初 高 中 数 学 衔 接 (教师版)
初高中英语衔接公开课教师版
英语初高中衔接公开课提前衔接的一个重要性1.学生心里与环境衔接的重要性：教学容量、检测题型；中考之后的懈怠2.教学内容衔接的重要性：生词多（高考大纲词汇2832；初中的830），大拦路虎一一定语从句很多高一学生学完后很茫然，衔接：词法一一时态一一语态一一情态动词一一句法（包括简单句、并列句以及复合句）最后引出定语从句3.学习方式转变的衔接重要性：高中考查学生运用课本知识解决问题的能力，不能死记硬背，很多学生学习很刻苦但是效果不明显4.学习习惯转变的衔接重要性：9门，晚上，每天，不死记硬背（数理化，英）流程一、英语学习指导和建议二、初高中衔接主要的语法知识点初高中衔接一句子成分与句子结构初高中衔接二英语句型和书法初高中衔接三语态与时态初高中衔接四不定式专题初高中衔接五定语从句专题三、对家长的建议一、英语学习方法指导和建议（一）良好的学习习惯指导高一新生具体的学习方法，养成良好的学习习惯，直接关系到高中三年的英语学习效果。
高一新生对一切都感到新鲜，容易接受老师的意见，有利于对他们重新塑造。
细节决定成败1.开口朗读的习惯2.预习的习惯到高中，随着课文词汇量和复杂长句的增加，如果没有有效的预习，学生根本适应不了课堂教学。
所以，我们把预习当作英语教学的一个不可忽视的重要环节，进行精心指导，规范要求。
我们要写出预习笔记，把预习时遇到的问题和难点记下来，这样便于上课听讲更具有针对性.3.记笔记的习惯高中英语内容多而复杂，听课的过程中，必须记笔记。
高中生应该学习如何根据老师的板书记录重要信息，如何归纳例句中的有用信息，如何筛选一堂课中对自己有用的信息。
记录的内容应该包含上课的重点和自己不明白的问题。
此外，我们要当天复习课堂笔记，及时消化。
4.完成作业的习惯5.写日记的习惯学生碰到的主要问题在于词汇的贫乏和句型的使用，这时大胆使用课文中刚刚学过和课外摘抄的词句。
词汇量达到一定程度后，可以使用高级词汇、复杂句子结构和关联过渡词语。
初升高数学衔接课程-- 分式运算 (教师版含解析)
第2章 分式运算【知识衔接】————初中知识回顾————(一)分式的运算规律1、加减法 同分母分式加减法：c b a c b c a ±=± 异分母分式加减法：bc bd ac c d b a ±=±2、乘法：bd ac d c b a =⋅3、除法：bc ad c d b a d c b a =⋅=÷4、乘方：n nn ba b a =)( (二)分式的基本性质1、)0(≠=m bm am b a2、)0(≠÷÷=m mb m a b a ————高中知识链接————比例的性质(1)若d c ba=则bc ad = (2)若d c ba =则d d c b b a ±=±(合比性质) (3)若d c ba =(0≠-db )则d b d bc a c a -+=-+(合分比性质) (4)若d c b a =＝…＝n m ，且0≠+++n d b 则b a n d b m c a =++++++ (等比性质) 分式求解的基本技巧1、分组通分2、拆项添项后通分3、取倒数或利用倒数关系4、换元化简5、局部代入6、整体代入7、引入参数8、运用比例性质【经典题型】初中经典题型1．若代数式4x x -有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ． x =0 B ． x =4 C ． x ≠0 D ． x ≠4【答案】D【解析】由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4，故选D ．2．化简：，结果正确的是( )A ． 1B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：原式==．故选B ．3．当x =______时，分式523x x -+的值为零． 【答案】5． 【解析】解：由题意得：x ﹣5=0且2x +3≠0，解得：x =5，故答案为：5．4．先化简，再求值： 22121x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x =22． 【答案】21x -，7． 【解析】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．试题解析：原式=()22121x x x x x x ++-⋅+=()2211x x x x x +-⋅+=()()2111x x x x x-+⋅+=21x - 当x =22=(2221-=8-1=7．高中经典题型例1：化简232||211x x x x x +-+-- 解：原式＝22|)|1()1()1(x x x -+- 当0≥x 且1≠x 时，原式＝x +1当0<x 且1-≠x 时，原式＝xx +-1)1(2 例2：化简：++++3223bab b a a a 442222223223311b a b a a b b a b ab b a a b -+-+--+-+-例3：计算2)(32222233332222-++÷---++nm m n n m m n n m m n n m m n n m m n 解：设a m n =，b nm =，则1=ab ∴原式＝2)(32223322-++÷---++b a b a b a b a b a ＝ba ab b a b a ab b a ab b a +-+----++2)(32223322＝2222232)()()(nm n m b a b a b a b a b a b a -+-=-+=+-⋅-+ 例4：计算abbc ac c b a ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律ca b a c a b a b a c a c a b a bc bc ac ab a c b ---=-----=--=+---11))(()()())((2 因此不难看出，拆项后通分更容易 ∴原式＝))(())(())((b c a c b a a b c b a c c a b a c b ---+------- ＝))(()()())(()()())(()()(b c a c a c b c a b c b c b a b c a b a b a c a -----+----------- ＝ac b c a c a b c b c a b a -=---+-+-----2111111 例5：若1=abc ，求111++++++++c ac c b bc b a ab a 解：∵1=abc ，∴bc a 1=，将式中的a 全换成bc1 ∴原式＝11111++++++++c bcc c b bc b bc bc b bc ＝11111=++++++++bc b bc bc b b bc b 例6：已知x z y x y z y x z z y x ++-=+-=-+且0≠xyz ，求分式xyzx z z y y x ))()((+++的值 解：分析：已知条件以连比的形式出现，可引进一个参数来表示这个连比，从而将分式化成整式。
【最新整理】2020初高中数学衔接教材(完整版) - 【教师版】
2020初高中数学衔接教材爱的新高一的同学们：祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初高中衔接问题”。
由于课程改革，目前我区初中是新课标，而高中也是新课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。
面对教学中将存在的问题，我们高一数学组的老师们假期里加班加点，赶制了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，希望大家将假期利用起来，一开学对这篇自学教材的学习将有相应的检测，愿大家为新学期做好准备。
现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。
而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。
黄冈中学初高中数学衔接教材含答案
黄冈中学初高中数学衔接教材{ 新课标人教 A 版 }100 页超权威超容量完整版典型试题举一反三理解记忆成功衔接{ 黄冈中学教材系列 }目录第一部分如何做好高、初中数学的衔接 (4)第一讲如何学好高中数学 (4)一高中数学与初中数学特点的变化 (4)二不良的学习状态 (5)三科学地进行学习 (5)第二部分，现有初高中数学知识存在以下“脱节” (8)第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 (9)1 绝对值： (9)2 乘法公式： (9)3 分解因式： (9)4 一元一次方程： (9)5 二元一次方程组： (10)6 不等式与不等式组 (10)第四部分分章节突破 (15)1.1 数与式的运算 (16)1. １ .1 ．绝对值 (16)1.1.2. 乘法公式 (17)1.1.3 ．二次根式 (19)1.1. ４．分式 (23)1 ． 2 分解因式 (28)1 ．十字相乘法 (28)2 ．提取公因式法与分组分解法 (29)3 ．关于 x 的二次三项式ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) 的因式分解． (30)2.1 一元二次方程 (31)2.1.1 根的判别式 (31)2 ． 2 二次函数 (44)2.2.1 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图像和性质 (44)2.2.2 二次函数的三种表示方式 (51)2.2.3 二次函数的简单应用 (55)2.3 方程与不等式 (59)2.3.1 二元二次方程组解法 (59)3 ． 1 相似形 (70)3.1.1 ．平行线分线段成比例定理 (70)3 ． 3 圆 (95)3 ． 3 ． 1 直线与圆，圆与圆的位置关系 (95)3 ． 3 ． 2 点的轨迹 (99)第五部分衔接知识点的专题强化训练 (105)专题一数与式的运算 (105)专题二因式分解 (108)1 ．公式法 (108)2 ．分组分解法 (109)3 ．十字相乘法 (109)4 ．其它因式分解的方法 (109)专题三一元二次方程根与系数的关系 (111)专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数 (114)专题五二次函数 (117)专题六二次函数的最值问题 (121)第一部分如何做好高、初中数学的衔接第一讲如何学好高中数学初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。
暑假初升高数学衔接讲义 第5讲 函数的概念及定义域(教师版)
第五讲 函数的概念及定义域一、【知识梳理】知识点一 函数的概念1、函数的概念：设,A B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：()y f x =，x A ∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，所有函数值y 的集合B 叫做函数的值域。
注：（1）定义域、值域、对应法则称函数的三要素。
两个函数相同，这三个要素必须相同，缺一不可。
（2）对应法则f ，可以是解析式，可以是图象、表格、文字描述；自变量x 只能是数。
（3）()f x 与()f a 的关系：()f x 是自变量x 的函数，()f a 表示x a =时()f x 的函数值。
2、区间与“无穷大”：设,a b 是两个实数，而且a b <，则（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[],a b ； （2）满足不等a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(),a b ；（3）满足不等式a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[)(],,,a b a b ；（4）实数集R 也可以用区间表示为(,)-∞+∞，其中“∞”读作“无穷大”。
（5）若x a ≤，可表示为],(a -∞,x a ≥ ,可表示为[),a +∞； （6）若a x <,可表示为(,)a -∞,a x > ,可表示为(,)a +∞。
知识点二 映射的概念1、映射的概念：设,A B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的一个元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →2、若:f A B →，且,a Ab B ∈∈,如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a的象，元素a 叫做元素b 的原象。
第7讲 二次函数与一元二次方程、不等式(教师版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)
第07讲二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系．2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【基础知识】一、一元二次不等式一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.二、二次函数的零点1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．四、解一元二次不等式的一般步骤1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零；2.计算对应方程的判别式；3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．五、解含参数的一元二次不等式1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．六、简单分数不等式的解法1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．七、不等式恒成立问题1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R>0，＝b2－4ac<0；2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R>0，＝b2－4ac≤0；3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0<0，≤0.【考点剖析】考点一：一元二次不等式的解法例1．(2022学年新疆喀什市普通高中高一上学期期末)解下列不等式：(1)2430x x++>；(2)294604<-+-x x.【解析】(1)因为1641340∆⨯⨯>＝－＝，所以方程2430x x ＋＋＝有两个不等实根x 1＝－1，x 2＝－3.所以原不等式的解集为{|3x x <-或1}x >-.(2)因为()036449()4∆⨯-⨯-=＝－，所以方程246x x --＋9=04有两个相等实根x 1＝x 2＝34所以原不等式的解集为{34x x ⎫≠⎬⎭.考点二：三个二次关系的应用例2．(2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试)已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是()A ．12xx ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭B ．1142xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C ．14xx ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭D ．1124xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣【答案】B【解析】由题意得24,24,0b ca a a-+=--⨯=<，即2,8b a c a =-=-，所以2820ax ax a -++<即28210x x --<，解得1142x -<<．故选B 考点三：含参数的一元二次不等式的解法例3．解关于x 的不等式2220ax x a +-+>【解析】关于x 的不等式2220ax x a +-+>可化为()()120x ax a +-+>．(1)当0a =时，()210x +>，解得{}|1x x >-．(2)当0a >，所以()210a x x a -⎛⎫+-> ⎪⎝⎭．所以方程()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两根为-1和2a a -，当21a a --<，即1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a ->}，当21a a--=，即1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-．当21a a -->，即01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或1x >-}，．