北京市西城区2014届高三数学二模文科数学试卷(带解析)

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【2014西城高三二模】北京市西城区2014届高三二模试卷数学理

北京市西城区2014年高三二模试卷数学（理科） 2014．5第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是（）．A ．(,2]-∞-B ．[2,)-+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞2．在复平面内，复数2(12i)z =+对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线2y x =为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（）．A ．5B ．52C ．3D ．324．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）． A ． 2A ∈，且4A ∈ B ．2A ∈，且4A ∈C ． 2A ∈，且25A ∈D ．2A ∈，且17A ∈5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）．A ．1B ．2C ．π2D ．π7．在平面直角坐标系xOy中，不等式组0,0,80xyx y⎧⎪⎨⎪+-⎩………所表示的平面区域是α，不等式组04,010xy⎧⎨⎩剟剟所表示的平面区域是β．从区域α中随机取一点(,)P x y，则P为区域β内的点的概率是（）．A．14B．35C．34D．158．设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω．若Ω是边长为1的正方形，给出下列三个结论： ①()x Ω的最大值为2；②()()x y Ω+Ω的取值范围是[2,22]； ③()()x y Ω-Ω恒等于0．其中所有正确结论的序号是（）． A ．①B ．②③C ．①②D ．①②③第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．61()x x+的二项展开式中，常数项为_________．10．在ABC V 中，若14,3,cos 3a b A ===，则sin A =______，B =______．11．如图，AB 和CD 是圆O 的两条弦，AB 与CD 相交于点E ，且4,:4:1C E D E A E B E ===，则AE =_______；ACBD=______．12．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为_________．13．设抛物线2:4C y x =的焦点为,F M 为抛物线C 上一点，(2,2)N ，则MF M N +的取值范围为_________．14．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x y =∈∈N N 上的一个映射，正整数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ，记作(,)f x y z =，对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：(,)x y (,)n n (,)m n (,)n m(,)f x yn m n - m n +则(3,5)f =_______，使不等式(2,)4x f x …成立的x 集合是_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点(cos,2sin),(sin,0)A Bθθθ，其中θ∈R．（I）当2π3θ=，求向量ABuu u r的坐标；（II）当π[0,]2θ∈时，求ABuu u r的最大值．16．（本小题满分13分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的,A B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A班的5名学生的视力检测结果：43．，51．，46．，41．，49．．B班的5名学生的视力检测结果：51．，49．，40．，40．，45．．（I）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（II）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（III）现从班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X表示其中视力大于46．的人数，求X的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,ABC AC BC H ⊥为PC 的中点，M 为AH 的中点，2,1PA AC BC ===（I ）求证：AH ⊥面PBC ；（II ）求PM 与平面AHB 所成角的正弦值（III ）设点N 在线段PB 上，且,PNMN PBλ=∥平面ABC ，求实数λ的值．18．（本小题满分13分）已知函数12e ()44x f x ax x +=++，其中a ∈R（I ）若0a =，求函数()f x 的极值；（II ）当1a >时，试确定函数()f x 的单调区间．19．（本小题满分14分）设,A B 是椭圆22:143x y W +=上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB 交x 轴于点M （与点,A B 不重合），O 为坐标原点．（I ）如果点M 是椭圆W 的右焦点，线段MB 的中点在y 轴上，求直线AB 的方程；（II ）设N 为x 轴上一点，且4OM ON ⋅=uuu r uuu r，直线AN 与椭圆W 的另外一个交点为C ，证明：点B 与点C 关于x 轴对称．20．（本小题满分14分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*1,n n n a a a +∈<N ．设*m ∈N ，记使得n a m …成立的n 最大值为m b ．（I ）设数列为1，3，5，7，L ,写出123,,b b b 的值；（II ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a ；（III ）设12,p p a q a a a A =+++=L ，求12q b b b +++L 的值．（用,,p q A 表示）。

2014-2015学年北京市西城区高三上期末考试文科数学试卷

2014-2015学年北京市西城区高三上期末考试文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．设集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x|（x−1）（x−4）＜0}，则A ∩B ＝（）A 、{1，2，3，4}B 、{2，3}C 、{1，2，3}D 、{2，3，4}2．在实数范围内，下列不等关系不恒成立的是（）A 、x 2≥0B 、a 2＋b 2≥2ab C 、x ＋1＞x D 、|x ＋1|＞|x|3．下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上是单调递增函数的是（）A 、y ＝lgxB 、y ＝−x 2＋3C 、y ＝|x|−1D 、y ＝3x4．命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是（）A 、对任意实数x ，都有x ＞1B 、不存在实数x ，使x ≤1C 、对任意实数x ，都有x ≤1D 、存在实数x ，使x ≤15．已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则公差等于（）A 、2B 、4C 、6D 、86．已知a ，b 为不相等的两个正数，且lgab ＝0，则函数y ＝a x 和y ＝b x 的图象之间的关系是（）A 、关于原点对称B 、关于y 轴对称C 、关于x 轴对称D 、关于直线y ＝x 对称7．已知a ，b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件8．过曲线C ：y ＝x1（x ＞0）上一点P （x 0，y 0）作曲线C 的切线，若切线的斜率为−4，则x 0等于（）A 、2B 、21C 、4D 、419．已知函数f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧≤+->-12111x a x x x 在R 上满足：对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）≠f （x 2），则实数a 的取值范围是（）A 、（−∞，2]B 、（−∞，−2]C 、[2，＋∞）D 、[−2，＋∞）10．已知函数f （x ）＝xe x ，给出下列结论： ①（1，＋∞）是f （x ）的单调递减区间；②当k ∈（−∞，e1）时，直线y ＝k 与y ＝f （x ）的图象有两个不同交点； ③函数y ＝f （x ）的图象与y ＝x 2＋1的图象没有公共点．其中正确结论的序号是（）A 、①②③B 、①③C 、①②D 、②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．11．若x ∈R ＋，则x ＋x 4的最小值为____________． 12．log 22＋lne ＝____________．13．不等式xx 12-＞1的解集为____________． 14．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x−2）＝f （x ），且当x ∈[1，2]时，f （x ）＝x 2−3x＋2，则f （6）＝____________；f （21）＝____________． 15．函数f （x ）＝lnx−21x 2的极值是____________． 16．个人取得的劳务报酬，应当交纳个人所得税．每月劳务报酬收入（税前）不超过800元不用交税；超过800元时，应纳税所得额及税率按下表分段计算：（注：应纳税所得额单次超过两万，另有税率计算方法．）某人某月劳务报酬应交税款为800元，那么他这个月劳务报酬收入（税前）为_________元．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数f （x ）＝log 2（x 2−2x−8）的定义域为A ，集合B ＝{x|（x−1）（x−a ）≤0}．（Ⅰ）若a ＝−4，求A ∩B ；（Ⅱ）若集合A ∩B 中恰有一个整数，求实数a 的取值范围．18．已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，a 1＝−6，S 3＝S 4．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝2＋4，求数列{b n }的前n 项和．19．已知函数f （x ）＝x 2−2mx ＋3．（Ⅰ）当m ＝1时，求函数f （x ）在区间[−2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间[1，＋∞）上的值恒为正数，求m 的取值范围．20．已知函数f （x ）＝（a−x ）e x ＋1，其中a ＞0．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）证明函数f （x ）只有一个零点．21．某人销售某种商品，发现每日的销售量y （单位：kg ）与销售价格x （单位：元/kg ）满足关系式y ＝⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<-+-159617796)9(61502x x x x a x ，其中a 为常数．已知销售价格为8元/kg 时，该日的销售量是80kg ．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若该商品成本为6元/kg ，求商品销售价格x 为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大．22．已知函数f （x ）＝lnx ＋x−21mx 2．（Ⅰ）当m ＝2时，求函数f （x ）的极值点；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤mx−1恒成立，求整数m 的最小值．。

2014北京市西城区高三(一模)数学(文)

2014北京市西城区高三（一模）数学（文）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设全集U={x|0＜x＜2}，集合A={x|0＜x≤1}，则集合∁U A=（）A．（0，1）B．（0，1] C．（1，2）D．[1，2）2．（5分）已知平面向量=（2，﹣1），=（1，3），那么||等于（）A．5 B． C． D．133．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．4 D．55．（5分）下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sin2x C．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x6．（5分）设a＞0，且a≠1，则“函数y=log a x在（0，+∞）上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）如图，设P为正四面体A﹣BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（）A．4个B．6个C．10个D．14个二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）设复数=x+yi，其中x，y∈R，则x+y= ．10．（5分）若抛物线C：y2=2px的焦点在直线x+y﹣2=0上，则p= ；C的准线方程为．11．（5分）已知函数f（x）=，若f（x0）=2，则实数x0= ；函数f（x）的最大值为．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a值为．12．13．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是．14．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=2，P为线段AD（含端点）上一个动点．设=x，=y，记y=f（x），则f（1）= ；函数f（x）的值域为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求a的值．16．（13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．寿命（天）频数频率[100，200）10 0.05[200，300）30 a[300，400）70 0.35[400，500） b 0.15[500，600）60 c合计200 1（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值．17．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2AB，SA=SD，SA⊥AB，N是棱AD的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面SCD；（Ⅱ）求证：SN⊥平面ABCD；（Ⅲ）在棱SC上是否存在一点P，使得平面PBD⊥平面ABCD？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆W：=1（a＞b＞0）的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为﹣1，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆W的方程．（Ⅱ）设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为S k，证明：S1=S2．20．（13分）在数列{a n}中，a n=（n∈N*）．从数列{a n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b n}，并称{b n}为数列{a n}的k项子列．例如数列，，，为{a n}的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列{a n}的一个3项子列，并使其为等比数列；（Ⅱ）如果{b n}为数列{a n}的一个5项子列，且{b n}为等差数列，证明：{b n}的公差d满足﹣＜d＜0；（Ⅲ）如果{c n}为数列{a n}的一个6项子列，且{c n}为等比数列，证明：c1+c2+c3+c4+c5+c6≤．数学试题答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．【解答】∵全集U=（0，2），集合A=（0，1]，∴∁U A=（1，2）．故选：C．2．【解答】∵=（2，﹣1）+（1，3）=（3，2），∴==．故选：B．3．【解答】∵双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，∴b=2a，∴c==，∴e==．故选：D．4．【解答】由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，斜边为，高是1，梯形的上底为：3﹣=1，棱柱的高为2，∴四棱柱的体积是：=4，故选：C．5．【解答】对于任意x∈R，f（x）满足f（x）=f（﹣x），则函数f（x）是偶函数，选项中，A，B显然是奇函数，C，D为偶函数，又对于任意x∈R，f（x）满足f（x﹣π）=f（x），则f（x+π）=f（x），即f（x）的最小正周期是π，选项C的最小正周期是2π，选项D的最小正周期是=π，故同时满足条件的是选项D．故选D．6．【解答】若函数y=log a x在（0，+∞）上是减函数，则0＜a＜1，此时2﹣a＞0，函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数，成立．若y=（2﹣a）x3在R上是增函数，则2﹣a＞0，即a＜2，当1＜a＜2时，函数y=log a x在（0，+∞）上是增函数，∴函数y=log a x在（0，+∞）上是减函数不成立，即“函数y=log a x在（0，+∞）上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分而不必要条件，故选：A．7．【解答】设该设备第n年的营运费为a n万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n=2n，则该设备使用了n年的营运费用总和为T n==n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n=11n﹣（n2+n）﹣9=﹣n2+10n﹣9=﹣（n﹣5）2+16，∴当n=5时，S n取得最大值16，故选：B．8．【解答】符合条件的点P有两类：（1）6条棱的中点；（2）4个面的中心．共10个点．故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6=10．故选：C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．【解答】∵，又=x+yi，∴，∴，则x+y=．故答案为：．10．【解答】直线x+y﹣2=0，令y=0，可得x=2，∵抛物线C：y2=2px的焦点在直线x+y﹣2=0上，∴=2，∴p=4，准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为：4，x=﹣2．11．【解答】x≤0，x+3=2，∴x=﹣1；x＞0，=2，x=﹣（舍去）；x≤0，x+3≤3；x＞0，0＜＜1，∴函数f（x）的最大值为3．故答案为：﹣1，3．12．【解答】若a=2，则log3a=log32＞4不成立，则a=22=4，若a=4，则log3a=log34＞4不成立，则a=42=16，若a=16，则log3a=log316＞4不成立，则a=162=256若a=256，则log3a=log3256＞4成立，输出a=256，故答案为：25613．【解答】作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y=a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a=3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a=1+4=5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）14．【解答】如图，建立直角坐标系；设点P（a，b），则﹣2≤a≤﹣1；∴=（a+2，b），=（1，2）；=（﹣a，﹣b），=（﹣a，2﹣b）；又∵=x，∴，即，（其中0≤x≤1）；∴•=（﹣a，﹣b）•（﹣a，2﹣b）=a2﹣b（2﹣b）=（x﹣2）2﹣2x•（2﹣2x）=5x2﹣8x+4；即y=f（x）=5x2﹣8x+4，其中0≤x≤1；∴当x=1时，y=f（1）=5﹣8+4=1；当x=﹣=时，y取得最小值f（）=，当x=0时，y取得最大值f（0）=4；∴f（x）的值域是．故答案为：1，．三、解答题（共6小题，满分80分）15．【解答】（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵cosB=，B∈（0，π），∴sinB==，由正弦定理=，得a===3．16．【解答】（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，得a==0.15，b=200﹣（10+30+70+60）=30，c==0.3．（Ⅱ）设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A．由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为．（Ⅲ）由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60：100：40=3：5：2．所以按分层抽样法，购买灯泡数 n=3k+5k+2k=10k（k∈N*），所以n的最小值为10．17．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是矩形，∴AB∥CD，又∵AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以 AB∥平面SCD．（Ⅱ）证明：∵AB⊥SA，AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，又∵SN⊂平面SAD，∴AB⊥SN．∵SA=SD，且N为AD中点，∴SN⊥AD．∴SN⊥平面ABCD．（Ⅲ）解：如图，连接BD交NC于点F，在平面SNC中过F作FP∥SN交SC于点P，连接PB，PD．∵SN⊥平面ABCD，∴FP⊥平面ABCD．又∵FP⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面ABCD．在矩形ABCD中，∵ND∥BC，∴==．在△SNC中，∵FP∥SN，∴==．则在棱SC上存在点P，使得平面PBD⊥平面ABCD，此时=．18．【解答】（Ⅰ）由，∴，∴k=f′（1）=3，又∵f（1）=﹣2，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣5=0；（Ⅱ）由 f（x）＞﹣x+2，得，即 a＜xlnx+x2﹣2x，设函数g（x）=xlnx+x2﹣2x，则g′（x）=lnx+2x﹣1，∵x∈（1，+∞），∴lnx＞0，2x﹣1＞0，∴当x∈（1，+∞）时，g′（x）=lnx+2x﹣1＞0，∴函数g（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=﹣1，∵对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2成立，∴对于任意x∈（1，+∞），都有a＜g（x）成立，∴a≤﹣1．19．【解答】（Ⅰ）解：由题意得椭圆W的半焦距c=1，右焦点F（1，0），上顶点M（0，b），∴直线MF 的斜率为，解得 b=1，由 a2=b2+c2，得a2=2，∴椭圆W 的方程为．（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=kx+m，其中k=1或2，A（x1，y1），B（x2，y2）．由方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∴△=16k2﹣8m2+8＞0，（*）由韦达定理，得，．∴=．∵原点O到直线y=kx+m 的距离，∴=≤=，当且仅当m2=2k2﹣m2+1，即2m2=2k2+1时取等号．与k的取值无关系，因此S1=S2．20．【解答】（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列：，，．…（2分）（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1＞b2＞b3＞b4＞b5＞0，所以 d=b2﹣b1＜0．…（4分）因为 b5=b1+4d，b1≤1，b5＞0，所以 4d=b5﹣b1＞0﹣1=﹣1，解得．所以．…（7分）（Ⅲ）证明：由题意，设{c n}的公比为q，则．11 / 12因为{c n}为{a n}的一个6项子列，所以 q为正有理数，且q＜1，．…（8分）设，且K，L互质，L≥2）．当K=1时，因为，所以，所以．…（10分）当K≠1时，因为是{a n}中的项，且K，L互质，所以 a=K5×M（M∈N*），所以=．因为 L≥2，K，M∈N*，所以．综上，．…（13分）12 / 12。

2014届北京市西城区高三数学二模理科数学试卷(带解析)最全面(精华版)

届北京市西城区高三数学二模理科数学试卷（带解析）2014一、选择题1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】试题分析：，，，则，．考点：集合的运算．2. 在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】Ｂ【解析】试题分析：，在复平面内对应的点位于第二象限．考点：复数的运算，复数的几何意义．3. 直线为双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】试题分析：由题意可得，即，所以，即．考点：双曲性的几何意义．4. 某四棱锥的三视图如图所示，记 A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A．，且B．，且C．，且D．，且【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该四棱锥是底面对角线长为，高为的正四棱锥，因此它的底面边长为，侧棱长为，故选Ｄ．考点：三视图．5. 设平面向量，，均为非零向量，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】试题分析：由得，，得；反之不成立，故是的必要而不充分条件．考点：充要条件的判断．6. 如图，阴影区域是由函数的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】试题分析：根据余弦函数的对称性可得，曲线从到与x 轴围成的面积与从到与轴围成的面积相等，∴由函数的一段图象与轴围成的封闭图形的面积，，故选B．考点：定积分求面积。

