值的频率3为的频率2为的频率1为1027376697甲2100210021003531051696 乙210021002100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.03218????0?C ??P ＝，ξ＝0)(???? 32733????12412????1???C P ，＝1)＝(ξ????3933????21122????2???C P2)＝，ξ(＝???? 3933????30211????3??C ?P ，(ξ＝3)＝???? 32733???? ξ的分布列为故320ξ18421 P 2727991284E 1.＋3×＋2×所以，＝ξ＝0×＋1×2799271.即ξ的数学期望为 19．BCABCPl 内，过点∥如图，在平面作直线，(1)解：．BCBClAAlBCBCA 内，因为在平面在平面由直线与平面平行的判定定理可知，外，∥平面111BCDABAC 由已知，是＝的中点，，．ADBCADl ⊥所以，，则直线⊥ABCAA ⊥平面因为，1lAA . ⊥直线所以1AAADADDAADAA 相交，又因为内，且，与在平面1111AlADD . ⊥平面所以直线11(2)解法一：AFFEFEAMAPAAEAPE . ⊥，过于作⊥，过连接作于，连接111AEAMN ⊥平面，由(1)知，1MNAAEA . 所以平面⊥平面11AEAMMNAEA . ⊥所以，则⊥平面11AFMAAMAEF .，则⊥平面所以⊥11NMAFEAA )．的平面角(故∠为二面角设为－θ－1ADABBACAAABAAACBAD 1. ＝，则由＝设1＝＝2，2＝＝60°，＝120°，有∠，∠11．PAD 的中点，为又1AMMABAP ＝所以中点，且，为＝1， 25 2MAAMAAAPAP .＝；在所以，在Rt △Rt △中，中，＝11112AP ?AA 11?AE ? ，从而PA 51AM ?AA 11?AF ?.MA21AE2?. θ＝所以sin AF52122??1sin??1?. ＝所以cos θ????55??15NAAM. －－故二面角的余弦值为15AEAD ACAAAEBA，＝1.如图，过解法二：设，以作，为坐标原点，分别以平行于111111111AA xOAyzOxyz 轴，的方向为重合轴，)轴的正方向，建立空间直角坐标系．(点与点11AA．则(0,0,1)(0,0,0)，1ADP为因为的中点，ACABMN，，分别为所以的中点．????1133,1,,,1?MN故，. ????????2222??????133NM AAMA,1,(，0,0)．所以＝＝＝(0,0,1)，，????1122??zyM n xAA，＝(，设平面，)的一个法向量为11111??0,?AMAM,n?n???1111即则??0,A??A,nAn?A????1111???130,,1?z??,,?x,y?????11122故有????0,?0,0,1?,x,yz?????111?130,z??x?y?111从而?22?0.z??13?yx＝1，则，＝取11 3?n．，0)所以＝(1，1zyx n AMN，(设平面的一个法向量为＝，，)22221．??,AM n?0,M?n?A??1212则即??0,NM?n?,?NM n????22???130,,1?,z??,?x,y?????22222故有????0,??z???3,0,0?x,y,?222?130,z??y?x?22222从而??0.x?3?2n yz．1)＝，则(0,2＝－1，所以取，－＝2222NMAA设二面角，－的平面角为θ－1为锐角，又θn?n21θ＝则cos|n|?|n|21?1,?3,0???0,2,?1?15?.＝52?515NMAA的余弦值为. 故二面角－－1520．解：(1)由椭圆定义知，22221414????????21??2?1???PFPFa |＝，＝||＋2|????????213333????????2?a.所以c1.又由已知，＝2c1e???C的离心率所以椭圆. 2a22x2yC1.的方程为＋＝(2)由(1)知，椭圆2Qxy)．( 设点，的坐标为lxlCQ的坐标为两点，此时点(0，－与椭圆1)交于(1)当直线(0,1)与，轴垂直时，直线??530,2?. ????5??lxlykx＋与2.轴不垂直时，设直线＝(2)当直线的方程为MNlMNxkxxkx＋2)(，，的坐标分别为(，因为＋，在直线2)上，可设点，，2121222222AMkxANkx.(1＋，|)|则|＝|＝(1＋)2122222AQxykx. )(1－2)又|＝|＝＋(＋211??，得由222|AQ||AM||AN|211??，222222x??k1k1???x???x1k?21．2?2?xx?x?x1212121???.①即22222xxxxx22112x2ykxy＝1中，得＋2代入将＋＝222kxkx 0.8②＋(26＋1)＝＋3222kkk. 由Δ＝(8，得)－4×(2＞＋1)×6＞02?8k6xxxx＝由②可知，，＋，＝2121222k?12k?1182x?.③代入①中并化简，得2?310k Qykx＋2上，在直线＝因为点y?222k?xy所以＝2)－3，代入③中并化简，得10(18. －x????3366,0?220,xxk. ∈＜∪＜由③及，即＞，可知0????????2222??????53220,2?yx＝18，－3 满足10(－2)又???? 5????66?,x.∈故????22??QxyC内，在椭圆，由题意， ()y≤1.所以－1≤99??,222yyyx≤1，－2)＝18＋3且－1≤有(－2)又由10(∈??54????513,2?y. 则∈???25??????51663,2,??22yQyxx.∈，3＝18所以，点，其中的轨迹方程为10(∈－2)－???????5222????21．fx)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[(1)函数－(1,0)，(0，＋∞)．解：AfxBfx)，处的切线斜率为(2)由导数的几何意义可知，点处的切线斜率为′(′()，点21ABfxfx)＝－故当点)处的切线与点1. 处的切线垂直时，有′(′(21xfxfxx＋22. ())求导，得＝当′(＜0时，对函数xx＜0，＜因为21xx＋2)2)(2＝－1. 所以，(2＋21xx＋20,2＞所以20. ＋2＜211[??2x?2?]?2x?2?xxxxx＋－(2＝[－(2＋＋2)因此22)，当且仅当－＋2]≥＝11112221231x??x??x时等号成立．1＋2＝，即且＝222122fxABxx的最小值为处的切线互相垂直时，)的图象在点1.，所以，函数－(12xxxxfxfxxx. ＜时，，故′()≠＜′(0)(3)当＜＜0或＞＞021*******xaxxyxxxfxfx2)(＝2处的切线方程为，的图象在点时，＜当0函数()(())－(＋＋)(2＋111111．2axxxxy.＋－2))，即＋＝(2－1111xxxyxyfxxxf，即处的切线方程为(－当＞0时，函数ln ())的图象在点(＝，－())222222x1xx－ln ·＝1. ＋22x两切线重合的充要条件是1??2x?2,①?12x??2ln x?1??x?a.②?12xxx＜0. 知，－1＜0＜＜由①及1121ln22xaxx＋2)由①②得，－＝1＋＝1.－ln(2－1112x?212hxxxx＜0)，1＜－ln(21(＋2)设－(－)＝11111xhx＜20. 则－′(＝)11 x?11hxx＜0)是减函数． ()(－1所以，＜11hxh(0)＝－ln 2－1，则 ()＞1a＞－ln 2－所以1.xhx)无限增大，(且趋近于－－1,0)1时，又当∈(11a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．所以fxABa的取值范围是(－ln 2－故当函数()的图象在点，处的切线重合时，1，＋∞)．。

2013年高考理科数学四川卷考试试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，理1)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝( )．A ．{－2}B ．{2}C ．{－2,2}D ．∅2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )．A ．AB ．BC ．CD ．D3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )．4．(2013四川，理4)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )．A ．⌝p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉B 5．(2013四川，理5)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，π3-B ．2，π6-C ．4，π6-D ．4，π36．(2013四川，理6)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－23y ＝1的渐近线的距离是( )．A ．12 B．2 C ．1 D7．(2013四川，理7)函数331x x y =-的图象大致是( )．8．(2013四川，理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )．A．9 B．10 C．18 D．209．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )．A．14 B．12 C．34 D．7810．(2013四川，理10)设函数f(x)(a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y＝sin x上存在点(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是( )．A．[1，e] B．[e－1－1,1]C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013四川，理11)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是__________．(用数字作答) 12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝__________.13．(2013四川，理13)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是__________．14．(2013四川，理14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是__________．15．(2013四川，理15)设P1，P2，…，P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，P n的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013四川，理16)(本小题满分12分)在等差数列{a n}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项、公差及前n项和．17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos 2A B-cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-，(1)求cos A 的值；(2)若a =b ＝5，求向量BA 在BC 方向上的投影．18．(2013四川，理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．当n＝2 100的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．19．(2013四川，理19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC ＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．20．(2013四川，理20)(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P 41,33⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．21．(2013四川，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝22,0,ln,0,x x a xx x⎧++<⎨>⎩其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．答案：A解析：由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}，∴A∩B＝{－2}．故选A．2．答案：B解析：复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称．3．答案：D解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D．4．答案：D5．答案：A解析：由图象可得，35ππ3π41234T⎛⎫=--=⎪⎝⎭，∴T＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点5π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得，5πsin16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，令5π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得，φ＝2kπ－π3，k∈Z，又∵φ∈ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则取k＝0，∴φ＝π3-.故选A．6．答案：B解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y=，即－y＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d==.7．答案：C解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；取x＝－1，y＝1113--＝32＞0，故再排除B；当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，故331xx-→0且大于0，故排除D，选C．8．答案：C解析：记基本事件为(a，b)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lg a －lg b ＝lga b ，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lg ab的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)，故选C ．9．答案：C解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则由题意可得，0≤x ≤4,0≤y ≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x ，y )||x －y |≤2}，由图示得，该事件概率1643164S P S -===阴影正方形.10．答案：A解析：由题意可得，y 0＝sin x 0∈[－1,1]，而由f (x )可知y 0∈[0,1]，当a ＝0时，f (x )∴y 0∈[0,1]时，f (y 0)∈[1．∴f (f (y 0 1.∴不存在y 0∈[0,1]使f (f (y 0))＝y 0成立，故B ，D 错；当a ＝e ＋1时，f (x )y 0∈[0,1]时，只有y 0＝1时f (x )才有意义，而f (1)＝0， ∴f (f (1))＝f (0)，显然无意义，故C 错．故选A ．第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．答案：10解析：由二项式展开系数可得，x 2y 3的系数为35C ＝25C ＝10.12．答案：2解析：如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＋AD ＝AC ＝2AO ，∴λ＝2.13．解析：∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α.又∵α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos α＝12-.∴sin α2=.∴sin 2α＝2-，cos 2α＝2cos 2α－1＝12-.∴tan 2α＝sin2cos2αα14．答案：(－7,3)解析：当x ≥0时，令x 2－4x ＜5，解得，0≤x ＜5.又因为f (x )为定义域为R 的偶函数，则不等式f (x ＋2)＜5等价于－5＜x ＋2＜5，即－7＜x ＜3；故解集为(－7,3)． 15．答案：①④解析：由“中位点”可知，若C 在线段AB 上，则线段AB 上任一点都为“中位点”，C 也不例外，故①正确；对于②假设在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如图所示，点P 为斜边AB 中点，设腰长为2，则|PA |＋|PB |＋|PC |＝32|AB |＝C 为“中位点”，则|CB |＋|CA |＝4＜对于③，若B ，C 三等分AD ，若设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1，则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故③错；对于④，在梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 的交点为O ，在梯形ABCD 内任取不同于点O 的一点M ，则在△MAC 中，|MA |＋|MC |＞|AC |＝|OA |＋|OC |，同理在△MBD 中，|MB |＋|MD |＞|BD |＝|OB |＋|OD |，则得，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |＞|OA |＋|OB |＋|OC |＋|OD |，故O 为梯形内唯一中位点是正确的．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解：设该数列公差为d ，前n 项和为S n .由已知，可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )．所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝232n n-.17．解：(1)由22cos 2A B -cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝35-，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝35-.则cos(A －B ＋B )＝35-，即cos A ＝35-.(2)由cos A ＝35-，0＜A ＜π，得sin A ＝45，由正弦定理，有sin a bA =，所以，sin B ＝sin 2b A a =由题知a ＞b ，则A ＞B ，故π4B =.根据余弦定理，有2＝52＋c 2－2×5c ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA |cos B .18．解：(1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16. 所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2 100(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝0303128C 3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝1)＝1213124C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝2)＝2123122C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝3)＝333121C 3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故ξ的分布列为所以，E ξ＝0×827＋1×49＋2×9＋3×27＝1.即ξ的数学期望为1.19．解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC ．由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD ．因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交，所以直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)解法一：连接A 1P ，过A 作AE ⊥A 1P 于E ，过E 作EF ⊥A 1M 于F ，连接AF . 由(1)知，MN ⊥平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面A 1MN .所以AE ⊥平面A 1MN ，则A 1M ⊥AE . 所以A 1M ⊥平面AEF ，则A 1M ⊥AF .故∠AFE 为二面角A －A 1M －N 的平面角(设为θ)．设AA 1＝1，则由AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，有∠BAD ＝60°，AB ＝2，AD ＝1. 又P 为AD 的中点，所以M 为AB 中点，且AP＝12，AM ＝1，所以，在Rt △AA 1P 中，A 1PRt △A 1AM 中，A 1M.从而11AAAP AE A P ⋅==， 11AA AM AF A M ⋅==.所以sin θ＝AE AF =所以cos θ5==.解法二：设A 1A ＝1.如图，过A 1作A 1E 平行于B 1C 1，以A 1为坐标原点，分别以1A E ，11A D ，1A A 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点A 1重合)．则A 1(0,0,0)，A (0,0,1)．因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点．故M 1,,122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，N 1,122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以1AM＝1,122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，1A A ＝(0,0,1)，NM ＝0,0)．设平面AA 1M 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则1111,,A M A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即11110,0,A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n故有1111111,,,10,22,,0,0,10,x y z x y z ⎧⎛⎫()⋅=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪()⋅()=⎩从而111110,20.x y z z ++=⎪=⎩ 取x 1＝1，则y 1＝所以n 1＝(1，，0)．设平面A 1MN 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则212,,A M NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即2120,0,A M NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n故有2222221,,,10,2,,0,x y z x y z ⎧⎫()⋅=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪()=⎩从而222210,220.x y z ++=⎪= 取y 2＝2，则z 2＝－1，所以n 2＝(0,2，－1)．设二面角A －A 1M －N 的平面角为θ，又θ为锐角，则cos θ＝1212||||⋅⋅n n n n5=20．解：(1)由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|=所以a =又由已知，c ＝1.所以椭圆C的离心率2c e a ===. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1.设点Q 的坐标为(x ，y )．(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为0,2⎛ ⎝⎭. (2)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 12，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2. 由222211||||||AQ AM AN =+，得22222212211111k x k x k x =+(+)(+)(+)，即212122222212122211x x x x x x x x x (+)-=+=.① 将y ＝kx ＋2代入22x ＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6＞0，得k 2＞32. 由②可知，x 1＋x 2＝2821k k -+，x 1x 2＝2621k +，代入①中并化简，得2218103x k =-.③ 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以2y k x-=，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18. 由③及k 2＞32，可知0＜x 2＜32，即x∈2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∪0,2⎛ ⎝⎭.又0,25⎛- ⎝⎭满足10(y －2)2－3x 2＝18，故x∈,22⎛- ⎝⎭.由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内，所以－1≤y ≤1.又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈99,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭且－1≤y ≤1，则y∈1,22⎛⎝⎦. 所以，点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x∈⎛⎝⎭，y∈1,22⎛- ⎝⎦. 21．解：(1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)． (2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)，故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 当x ＜0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2. 因为x 1＜x 2＜0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1. 所以2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即132x =-且212x =-时等号成立．所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.(3)当x 1＜x 2＜0或x 2＞x 1＞0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2.当x 1＜0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 12＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y＝(2x 1＋2)x －x 12＋a .当x 2＞0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝21x (x －x 2)，即y ＝21x·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是12221122,ln 1.x xx x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①②由①及x 1＜0＜x 2知，－1＜x 1＜0. 由①②得，a ＝x 12＋11ln22x +－1＝x 12－ln(2x 1＋2)－1.设h (x 1)＝x 12－ln(2x 1＋2)－1(－1＜x 1＜0)，则h ′(x 1)＝2x 1－111x +＜0. 所以，h (x 1)(－1＜x 1＜0)是减函数．则h (x 1)＞h (0)＝－ln 2－1，所以a ＞－ln 2－1.又当x 1∈(－1,0)且趋近于－1时，h (x 1)无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．。