(3)当0a <时，()210a x x a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．因为方程()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两根为—1和2a a -，又因为2211a a a -=->，所以21a a--<，．即不等式()210a x x a -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集是2|1a x x a -⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，综上所述：当0a <时，不等式的解集为2|1a x x a -⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭当0a =时，不等式的解集为{}1x x -，当01a <<时，不等式的解集为2|a x x a -⎧<⎨⎩或1}x >-当1a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-，当1a >时，不等式的解集为{|1x x <-或2a x a->}，考点四：简单分数不等式的解法例4．(多选)(2022学年湖南省怀化市高一上学期期末)集合201x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭也可以写成()A ．()(){}210x x x -+<B ．102x xx ⎧⎫+<⎨⎬-⎩⎭C ．{1x x <-或}2x >D ．()1,2-【答案】ABD【解析】对于集合A ，解不等式201x x -<+，即()()21010x x x ⎧-+<⎨+≠⎩，解得12x -<<，所以{}12A x x =-<<.对于A 选项，()(){}{}21012x x x x x -+<=-<<，故A 正确；对于B 选项，解不等式102x x +<-，即()()12020x x x ⎧+-<⎨-≠⎩，得12x -<<，即{}10122x xx x x ⎧⎫+<=-<<⎨⎬-⎩⎭，故B 正确；对于C 选项，与集合{}12A x x =-<<比较显然错误，故C 错误；对于D 选项，()1,2-等价于{}12x x -<<，故D 正确.故选ABD考点五：一元二次不等式恒成立问题例5．(2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中)已知关于x 的不等式2680kx kx k -++>对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是()A ．01k ≤≤B ．01k ≤<C ．0k <或1k >D ．0k ≤或1k >【答案】B【解析】当0k =时，80>恒成立，符合题意；当0k ≠时，由题意有()()2Δ6480k k k k >⎧⎪⎨=--+<⎪⎩，解得01k <<，综上，01k ≤<.故选B.【真题演练】1．(2022学年浙江省强基联盟高一下学期5月联考)不等式()()220x x +->的解集是()A ．{2}xx >∣B ．{2}xx <-∣C ．{2∣<-xx 或2}x >D ．{22}xx -<<∣【答案】D【解析】原式化为()()220x x -+<，即22x -<<，故不等式的解集为{22}xx -<<∣.故选D 2.(2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月检测)一元二次不等式22(21)90kx k x +++>对一切实数x 恒成立，则k 的取值范围是()A ．(0,1)B ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)+∞【答案】B【解析】由题，一元二次不等式22(21)90kx k x +++>对一切实数x 恒成立则()2221490k k k >⎧⎪⎨⎡⎤+-⨯<⎪⎣⎦⎩，即204510k k k >⎧⎨-+<⎩，解得1,14k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选B 3.(2022学年重庆市石柱中学校高一上学期第一次月考)已知函数()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围()A ．{}119k k ≤<B ．{}218k k ≤<C ．{}020k k <<D ．{}119k k -<<【答案】A【解析】()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴上方，①2450k k +-=时，k ＝－5或k ＝1，k ＝－5时，函数为一次函数，不满足条件；k ＝1时，y ＝3满足条件；故k ＝1；②k ≠－5且k ≠1时，函数为二次函数，则2450Δ0k k ⎧+->⎨<⎩，解得119k <<；综上，119k <.故选A.4.(多选)(2022学年江苏省盐城市大丰区新丰中学高一上学期期中)下列不等式的解集为R 的有()A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<1【答案】AC【解析】A 中21410∆=-⨯<.满足条件；B 中(240∆=-->，解集不为R ；C 中264100∆=-⨯<，满足条件；D 中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选AC5.(多选)(2022学年江苏省南京市第一中学高一上学期10月月考)对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式()()110ax x -+<的解集可能是()A ．1|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}|1x x ≠-C ．1|1x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭D ．R【答案】AB【解析】由()()110ax x -+<，分类讨论a 如下：当0a >时，11x a-<<；当0a =时，1x >-；当10a -<<时，1x a<或1x >-；当1a =-时，1x ≠-；当1a <-时，1x <-或1x a>.故选AB.6.(2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期月考)已知二次函数2y x bx c =++图象如图所示.则不等式230bx cx -+≤的解集为_________.【答案】(][),13,-∞-⋃+∞【解析】根据二次函数2y x bx c =++的图象可知，1,2-为方程20x bx c ++=的两根，故12,12b c -+=--⨯=，即1,2b c =-=-，则230bx cx -+≤即2230x x -++≤，也即2230x x --≥，()()310x x -+≥，解得3x ≥或1x ≤-.故不等式解集为(][),13,-∞-⋃+∞.7.(2020-2021学年浙江省衢州五校高一上学期11月期中联考)(1)若不等式250x bx c -+<的解集为{}13x x -<<，求b c +的值.(2)不等式2504x x -≥+的解集为A ，求集合A .【解析】(1)由题意得：－1，3就是方程250x bx c -+=的两根，∴504530b c b c ++=⎧⎨-+=⎩，则1015b c =⎧⎨=-⎩，∴5b c +=-；(2)将不等式转化为()()254040x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，∴4x <-或52x ≥，∴52A x x ⎧=≥⎨⎩或}4x <-.8.(2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期月考)求下列不等式的解集．(1)214450x x -+-≥；(2)()()231x x x x >+-+【解析】(1)214450x x -+-≥即214450x x -+≤，故()()590x x --≤，解得59x ≤≤，故214450x x -+-≥的解集为[]5,9(2)()()231x x x x >+-+即22231x x x x +>-+，即2210x x -->，即()()1210x x -+>，解得1x >或12x <-，故解集为()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【过关检测】1.(2022学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一下学期4月联考)不等式22150x x -++≤的解集为()A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭【答案】B【解析】依题意可得22150x x --≥，故()()2530x x +-≥，解得52x ≤-或3x ≥，所以不等式的解集为52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥，故选B ．2.(2022学年陕西省西安市长安区高一下学期月考)若不等式22221463x mx mx x ++<++对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是()A ．()1,3B ．(),1-∞C ．()(),13,-∞⋃+∞D ．()3,+∞【答案】A【解析】因为22334634044x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立所以22221463x mx mx x ++<++恒成立2222463x mx m x x ⇔++<++恒成立()()226230x m x m ⇔+-+->恒成立故()()2624230m m ∆=--⨯⨯-<解之得：13m <<故选A3.(2022学年广东省化州市第三中学高一下学期3月考试)已知不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b +的值为()．A ．1B ．1-C ．0D ．2-【答案】C【解析】因为不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，所以212,12b a a-=-+=-⨯，解得1,1a b =-=，所以0a b +=，故选C ．4.(2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测)若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为()A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选C5.(多选)(2022学年福建省晋江市第一中学高一上学期月考)已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是()A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>【答案】AD【解析】对于A ，由不等式的解集可知：0a >且3473412bac a⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，7b a ∴=-，12c a =，A 正确；对于B ，7120bx c ax a +=-+>，又0a >，127x ∴<，B 错误；对于C ，221270cx bx a ax ax a -+=++<，即212710x x ++<，解得：1134x -<<-，C 错误；对于D ，71260a b c a a a a ++=-+=>，D 正确.故选AD.6.(多选)(2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考)若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是()A ．0a <B ．0a b c ++>C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-⋃+∞【答案】ABD【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，所以0,1,2b ca a a<-==-，故,2b a c a =-=-，此时20a b c a ++=->，所以A 正确,B 正确；22230230230bx cx a ax ax a x x ++>⇔--+>⇔+->，解得：3x <-或1x >.所以D 正确；C 错误.故选ABD7.(2022学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期月考)若不等式230ax ax ++≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】{}012a a ≤≤【解析】当0a =时，不等式为30>满足题意；当0a ≠时，需满足2120a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得012a <≤综上可得，a 的取值范围为{}012a a ≤≤8.(2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中)若不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则不等式20cx bx a ++>的解集是________．【答案】11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】20ax bx c ++< 的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，2∴-和3是方程20ax bx c ++=的两根且0a <，0231236a b a c a⎧⎪<⎪⎪∴-=-+=⎨⎪⎪=-⨯=-⎪⎩，即06a b a c a <⎧⎪=-⎨⎪=-⎩；则20cx bx a ++>可化为260ax ax a --+>，2610x x ∴--+<，解得：12x <-或13x >，即不等式的解集为11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9.(2019-2020学年天津市红桥区高一上学期期中)求下列不等式的解集．．：(1)2280x x -->；(2)240x -≥.【解析】(1)其中2280x x --=，即()()420x x -+=，所以14x =或22x =-，故()()420x x -+>的解集为{|4x x >或}2x <-；(2)因为240x -=，解得：12x =或22x =-，故240x -≥的解集为{}|22x x -≤≤10.(2022学年北京市第五中学高一3月第一次阶段检测)请回答下列问题：(1)若关于x 的不等式()22320x x a a R -+>∈的解集为{|1x x <或}x b >，求a ，b 的值.(2)求关于x 的不等式()2325ax x ax a R -+>-Î的解集.【解析】(1)解：因为关于x 的不等式()22320x x a a R -+>∈的解集为{|1x x <或}x b >，所以1和b 为方程22320x x a -+=的两根，所以21312b b a +=⎧⎨⨯=⎩，解得21b a =⎧⎨=±⎩；(2)解：不等式()2325ax x ax a R -+>-Î，即2(3)30ax a x +-->，即(3)(1)0ax x -+>，当0a =时，原不等式解集为{|1}x x <-；当0a ≠时，方程(3)(1)0ax x -+=的根为13x a=，21x =-，∴①当0a >时，31a>-，∴原不等式的解集为3{|x x a >或1}x <-；②当30a -<<时，31a <-，∴原不等式的解集为3{|1}x x a <<-；③当3a =-时，31a =-，∴原不等式的解集为∅；④当3a <-时，31a>-，∴原不等式的解集为3{|1}x x a -<<．。
专题09 集合的概念(教师版)-2024年新高一(初升高)数学暑期衔接讲义
D：倒数等于它自身的实数为 1 与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．
故选：D．
变式 1．(2023·高一课时练习)下列各组对象不能构成集合的是( )
A．上课迟到的学生 C．所有有理数
B． 2020 年高考数学难题 D．小于 的正整数
【答案】B
【解析】根据集合中元素的三要素判断．上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；2020 年
若 a 1，则集合 a2, a, 0 {1,1, 0}不满足互异性，故舍去.
则只能为 a 1, b 0 . 则 a2019 b2020 1 . 故答案为： 1.
变式 5．(2023·高一课时练习)由 a, a, a , a2 构成的集合中，元素个数最多是______.