7. 在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域是，不等式组所表示的平面区域是. 从区域中随机取一点，则P 为区域内的点的概率是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】试题分析：在同一坐标作出不等式组所表示的平面区域，与不等式组所表示的平面区域，由图可知，的面积为，与重叠的面积为，故从区域中随机取一点，则P 为区域内的点的概率为．考点：几何概率．8. 设为平面直角坐标系中的点集，从中的任意一点作，点轴、轴的垂线，垂足分别为，，记点. 若的横坐标的最大值与最小值之差为的纵坐标的最大值与最小值之差为是边长为 1 的正方形，给出下列三个结论：①的最大值为；②的取值范围是；③ 恒等于 0. 其中所有正确结论的序号是（）A ． ①B ． ②③C ． ①②D ． ①②③【答案】Ｄ【解析】试题分析：如下图两种画法分别是，取得最大值最小值的位置，由图可知，取，得最大值最小值分别为的取值范围是，取得最大值最小值分别为，且不管在何位置都有，故，即的最大值为，故①②③都正确．考点：函数的应用．二、填空题的二项展开式中，常数项为．9. 【答案】【解析】试题分析：二项式的通项．，令，得，故展开式中常数项为考点：二项式定理．10. 在 △ ABC 中，若，，，则；．【答案】，．【解析】试题分析：由得，，由，得是锐角，有正弦定理得，，即，所以．考点：正弦定理．11. 如图， AB 和；CD 是圆.的两条弦， AB 与 CD 相交于点 E ，且，，则【答案】，．【解析】试题分析：设，由得，，由相交线定理得，，即，解得；有圆周角定理可知，，又，所以，所以．考点：几何证明12. 执行如图所示的程序框图，输出的 a 值为．【答案】【解析】试题分析：第一次运行后，得，此时；第二次运行后，得，此时；第三次运行后，得，此时；第四次运行后，得，此时；第五次运行后，得，此时；第十次运行后，得，此时；此时停止循环，输出的的值为．考点：算法框图．13. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，则的取值范围是.【答案】【解析】试题分析：因为到准线的距离为在抛物线的内部，且抛物线．的准线为，设点，则考点：抛物线的性质．14. 已知 f 是有序数对集合上的一个映射，正整数数对在映射 f 下15. 的象为实数z，记作. 对于任意的正整数，映射由下表给出：则，使不等式成立的x 的集合是.【答案】，．【解析】试题分析：试题分析：根据映射对应法则可知；时，，当时，，因此当，当成立．时，，当时，考点：映射．三、解答题1. 在平面直角坐标系中，点，，其中.（1）当时，求向量的坐标；（2）当时，求的最大值.【答案】（1）；（2）取到最大值．【解析】试题分析：（1）求向量的坐标，由向量坐标的定义可知，，即可写出，再把代入求出值即可；（2）求的最大值，先求向量的最大值，由于是三角函数，可利用三角函数进行恒等变化，把它变化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的性质，即可求出的最大值，从而可得的最大值．（1）由题意，得，2分当时，，分4，所以分6.（2）因为，所以7分8分9分分. 10因为，所以1分1.所以当时，取到最大值，12 分即当时，取到最大值. 13 分考点：向量的坐标，向量的模，三角恒等变化．16. 为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的行视力检测．检测的数据如下：A，B 两班中各抽 5 名学生进A 班5 名学生的视力检测结果： 4.3 ，5.1 ，4.6 ，4.1 ，4.9.B 班5 名学生的视力检测结果： 5.1 ，4.9 ，4.0 ，4.0 ，4.5.（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（2）由数据判断哪个班的 5 名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（3）现从 A 班的上述 5 名学生中随机选取. 3 名学生，用X 表示其中视力大于 4.6 的人数，求X 的分布列和数学期望【答案】（1） A 班学生的视力较好；（ 2 ）B 班 5 名学生视力的方差较大；（3）所以随机变量的分布列如下：012.【解析】试题分析：（1）计算出平均数，看平均数的大小，平均数大的班学生的视力较好；（2）对数据分析，一看极差，二看数据集中程度，越集中方差越小，越离散方差越大，从数据上看，B 班5 名学生视力极差较大，数据相对较散，从而的结论；（3）对数据观察，找出视力大于17. 的人数，从而确定出期望．的所有可能取值，分别求出它们的概率，得分布列，进而可求出（1） A 班 5 名学生的视力平均数为， 2 分B 班5 名学生的视力平均数为. 3 分从数据结果来看 A 班学生的视力较好4分.（2）B 班 5 名学生视力的方差较大7分.（3）由（1）知，班的 5 名学生中有 2 名学生视力大于A .则的所有可能取值为，，8分.所以；分9；1分011 分.所以随机变量的分布列如下：01212 分故. 13 分考点：统计数据分析，平均数，方差，分布列与期望．2. 如图，在三棱锥，中，底面，，为的中点，为的中点，.（1）求证：平面；（2）求与平面成角的正弦值；（3）设点在线段上，且，平面，求实数的值.【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）求证：平面，证明线面垂直，先证线线垂直，即证线和平面内两条相交直线垂直，注意到为的中点，且，则平面2）求，再找一条直线与，即可，由已知垂直，即可，由已知底面，从而，既得，可证，问题得证．（这样平面与平面成角的正弦值，求线面角，即求线和射影所成的角，本题找射影相对困难，可用向量法，首先建立空间坐标系，先找三条两两垂直的直线作为坐标轴，在平面中，过点作因为平面为原点，，所以，平面，由底面，得，，两两垂直，这样以，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面的一成角，求出个法向量，利用线面角的正弦值等于线和法向量的夹角的余弦值即可求出与平面的正弦值；（3）求实数的值，由于点在线段上，且平面，由的坐标，再求出平面的一个法向量，利用线面平行，既线和法向量垂直，即线对应的向量和法向量数量积等于零，即可求出的值．（1）因为底面，底面，所以， 1 分又因为，，所以平面， 2 分又因为平面，所以 3 分.因为是中点，所以，又因为，所以平面 5 分.（2）在平面中，过点作因为平面，所以平面，由底面，得，，两两垂直，所以以系，为原点，，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴如图建立空间直角坐标则，，，，，. 6 分设平面的法向量为，因为，，由得，令，得分. 8设与平面成角为，因为，所以，即10 分.（3）因为，，所以，又因为，所以分. 12因为平面，平面的法向量，所以，解得14 分.考点：线面垂直的判断，线面角的求法，线面平行的判断．18. 已知函数，其中.（1）若，求函数的极值；（2）当时，试确定函数的单调区间.【答案】（1）当时，函数有极小值；（2）当时，的单调减区间为，单调增区间为，；当时，函数在单调递增；当时，函数的单调减区间为；单调增区间为，．【解析】试题分析：（1）若，求函数的极值，把代入得函数，求它的极值，首先求定义域，对函数求导，求出导数等于零点，及两边导数的符号，从而确定极值点；（2）当时，试确定函数的单调区间，由于含有指数函数，可通过求导数来确定函数单调区间，因此先确定函数的定义域为但由于含有参数，需对参数讨论，分单调区间．，对函数，求导，令，解不等式即可，，三种情况讨论，从而确定出（1）函数的定义域为，且. 1 分3 分.令，得，当变化时，和的变化情况如下：↘↘↗5 分故的单调减区间为，；单调增区间为．所以当时，函数有极小值 6 分.（2）因为，所以，所以函数的定义域为，7 分求导，得，分8令，得，，9分当时，，当变化时，和的变化情况如下：↗↘↗故函数的单调减区间为，单调增区间为，．11 分当时，，因为，（当且仅当时，）所以函数在单调递增分. 12当时，，当变化时，和的变化情况如下：↗↘↗故函数的单调减区间为，单调增区间为，．综上，当时，的单调减区间为，单调增区间为，；当时，函数在单调递增；当时，函数的单调减区间为；单调增区间为，．13 分考点：函数的极值，利用导数判断单调性．19. 设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O 为坐标原点.（1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在y 轴上，求直线AB 的方程；（2）设为轴上一点，且轴对称. ，直线与椭圆的另外一个交点为C，证明：点与点关于【答案】（1）直线（即）的方程为或；（2 ）详见解析．【解析】试题分析：（1）由已知条件推导出点的坐标为，由此能求出直线（即）的方程．（只要证点2 ）设点关于轴的对称点为（在椭圆与椭圆上），要证点与点关于轴对称，与点 C 重合，又因为直线的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线即可．（1）椭圆的右焦点为，1分因为线段的中点在y 轴上，所以点的横坐标为，因为点在椭圆上，将代入椭圆的方程，得点的坐标为 3 分.所以直线（即）的方程为或 5 分.（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点 C 重合，.又因为直线与椭圆的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线. 7分以下给出证明：由题意，设直线的方程为，则, , .由得，9分所以，，分. 10在中，令，得点的坐标为，由，得点的坐标为，11 分设直线，的斜率分别为，，则，12 分因为，13 分所以，所以点，，三点共线，即点与点关于轴对称14 分.考点：直线与椭圆综合问题．20. 在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设，记使得成立的的最大值为.（1）设数列为1，3 ，5，7，，写出，，的值；（2）若为等差数列，求出所有可能的数列；（3）设，，求的值.（用表示）【答案】（1），，；（2）；（3）．【解析】试题分析：（，则1）根据使得，这样就写出成立的的最大值为，，则，，则，，，的值；（2）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列，从而求出；（3 ）确定，，依此类推，发现规律，得出的值．（1），，3分.（2）由题意，得，结合条件，得4分.又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，所以，分5.设，则.假设，即，则当时，；当时，.所以，.因为为等差数列，所以公差，所以，其中.这与矛盾，所以. 分6又因为，所以，由为等差数列，得，其中7分.因为使得成立的的最大值为，所以，由，得. 分8（3）设，因为，所以，且，所以数列中等于 1 的项有个，即个；9 分设，则，且，所以数列中等于 2 的项有个，即个；10 分以此类推，数列中等于的项有个. 分11所以.即分. 13考点：等差数列与等比数列的性质，数列求和．。

2014年高三二模数学(文)北京市西城区试题Word版带解析

北京市西城区2014年高三二模试卷数学（文科） 2014.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|20}A x x =-<，集合{|1}B x x =>，则（）（A ）A B ⊆（B ）B A ⊆（C ）AB =∅ （D ）A B ≠∅解析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，所以答案D. 知识点;集合与常用逻辑用语--------集合的运算难度系数：22．在复平面内，复数=(12i)(1i)z +-对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限解析：2=(12i)(1i)1223z i i i i +-=-+-=+，所以对应的点是（3,1）点在第一象限。

知识点; 推理与证明、数系的扩充与复数--------复数---复数乘除和乘方难度系数：23．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（）（A （B ）2（C （D ）2解析：双曲线的渐近线方程为b y x a =±，2222222,,5,5,bc a b c a e e a∴==+===，所以答案为C知识点：解析几何---------圆锥曲线--------双曲线难度系数：34．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）（A ） 2A ∈，且4A ∈ （BA ，且4A ∈（C ） 2A ∈，且A （DAA解析：有三视图可得，该四棱锥是底面边长的正方形，高为4的正四棱锥，所以=D 。

知识点：立体几何-------空间几何体----------空间几何体的三视图和直观图难度系数：25．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：平面向量a ，b ，c 均为非零向量，()0⋅-=a b c ，可以得出=b c 或者()⊥-a b c ；所以为必要不充分条件。

北京市西城区年高三二模数学文科答案

中国威望高考信息资源门户北京市西城区2014 年高三二模试卷参照答案及评分标准高三数学（文科）2014.5一、：本大共8小，每小5分，共 40 分.1．D2． A3． C4． D5．B6． A7 ．D8． B二、填空：本大共6小，每小5分，共 30 分.9．2n210．311．212．122214．8{1,2}13．3注：第 9，14第一2分，第二 3 分 .三、解答：本大共6小，共 80 分.其余正确解答程，参照分准分. 15．（本小分13 分）（Ⅰ）解： f ( x) sin x cosx cos2 x11sin 2x 1 cos2x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 422分1sin 2x 1cos 2x12222π1⋯⋯⋯⋯⋯⋯6sin(2 x)，242分因此函数 f (x) 的最小正周期T2ππ.⋯⋯⋯⋯⋯⋯72分（Ⅱ）解：由π≤ 0，得5πππ≤ x4≤ 2x≤-.244π2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯9因此 1≤ sin(2 x) ≤42中国威望高考信息资源门户分因此2 1 2 sin(2 xπ 1 2 1≤ f (x) ≤ 1 .⋯⋯⋯112 ≤2 )≤1，即422分πππ 取到最小f (π2 1当 2x，即 x，函数 f ( x) )2 ；⋯ 124288分π5π πf (π1.⋯⋯⋯⋯ 13当 2x，即 x 2 ，函数 f ( x) 取到最大)442分16．（本小分 13 分）（Ⅰ）解：A 班5名学生的力均匀数x A = 4.3+5.1+4.6+4.14.9=4.6 ， ⋯⋯⋯⋯ 25分B 班 5 名学生的力均匀数x B = 5.1+4.9+4.0+4.04.5=4.5 .⋯⋯⋯⋯⋯35分从数据果来看 A 班学生的力好 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ）解：B 班 5名学生力的方差大 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（Ⅲ）解：在 A 班抽取的 5 名学生中，力大于 4.6 的有 2 名，因此 5 名学生力大于4.6 的率 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯115分因此全班40 名学生中力大于4.6 的大有40216 名，A165依据数据可推测班有名学生力大于4.6⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13．分17．（本小分14 分）（Ⅰ）明：在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，因A 1 D 1平面ABB 1 A 1 ，A 1D 1平面A 1 BD 1 ，中国威望高考信息资源门户因此平面 A 1 BD 1 平面 ABB 1 A 1 .分（Ⅱ）明：接 BD ， AC ， BDAC G ，接 OG .因 ABCDA 1B 1C 1D 1 正方体，因此AE // DD 1，且 AE1DD 1 ，且 G 是 BD 的中点，2A 1又因 O 是 BD 1 的中点，因此 OG // DD 1 ，且 OG1DD 1，E2因此 OG // AE ，且 OG AE ，A即四形 AGOE 是平行四形，因此 EO //AG ，又因EO 平面 ABCD ， AG平面 ABCD ，因此 EO // 平面 ABCD .分（Ⅲ）解：足条件 OP 2的点 P 有12 个 .分原因以下：因ABCDA 1B 1C 1D 1 正方体， AA 1 2 ，因此 AC 2 2.因此 EO AG 1AC2 .2分在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，因 AA 1平面 ABCD ， AG 平面 ABCD ，因此 AA 1AG ，又因 EO//AG ，因此AA 1 OE ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯4D 1C 1B 1ODCGB⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯9⋯⋯⋯⋯⋯⋯12⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13中国威望高考信息资源门户点O 到棱AA 1 的距离2 ，因此在棱AA 1 上有且只有一个点（即中点E ）到点O 的距离等于2 ，同理，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1 每条棱的中点到点O 的距离都等于2 ，因此在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1 棱上使得OP2的点P有12个 .⋯⋯⋯14分18. （本小分 13 分）（Ⅰ）解：函数 f (x)e x 的定域 { x | x R ，且 x 1} .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1x1分e x ( x1) e xxe x⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分f ( x)(x22.1) ( x 1)令 f ( x)0 ，得 x0 ，当 x 化，f ( x) 和 f ( x) 的化状况以下：( ,1)( 1,0)(0,)xf ( x)f (x)↘ ↘ ↗⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分故 f ( x) 的减区 ( , 1)， ( 1,0) ；增区 (0, ) ．因此当 x 0 ，函数f ( x) 有极小 f (0)1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分（Ⅱ）解：：函数 g(x) 存在两个零点 .明程以下：e x由意，函数g( x)x2x 11，因 x2x 1 (x 1 )230 ，24因此函数 g( x) 的定域R .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分x2x1)x x1)e (x e (2x 1)ex (x⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7求，得 g (x)( x2x1)2( x2x1) 2，分令 g ( x)0 ，得 x10 ， x2 1 ，当 x 化，g (x)和g (x)的化状况以下：x(, 0)01(1, )(0,1)g ( x)0g ( x)↗↘↗故函数 g( x) 的减区 ( 0,1)；增区 (,0)，(1,)．当x0，函数 g( x)有极大g( 0 )；当x1，函数 g (x) 有极小g(1)e1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 3分因函数 g( x) 在(, 0)增，且 g(0)0，因此于随意 x (, 0)， g(x)0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分因函数 g( x) 在( 0,1)减，且g(0) 0 ，因此于随意x (0,1) ，g (x)0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分因函数 g( x) 在(1,) 增，且e0 ， g (2)e2g (1)1 1 0 ，37因此函数 g(x) 在(1,) 上存在一个x0，使得函数g( x0 )0 ，⋯⋯⋯⋯12分故函数 g( x) 存在两个零点（即0 和 x0）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分19．（本小分14 分）（Ⅰ）解：W的半a 2 ，左焦点F1 ( 1,0) ，右焦点F2 (1,0) ，⋯⋯⋯⋯2分由的定，得|AF1||AF2|2a ，|BF1|| BF2|2a，因此ABF1的周|AF1||AF2||BF1|| BF2|4a4 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（Ⅱ）解：因ABF1直角三角形，因此BF1A 90o，或BAF190o，或ABF190o，当 BF1 A 90o，直 AB 的方程y k( x 1) ，A(x1, y1)，B( x2, y2)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分x2y 21,得 (1 2k2 )x24k 2 x 2k 2由2 2 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 y k ( x1),分因此 x1x24k 22， x1 x22k 22⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 2k 1 2k2.1分由 BFA90o，得 F A F B0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 111分因 F1A(x1 1, y1 ) ， F1B ( x21, y2 ) ，因此F1 A F1 B x1x2( x1x2 ) 1 y1 y2x1x2( x1x2 ) 1 k 2 (x1 1)( x21)(1 k 2 ) x1 x2(1 k 2 )( x1 x2 ) 1 k 2(1k 2 )2k22(1 k 2 )4k 2 1 k 20 ，⋯⋯⋯⋯⋯1012k212k 2分7解得 k.⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 7分当BAF190o（与ABF190o同样），点 A 在以段 F1F2直径的 x2y21上，也在W 上，x2y21,，或 A(0,1) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13由2解得 A(0,1)x2y21,分依据两点斜率公式，得 k 1 ，上，直 l 的斜率 k7k1，ABF1直角三角形.⋯⋯⋯⋯⋯14，或7分20．（本小分13 分）（Ⅰ）解： b1， b1， b 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 123分（Ⅱ）解：因 { a n} 等比数列，a1 1， a2 2 ，因此 a2n 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 n分因使得 a n≤m 建立的 n 的最大 b m，中国威望高考信息资源门户因此 b11， b2b3 2 ， b4b5b6b7 3 ， b8 b9b15 4 ，b 16b17b31 5 ， b32b33b50 6 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分因此 b1b2b3b50243 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（Ⅲ）解：由意，得 1a1 a2a3a n，合条件 a n N*，得 a n≥n.⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分又因使得a n≤m 建立的 n 的最大b m，使得 a n≤ m 1 建立的 n 的最大b m 1，因此 b11， b m≤b m 1 (m N *).⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分a2k， k≥ 2 .假 k2，即a2k >2 ，当 n≥2，a n 2 ；当n≥3， a n≥k 1.因此 b21， b k 2 .因 { b n } 等差数列，因此公差 d b2b10 ，因此 b n1，此中n N *.与 b k2(k2)矛盾，因此 a2 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11分又因 a a a an ，123因此 b 2 ，2中国威望高考信息资源门户由 {b n } 等差数列，得b n n ，此中n N *.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分因使得 a n≤m 建立的 n 的最大 b m，因此 a n≤n，由 a n≥n，得 a n n .⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分更多下：（在文字上按住ctrl即可看）高考模：高考各科模【下】年高考：年高考各科【下】高中卷道：高中各年各科卷【下】高考源：各年及学料【下】点此接可看更多高考有关【下】。