2013年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．22．（5分）（2013•四川）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）3．（5分）（2013•四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）B4．（5分）（2013•四川）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，5．（5分）（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）BT=时取得最大值，得到+．由此即可得到本题的答案．时取得最大值，x==﹣==x=+，可得+=﹣6．（5分）（2013•四川）抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）B±，化成一般式得：，可得=1又∵双曲线的方程为b=±±x．d=7．（5分）（2013•四川）函数的图象大致是（）B8．（5分）（2013•四川）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，，所以从，种排法，，9．（5分）（2013•四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔B=10．（5分）（2013•四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究是一个增函数，可得出＞时，此函数是一个增函数，=0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013•四川）二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是10（用数字作答）．x的项的系数是=1012．（5分）（2013•四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=2．依题意，+，而=2，从而可得答案．+==2+=2+λ，13．（5分）（2013•四川）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．，，=，，=故答案为：14．（5分）（2013•四川）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．15．（5分）（2013•四川）设P1，P2，…P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…P n的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是①④（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2013•四川）在等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项，公差及前n项和．=17．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB ﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．，，（Ⅱ）由正弦定理，，所以，B=在方向上的投影：．18．（12分）（2013•四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p i（i=1，2，3）；（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．=；===的概率为的概率为，输出的；输出y值为1的频率输出y值为2的频率输出====，，0 2 3=19．（12分）（2013•四川）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．（Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．AP=，====，可得=的余弦值等于20．（13分）（2013•四川）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率：（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．的坐标表示出：（．=2e==…的方程为，设点）=…①中，得（＞=，＞＜（﹣，[，（﹣，（21．（14分）（2013•四川）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．时，∵，即时，∵，即．处的切线重合的充要条件是得．∵函数在。