【答案】2
【解析】当 a 0 时， a a a a2 0 ，此时元素个数为 1；
C． 1 M
【答案】A
【解析】由题意知集合 M x | x x 1 0 {0,1} ，
D． 0 M
故 0 M ，故 A 正确，D 错误，1 M ，故 B 错误， 1 M ，故 C 错误， 故选：A
例 6．(2023·全国·高三专题练习)已知 A a 2,(a 1)2,a 2 3a 3 ，若1 A ，则实数 a 构成的集合 B 的元素
【题型归纳目录】
题型 1：集合与元素的含义 题型 2：元素与集合的关系
题型 3：集合中元素特性的简单应用 题型 4：列举法表示集合
题型 5：描述法表示集合
题型 6：集合表示的综合问题
【典例例题】
题型 1：集合与元素的含义
例 1．(2023·高一课时练习)下列语句中，正确的个数是( )
(1) 0 N ；(2) π Q ；(3)由 3、4、5、5、6 构成的集合含有 5 个元素；(4)数轴上由 1 到 1.01 间的线段的点
第15讲三角函数的概念及诱导公式(教师版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)
第15讲三角函数的概念及诱导公式【学习目标】1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义2.借助于单位圆的对称性，利用定义指导出诱导公式(π2α±，πα±的正弦，余弦，正切)3.理解同角三角函数的基本关系式：22sin sin cos 1,tan cos x x x x x+==【基础知识】一、三角函数的概念1.单位圆中三角函数的定义2.三角函数值的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．二、利用三角函数的定义求值的策略1.已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝y r ，cos α＝xr .已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．3.若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．三、同角三角函数的基本关系1.两个基本关系式2.同角三角函数的基本关系式的变形形式(1)平方关系变形sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.(2)商的变形sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.3.求三角函数值的方法(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．4．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的值的方法(1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n 次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．4.三角函数求值中常见的变形公式(1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要根据α的范围注意判断它们的符号．四、利用同角三角函数关系化简的常用方法1.化切为弦，减少函数名称，便于约分化简；2.对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负；3.对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简.五、简单的三角恒等式的证明思路1.从一边开始，证明它等于另一边；2.证明左、右两边等于同一个式子；3.逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简.六、诱导公式(1)在公式一～四中，角α是任意角．(2)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.【考点剖析】考点一：利用三角函数定义求值例1．(2022学年辽宁省大连市大连育明高级中学高一下学期期中)已知角α的终边经过点()3,4P -，则角α的正弦值为()A ．14B ．4-C ．15-D ．45-【答案】D【解析】因为角α的终边经过点(3,4)P -，则3,4x y ==-，5r ==，所以4sin 5y r α==-.故选D.考点二：确定三角函数值的符号例2．(2022学年湖北省问津联合体高一下学期5月质量检测)下列各式的符号为正的是()A ．cos3B ．5ππsin cos 36⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 2cos 2-D ．7πtan8【答案】C【解析】因为32ππ<<，所以1cos30-<<，故A 错误；因为35π223ππ<<，π026π-<-<，所以5πsin 03<，πcos 06⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以5ππsin cos 036⎛⎫-< ⎪⎝⎭，故B 错误；因为22ππ<<，所以sin 20,cos 20><，所以sin 2cos 20->，故C 正确；因为7π28ππ<<，所以7πtan 08<，故D 错误.故选C.考点三：确定角所在象限例3．(2021－2022学年北京市八一学校高一6月月考)若sin 0θ<且tan 0θ<，则角θ所在的象限是()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】sin 0θ<，则角θ在第三，四象限，tan 0θ<，则角θ在第二，四象限，所以满足sin 0θ<且tan 0θ<，角θ在第四象限.故选D考点四：给出一个角的一个三角函数值求该角的其他三角函数值例4．(2022学年海南省华侨中学高一上学期期末)已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，则下列选项正确的是()A ．()5cos 13πα-=B ．12sin 13α=C ．12tan 5α=D ．5tan 212πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭【答案】AB【解析】A 选项，由诱导公式得：()5cos πcos 13αα-=-=，A 正确；B 选项，因为22sin cos 1αα+=，且α为第二象限角，sin 0α>，所以12sin 13α==，B 正确；C 选项，sin 12tan cos 5ααα==-，C 错误；D 选项，πsin πcos 52tan π2sin 12cos 2ααααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+=== ⎪-⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，D 错误.故选AB 考点五：齐次分式求值例5.(2022学年江西省名校高一下学期期中)已知tan 4θ=，则2cos sin cos 2sin θθθθ-=+()A ．13-B ．23-C ．49-D ．29-【答案】D【解析】因为tan 4θ=，所以2cos sin 2tan 242cos 2sin 12tan 1249θθθθθθ---===-+++⨯，故选D.考点六：根据sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α的关系求值例6．(2022学年山东省德州市第一中学高一下学期6月月考)在 ABC 中，若1sin cos 5A A +=，则tan A =()A ．34B ．43C ．34-D ．43-【答案】D【解析】因为在 ABC 中，1sin cos 5A A +=，两边平方得；112sin cos 25A A +⋅=，即242sin cos 025A A ⋅=-<，所以3,24A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4912sin cos 25A A -⋅=，即7sin cos 5A A -=，解得43sin ,cos 55A A ==-，所以4tan 3A =-，故选D考点七：利用诱导公式求值例7．(2022学年河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”高一下学期期中)()()cos585tan 585sin 570︒=-︒+-︒______．【解析】由题意，原式=()()()cos 360225cos 225tan 360225sin 360210tan 225sin 210︒+︒︒-=-︒+︒+︒+︒︒+︒()()()cos 18045cos 4521tan 18045sin 18030tan 45sin 3012︒+︒-︒=-=-=︒+︒+︒+︒︒-︒-.考点八：三角函数式的化简例8．(2020-2021学年黑龙江省绥化市第一中学高一上学期期末)若角(,)2παπ∈--，则=()A ．2tan α-B ．2tan αC ．2tan α-D ．2tan α【答案】C=1cos 1cos 1cos 1cos 2cos sin ||sin |sin sin sin |αααααααααα+-+-=--=---2tan α=-.故选C 考点九：三角函数式证明例9．求证：(1)2212sin cos 1tan cos sin 1tan x x xx x x--=-+(2)2222tan sin tan sin αααα-=⋅【解析】(1)左边()()()2cos sin cos sin 1tan cos sin cos sin cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---====-+++右边.即证2212sin cos 1tan cos sin 1tan x x xx x x--=-+.(2)左边()2222222222sin 1cos sin sin sin cos sin cos cos cos αααααααααα--=-==22tan sin αα==右边.即证：2222tan sin tan sin αααα-=⋅.【真题演练】1．(2022学年辽宁省沈阳市部分学校高一下学期期中)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边经过点()sin 30,cos30o o，则cos α=()A ．12B C D ．1【答案】A【解析】由三角函数的定义可得1cos 2α==.故选A 2．(2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中)已知角α终边在第一象限，sin k α=，那么tan α的值为()A ．k B ．kC D ．【答案】C【解析】由题意，α在第一象限，则cos α=sin tan cos ααα=故选C.3.(2022学年四川省德阳市第五中学高一上学期12月月考)若4π5cos 513α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则7πsin 10α⎛⎫-=⎪⎝⎭()A ．513-B ．1213-C ．513D ．1213【答案】C【解析】7π7π4π3π4π5sin sin sin cos 101052513αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C4.(多选)(2022学年湖北省部分重点高中高一上学期期末)已知α∈R ，sin cos 2αα+=，那么tan α的可能值为()A．2+B．2-+C．2D．2-【答案】BD【解析】因为sin cos 2αα+=①，又sin 2α+cos 2α=1②，联立①②，解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或，sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为α∈R，所以tan 2α=-+2-BD5.(多选)(2022学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高一下学期期中)已知点(sin cos ,tan )P θθθ-在第一象限，则在[0,2]π内θ的取值范围是()A ．5,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】AB【解析】因为点(sin cos ,tan )P θθθ-在第一象限，所以sin cos 0tan 0θθθ->⎧⎨>⎩，即θ位于第一象限或者第三象限且，且满足sin cos θθ>，所以，当θ位于第一象限时，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos θθ>；当θ位于第三象限时，5,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos θθ>.故选AB6.(2022学年上海财经大学附属北郊高级中学高一下学期3月月考)cos3θ=-，则θ的取值范围是__．【答案】3966,22k k k Z πππθπ+≤≤+∈cos cos33θθ==-所以cos 03θ≤，则322,232k k k Z πθπππ+≤≤+∈即3966,22k k k Z πππθπ+≤≤+∈7.(2022学年广西桂林市第十九中学高一下学期期中)(1)已知()1sin 3πα-=，求()sin 3,cos 2ππαα⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值．(2)化简()()sin 2cos 3sin cos 22παπαππαα-⋅+⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】(1)由sin ()13πα-=，有sin 13α=，所以sin ()()13sin sin 3παπαα+=+=-=-；1cos sin 23παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭.(2)()()()()sin 2cos sin cos 13cos sin sin()cos 22παπαααππαααα-⋅+⋅-⋅-==-⋅-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭.8.(2022学年陕西省咸阳市武功县高一下学期月考)已知1sin cos 5αα+=.(1)求sin cos αα⋅的值(2)若2απ<<π，求()11sin cos απα+-的值.【解析】(1)21(sin cos )12sin cos 25αααα+==+，∴12sin cos 25αα=-.(2)原式=11cos sin sin cos sin cos αααααα--=，∵21249(cos sin )12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⋅-= ⎪⎝⎭，又∵,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos 0α<，sin 0α>，cos sin 0αα-<，∴7cos sin 5αα-=-，∴原式7355121225-==-.【过关检测】1.(2022学年北京市昌平区第一中学高一下学期期中)若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】sin cos 0αα⋅< ，α\是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<；当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意；综上所述：α是第二象限角.故选B.2.(2022学年安徽省皖中名校高一下学期期中)设0πα<<，1sin cos 2αα+=，则cos sin αα-=()A ．12B ．12±C．2-D．2±【答案】C【解析】因为1sin cos 2αα+=，所以()21sin cos 4αα+=，32sin cos 4αα=-，sin α与cos α异号．而已知0πα<<，所以sin 0α>，cos 0α<．因为()237cos sin 12sin cos 144αααα-=-=+=，所以取cos sin 2αα-=-．故选C.3.(2022学年北京市中国人民大学附中高一3月检测)若()sin cos 12232sin sin 2ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，则22sin sin cos 3cos αααα--=()A ．110B ．310C ．910D ．32【答案】C【解析】()sin cos cos sin 1tan 1223sin cos tan 12sin sin 2ππαααααπαααπαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，解得tan 3α=-,则222222sin sin cos 3cos sin sin cos 3cos sin cos αααααααααα----=+22tan tan 39339tan 19110ααα--+-===++.故选C.4.(多选)(2022学年福建省德化一中、漳平一中、永安一中三校协作联考高一上学期月考)以原点为圆心的单位圆上一点P 从()1,0出发，沿逆时针方向运动133π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标不可能的是()A．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B．12⎫⎪⎪⎝⎭C．12⎛ ⎝⎭D．1,2⎛ ⎝⎭【答案】ABD【解析】以原点为圆心的单位圆上一点P 从()1,0出发，沿逆时针方向运动133π弧长到达点Q ，则设运动过程中弧长对应的角为α，则133πα=，根据三角函数的定义可得1313cos ,sin 33Q ππ⎛⎫ ⎝⎭，即1,22Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故选ABD.5.(多选)(2022学年山东省德州市高一上学期数学期末)()2021sin 2ππθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()0,2θπ∈，则θ可能等于()A ．23πB ．56πC ．53πD ．116π【答案】BD【解析】因为()20212020sin sin ,sin sin sin cos 2222πππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2021sin 2ππθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得cos θθ=，所以tan θ=因为()0,2θπ∈，所以θ可能等于56π或116π，故选BD 6.(2022学年江西省景德镇一中高一下学期期中)()8cos330sin 30tan cos903π︒+-︒++︒=______．【答案】【解析】()cos(368cos330030sin 30tan )sin cos930tan 3303πππ︒+-︒++︒⎛⎫︒-︒-︒+- ⎝=⎪⎭1cos30tan23π=︒--12=--7.(2022学年辽宁省沈阳市同泽高中高一下学期4月月考)已知π3sin()34x -=，且π06x <<，则π2πsin()cos()63x x +-+的值为___________.【答案】2【解析】令πππ,363t x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则ππ2π,π623x t x t +=-+=-∵π3sin()sin 34x t -==，则cos t =()π2ππsin cos sin cos π2cos 6322x x t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=---== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.(2022学年上海财经大学附属北郊高中高一下学期月考)若22tan 2tan 1αβ=+，则222sin sin αβ-=__．【答案】1【解析】因为22tan 2tan 1αβ=+，所以22222sin 2sin cos cos cos αββαβ+=，所以2222sin 1sin 1sin 1sin αβαβ+=--，所以()()()2222sin 1sin 1sin 1sin αβαβ-=-+，所以222sin sin 1αβ-=9．(1)化简：tan 其中α为第二象限角)；(2)求证：sin cos tan 1cos 1cos ααααα⋅⋅=-+1．【解析】(1)sin sin sin cos tan ()1cos cos cos sin αααααααα-=⋅⋅=-；(2)左边222sin sin cos sin cos 11cos sin ααααααα⋅⋅====-右边.10.(2022学年北京市房山中学高一年级4月月考)已知sin α，cos α是关于x 的一元二次方程220x x m --=的两根，(1)求sin cos αα+的值；(2)求m 的值；(3)若0απ<<，求sin cos αα-的值.【解析】(1)因为sin α，cos α是关于x 的一元二次方程220x x m --=的两根，所以1sin cos 2αα+=(2)因为sin α，cos α是关于x 的一元二次方程220x x m --=的两根，所以1sin cos 2αα+=，sin cos 2m αα=-，且2(1)8()0m ∆=---≥，所以221sin cos 2sin cos 4αααα++=，所以114m -=，得34m =，满足180m ∆=+≥，所以34m =(3)由(2)可得1sin cos 2αα+=，3sin cos 08αα=-<，因为0απ<<，所以sin 0,cos 0αα><，所以2απ<<π，所以sin cos αα-=2=。