北京市西城区2014届高三二模试卷数学文

北京市西城区2014年高三二模试卷数学（文科） 2014.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集{|02}U x x =<<，集合1{|0}A x x =<≤，则集合U A =ð（）（A ）(0,1) （B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)2．已知平面向量(2,1)=-a ，(1,3)=b ，那么|a +b |等于（）（A ）5 （B（C（D ）133．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（）（A（B ）2（C（D4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A ）2 （B ）43（C ）4 （D ）5正(主)视图俯视图侧(左)视图6．设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数”是“函数3(2)y a x =-在R 上是增函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（）（A ）4 （B ）5（C ）6（D ）78. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（）（A ） 4个（B ）6个（C ）10个（D ）14个5．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（）（A ）()sin =f x x （B ）()sin 2=f x x （C ）()cos =f x x （D ）()cos 2=f x xBADC. P第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．10．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____．11．已知函数3, 0,()1, 0,1≤+⎧⎪=⎨>⎪+⎩x x f x x x 若0()2=f x ，则实数0=x ______；函数()f x 的最大值为_____．12．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为______．13．若不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是__________.14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点. 设AP xAD =，PB PC y ⋅=，记()=y f x ，则(1)=f ____；函数()f x 的值域为_________.A D C P三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）如果cos =B ，2b =，求a 的值. 16．（本小题满分13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b ，c 的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了()*∈n nN 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽样．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥， N 是棱AD 的中点.（Ⅰ）求证：//AB 平面SCD ；（Ⅱ）求证：SN ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ?若存在，求出SPPC的值；若不存在，说明理由. 18．（本小题满分13分）已知函数()ln af x x x=-，其中a ∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y W a b a b+=>>：的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆W 的方程.（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 与W 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =.20．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，1()n a n n*=∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等比数列；（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足104d -<<；（Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1234566332c c c c c c +++++≤.北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2014.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．25-10．4 2=-x 11．1- 3 12．25613． (3,5) 14．1 4[,4]5注：第10、11、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+，所以 2221cos 22b c a A bc +-==， ……………… 4分又因为 (0,π)∈A ，所以 π3A =. ……………… 6分（Ⅱ）解：因为 cos 3=B ，(0,π)∈B ，所以 sin B ==， ………………8分由正弦定理 sin sin =a bA B， ………………11分得 sin 3sin ==b Aa B. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.15a =，30b =，0.3=c . ……………… 3分（Ⅱ）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A . ……………… 4分由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为100604()2005+==P A . …………… 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:403:5:2=. (10)分所以按分层抽样法，购买灯泡数 35210()*=++=∈n k k k k k N ，所以n 的最小值为10． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是矩形，所以 //AB CD ， ……………… 1分又因为 AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，所以 //AB 平面SCD . ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为 , , AB SA AB AD SAAD A ⊥⊥=，所以 ⊥AB 平面SAD ， ……………… 5分又因为 SN ⊂平面SAD ，所以 AB SN ⊥. ……………… 6分因为 SA SD =，且N 为AD 中点，所以 SN AD ⊥. 又因为 ABAD A =，所以 SN ⊥平面ABCD . ……………… 8分（Ⅲ）解：如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作//FP SN 交SC 于点P ，连接PB ，PD .因为 SN ⊥平面ABCD ，所以 FP ⊥平面ABCD . (11)又因为 FP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD . …………… 12在矩形ABCD 中，因为//ND BC ，所以12NF ND FC BC ==. 在SNC ∆中，因为//FP SN ，所以12NF SP FC PC ==. 则在棱SC 上存在点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ，此时12SP PC =. ……… 14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由2()ln f x x x=-，得212()f x x x '=+， (2)分所以 (1)3f '=，又因为 (1)2f =-，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为350x y --=. ……………… 4分（Ⅱ）解：由 ()2f x x >-+，得ln 2ax x x->-+，即 2ln 2a x x x x <+-. ……………… 6分设函数2()ln 2g x x x x x =+-，则 ()ln 21g x x x '=+-， ……………… 8分因为(1,)x ∈+∞，所以ln 0x >，210x ->，所以当(1,)x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->， ……………… 10分故函数()g x 在(1,)x ∈+∞上单调递增，所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)1g x g >=-. ……………… 11分因为对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立，所以对于任意(1,)x ∈+∞，都有()a g x <成立.所以1a -≤. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得椭圆W 的半焦距1c =，右焦点(1,0)F ，上顶点(0,)M b ，…… 1分所以直线MF 的斜率为0101-==--MF b k ，解得 1b =， ……………… 3分由 222a b c =+，得22a =，所以椭圆W 的方程为2212x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中1k =或2，11(,)A x y ，22(,)B x y .… 6分由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>，（*）由韦达定理，得122412km x x k -+=+, 21222212m x x k -=+. (8)分所以||AB == (9)分因为原点O 到直线y kx m =+的距离d =， (10)分所以 1||2AOB S AB d ∆=⋅= ……………… 11分当1k =时，因为AOB S ∆=所以当232m =时，AOB S ∆的最大值12S =，验证知（*）成立； ……………… 12分当2k =时，因为AOB S ∆=所以当292m =时，AOB S ∆的最大值22S =；验证知（*）成立.所以 12S S =. ……………… 14分注：本题中对于任意给定的k ，AOB ∆的面积的最大值都是2.20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列：12，14，18. ……………… 2分（Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥，所以 210d b b =-<. ……………… 4分因为 514b b d =+，151,0b b >≤，所以 514011d b b =->-=-，解得 14d >-. 所以104d -<<. ……………… 7分（Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，则 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++. 因为{}n c 为{}n a 的一个6项子列，所以 q 为正有理数，且1q <，111()c a a*=∈N ≤. ……………… 8分设 (,Kq K L L*=∈N ，且,K L 互质，2L ≥）.当1K =时，因为 112q L =≤，所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++ 2345111111()()()()22222+++++≤，所以 1234566332c c c c c c +++++≤. ……………… 10分当1K ≠时，因为 556151==⨯K c c q a L是{}n a 中的项，且,K L 互质，所以 5*()a K M M =⨯∈N ，所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++543223*********()M K K L K L K L KL L=+++++. 因为 2L ≥，*,K M ∈N ，所以 234512345611111631()()()()2222232c c c c c c ++++++++++=≤. 综上， 1234566332c c c c c c +++++≤. ……………… 13分。

2014年北京市海淀区高考数学二模试卷(文科)(附答案解析版)

2014年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集为R ，集合A ={x|x ≥1}，那么集合∁R A 等于（） A.{x|x >1} B.{x|x >−1} C.{x|x <1} D.{x|x <−1}2. 已知命题P:∀x ∈R ，x 2+x −1<0，则命题￢P 是（） A.∀x ∈R ，x 2+x −1≥0 B.∃x ∈R ，x 2+x −1≥0 C.∀x ∈R ，x 2+x −1>0 D.∃x ∈R ，x 2+x −1<03. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上单调递增的是( ) A.y =x 3 B.y =cos x C.y =1x 2D.y =ln |x|4. 设a =log 23，b =log 43，c =sin 90∘，则（） A.a <c <b B.b <c <a C.c <a <bD.c <b <a5. 下面给出的四个点中，位于{x +y +1>0x −y +1<0表示的平面区域内，且到直线x −y +1=0的距离为√22的点是（） A.(−1, 1) B.(−2, 1) C.(0, 3) D.(1, 1)6. 已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →=λAB →+μAD →，则λ+μ＝（）A.2B.−2C.3D.−37. 如图所示，为了测量某湖泊两侧A 、B 间的距离，李宁同学首先选定了与A 、B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：(△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别记为a 、b 、c)：①测量A 、C 、b ；②测量a 、b 、C ；③测量A 、B 、a ；则一定能确定A 、B 间距离的所有方案的序号为（）A.①②B.②③C.①③D.①②③8. 已知点E 、F 分别是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AA 1的中点，点M 、N 分别是线段D 1E 与C 1F 上的点，则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有（） A.0条 B.1条C.2条D.无数条二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.复数2+i 的模等于________．若抛物线y 2=2px(p >0)的准线经过双曲线x 2−y 2=1的左顶点，则p =________．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为________．下列函数中：①y=−sin2x；②y=cos2x；③y=3sin(2x+π4)，其图象仅通过向左（或向右）平移就能与函数f(x)=sin2x的图象重合的是________. (填上符合要求的函数对应的序号)已知实数a>0且a≠1，函数f(x)={a x，x<3ax+b,x≥3，若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N∗)，且{a n}是等差数列，则a=________，b=________．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如图：根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大，该区域种植密度为________株/m2．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知函数f(x)=2√3sin x cos x−2sin2x+a，a∈R．（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围．如图所示为某地区2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况：记△x=本月价格指数-上月价格指数．规定：△x>0时，称本月价格指数环比增长；△x<0时，称本月价格指数环比下降；当△x=0时，称本月价格指数环比持平．（1）比较2012年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）；（2）直接写出从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份．若从这12个月中随机选择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都环比下降的概率；（3）由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大．（结论不要求证明）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．(Ⅰ)求证：AB⊥平面AA1 C1C；(Ⅱ)若线段AC上的点D满足平面DEF // 平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；(Ⅲ)证明：EF⊥A1C．已知函数f(x)=13x3+ax2+4x+b，其中a、b∈R且a≠0．（1）求证：函数f(x)在点（0, f(0)）处的切线与f(x)总有两个不同的公共点；（2）若函数f(x)在区间(−1, 1)上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围．已知椭圆G的离心率为√22，其短轴两端点为A(0, 1)，B(0, −1)．(Ⅰ)求椭圆G的方程；(Ⅱ)若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC、BD与x轴分别交于点M、N．判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由．给定正整数k≥3，若项数为k的数列{a n}满足：对任意的i=1、2、…、k，均有a i≤S kk−1（其中S k=a1+a2+...+a k），则称数列{a n}为“Γ数列”．(1)判断数列−1，3，5，2，4和34，3242，3343是否是“Γ数列”，并说明理由；(2)若{a n}为“Γ数列”，求证：a i≥0对i=1，2，…，k恒成立；(3)设{b n}是公差为d的无穷项等差数列，若对任意的正整数m≥3，b1，b2，…，b m均构成“Γ数列”，求{b n}的公差d．参考答案与试题解析2014年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【考点】补集及其运算【解析】根据全集R及A，求出A的补集即可．【解答】解：∵全集为R，集合A={x|x≥1}，∴∁R A={x|x<1}．故选：C．2.【答案】B【考点】命题的否定【解析】对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是全称命题，由此不难得到对命题“∃x<0，有x2>0”的否定．【解答】解：∵对命题：“∀x∈A，¬P(X)”否定是“∃x∈A，P(X)”∴对命题“∀x∈R，x2+x−1<0”的否定是“∃x∈R，x2+x−1≥0”故选B．3.【答案】D【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性．【解答】解：A，函数y=x3为奇函数，在(0, +∞)上单调递增，所以A不合适；B，函数y=cos x为偶函数，但在(0, +∞)上不单调，所以B不合适；C，函数y=1x2为偶函数，在(0, +∞)上单调递减，所以C不合适；D，函数y=ln|x|为偶函数，在(0, +∞)上单调递增，所以D合适．故选D. 4.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用对数函数的单调性、sin90∘=1即可得出．【解答】解：∵b=log43<log44=1，c=sin90∘=1，a=log23>log22=1．∴b<c<a．故选：B．5.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设到直线x−y+1=0的距离为√22的直线为x−y+a=0，则|a−1|√2=√22，即|a−1|=1，解得a=0或a=2，则对应的直线为x−y=0或x−y+2=0，则到直线x−y+1=0的距离为√22的点必在直线x−y+2=0上，故选：A．6.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和向量基本定理即可得出．【解答】如图所示，建立直角坐标系．则AD →=(1, 0)，AC →=(2, −2)，AB →=(1, 2)．∵ AC →=λAB →+μAD →，∴ (2, −2)＝λ(1, 2)+μ(1, 0)＝(λ+μ, 2λ)， ∴ {2=λ+μ−2=2λ ，解得λ＝−1，μ＝3． ∴ λ+μ＝2． 7.【答案】 D【考点】解三角形的实际应用【解析】根据图形，可以知道a ，b 可以测得，角A 、B 、C 也可测得，利用测量的数据，求解A ，B 两点间的距离唯一即可．【解答】解：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A ，B 两点间的距离．对于②直接利用余弦定理即可确定A ，B 两点间的距离．故选：D ． 8.【答案】 D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】取BB 1的中点H ，连接FH ，在D 1E 上任取一点M ，过M 在面D 1HE 中，作MG 平行于HO ，其中O 为线段D 1E 的中点，交D 1H 于G ，再过G 作GN // FH ，交C 1F 于N ，连接MN ，根据线面平行的判定定理，得到GM // 平面ABCD ，NG // 平面ABCD ，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG // 平面ABCD ，由面面平行的性质得到则MN // 平面ABCD ，由于M 是任意的，故MN 有无数条．【解答】解：取BB 1的中点H ，连接FH ，则FH // C 1D ，连接HE ，在D 1E 上任取一点M ，过M 在面D 1HE 中，作MG 平行于HO ，其中O 为线段D 1E 的中点，交D 1H 于G ，再过G 作GN // FH ，交C 1F 于N ，连接MN ，O 在平面ABCD 的正投影为K ，连接KB ，则OH // KB ，由于GM // HO ，HO // KB ，KB ⊂平面ABCD ， GM ⊄平面ABCD ，所以GM // 平面ABCD ，同理由NG // FH ，可推得NG // 平面ABCD ，由面面平行的判定定理得，平面MNG // 平面ABCD ，则MN // 平面ABCD ．由于M 为D 1E 上任一点，故这样的直线MN 有无数条．故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.【答案】√5【考点】复数的模【解析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：∵ z =2+i ，∴ |z|=√22+12=√5．故答案为：√5．【答案】 2【考点】双曲线的特性【解析】先求出x 2−y 2=1的左顶点，得到抛物线y 2=2px 的准线，依据p 的意义求出它的值．【解答】解：双曲线x 2−y 2=1的左顶点为(−1, 0)，故抛物线y 2=2px 的准线为x =−1， ∴ p2=1，∴ p =2，故答案为：2．【答案】 8【考点】程序框图【解析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件n >10，确定输出S 的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S =1，n =2；第二次循环S =1+2=3，n =22+1=5；第三次循环S =3+5=8．n =52+1=26．满足条件n >10，跳出循环体，输出S =8．故答案为：8．【答案】①②【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用诱导公式的应用，根据y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】解：对于①，把y=−sin2x的图象向左平移π2个单位，即可得到y=−sin2(x+π2)=sin2x的图象，故①满足条件；对于②，把y=cos2x=sin(2x+π2)的图象向右平移π4个单位，即可得到y=sin[2(x−π4)+π2]=sin2x的图象，故②满足条件；对于③，y=3sin(2x+π4)无论向左或向右平移多少个单位，图象上各点的纵坐标不变，故不能通过向左（或向右）平移的方法使它的图象与函数f(x)=sin2x的图象重合，故③不满足条件．故答案为：①②．【答案】2,0【考点】分段函数的应用【解析】由条件得到a n={a n，n<3an+b,n≥3，根据等差数列的定义，即可得到a2−a=a，3a+b−a2=a，求出a，b 即可．【解答】解：∵函数f(x)={a x，x<3ax+b,x≥3，∴a n={a n，n<3an+b,n≥3，∴a1=a，a2=a2，a3=3a+b，a4=4a+b，a5=5a+b，…，a n=na+b，∵{a n}是等差数列，∴a2−a=a，即有a=0（舍去）或2，∴3a+b−a2=a，即b=0，故答案为：2，0．【答案】5,3.6【考点】根据实际问题选择函数类型收集数据的方法【解析】根据图象求出种植密度函数以及单株产量函数即可得到结论．【解答】解：种植密度函数对应的直线经过点(1, 2.4)，(8, 4.5)，则对应直线的斜率k=4.5−2.48−1=2.17=0.3，则直线方程为y−2.4=0.3(x−1)，即y=0.3x+2.1，单株产量函数对应的直线经过点(1, 1.28)，(8, 0.72)，则对应直线的斜率k=1.28−0.721−8=0.56−7=−0.08，则直线方程为y−1.28=−0.08(x−1)，即y=−0.08x+1.36，即总产量m(x)=(0.3x+2.1)(−0.08x+1.36)=−0.024(x+7)(x−17)=−0.024(x2−10x−119)，∴当x=5时，函数m(x)有最大值，即5号区域的总产量最大，此时当x=5代入y=0.3x+2.1得y=0.3×5+2.1=3.6，故答案为：5，3.6．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【答案】解：（1）∵f(x)=√3sin2x+cos2x+a−1=2sin(2x+π6)+a−1，∴T=2π2=π，∴函数f(x)的最小正周期为π．（2）令f(x)=0，即2sin(2x+π6)+a−1=0，则a=1−2sin(2x+π6)，∵−1≤sin(2x+π6)≤1，∴−1≤1−2sin(2x+π6)≤3，∴若f(x)有零点，则实数a的取值范围是[−1, 3]．【考点】三角函数中的恒等变换应用三角函数的周期性及其求法【解析】（1）首先，利用二倍角公式，化简函数解析式，然后，利用周期公式确定该函数的最小正周期；（2）令f(x)=0，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解．【解答】解：（1）∵f(x)=√3sin2x+cos2x+a−1=2sin(2x+π6)+a−1，∴T=2π2=π，∴函数f(x)的最小正周期为π．（2）令f(x)=0，即2sin(2x+π6)+a−1=0，则a=1−2sin(2x+π6)，∵−1≤sin(2x+π6)≤1，∴−1≤1−2sin(2x+π6)≤3，∴若f(x)有零点，则实数a的取值范围是[−1, 3]．【答案】解：（1）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值．--------------------（2）从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月．------------------------------------------设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A，--------------------------------------在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------其中事件A有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况．---------∴P(A)=311−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（3）从2012年11月开始，2012年11月，12月，2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大．-----------------------------------------【考点】频率分布直方图【解析】由2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况表得出上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值．（2）由2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况表得出价格指数环比下降的月份；通过列举得出任取连续两个月和所选两个月的价格指数都环比下降的取法，利用古典概型的概率公式求出．（3）由2012年1月到2013年1月鲜蔬价格指数的变化情况表得出价格指数方差最大的月份【解答】解：（1）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值．--------------------（2）从2012年2月到2013年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月．------------------------------------------设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A，--------------------------------------在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，------------------------------其中事件A有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况．---------∴P(A)=311−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（3）从2012年11月开始，2012年11月，12月，2013年1月这连续3个月的价格指数方差最大．-----------------------------------------【答案】（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，∵AB⊥AC，A1A∩AC＝A，∴AB⊥面A1CC1．(II)∵面DEF // 面ABC1，面ABC∩面DEF＝DE，面ABC∩面ABC1＝AB，∴AB // DE，∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．(III)证明：∵三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A＝AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，由(Ⅰ)得AB⊥A1C，∵AB∩AC1＝A，∴A1C⊥面ABC1，∴A1C⊥BC1．又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF // BC1，∴EF⊥AC1．【考点】直线与平面垂直【解析】（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．(II)由AB // DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．(III)由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．【解答】（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，∵AB⊥AC，A1A∩AC＝A，∴AB⊥面A1CC1．(II)∵面DEF // 面ABC1，面ABC∩面DEF＝DE，面ABC∩面ABC1＝AB，∴AB // DE，∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．(III)证明：∵三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A＝AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，由(Ⅰ)得AB⊥A1C，∵AB∩AC1＝A，∴A1C⊥面ABC1，∴A1C⊥BC1．又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF // BC1，∴EF⊥AC1．【答案】解：（1）f′(x)=x 2+2ax +4， ∴ f′(0)=4，且f(0)=b ；∴ 在点（0, f(0)）处的切线方程为：y =4x +b ；解{y =4x +by =13x 3+ax 2+4x +b 得：x =0，或x =−3a ；∵ a ≠0，方程组有两个不同解，∴ 切线与f(x)总有两个不同的公共点．（2）法一：f′(x)=x 2+2ax +4=(x +a)2+4−a 2，根据题意可知：4−a 2<0 ①方程x 2+2ax +4=0有两个实数根，x =−a −√a 2−4，或x =−a +√a 2−4；∴ {−1<−a −√a 2−4<1−a +√a 2−4>1 ②或{−1<−a +√a 2−4<1−a −√a 2−4<−1③∴ 解①得：a <−2，或a >2；当a <−2，或a >2时②的解是：a <−52；当a <−2，或a >2时③的解是：a >52． ∴ a 的取值范围是：(−∞, −52)∪(52, +∞)．法二：∵ f(x)在区间(−1, 1)上有且仅有一个极值点， ∴ 由二次函数图象性质可得 f′(−1)f′(1)<0 即(5−2a)(5+2a)<0，解得a <−52或a >52，∴ a 的取值范围是：(−∞, −52)∪(52, +∞)．【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】根据函数在一点的导数与过这一点切线斜率的关系，求出切线的斜率，再求出f(0)，从而求出切线方程．切线与函数曲线有几个公共点，就看切线方程与函数f(x)形成的方程组有几个解，所以连立方程组便能证明（1）．对于第二问，首先要求令导函数等于0的解有两个不同解，并要求只有一个根在(−1, 1)上，从而求出a 的范围．【解答】解：（1）f′(x)=x 2+2ax +4， ∴ f′(0)=4，且f(0)=b ；∴ 在点（0, f(0)）处的切线方程为：y =4x +b ；解{y =4x +by =13x 3+ax 2+4x +b 得：x =0，或x =−3a ；∵ a ≠0，方程组有两个不同解，∴ 切线与f(x)总有两个不同的公共点．（2）法一：f′(x)=x 2+2ax +4=(x +a)2+4−a 2，根据题意可知：4−a 2<0 ①方程x 2+2ax +4=0有两个实数根，x =−a −√a 2−4，或x =−a +√a 2−4；∴ {−1<−a −√a 2−4<1−a +√a 2−4>1 ②或{−1<−a +√a 2−4<1−a −√a 2−4<−1③∴ 解①得：a <−2，或a >2；当a <−2，或a >2时②的解是：a <−52；当a <−2，或a >2时③的解是：a >52．∴ a 的取值范围是：(−∞, −52)∪(52, +∞)．法二：∵ f(x)在区间(−1, 1)上有且仅有一个极值点， ∴ 由二次函数图象性质可得 f′(−1)f′(1)<0 即(5−2a)(5+2a)<0，解得a <−52或a >52，∴ a 的取值范围是：(−∞, −52)∪(52, +∞)．【答案】（1）∵ 椭圆G 的离心率为√22，其短轴两端点为A(0, 1)，B(0, −1)， ∴ 设椭圆G 的方程为：x 2a 2+y 2=1,(a >1)．由e =√22，得e 2=a 2−1a 2=12，解得a 2＝2，∴ 椭圆的标准方程为x 22+y 2=1．（2）以MN 为直径的圆是不过点A ．理由如下：∵ C 、D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点， ∴ 设C(x 0, y 0)，且x 0≠0，则D(−x 0, y 0)． ∵ A(0, 1)，B(0, −1)，∴ 直线AC 的方程为y =y 0−1x 0x +1．令y ＝0，得x M =−x 0y 0−1，∴ M(−x 0y 0−1,0)．同理直线BD 的方程为y =y 0+1−x 0x −1，令y ＝0，解得N(−x 0y+1,0)． AM →=(x 01−y 0,−1)，AN →=(−x 01+y 0,−1)，∴ AM →⋅AN →=−x 021−y 02+1，由C(x 0, y 0)在椭圆G:x 22+y 2=1上，∴ x 02=2(1−y 02)，∴ AM →⋅AN →=−1≠0，∴ ∠MAN ≠90∘，∴ 以线段MN 为直径的圆不过点A ．【考点】直线与椭圆结合的最值问题【解析】(Ⅰ)由已知条件设椭圆G 的方程为：x 2a 2+y 2=1,(a >1)．由e =√22，得e 2=a 2−1a 2=12，由此能求出椭圆的标准方程．(Ⅱ)设C(x 0, y 0)，且x 0≠0，则D(−x 0, y 0)，由已知条件推导出AM →⋅AN →=−x021−y 02+1，x 02=2(1−y 02)，由此能求出以线段MN 为直径的圆不过点A ．【解答】（1）∵椭圆G 的离心率为√22，其短轴两端点为A(0, 1)，B(0, −1)，∴ 设椭圆G 的方程为：x 2a 2+y 2=1,(a >1)．由e =√22，得e 2=a 2−1a 2=12，解得a 2＝2，∴ 椭圆的标准方程为x 22+y 2=1．（2）以MN 为直径的圆是不过点A ．理由如下： ∵ C 、D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点， ∴ 设C(x 0, y 0)，且x 0≠0，则D(−x 0, y 0)． ∵ A(0, 1)，B(0, −1)，∴ 直线AC 的方程为y =y 0−1x 0x +1．令y ＝0，得x M =−x 0y0−1，∴ M(−x 0y0−1,0)．同理直线BD 的方程为y =y 0+1−x 0x −1，令y ＝0，解得N(−x 0y0+1,0)．AM →=(x 01−y 0,−1)，AN →=(−x 01+y 0,−1)，∴ AM →⋅AN →=−x21−y 02+1，由C(x 0, y 0)在椭圆G:x 22+y 2=1上，∴ x 02=2(1−y 02)，∴ AM →⋅AN →=−1≠0，∴ ∠MAN ≠90∘，∴ 以线段MN 为直径的圆不过点A ．【答案】解：(1)①因为S 55−1=134<5，数列−1，3，5，2，4不是“Γ数列，②因为S 33−1=111128>34，又34是数列34，3242，3343中的最大项所以数列34，3242，3343是“Γ数列”．(2)反证法证明：假设存在某项a i <0，则a 1+a 2+...+a i−1+a i+1+...+a k−1+a k =S k −a i >S k ．设a j =max {a 1, a 2, ...a i−1, a i+i ..., a k−1+a k }，则S k −a i =a 1+a 2+...+a i−1+a i+1+...+a k−1+a k ≤(k −1)a j ，所以(k −1)a j >S k ，即a j >S k k−1，这与“Γ数列”定义矛盾，所以原结论正确． (3)由(2)问可知b 1≥0，d ≥0． ①当d =0时，b 1=b 2=...=b m =S m m<S mm−1，符合题设；②当d >0时，b 1<b 2<...<b m ，由“Γ数列”的定义可知b m ≤S mm−1，即(m −1)[b 1+(m −1)d]≤mb 1+12m(m −1)d ，整理得(m −1)(m −2)d ≤2b 1(∗)显然当m =2b 1+3时，上述不等式(∗)就不成立所以d >0时，对任意正整数m ≥3，(m −1)(m −2)d ≤2b 1不可能都成立．综上讨论可知{b n }的公差d =0．【考点】数列的求和等差数列的通项公式数列的概念及简单表示法【解析】（1）根据“Γ数列”的定义，即可判断数列−1，3，5，2，4和34，3242，3343是否是“Γ数列”，（2）若{a n }为“Γ数列”，利用反证法即可证明：a i ≥0对i =1，2，…，k 恒成立；（3）【解答】解：(1)①因为S 55−1=134<5，数列−1，3，5，2，4不是“Γ数列，②因为S 33−1=111128>34，又34是数列34，3242，3343中的最大项所以数列34，3242，3343是“Γ数列”．(2)反证法证明：假设存在某项a i <0，则a 1+a 2+...+a i−1+a i+1+...+a k−1+a k =S k −a i >S k ．设a j =max {a 1, a 2, ...a i−1, a i+i ..., a k−1+a k }，则S k −a i =a 1+a 2+...+a i−1+a i+1+...+a k−1+a k ≤(k −1)a j ，所以(k −1)a j >S k ，即a j >S k k−1，这与“Γ数列”定义矛盾，所以原结论正确． (3)由(2)问可知b 1≥0，d ≥0． ①当d =0时，b 1=b 2=...=b m =S m m<Smm−1，符合题设；②当d >0时，b 1<b 2<...<b m ，由“Γ数列”的定义可知b m ≤S m m−1，即(m −1)[b 1+(m −1)d]≤mb 1+12m(m −1)d ，整理得(m −1)(m −2)d ≤2b 1(∗)显然当m =2b 1+3时，上述不等式(∗)就不成立所以d >0时，对任意正整数m ≥3，(m −1)(m −2)d ≤2b 1不可能都成立．综上讨论可知{b n }的公差d =0．。