2013年高考理科数学四川卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共28页）数学试卷第2页（共28页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学(理工类)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|20}A x x =+=,集合2{|40}B x x =-=,则A B =( )A .{2}-B .{2}C .{2,2}-D .∅2.如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( )A .AB .BC .CD .D3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )A .B .C .D .4.设x ∈Z ,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则 ( )A .,2p x A xB ∈⌝∀∉： B .,2p x A x B ∉⌝∀∉：C .,2p x A x B ∉⌝∃∈：D .,2p x A x B ∈⌝∃∉：5.函数ππ()2sin()(0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )A .π2,3-B .π2,6- C .π4,6-D .π4,36.抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是( )A .12B .32C .1D .3 7.函数231x x y =-的图象大致是( )A .B .C .D .8.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是( )A .9B .10C .18D .209.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是 ( )A .14B .12C .34D .7810.设函数()e x f x x a =+-(a ∈R ,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )A .[1,e]B .1[e1,1]-－C .[1,e 1]+D .1[e 1,e 1]-+－-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第3页（共28页）数学试卷第4页（共28页）第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是（用数字作答）. 12.在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ= . 13.设sin 2sin αα=-,π(,π)2α∈,则tan 2α的值是 .14.已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是 . 15.设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点,在平面α内的所有点中,若点P 到点12,,,n P P P 的距离之和最小,则称点P 为点12,,,n P P P 的一个“中位点”.例如,线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点.现有下列命题：①若三个点,,A B C 共线,C 在线段AB 上,则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线,则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是（写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.17.(本小题满分12分)在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且22cos cos sin()sin 2A BB A B B ---3cos()5A C +=-＋.（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若42a =,5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.18.(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生. （Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）运行次数n 输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数输出y 的值为3的频数 30 14 6 10 2 100 1 027 376 697运行次数n 输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数输出y 的值为3的频数30 12 11 7 2 1001 051 696 353当2100n =时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示）,并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；（Ⅲ）将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 的中点.（Ⅰ）在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线 l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N--的余弦值.20.(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.21.(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,,,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <. （Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,求21x x -的最小值；（Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围.3 / 142013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】{+2=0}A x x =，{2}A ∴=-，2{40}B x x =-=，{2,2}B ∴=-，{2}A B ∴=-.【提示】分别求出集合A 和集合B 的解集，即可求交集. 【考点】集合的基本运算 2.【答案】B【解析】设+i(,)z a b a b =∈R ，且0a <，0b >，则z 的共轭复数为i a b -，其中0a <，0b -<. 【提示】复数z 表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称. 【考点】复平面 3.【答案】D【解析】由俯视图的圆环可排除A ，B ，进一步将已知三视图还原为几何体. 【提示】由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体. 【考点】平图形的直观图，三视图 4.【答案】D【解析】命题p 是全称命题：,2x A x B ∀∈∈，则p ⌝是特称命题：,2x A x B ∃∉∉. 【提示】全称命题的否定，将∀改为∃，将2x B ∈改为2x B ∈. 【考点】全称量词，存在量词 5.【答案】A 【解析】35π3ππ41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，πT ∴=，2ππω∴=，2ω∴=.由图象知当5π12x =时， 5π2π+=2π+()122k k ϕ⨯∈Z ，即π2π()3k k ϕ=-∈Z ，π3ϕ∴=-. 【提示】由图象可得35π3ππ41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得πT =，求得ω的值，由图象知当5π12x =时，5π2π+=2π+()122k k ϕ⨯∈Z ，即可求ϕ的值. 【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其变化数学试卷第7页（共28页）6.【答案】B【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，则焦点到渐近线的距离122|310|32(3)(1)d ⨯-==+-或22|310|32(3)1d ⨯+==+. 【提示】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离.【考点】双曲线，抛物线的基本性质 7.【答案】C【解析】由310x-≠得0x ≠，所以函数331x x y =-的定义域{0}x x ≠，可排除A ；当1x =-时，1301213y -==>-，可排除B ；当2x =时，1y =，当4x =时，6480y =，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0,)+∞上是单调增函数，两者矛盾，故选C .【提示】由函数解析式可得该函数定义域；取1x =-代入函数，与图象比较；取两点代入函数，观察函数单调性，与图象相比较即可得出答案. 【考点】函数图象的判断 8.【答案】C【解析】从1，3，5，7，9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数2520A =，但lg1lg3lg3lg9-=-，lg3lg1lg9lg3-=-，所以不同值的个数为20218-=.【提示】从1，3，5，7，9五个数中每次取出两个不同数的排列个数2520A =，相同值的个数为2个，即可求不同值的个数.【考点】排列组合及其应用 9.【答案】C【解析】设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则04x ≤≤，04y ≤≤，而事件发生的概率为||2x y -≤，可行域如图阴影部分所示，由几何概型得22142(22)3244P -⨯⨯⨯==.5 / 14【提示】设第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，由题意可知x ，y 的取值范围，而事件发生的概率为||2x y -≤，画出可行域，可求概率. 【考点】几何概型 10.【答案】A【解析】由已知点00(,)x y 在曲线sin y x =上，得000sin ,[0,1]y x y =∈，即存在0[0,1]y ∈使00(())f f y y =成立，则点00(,())A y f y ，00((),)A f y y '都在的图象上，又()e x f x x a =+-在[0,1]上单调递增，所以()()0A A A A x x y y ''--≥，0000[()][()]0f y y y f y ∴--≥，200[()]0f y y ∴-≤，∴00()f y y =，所以()f x x=在[0,1]上有解，2e ,[0,1]x a x x x ∴=+-∈，令2()e ,[0,1]x x x x x ϕ=+-∈，()x ϕ在[0,1]上单调递增，又(0)1ϕ=，(1)e ϕ=，()[1,e]x ϕ∴∈即[1,e]a ∈.【提示】由题意得得000sin ,[0,1]y x y =∈，即存在0[0,1]y ∈使00(())f f y y =成立，则点00(,())A y f y ，00((),)A f y y '都在的图象上，又()e x f x x a =+-在[0,1]上单调递增，所以()f x x =在[0,1]上有解，令2()e ,[0,1]x x x x x ϕ=+-∈，根据()x ϕ的单调性，即可求a 的范围.【考点】函数零点的应用第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】10【解析】323234510T C x y x y ==，故填10.【提示】由二项式展开式的通项公式或直接展开可得. 【考点】二项式展开式 12.【答案】2【解析】由向量加法的平行四边形法则，得AB AD AC +=又O 是AC 的中点，2AC AO ∴=，2AC AO ∴=，AB AD AO λ∴+=，2λ∴=.【提示】由向量加法的平行四边形法则得AB AD AC +=，由中点向量公式得2AC AO =，即可求λ的值. 【考点】平面向量的四则运算数学试卷第11页（共28页）13.【答案】3【解析】由题意得1cos 2α=-而π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2π3α∴=，4πtan2tan πtan 333α∴===.【提示】由题意可得1cos 2α=-，根据α的取值范围可求出α的值，利用二倍角正切公式可求. 【考点】二倍角公式 14.【答案】73x -<<【解析】设0x <，则0x ->，当0x ≥时，2()4f x x x =-，2()4f x x x ∴-=-，故()f x 为在定义域上的偶函数，224,0()+4,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨<⎩，由()5f x =得5x =或5x =-，所以()5f x <得55x -<<，由(2)5f x +<得73x -<<，所以不等式的解集为73x -<<.【提示】由()f x 为在定义域上的偶函数得出函数解析式，令()5f x =得到x 的取值范围，根据偶函数性质即可求出(2)5f x +<的解集. 【考点】解不等式 15.【答案】①④【解析】||+||||CA CB AB =当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，所以点C 是中位点，故①为真命题；②③为假命题；若P 为点A ，C ，则点P 在线段AC 上，若点P 是B ，D 的中位点，则点P 在线段BD 上，所以若点P 是A ，B ，C ，D 的中位点，则P 是AC ，BD 的交点.所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题.【提示】由“中位点”可知，若C 在线段AB 上，则线段AB 上任一点都为“中位点”，C 也不例外；若P 为点A ，C ，则点P 在线段AC 上，若点P 是B ，D 的中位点，则点P 在线段BD 上，所以若点P 是A ，B ，C ，D 的中位点，则P 是AC ，BD 的交点. 【考点】新定义三、解答题16.【答案】数列{}n a 的首项为4，公差为0；或首项为1，公差为3；前n 项和4n S n =或232n n nS -=【解析】设该数列公差为d ，前n 项和为n S .由已知，可得1228a d +=，2111(3)()(8)a d a d a d +=++，所以14a d +=，1(3)0d d a -=，解得14a =，0d =，或11a =，3d =，即数列{}n a 的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.7 / 14所以数列的前n 项和4n S n =或232n n nS -=.【提示】设该数列公差为d ，前n 项和为n S ，由已知，可得1228a d +=，2111(3)()(8)a d a d a d +=++，解除1a 与d ，由前n 项和公式可求n S . 【考点】等差数列的性质 17.【答案】（Ⅰ）3cos 5A =-（Ⅱ）2||cos 2BA B = 【解析】（Ⅰ）由232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-，得3[cos()1]cos sin()sin cos 5A B B A B B B -+---=-，即3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-，则3cos()5A B B -+=-，即3cos 5A =-.（Ⅱ）由3cos ,0π5A A =-<<，得4sin 5A =，由正弦定理，有sin sin a bA B=，所以，sin 2sin 2b A B a ==. 由题知a b >，则A B >，故π4B =. 根据余弦定理，有2223(42)5255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得1c =或7c =-（舍去）.故向量BA 在BC 方向上的投影为2||cos 2BA B =. 【提示】（Ⅰ）根据三角形中角的关系利用公式化简可得；（Ⅱ）由3cos ,0π5A A =-<<，得4sin 5A =，根据正弦定理求得B 的值，根据余弦定理求得c 的值，即可求投影.【考点】正弦定理，余弦定理18.【答案】（Ⅰ）变量x 是在1，2，3，……24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能. 当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故112P =；数学试卷第15页（共28页）当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故213P =；当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故316P =. （Ⅱ）当2100n =时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为(123)i i =,,的频率如下：输出y 的值为1的频率输出y 的值为2的频率输出y 的值为3的频率甲 10272100 3762100 6972100 乙10512100 6962100 3532100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. （Ⅲ）随机变量ξ可能取值为0，1，2，3.030031283327P C ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12113124339P C ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21223122339P C ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，303331213327P C ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故ξ的分布列为ξ0 1 2 3P 82749 29 127 所以8421()01+2+3=1279927E ξ=⨯+⨯⨯⨯ 即ξ的数学期望为1.【提示】（Ⅰ）当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 的值为1，当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 的值为2，当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y 的值为3，从而得出输出y 的值为1的概率为12；输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16；（Ⅱ）当2100n =时，列出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大；（Ⅲ）随机变量ξ可能取值为0，1，2，3，求出相应取值的概率，列出分布列，即可求期望值. 【考点】选择结构的程序框图19.【答案】（Ⅰ）如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l BC ∥，因为l 在平面1A BC 外，BC 在平面1A BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面1A BC .9 / 14由已知，AB AC =，D 是BC 中点，所以BC AD ⊥，则直线l AD ⊥，又因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA l ⊥，又因为AD ，1AA 在平面11ADD A 内，且AD 与1AA 相交，所以直线l ⊥平面11ADD A .（Ⅱ）解法一：连接1A P ，过A 作1AE A P ⊥于E ，过E 作1EF A M ⊥于E ，连接AF . 由（Ⅰ）知，MN ⊥平面1AEA ，所以平面1AEA ⊥平面1A MN ，所以AE ⊥平面1A MN ，则1A M AE ⊥，所以1A M ⊥平面AEF ，则1A M ⊥AF ，故AFE ∠为二面角1A A M N --的平面角（设为θ）. 设11AA =，则由12AB AC AA ==，120BAC ∠=，有60BAD ∠=，2AB =，1AD =.又P 为AD 的中点，所以M 为AB 的中点，且1AM =，12AP =，在1Rt AA P △中，152A P =；在1Rt A AM △中，12A M =，从而，1115AA AP AE A P ==，1112AA AM AF A M ==，所以2sin 5AE AF θ==，所以22215cos 1sin 155θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故二面角1A A M N --的余弦值为155. 解法二：设11AA =，如图，过1A 作1A E 平行于11B C ，以1A 为坐标原点，分别以1A E ，11A D ，1AA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz （点O 与点1A 重合），则1(0,0,0)A ，(0,0,1)A . 因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点，故31,,122M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以131 ,,1 22A M⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,0,1A A=，(3,0,0)NM=.设平面1AA M的一个法向量为1111(,,)n x y z=，则1111n A Mn A A⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即1111n A Mn A A⎧=⎪⎨=⎪⎩，故有11111131(,,),,1022(,,)(0,0,1)0x y zx y z⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，从而11113122x y zz⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取11x=，则13y=-，所以1(1,3,0)n=-.设平面1A MN的一个法向量为2222(,,)n x y z=，则212n A Mn NM⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即212n A Mn NM⎧=⎪⎨=⎪⎩，故有22222231(,,),,1022(,,)(3,0,0)0x y zx y z⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，从而2222312230x y zx⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取22y=，则21z=-，所以2(0,2,1)n=-.设二面角1A A M N--的平面角为θ，又θ为锐角，则1212(1,3,0)(0,2,1)15cos5||||25n nn nθ--===.故二面角1A A M N--的余弦值为155.【提示】（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l BC∥，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面1A BC平行.等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD BC⊥，故l AD⊥.再由1AA⊥底面ABC，可得1AA l⊥.再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面11ADD A；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）的结论得出平面1AEA⊥平面1A MN，从而证得AFE∠为二面角1A A M N--的平数学试卷第19页（共28页）11 / 14面角，设11AA =，可求出AB 、AD 、A 1M 、A 1P 、AE 和AF 的长，最后余弦定理，算出二面角1A A M N --的余弦值；解法二：分别以1A E ，11A D ，1AA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，求出平面1AA M 和平面1A MN 的法向量，即可求出两法向量所成角的余弦值.【考点】二面角平面角的基本知识20.【答案】（Ⅰ）22（Ⅱ）Q 的轨迹方程是2210(2)318y x --=，135,225y ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）22221241412||||11223333a PF PF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2a =.又由已知，1c =，所以椭圆C 的离心率22c e a ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C 的方程为2212x y +=，设点Q 的坐标为(,)x y . （1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0,1)-两点，此时Q 点坐标为350,25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为2y kx =+，因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为11(,2)x kx +，22(,2)x kx +，则2221||(1)AM k x =+，2222||(1)AN k x =+，22222||+(2)(1)AQ x y k x ==+-由222211||||||AQ AM AN =+，得22222212211(1)(1)(1)k x k x k x =++++，即21212222221211()2212x x x x x x x x x +-=+=① 将2y kx =+代入2212x y +=中，得22(21)860k x kx +++=②由22(8)4(21)60k k ∆=-⨯+⨯>，得232k >. 由②可知122821k x x k +=-+，122621x x k =+代入①中并化简，得2218103x k =-③，因为点Q 在直线2y kx =+上，所以2y k x -=，代入③中并化简，得2210(2)318y x --=.由③及232k >，可知302x <<，即66,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又350,25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭满足2210(2)318y x --=，故66,22x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭. 由题意，(,)Q x y 在椭圆C 内部，所以11y -≤≤，又由22210(2)3183y x x --=+有299(2),54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤，则135,225y ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以点Q 的轨迹方程是2210(2)318y x --=，其中135,225y ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭.【提示】（Ⅰ）由椭圆的定义得出122||||22a PF PF =+=，求出2a =，由已知得1c =，可求离心率；（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C 的方程，设点Q 的坐标为(,)x y ，当直线l 与x 轴垂直时，求出Q 的坐标；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为2y kx =+，M 、N 的坐标分别为11(,2)x kx +、22(,2)x kx +，将直线代入椭圆方程得22(21)860k x kx +++=，求出12x x +，12x x 的值.将坐标代入222211||||||AQ AM AN =+可得21212222221211()2212x x x x x x x x x +-=+=，化简得2218103x k =-，将k 代入，求得2210(2)318y x --=，可出Q 的轨迹方程.【考点】圆锥曲线中的轨迹问题21.【答案】（Ⅰ）函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，单调递增区间为[1,0)-，(0,)+∞（Ⅱ）1（Ⅲ）(ln 21,)--+∞【解析】（Ⅰ）函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，单调递增区间为[1,0)-，(0,)+∞；（Ⅱ）由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为1()f x '，点B 处的切线斜率为2()f x '，13 / 14故当点A 处的切线与点B 处的切垂直时，有12()()1f x f x ''=-.当0x <时，对函数()f x 求导，得()22f x x '=+，因为120x x <<，所以12(22)(22)1x x ++=-，所以1(22)0x +<，2(22)0x +>，因此2112121[(22)(22)](22)(22)12x x x x x x -=-+++≥-++=，当且仅当12(22)(22)1x x ++=-，即1231=22x x =-且时等号成立.所以函数()f x 的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，21x x -的最小值为1.（Ⅲ）当120x x <<或210x x >>时，12()()f x f x ''≠，故120x x <<.当10x <时，函数()f x 的图象在点11(,())x f x 处的切线方程为 21111(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，即211(22)y x x x a =+-+；当20x >时，函数()f x 的图象在点22(,())x f x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-. 两切线重合的充要条件是12221122ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①②，由①及120x x <<知，110x -<<，由①②得，2211111+ln 1ln(22)122a x x x x =-=-+-+. 设211111()ln 1(10)22h x x x x =+--<<+，则1111()201h x x x '=-<+，所以11()(10)h x x -<<是减函数，则1()(0)ln 21h x h >=--，所以ln 21a >--.又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时，1()h x 无限增大，所以a 的取值范围是(ln 21,)--+∞.故当函数()f x 的图象在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(ln 21,)--+∞.【提示】（Ⅰ）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）由导数的几何意义知，点A 处的切线的斜率为1()f x '，点B 处的切线的斜率为2()f x '，再利用()f x 的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，斜率之积等于1-，得出12(22)(22)1x x ++=-，后利用基本不等式可求21x x -的最小值；（Ⅲ）先根据导数的几何意义写出函数()f x 在点A ，B 处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出211ln(22)1a x x =-+-，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a 的取值范围.【考点】不等式的综合应用。