初三升高一数学衔接教学教案——初三知识汇总,高一数学提前预习(教师版教案)
第二讲 函数与方程——一元二次方程练习题
（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况 是（ ） （A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程 的实数根． （1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
第一讲 数与式
1．2 分解因式
初中升高中数学衔接
初中数学知识汇总，高一数学提前预习
第一讲 数与式
1．2 分解因式
第一讲 数与式
1．2 分解因式
第一讲 数与式
1．2 分解因式
初中升高中数学衔接
初中数学知识汇总，高一数学提前预习
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
第二讲 函数与方程
第一讲 数与式
1.1.3．二次根式第源自讲 数与式1.1.3．二次根式
第一讲 数与式
中学数学初高中过渡(衔接)的实践研究
中学数学初高中过渡(衔接)的实践研究中学数学初高中过渡(衔接)的实践研究「篇一」20XX年九月，我校开始进行中小学数学课堂教学衔接性研究，经过几个月的教学，我深刻的体会到中小学数学知识衔接的意义，以及如何衔接都有一些想法、做法。
法国著名生理学家贝尔纳说：“良好的方法能使我们更好地发挥天赋的才能，而拙劣的方法则可能妨碍才能的发挥。
”所以在这里希望与大家共同研究，共同探讨如何能使得中小学课堂教学衔接发挥最大效果。
一、问题的提出从小学进入初中，学习环境的改变，新知识的增加，教学组织和教学方式的改变引发了许多新的变化。
同时，视野的扩展，思维方式改变，使刚刚步入中学七年级门槛的学生一时难以适应，数学成绩一般会出现明显地下降。
目前中小学数学教学中出现了较为严重的脱节现象，相当一部分小学毕业生升入中学后对数学学习感到很不适应，学习兴趣减退，学习成绩不稳定。
七年级数学是中学数学的基础，要大面积地提高教学质量，必须从开始抓起。
所以搞好中小学数学教学的衔接，使中小学的数学教学具有连续性和统一性，使学生的数学知识和能力都街接自如，是摆在我们初中教师面前的一个重要任务。
因此，作为数学教师应当把小学与初中数学内容，作一个系统的分析和研究，搞好新旧知识的架桥铺路工作，掌握新旧知识的衔接点，才能做到有的放矢，提高教学质量。
二、衔接点1、教学内容的衔接认真研究中小学数学教材的联系，找出衔接点，是做好中小学数学衔接的基础。
如在数与代数方面，小学初中教学内容的衔接，主要体现在由数的认识与运算过渡到代数式的认识与运算；在空间与图形领域，中小学数学教学内容的衔接，主要体现为由直观几何、实验几何向论证几何逐渐过渡。
这种飞跃给学生认识带来了困难，迟迟内化不了老师所讲解的内容。
集中复习一些与初中数学紧密联系的知识是非常重要的。
2、教学方法的衔接小学数学教学中，教师讲得细，练得多，直观性强；到了初中，相对来说教师讲得精，练得少，抽象性也比较强。
初升高数学衔接课程 第1讲 集合的概念(教师版含解析)
第1讲 集合的概念一、集合的有关概念1. 集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称 集.2. 表示方法：一般用大写字母,,A B C ⋅⋅⋅或大括号{}表示集合，用小写字母,,a b c ⋅⋅⋅表示集合中的元素.3. 集合相等：构成两个集合的元素完全一样.4. 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在或不在这个集合就确定了.例如：“1~10之间的偶数”构成集合，2,4,6,8,10是这个集合的元素，而1,3,5,7,9就不是它的元素；“较大的数”、“漂亮的花”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现.例如：方程()210x -=的解构成的集合是{}1，而不是{}1,1.③无序性：集合中的元素没有固定的顺序，元素可以任意排列.例如：{}1,2和{}2,1是同一个集合.5. 元素与集合的关系：(分“属于∈”与“不属于∉”两种)①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈； ②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.6. 集合的分类:::⎧⎪⎨⎪∅⎩有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含有任何元素的集合7. 常见数集的写法例1.下列指定的对象能构成集合的是 .①大于2的整数；②所有的正小数；③所有的小正数；④π的近似值；⑤高一年级优秀的学生；⑥方程210x +=的解；⑦3611,,2,,,0.5242--这6个数；【答案】①②⑥【解析】①②⑥中指定的对象满足集合元素的三个性质：确定性，互异性，无序性，能构成集合；③④⑤中指定的对象不满足集合元素的确定性，⑦中指定的对象不满足集合元素的互异性，不能构成集合. 例2.用“∈”或“∉”填空.①0 N ； ②π Q ； ③13Q ； ④ 1.2- Z ；R ； ⑥3- Z ； N +； ⑧3- N *. 【答案】①∈；②∉；③∈；④∉；⑤∈；⑥∈；⑦∈；⑧∉. 例3.(1)已知21,,x x 三个实数构成一个集合，求x 应该满足的条件.（2）已知集合P 的元素为21,,3m m m --，若2P ∈且1P -∉，求实数m 的值.【答案】(1)0x ≠且1x ≠±；(2)m =. 【解析】(1)由集合元素的互异性可得：2211x x x x ≠⎧⎪≠⎨⎪≠⎩，解得0x ≠且1x ≠±；(2)若2P ∈且1P -∉，则2231m m m =⎧⎨--≠-⎩或2132m m m ≠-⎧⎨--=⎩，解得12m ±=.二、集合的表示1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用大括号“{}”括起来表示集合的方法.说明： ①书写时，元素与元素之间用逗号分开； ②一般不必考虑元素之间的顺序； ③集合中的元素可以是数，点，代数式等；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集.当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示；⑤对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，像自然数集N 用列举法表示为{}1,2,3,4,5,⋅⋅⋅. 例4.用列举法表示下列集合：①小于4的正偶数组成的集合； ②绝对值小于5的所有整数的集合； ③小于6的所有自然数的集合；④方程20x x +=的所有实数根组成的集合； ⑤方程组21x x y =⎧⎨+=⎩的实数解组成的集合.【答案】①{}2；②{}4,3,2,1,0,1,2,3,4----；③{}0,1,2,3,4,5；④{}1,0-；⑤(){}2,1-.2. 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.一般格式：(){}x A p x ∈，例如：{}(){}2230,,1x x x y y x ->=+.说明：①弄清集合代表元素是数还是点、还是集合或其他形式？例如：(){}2,32x y y x x =++与{}232y y x x =++是两个不同的集合.②只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{}整数即代表整数集Z .例5. 用描述法表示下列集合：①由大于2小于等于26的所有奇数组成的集合； ②不等式210x ->的所有解组成的集合； ③抛物线2y x =上的点组成的集合.【答案】①{}21226,x x k x k Z =+<≤∈且；②12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；③(){}2,x y y x =.例6.设集合{}{}21,,,1,2,A x x x B x =-=，且A B =,求x 的值.【答案】1x =-.【解析】A B =，22x x x x =⎧∴⎨-=⎩或22x x x x =⎧⎨-=⎩，解得1x =-或2x =.当2x =时，B 中元素不满足互异性，故舍去，所以1x =-. 例7.已知{}2,P x x k x N =<≤∈，若集合P 中恰有4个元素，则( ) A. 67k << B.67k ≤< C.56k << D.56k ≤< 【答案】B.【解析】若集合P 中恰有4个元素，则这4个元素为3，4,5,6，所以67k ≤<. 例8.已知集合{}2320,A x ax x a R =-+=∈.（1）若A =∅，求a 的取值范围；（2）若A 中至多一个元素，求a 的取值范围. 【答案】(1)9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2){}90,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】(1)若A =∅，则方程2320ax x -+=无解，所以0a ≠且980a ∆=-<，解得98a >； (2)当0a =时，集合A 中只有一个元素，满足题意；当0a ≠时，若要使A 中至多一个元素，则980a ∆=-≤，解得98a ≥.综上，a 的取值范围为{}90,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例9.设实数集S 满足下面两个条件：①1S ∉；②若a S ∈，则11S a∈-. （1）求证：若a S ∈，则11S a-∈；（2）若2S ∈，则在S 中必含有其它两个数，试求出这两个数；（3）求证：集合S 中至少有三个不同的元素.【答案】(1)见解析；(2)1-和12；(3)见解析. 【解析】(1)证明：若a S ∈，则11S a ∈-，则1111S a∈--，即11S a -∈；(2)若2S ∈，则1112S =-∈-，则()11112S =∈--； (3)由(1)知a S ∈，11S a ∈-，11S a-∈. 下证：11,,11a a a--三者两两互不相等. ①若11a a =-，则210a a -+=，无实数根，故11a a≠-； ②若11a a =-，则210a a -+=，无实数根，故11a a≠-； ③若1111a a =--，则210a a -+=，无实数根，故1111a a≠--. 综上所述，集合S 中至少有三个不同的元素.跟踪训练1. 下列说法正确的个数为( )①集合{}1,3,5,7与集合{}25-表示同一集合；②集合{}1x y x =-与集合{}1y y x =-不是同一集合；③集合{}21y y x =-与集合(){}2,1x y y x =-是同一个集合；④集合{}2,3和集合{}3,2是同一集合；⑤集合(){}2,3和集合(){}3,2是同一集合；⑥方程2560x x --=的解集为(){}6,1-. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】①正确，{}{}{}0251,3,7,51,3,5,7-==；②正确，{}1x y x R =-=，{}1y y x R =-=；③错误，前者是数集，后者是点集；④正确，集合元素具有无序性；⑤错误，两者均表示点集，但是点的坐标不同；⑥错误，方程2560x x --=的解为11x =-，26x =，故解集为{}1,6-.综上，正确个数为3个，选C.2. 用列举法表示下列集合： ①6,2xZ x N x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭； ②62Z x N x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭； ③(){},2,13,x y y x x x N =<≤∈.【答案】①{}0,1,3,4,5,8；②{}6,3,2,1,3,6----；③()(){}2,4,3,6.【解析】对于①②，要使62Z x ∈-，则0,1,3,4,5,8x =，对应的63,6,6,3,2,12x=-----，①中元素为x ，②中元素为62x -，所以{}6,0,1,3,4,5,82xZ x N x ⎧⎫∈∈=⎨⎬-⎩⎭，{}66,3,2,1,3,62Z x N x ⎧⎫∈∈=----⎨⎬-⎩⎭；③表示2,13,y x x x N =<≤∈上的点集，只有()()2,4,3,6两个点，所以(){}()(){},2,13,2,4,3,6x y y x x x N =<≤∈=.3. 用描述法表示下列集合： ①正偶数集； ②大于2的实数；③100以内能被3整除的正整数.【答案】①{}2,x x k k N *=∈；②{}2x x x R >∈且；③{}3100,x x k x k N *=<∈且.4. 已知{}0,1,2,3a ∈且{}1,2,3a ∉，则a 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A5. 已知集合{}2A x x x ==，那么( )A. 0A ∈B.1A ∉C.{}1A ∈D.{}0,1A ≠【答案】A6. 给出下列说法：①集合{}3x N x x ∈=用列举法表示为{}1,0,1-；②实数集可以表示为{}x x 为实数或{}R ；③方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解组成的集合为{}1,2x y ==；其中不正确的有 .(把所有不正确的说法的序号都填上) 【答案】①②③【解析】①错误，{}{}30,1x N x x ∈==；②错误，正确的表示为{}x x 为实数或R ；③方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解组成的集合正确的表示为(){}1,2或()1,2x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭.7. 若集合{}210A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围是 .【答案】[]0,4【解析】若集合{}210A x ax ax =-+<=∅，则不等式210ax ax -+<无解.当0a =时，原不等式无解，故符合题意；当0a ≠时，210ax ax -+<无实数解，所以240a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得04a <≤. 综上所述，a 的取值范围是[]0,4.8. 设集合,P Q 是两个非空数集，定义集合{},P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{}0,2,5P =，{}1,2,6Q =，则P Q +中元素的个数为( )A.9B.8C.7D.6【答案】B【解析】根据题意，{}1,2,3,4,6,7,8,11P Q +=，选B.9. 定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =，{}0,2B =，则集合A B *中所有元素之和为( ) A.0 B.2C.3D.6【答案】D【解析】根据题意，{}0,2,4A B *=，其所有元素之和为6，选D.。
初升高数学衔接班教案(教师版)乘法公式数与式
乘法公式一、【归纳初中知识】在初中，我们学习了多项式的运算，知道乘法公式可以让多项式的运算变得简单方便，初中我们主要学习了两个基本乘法公式：①平方差公式：22))((bababa-=-+①完全平方公式：2222)(bababa+±=±在初中阶段我们常要求掌握上述2个公式，但从今往后我们更多要求的是对公式的推广、对定理的多重认知，比如我们可以利用引例2的思想来研究上述公式的几何维度解析。
你能说出上述图形验证了哪一个式子吗？例1：利用几何图形证明当0,>ba时，2222)(bababa++=+解析：由完全平方公式我们还可以得到两个重要式子：⎪⎩⎪⎨⎧±=±±=+abbabaabbaba4)()(2)(22222，我们常常把这种式子之间的变换方式称作恒等变换，恒等变换在高中数学当中是一个非常重要的工具。
二、【衔接高中知识】高中代数部分是以函数为主线展开学习的，为研究函数的性质，需要同学们具有很强的代数恒等变换能力，在此，我们对乘法公式进行一些拓展，请大家进行部分自主提炼： ①完全立方和公式：33223()33a b a a b ab b +=+++①完全立方差公式：33223()33a b a a b ab b -=-+-公式③、③我们统称为完全立方公式，我们能否由完全立方和与完全立方差的公式得到立方和与立方差的公式呢？①立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+①立方差公式：))((2233b ab a b a b a ++-=-最后，我们再填补三数平方和的公式：①三数平方和：)(2)(2222ac bc ab c b a c b a +++++=++三、 【例题精讲】例1：观察下列算式：81322=-163522=-245722=-327922=-（1）按照上述规律续写2个式子；（2）用文字反应出上述式子的规律；（3）证明你所发现规律的正确性；答案：（1）4091122=- 48111322=-（2）任意相邻奇数之差为8的倍数（本题是大数减小数）（3）n n n 8)12()12(22=--+例2：观察下列算式：71233=-192333=-373433=-614533=-（1）按照上述规律续写两个式子；（2）求33332017201820192020+--答案：（1）915633=- 1276733=-（2）由题意可知，连续相邻自然数的立方差具有规律，则从此入手。
初高中数学衔接教材解分解因式 导学案(教师版)
7．计算 =
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×”）
1、 （）2、 （）
3、 （）4、
【教学笔记】
（）
◆公式法
例3分解因式：（1） （2）
解：(1) =
(2) =
课堂练习
一、 ， ， 的公因式是_____________。
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×”）
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x用1来表示（如图1．1－2所示）。
（2）由图1．1－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)。
（3）由图1．1－4，得 ＝
（4） ＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1)（如图1．1－5所示）。
课堂练习
一、填空题：1、把下列各式分解因式：
【教学笔记】
答案:
1.2分解因式
1．B 2．（1）(x＋2)(x＋4)（2） （3）
