数值分析第一章

一般地 , 凡是由准确 值经过四舍五入得到的近似值, 其绝对误差 限等于该近似值末位的半个单位 . 1 上述 各近似值的 绝对 误差 限： × 10 −3 2
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* * * * * * e( y * ) = f ( x1 , x2 , x3 ) − f ( x1 , x2 , x3 ) ≈ df ( x1 , x2 , x3 )
= =
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∂ ∂ff ** ** ** ∂∂ f f * * * * * * * * ∂f ∂ f * ** ** * * * * ((x x1 ,,x x2 ,,x x3 )) edx ( x*1 ) ++ (( xx , ,xx , ,xx )dx )e ( + ,x x x23,)x dx e( x3 ) 11 22 33 2x 2 ) + ( x1( 12,,x 3) 3 ∂ xx ∂x3∂x 3 ∂x x11 1 2 3 1 ∂∂ 22
例如 1 . x = 0 .005800 ± × 10 − 6 表示近似值
x * = 0 .005800 准确到小数 点后第 6 位，
x *有 4 位 有 效 数 字
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问题：有效数字和精确度的关系？ 或有效数字和相对误差的关系？
例 如 ：用 规 范 形 式 0.125 × 10 − 5 和 0.125 × 10 5 它 们 都 有 3 位 有 效 数 字 ，相 对 误 差 分 别 是 1 × 10 − 3 − 5 2 0.125 × 10 − 5 1 × 10 − 3 2 = 0.125
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• 最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%) • 实验作业：下列1和2选择一个 2.选做课本5章的数值实验题目 作业中包含下列内容 (1) 题目(第几章,第几题) (2) 程序(matlab) (3) 计算结果及分析
第一章
§1
数值计算中的误差
数值计算的内容和特点
实际问题
数学模型
数值 分析
解：x * = − 5.3935
e ( x * ) ≈ 3.65 × e (1.21) + 1.21 × e ( 3.65) − e (9.81)
* ε ( x * ) = | e ( x ) |≤ 3.65 × ε (1.21) + 1.21 × ε (3.65) + ε (9.81) 1 = (3.65 + 1.21 + 1) × × 10−2 2 1 = 0.0293 ≤ × 10−1 准确到小数点后第一 位 2
• 教材 丁丽娟，程杞元， 《数值计算方法》 高等教育出版社,2011年8月 • 参考书 各工科院校相应教材 清华大学,哈工大,西安交大等
• 最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%) 注意:实验作业中间会有抽查 抽查前一周通知大家 • 答疑：课间或 周三下午2:00—4:00中心教学楼816 • 我的email 地址: xlma@
主要内容： • 数值代数 线性方程组求解(第二章,第三章) 特征值计算(第四章) • 数值逼近 插值法(第五章) 函数逼近 数据拟合(第六章) • 数值微分数值积分(第七章) • 非线性方程求解(第八章) • 常微分方程数值解法(第九章) 特点：与计算机紧密结合的数学课程
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(4)机器字长有限 —— 舍入误差
2.1
绝对误差与相对误差
设x *为准确值 x的一个近似值
* * 绝对误差e ( x * ) : e ( x ) = x - x * * 绝对 误差 限ε : e( x ) = x - x ≤ ε
x**)) = = 相对误差er ( x* ) : e err((x
e e((x x**)) e( x* ) ≈ x* x*
+ − × ÷
计算 机
求各种数学问题近似解的方法和理论
近似解
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• 最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%) • 实验作业提交时间:最迟考试前一周 • 实验作业提交形式:打印稿或电子文挡 打印稿:不需要程序运行的中间结果, 但必须注明学号,姓名,学院,专业 电子文档:注意文件名形式:学号+姓名, 如20702201张晓洁
反之
⇒ ε r(x*) =
1 × 10 − n + 1 2a1
准确到小 数点 后第 5 位， 有 6 位有 效数 字 1 例： 若 x * = 2376490, 且 ε = × 104 ， x * 有 几 位 有 效 数 字？ 2 解： x 准 确 到 10 位 ， x 有 3 位 有 效 数 字 ,
绝对 误差 限 ⇔ 有效 数字 1 ε = × 10 n 2 ⇔ 准确到10 n 位 ⇔ 确定几 位有 效数 字
问题： 假定x = 1.21有三位有效数字， y* = 1.21或y* = ln1.21, y*精确到哪一位？