2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(四川卷带解析)答案解析

2013年全国普通高等学校招生统一考试理科（四川卷）数学答案解析1、【答案】A【解析】由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，则A∩B={﹣2}．2、【答案】B【解析】两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，下部相反，对应的点关于x轴对称．所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．3、【答案】D【解析】由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C．而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．故选D．4、【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则￢p：?x∈A，2x?B．【答案】A【解析】∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2?+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣6、【答案】B【解析】∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==【答案】A【解析】当x＜0时，x3＜0，3x﹣1＜0，∴，故排除B；对于C，由于函数值不可能为0，故可以排除C；∵y=3x﹣1与y=x3相比，指数函数比幂函数，随着x的增大，增长速度越大，∴x→+∞，→0，∴D不正确，A正确，8、【答案】C【解析】首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法，因为，，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是：20﹣2=18．9、【答案】C【解析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：=10、【答案】A【解析】曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则y0∈[﹣1，1]考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项当a=0时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈[0，1]时f（f（y0））=y0是否成立由于是一个增函数，可得出f（y0）≥f（0）=1，而f（1）=＞1，故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确当a=e+1时，此函数是一个增函数，=0，而f（0）没有意义，故a=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确11、【答案】10【解析】设二项式（x+y）5的展开式的通项公式为T r+1，则T r+1=x5﹣r?y r，令r=3，则含x2y3的项的系数是=10．12、【答案】2【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴+=，又O为AC的中点，∴=2，∴+=2，∵+=λ，∴λ=2．13、【答案】【解析】∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===．14、【答案】（﹣7，3）【解析】因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．15、【答案】①④【解析】①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，根据两点之间线段最短，则C是A，B，C的中位点，正确；②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故错误；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一；故错误；④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．正确．故答案为：①④．16、【答案】S n=【解析】设该数列的公差为d，前n项和为S n，则∵a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，∴2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d）解得a1=4，d=0或a1=1，d=3∴前n项和为S n=4n或S n=．17、【答案】（1）（2）=ccosB=【解析】（Ⅰ）由，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．18、【答案】（I）输出的y值为1的概率为，输出的y值为2的概率为，输出的y值为3的概率为（II）乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大（III）1【解析】（I）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出的y 值为1，故P1==；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出的y值为2，故P2==；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出的y值为3，故P3==；故输出的y值为1的概率为，输出的y值为2的概率为，输出的y值为3的概率为；（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为i（i=1，2，3）的频率如下：输出y值为1的频率输出y值为2的频率输出y值为3的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，故ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P所以所求的数学期望Eξ==119、【答案】（I）见解析（II）【解析】（I）在平面ABC内，过点P作直线l∥BC∵直线l?平面A1BC，BC?平面A1BC，∴直线l∥平面A1BC，∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，结合l∥BC得AD⊥l∵AA1⊥平面ABC，l?平面ABC，∴AA1⊥l∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线∴直线l⊥平面ADD1A1；（II）连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过E点作EF⊥A1M于F，连接AF由（I）知MN⊥平面A1AE，结合MN?平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE，∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P，AE⊥A1P，∴AE⊥平面A1MN，∵EF⊥A1M，EF是AF在平面A1MN内的射影，∴AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角设AA1=1，则由AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1又∵P为AD的中点，∴M是AB的中点，得AP=，AM=1Rt△A1AP中，A1P==；Rt△A1AM中，A1M=∴AE==，AF==∴Rt△AEF中，sin∠AFE==，可得cos∠AFE==即二面角A﹣A1M﹣N的余弦值等于．20、【答案】（I）（II）点Q的轨迹方程为10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）【解析】（I）∵椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．∴c=1，2a=PF1+PF2==2，即a=∴椭圆的离心率e===…4分（II）由（I）知，椭圆C的方程为，设点Q的坐标为（x，y）（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q 的坐标为（0，2﹣）（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），则，，又|AQ|2=（1+k2）x2，∴，即=…①将y=kx+2代入中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0…②由△=（8k）2﹣24（2k2+1）＞0，得k2＞由②知x1+x2=，x1x2=，代入①中化简得x2=…③因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=，代入③中并化简得10（y﹣2）2﹣3x2=18由③及k2＞可知0＜x＜，即x∈（﹣，0）∪（0，）由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣1≤y≤1，又由10（y﹣2）2﹣3x2=18得（y﹣2）2∈[，）且﹣1≤y≤1，则y∈（，2﹣）所以，点Q的轨迹方程为10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣）…13分21、【答案】（I）f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增（II）1（III）（﹣1﹣ln2，+∞）【解析】（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，∴，∴（2x1+2）（2x2+2）=﹣1．∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴=1，当且仅当﹣（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立．∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值为1．（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为，即．当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为，即．函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是，由①及x1＜0＜x2可得﹣1＜x1＜0，由①②得=．∵函数，y=﹣ln（2x1+2）在区间（﹣1，0）上单调递减，∴a（x1）=在（﹣1，0）上单调递减，且x1→﹣1时，ln（2x1+2）→﹣∞，即﹣ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．x1→0，a（x1）→﹣1﹣ln2．∴a的取值范围是（﹣1﹣ln2，+∞）．。

2013年四川省高考数学试卷(理科)及答案(word版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试【四川卷】数学【理工类】本试题卷分第Ⅰ卷【选择题】和第Ⅱ卷【非选择题】.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回.第Ⅰ卷【选择题共50分】注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1、设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =【】【A 】{2}- 【B 】{2} 【C 】{2,2}- 【D 】∅2、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是【】【A 】A 【B 】B 【C 】C 【D 】D3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是【】4、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则【】【A 】:,2p x A x B ⌝∀∈∉ 【B 】:,2p x A x B ⌝∀∉∉ 【C 】:,2p x A x B ⌝∃∉∈ 【D 】:,2p x A x B ⌝∃∈∉5、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是【】【A 】2,3π-【B 】2,6π-【C 】4,6π-【D 】4,3π6、抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是【】【A 】12 【B】2【C 】1 【D7、函数331x x y =-的图象大致是【】8、从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是【】【A 】9 【B 】10 【C 】18 【D 】20 9、节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是【】【A 】14 【B 】12 【C 】34 【D 】7810、设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数】.若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使00(())f f y y =，则a 的取值范围是【】【A 】[1,]e 【B 】1[1,1]e -- 【C 】[1,1]e + 【D 】1[1,1]e e --+第二部分【非选择题共100分】注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11、二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________.【用数字作答】 12、在平行四边形A B C D 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=____________.13、设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是____________.14、已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，2()4f x x x =-.那么，不等式(2)5f x +<的解集是____________.15、设12,,,n P P P ⋅⋅⋅为平面α内的n 个点.在平面α内的所有点中，若点P 到点12,,,n P P P ⋅⋅⋅的距离之和最小，则称点P 为点12,,,n P P P ⋅⋅⋅的一个“中位点”.例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点.现有下列命题：①若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是_______.【写出所有真命题的序号】三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16、(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中，138a a +=，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.17、(本小题满分12分)在ABC∆中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，且22c o s c o s si n ()s i n co s ()2A BB A B B AC ---++ 35=-.【Ⅰ】求cos A 的值；【Ⅱ】若a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影.18、(本小题满分12分) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生.【Ⅰ】分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =；【Ⅱ】甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表【部分】乙的频数统计表【部分】当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率【用分数表示】，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；【Ⅲ】将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.19、(本小题满分12分)如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 的中点.【Ⅰ】在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；【Ⅱ】设【Ⅰ】中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --的余弦值.20、(本小题满分13分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，且椭圆C 经过点41(,)33P .【Ⅰ】求椭圆C 的离心率；1C【Ⅱ】设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程.21、(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数.设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <. 【Ⅰ】指出函数()f x 的单调区间；【Ⅱ】若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值；【Ⅲ】若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围.。

2013年高考真题——数学理(四川卷)word版解析.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试四川卷理数第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合{|20}A x x=+=，集合2{|40}B x x=-=，则A B=（）（A）{2}-（B）{2}（C）{2,2}-（D）∅【答案】A．【解析】∵{2}A=-，{2,2}B=-，∴A∩B = {-2}，选A．2．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（）（A）A（B）B（C）C（D）D【答案】B．【解析】若z x yi=+（0,0x y<>），则z x yi=-，选B．3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）【答案】D．【解析】由俯视图可排除A 、B，由正视图可排除C，选D．4．设x Z∈，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题:,2p x A x B∀∈∈，则（）（A）:,2p x A x B⌝∃∈∉（B）:,2p x A x B⌝∀∉∉（C）:,2p x A x B⌝∃∉∈（D）:,2p x A x B⌝∃∈∈【答案】D．yxDBAOC【解析】本题考查命题的否定，将∀改为∃，将2x B ∈改为2x B ∉，选D ． 5．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）（A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π【答案】A ．【解析】由图可知，115212122T πππ=-=，2,2T T ππω===，又点5(,2)12π在图像上，则5262k ππϕπ=++，又22ππϕ-<<，则3ϕπ=-，选A ．6．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（）（A ）12 （B 3 （C ）1 （D 3【答案】B ．【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)，则(1,0)30x y ±=的距离2||3(3103)d ±==+-B ． 7．函数331x x y =-的图象大致是（）【答案】C ．【解析】函数的定义域为{|0}x x ≠，排除A ；当0x <时，3031xx y =>-，排除B ； 11π125π122-2O yxyxy xy x。