（4） 。
习题1.21．（1） （2）
（3） （4）
2．（1） ； （2） ；
（3） ；（4） 。
3．等边三角形4．
（9） __________________。（10） _________________。
2、
3、若 则 ， 。
二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）
1、在多项式（1） （2） （3） （4） ，（5） 中，有相同因式的是（）
A、只有（1）（2）B、只有（3）（4）
C、只有（3）（5）D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
分解因式(有*的选做)
姓名：班级：学号：
二次函数的最值问题--初升高数学衔接课程 (教师版含解析)
第7章 二次函数的最值问题【知识衔接】————初中知识回顾————二次函数的增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少． 二次函数的最值 一般二次函数求最值根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。
————高中知识链接————给定自变量取值范围求二次函数的最值①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。
②如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。
具体归纳如下：1、一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y044,02min<-=>••a a b ac y a 时，ab ac y 442max -=2、一元二次函数)0()(2>++==a c bx ax x f y 在区间[m,n]上的最值。
1°当m ab<-2 ，)()(),()(min max m f x f n f x f ==2°当22n m a b m +≤-≤，a b ac x f n f x f 44)(),()(2min max -==3°当n ab n m ≤-<+22时， a bac x f m f x f 44)(),()(2min max -==4°n ab>-2时， )()(),()(min max n f x f m f x f ==3、一元二次函数)0()(2<++==a c bx ax x f y 在区间[m,n]上的最值类比2可求得。
【经典题型】初中经典题型1．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为(4，3)．D 是抛物线26y x x =-+上一点，且在x 轴上方．则△BCD 的最大值为 ．【答案】152．2．已知当x 1=a ，x 2=b ，x 3=c 时，二次函数21y x mx 2=+对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3，若正整数a ，b ，c 恰好是一个三角形的三边长，且当a ＜b ＜c 时，都有y 1＜y 2＜y 3，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】5m >2-．3．已知二次函数2y x bx c =++(b ，c 为常数)． (Ⅰ)当b =2，c =-3时，求二次函数的最小值；(Ⅱ)当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式； (Ⅲ)当c=b 2时，若在自变量x 的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．【答案】(Ⅰ)二次函数取得最小值-4． (Ⅱ)542++=x x y 或542+-=x x y ．(Ⅲ)772++=x x y 或1642+-=x x y ．(Ⅲ)当c=b 2时，二次函数的解析式为22b bx x y ++=，它的图象是开口向上，对称轴为2bx -=的抛物线．分三种情况进行讨论，①对称轴位于b≤x≤b+3范围的左侧时，即2b-＜b ；②对称轴位于b≤x≤b+3这个范围时，即b≤2b-≤b+3；③对称轴位于b≤x≤b+3范围的右侧时，即2b -＞b+3，根据列出的不等式求得b 的取值范围，再根据x 的取值范围b≤x≤b+3、函数的增减性及对应的函数值y 的最小值为21可列方程求b 的值(不合题意的舍去)，求得b 的值代入也就求得了函数的表达式．(Ⅲ)当c=b 2时，二次函数的解析式为22b bx x y ++=．它的图象是开口向上，对称轴为2bx -=的抛物线． ①若2b-＜b 时，即b ＞0， 在自变量x 的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y 随x 的增大而增大，故当x=b 时，2223b b b b b y =+⋅+=为最小值．∴2132=b ，解得 71=b ，72-=b (舍去)．②若b≤2b-≤b+3，即-2≤b≤0， 当x=2b -时，22243)2()2(b b b b b y =+-⋅+-=为最小值．∴21432=b ，解得 721=b (舍去)，722-=b (舍去)．高中经典题型1．二次函数213222y x x =-++的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是( )A ．3．125B ．4C ．2D ．0【答案】C ．2．已知函数()42f x x x x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________． 【答案】()64,81 【解析】根据题意， ()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知， 126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅ ()()2111166x x x x =⋅-⋅-+= ()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦， ()()21123,398,9x x <<∴--+∈， ()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81． 3．已知函数，其中为常数．(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】分析：(1)根据二次函数性质得对称轴不在区间 内，解不等式可得实数的取值范围，(2) 根据二次函数图像得得在x 轴上方，即，解得实数的取值范围．详解：(1)因为开口向上，所以该函数的对称轴是因此，解得所以的取值范围是． (2)因为恒成立，所以，整理得解得因此，的取值范围是．4．如图，抛物线21251233y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若点P 是线段AC 上方的抛物线上一动点，当△ACP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是( )A ．(4，3)B ．(5，3512)C ．(4，3512) D ．(5，3) 【答案】C ．【分析】连接PC 、PO 、P A ，设点P 坐标(m ，21251233m m -++)，根据S △P AC =S △PCO +S △POA ﹣S △AOC 构建二次函数，利用函数性质即可解决问题．【解析】连接PC 、PO 、P A ，设点P 坐标(m ，21251233m m -++) 令x =0，则y =53，点C 坐标(0，53)，令y =0则212501233x x -++=，解得x =﹣2或10，∴点A 坐标(10，0)，点B 坐标(﹣2，0)，∴S △P AC =S △PCO +S △POA ﹣S △AOC =21511251510()10232123323m m m ⨯+⨯⨯-++-⨯⨯=25125(5)1212m --+，∴x =5时，△P AC 面积最大值为12512，此时点P 坐标(5，3512)．故选C ．【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．已知二次函数2()1y x h =-+(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( )A ．1或﹣5B ．﹣1或5C ．1或﹣3D ．1或3 【答案】B ．【分析】由解析式可知该函数在x =h 时取得最小值1、x ＞h 时，y 随x 的增大而增大、当x ＜h 时，y 随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．2．一次函数与二次函数交于x轴上一点，则当时，二次函数的最小值为( )A．15 B．-15 C．16 D．-16【答案】D【解析】分析：首先根据一次函数得出与x轴的交点坐标，从而得出二次函数的解析式，根据二次函数的增减性得出函数的最值．详解：根据一次函数解析式可得与x轴的交点坐标为(－5，0)，将(－5，0)代入二次函数可得：25－10－b=0，解得：b=15，∴二次函数的解析式为：，∴在中当x=－1时，函数的最小值为－16，故选D．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质以及一次函数与x轴的交点坐标问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是得出一次函数与x轴的交点，从而得出二次函数解析式．3．二次函数y＝x2－2x－3，当m－2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为___________【答案】0或4【解析】分析：根据二次函数的图像和解析式，判断出函数的最值的自变量x的值，然后根据m的范围求出m的值即可．详解：令y=5，可得x2－2x－3=5，解得x=-2或x=4所以m-2=-2，m=4即m=0或4．故答案为：0或4．点睛：此题主要考查了二次函数的最值，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图像直接得出，第二种配方法，第三种公式法，此题关键是根据最值构造一元二次方程求解．4．如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y=a(x+m)2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标的最大值为______．【答案】8【解析】分析：当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A(1，4)，根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD 间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B(4，4)，再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．详解：当点C横坐标为−3时,抛物线顶点为A(1,4)，对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B(4,4)时,抛物线对称轴为x=4,且CD=8,故C(0,0),D(8,0)；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8；故选：D．点睛：本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键．5．已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的值是________．【答案】或【解析】分析：将二次函数配方成顶点式，分m<-1、m>2和-1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得．详解：y=x²−2mx=(x−m)²−m²，①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2，解得：m=−；②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2，解得：m=<2(舍)；③若−1⩽m⩽2,当x=m时,y=−m2=−2，解得：m=或m=−<−1(舍)，∴m的值为−或，故答案为：−或．点睛：本题主要考查了二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解答本题的关键．6．若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是_____．【答案】2【解析】分析：根据得到代入所求式子，用配方法即可求出最小值．详解：∵∴，∴∵∴∴当，即b=0时，的值最小．∴最小值是2．7．在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．(1)当m=4时，求n的值；(2)设m=﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；(3)当﹣3≤x≤0时，若二次函数﹣3≤x≤0时的最小值为﹣4，求m、n的值．【答案】(1)3(2)-15(3)m=2，n=-3【解析】分析：(1)根据一次函数与x轴的交点，求出A点的坐标，然后把A点坐标和m的值代入可求出n 的值；(2)表示出二次函数的对称轴，由m的值以及二次函数的图像与性质得到二次函数的最值；(3)根据函数的对称轴的位置，分类讨论即可求出m、n的值．详解：(1)当y=x+3=0时，x=﹣3，∴点A的坐标为(﹣3，0)．∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A，∴0=9﹣3m+n，即n=3m﹣9，∴当m=4时，n=3m﹣9=3．(2)抛物线的对称轴为直线x=﹣，当m=﹣2时，对称轴为x=1，n=3m﹣9=﹣15，∴当﹣3≤x≤0时，y随x的增大而减小，∴当x=0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣15．(3)①当对称轴﹣≤﹣3，即m≥6时，如图1所示．在﹣3≤x≤0中，y=x2+mx+n的最小值为0，∴此情况不合题意；②当﹣3＜﹣＜0，即0＜m＜6时，如图2，有，解得：或(舍去)，∴m=2、n=﹣3；③当﹣≥0，即m≤0时，如图3，有，解得：(舍去)．综上所述：m=2，n=﹣3．点睛：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合，正确判断二次函数的对称轴，以及函数的图像与性质，利用二次函数的图像与性质判断其最值是关键，解题时应用到分类讨论思想和方程思想．8．如图, 已知抛物线经过A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)三点．(1)求此抛物线的解析式；(2)此抛物线有最大值还是最小值？请求出其最大或最小值；(3)若点D(2，m)在此抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使得△BDP是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．学科-网【答案】(1)；(2)最大值为；(3)符合条件的点的坐标为或．【解析】分析：(1)将A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；(2)由于二次项系数a=-＜0，所以抛物线有最大值，最大值为，代入计算即可；(3)先将点D(2，m)代入(1)中所求的抛物线的解析式，求出m的值，得到点D的坐标，然后假设在y轴的正半轴上存在点P(0，y)(y＞0)，使得△BDP是等腰三角形，再分三种情况进行讨论：①PB=PD；②BP=BD；③DP=DB；每一种情况都可以根据两点间的距离公式列出关于y的方程，解方程即可．详解：(1)将A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)代入y=ax2+bx+c，得，解得：，所以此抛物线的解析式为y=-x2+x+4；(2)∵y=-x2+x+4，a=-＜0，∴抛物线有最大值，最大值为；(3)∵点D(2，m)在抛物线y=-x2+x+4上，∴m=-×22+2+4=4，∴D(2，4)，∵B(4，0)，∴BD=．假设在y轴的正半轴上存在点P(0，y)(y＞0)，使得△BDP是等腰三角形，分三种情况：①如果PB=PD，那么42+y2=22+(y-4)2，解得y=，所以P1(0，)；②如果BP=BD ，那么42+y 2=20，解得y=±2(负值舍去)，所以P 2(0，2)；③如果DP=DB ，那么22+(y-4)2=20，解得y=0或8，y=0不合题意舍去，y=8时，(0，8)与D ，B 三点共线，不合题意舍去；学=科网综上可知，所有符合条件的P 点的坐标为P 1(0，)，P 2(0，2)．点睛：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的最值的求法，等腰三角形的性质等知识，难度适中．运用分类讨论、方程思想是解题的关键．————再战高中题 —— 能力提升————B 组1、函数242-+-=x x y 在区间]4,1[上的最小值是( )A 、－7B 、－4C 、－2D 、2 2、已知函数322+-=x x y 在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A 、),1[+∞B 、[0,2]C 、[1,2]D 、]2,(-∞ 3、如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数都有)2()2(t f t f -=+，那么( )A 、)4()1()2(f f f <<B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f <<D 、)1()2()4(f f f <<4、若0,0≥≥y x ，且12=+y x ，那么232y x z +=的最小值为( )A 、2B 、43C 、32D 、05、设21,,x x R m ∈是方程01222=-+-m mx x 的两个实数根，则2221x x +的最小值是 。
初高中数学衔接教材(人教版)7.15