北京市西城区2014-2015学年度高三第一学期期末试数学文

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1,2{}A -=，2{|}B x x x =>，则集合AB =（）（A ）{1,0,1}- （B ）{1,2}- （C ）{0,1,2} （D ）{1,1,2}- 2．设命题p ：2log 0,2x x x ∀>>，则p ⌝为（）（A ）2log 0,2x x x ∀>< （B ）2log 0,2x x x ∃>≤ （C ）2log 0,2x x x ∃>< （D ）2log 0,2x x x ∃>≥3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（）（A ）3A π=（B ）6A π= （C）sin A = （D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（）（A ）13 （B ）34 （C ）58 （D ）457．设抛物线2:4W y x =的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：1x =-的距离为d ，则有（）（A ）2||d AB ≥ （B ）2||d AB = （C ）2||d AB ≤ （D ）2||d AB <8. 如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEx AB=，则（）（A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =的最大值为8（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数i1iz =+，则||z =______.10．设平面向量,a b 满足||3=a ，||2=b ，3⋅=-a b ，那么,a b 的夹角θ=____.11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____.12．设12,F F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且直线2y x =为双曲线C 的一条渐近线，点P 为C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为_____.13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.侧(左)视图正(主)视图俯视图A BE CD GH F14. 设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()12sin ()4f x x =--，x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间ππ[,]66-上是否为增函数？并说明理由.16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足25a =，且其前n 项和2n S pn n =-．（Ⅰ）求p 的值和数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 为等比数列，公比为p ，且其前n 项和n T 满足55T S <，求1b 的取值范围．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面A B C D ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AD BC ===，1AB =. 点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）求证：1A F ∥平面1BCE ；（Ⅱ）求证： AC ⊥平面11CDD C ；（Ⅲ）写出三棱锥11B A EF -体积的取值范围. （结论不要求证明）B CA 1 D 1 DA B 1C 1E F最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当2p =时，求q 的值；（Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范围；（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)Pmm >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，若122S S =,求直线l 的方程.对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点. 设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.（Ⅰ）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由；（Ⅱ）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；（Ⅲ）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．2 10．2π3 11. 12．221416x y -=13．9 14．2-或4 (1,3]- 注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为2π()12sin ()4f x x =--πcos 2()4x =- ……………… 3分sin 2x =， ……………… 5分所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.……………… 7分（Ⅱ）解：结论：函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 9分理由如下：由ππ2π22π22k x k -+≤≤，解得ππππ44k x k -+≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]44k k -+，()k ∈Z .……………… 12分当0=k 时，知)(x f 在区间ππ[,]44-上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得11S p =-，242S p =-，因为 25a =，212S a a =+，所以 24215S p p =-=-+，解得 2p =. ……………… 3分所以 22n S n n =-．当2n ≥时，由1n n n a S S -=-， ……………… 5分得 22(2)[2(1)(1)]43n a n n n n n =-----=-. ……………… 7分验证知1n =时，1a 符合上式，所以43n a n =-，*n ∈N . ……………… 8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得11(12)(21)12n n n b T b -==--. ……………… 10分因为 55T S <，所以 521(21)255b -<⨯-，解得 14531b <． ……………… 12分又因为10b ≠，所以1b 的取值范围是45(,0)(0,)31-∞． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D . 又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A BC D 平面11A ECF A F =，B CA 1 D 1DA B 1C 1E F所以 1A F ∥CE . …………………3分又 1A F ⊄平面1BCE ，CE ⊂平面1BCE ，所以 1A F ∥平面1BCE . …………………6分（Ⅱ）证明：在四边形ABCD 中，因为 90BAD ∠=，BC AD //,且BC AD 2=，2AD =，1AB =，所以 222112AC =+=，222112CD =+=. 所以 222AC CD AD +=，所以 90ACD ∠=，即AC CD ⊥. …………………7分因为 1A A ⊥平面ABCD AC ⊂，平面ABCD ，所以 1A A AC ⊥.因为在四棱柱1111D C B A ABCD -中，11//A A C C ，所以 1C C AC ⊥. …………………9分又因为 1,CD C C ⊂平面11CDD C ，1CDC C C =，所以 AC ⊥平面11CDD C . …………………11分（Ⅲ）解：三棱锥11B A EF -的体积的取值范围是12[,]33. …………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种且三种投资结果相互独立，所以 p +13+q =1. ……………… 2分又因为 12p =，所以 q =61． ……………… 3分（Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得 38q <， ……………… 4分因为 p +13+q =1，所以 2338q p =-<，解得 724p >. ……………… 7分又因为 113p q ++=，0q ≥，所以 23p ≤. 所以72243p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：记事件A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， ………… 9分用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x ，y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有339⨯=种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)b y ，(,)b z ，(,)c x ，(,)c y ，(,)c z ， ……………10分所以事件A 的结果有5种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)c x .…………… 11分因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5()9P A =. …………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c , ………………2分则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分因为 ||21||42FA AP m ==-，所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，不合题意. ………………6分若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为111||||2S PF y =⋅，221||||2S PF y =⋅,所以2||||212121=-==y yy y S S . ……………… 9分即 212y y -=.所以 221y y y -=+，2212221)(22y y y y y +-=-=， ……………… 11分则 22121)]2()2([2)2()2(-+--=-⋅-x k x k x k x k ，即 2212121)4(24)(2-+-=++-x x x x x x ，即 2222222)43416(2434162344816-+-=++⋅-+-k k k k k k ，解得 25±=k . ……………… 13分所以直线l 的方程为 )2(25-=x y 或 )2(25--=x y . ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………1分理由如下：由条件知2()f x x =-，由()ln g x x =，得0x >，又因为 ()2f x x '=-，1()g x x'=， …………………2分所以当0x >时，()20f x x '=-<，1()0g x x '=>，所以对于任意的0x >，()()f x g x ''≠.当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………3分（Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ①·11· 12as a s -=， ② …………………4分由②，得 1(21)a s s =-，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………5分因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以 12s >. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………6分令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………7分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………8分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <. 因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =.于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………9分（Ⅲ）解：当点P 的坐标为1(,1)e-时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …………………11分当点P 的坐标为2(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切. …………………13分。

2014北京西城高考二模数学文(含解析)