13年四川省高考数学试卷理科及答案

2013年四川高考理科数学试卷及答案

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上．在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题共50分)注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，理1)设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝()．A．{－2} B．{2}C．{－2,2} D．∅答案：A解析：由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}，∴A∩B＝{－2}．故选A．2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()．A．A B．BC．C D．D答案：B3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()．答案：D解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D．4．(2013四川，理4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()．A．⌝p：∀x∈A,2x∉BB．⌝p：∀x∉A,2x∉B答案：D5．(2013四川，理5)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，π3-B ．2，π6- C ．4，π6- D ．4，π3答案：A解析：由图象可得，35ππ3π41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， ∴T ＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点5π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)中得，5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得，φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又∵φ∈ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则取k ＝0，∴φ＝π3-.故选A ．6．(2013四川，理6)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－23y ＝1的渐近线的距离是( )．A ．12B．2 C ．1 D答案：B解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y =，即x －y ＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离|0|22d ==. 故选B ．7．(2013四川，理7)函数331x x y =-的图象大致是( )．答案：C解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A ；取x ＝－1，y ＝1113--＝3＞0，故再排除B ；当x →＋∞时，3x －1远远大于x 3的值且都为正，故3x →0且大于0，故排除D ，故选C ．8．(2013四川，理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )．A ．9B ．10C ．18D ．20 答案：C解析：记基本事件为(a ，b )，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lg a －lg b ＝lga b ，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lg a b的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)，故选C ．9．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )．A ．14 B ．12 C ．34 D ．78答案：C解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则由题意可得，0≤x ≤4,0≤y ≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x ，y )||x －y |≤2}，由图示得，该事件概率1643164S P S -===阴影正方形.10．(2013四川，理10)设函数f (x )a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若曲线y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( )．A ．[1，e]B ．[e －1－1,1]C ．[1，e ＋1]D ．[e －1－1，e ＋1] 答案：A解析：由题意可得，y 0＝sin x 0∈[－1,1]，而由f (x )可知y 0∈[0,1]，当a ＝0时，f (x )∴y 0∈[0,1]时，f (y 0)∈[1．∴f (f (y 0)) 1.∴不存在y 0∈[0,1]使f (f (y 0))＝y 0成立，故B ，D 错；当a ＝e ＋1时，f (x )∈[0,1]时，只有y ＝1时f (x )才有意义，而f (1)＝0，∴f (f (1))＝f (0)，显然无意义，故C 错．故选A ．第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013四川，理11)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是__________．(用数字作答)答案：10解析：由二项式展开系数可得，x 2y 3的系数为35C ＝25C ＝10.12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＋AD ＝λAO ，则λ＝__________.答案：2解析：如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＋AD ＝AC ＝2AO ，∴λ＝2.13．(2013四川，理13)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是__________．解析：∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α.又∵α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos α＝12-.∴sin α=.∴sin 2α＝2-cos 2α＝2cos 2α－1＝12-.∴tan 2α＝sin2cos2αα14．(2013四川，理14)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是__________．答案：(－7,3)解析：当x ≥0时，令x 2－4x ＜5，解得，0≤x ＜5.又因为f (x )为定义域为R 的偶函数，则不等式f (x ＋2)＜5等价于－5＜x ＋2＜5，即－7＜x ＜3；故解集为(－7,3)．15．(2013四川，理15)设P1，P2，…，P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，P n的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，P n的一个“中位点”，例如，线段AB 上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)答案：①④解析：由“中位点”可知，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，故①正确；对于②假设在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如图所示，点P为斜边AB中点，设腰长为2，则|P A|＋|PB|＋|PC|＝32|AB|＝C为“中位点”，则|CB|＋|CA|＝4＜对于③，若B，C三等分AD，若设|AB|＝|BC|＝|CD|＝1，则|BA|＋|BC|＋|BD|＝4＝|CA|＋|CB|＋|CD|，故③错；对于④，在梯形ABCD中，对角线AC与BD的交点为O，在梯形ABCD内任取不同于点O的一点M，则在△MAC中，|MA|＋|MC|＞|AC|＝|OA|＋|OC|，同理在△MBD中，|MB|＋|MD|＞|BD|＝|OB|＋|OD|，则得，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＞|OA|＋|OB|＋|OC|＋|OD|，故O为梯形内唯一中位点是正确的．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013四川，理16)(本小题满分12分)在等差数列{a n}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项、公差及前n项和．解：设该数列公差为d，前n项和为S n.由已知，可得2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)．所以，a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，解得a1＝4，d＝0，或a1＝1，d＝3，即数列{a n}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n项和S n＝4n或S n＝232n n.17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos 2A B-cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-， (1)求cos A 的值；(2)若a =b ＝5，求向量BA 在BC 方向上的投影．解：(1)由22cos 2A B -cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝35-，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝35-. 则cos(A －B ＋B )＝35-，即cos A ＝35-.(2)由cos A ＝35-，0＜A ＜π，得sin A ＝45，由正弦定理，有sin sin a bA B =，所以，sin B ＝sin 2b A a =由题知a ＞b ，则A ＞B ，故π4B =.根据余弦定理，有2＝52＋c 2－2×5c ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA |cos B18．(2013四川，理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)当n＝2 1001,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．解：(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝12；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝13；当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝16.所以，输出y的值为1的概率为12，输出y的值为2的概率为13，输出y的值为3的概率为16.(2)当n＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝033128C3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P(ξ＝1)＝1213124C339⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P(ξ＝2)＝2123122C339⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P(ξ＝3)＝3033121C3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故ξ的分布列为所以，Eξ＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.即ξ的数学期望为1.19．(2013四川，理19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC．由已知，AB＝AC，D是BC的中点，所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD．因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l⊥平面ADD1A1.(2)解法一：连接A1P，过A作AE⊥A1P于E，过E作EF⊥A1M于F，连接AF.由(1)知，MN⊥平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面A1MN.所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE.所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF.故∠AFE为二面角A－A1M－N的平面角(设为θ)．设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.又P为AD的中点，所以M为AB中点，且AP＝12，AM＝1，所以，在Rt△AA1P中，A1P Rt△A1AM中，A1M.从而11AA AP AE A P ⋅==，11AA AM AF A M ⋅==.所以sin θ＝AE AF =所以cos θ==故二面角A －A 1M －N的余弦值为5. 解法二：设A 1A ＝1.如图，过A 1作A 1E 平行于B 1C 1，以A 1为坐标原点，分别以1A E ，11A D ，1A A 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点A 1重合)．则A 1(0,0,0)，A (0,0,1)．因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点．故M 1,12⎫⎪⎪⎝⎭，N 1,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以1AM＝1,12⎫⎪⎪⎝⎭，1A A ＝(0,0,1)，NM ＝0,0)．设平面AA 1M 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则1111,,A M A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即11110,0,A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n故有1111111,,,10,2,,0,0,10,x y z x y z ⎧⎫()⋅=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪()⋅()=⎩从而111110,20.x y z z ++=⎪=⎩ 取x 1＝1，则y 1＝所以n 1＝(1，，0)．设平面A 1MN 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则212,,A M NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即2120,0,A M NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n故有2222221,,,10,2,,0,x y z x y z ⎧⎫()⋅=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪()=⎩从而222210,220.x y z ++== 取y 2＝2，则z 2＝－1，所以n 2＝(0,2，－1)．设二面角A －A 1M －N 的平面角为θ，又θ为锐角，则cos θ＝1212||||⋅⋅n n n n5=故二面角A －A 1M －N的余弦值为5.20．(2013四川，理20)(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P 41,33⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．解：(1)由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|=所以a =又由已知，c ＝1.所以椭圆C的离心率2c e a ===. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1.设点Q 的坐标为(x ，y )．(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为0,2⎛ ⎝⎭.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 12，|AN |2＝(1＋k 2)x 22. 又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2. 由222211||||||AQ AM AN =+，得 22222212211111k x k x k x =+(+)(+)(+)，即212122222212122211x x x x x x x x x (+)-=+=.① 将y ＝kx ＋2代入22x ＋y 2＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6＞0，得k 2＞32. 由②可知，x 1＋x 2＝2821k k -+，x 1x 2＝2621k +，代入①中并化简，得2218103x k =-.③ 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以2y k x-=，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18. 由③及k 2＞32，可知0＜x 2＜32，即x∈2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∪0,2⎛ ⎝⎭.又0,25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭满足10(y －2)2－3x 2＝18，故x∈22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内，所以－1≤y ≤1.又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈99,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭且－1≤y ≤1，则y∈1,225⎛- ⎝⎦. 所以，点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x∈,22⎛- ⎝⎭，y∈1,225⎛- ⎝⎦.21．(2013四川，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝22,0,ln ,0,x x a x x x ⎧++<⎨>⎩其中a 是实数．设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2.(1)指出函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2＜0，求x 2－x 1的最小值；(3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)，故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1.当x ＜0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2.因为x 1＜x 2＜0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1.所以2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即132x =-且212x =-时等号成立．所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.(3)当x 1＜x 2＜0或x 2＞x 1＞0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2.当x 1＜0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 12＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 12＋a . 当x 2＞0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝21x (x －x 2)，即y ＝21x·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是 12221122,ln 1.x xx x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①②由①及x 1＜0＜x 2知，－1＜x 1＜0.由①②得，a ＝x 12＋11ln 22x +－1＝x 12－ln(2x 1＋2)－1. 设h (x 1)＝x 12－ln(2x 1＋2)－1(－1＜x 1＜0)，则h ′(x 1)＝2x 1－111x +＜0. 所以，h (x 1)(－1＜x 1＜0)是减函数．则h (x 1)＞h (0)＝－ln 2－1，所以a ＞－ln 2－1.又当x 1∈(－1,0)且趋近于－1时，h (x 1)无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．。

2013年四川高考理科数学试卷及答案

四川卷第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，理1)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝( )．A ．{－2}B ．{2}C ．{－2,2}D ．∅2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )．A ．AB ．BC ．CD ．D3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )．．4．(2013四川，理4)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )．A ．⌝p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉B 5．(2013四川，理5)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，π3-B ．2，π6- C ．4，π6- D ．4，π36．(2013四川，理6)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－23y ＝1的渐近线的距离是( )．A ．12BC ．1 D7．(2013四川，理7)函数331x x y =-的图象大致是( )．．8．(2013四川，理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )．A ．9B ．10C ．18D ．209．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )．A ．14 B ．12 C ．34 D ．7810．(2013四川，理10)设函数f (x )a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若曲线y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( )．A ．[1，e]B ．[e －1－1,1]C ．[1，e ＋1]D ．[e －1－1，e ＋1]第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013四川，理11)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是__________．(用数字作答)12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＋AD＝λAO ，则λ＝__________.13．(2013四川，理13)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是__________．14．(2013四川，理14)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是__________．15．(2013四川，理15)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”，例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点，现有下列命题：①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号) ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013四川，理16)(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos 2A B-cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-， (1)求cos A 的值；(2)若a =b ＝5，求向量BA 在BC方向上的投影．18．(2013四川，理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．当n ＝2 1001,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．19．(2013四川，理19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 的中点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1； (2)设(1)中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角A －A 1M －N 的余弦值．20．(2013四川，理20)(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P 41,33⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．21．(2013四川，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝22,0,ln ,0,x x a x x x ⎧++<⎨>⎩其中a 是实数．设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2.(1)指出函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2＜0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．．。

2013年高考数学四川理(word版含答案)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）1. 设集合}02|{=+=x x A ，集合}04|{2=-=x x B ，则AB =（）．（A ）}2{- (B){ 2 } (C) {-2，2} （D ）φ2. 如图在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（）．（A ） A （B ） B (C) C （D ） D3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）．4. 设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题:p A x ∈∀，B x ∈2，则（）．（A ）B x A x p ∉∈∀⌝2,: （B ）B x A x p ∉∉∀⌝2:，(C) B x A x p ∈∉∀⌝2:，（D ）B x A x p ∉∈∀⌝2:，5. 函数()2sin()(0)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<，的部分图像如图所示，则ωϕ，的值分别是（）．（A ） 2，3-π （B ） 2，6-π (C) 4，6-π（D ）4，3π俯视图6. 抛物线x y 42=的焦点到双曲线1322=-y x 的渐近线的距离是（）．（A ）21 （B ）23 (C)1 （D ）37. 函数133-=x x y 的图像大致是（）．8. 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到ba lg lg -的不同值的个数是（）．（A ）9 （B ）10 (C)18 （D ）209. 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）．（A ）41 （B ）21 (C) 43 （D ）8710. 设函数()(f x a =∈R ，e 为自然对数的底数）.若曲线x y sin =上存在点)(00y x ，使得00))((y y f f =，则a 的取值范围是（）．（A ）]e ,1[ （B ）]11e[1，--(C) [1e 1+，] （D ）[1e 1-e 1-+，]11. 二项式5)(y x +的展开式中，含32y x 的项的系数是____________.（用数字作答）12. 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ,λ=+,则=λ___________.13. 设），（，ππααα2sin 2sin ∈-=，则α2tan 的值是______________.14. 已知)(x f 的定义域为R 的偶函数，当0≥x 时，x x x f 4)(2-=，那么，不等式5)2(<+x f 的解集是___________.15. 设12n P P P ⋯，，，为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点n P P P ，，，⋯⋯21的距离之和最小，则称点P 为点12n P P P ⋯，，，的一个“中位点”.例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点.现有下列命题：①若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是_______________________________.（写出所有的真命题的序号）16. 在等差数列}{n a 中，831=+a a ，且4a 是2a 和9a 的等比中项，求数列｛n a ｝的首项、公差及前n 项和17.在ABC∆中，角,,A B C的对边分别是cb a ，，，且B B A B B A s i n )s i n (c o s 22c o s 2--- 53)cos(-=++C A .（1）求A cos 的值；（2）若24=a ，5=b ，求向量在方向上的投影.18. 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生.（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率)321(，，=iP i ；（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为()123i i =，，的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。