*
方法： 确定 y *的 绝对误差 e ( y * ), | e ( y * ) |≤
哪一个精度高？
一个测量值的精确程度除了与绝对误差限有关 还和该量的大小有关 . 为了更好地反映测量值的精度，引入
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b− a [ f ( a ) + f ( b)] = I1 I = ∫ f ( x )d x ≈ a 2 3 (b − a ) ( 2 ) R = I − I1 = − f ( ξ ), ξ ∈ (a , b ) 12
相对误差限εr : | e r ( x * ) |≤ ε r
可以表示为 : x − ε ≤ x ≤ x + ε 或
* *
x= x ±ε
*
两种误差限的关系 ： εr =
ε |x * |
ε = |x * |ε r
注 : 绝对误差限不唯一
上 例， εr ( x ) =
ε( x ) 0.02 = = 0.002 x* 10 ε ( y ) 0.05 εr ( y ) = * = = 0.0016 < 0.002 y 30
2 . 若x * = 1452.046具 有7位有 效数 字，
则其准确到小数点后第 3 位， 1 −3 绝对 误 差 限 ：ε = × 10 2
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1 1 × 10 − 3 + 5 × 10 − 3 2 2 = 0.125 0.125 × 10 5 说明：有效数字相同，它们的相对误差相同 且有效数字越多， 精度越高
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相对误差限越小，精度越高
例：
用 毫 米 刻 度 的 米 尺 测 量 一 长 度 为 x， 如 读 出 的 长 度 是 x * = 765m m, 其 绝 对 误 差 限 为 0.5mm
764
例 ： 2 ≈ 1.414
(1.41421356237310......)
是经过四舍五入得到的近似值，则
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( Δ x * = dx * )
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∴ e ( y * ) ≈ f ′( x * ) e ( x * )
有效数字另一等价定义
将 x ∗ 表 示 成 规 范 形 式 (或 用 科 学 计 数 法 表 示 )： x ∗ = ± 0. a1 a 2 ... a n ...L × 10 m 其 中 m 为 整 数 ，a i 为 0 L 9, a 1 ≠ 0, 则 x ∗ 做 为 x的 近 似 值 有 n 位 有 效 数 字 当 且 仅 当 x − x∗ ≤ 1 × 10 m −−nn 2
绝对误差限ε = 相 对误差限εr = 1 × 10−3 2 0.5 × 10−3 ≈ 0.035% 1.414
(
764.5
765
765.5
)
766
准确值 x： 764.5 mm ≤ x ≤ 765.5 mm x ∈ [764.5 mm, 765.5 mm]. x = 765 ± 0.5( mm)
为了更直接地表示精确度，引入另一个概念
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• 最后成绩=实验作业成绩(20%)+考试成绩(80%) • 实验作业：下列1和2选择一个 1.自选题(结合专业)，作业中包含下列内容 (1) 实际问题 (2) 数学模型 (例如，解常微分方程组，数据拟合等) (3) 计算方法 (4) 程序(matlab) (5) 计算结果及分析
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如何学习? • 听课 • 做课后习题(掌握算法) • 实验作业(实际应用)
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* *
ε r ( x* ) =
εr =
1 2( a 1 + 1 )
× 10 − n + 1 ⇒ x * 至少有 n 位有效数字
ε 1 1 1 ≤ × 10 − n + 1 ≤ × 10 m − n × * m x 2a1 2 0.a1 L a n × 10
它 们 分 别 是 2, 3, 7
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1 × 10 − n + 1× 0.( a + 1) × 10m ≤ 1 × 10 − n + m 1 2( a1 + 1) 2 22 一般地，相对误差限至少小于1 ε = ε r | x∗ | ≤
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例： 2 =1.41421356237310...... x * =1.414213做为 2的 近似 值，有 几 位有 效数 字？ 解：| e ( x* ) |= | x − x* |= 0.0000005623L < 1 × 10−5 2
定理 1 .1 : x * = ± 0 .a 1 a 2 ...... a n ... × 10 m ( a 1 ≠ 0 ) x * 有 n 位有效数字
§2