北京市西城区2014年高三二模试卷数学（文科）2014．5第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}20A x x =-<，集合{}1B x x =>，则（）．A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．A B =∅D ． A B ≠∅2．在复平面内，复数()()12i 1i z =+-对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线2y x =为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（）．A ．3B ．32 C ．5 D ．524．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）．A ．2A ∈，且4A ∈B ．2A ∈，且4A ∈C ．2A ∈，且25A ∈D ．2A ∈，且17A ∈5．设平面向量,,a b c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在ABC △中，若14,3,cos 3a b A ===，则角B =（）．A ．π4B ．π3C ．π6D ．2π37．设函数224,4,()log ,4x x x f x x x ⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤若函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则实数a 的取值范围是（）．A ．(],1-∞B ．[]1,4C ．[)4,+∞D ．(][),14,-∞+∞8．设Ω为平面直角坐标系中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω．如果Ω是边长为1的正方形，那么()()x y Ω+Ω的取值范围是（）．A ．2,22⎡⎤⎣⎦B ．2,22⎡⎤⎣⎦C ．1,2⎡⎤⎣⎦D ．1,22⎡⎤⎣⎦第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在等差数列{}n a 中，141,7a a ==，则公差d =_________;12n a a a +++=___________．10．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，且点M 的横坐标为2，则MF =___________．11．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为________．12．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤ 所表示的平面区域是α，不等式组04,04x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β，从区域α中随机取一点(,)P x y ，则P 为区域β内的点的概率是________．13．已知正方形,2ABCD AB =,若将ABD △沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体A BCD -的体积的最大值是_______．14．已知f 是有序数对集合{}(,),M x y x y **=∈∈N N 上的一个映射，正整数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ，记作(,)z f x y =，对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：(,)x y (,)n n(,)m n(,)n m(,)f x yn m n - m n +则(3,5)f =_________，使不等式(2,)4x f x ≤成立的x 的集合是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+．（I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的,A B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A 班的5名学生的视力检测结果：43．，51．，46．，41．，49．． B 班的5名学生的视力检测结果：51．，49．，40．，40．，45．．（I ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（II ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（III ）根据数据推断A 班全班40名学生中有几名学生的视力大于46．？17．（本小题满分14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，E 为1AA 的中点，O 为1BD 的中点．（I ）求证：平面11A BD ⊥平面11ABB A ；（II ）求证：//EO 平面ABCD ；（III ）设P 为正方体1111ABCD A B C D -棱上一点，给出满足条件2OP =的点P 的个数，并说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2e ()1xf x ax x =++，其中a ∈R ．（I ）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；（II ）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明．19．（本小题满分14分）设12,F F 分别为椭圆22:12x W y +=的左、右焦点，斜率为k 的直线l 经过右焦点2F ，且与椭圆W 相交于A ，B 两点．（I ）求1ABF △的周长；（II ）如果1ABF △为直角三角形，求直线l 的斜率k ．20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<，设*m ∈N ，记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ．（I ）设数列{}n a 为1，3，5，7，L ，写出1b ，2b ，3b 的值；（II ）若{}n a 为等比数列，且22a =，求12350b b b b ++++L 的值；（III ）若{}n b 为等差数列，求所有可能的数列{}n a ．北京市西城区2014年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2014．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．D 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．2 2n 10．3 11．2- 12．1213．22314．8 {1,2} 注：第9，14题第一问2分，第二问3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分． 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：2()sin cos cos 1f x x x x =-+11cos 2sin 2122xx +=-+ ……………… 4分 111sin 2cos 2222x x =-+ 2π1sin(2)242x =-+， ……………… 6分所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． ……………… 7分（Ⅱ）解：由 π02x -≤≤，得5πππ2444x --≤≤-．所以 π21sin(2)42x --≤≤， ……………… 9分所以 212π1sin(2)2242x -+-+≤≤1，即 21()12f x -+≤≤． ……… 11分当ππ242x -=-，即π8x =-时，函数()f x 取到最小值π21()82f -+-=；… 12分当π5π244x -=-，即π2x =-时，函数()f x 取到最大值π()12f -=． …………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：A 班5名学生的视力平均数为A 4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +， ………… 2分B 班5名学生的视力平均数为B 5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +． …………… 3分从数据结果来看A 班学生的视力较好． ……………… 4分（Ⅱ）解：B 班5名学生视力的方差较大． ……………… 8分（Ⅲ）解：在A 班抽取的5名学生中，视力大于4．6的有2名，所以这5名学生视力大于4．6的频率为25． ……………… 11分所以全班40名学生中视力大于4．6的大约有240165⨯=名，则根据数据可推断A 班有16名学生视力大于4．6． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 11A D ⊥平面11ABB A ，11A D ⊂平面11A BD ，所以平面11A BD ⊥平面11ABB A ． ……………… 4分（Ⅱ）证明：连接BD ，AC ，设BD AC G =，连接OG ．因为1111D C B A ABCD -为正方体，所以 1//DD AE ，且121DD AE =，且G 是BD 的中点，又因为O 是1BD 的中点，所以 1//DD OG ，且121DD OG =，所以 AE OG //，且AE OG =，即四边形AGOE 是平行四边形，所以//EO AG ， ……………… 6分又因为 EO ⊄平面ABCD ，⊂AG 平面ABCD ，所以 //EO 平面ABCD ． ……………… 9分（Ⅲ）解：满足条件2OP =的点P 有12个． ……………… 12分理由如下：因为 1111D C B A ABCD -为正方体，12AA =，所以 22AC =．所以 122EO AG AC ===． ……………… 13分在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 1AA ⊥平面ABCD ，AG ⊂平面ABCD ，A BA 1B 1D CD 1 C 1OEG所以 1AA AG ⊥，又因为 //EO AG ，所以 1AA OE ⊥，则点O 到棱1AA 的距离为2，所以在棱1AA 上有且只有一个点（即中点E ）到点O 的距离等于2，同理，正方体1111D C B A ABCD -每条棱的中点到点O 的距离都等于2，所以在正方体1111D C B A ABCD -棱上使得2OP =的点P 有12个． ……… 14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数e ()1xf x x =+的定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-． ……………… 1分22e (1)e e ()(1)(1)x x xx x f x x x +-'==++． ……………… 3分令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：x(,1)-∞- (1,0)- 0 (0,)+∞()f x '--+()f x↘↘↗……………… 4分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,0)-；单调增区间为(0,)+∞．所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =． ……………… 5分（Ⅱ）解：结论：函数()g x 存在两个零点．证明过程如下：由题意，函数2e ()11xg x x x =-++，因为 22131()024x x x ++=++>，所以函数()g x 的定义域为R ． ……………… 6分求导，得22222e (1)e (21)e (1)()(1)(1)x x x x x x x x g x x x x x ++-+-'==++++， ………………7分令()0g x '=，得10x =，21x =，当x 变化时，()g x 和()g x '的变化情况如下：x(,0)-∞ 0 (0,1) 1 (1,)+∞()g x '+ 0-+()g x ↗ ↘ ↗故函数()g x 的单调减区间为(0,1)；单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞．当0x =时，函数()g x 有极大值(0)0g =；当1x =时，函数()g x 有极小值e(1)13g =-． ……………… 9分因为函数()g x 在(,0)-∞单调递增，且(0)0g =，所以对于任意(,0)x ∈-∞，()0g x ≠． ……………… 10分因为函数()g x 在(0,1)单调递减，且(0)0g =，所以对于任意(0,1)x ∈，()0g x ≠． ……………… 11分因为函数()g x 在(1,)+∞单调递增，且e (1)103g =-<，2e(2)107g =->，所以函数()g x 在(1,)+∞上仅存在一个0x ，使得函数0()0g x =， ………… 12分故函数()g x 存在两个零点（即0和0x ）． ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：椭圆W 的长半轴长2a =，左焦点1(1,0)F -，右焦点2(1,0)F ， … ……… 2分由椭圆的定义，得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=，所以1ABF ∆的周长为1212||||||||442AF AF BF BF a +++==． ……………… 5分（Ⅱ）解：因为1ABF ∆为直角三角形，所以o190BF A ∠=，或o190BAF ∠=，或o190ABF ∠=，当o190BF A ∠=时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ， ……………… 6分由 221,2(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得 2222(12)4220k x k x k +-+-=， ……………… 7分所以 2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+． ……………… 8分由o190BF A ∠=，得110F A F B ⋅=， ……………… 9分因为111(1,)F A x y =+，122(1,)FB x y =+，所以11121212()1F A F B x x x x y y ⋅=++++2121212()1(1)(1)x x x x k x x =++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =++-+++2222222224(1)(1)101212k k k k k k k-=+⨯+-⨯++=++， ……………10分解得77k =±． ……………… 11分当o 190BAF ∠=（与o190ABF ∠=相同）时，则点A 在以线段12F F 为直径的圆221x y +=上，也在椭圆W 上，由22221,21,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得(0,1)A ，或(0,1)A -， ……………… 13分根据两点间斜率公式，得1k =±，综上，直线l 的斜率77k =±，或1k =±时，1ABF ∆为直角三角形． ……………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：11b =，21b =，32b =． ……………… 3分（Ⅱ）解：因为{}n a 为等比数列，11a =，22a =，所以12n n a -=， ……………… 4分因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以11b =，232b b ==，45673b b b b ====，89154b b b ====，1617315b b b ====，3233506b b b ====， ……………… 6分所以12350243b b b b ++++=． ……………… 8分（Ⅲ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥． ……………… 9分又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤． ……………… 10分设2 a k =，则 2k ≥．假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥．所以21b =，2k b =．因为{}n b 为等差数列，所以公差210d b b =-=，所以1n b =，其中*n ∈N ．这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =． ……………… 11分又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N ． ……………… 12分因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a ． ……………… 13分北京市西城区2014年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科）选填解析一、选择题 1．【答案】D【解析】解：{}{}20|2A x x x x =-<=<，{}1B x x => 所以AB ≠∅．故选D ．2．【答案】A【解析】解：因为()()212i 1i 1i 2i 3i z =+-=+-=+，则对应的坐标为(3,1)；故选A ．3．【答案】C【解析】解：Q 直线2y x =为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线，∴2ba=， 2215c a e a b∴==+=．故选C ．4．【答案】D【解析】解：由三视图知，几何体为正四棱锥，如图所示，则{2,17}A =．故选D ．5．【答案】B【解析】解：由()0⋅-=a b c ，可得()⊥-a b c （包含0=a 或0-=b c ），故推不出=b c ，所以“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”不充分条件；而由=b c ，得0-=b c ，进一步可得()0⋅-=a b c ，故“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的必要条件．故选B ．6．【答案】A【解析】解：因为(0,π)A ∈，1cos 3A =，所以22sin 3A =；由正弦定理，得223sin 23sin 42b AB a⨯⋅===，又b a <，所以B A <，所以B 为锐角；所以π4B =．故选A7．【答案】D【解析】解：如图画出224,4,()log ,4x x x f x x x ⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤的图象；若使函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则12a +…或4a …解得实数a 的取值范围是(][),14,-∞+∞．故选D ．8．【答案】B【解析】解：易知，()[1,2],()[1,2]x y Ω∈Ω∈，且同时取得最小值和最大值，故()()x y Ω+Ω的取值范围是[2,22]．故选B ．二、填空题9．【答案】2，2n【解析】解：4162413a a d -===-，221(1)2n n n S na d n n n n -=+⨯=+-=．故答案为2，2n ．10．【答案】3【解析】解：抛物线2:4C y x =的准线为1x =-，由抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以MF =3．故答案为3．11．【答案】2-【解析】解：列表法a32-13- 123 2-跳出循环i1 2 3456故答案为2-． 12．【答案】12【解析】解：如图，画出平面区域α和平面区域β，则概率等于44112882OCDE AB S S ⨯==⨯⨯△O ．故答案为12．13．【答案】223【解析】解：在翻折过程中，底面BCD 保持不变，当AO ⊥底面B C D 时，四面体A BCD -的体积最大为1122222323⨯⨯⨯⨯=．故答案为223．14．【答案】8，{1,2}．【解析】解：依题意， (3,5)538f =+=；当1x …时，2x x >恒成立，所以(2,)24x x f x x =-…，因为*x ∈N ，所以1,2x =，所以x 的集合为{1,2}．故答案为8，{1,2}．。

2014年北京市西城区高考数学一模试卷(文科)(附答案解析版)