2013年高考试题四川卷(理科数学)试题及每个题的详细解答

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（四川卷）第Ⅰ卷一、选择题1．设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B等于()A．{－2} B．{2} C．{－2,2} D．∅答案 A解析A＝{x|x＋2＝0}＝{－2}，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，∴A∩B＝{－2}∩{－2,2}＝{－2}，选A.2．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点()A．A B．BC．C D．D答案 B解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示z.选B. 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()答案 D解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.4．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则() A．綈p：∀x∈A,2x∈B B．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x∉A,2x∈B D．綈p：∃x∈A,2x∉B答案 D解析命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D.5．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32 C ．1 D.3 答案 B解析抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，∴所求距离为|3±0|(3)2＋(±1)2＝32.选B. 7．函数y ＝x 23x －1的图象大致是( )答案 B解析对于函数y ＝x 23x －1定义域为{x ∈R ，且x ≠0}去掉A ，当x <0时，3x －1<0，x 2>0，∴y <0，去掉C 、D ，选B.8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．20答案 C解析由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18，选C. 9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78 答案 C解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X 、Y ，X 、Y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤X ≤40≤Y ≤4|X －Y |≤2，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|X －Y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.10．设函数f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若曲线y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( ) A ．[1，e] B ．[e －1－1,1]C ．[1，e ＋1]D ．[e －1－1，e ＋1]答案 A解析由于f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R )在其定义域上为单调递增函数，所以其反函数f －1(x )存在，由于y 0∈[－1,1]，且f (f (y 0))＝y 0，∴f －1(f (f (y 0)))＝f －1(y 0)，即f (y 0)＝f －1(y 0)，∴y ＝f (x )与y ＝f－1(x )的交点在y ＝x 上．即e x ＋x －a ＝x 在x ∈[－1,1]上有解，即e x ＋x －a ＝x 在[0,1]上有解．∴a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0,1]，a ′＝e x －2x ＋1，当0<x <1时，a ′＝e x －2x ＋1>e 0－2×1＋1＝0，∴a ＝e x ＋x －x 2在[0,1]上递增，当x ＝0时，a 最小＝1；当x ＝1时，a 最大＝e ，故a 的取值范围是[1，e]，选A.第二卷二、填空题11．二项式(x ＋y )3的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答) 答案 10解析 T r ＋1＝C r 5x5－r y r(r ＝0,1,2,3,4,5)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－r ＝2r ＝3，∴含x 2y 3的系数为C 35＝5×4×33×2×1＝10.12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 答案 2解析由于ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.13．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．答案3解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.14．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 {x |－7<x <3}解析令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋4x <5，得－5<x <0，即f (x )<5的解为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．15．设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题：①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①④解析 ①正确，因为C 点到A 、B 的距离之和小于AB 上其它点到A 、B 的距离之和；②不正确，因为直角三角形斜边上的点到三个顶点的距离是可变的；③不正确，不妨认为B 、C在线段AD 上，则线段BC 上的任一点到A 、B 、C 、D 距离之和均最小；④正确，每条对角线上的点到其两端点的距离之和最小，所以交点到梯形四个顶点的距离之和最小．三、解答题16．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．解设该数列公差为d ，前n 项和为S n ，由已知，可得 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )．所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3. 所以，数列{a n }的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4，根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.18．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)当n ＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大； (3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．解 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫233＝827， P (ξ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫232＝49， P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫231＝29， P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫230＝127，故ξ的分布列为所以，E (ξ)＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.即ξ的数学期望为1.19．如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 的中点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角AA 1MN 的余弦值．解(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC . 由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD . 因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l . 又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交，所以直线l ⊥平面ADD 1A 1.(2)方法一连接A 1P ，过A 作AE ⊥A 1P 于E ，过E 作EF ⊥A 1M 于F ，连接AF . 由(1)知，MN ⊥平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面A 1MN . 所以AE ⊥平面A 1MN ，则A 1M ⊥AE . 所以A 1M ⊥平面AEF ，则A 1M ⊥AF .故∠AFE 为二面角AA 1MN 的平面角(设为θ)．设AA 1＝1，则由AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，有∠BAD ＝60°，AB ＝2，AD ＝1. 又P 为AD 的中点，所以M 为AB 中点，且AP ＝12，AM ＝1，所以，在Rt △AA 1P 中，A 1P ＝52；在Rt △A 1AM 中，A 1M ＝ 2.从而AE ＝AA 1·AP A 1P ＝15，AF ＝AA 1·AM A 1M ＝12，所以sin θ＝AE AF ＝25.所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫252＝155. 故二面角AA 1MN 的余弦值为155.方法二设A 1A ＝1.如图，过A 1作A 1E 平行于B 1C 1，以A 1为坐标原点，分别以A 1E →，A 1D 1→，A 1A →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点A 1重合)．则A 1(0,0,0)，A (0,0,1)．因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点，故M ⎝⎛⎭⎫32，12，1，N ⎝⎛⎭⎫－32，12，1，所以A 1M →＝⎝⎛⎭⎫32，12，1，A 1A →＝(0,0,1)，NM →＝(3，0,0)．设平面AA 1M 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥A 1M →，n 1⊥A 1A →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1M →＝0，n 1·A 1A →＝0，故有⎩⎪⎨⎪⎧ (x 1，y 1，z 1)·⎝⎛⎭⎫32，12，1＝0，(x 1，y 1，z 1)·(0，0，1)＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧32x 1＋12y 1＋z 1＝0，z 1＝0.取x 1＝1，则y 1＝－3，所以n 1＝(1，－3，0)．设平面A 1MN 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2⊥A 1M →，n 2⊥NM →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1M →＝0，n 2·NM →＝0，故有⎩⎪⎨⎪⎧(x 2，y 2，z 2)·⎝⎛⎭⎫32，12，1＝0，(x 2，y 2，z 2)·(3，0，0)＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧32x 2＋12y 2＋z 2＝0，3x 2＝0.取y 2＝2，则z 2＝－1，所以n 2＝(0,2，－1)．设二面角AA 1MN 的平面角为θ，又θ为锐角，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1，－3，0)·(0，2，－1)2·5＝155.故二面角AA 1MN 的余弦值为155. 20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫43，13.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，求点Q 的轨迹方程．解 (1)由椭圆定义知， 2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝2 2. 所以a ＝ 2.又由已知，c ＝1. 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22.(2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设点Q 的坐标为(x ，y )，①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，2－355.②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 21，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2. 由2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得 2(1＋k 2)x 2＝1(1＋k 2)x 21＋1(1＋k 2)x 22，即 2x 2＝1x 21＋1x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 21x 22.* 将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.**由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6>0，得k 2>32. 由**可知，x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1，x 1x 2＝62k 2＋1，代入*中并化简，得x 2＝1810k 2－3.*** 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以k ＝y －2x，代入***中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18. 由***及k 2>32，可知0<x 2<32，即x ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62. 又⎝⎛⎭⎫0，2－355满足10(y －2)2－3x 2＝18，故x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62.由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内，所以－1≤y ≤1，又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈⎣⎡⎭⎫95，94且－1≤y ≤1，则y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355. 所以，点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62，y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355. 21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x <0，ln x ，x >0，其中a 是实数，设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1<x 2.(1)指出函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值；(3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)，故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1.当x <0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2，因为x 1<x 2<0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2<0,2x 2＋2>0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－(2x 1＋2)](2x 2＋2)＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立．所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.(3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1<0<x 2.当x 1<0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 21＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a .当x 2>0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2， ①ln x 2－1＝－x 21＋a ， ②由①及x 1<0<x 2知，0<1x 2<2. 由①②得，a ＝ln x 2＋⎝⎛⎭⎫12x 2－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2－22－1. 令t ＝1x 2，则0<t <2，且a ＝14t 2－t －ln t . 设h (t )＝14t 2－t －ln t (0<t <2) 由h ′(t )＝12t －1－1t ＝(t －1)2－32t <0，所以h (t )(0<t <2)为减函数，则h (t )>h (2)＝－ln 2－1，a >－ln 2－1.而当t ∈(0,2)且趋近于0时，h (t )无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)，故当函数f (x )的图象在点A 、B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．。

2013年四川省高考数学试卷(理科)

高考注意事项1．进入考场时携带的物品。

考生进入考场，只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。

严禁携带手机、无线发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正带、助听器、文具盒和其他非考试用品。

考场内不得自行传递文具等物品。

由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备，所以提醒考生应考时尽量不要佩戴金属饰品，以免影响入场时间。

2．准确填写、填涂和核对个人信息。

考生在领到答题卡和试卷后，在规定时间内、规定位置处填写姓名、准考证号。

填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清的答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规的，查实后按照有关规定严肃处理。