初高中数学衔接教材1． 绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：下列叙述正确的是（ ）（A ）若a b =，则a b =（B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例题（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （ 变式：配方）例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++． （2）)164)(2)(2(24++-+a a a a例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．例3计算：（1）)416)(4(2m m m +-+ （2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-1．填空： （1）221111()9423a b b a -=+（ ） （2）(4m + 22)164(m m =++ )； （3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数3．二次根式一般地，形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．2．二次根式的意义a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （3）0)x <．例2 (3-．例3 试比较下列各组数的大小：和. 例4 化简：20042005⋅-．例 5 化简：（1； （21)x <<．5、 分解因式十字相乘法：1．2()x p q x pq +++ 【例1】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++(3) 2524x x +- (4) 2215x x --【例３】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 【例４】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-2．提取公因式法与分组分解法例５ 分解因式：（1）32933x x x +++；1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为（ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）2244x xy y +- （3）（1）5x 2－3x -2；（4）4(1)(2)x y y y x -++-． （5）x 2＋4x －12； （6）22()x a b xy aby -++；（7）1xy x y -+-． （8）8a 3－b 3； （9）8532-+x x6、 一元二次方程----根的判别式 综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； 7、一元二次方程----根与系数的关系（韦达定理），对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，例：若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求x 1 x 2 ， x 1＋x 2，的值； （2）求2221x x +， | x 1－x 2| 的值；（3）求221211x x +的值1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-；④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ） （A ）1个（B ）2个 （C ）3个（D ）4个 （3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ． （4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．8、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2（C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x （2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题 （1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．（2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点． （3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象．（1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x －x 2．4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：（1）x ≤－2；（2）x ≤2；（3）－2≤x ≤1；（4）0≤x ≤3．9、 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；2．顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )．y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)．例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是（ ）（A ）0个（B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定（2）函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的顶点坐标是（ ）（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2)（D ）(－1，－2)2．填空：（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝（2x 轴两交点之间的距离为 ． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．2．对称变换问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？．例2 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式： （1）直线x ＝－1；（2）直线y ＝1．例5】一元二次方程042=+-a x x 有两个实根，一个比一个比3小，求a 的取值范围。
初高中衔接教案数学
初高中衔接教案数学
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握初中数学与高中数学的衔接知识，做到知识的平稳过渡，为高中数学学习打下良好的基础。
教学重点：初中数学与高中数学的衔接
教学难点：高中数学概念的深化理解
教学准备：教材、课件、板书
教学过程：
一、导入（5分钟）
老师通过精心设计的导入问题引起学生的兴趣，激发学生对数学学习的热情，并引出本节课的主题。
二、讲解初高中数学衔接的重要性（10分钟）
老师通过简单的例子和解释，说明初中数学与高中数学的衔接对学生数学学习的重要性，为学生的学习之路做好铺垫。
三、讲解初高中数学衔接知识点（20分钟）
老师系统讲解初中数学与高中数学衔接的一些重要知识点，比如函数、方程、不等式等概念的延伸拓展，帮助学生理解初中数学和高中数学之间的联系和衔接。
四、练习与讨论（15分钟）
老师设计一些练习题，让学生进行思考和讨论，纠正学生可能存在的错误或困惑，巩固所学知识。
五、梳理知识点（5分钟）
老师对本节课的知识点进行梳理总结，帮助学生理清思路，加深对知识点的理解。
六、作业布置（5分钟）
老师布置相应的作业，要求学生在家中对本节课所学知识进行复习和巩固。
七、课堂小结（5分钟）
老师对本节课的教学内容进行简要总结，引导学生对所学知识点进行反思和总结。
教学反思：
通过本节课的学习，学生对初中数学与高中数学的衔接有了初步的了解，并掌握了一些重要的知识点。
但需要注意的是，教师在课堂上应注重引导学生主动学习，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生能够更好地适应高中数学学习的需求。
数学新课标初高中衔接教材(教师版)
第一讲 数与式1.1 数与式的运算1.1.1. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： 〔1〕平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； 〔2〕完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： 〔1〕立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+； 〔2〕立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；〔3〕三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 〔4〕两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； 〔5〕两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明．[例1] 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-=61x -．[例2]已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练习：1、已知2310x x -+=,求331x x +的值． 解：2310x x -+=0≠∴x 31=+∴xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x x x x x2、已知0=++c b a ,求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值． 解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0∴原式=abba c ac c ab bc c b a +⋅++⋅++⋅333()()()a a b b c c a b c bc ac ab abc---++=++=-①abc c b a 3333=++∴②,把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．1.1.2. 因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法．一、公式法[例1]用立方和或立方差公式分解下列各多项式：<1> 38x +<2> 30.12527b -分析： <1>中,382=,<2>中3330.1250.5,27(3)b b ==．解：<1> 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+<2> 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+说明：<1> 在运用立方和<差>公式分解因式时,经常要逆用幂的运算法那么,如3338(2)a b ab =,这里逆用了法那么()nnnab a b =；<2> 在运用立方和<差>公式分解因式时,一定要看准因式中各项的符号．二、分组分解法从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式,如ma mb na nb +++既没有公式可用,也没有公因式可以提取．因此,可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． [例2]把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．分析：按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式．解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+说明：由例3、例4可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用． [例3]把2222428x xy y z ++-分解因式．分析：先将系数2提出后,得到22224x xy y z ++-,其中前三项作为一组,它是一个完全平方式,再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式．解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后,各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或有公因式,那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．三、十字相乘法 1．2()xp q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现,其特点是：<1> 二次项系数是1；<2> 常数项是两个数之积；<3> 一次项系数是常数项的两个因数之和． 因此,2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． [例4]分解因式：〔1〕x 2－3x ＋2； 〔2〕x 2＋4x －12； 〔3〕22()x a b xy aby -++； 〔4〕1xy x y -+-．解：〔1〕如图1．2－1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积,再将常数项2分解成－1与－2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ,就是x 2－3x ＋2中的一次项,所以,有x 2－3x ＋2＝<x －1><x －2>．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示〔如图1．2－2所示〕． 〔2〕由图1．2－3,得 x 2＋4x －12＝<x －2><x ＋6>． 〔3〕由图1．2－4,得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --〔4〕1xy x y -+-＝xy ＋<x －y >－1＝<x －1> <y+1> 〔如图1．2－5所示〕．2．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c <a ≠0>的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,那么二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.[例5] 把下列关于x 的二次多项式分解因式：〔1〕221x x +-； 〔2〕2244x xy y +-． 解： 〔1〕令221x x +-=0,那么解得11x =-21x =-,∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －21 1 图1．2－2 －2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4 －1 1x y图1．2－5=(11x x +-++．〔2〕令2244x xy y +-=0,那么解得1(2x y =-+,1(2x y =--,∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．四、其它因式分解的方法1．配方法[例6]分解因式2616x x +-解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解．当然,本题还有其它方法,请大家试验．2．拆、添项法 [例7]分解因式3234x x -+分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行．细查式中无一次项,如果它能分解成几个因式的积,那么进行乘法运算时,必是把一次项系数合并为0了,可考虑通过添项或拆项解决．解：323234(1)(33)x x x x -+=+--说明：本解法把原常数4拆成1与3的和,将多项式分成两组,满足系数对应成比例,造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x -拆成224x y -,将多项式分成两组32()x x +和244x -+．一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行： <1> 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式；<2> 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解；<3> 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法<如十字相乘法>来分解； <4> 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 练习：1．把下列各式分解因式：<1> 327a +<2> 38m -<3> 3278x -+2．把下列各式分解因式：<1> 34xy x +<2> 33n n xx y +-<3> 2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式：<1> 232x x -+ <2> 2627x x --<3> 2245m mn n --4．把下列各式分解因式：<1> 5431016ax ax ax -+ <2> 2126n n n aa b a b +++- <3> 22(2)9x x --<4> 2282615x xy y +- <5> 27()5()2a b a b +-+-5．把下列各式分解因式：<1> 233ax ay xy y -+- <2> 328421x x x +--<3> 251526x x xy y -+-<4> 22414xy x y +-- <5> 432224a b a b a b ab +-- <6> 66321x y x --+<7> 2(1)()x x y xy x +-+ 6．已知2,23a b ab +==,求代数式22222a b a b ab ++的值． 7．证明：当n 为大于2的整数时,5354n n n -+能被120整除． 8．已知0a b c ++=,求证：32230a a c b c abc b ++-+=． 答案：1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++22432(1)(4321)y x x x x x --+++ 3．(2)(1)x x --,(9)(3)x x -+,(5)()m n m n -+4．3(2)(8)ax x x -- ；(3)(2)na ab a b +- ；2(3)(1)(23)x x x x -+-+；(2)(415),x y x y -+ 5．2()(3),(21)(21),(3)(52)x y a y x x x x y -++--+；(12)(12),x y x y -++-23333()(),(1)(1),()(1)ab a b a b x y x y x x y x y +----+-++．6．2837．5354(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n -+=--++ 8．322322()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++1.１.3．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零．即绝对值的几何意义：一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离．绝对值的性质： 〔1〕0||2≥=a a 〔2〕222||)(a a a ==-〔3〕2222||||;||||b a b a b a b a >⇔>=⇔=〔4〕)0(||);0(||>-<>⇔>><<-⇔<a a x a x a x a a x a a x 或[例1]解不等式：3|2|≤+x 书P14[例2]解方程：|12||2|-=+x x 书P14[例3]解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ,得1=x ；由30x -=,得3x =； ①若1<x ,不等式可变为(1)(3)4x x ---->, 即24x -+＞4,解得x ＜0, 又x ＜1, ∴x ＜0；②若12x ≤<,不等式可变为(1)(3)4x x --->, 即1＞4,∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥,不等式可变为(1)(3)4x x -+->, 即24x -＞4, 解得x ＞4． 又x ≥3, ∴x ＞4．综上所述,原不等式的解为 x ＜0,或x ＞4．解法二：如图1．1－1,1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |,即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |,即|PB |＝|x －3|．所以,不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2,可知点P 在点C <坐标为0>的左侧、或点P 在点D <坐标为4>的右侧．x ＜0,或x ＞4． 练习：1、解下列不等式〔组〕：〔1〕1||>x 〔2〕2|1|≤+x 〔3〕2|12|1≤-≤x 2、解下列方程：1A 0 C x|x －1||x －3|图1．1－1〔1〕01|1|2=---x x 〔2〕1|1||1|=+--x x 3、化简：)5(|132||5|≤---x x x 4、若31<<x ,求|3||1|-+-x x 的值 5、解不等式：〔1〕3|2||12|≤-+-x x 〔2〕1|2||13|≥+--x x1.1.4．