2014年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1. 设全集U ={x|0<x <2}，集合A ={x|0<x ≤1}，则集合∁U A =( ) A.(0, 1) B.(0, 1] C.(1, 2) D.[1, 2)2. 已知平面向量a →=(2, −1)，b →=(1, 3)，那么|a +b →|等于（） A.5 B.√13 C.√17 D.133. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（） A.√2 B.2C.√3D.√54. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2B.43C.4D.55. 下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件f(x)=f(−x)和f(x −π)=f(x)的函数是（） A.f(x)=sin x B.f(x)=sin 2xC.f(x)=cos xD.f(x)=cos 2x6. 设a >0，且a ≠1，则“函数y =log a x 在(0, +∞)上是减函数”是“函数y =(2−a)x 3在R 上是增函数”的（） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n(n ∈N ∗)年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（） A.4 B.5C.6D.78. 如图，设P 为正四面体A −BCD 表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（）A.4个B.6个C.10个D.14个二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）设复数1−i2+i =x +yi ，其中x ，y ∈R ，则x +y =________．若抛物线C:y 2=2px 的焦点在直线x +y −2=0上，则p =________；C 的准线方程为________．已知函数f(x)={x +3,x ≤01x+1，x >0，若f(x 0)=2，则实数x 0=________；函数f(x)的最大值为________．执行如图所示的程序框图，如果输入a =2，b =2，那么输出的a 值为________．若不等式组{x ≥1y ≥02x +y ≤6x +y ≤a表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是________．如图，在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB ⊥BC ，AB =2，CD =1，BC =2，P 为线段AD （含端点）上一个动点．设AP →=xAD →，PB →⋅PC →=y ，记y =f(x)，则f(1)=________；函数f(x)的值域为________．三、解答题（共6小题，满分80分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b 2+c 2=a 2+bc ．（1）求A 的大小；（2）如果cos B =√63，b =2，求a 的值．某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．a ，b ，c 的值；(Ⅱ)某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不是次品的概率；(Ⅲ)某人从这批灯泡中随机地购买了n(n ∈N ∗)个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n 的最小值．如图，在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD =2AB ，SA =SD ，SA ⊥AB ，N 是棱AD 的中点．（1）求证：AB // 平面SCD ；（2）求证：SN ⊥平面ABCD ；（3）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD ？若存在，求出SPPC 的值；若不存在，说明理由．已知函数f(x)=ln x −ax ，其中a ∈R ．（1）当a =2时，求函数f(x)的图象在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）如果对于任意x ∈(1, +∞)，都有f(x)>−x +2，求a 的取值范围．已知椭圆W:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为−1，O 为坐标原点．（1）求椭圆W 的方程．（2）设斜率为k 的直线l 与W 相交于A ，B 两点，记△AOB 面积的最大值为S k ，证明：S 1=S 2．在数列{a n }中，a n =1n (n ∈N ∗)．从数列{a n }中选出k(k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项子列．例如数列12，13，15，18为{a n }的一个4项子列．（1）试写出数列{a n }的一个3项子列，并使其为等比数列；（2）如果{b n }为数列{a n }的一个5项子列，且{b n }为等差数列，证明：{b n }的公差d 满足−14<d <0；（3）如果{c n }为数列{a n }的一个6项子列，且{c n }为等比数列，证明：c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6≤6332．参考答案与试题解析2014年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1.【答案】 C【考点】补集及其运算【解析】根据全集U 及A ，求出A 的补集即可．【解答】解：∵ 全集U =(0, 2)，集合A =(0, 1]， ∴ ∁U A =(1, 2)．故选：C ．2.【答案】 B【考点】向量模长的计算数量积的坐标表达式【解析】利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出．【解答】解：∵ a →+b →=(2, −1)+(1, 3)=(3, 2)， ∴ |a →+b →|=√32+22=√13．故选：B ． 3.【答案】 D【考点】双曲线的特性【解析】由已知条件推导出b =2a ，由此能求出此双曲线的离心率．【解答】解：∵ 双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的虚轴长是实轴长的2倍， ∴ b =2a ，∴c =√a 2+b 2=√5a ， ∴ e =ca =√5．故选：D ． 4.【答案】 C【考点】由三视图求体积【解析】由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，高是1，棱柱的高为2，求出梯形的上底，然后求出棱柱的体积，得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，斜边为√5，高是1，梯形的上底为：3−√(√5)2−1=1，棱柱的高为2， ∴ 四棱柱的体积是：1+32×1×2=4，故选C ． 5.【答案】 D【考点】抽象函数及其应用函数的周期性【解析】由f(x)满足f(x)=f(−x)，根据函数奇偶性的定义得f(x)为偶函数，将选项A ，B 排除，因为它们是奇函数，再由f(x)满足f(x −π)=f(x)推出函数的最小正周期是π，由三角函数的周期公式得选项D 符合．【解答】解：对于任意x ∈R ，f(x)满足f(x)=f(−x)，则函数f(x)是偶函数，选项中，A ，B 显然是奇函数，C ，D 为偶函数，又对于任意x ∈R ，f(x)满足f(x −π)=f(x)，则f(x +π)=f(x)，即f(x)的最小正周期是π，选项C 的最小正周期是2π，选项D 的最小正周期是2π2=π，故同时满足条件的是选项D ．故选D ． 6.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据函数单调性的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若函数y=logax在(0, +∞)上是减函数，则0<a<1，此时2−a>0，函数y=(2−a)x3在R上是增函数，成立．若y=(2−a)x3在R上是增函数，则2−a>0，即a<2，当1<a<2时，函数y=loga x在(0, +∞)上是增函数，∴函数y=logax在(0, +∞)上是减函数不成立，即“函数y=logax在(0, +∞)上是减函数”是“函数y=(2−a)x3在R上是增函数”的充分而不必要条件，故选：A．7.【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论．【解答】解：设该设备第n年的营运费为a n万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n=2n，则该设备使用了n年的营运费用总和为T n=n(2+2n)2=n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n=11n−(n2+n)−9=−n2+10n−9=−(n−5)2+16，∴当n=5时，S n取得最大值16，故选：B．8.【答案】C【考点】计数原理的应用【解析】根据分类计数加法原理可得，由题意符合条件的点只有两类，一在棱的中点，二在面得中心，问题得以解决．【解答】解：符合条件的点P有两类：(1)6条棱的中点；(2)4个面的中心．共10个点．故集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有4+6=10．故选：C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）【答案】−2 5【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】由复数代数形式的除法运算化简等式左边，然后利用复数相等的条件求得x，y的值，则x+y可求．【解答】解：∵1−i2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=1−3i5=15−35i，又1−i2+i =x+yi，∴15−35i=x+yi，∴x=15，y=−35，则x+y=15−35=−25．故答案为：−25．【答案】4,x=−2【考点】抛物线的求解【解析】直线x+y−2=0，令y=0，可得x=2，从而可求p，即可得出结论．【解答】解：直线x+y−2=0，令y=0，可得x=2，∵抛物线C:y2=2px的焦点在直线x+y−2=0上，∴p2=2，∴p=4，准线方程为x=−p2=−2．故答案为：4，x=−2．【答案】−1,3【考点】分段函数的应用【解析】利用分段函数，结合若f(x0)=2，可求实数x0；确定x≤0，x+3≤3；x>0，0<1x+1<1，可得函数f(x)的最大值．【解答】解：x≤0，x+3=2，∴x=−1；x>0，1x+1=2，x=−12（舍去）；x≤0，x+3≤3；x>0，0<1x+1<1，∴函数f(x)的最大值为3．故答案为：−1，3．【答案】256【考点】程序框图【解析】根据程序框图，依次运行，直到满足条件即可得到结论．【解答】解：若a=2，则log3a=log32>4不成立，则a=22=4，若a=4，则log3a=log34>4不成立，则a=42=16，若a =16，则log 3a =log 316>4不成立，则a =162=256 若a =256，则log 3a =log 3256>4成立，输出a =256，故答案为：256 【答案】 (3, 5) 【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域是四边形，即可确定a 的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x +y =a 经过点A(3, 0)时，对应的平面区域是三角形，此时a =3，当经过点B 时，对应的平面区域是三角形，由{x =12x +y =6，解得{x =1y =4，即B(1, 4)，此时a =1+4=5， ∴ 要使对应的平面区域是平行四边形，则3<a <5，故答案为：(3, 5)【答案】 1,[45, 4]【考点】函数解析式的求解及常用方法平面向量数量积的运算【解析】画出图形，建立直角坐标系，设出点P 的坐标，表示出AP →、AD →、PB →、PC →；求出PB →⋅PC →的值，即得y =f(x)的解析式；求出y 的最值，即得f(x)的值域．【解答】解：如图，建立直角坐标系；设点P(a, b)，则−2≤a ≤−1； ∴ AP →=(a +2, b)，AD →=(1, 2)； PB →=(−a, −b)，PC →=(−a, 2−b)；又∵ AP →=xAD →， ∴ {a +2=xb =2x，即{a =x −2b =2x ，（其中0≤x ≤1）；∴ PB →⋅PC →=(−a, −b)⋅(−a, 2−b)=a 2−b(2−b)=(x −2)2−2x ⋅(2−2x) =5x 2−8x +4；即y =f(x)=5x 2−8x +4，其中0≤x ≤1； ∴ 当x =1时，y =f(1)=5−8+4=1；当x =−−82×5=45时，y 取得最小值f(45)=45，当x =0时，y 取得最大值f(0)=4； ∴ f(x)的值域是[45，4]．故答案为：1，[45，4]．三、解答题（共6小题，满分80分）【答案】解：（1）∵ b 2+c 2=a 2+bc ，即b 2+c 2−a 2=bc ， ∴ cos A =b 2+c 2−a 22bc =12，又∵ A ∈(0, π)，∴ A =π3；（2）∵ cos B =√63，B ∈(0, π)，∴ sin B =√1−cos 2B =√33，由正弦定理asin A =bsin B ，得a =b sin A sin B=2×√32√33=3．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）利用余弦定理表示出cos A，将已知等式变形后代入求出cos A的值，即可确定出A的大小；（2）由cos B的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin B的值，再由sin A，b的值，利用正弦定理即可求出a的值．【解答】解：（1）∵b2+c2=a2+bc，即b2+c2−a2=bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =12，又∵A∈(0, π)，∴A=π3；（2）∵cos B=√63，B∈(0, π)，∴sin B=√1−cos2B=√33，由正弦定理asin A =bsin B，得a=b sin Asin B=2×√32√33=3．【答案】（1）根据频率分布表中的数据，得a=30200=0.15，b＝200−(10+30+70+60)＝30，c=60200=0.3．（2）设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A．由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为P(A)=100+60200=45．(Ⅲ)由(Ⅱ)得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:40＝3:5:2．所以按分层抽样法，购买灯泡数n＝3k+5k+2k＝10k(k∈N∗)，所以n的最小值为10．【考点】分层抽样方法古典概型及其概率计算公式【解析】(Ⅰ)由频率分布表中的数据，求出a、b、c的值．(Ⅱ)根据频率分布表中的数据，求出此人购买的灯泡恰好不是次品的概率．(Ⅲ)由这批灯泡中优等品、正品和次品的比例数，再按分层抽样方法，求出购买灯泡数n的最小值．【解答】（1）根据频率分布表中的数据，得a=30200=0.15，b＝200−(10+30+70+60)＝30，c=60200=0.3．（2）设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A．由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为P(A)=100+60200=45．(Ⅲ)由(Ⅱ)得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:40＝3:5:2．所以按分层抽样法，购买灯泡数n＝3k+5k+2k＝10k(k∈N∗)，所以n的最小值为10．【答案】（1）证明：∵底面ABCD是矩形，∴AB // CD，又∵AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB // 平面SCD．（2）证明：∵AB⊥SA，AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，又∵SN⊂平面SAD，∴AB⊥SN．∵SA=SD，且N为AD中点，∴SN⊥AD．∴SN⊥平面ABCD．（3）解：如图，连接BD交NC于点F，在平面SNC中过F作FP // SN交SC于点P，连接PB，PD．∵SN⊥平面ABCD，∴FP⊥平面ABCD．又∵FP⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面ABCD．在矩形ABCD中，∵ND // BC，∴NFFC=NDBC=12．在△SNC中，∵FP // SN，∴NFFC=SPPC=12．则在棱SC上存在点P，使得平面PBD⊥平面ABCD，此时SPPC=12．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）先判断出AB // CD，进而利用线面平行的判定定理得证．（2）先利用线面垂直的判定定理推断出AB⊥平面SAD，进而推断AB⊥SN．同时利用SA=SD，且N为AD中点，推断出SN⊥AD利用线面垂直判定定理得证．（3）连接BD交NC于点F，在平面SNC中过F作FP // SN交SC于点P，连接PB，PD．通过SN⊥平面ABCD，推断出FP⊥平面ABCD．利用面面垂直的性质推断平面PBD⊥平面ABCD．进而通过ND // BC，推断出NFFC=ND BC 并可求得值，最后通过FP // SN，得出NFFC=SPPC=12．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是矩形，∴AB // CD，又∵AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB // 平面SCD．（2）证明：∵AB⊥SA，AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，又∵SN⊂平面SAD，∴AB⊥SN．∵SA=SD，且N为AD中点，∴SN⊥AD．∴SN⊥平面ABCD．（3）解：如图，连接BD交NC于点F，在平面SNC中过F作FP // SN交SC于点P，连接PB，PD．∵SN⊥平面ABCD，∴FP⊥平面ABCD．又∵FP⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面ABCD．在矩形ABCD中，∵ND // BC，∴NFFC =NDBC=12．在△SNC中，∵FP // SN，∴NFFC =SPPC=12．则在棱SC上存在点P，使得平面PBD⊥平面ABCD，此时SPPC =12．【答案】解：（1）由f(x)=ln x−2x，∴f′(x)=1x +2x2，∴k=f′(1)=3，又∵f(1)=−2，∴函数f(x)的图象在点（1, f(1)）处的切线方程为3x−y−5=0；（2）由f(x)>−x+2，得ln x−ax>−x+2，即a<x ln x+x2−2x，设函数g(x)=x ln x+x2−2x，则g′(x)=ln x+2x−1，∵x∈(1, +∞)，∴ln x>0，2x−1>0，∴当x∈(1, +∞)时，g′(x)=ln x+2x−1>0，∴函数g(x)在x∈(1, +∞)上单调递增，∴当x∈(1, +∞)时，g(x)>g(1)=−1，∵对于任意x∈(1, +∞)，都有f(x)>−x+2成立，∴对于任意x∈(1, +∞)，都有a<g(x)成立，∴a≤−1．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求在某点出的切线方程，关键是求出斜率k，利用导数就可以斜率，再利用点斜式求切线方程．（2）设g(x)=x ln x+x2−2x，则g(x)>a，只要求出g(x)的最小值就可以．【解答】解：（1）由f(x)=ln x−2x，∴f′(x)=1x+2x2，∴k=f′(1)=3，又∵f(1)=−2，∴函数f(x)的图象在点（1, f(1)）处的切线方程为3x−y−5=0；（2）由f(x)>−x+2，得ln x−ax>−x+2，即a<x ln x+x2−2x，设函数g(x)=x ln x+x2−2x，则g′(x)=ln x+2x−1，∵x∈(1, +∞)，∴ln x>0，2x−1>0，∴当x∈(1, +∞)时，g′(x)=ln x+2x−1>0，∴函数g(x)在x∈(1, +∞)上单调递增，∴当x∈(1, +∞)时，g(x)>g(1)=−1，∵对于任意x∈(1, +∞)，都有f(x)>−x+2成立，∴对于任意x∈(1, +∞)，都有a<g(x)成立，∴a≤−1．【答案】（1）解：由题意得椭圆W的半焦距c=1，右焦点F(1, 0)，上顶点M(0, b)，∴直线MF的斜率为k MF=b−00−1=−1，解得b=1，由a2=b2+c2，得a2=2，∴椭圆W的方程为x22+y2=1．（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，其中k=1或2，A(x1, y1)，B(x2, y2)．由方程组{y=kx+mx22+y2=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，∴△=16k2−8m2+8>0，(∗)由韦达定理，得x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−21+2k2．∴|AB|=√1+k2√(−4km1+2k2)2−4×2m2−21+2k2=√1+k21+2k2√8(2k2−m2+1)．∵原点O到直线y=kx+m的距离d=√1+k2，∴S△AOB=12|AB|⋅d=√21+2k2√m2(2k2−m2+1)≤√21+2k2×m2+2k2−m2+12=√22，当且仅当m2=2k2−m2+1，即2m2=2k2+1时取等号．与k的取值无关系，因此S1=S2．【考点】椭圆的定义【解析】（1）利用椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式即可得出；（2）设直线l的方程为y=kx+m，其中k=1或2，A(x1, y1)，B(x2, y2)．把直线l的方程与椭圆的方程联立可得关于x的一元二次方程及根与系数的关系，进而得到弦长|AB|，利用点到直线的距离公式可得原点到直线l的距离，利用三角形的面积计算公式和基本不等式即可得出．【解答】（1）解：由题意得椭圆W的半焦距c=1，右焦点F(1, 0)，上顶点M(0, b)，∴直线MF的斜率为k MF=b−00−1=−1，解得b=1，由a2=b2+c2，得a2=2，∴椭圆W的方程为x22+y2=1．（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，其中k=1或2，A(x1, y1)，B(x2, y2)．由方程组{y=kx+mx22+y2=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，∴△=16k2−8m2+8>0，(∗)由韦达定理，得x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−21+2k2．∴|AB|=√1+k2√(−4km1+2k2)2−4×2m2−21+2k2=√1+k21+2k2√8(2k2−m2+1)．∵原点O到直线y=kx+m的距离d=√1+k2，∴S△AOB=12|AB|⋅d=√21+2k2√m2(2k2−m2+1)≤√21+2k2×m2+2k2−m2+12=√22，当且仅当m2=2k2−m2+1，即2m2=2k2+1时取等号．与k的取值无关系，因此S1=S2．【答案】解：（1）解：答案不唯一．如3项子列：12，14，18．…（2）证明：由题意，知1≥b1>b2>b3>b4>b5>0，所以d=b2−b1<0．…因为b5=b1+4d，b1≤1，b5>0，所以4d=b5−b1>0−1=−1，解得d>−14．所以−14<d<0．…（3）证明：由题意，设{c n}的公比为q，则c1+c2+c3+c4+c5+c6=c1(1+q+q2+q3+q4+q5)．因为{c n}为{a n}的一个6项子列，所以q为正有理数，且q<1，c1=1a≤1(a∈N∗)．…设q=KL(K，L∈N∗，且K，L互质，L≥2)．当K=1时，因为q=1L≤12，所以c1+c2+c3+c4+c5+c6=c1(1+q+q2+q3+q4+q5)≤1+12+(12)2+(12)3+(12)4+(12)5，所以c1+c2+c3+c4+c5+c6≤6332．…当K≠1时，因为c6=c1q5=1a×K5L5是{a n}中的项，且K，L互质，所以a=K5×M(M∈N∗)，所以c1+c2+c3+c4+c5+c6=c1(1+q+q2+q3+q4+q5)=1M(1K5+1K4L+1K3L2+1K2L3+1KL4+1L5)．因为L≥2，K，M∈N∗，所以c1+c2+c3+c4+c5+c6≤1+12+(12)2+(12)3+(12)4+(12)5=6332．综上，c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6≤6332．…【考点】数列与不等式的综合数列的应用等比关系的确定【解析】（1）由a n =1n (n ∈N ∗)，及等比数列的定义写出一个即可；（2）由a n =1n (n ∈N ∗)得数列{a n }为递减数列，故有题意可得{b n }为递减等差数列，可求得d =b 2−b 1<0，又 b 5=b 1+4d ，b 1≤1，b 5>0，即可证明结论；（3）利用等比数列的定义得 c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6=c 1(1+q +q 2+q 3+q 4+q 5)，设c 1=1a ≤1(a ∈N ∗)，q =KL (K ，L ∈N ∗，分类讨论再结合不等式进行放缩得出结论．【解答】解：（1）解：答案不唯一．如3项子列：12，14，18．…（2）证明：由题意，知1≥b 1>b 2>b 3>b 4>b 5>0，所以 d =b 2−b 1<0．…因为 b 5=b 1+4d ，b 1≤1，b 5>0，所以 4d =b 5−b 1>0−1=−1，解得 d >−14．所以−14<d <0．…（3）证明：由题意，设{c n }的公比为q ，则 c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6=c 1(1+q +q 2+q 3+q 4+q 5)．因为{c n }为{a n }的一个6项子列，所以 q 为正有理数，且q <1，c 1=1a ≤1(a ∈N ∗)．… 设 q =KL (K ，L ∈N ∗，且K ，L 互质，L ≥2)．当K =1时，因为 q =1L ≤12，所以 c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6=c 1(1+q +q 2+q 3+q 4+q 5)≤1+12+(12)2+(12)3+(12)4+(12)5，所以 c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6≤6332．… 当K ≠1时，因为 c 6=c 1q 5=1a ×K 5L 5是{a n }中的项，且K ，L 互质，所以 a =K 5×M(M ∈N ∗)，所以 c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6=c 1(1+q +q 2+q 3+q 4+q 5)=1M (1K 5+1K 4L +1K 3L 2+1K 2L 3+1KL 4+1L 5)．因为 L ≥2，K ，M ∈N ∗，所以 c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6≤1+12+(12)2+(12)3+(12)4+(12)5=6332．综上，c 1+c 2+c 3+c 4+c 5+c 6≤6332．…。