监考员贴好条形码后，考生必须核对所贴条形码与自己的姓名、准考证号是否一致，如发现不一致，立即报告监考员要求更正。

3．考场面向考生正前方的墙壁上方悬挂时钟，为考生提供时间参考。

考场时钟的时间指示不作为考试时间信号，考试时间一律以考点统一发出的铃声信号为准。

2013年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本答题共有10小题,每小题5分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x+2=0},集合B={x|x2﹣4=0},则A∩B=（）A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2,2}D．∅2．（5分）如图,在复平面内,点A表示复数z的共轭复数,则复数z对应的点是（）A．A B．B C．C D．D3．（5分）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．4．（5分）设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B,则（）A．￢p：∀x∈A,2x∉B B．￢p：∀x∉A,2x∉B C．￢p：∃x∉A,2x∈B D．￢p：∃x∈A,2x∉B5．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0,﹣＜φ＜）的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是（）A． B． C． D．6．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是（）A．B．C．1 D．7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）A．9 B．10 C．18 D．209．（5分）节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）设函数f（x）=（a∈R,e为自然对数的底数）,若曲线y=sinx 上存在点（x0,y0）使得f（f（y0））=y0,则a的取值范围是（）A．[1,e]B．[e﹣1﹣1,1]C．[1,e+1]D．[e﹣1﹣1,e+1]二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分．11．（5分）二项式（x+y）5的展开式中,含x2y3的项的系数是（用数字作答）．12．（5分）在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=．13．（5分）设sin2α=﹣sinα,α∈（,π）,则tan2α的值是．14．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f（x）=x2﹣4x,那么,不等式f（x+2）＜5的解集是．15．（5分）设P1,P2,…P n为平面α内的n个点,在平面α内的所有点中,若点P到点P1,P2,…P n的距离之和最小,则称点P为P1,P2,…P n的一个“中位点”,例如,线段AB 上的任意点都是端点A,B的中位点,现有下列命题：①若三个点A、B、C共线,C在线段AB上,则C是A,B,C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A、B、C、D共线,则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）16．（12分）在等差数列{a n}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{a n}的首项,公差及前n项和．17．（12分）在△ABC中,2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（1）求cosA的值；（2）若a=4,b=5,求在方向上的投影．18．（12分）某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p i（i=1,2,3）；（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编程写出程序重复运行n次后,统计记录输出y的值为i（i=1,2,3）的频数,以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计图（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计图（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117 (21001051696353)当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i （i=1,2,3）的频率（用分数表示）,并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．19．（12分）如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点．（Ⅰ）在平面ABC内,试做出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．20．（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1,0）,F2（1,0）,且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率：（Ⅱ）设过点A（0,2）的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且,求点Q的轨迹方程．21．（14分）已知函数,其中a是实数,设A（x1,f（x1））,B（x2,f（x2））为该函数图象上的点,且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2＜0,求x2﹣x1的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围．2013年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本答题共有10小题,每小题5分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x+2=0},集合B={x|x2﹣4=0},则A∩B=（）A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2,2}D．∅【分析】分别求出两集合中方程的解,确定出A与B,找出A与B的公共元素即可求出交集．【解答】解：由A中的方程x+2=0,解得x=﹣2,即A={﹣2}；由B中的方程x2﹣4=0,解得x=2或﹣2,即B={﹣2,2},则A∩B={﹣2}．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）如图,在复平面内,点A表示复数z的共轭复数,则复数z对应的点是（）A．A B．B C．C D．D【分析】直接利用共轭复数的定义,找出点A表示复数z的共轭复数的点即可．【解答】解：两个复数是共轭复数,两个复数的实部相同,虚部相反,对应的点关于x轴对称．所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．故选：B．【点评】本题考查复数与共轭复数的关系,复数的几何意义,基本知识的考查．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆,再由俯视图内部只有一个虚圆,断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱,由此可排除前三个选项．【解答】解：由俯视图可知,原几何体的上底面应该是圆面,由此排除选项A和选项C．而俯视图内部只有一个虚圆,所以排除B．故选：D．【点评】本题考查了简单空间几何体的三视图,由三视图还原原几何体,首先是看俯视图,然后结合主视图和侧视图得原几何体,解答的关键是明白三种视图都是图形在与目光视线垂直面上的投影,此题是基础题．4．（5分）设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B,则（）A．￢p：∀x∈A,2x∉B B．￢p：∀x∉A,2x∉B C．￢p：∃x∉A,2x∈B D．￢p：∃x∈A,2x∉B【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题,写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题,所以设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B,则￢p：∃x∈A,2x∉B．故选：D．【点评】本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查．5．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0,﹣＜φ＜）的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是（）A． B． C． D．【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值,求出函数的周期T==π,解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2,得到+φ=+kπ（k∈Z）,取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．【解答】解：∵在同一周期内,函数在x=时取得最大值,x=时取得最小值,∴函数的周期T满足=﹣=,由此可得T==π,解得ω=2,得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2,∴2sin（2•+φ）=2,可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵,∴取k=0,得φ=﹣故选：A．【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象,求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识,属于基础题．6．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是（）A．B．C．1 D．【分析】根据抛物线的标准方程,算出抛物线的焦点F（1,0）．由双曲线标准方程,算出它的渐近线方程为y=±x,化成一般式得：,再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4,可得=1,抛物线的焦点F（1,0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3,可得a=1且b=,双曲线的渐近线方程为y=±,即y=±x,化成一般式得：．因此,抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==故选：B．【点评】本题给出抛物线方程与双曲线方程,求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离,着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题．7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的定义域,取值范围和取值符号,进行排除即可．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0},排除A．当x→﹣∞时,y→+∞,排除B,当x→+∞时,x3＜3x﹣1,此时y→0,排除D,故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的识别,根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法．8．（5分）从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）A．9 B．10 C．18 D．20【分析】因为lga﹣lgb=,所以从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga﹣lgb的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数,从1,3,5,7,9这五个数中任取2个数排列后（两数在分子和分母不同）,减去相同的数字即可得到答案．【解答】解：首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列,共有种排法,因为,,所以从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是：20﹣2=18．故选：C．【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题,解答的关键是想到把相等的数字去掉,属基础题．9．（5分）节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,由题意可得0≤x≤4,0≤y≤4,要满足条件须|x﹣y|≤2,作出其对应的平面区域,由几何概型可得答案．【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,由题意可得0≤x≤4,0≤y≤4,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒,则|x﹣y|≤2,由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比,由图可知所求的概率为：=故选：C．【点评】本题考查几何概型,涉及用一元二次方程组表示平面区域,属基础题．10．（5分）设函数f（x）=（a∈R,e为自然对数的底数）,若曲线y=sinx 上存在点（x0,y0）使得f（f（y0））=y0,则a的取值范围是（）A．[1,e]B．[e﹣1﹣1,1]C．[1,e+1]D．[e﹣1﹣1,e+1]【分析】考查题设中的条件,函数f（f（y0））的解析式不易得出,直接求最值有困难,考察四个选项,发现有两个特值区分开了四个选项,0出现在了B,D两个选项的范围中,e+1出现在了C,D两个选项所给的范围中,故可通过验证参数为0与e+1时是否符合题意判断出正确选项【解答】解：曲线y=sinx上存在点（x0,y0）使得f（f（y0））=y0,则y0∈[﹣1,1]考查四个选项,B,D两个选项中参数值都可取0,C,D两个选项中参数都可取e+1,A,B,C,D四个选项参数都可取1,由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意,即可得出正确选项当a=0时,,此是一个增函数,且函数值恒非负,故只研究y0∈[0,1]时f （f（y0））=y0是否成立由于是一个增函数,可得出f（y0）≥f（0）=1,而f（1）=＞1,故a=0不合题意,由此知B,D两个选项不正确当a=e+1时,此函数是一个增函数,=0,而f（0）没有意义,故a=e+1不合题意,故C,D两个选项不正确综上讨论知,可确定B,C,D三个选项不正确,故A选项正确故选：A．【点评】本题是一个函数综合题,解题的关键与切入点是观察出四个选项中同与不同点,判断出参数0与e+1是两个特殊值,结合排除法做题的技巧及函数的性质判断出正确选项,本题考查了转化的思想,观察探究的能力,属于考查能力的综合题,易因为找不到入手处致使无法解答失分,易错二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分．11．（5分）二项式（x+y）5的展开式中,含x2y3的项的系数是10（用数字作答）．【分析】利用二项式（x+y）5的展开式的通项公式T r=x5﹣r•y r,结合题意即可求+1得答案．【解答】解：设二项式（x+y）5的展开式的通项公式为T r,+1=x5﹣r•y r,则T r+1令r=3,则含x2y3的项的系数是=10．【点评】本题考查二项式系数的性质,着重考查二项展开式的通项公式的应用,考查分析与运算能力,属于中档题．12．（5分）在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=．【分析】依题意,+=,而=2,从而可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形,对角线AC与BD交于点O,∴+=,又O为AC的中点,∴=2,∴+=2,∵+=λ,∴λ=2．故答案为：2．【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义,属于基础题．13．（5分）设sin2α=﹣sinα,α∈（,π）,则tan2α的值是．【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简,根据sinα不为0求出cosα的值,由α的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值,进而求出tanα的值,所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后,将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα,α∈（,π）,∴cosα=﹣,sinα==,∴tanα=﹣,则tan2α===．【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式是解本题的关键．14．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f（x）=x2﹣4x,那么,不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7,3）．【分析】由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2）,则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5,代入已知表达式可表示出不等式,先解出|x+2|的范围,再求x范围即可．【解答】解：因为f（x）为偶函数,所以f（|x+2|）=f（x+2）,则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5,即|x+2|2﹣4|x+2|＜5,（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0,所以|x+2|＜5,解得﹣7＜x＜3,所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7,3）．故答案为：（﹣7,3）．【点评】本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法,借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键．15．（5分）设P1,P2,…P n为平面α内的n个点,在平面α内的所有点中,若点P到点P1,P2,…P n的距离之和最小,则称点P为P1,P2,…P n的一个“中位点”,例如,线段AB 上的任意点都是端点A,B的中位点,现有下列命题：①若三个点A、B、C共线,C在线段AB上,则C是A,B,C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A、B、C、D共线,则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是①④（写出所有真命题的序号）．【分析】对于①若三个点A、B、C共线,C在线段AB上,则线段AB上任一点都为“中位点”,C也不例外,则C是A,B,C的中位点,正确；对于②举一个反例,如边长为3,4,5的直角三角形ABC,此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5,而直角顶点到三个顶点的距离之和为7,据此进行判断即可；对于③若四个点A、B、C、D共线,则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点,从而它们的中位点存在但不唯一；④如图,在梯形ABCD中,对角线的交点O,P是任意一点,利用根据三角形两边之和大于第三边得梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．【解答】解：①若三个点A、B、C共线,若C在线段AB上,则线段AB上任一点都为“中位点”,C也不例外,则C是A,B,C的中位点,①正确；②举一个反例,如边长为3,4,5的直角三角形ABC,此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5,而直角顶点到三个顶点的距离之和为7,所以直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点,故②错误；③若四个点A、B、C、D共线,则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点,故它们的中位点存在但不唯一,故③错误；④如图,在梯形ABCD中,对角线的交点O,P是任意一点,则根据三角形两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD,所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点,故④正确．故答案为：①④．【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用、新定义的应用、三角形的性质等基础知识,考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）16．（12分）在等差数列{a n}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{a n}的首项,公差及前n项和．【分析】设该数列的公差为d,前n项和为S n,则利用a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,建立方程,即可求得数列{a n}的首项,公差；利用等差数列的前n项和公式可求和．．【解答】解：设该数列的公差为d,前n项和为S n,则∵a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,∴2a1+2d=8,（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d）解得a1=4,d=0或a1=1,d=3∴前n项和为S n=4n或S n=．【点评】本题主要考查等差数列、等比中项等基础知识,考查运算能力,考查分类与整合等数学思想,属于中档题．17．（12分）在△ABC中,2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（1）求cosA的值；（2）若a=4,b=5,求在方向上的投影．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数,求出A的余弦值,然后求sinA的值；（Ⅱ）利用,b=5,结合正弦定理,求出B的正弦函数,求出B的值,利用余弦定理求出c的大小．【解答】解：（Ⅰ）由可得,可得,即,即,（Ⅱ）由正弦定理,,所以=,由题意可知a＞b,即A＞B,所以B=,由余弦定理可知．解得c=1,c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．【点评】本题考查两角和的余弦函数,正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识,考查计算能力转化思想．18．（12分）某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p i（i=1,2,3）；（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编程写出程序重复运行n次后,统计记录输出y的值为i（i=1,2,3）的频数,以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计图（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计图（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117 (21001051696353)当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i （i=1,2,3）的频率（用分数表示）,并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．【分析】（I）变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能,由程序框图可得y值为1,2,3对应的情况,由古典概型可得；（II）由题意可得当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出的y值为1,2,3时的频率,可得答案；（III）随机变量ξ的可能取值为：0,1,2,3,分别求其概率可得分布列和期望．【解答】解：（I）变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能,当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出的y值为1,故P1==；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出的y值为2,故P2==；当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出的y值为3,故P3==；故输出的y值为1的概率为,输出的y值为2的概率为,输出的y值为3的概率为；（II）当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出的y值为i（i=1,2,3）的频率如下：输出y值为1的频率输出y值为2的频率输出y值为3的频率甲乙比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；（III）随机变量ξ的可能取值为：0,1,2,3,P（ξ=0）==,P（ξ=1）==P（ξ=2）==,P（ξ=3）==,故ξ的分布列为：ξ01 2 3P所以所求的数学期望Eξ==1【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列,涉及程序框图和数学期望的求解,属中档题．19．（12分）如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点．（Ⅰ）在平面ABC内,试做出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．【分析】（I）在平面ABC内过点P作直线l∥BC,根据线面平行的判定定理得直线l∥平面A1BC．由等腰三角形“三线合一”得到AD⊥BC,从而得到AD⊥l,结合AA1⊥l且AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线,证出直线l⊥平面ADD1A1；（II）连接A1P,过点A作AE⊥A1P于E,过E点作EF⊥A1M于F,连接AF．根据面面垂直判定定理,证出平面A1MN⊥平面A1AE,从而得到AE⊥平面A1MN,结合EF⊥A1M,由三垂线定理得AF⊥A1M,可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角．设AA1=1,分别在Rt△A1AP中和△AEF中算出AE、AF的长,在Rt△AEF中,根据三角函数的定义算出sin∠AFE的值,结合同角三角函数的平方关系算出cos∠AFE的值,从而得出二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．【解答】解：（I）在平面ABC内,过点P作直线l∥BC∵直线l⊄平面A1BC,BC⊂平面A1BC,∴直线l∥平面A1BC,∵△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,结合l∥BC得AD⊥l∵AA1⊥平面ABC,l⊂平面ABC,∴AA1⊥l∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线∴直线l⊥平面ADD1A1；（II）连接A1P,过点A作AE⊥A1P于E,过E点作EF⊥A1M于F,连接AF由（I）知MN⊥平面A1AE,结合MN⊂平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE,∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P,AE⊥A1P,∴AE⊥平面A1MN,∵EF⊥A1M,EF是AF在平面A1MN内的射影,∴AF⊥A1M,可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角设AA1=1,则由AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,可得∠BAD=60°,AB=2且AD=1又∵P为AD的中点,∴M是AB的中点,得AP=,AM=1Rt△A1AP中,A1P==；Rt△A1AM中,A1M=∴AE==,AF==∴Rt△AEF中,sin∠AFE==,可得cos∠AFE==即二面角A﹣A1M﹣N的余弦值等于．【点评】本题在直三棱柱中求证线面垂直,并求二面角的余弦值．着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质,考查了三垂线定理和面面垂直的判定与性质等知识,属于中档题．20．（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1,0）,F2（1,0）,且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率：（Ⅱ）设过点A（0,2）的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且,求点Q的轨迹方程．【分析】（I）由题设条件结合椭圆的性质直接求出a,c的值,即可得到椭圆的离心率；（II）由题设过点A（0,2）的直线l与椭圆C交于M,N两点,可设出直线的方程与椭圆的方程联立,由于两曲线交于两点,故判断式大于0且可利用根与系数的关系建立M,N两点的坐标与直线的斜率k的等量关系,然后再设出点Q的坐标,用两点M,N的坐标表示出,再综合计算即可求得点Q的轨迹方程．【解答】解：（I）∵椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1,0）,F2（1,0）,且椭圆C经过点．∴c=1,2a=PF1+PF2==2,即a=∴椭圆的离心率e===…4分（II）由（I）知,椭圆C的方程为,设点Q的坐标为（x,y）（1）当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于（0,1）、（0,﹣1）两点,此时点Q 的坐标为（0,2±）（2）当直线l与x轴不垂直时,可设其方程为y=kx+2,因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为（x1,kx1+2）,（x2,kx2+2）,则,,又|AQ|2=（1+k2）x2,∴,即=…①将y=kx+2代入中,得（2k2+1）x2+8kx+6=0…②由△=（8k）2﹣24（2k2+1）＞0,得k2＞由②知x1+x2=﹣,x1x2=,代入①中化简得x2=…③因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=,代入③中并化简得10（y﹣2）2﹣3x2=18由③及k2＞可知0＜x2＜,即x∈（﹣,0）∪（0,）由题意,Q（x,y）在椭圆C内,所以﹣1≤y≤1,又由10（y﹣2）2﹣3x2=18得（y﹣2）2∈（,）且﹣1≤y≤1,则y∈[,2﹣]综上得,点Q的轨迹方程为10（y﹣2）2﹣3x2=18,其中x∈（﹣,）,y∈[,2﹣]…13分【点评】本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识,考查推理论证能力,运算求解能力,考查数形结合、转化化归、分类与整合等数学思想,并考查思维的严谨性．本题是圆锥曲线中的常见题型,所考查的解题方式较为典型,本题运算量较大易因为运算失误造成丢分．21．（14分）已知函数,其中a是实数,设A（x1,f（x1））,B（x2,f（x2））为该函数图象上的点,且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2＜0,求x2﹣x1的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围．【分析】（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率,因为切线互相垂直,可得,即（2x1+2）（2x2+2）=﹣1．可得,再利用基本不等式的性质即可得出；（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时,∵,故不成立,∴x1＜0＜x2．分别写出切线的方程,根据两条直线重合的充要条件即可得出,再利用导数即可得出．．【解答】解：（I）当x＜0时,f（x）=（x+1）2+a,∴f（x）在（﹣∞,﹣1）上单调递减,在[﹣1,0）上单调递增；当x＞0时,f（x）=lnx,在（0,+∞）单调递增．（II）∵x1＜x2＜0,∴f（x）=x2+2x+a,∴f′（x）=2x+2,∴函数f（x）在点A,B处的切线的斜率分别为f′（x1）,f′（x2）,∵函数f（x）的图象在点A,B处的切线互相垂直,∴,∴（2x1+2）（2x2+2）=﹣1．∴2x1+2＜0,2x2+2＞0,∴=1,当且仅当﹣（2x1+2）=2x2+2=1,即,时等号成立．∴函数f（x）的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2＜0,求x2﹣x1的最小值为1．（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时,∵,故不成立,∴x1＜0＜x2．当x1＜0时,函数f（x）在点A（x1,f（x1））,处的切线方程为,即．当x2＞0时,函数f（x）在点B（x2,f（x2））处的切线方程为,即．函数f（x）的图象在点A,B处的切线重合的充要条件是,由①及x1＜0＜x2可得﹣1＜x1＜0,由①②得=．∵函数,y=﹣ln（2x1+2）在区间（﹣1,0）上单调递减,∴a（x1）=在（﹣1,0）上单调递减,且x1→﹣1时,ln（2x1+2）→﹣∞,即﹣ln（2x1+2）→+∞,也即a（x1）→+∞．x1→0,a（x1）→﹣1﹣ln2．∴a的取值范围是（﹣1﹣ln2,+∞）．【点评】本题主要考查了基本函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、基本不等式的性质、直线的位置关系等基础知识,考查了推理论证能力、运算能力、创新意识,考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．。