二次根式一般地,0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b ,等是无理式,而212x ++,22x y +其性质如下：<1> 2(0)a a =≥<2>||a =<3>0,0)a b =≥≥ <4>0,0)a b=>≥ 1．分母〔子〕有理化把分母〔子〕中的根号化去,叫做分母〔子〕有理化．为了进行分母〔子〕有理化,需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,,与与,与,等等． 一般地,与,与b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程；而分子有理化那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数,因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 二次根式的化简常见类型有下列两种： ①被开方数是整数或整式．化简时,先将它分解因数或因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式<>或被开方数有分母<．形式<>,转化为 "分母中有根式"的情况．化简时,要把分母中的根式化为有理式,采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．<化为,其中2+2>．2．二次根式[例1]将下列式子化为最简二次根式：〔1 〔20)a ≥； 〔30)x <．解： 〔1=〔20)a ==≥；〔3220)x x x ==-<．[例2](3．(3-解法二： (3＝12+． [例3]试比较下列各组数的大小：〔1 〔2.解：〔1〕∵1===,1===,>∴．〔2〕∵1=== 又 4＞2错误!,∴错误!＋4＞错误!＋2错误!,∴[例4]化简：20042005⋅-．解：20042005⋅-＝20042004⋅⋅＝2004⎡⎤+⋅⋅⎣⎦＝20041⋅[例5]化简：〔1； 〔21)x <<．解：〔1〕原式=2=．〔2〕原式1x x =-,∵01x <<, ∴11x x>>, 所以,原式＝1x x -．[例6] 已知x y ==求22353x xy y -+的值 ．解：∵2210x y +==+=,1xy ==,∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．说明：有关代数式的求值问题：<1>先化简后求值；<2>当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量．练习：1a =-成立的条件是< > A ．0a > B ．0a <C ．0a ≤D ．a 是任意实数2．若3x <,|6|x -的值是< > A ．－３B ．３C ．－９D ．９3．计算： <1> 2(34)x y z --<2> 2(21)()(2)a b a b a b +---+<3> 222()()()a b a ab b a b +-+-+<4> 221(4)(4)4a b a b ab -++4．化简<下列a 的取值X 围均使根式有意义>：<1> <2> a<3><4>+-5．化简：<1>2102m +- <2>0)x y >> 6．若112x y -=,那么33x xy yx xy y+---的值为< >： A ．35B ．35-C ．53-D ．537．设x y ==求代数式22x xy y x y +++的值．8．已知11120,19,21202020a x b x c x =+=+=+,求代数式222a b c ab bc ac ++---的值．9．设12x -=,求4221x x x ++-的值． 10．化简或计算：<1>+<2><3>答案：1． C 2． A3． <1> 2229166824x y z xy xz yz ++--+<2> 22353421a ab b a b -++-+ <3> 2233a b ab -- <4> 331164a b - 4．2 12a b +----- 5． 6． D 7．8． 3 9．3- 10．3,3-1.1.5．分式1．分式的意义 形如A B 的式子,若B 中含有字母,且0B ≠,那么称A B 为分式．当M ≠0时,分式A B具有下列性质： A A M B B M⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式 像ab c d+,2m n p m n p+++这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． [例1]若54(2)2x A B x x x x +=+++,求常数,A B 的值． 解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++, ∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩ 解得 2,3A B ==．[例2]〔1〕试证：111(1)1n n n n =-++〔其中n 是正整数〕；〔2〕计算：1111223910+++⨯⨯⨯； 〔3〕证明：对任意大于1的正整数n , 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+． 〔1〕证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++, ∴111(1)1n n n n =-++〔其中n 是正整数〕成立． 〔2〕解：由〔1〕可知 ＝910． 〔3〕证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+ ＝1121n -+, 又n ≥2,且n 是正整数,∴错误!一定为正数,∴1112334(1)n n +++⨯⨯+＜错误!． [例3]设c e a=,且e ＞1,2c 2－5ac ＋2a 2＝0,求e 的值． 解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2,得2e 2－5e ＋2＝0,∴<2e －1><e －2>＝0,∴e ＝错误!＜1,舍去；或e ＝2．∴e ＝2．3、多项式除以多项式 做竖式除法时,被除式、除式都要按同一字母的降幂排列,缺项补零〔除式的缺项也可以不补零,但做其中的减法时,要同类项对齐〕,要特别注意,得到每个余式的运算都是减法.结果表示为：被除式=除式⨯商式+余式 [例4]计算)3()3(24x x x -÷- 解：3939333300300342222442--+----++-+++-x x x xx x x x x x练习：1、 若322=+-y x y x ,那么=yx 2、正数y x ,满足xy y x 222=-,那么=+-y x y x 3、100991431321211⨯++⨯+⨯+⨯ = 4、=++++++-443224211b a a b a a b a b a 5、已知3,2,1=+=+=+xz zx z y yz y x xy ,那么=x 6、计算：〔1〕)32()2713103(223-+÷-++x x x x x〔2〕)1()22(232-÷-+x x x〔3〕已知1453,211221923234+--=-+--=x x x B x x x x A 求：22B A ÷答案：6〔1〕32151443)32()2713103(2223-+-++=-+÷-++x x x x x x x x x 〔2〕12)1()22(2232-++=-÷-+x x x x x x 〔3〕222)23(-=÷x B A 第二讲 函数与方程 2．1 二次函数2.1.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题,我们可以先画出y ＝2x 2,y ＝12x 2,y ＝－2x 2的图象,通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系,推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2,y ＝2x 2的图象．值扩大两倍就可以了． 再描点、连线,就分别得到了函数y ＝x 2,y ＝2x 2的图象〔如图2－1所示〕,从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2,y ＝－2x 2的图象,并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系． 通过上面的研究,我们可以得到以下结论： 二次函数y ＝ax 2<a ≠0>的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y＝ax 2<a ≠0>中,二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小． 问题2 函数y ＝a <x ＋h >2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2<x ＋1>2＋1与y ＝2x 2的图象〔如图2－2所示〕,从函数的同学我们不难发现,只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,就可以得到函数y ＝2<x ＋1>2＋1的图象．这两个函数图象之间具有"形状相同,位置不同"的特点．类似地,还可以通过画函数y ＝－3x 2,y ＝－3<x －1>2＋1的图象,研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究,我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a <x ＋h >2＋k <a ≠0>中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移,而且"h 正左移,h 负右移"；k 决定了二次函数图象的上下平移,而且"k 正上移,k 负下移"．由上面的结论,我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c <a ≠0>的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a <x 2＋b x a >＋c ＝a <x 2＋b x a ＋224b a >＋c －24b a 224()24b b ac a x a a-=++, 所以,y ＝ax 2＋bx ＋c <a ≠0>的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的,于是,二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c <a ≠0>具有下列性质：〔1〕当a ＞0时,函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--,对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时,y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a-时,y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a-时,函数取最小值y ＝244ac b a -． 〔2〕当a ＜0时,函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--,对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时,y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a-时,y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a-时,函数取最大值y ＝244ac b a -． 图2.2-2上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此,在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决6x ＋1,y 随3<x ＋y ＝当x ＜－1时,y 随着x 时,y 随着x 的增大而减小；采用描点法画图,选顶点A <－B 3(,0)3和C 3(,0)3-,与y 过这五点画出图象〔如图2－5所示〕．说明：从这个例题可以看出,画函数的图象,可以直接选出关键点,减少了选点的盲目性,使画图更简便、图象更精确．[例2] 某种产品的成本是120元/件,试销阶段每件产品的售价x 〔元〕与产品的日销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量y ×<销售价x －120>,日销售量y 又是销售价x 的一次函数,所以,欲求每天所获得的利润最大值,首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系,然后,再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于y 是x 的一次函数,于是,设y ＝kx ＋〔B 〕将x ＝130,y ＝70；x ＝150,y ＝50代入方程,有解得 k ＝－1,b ＝200．∴y ＝－x ＋200．设每天的利润为z 〔元〕,那么z ＝<－x +200><x －120>＝－x 2＋320x －24000＝－<x －160>2＋1600,∴当x ＝160时,z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时,每天的利润最大,为1600元．[例3]把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到函数y ＝x 2的图像,求b ,c 的值．解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝<x +2b >224bc +-,把它的图像向上平移2个单位,再向左平移 图2.2-3 图2.2－54个单位,得到22(4)224b b y xc =+++-+的图像,也就是函数y ＝x 2的图像,所以, 240,220,4b b c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得b ＝－8,c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到函数y ＝x 2的图像,等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像．由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到函数y ＝<x －4>2＋2的图像,即为y ＝x 2－8x ＋14的图像,∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数,∴b ＝－8,c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题,所以,同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一,是直接利用条件进行正向的思维来解决的,其运算量相对较大；而解法二,那么是利用逆向思维,将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解,具有计算量小的优点．今后,我们在解题时,可以根据题目的具体情况,选择恰当的方法来解决问题．[例4]已知函数y ＝x 2,－2≤x ≤a ,其中a ≥－2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的X 围是一个变化的X 围,需要对a 的取值进行讨论． 解：〔1〕当a ＝－2时,函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点<－2,4>,所以,函数的最大值和最小值都是4,此时x ＝－2；〔2〕当－2＜a ＜0时,由图2．2－6①可知,当x ＝－2时,函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时,函数取最小值y ＝a 2；〔3〕当0≤a ＜2时,由图2．2－6②可知,当x ＝－2时,函数取最大值y ＝4；当x ＝0时,函数取最小值y ＝0；〔4〕当a ≥2时,由图2．2－6③可知,当x ＝a 时,函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时,函数取最小值y ＝0．说明：在本例中,利用了分类讨论的方法,对a 的所有可能情形进行讨论．此外,本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来研究,在解决这一类问题时,通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．①图2.2－6② ③[例5]当22≤≤-x 时,求函数222+-=ax x y 的最小值.见书P51例2练习：1、求二次函数3422+-=x x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大〔小〕值.当x 取2009,2008,2007-时的函数值分别是c b a ,,,试比较c b a ,,的大小.2、当自变量x 在下列X 围内取值时,求函数322--=x x y 的最值.〔1〕02≤≤-x ；〔2〕31≤≤x ；〔3〕21≤≤-x3、当11≤≤-x 时,求函数122++-=ax x y 的最大值.4、已知1+≤≤x x t ,求函数x x y 22-=的最小值.5、求函数25342-+--=x x y 的最大值和最小值.6、求函数x x x x x x y 93)73)(23(222++++++-=的最大值或最小值.7、求142+-=x ax y 在区间]1,0[上的最大值和最小值.答案：1、开口向上,对称轴1=x ,顶点坐标)1,1(,b c a y >==,1min2、〔1〕5,-3；〔2〕0,-4；〔3〕0,-4；3、略；4、略5、634,4min max -==y y ；6、49-=t 时,1689max -=y ,无最小值； 7、〔1〕3,10min max -==<a y y a 时，〔2〕3,10min max -===y y a 时，〔3〕3,120min max -==<<a y y a 时，〔4〕a y y a 41,142min max -==≤≤时， 〔5〕ay a y a 41,34min max -=-=≥时， 2.1.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c <a ≠0>；2．顶点式：y ＝a <x ＋h >2＋k <a ≠0>,其中顶点坐标是<－h ,k >．除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式,我们先来研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c <a ≠0>的图象与x 轴交点个数．当抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c <a ≠0>与x 轴相交时,其函数值为零,于是有ax 2＋bx ＋c ＝0． ①并且方程①的解就是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c <a ≠0>与x 轴交点的横坐标〔纵坐标为零〕,于是,不难发现,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c <a ≠0>与x 轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b 2－4ac 有关,由此可知,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c <a ≠0>与x 轴交点个数与根的判别式Δ＝b 2－4ac 存在下列关系：〔1〕当Δ＞0时,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c <a ≠0>与x 轴有两个交点；反过来,若抛物线y＝ax2＋bx＋c<a≠0>与x轴有两个交点,那么Δ＞0也成立．