北京市西城区高三数学第二次模拟考试文(西城二模)(含解析)北师大版

北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（•西城区二模）复数i•（1﹣i）=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数i•（1﹣i）=1+i．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则及i2=﹣1是解题的关键．2．（5分）（•西城区二模）已知向量=，=．若与共线，则实数λ=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出，解出即可．解答：解：∵，∴，解得λ=﹣1．故答案为A．点评：熟练掌握向量共线定理是解题的关键．3．（5分）（•西城区二模）给定函数：①y=x2；②y=2x；③y=cosx；④y=﹣x3，其中奇函数是（）A．①B．②C．③D．④考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的定义逐项判断即可得到答案．解答：解：：①y=x2是偶函数，故排除A；②y=2x非奇函数也非偶函数，故排除B；③y=cosx为偶函数，故排除C；④令f（x）=﹣x3，定义域为R，且f（﹣x）=﹣（﹣x）3=x3=﹣f（x），所以f（x）是奇函数，故选D．点评：本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．4．（5分）（•西城区二模）若双曲线的离心率是2，则实数k=（）A．3B．﹣3 C．D．考点：程序框图．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程可知a和b，进而求得c的表达式，利用离心率为2求得k的值．解答：解：依题意可知，k＜0，故a=1，b=，∴c=，∴==2，求得k=﹣3．故选B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生的基础知识．5．（5分）（•石景山区二模）如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（）A．k≤10B．k≤16C．k≤22D．k≤34考点：程序框图．专题：图表型．分析：由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．解答：解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k＜33，或者k≤22．故选C．点评：本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果．6．（5分）（•石景山区二模）对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A．m⊥n，n∥αB．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥αD．m⊥n，n⊥β，β⊥α考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，结合正方体模型，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的简单说明一下即可．解答：解：对于A，”m⊥n，n∥α”，如正方体中AB⊥BC，BC∥平面A′B′C′D′，但AB与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故A不正确；1 / 7对于B，“m∥β，β⊥α”，如正方体中A′C′∥面ABCD，面ABCD⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m⊥α，故不正确；对于C，根据m⊥β，n⊥β，得m∥n，又n⊥α，根据线面垂直的判定，可得m⊥α，可知该命题正确；对于D，“m⊥n，n⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB，AB⊥面BCC′B′，面ABCD⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m⊥α，故不正确．故选C．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．（5分）（•西城区二模）已知函数f（x）=e|x|+|x|．若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：将方程f（x）=k恰有两个不同的实根，转化为方程e|x|=k﹣|x|恰有两个不同的实根，再转化为一个函数y=e|x|的图象与一条折线y=k﹣|x|的位置关系研究．解答：解：方程f（x）=k化为：方程e|x|=k﹣|x|令 y=e|x|，y=k﹣|x|，y=k﹣|x|表示过斜率为1或﹣1的平行折线系，折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时，有k=1，如图，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（1，+∞）．故选B．点评：本题主要考查根的存在性及根的个数判断，解答关键是利用直线与曲线的位置关系．8．（5分）（•西城区二模）已知集合{1，2，3，4，5}的非空子集A具有性质P：当a∈A时，必有6﹣a∈A．则具有性质P的集合A的个数是（）A．8B．7C．6D．5考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，满足当a∈A时，必有6﹣a∈A的有3；1、5；2、4三组，列举满足条件的集合，进而可得答案．解答：解：根据题意，满足题意的子集有{3}、{ 1，5}、{ 2，4}、{3，1，5}、{3，2，4}、{3，1，5，2，4}、{1，5，2，4}，共7个；故选B．点评：本题考查集合的子集，关键是理解题意中“当a∈A时，必有6﹣a∈A”的含义．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（•西城区二模）已知直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．若l1∥l2，则实数m= ﹣6 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：求出已知直线的斜率，利用两条直线的平行斜率相等，求出m的值即可．解答：解：直线l1：x﹣3y+1=0的斜率为：，因为直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．l1∥l2，所以=，解得m=﹣6；故答案为：﹣6．点评：不考查直线与直线平行的充要条件的应用，考查计算能力．10．（5分）（•石景山区二模）如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和，则＞．（填入：“＞”，“=”，或“＜”）考点：茎叶图．专题：图表型．分析：由茎叶图，分别确定出甲、乙两班同学身高数，通过计算平均数比较出大小．解答：解：由茎叶图，甲班平均身高为（151+153+165+167+170+172）÷6=163乙班平均身高为（150+161+162+163+164+172）÷6=162＜163．则＞．故答案为：＞．点评：本题考查茎叶图和平均数，解题的关键是看清所给的数据的个数，以及准确的读取数据．属于基础题．11．（5分）（•石景山区二模）在△ABC中，BC=2，，，则AB= 3 ；△ABC的面积是．考点：正弦定理；三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，建立关于边AB 的方程，解之即可得到边AB的值，再由正弦定理关于面积的公式，代入题中数据即可求出△ABC的面积．解答：解：∵在△ABC中，BC=2，，，∴由余弦定理，得AC 2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos，即7=AB2+22﹣2×2×ABcos，化简整理得AB2﹣2AB﹣3=0，可得AB=3（舍去﹣1）根据正弦定理，得△ABC的面积为S=BC•ABsinB=×2×3×sin=故答案为：3，点评：本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求第三边的长并求三角形的面积，着重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于基础题．12．（5分）（•西城区二模）设a，b随机取自集合{1，2，3}，则直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；直线与圆相交的性质．专题：概率与统计．分析：由题意可得，直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，化简即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3个，用列举法求得满足条件的（a，b）共有5个，由此求得直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率．解答：解：直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤1，即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3=9个，而满足条件的（a，b）共有：（1，3）、（2，3）、（3，3）、（3，1）、（3，2），共有5个，故直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．还考查了直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．13．（5分）（•西城区二模）已知命题p：函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增；命题q：不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅．若p且q为真命题，则实数c的取值范围是（1，+∞）．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：由函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增可得c﹣1＞0可求p为真时c的范围，由不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅可得△=1﹣4c＜0可求q为真时c的范围，然后由p且q为真命题，则p，q都为真命题，可求解答：解：∵函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增∴c﹣1＞0即p：c＞1；∵不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅△=1﹣4c＜0∴c即q：c若p且q为真命题，则p，q都为真命题∴，即c＞1故答案为：（1，+∞）点评：本题主要考查了复合命题真假关系的应用，解题的个关键是命题p，q为真是对应c的范围的确定14．（5分）（•西城区二模）在直角坐标系xOy中，已知两定点A（1，0），B（1，1）．动点P（x，y）满足则点P构成的区域的面积是 2 ；点Q（x+y，x﹣y）构成的区域的面积是 4 ．考点：平面向量数量积的运算；简单线性规划．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得，画出可行域为：直角梯形OABD及其内部区域，数形结合求得直角梯形OABD的面积．设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，可得，点Q的可行域为直角三角形OMN及其内部区域，数形结合求得点Q（s，t）构成的区域的面积．解答：解：由题意可得，即，画出可行域为：平行四边形OABD及其内部区域，其中D（0，2），E（1，0），故点P构成的区域的面积是OD×QE=2×1=2．3 / 7设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，即．再由可得，∴点Q的可行域为平行四边形ORMN及其内部区域，如图所示：M（2，0）、N（0，2），故点Q（s，t）构成的区域的面积是2×S△OMN =2×=2×=4，故答案为2，4．点评：本题主要考查简单的线性规划问题，两个向量的数量积的定义，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（•西城区二模）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a2=8，a3+a4=48．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4a n．证明：{b n}为等差数列，并求{b n}的前n项和S n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论和对数的运算法则进行化简，再计算b n+1﹣b n是否是一个常数即可判定，若是利用等差数列的前n项和公式即可．解答：（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意 q＞0．∵a2=8，a3+a4=48，∴a1q=8，．两式相除得 q2+q﹣6=0，解得 q=2，舍去 q=﹣3．∴．∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．∵，∴数列{b n}是首项为1，公差为的等差数列．∴．点评：熟练掌握等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的定义、等差数列的前n项和公式是解题的关键．16．（13分）（•石景山区二模）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数定义，得 x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得 y1=sinα，，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值．解答：（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得 y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos +cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．17．（14分）（•西城区二模）如图1，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC的体积；（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）利用左视图可得 F为AB的中点，即可得到三角形BFC的面积，由PA⊥平面ABCD，可知PA是四面体PBFC 的底面BFC上的高，利用三棱锥的体积计算公式即可得到；（II）利用三角形的中位线定理即可得到EQ∥CD，．再利用底面正方形的性质可得AF∥CD，，利用平行四边形的判定和性质定理即可得到AE∥FQ，利用线面平行的判定定理即可证明结论；（III）利用线面垂直的性质定理和判定定理即可得到CD⊥平面PAD，从而得到CD⊥AE，由等腰三角形的性质可得AE⊥PD，利用线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PCD，而FQ∥AE，可得FQ⊥平面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证明结论．解答：（Ⅰ）解：由左视图可得 F为AB的中点，∴△BFC的面积为．∵PA⊥平面ABCD，∴四面体PBFC 的体积为=．（Ⅱ）证明：取PC中点Q，连接EQ，FQ．由正（主）视图可得 E为PD的中点，∴EQ∥CD，．又∵AF∥CD，，∴AF∥EQ，AF=EQ．∴四边形AFQE为平行四边形，∴AE∥FQ．∵AE⊄平面PFC，FQ⊂平面PFC，∴直线AE∥平面PFC．（Ⅲ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵平面ABCD为正方形，∴AD⊥CD．∴CD⊥平面PAD．∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．∴AE⊥平面PCD．∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD．∵FQ⊂平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD．点评：正确理解三视图，熟练掌握三角形BFC的面积、三棱锥的体积计算公式、三角形的中位线定理、正方形的性质、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理和判定定理、等腰三角形的性质、面面垂直的判定定理是解题的关键．18．（13分）（•西城区二模）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[2，3]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=2代入函数解析时候，求出f（1）及f′（1），利用直线方程的点斜式求切线方程；（Ⅱ）求出原函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判断出原函数在各区间段内的单调性，然后根据a的范围分析原函数在区间[2，3]上的单调性，利用函数单调性求出在a的不同取值范围内函数f（x）在区间[2，3]上的最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且 f'（x）=2x2﹣4x+2﹣a．当a=2时，，f'（1）=2﹣4=﹣2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即 6x+3y﹣5=0．（Ⅱ）解：方程f'（x）=0的判别式△=8a＞0，5 / 7令 f'（x）=0，得，或．f（x）和f'（x）的情况如下：x （﹣∞，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗故f（x ）的单调增区间为，；单调减区间为．①当0＜a≤2时，x2≤2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．②当2＜a＜8时，x1＜2＜x2＜3，此时f（x）在区间（2，x2）上单调递减，在区间（x2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．③当a≥8时，x1＜2＜3≤x2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递减，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是f（3）==7﹣3a．综上，当0＜a≤2时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当2＜a＜8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当a≥8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是7﹣3a．点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数判断函数的单调性，训练了利用函数单调性求函数的最值，解答此题的关键是对参数a的分类，考查了分类讨论的数学思想，是中档题．19．（14分）（•石景山区二模）如图，椭圆的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为，求m的值；（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意知M是线段AP的中点，由中点坐标公式可得M坐标，代入椭圆方程即可得到m值；（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标，由OP⊥OM得②，联立①②消去y0，分离出m用基本不等式即可求得m的范围；解答：解：（Ⅰ）依题意，M是线段AP的中点，因为A（﹣1，0），，所以点M 的坐标为．由于点M在椭圆C上，所以，解得．（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①因为 M是线段AP的中点，所以 P（2x0+1，2y0）．因为OP⊥OM，所以，所以，即．②由①，②消去y0，整理得．所以，当且仅当时，上式等号成立．所以m 的取值范围是．点评：本题考查直线与圆锥曲线位置关系、椭圆的简单性质，属中档题，垂直问题转化为向量的数量积为0是常用手段，要灵活运用．20．（13分）（•西城区二模）已知集合S n={（x1，x2，…，x n）|x1，x2，…，x n是正整数1，2，3，…，n的一个排列}（n≥2），函数对于（a1，a2，…a n）∈S n，定义：b i=g（a i﹣a1）+g（a i﹣a2）+…+g（a i﹣a i﹣1），i∈{2，3，…，n}，b1=0，称b i为a i的满意指数．排列b1，b2，…，b n为排列a1，a2，…，a n的生成列．（Ⅰ）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列；（Ⅱ）证明：若a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n为S n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于S n中的排列a1，a2，…，a n，进行如下操作：将排列a1，a2，…，a n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据定义直接可求出n=6时的生成列（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，则通过比较可知a k≠a'k，只要证明：b k≠b'k．即可（Ⅲ）先设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，则可得b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．然后进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n，可证解答：（Ⅰ）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，﹣2，1，4，3．（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，即：a n=a'n，a n﹣1=a'n﹣1，…，a k+1=a'k+1，a k≠a'k．显然 b n=b'n，b n﹣1=b'n﹣1，…，b k+1=b'k+1，下面证明：b k≠b'k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i﹣1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k﹣l﹣1项比a k大，而b k=l﹣（k﹣l﹣1）=2l﹣k+1．同理，设排列a'1，a'2，…，a'n中有l'项比a'k小，则有k﹣l'﹣1项比a'k大，从而b'k=2l'﹣k+1．因为 a1，a2，…，a k与a'1，a'2，…，a'k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a'k，所以l≠l'，从而 b k≠b'k．所以排列a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n的生成列也不同．（Ⅲ）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．依题意进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n．所以（b'1+b'2+…+b'n）﹣（b1+b2+…+b n）=[g（a1﹣a k）+g（a2﹣a k）+…+g（a k﹣1﹣a k）]﹣[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2b k≥2．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．点评：本题以新定义为载体，主要考查了数列知识的综合应用及一定的逻辑推理与运算的能力．7 / 7。

北京市西城区2014届高三数学上学期期末考试试题文新人教A版

市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学〔文科〕2014.1第1卷〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分．在每一小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，0{|1}B x x =-≥，如此集合A B =〔〕〔A 〕(0,1) 〔B 〕(0,1]〔C 〕(1,2)〔D 〕[1,2)2．命题p ：“x ∀∈R ，23x -<〞，那么p ⌝是〔〕〔A 〕x ∀∈R ，23x ->，〔B 〕x ∀∈R ，23x -≥ 〔C 〕x ∃∈R ，23x -< 〔D 〕x ∃∈R ，23x -≥3．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，假设向量OA AB ⊥，如此实数k =〔〕〔A 〕4 〔B 〕3〔C 〕2〔D 〕14．假设坐标原点在圆22()()4x m ym 的内部，如此实数m 的取值范围是〔〕〔A 〕11m〔B 〕33m〔C 〕22m〔D 〕2222m5．执行如下列图的程序框图，输出的S 值为〔〕〔A 〕34〔B 〕45〔C 〕56〔D 〕16．假设曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，如此实数a ,b 满足〔〕〔A 〕22a b > 〔B 〕11a b< 〔C 〕0a b << 〔D 〕0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，如此当[1,0]x ∈-时，()f x 的最小值为〔〕〔A 〕18-〔B 〕14-〔C 〕0〔D 〕148.在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y=+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v ，如此由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为〔〕〔A 〕2 〔B 〕4〔C 〕8〔D 〕16第2卷〔非选择题共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每一小题5分，共30分． 9．复数z 满足2i=1iz +，那么||z =______．10．在等差数列{}n a 中，11a =，，如此公差d =______；前17项的和17S =______．11．一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧〔左〕视图如下列图，那么此三棱柱正〔主〕视图的面积为______．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 假设3a =，2b =，1cos()3A B +=，如此cos C =______；c = ______．13．设函数2log , 0,()4, 0,x x x f x x >⎧=⎨⎩≤ 如此[(1)]f f -=______；假设函数()()g x f x k=-存在两个零点，如此实数k 的取值范围是______．14．设{(,)|(,)0}M x y F x y ==为平面直角坐标系xOy 内的点集，假设对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +<，如此称点集M 满足性质P . 给出如下三个点集：○1{(,)|cos 0}R x y x y =-=； ○2{(,)|ln 0}S x y x y =-=； ○322{(,)|1}T x y x y =-=. 其中所有满足性质P 的点集的序号是______．侧(左)视图2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分为13分〕函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.〔Ⅰ〕假设()2f α=，[π,π]α∈-，求α的值；〔Ⅱ〕求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．〔本小题总分为13分〕以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．〔Ⅰ〕假设甲、乙两个小组的数学平均成绩一样，求a 的值；〔Ⅱ〕求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；〔Ⅲ〕当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．17．〔本小题总分为14分〕如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点. 〔Ⅰ〕求证：AC ⊥平面BDEF ；〔Ⅱ〕求证：平面BDGH //平面AEF ；〔Ⅲ〕求多面体ABCDEF 的体积.甲组乙组 891a8 22 F CG EAHD18．〔本小题总分为13分〕函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . 〔Ⅰ〕求函数)(x f 的单调区间；〔Ⅱ〕当[0,4]x ∈时，求函数()f x 的最小值.19．〔本小题总分为14分〕,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为(0)k k >.设抛物线W 的焦点在直线AB 的下方.〔Ⅰ〕求k 的取值范围；〔Ⅱ〕设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D . 判断四边形ABDC 是否为梯形，并说明理由.20．〔本小题总分为13分〕设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数〔如[2.5]2=〕,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . 〔Ⅰ〕假设1114,2a q，求3T ；〔Ⅱ〕证明：nn S T 〔1,2,3,n 〕的充分必要条件为na N ；〔Ⅲ〕假设对于任意不超过2014的正整数n ，都有，证明：120122()13q <<.市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末高三数学〔文科〕参考答案与评分标准 2014.1一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分.1．D 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每一小题5分，共30分.9 10． 183411．．13- 13．2-(0,1] 14．○1○3注：第10、12、13题第一问2分，第二问3分. 第14题假设有错选、多项选择不得分，少选得2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．〔本小题总分为13分〕〔Ⅰ〕解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π，所以2||ωπ=π，解得2ω=．……………… 3分由 ()2f α=22α=，即 cos 22α=， ……………… 4分所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-，所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分〔Ⅱ〕解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+-……………… 8分1sin 2222x x =+ πsin(2)3x =+， (10)分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤．………………12分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z , (13)分16．〔本小题总分为13分〕〔Ⅰ〕解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 3分解得1a =. ………………4分〔Ⅱ〕解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩〞为事件A ， ……………… 5分依题意 0,1,2,,9a =，共有10种可能. (6)分由〔Ⅰ〕可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩一样，所以当2,3,4,,9a =时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．…7分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 8分〔Ⅲ〕解：设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分〞为事件B ，…………9分当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， (10)分所以事件B 的结果有7种，它们是：(88,90)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92). (11)分因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率7()9P B =. (13)分17．〔本小题总分为14分〕〔Ⅰ〕证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. ……………… 1分又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF 平面，且AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面BDEF .……………… 4分〔Ⅱ〕证明：在CEF ∆中，因为,G H 分别是,CE CF 的中点，所以//GH EF ，又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以//GH 平面AEF . ……………… 6分设ACBD O =，连接OH ，F G EHD在ACF ∆中，因为OA OC =，CH HF =，所以//OH AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以//OH 平面AEF . ……………… 8分又因为OHGH H =，,OH GH ⊂平面BDGH ，所以平面//BDGH 平面AEF . ………………10分〔Ⅲ〕解：由〔Ⅰ〕，得AC ⊥平面BDEF ，又因为AO =，四边形BDEF 的面积3BDEFS=⨯=， (11)分所以四棱锥A BDEF -的体积1143BDEFV AO S =⨯⨯=. (12)分同理，四棱锥C BDEF -的体积24V =.所以多面体ABCDEF 的体积128V V V =+=. (14)分18.〔本小题总分为13分〕〔Ⅰ〕解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e xf x x a '=++．……………… 2分令()0f x '=，得1x a =--．……………… 3分当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：) (5)分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕，得()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．所以当10a --≤，即1a -≥时，()f x 在[0,4]上单调递增，故()f x 在[0,4]上的最小值为min ()(0)f x f a ==； ……………… 8分当401a <--<，即51a -<<-时，()f x 在(0,1)a --上单调递减，()f x 在(1,4)a --上单调递增，故()f x 在[0,4]上的最小值为1min ()(1)e a f x f a --=--=-； (10)分当41a --≥，即5a -≤时，()f x 在[0,4]上单调递减，故()f x 在[0,4]上的最小值为4min ()(4)(4)e f x f a ==+.………………12分所以函数()f x 在[0,4]上的最小值为1min4, 1,()e , 51,(4)e , 5.a a a f x a a a ---⎧⎪=--<<-⎨⎪+-⎩≥≤……13分19．〔本小题总分为14分〕〔Ⅰ〕解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ………………1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ………………2分令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ………………3分因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，所以 114k ->，解得 34k <. 因为 0k >，所以 304k <<. ……………… 5分〔Ⅱ〕解：结论：四边形ABDC 不可能为梯形. ……………… 6分理由如下：假设四边形ABDC 为梯形. ……………… 7分由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 8分同理，得211x k =--. ……………… 9分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线BD 的斜率为1222x k =-， ……………… 10分抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的斜率为2222x k=--. ………………11分由四边形ABDC 为梯形，得//AB CD 或//AC BD .假设//AB CD ，如此22k k =--，即2220k k ++=，因为方程2220k k ++=无解，所以AB 与CD 不平行. (12)分假设//AC BD ，如此，即22210k k -+=，因为方程22210k k -+=无解，所以AC 与BD 不平行. ……………13分所以四边形ABDC 不是梯形，与假设矛盾.因此四边形ABDC 不可能为梯形.……………14分20．〔本小题总分为13分〕〔Ⅰ〕解：因为等比数列{}n a 的114a ，12q ，所以 114a ，27a ，3 3.5a .……………… 1分所以 114b ，27b ，33b .……………… 2分如此 312324T b b b . ……………… 3分〔Ⅱ〕证明：〔充分性〕因为 n a N ，所以 []n n n b a a 对一切正整数n 都成立.因为 12n n S a a a ，12n n T b b b ，所以 n n S T .……………… 5分〔必要性〕因为对于任意的n N ，n n S T ，当1n =时，由1111,a S b T ，得11a b ；……………… 6分当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =. ……………… 7分因为，0n a ，所以对一切正整数n 都有na N . (8)分〔Ⅲ〕证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 9分因为 []n n b a ，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ………………10分由 21a q a =，得 1q <. ………………11分因为 201220142[2,3)a a q=∈，所以 20122223q a >≥，所以，即 120122()13q <<. ………………13分。