2013年高考理科数学四川卷试题与答案word解析版

读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。

——笛卡尔 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，理1)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝( )．A ．{－2}B ．{2}C ．{－2,2}D ．∅2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )．A ．AB ．BC ．CD ．D3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )．4．(2013四川，理4)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )． A ．⌝p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉B5．(2013四川，理5)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )． A ．2，π3-B ．2，π6-C ．4，π6-D ．4，π3 6．(2013四川，理6)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－23y ＝1的渐近线的距离是( )． A ．12 B． C ．1 D7．(2013四川，理7)函数331x x y =-的图象大致是( )．8．(2013四川，理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )．A．9 B．10 C．18 D．209．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )．A．14 B．12 C．34 D．7810．(2013四川，理10)设函数f(x)a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y＝sin x上存在点(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是( )．A．[1，e] B．[e－1－1,1]C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013四川，理11)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是__________．(用数字作答) 12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝__________.13．(2013四川，理13)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是__________．14．(2013四川，理14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是__________．15．(2013四川，理15)设P1，P2，…，P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，P n的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013四川，理16)(本小题满分12分)在等差数列{a n}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项、公差及前n项和．17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos 2A B -cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-，(1)求cos A 的值；(2)若a =b ＝5，求向量BA 在BC 方向上的投影．18．(2013四川，理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．当n＝2 100的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．19．(2013四川，理19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC ＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．20．(2013四川，理20)(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P 41,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．21．(2013四川，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝22,0,ln,0,x x a xx x⎧++<⎨>⎩其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．答案：A解析：由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}，∴A∩B＝{－2}．故选A．2．答案：B解析：复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称．3．答案：D解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D．4．答案：D5．答案：A解析：由图象可得，35ππ3π41234T⎛⎫=--=⎪⎝⎭，∴T＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点5π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得，5πsin16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，令5π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得，φ＝2kπ－π3，k∈Z，又∵φ∈ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则取k＝0，∴φ＝π3-.故选A．6．答案：B解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y=，即－y＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d==.7．答案：C解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；取x＝－1，y＝1113--＝32＞0，故再排除B；当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，故331xx-→0且大于0，故排除D，选C．8．答案：C解析：记基本事件为(a，b)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lg a －lg b ＝lg a b ，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lg a b的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)，故选C ．9．答案：C解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则由题意可得，0≤x ≤4,0≤y ≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x ，y )||x －y |≤2}，由图示得，该事件概率1643164S P S -===阴影正方形.10．答案：A解析：由题意可得，y 0＝sin x 0∈[－1,1]，而由f (x )可知y 0∈[0,1]，当a ＝0时，f (x )为增函数，∴y 0∈[0,1]时，f (y 0)∈[1．∴f (f (y 0 1.∴不存在y 0∈[0,1]使f (f (y 0))＝y 0成立，故B ，D 错；当a ＝e ＋1时，f (x )y 0∈[0,1]时，只有y 0＝1时f (x )才有意义，而f (1)＝0，∴f (f (1))＝f (0)，显然无意义，故C 错．故选A ．第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．答案：10解析：由二项式展开系数可得，x 2y 3的系数为35C ＝25C ＝10. 12．答案：2解析：如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＋AD ＝AC ＝2AO ，∴λ＝2.13．解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.又∵α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos α＝12-.∴sin α=.∴sin 2α＝cos 2α＝2cos 2α－1＝12-.∴tan 2α＝sin2cos2αα. 14．答案：(－7,3)解析：当x ≥0时，令x 2－4x ＜5，解得，0≤x ＜5.又因为f (x )为定义域为R 的偶函数，则不等式f (x ＋2)＜5等价于－5＜x ＋2＜5，即－7＜x ＜3；故解集为(－7,3)．15．答案：①④解析：由“中位点”可知，若C 在线段AB 上，则线段AB 上任一点都为“中位点”，C 也不例外，故①正确；对于②假设在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如图所示，点P 为斜边AB 中点，设腰长为2，则|PA |＋|PB |＋|PC |＝32|AB |＝C 为“中位点”，则|CB |＋|CA |＝4＜对于③，若B ，C 三等分AD ，若设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1，则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故③错；对于④，在梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 的交点为O ，在梯形ABCD 内任取不同于点O 的一点M ，则在△MAC 中，|MA |＋|MC |＞|AC |＝|OA |＋|OC |，同理在△MBD 中，|MB |＋|MD |＞|BD |＝|OB |＋|OD |，则得，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |＞|OA |＋|OB |＋|OC |＋|OD |，故O 为梯形内唯一中位点是正确的．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．解：设该数列公差为d ，前n 项和为S n .由已知，可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )．所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3. 所以，数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝232n n -. 17．解：(1)由22cos 2A B -cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝35-，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝35-. 则cos(A －B ＋B )＝35-，即cos A ＝35-. (2)由cos A ＝35-，0＜A ＜π，得sin A ＝45，由正弦定理，有sin a b A =，所以，sin B ＝sin 2b A a =. 由题知a ＞b ，则A ＞B ，故π4B =.根据余弦定理，有2＝52＋c 2－2×5c ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA |cos B . 18．解：(1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16. 所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝033128C 3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P (ξ＝1)＝1213124C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P (ξ＝2)＝2123122C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝3)＝3033121C 3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，E ξ＝0×27＋1×9＋2×9＋3×127＝1. 即ξ的数学期望为1.19．解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC ．由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD ．因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交，所以直线l ⊥平面ADD 1A 1.(2)解法一：连接A 1P ，过A 作AE ⊥A 1P 于E ，过E 作EF ⊥A 1M 于F ，连接AF .由(1)知，MN ⊥平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面A 1MN .所以AE ⊥平面A 1MN ，则A 1M ⊥AE .所以A 1M ⊥平面AEF ，则A 1M ⊥AF .故∠AFE 为二面角A －A 1M －N 的平面角(设为θ)．设AA1＝1，则由AB ＝AC ＝2AA1，∠BAC ＝120°，有∠BAD ＝60°，AB ＝2，AD ＝1.又P 为AD 的中点，所以M为AB 中点，且AP ＝12，AM ＝1，所以，在Rt △AA 1P 中，A 1PRt △A 1AM 中，A 1M. 从而11AA AP AEA P ⋅== 11AA AM AF A M ⋅==. 所以sin θ＝AE AF =所以cos θ5==.解法二：设A 1A ＝1.如图，过A 1作A 1E 平行于B 1C 1，以A 1为坐标原点，分别以1A E ，11A D ，1A A 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点A 1重合)．则A 1(0,0,0)，A (0,0,1)．因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点．故M 1,122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，N 1,122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以1AM＝1,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1A A ＝(0,0,1)，NM ＝，0,0)．设平面AA 1M 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则1111,,A M A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即11110,0,A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n故有1111111,,,10,22,,0,0,10,x y z x y z ⎧⎛⎫()⋅=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪()⋅()=⎩从而111110,20.x y z z ++=⎪=⎩ 取x 1＝1，则y 1＝所以n 1＝(1，0)．设平面A 1MN 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则212,,A M NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即2120,0,A M NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n故有2222221,,,10,2,,0,x y z x y z ⎧⎫()⋅=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪()=⎩从而222210,220.x y z ++== 取y 2＝2，则z 2＝－1，所以n 2＝(0,2，－1)．设二面角A －A 1M －N 的平面角为θ，又θ为锐角，则cos θ＝1212||||⋅⋅n n n n5=.20．解：(1)由椭圆定义知， 2a ＝|PF 1|＋|PF 2|=所以a =又由已知，c ＝1. 所以椭圆C的离心率2c e a ===. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1. 设点Q 的坐标为(x ，y )．(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为0,2⎛ ⎝⎭. (2)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 12，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2. 由222211||||||AQ AM AN =+，得 22222212211111k x k x k x =+(+)(+)(+)，即212122222212122211x x x x x x x x x (+)-=+=.① 将y ＝kx ＋2代入22x ＋y 2＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6＞0，得k 2＞32. 由②可知，x 1＋x 2＝2821k k -+，x 1x 2＝2621k +，代入①中并化简，得2218103x k =-.③ 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以2y k x-=，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18. 由③及k 2＞32，可知0＜x 2＜32，即x∈2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∪0,2⎛ ⎝⎭.又0,25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭满足10(y －2)2－3x 2＝18，故x∈22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内，所以－1≤y ≤1.又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈99,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭且－1≤y ≤1，则y∈1,22⎛- ⎝⎦. 所以，点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x∈⎛ ⎝⎭，y∈1,22⎛- ⎝⎦. 21．解：(1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)，故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1.当x ＜0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2.因为x 1＜x 2＜0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1.所以2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即132x =-且212x =-时等号成立．所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.(3)当x 1＜x 2＜0或x 2＞x 1＞0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2.当x 1＜0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 12＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y＝(2x 1＋2)x －x 12＋a .当x 2＞0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝21x (x －x 2)，即y ＝21x·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是 12221122,ln 1.x xx x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①②由①及x 1＜0＜x 2知，－1＜x 1＜0.由①②得，a ＝x 12＋11ln 22x +－1＝x 12－ln(2x 1＋2)－1. 设h (x 1)＝x 12－ln(2x 1＋2)－1(－1＜x 1＜0)，则h ′(x 1)＝2x 1－111x +＜0. 所以，h (x 1)(－1＜x 1＜0)是减函数．则h (x 1)＞h (0)＝－ln 2－1，所以a ＞－ln 2－1.又当x 1∈(－1,0)且趋近于－1时，h (x 1)无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．鱼我所欲也[ 先秦] 《孟子》鱼，我所欲也；熊掌，亦我所欲也。

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2013年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
（四川卷）第Ⅰ卷
一、选择题
1．设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B 等于( ) A ．{－2} B ．{2} C ．{－2,2} D ．∅
2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点( ) A ．A B ．B C ．C D ．D
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )
4．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．⌝p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈B D ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉B
5．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π
2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A ．2，－π3
B ．2，－π
6
C ．4，－π6
D ．4，π
3
6．抛物线y 2
＝4x 的焦点到双曲线x 2
－y 2
3
＝1的渐近线的距离是( )
A.12
B.3
2
C ．1 D. 3 7．函数y ＝x 2
3x －1
的图象大致是( )
8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．20
9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78
10．设函数f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若曲线y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( ) A ．[1，e] B ．[e －
1－1,1]
C ．[1，e ＋1]
D ．[e －
1－1，e ＋1]
第二卷
二、填空题
11．二项式(x ＋y )3的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答)
12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →
，则λ＝________. 13．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫
π2，π，则tan 2α的值是________．
14．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．
15．设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题：
①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
三、解答题
16．在等差数列{a n}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项、公差及前n项和．
17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B
2cos B －sin(A －B )sin B
＋cos(A ＋C )＝－3
5.
(1)求cos A 的值；
(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →
方向上的投影．
18．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表(部分)
当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
19．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．
(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA1MN的余弦值．
解
20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点
P ⎝⎛⎭⎫43，13.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |2＝1|AM |2
＋1
|AN |2
，求点Q 的轨迹方程．
21．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x ＋a ，x <0，
ln x ，x >0，其中a 是实数，设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函
数图象上的两点，且x 1<x 2. (1)指出函数f (x )的单调区间；
(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．。

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