〔2〕当Δ＝0时,抛物线y＝ax2＋bx＋c<a≠0>与x轴有一个交点〔抛物线的顶点〕；反过来,若抛物线y＝ax2＋bx＋c<a≠0>与x轴有一个交点,那么Δ＝0也成立．〔3〕当Δ＜0时,抛物线y＝ax2＋bx＋c<a≠0>与x轴没有交点；反过来,若抛物线y ＝ax2＋bx＋c<a≠0>与x轴没有交点,那么Δ＜0也成立．于是,若抛物线y＝ax2＋bx＋c<a≠0>与x轴有两个交点A<x1,0>,B<x2,0>,那么x1,x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根,所以x1＋x2＝ba-,x1x2＝ca,即ba＝－<x1＋x2>,ca＝x1x2．所以,y＝ax2＋bx＋c＝a<2b cx xa a++>= a[x2－<x1＋x2>x＋x1x2]＝a<x－x1> <x－x2>．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c<a≠0>与x轴交于A<x1,0>,B<x2,0>两点,那么其函数关系式可以表示为y＝a<x－x1> <x－x2> <a≠0>．这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a<x－x1> <x－x2> <a≠0>,其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．[例1]已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y＝x＋1上,并且图象经过点〔3,－1〕,求二次函数的解析式．分析：在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数a．解：∵二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上,所以,2＝x＋1,∴x＝1．∴顶点坐标是〔1,2〕．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a=-+<,∵二次函数的图像经过点〔3,－1〕,∴21(32)1a-=-+,解得a＝－2．∴二次函数的解析式为22(2)1y x=--+,即y＝－2x2＋8x－7．说明：在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题．因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题．[例2] 已知二次函数的图象过点<－3,0>,<1,0>,且顶点到x 轴的距离等于2,求此二次函数的表达式．分析一：由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点<－3,0>,<1,0>,∴可设二次函数为y ＝a <x ＋3> <x －1> <a ≠0>,展开,得 y ＝ax 2＋2ax －3a ,顶点的纵坐标为 2212444a a a a--=-, 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2,∴|－4a |＝2,即a ＝12±． 所以,二次函数的表达式为y ＝21322x x +-,或y ＝－21322x x -+． 分析二：由于二次函数的图象过点<－3,0>,<1,0>,所以,对称轴为直线x ＝－1,又由顶点到x 轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或－2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再利用图象过点<－3,0>,或<1,0>,就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点<－3,0>,<1,0>,∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2,∴顶点的纵坐标为2,或－2．于是可设二次函数为y ＝a <x ＋1>2＋2,或y ＝a <x ＋1>2－2,由于函数图象过点<1,0>,∴0＝a <1＋1>2＋2,或0＝a <1＋1>2－2．∴a ＝－12,或a ＝12． 所以,所求的二次函数为y ＝－12<x ＋1>2＋2,或y ＝12<x ＋1>2－2． 说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题．[例3] 已知二次函数的图象过点<－1,－22>,<0,－8>,<2,8>,求此二次函数的表达式．解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c <a ≠0>．由函数图象过点<－1,－22>,<0,－8>,<2,8>,可得解得 a ＝－2,b ＝12,c ＝－8．所以,所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．通过上面的几道例题,同学们能否归纳出：在什么情况下,分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练习：1、已知二次函数的图象经过点)0,21()2,0(),1,0(和--,求这个二次函数的解析式.2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)2,3(-,且抛物线与x 轴两交点间的距离为4, 求其解析式.3、已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点)3,2(),12,1(--B A ,〔1〕求该二次函数的解析式；〔2〕用配方法把由〔1〕所得的解析式化为k h x y +-=2)(的形式,并求出该抛物线的 顶点坐标和对称轴；〔3〕求抛物线与x 轴的两个交点D C ,的坐标及ACD ∆的面积.4、抛物线n mx x y ++=22过点)4,2(且其顶点在直线12+=x y 上,〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕求直线12+=x y 与抛物线的对称轴和x 轴所围成的三角形的面积.5、已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴的两个交点的横坐标为21,x x ,方程02022=++x b x 的两个实根为43,x x ,且34132=-=-x x x x ,求c b ,的值.答案：1、1232-+=x x y ；2、253212+-=x x y ； 3、〔1〕562+-=x x y ；〔2〕顶点)4,3(-,对称轴3=x ,〔3〕24),0,5(),0,1(=∆S D C4、〔1〕422+-=x x y ；〔2〕49=∆S 5、2,3==c b 2.1.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1．平移变换问题 1 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点？依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状,因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．[例1]求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：〔1〕向右平移2个单位,向下平移1个单位；〔2〕向上平移3个单位,向左平移2个单位．分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状〔即不改变二次项系数〕,所以只改变二次函数图象的顶点位置〔即只改变一次项和常数项〕,所以,首先将二次函数的解析式变形为顶点式,然后,再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．解：二次函数y ＝2x 2－4x －3的解析式可变为y ＝2<x －1>2－1,其顶点坐标为<1,－1>．〔1〕把函数y ＝2<x －1>2－1的图象向右平移2个单位,向下平移1个单位后,其函数图象的顶点坐标是<3,－2>,所以,平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y ＝2<x －3>2－2． 〔2〕把函数y ＝2<x －1>2－1的图象向上平移3个单位,向左平移2个单位后,其函数图象的顶点坐标是<－1, 2>,所以,平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y ＝2<x ＋1>2＋2． 2．对称变换问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,有什么特点？依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函数图象的对称变换问题时,关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题． [例2]求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式： 〔1〕直线x ＝－1； 〔2〕直线y ＝1．解：〔1〕如图2．2－7,把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线x ＝－1作对称变换后,只改变图象的顶点位置,不改变其形状． 由于y ＝2x 2－4x ＋1＝2<x －1>2－1,可知,函数y ＝2x 2－4x ＋1图象的顶点为A <1,－1>,所以,对称后所得到图象的顶点为A 1<－3,1>,所以,二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线x ＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y ＝2<x ＋3>2－1,即y ＝2x 2＋12x ＋17．〔2〕如图2．2－8,把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线x ＝－1作对称变换后,只改变图象的顶点位置和开口方向,不改变其形状． 由于y ＝2x 2－4x ＋1＝2<x －1>2－1,可知,函数y ＝2x 2－4x ＋1图象的顶点为A <1,－1>,所以,对称后所得到图象的顶点为B <1,3>,且开口向下,所以,二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线y ＝1对称后所得到图象的函数解析式为y ＝－2<x －1>2＋3,即y ＝－2x 2＋4x ＋1． 二、分段函数一般地,如果自变量在不同取值X 围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作分段函数．[例3]在国内投递外埠平信,每封信不超过20g 付邮资80分,超过20g 不超过40g 付邮资160分,超过40g 不超过60g 付邮资240分,依此类推,每封x g<0＜x ≤100>的信应付多少邮资〔单位：分〕？写出函数表达式,作出函数图象．分析：由于当自变量x 在各个不同的X 围内时,应付邮资的数量是不同的．所以,可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时,需要注意的是,当x 在各个小X 围内〔如20＜x ≤40〕变化时,它所对应的函数值〔邮资〕并不变化〔都是160分〕．图2.2－8。
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初高中数学衔接（教师版）现有初高中数学知识存在以下“脱节”1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
目录第一章：数与式的运算和因式分解1.1 数与式的运算1.1.1绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3．二次根式1.1.4.分式1.2 分解因式第二章：方程、函数、方程组、不等式组2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2.2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程组不等式2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法第三章：相似形、圆3.1相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理 3.1.2相似形 3.2 三角形3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3.3 圆3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零。
即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥=）（）（0a a 0a a a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。
两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离。
例1 解不等式：13x x -+-＞4。
解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1，∴x ＜0；②若2x 1<≤，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4。
又x ≥3，∴x ＞4。
综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4。
解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|。
所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA |＋|PB |＞4。
由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧。
x ＜0，或x ＞4。
练 习 1．填空：（1）若4-=x ，则x =_________；（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________； （3）若21=-c ，则c ＝________。
10 |x －1||x －3|图1．1－12．选择题：下列叙述正确的是（ ）A 、若a b =，则a b =B 、若a b >，则a b >C 、若a b <，则a b <D 、若a b =，则a b =±3．化简：|x －5|－|2x －13|（6x 5<<）。
4、解答题：已知0)5(4232=++-+-c b a ，求 c b a ++的值。
1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。
【揭示乘法公式的几何意义】从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个矩形， 上述操作所能验证的等式是 ( ) A 、22))((b a b a b a -=-+Ｂ、2222)(b ab a b a +-=- Ｃ、2222)(b ab a b a ++=+ Ｄ、)(2b a a ab a +=+完全平方公式： 1.将字母看作非负数；2.平方式构造正方形，底数即为边长；3.两个字母相乘则构造长方形，两个字母即为长与宽。
【设计与创造】请在下面正方形内设计一个方案，使之能解释公式：ab b a b a 4)()(22+-=+222()2;a b a ab b +=++【利用图形探索】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个一模一样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。
若•直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，斜边为c ，那么你能得到关于a 、b 、c 的什么等式？我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。
例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++。
解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -。
解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -。
例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值。
解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=。
例3、试探索,)(3b a +,)(4b a +,)(5b a +,)(6b a +… … 练习：1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3)2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )。
2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ）A 、2mB 、214mC 、213m D 、2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ）A 、总是正数B 、总是负数C 、可以是零D 、可以是正数也可以是负数3、计算：（1）103×97 （2）1999199719982⨯- （3）(1－2x )(1＋2x ) (241x +)(4161x +) 4、找规律与为什么观察下列等式：10122=-，31222=-，52322=-，73422=-，… …用含自然数n 的等式表示这种规律:_______________________________ 并证明这一规律。
5、观察下列等式：,......122535,62525,22515222=== 个位数字是5的两位数平方后，末尾两个数有什么规律？ 你能证明这一规律吗？6、一个特殊的式子7、公式的拓展（1）完全平方公式的拓展一推导2)(c b a ++=___________________________________ 练习：2)32(c b a --=___________________________________ （2）完全平方公式的拓展二观察下面的式子（Ⅰ）432234432233222464)(,33)(,2)(b ab b a b a a b a b ab b a a b a b ab a b a ++++=++++=+++=+根据前面的规律，=+5)(b a ___________________________________（3）平方差公式的拓展推导(a ＋b ＋c )(a －b －c ) =___________________________________ 练习：化简（2a+b －3c )(2a －b －3c )1.1.3．二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式。
根号下含有字母、且不能11已知：=2，求：的值。
x x+22x x+11变式：=2，求：的值。
x x-22x x+再变：=2，求：的值。
1x x +221x x +111 12 1 13 3 1 14 6 4 1 ………………够开得尽方的式子称为无理式。
例如 32a b21+，22x y + 1.分母（子）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化。
为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念。
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与b 与b 互为有理化因式。
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程。
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。