2014北京西城区高三期末数学(文)试题

北京市西城区2021 — 2021学年度第一学期期末试卷高三数学〔文科〕 2021.1第一卷〔选择题共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，0{|1}B x x =-≥，那么集合A B =〔〕〔A 〕(0,1) 〔B 〕(0,1]〔C 〕(1,2)〔D 〕[1,2)2．命题p ：“x ∀∈R ，23x -<〞，那么p ⌝是〔〕〔A 〕x ∀∈R ，23x ->，〔B 〕x ∀∈R ，23x -≥ 〔C 〕x ∃∈R ，23x -< 〔D 〕x ∃∈R ，23x -≥3．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，假设向量OA AB ⊥，那么实数k =〔〕〔A 〕4 〔B 〕3〔C 〕2〔D 〕14．假设坐标原点在圆22()()4x m ym 的内部，那么实数m 的取值范围是〔〕〔A 〕11m〔B 〕33m〔C 〕22m〔D 〕2222m5．执行如下图的程序框图，输出的S 值为〔〕〔A 〕34 〔B 〕45〔C 〕56〔D 〕16．假设曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，那么实数a ,b 满足〔〕〔A 〕22a b > 〔B 〕11a b< 〔C 〕0a b << 〔D 〕0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，那么当[1,0]x ∈-时，()f x 的最小值为〔〕〔A 〕18-〔B 〕 14-〔C 〕0〔D 〕148.在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组0,0,2x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤所表示的平面区域为D . 在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v ，那么由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为〔〕〔A 〕2 〔B 〕4〔C 〕8〔D 〕16第二卷〔非选择题共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分． 9．复数z 满足2i=1iz +，那么||z =______．10．在等差数列{}n a 中，11a =，8104a a +=，那么公差d =______；前17项的和17S =______．11．一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧〔左〕视图如下图，那么此三棱柱正〔主〕视图的面积为______．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 假设3a =，2b =，1cos()3A B +=，那么cos C =______；c = ______．13．设函数2log , 0,()4, 0,x x x f x x >⎧=⎨⎩≤ 那么[(1)]f f -=______；假设函数()()g x f x k=-存在两个零点，那么实数k 的取值范围是______．14．设{(,)|(,)0}M x y F x y ==为平面直角坐标系xOy 内的点集，假设对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +<，那么称点集M 满足性质P . 给出以下三个点集：○1{(,)|cos 0}R x y x y =-=； ○2{(,)|ln 0}S x y x y =-=； ○322{(,)|1}T x y x y =-=. 其中所有满足性质P 的点集的序号是______．侧(左)视图2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值13分〕函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.〔Ⅰ〕假设()f α=[π,π]α∈-，求α的值；〔Ⅱ〕求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．〔本小题总分值13分〕以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．〔Ⅰ〕假设甲、乙两个小组的数学平均成绩一样，求a 的值；〔Ⅱ〕求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；〔Ⅲ〕当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．17．〔本小题总分值14分〕如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点. 〔Ⅰ〕求证：AC ⊥平面BDEF ；〔Ⅱ〕求证：平面BDGH //平面AEF ；〔Ⅲ〕求多面体ABCDEF 的体积.甲组乙组 891a822 F B CG EAHD18．〔本小题总分值13分〕函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . 〔Ⅰ〕求函数)(x f 的单调区间；〔Ⅱ〕当[0,4]x ∈时，求函数()f x 的最小值.19．〔本小题总分值14分〕,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为(0)k k >.设抛物线W 的焦点在直线AB 的下方.〔Ⅰ〕求k 的取值范围；〔Ⅱ〕设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D . 判断四边形ABDC 是否为梯形，并说明理由.20．〔本小题总分值13分〕设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数〔如[2.5]2=〕,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . 〔Ⅰ〕假设1114,2a q，求3T ；〔Ⅱ〕证明： n n S T 〔1,2,3,n 〕的充分必要条件为na N ；〔Ⅲ〕假设对于任意不超过2014的正整数n ，都有21nT n ，证明：120122()13q <<.。

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北京市西城区2014届高三数学二模文科数学试卷（带解析）1．设集合{|20}A x x =-<，集合{|1}B x x =>，则（）（A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆ （C ）A B =∅ （D ）A B ≠∅【答案】D 【解析】试题分析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，{|1}B x x =>，{|12}A B x x =<<≠∅，故选D ．考点：集合与集合之间关系．2．在复平面内，复数=(12i)(1i)z +-对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】A 【解析】试题分析：=(12i)(1i)=3+i z +-，在复平面内对应的点位于第一象限．考点：复数的运算，复数的几何意义．3．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（）（A （B ）2 （C （D ）2【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得2b a =，即22222241b c a e a a-===-，所以25e =，即e = 考点：双曲性的几何意义．4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）（A ）2A ∈，且4A ∈ （BA ，且4A ∈ （C ）2A ∈，且A （DAA【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该四棱锥是底面对角线长为2，高为4的正四棱锥，因此它的底考点：三视图．5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由b c =得，0b c -=，得()0a b c ⋅-=；反之不成立，故()0a b c ⋅-=是b c =的必要而不充分条件．考点：充要条件的判断．6．在△ABC 中，若4a =，3b =，1cos 3A =，则B =（）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π6 （D ）2π3正(主)视图俯视图侧(左)视图【答案】A 【解析】试题分析：由1cos 3A =得，sin A =，由43>，得B 是锐角，有正弦定理得，sin sin a bA B=，即3sin 3sin 4b A B a ===，所以4B π=．考点：正弦定理．7．设函数2244, ,()log , 4.x x x f x x x ⎧-+=⎨>⎩≤ 若函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则实数a 的取值范围是（）（A ）(,1]-∞ （B ）[1,4]（C ）[4,)+∞ （D ）(,1][4,)-∞+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：由函数()y f x =的图像可知，在(),2-∞和()4,+∞上是递增的，在()2,4上是递减的，故函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则12a +≤或4a >，即1a ≤或4a >，故选Ｄ．考点：函数的单调性．8．设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω.如果Ω是边长为1的正方形，那么()()x y Ω+Ω的取值范围是（）（A）（B）（C）[1 （D）[1 【答案】B 【解析】试题分析：如下图两种画法分别是()x Ω，()y Ω取得最大值最小值的位置，由图可知，()x Ω取得最大值最小值分别为 ()y Ω取得最大值最小值分别为故()()x y Ω+Ω的取值范围是．10．设抛物线2 4Cy x =：的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，且点M 的横坐标为2，则||MF = .【答案】3 【解析】试题分析：由抛物线的定义可知，0||1232pMF x =+=+=．考点：抛物线的定义．11．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为______．【答案】2- 【解析】试题分析：第一次运行后，得2,2a i =-=，此时25<；第二次运行后，得1,33a i =-=，此时35<；第三次运行后，得1,42a i ==，此时45<；第四次运行后，得3,5a i ==，此时55=；第五次运行后，得2,6a i =-=，此时65>；此时停止循环，输出的a 的值为2-．考点：算法框图．12．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域是α，不等式组440,0x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β. 从区域α中随机取一点(,)P x y ，则P 为区域β内的点的概率是_____．【答案】12【解析】试题分析：在同一坐标作出不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域，与不等式组40,x ⎧≤≤18832⨯⨯=，β与α重叠的面积β内的点的概率为161322=． BD 所在的直线进行翻折，则试题分析：将ABD ∆沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程，底面积不变，高在变化，当平面ABD 与平面ACD A BCD -的体积的最大值是112232V =⨯⨯⨯=考点：翻折问题，几何体体积．14．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x y =∈∈N N 上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ，记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：则(3,5)f =__________，使不等式(2,)4x f x ≤成立的x 的集合是_____________. 【答案】8 ，{1,2} 【解析】试题分析：根据映射对应法则可知(3,5)538f =+=；(2,)4x f x ≤，当1x =时，(2,1)2114f =-=≤，当2x =时，(4,2)42f =-=≤，当3x =时，(8,3)83f ≥=-=，因此当1,2x =时，(2,)4x f x ≤成立．考点：映射．15．已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当π[,0]2x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值. 【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为πT =；（2）π8x =-时，函数()f x 取到最小值π1()82f -=，π2x =-时，函数()f x 取到最大值π()12f -=．【解析】试题分析：（1）求函数()f x 的最小正周期，求三角函数周期，首先将函数化成一个角的一个三角函数，即化成()sin y A x ωϕ=+形式，因此对函数()f x 先化简，由()cos (sin cos )1f x x x x =-+，整理得，2()sin cos cos 1f x x x x =-+，由此可用二倍角公式整理得111()sin 2cos 2222f x x x =-+，再由两角和的正弦得π1())242f x x =-+，进而可有2T πω=求得周期；（2）当π[,0]2x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值，由π[,0]2x ∈-得，5πππ2444x --≤≤-，进而转化为正弦函数的最值，从而求出函数()f x 的最大值和最小值. （1） 2()sin cos cos 1f x x x x =-+11cos 2sin 2122xx +=-+ 4分111sin 2cos 2222x x =-+ π1sin(2)242x =-+， 6分所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. 7分（2）由 π02x -≤≤，得5πππ2444x --≤≤-.所以 π1sin(2)4x --≤ 9分所以1π1)2242x -+≤≤1，即 1()12f x ≤≤. 11分当ππ242x -=-，即π8x =-时，函数()f x 取到最小值π1()82f -=； 12分当π5π244x -=-，即π2x =-时，函数()f x 取到最大值π()12f -=. 13分考点：三角函数化简，求周期，最值．16．为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A 班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B 班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（2）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（3）根据数据推断A 班全班40名学生中有几名学生的视力大于4.6?【答案】（1）A =4.6x ，B =4.5x ，从数据结果来看A 班学生的视力较好；（2）B 班5名学生视力的方差较大；（3）可推断A 班有16名学生视力大于4.6．【解析】试题分析：（1）计算出平均数，看平均数的大小，平均数大的班学生的视力较好；（2）对数据分析，一看极差，二看数据集中程度，越集中方差越小，越离散方差越大，从数据上看，B 班5名学生视力极差较大，数据相对较散，从而的结论；（3）对数据观察，找出视力大于4.6的人数，根据视力大于4.6的人数与抽出人数的比值，从而可估算出A 班全班40名学生中的视力大于4.6的人数．（1）A 班5名学生的视力平均数为A 4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +， 2分B 班5名学生的视力平均数为B 5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +. 3分从数据结果来看A 班学生的视力较好. 4分（2）B 班5名学生视力的方差较大. 8分（3）在A 班抽取的5名学生中，视力大于4.6的有2名，所以这5名学生视力大于4.6的频率为25． 11分所以全班40名学生中视力大于4.6的大约有240165⨯=名，则根据数据可推断A 班有16名学生视力大于4.6． 13分考点：统计数据分析，平均数，样本估计总体． 17．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，12AA =，E 为1AA 的中点，O 为1BD 的中点.（1）求证：平面11A BD ⊥平面11ABB A ；（2）求证：//EO 平面ABCD ；（3）设P 为正方体1111D C B A ABCD -棱上一点，给出满足条件OP 的点P 的个数，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）在正方体1111D C B A ABCD -棱上使得OP =的点P 有12个. 【解析】试题分析：（1）求证：平面11A BD ⊥平面11ABB A ，证明两平面垂直，只需证明一个平面过另一个平面的垂线，注意到本题是一个正方体，因此可证11A D ⊥平面11ABB A 即可；（2）求证：//EO 平面ABCD ，证明线面平行，即证线线平行，即在平面ABCD 内找一条直线与EO 平行，注意到E 为1AA 的中点，O 为1BD 的中点，可连接BD ，AC ，设BDAC G =，连接OG ，证明//EO AG 即可，即证四边形AGOE 是平行四边形即可；（3）设P 为正方体1111D C B A ABCD -棱上一点，给出满足条件OP 的点P 的个数，由（2）可知，//EO AG ，且12EO AG AC ===，故点E 符合，有正方体的特征，可知，1AA OE ⊥，故EO 是点O 到1AA 的最短距离，故这样的点就一个，同理在其他棱上各有一个，故可求出满足条件OP =的点P 的个数．（1）在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 11A D ⊥平面11ABB A ，11A D ⊂平面11A BD ，所以平面11A BD ⊥平面11ABB A . 4分（2）证明：连接BD ，AC ，设BD AC G =，连接OG .因为1111D C B A ABCD -为正方体，所以 1//DD AE ，且121DD AE =，且G 是BD 的中点，又因为O 是1BD 的中点，所以 1//DD OG ，且121DD OG =，所以 AE OG //，且AE OG =，即四边形AGOE 是平行四边形，所以//EO AG ， 6分又因为 EO ⊄平面ABCD ，⊂AG 平面ABCD ，所以 //EO 平面ABCD . 9分（3）满足条件OP =的点P 有12个. 12分理由如下：因为 1111D C B A ABCD -为正方体，12AA =，所以AC = 所以12EO AG AC ===分在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 1AA ⊥平面ABCD ，AG ⊂平面ABCD ，所以 1AA AG ⊥，又因为 //EO AG ，所以 1AA OE ⊥，则点O 到棱1AA所以在棱1AA 上有且只有一个点（即中点E ）到点O同理，正方体1111D C B A ABCD -每条棱的中点到点O所以在正方体1111D C B A ABCD -棱上使得OP =的点P 有12个. 14分考点：面面垂直的判断，线面平行的判断，点到直线距离．18．已知函数2e ()1xf x ax x =++，其中a ∈R .（1）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；（2）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明.【答案】（1）定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-，当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =；（2）函数()g x 存在两个零点．【解析】试题分析：若0a =，求函数()f x 的定义域和极值，把0a =代入得函数e ()1xf x x =+，故可求得函数()f x 的定义域，求它的极值，对函数求导，求出导数等于零点，及两边导数的符号，从而确定极值点；（2）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，即求函数2e ()11xg x x x =-++的零点个数，首先确定定义域，在定义域内，考虑函数的单调性，由单调性与根的存在性定理，来判断零点的个数．（1）函数e ()1xf x x =+的定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-. 1分22e (1)e e ()(1)(1)x x xx x f x x x +-'==++. 3分令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：4分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,0)-；单调增区间为(0,)+∞．所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =. 5分（2）结论：函数()g x 存在两个零点. 证明过程如下：由题意，函数2e ()11xg x x x =-++，因为 22131()024x x x ++=++>，所以函数()g x 的定义域为R . 6分求导，得22222e (1)e (21)e (1)()(1)(1)x x x x x x x x g x x x x x ++-+-'==++++， 7分令()0g x '=，得10x =，21x =，当x 变化时，()g x 和()g x '的变化情况如下：故函数()g x 的单调减区间为(0,1)；单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞．当0x =时，函数()g x 有极大值(0)0g =；当1x =时，函数()g x 有极小值e(1)13g =-. 9分因为函数()g x 在(,0)-∞单调递增，且(0)0g =，所以对于任意(,0)x ∈-∞，()0g x ≠. 10分因为函数()g x 在(0,1)单调递减，且(0)0g =，所以对于任意(0,1)x ∈，()0g x ≠. 11分因为函数()g x 在(1,)+∞单调递增，且e(1)103g =-<，2e (2)107g =->，所以函数()g x 在(1,)+∞上仅存在一个0x ，使得函数0()0g x =， 12分故函数()g x 存在两个零点（即0和0x ）. 13分考点：函数的极值，根的存在性定理．19．设12,F F 分别为椭圆22: 12x W y +=的左、右焦点，斜率为k 的直线l 经过右焦点2F ，且与椭圆W 相交于,A B 两点. （1）求1ABF ∆的周长；（2）如果1ABF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率k .【答案】（1）1ABF ∆的周长为（2）直线l的斜率7k =±，或1k =±时，1ABF ∆为直角三角形．【解析】试题分析：（1）求1ABF ∆的周长，这是焦点三角问题，解这一类问题，往往与定义有关，本题可由椭圆定义得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=，两式相加即得1ABF ∆的周长；（2）如果1ABF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率k ，由于没教得那一个角为直角，故三种情况，o 190BF A ∠=，或o 190BAF ∠=，或o 190ABF ∠=，当o 190BF A ∠=时，此时直线AB 的存在，设出直线方程，代入椭圆方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由根与系数关系，得到关系式，再由110F A F B ⋅=，即可求出斜率k 的值，当o 190BAF ∠=（与o 190ABF ∠=相同）时，则点A 在以线段12F F 为直径的圆221x y +=上，也在椭圆W 上，求出点A 的坐标，从而可得直线l 的斜率k ．（1）椭圆W的长半轴长a =1(1,0)F -，右焦点2(1,0)F ， 2分由椭圆的定义，得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=，所以1ABF ∆的周长为1212||||||||4AF AF BF BF a +++==分（2）因为1ABF ∆为直角三角形，所以o 190BF A ∠=，或o 190BAF ∠=，或o 190ABF ∠=，再由当o 190BF A ∠=时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 6分由 221,2(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得 2222(12)4220k x k x k +-+-=， 7分所以 2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+. 8分由o190BF A ∠=，得110F A F B ⋅=， 9分因为111(1,)F A x y =+，122(1,)FB x y =+，所以11121212()1F A F B x x x x y y ⋅=++++2121212()1(1)(1)x x x x k x x =++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =++-+++2222222224(1)(1)101212k k k k k k k-=+⨯+-⨯++=++， 10分解得k =. 11分当o 190BAF ∠=（与o190ABF ∠=相同）时，则点A 在以线段12F F 为直径的圆221x y +=上，也在椭圆W 上，由22221,21,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得(0,1)A ，或(0,1)A -， 13分根据两点间斜率公式，得1k =±，综上，直线l的斜率k =，或1k =±时，1ABF ∆为直角三角形. 14分考点：焦点三角，直线与椭圆位置关系．20．在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<. 设*m ∈N ，记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b . （1）设数列{}n a 为1，3，5，7，，写出1b ，2b ，3b 的值；（2）若{}n a 为等比数列，且22a =，求12350b b b b ++++的值；（3）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a .【答案】（1）11b =，21b =，32b =；（2）12350243b b b b ++++=；（3）得n n a = 【解析】试题分析：（1）根据使得1n n a a +<成立的n 的最大值为m b ，1n a ≤，则11b =，2n a ≤，则21b =，3n a ≤，则32b =，这样就写出1b ，2b ，3b 的值；（2）确定11b =，232b b ==，45673b b b b ====，89154b b b ====，1617315b b b ====，3233506b b b ====，分组求和，即可求12350b b b b ++++的值；（3）若{}n b 为等差数列，先判断n n a ≥，再证明n a n ≤，即可求出所有可能的数列{}n a ．（1） 11b =，21b =，32b =. 3分（2）因为{}n a 为等比数列，11a =，22a =，所以12n n a -=， 4分因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以11b =，232b b ==，45673b b b b ====，89154b b b ====，1617315b b b ====，3233506b b b ====， 6分所以12350243b b b b ++++=. 8分（3）由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. 9分又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. 10分设2 a k =，则 2k ≥. 假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥. 所以21b =，2k b =. 因为{}n b 为等差数列，所以公差210d b b =-=，所以1n b =，其中*n ∈N . 这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =. 11分又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . 12分因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a =. 13分考点：等差数列与等比数列的性质．。