课时作业8：3.2 回归分析(二)

一、基础过关
1．下列说法正确的是( )
①线性回归方程适用于一切样本和总体； ②线性回归方程一般都有时间性；
③样本的取值范围会影响线性回归方程的适用范围； ④根据线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值． A ．①③④ B ．②③ C ．①② D ．③④ 答案 B
2．每一吨铸铁成本y c (元)与铸件废品率x %建立的回归方程y c ＝56＋8x ，下列说法正确的是( )
A ．废品率每增加1%，成本每吨增加64元
B ．废品率每增加1%，成本每吨增加8%
C ．废品率每增加1%，成本每吨增加8元
D ．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元 答案 C
3．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝1
2x ＋1上，则这组样本数据的样本相关
系数为( )
A ．－1
B ．0 C.1
2 D ．1
答案 D
4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x 1.99 3 4 5.1 6.12 y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．y ＝2x －2 B ．y ＝(1
2)x
C ．y ＝log 2x
D ．y ＝1
2
(x 2－1)
答案 D
解析 可以代入检验，当x 取相应的值时，所求y 与已知y 相差最小的便是拟合程度最高的． 5．已知x ，y 之间的一组数据如下表：
则y 与x 之间的回归直线方程y ＝b x ＋a 必过点______________________________． 答案 (1.16,2.4)
解析 回归直线方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
必过样本点中心(x ，y )， ∵x ＝1.08＋1.12＋1.19＋1.25
4＝1.16，
y ＝
2.25＋2.37＋2.43＋2.55
4
＝2.4，
∴样本点中心为(1.16,2.4)．
6．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y ＝e bx
＋a
的周围，令z ＝ln y ，求得线性回归方程为z ^
＝0.25x －2.58，则该模型的回归方程为________． 答案 y ^
＝e 0.25x
－2.58
解析 ∵z ^ ＝0.25x －2.58，z ＝ln y ， ∴y ^
＝e 0.25x
－2.58
.
7．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：
(1)求年推销金额y (2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额． 解 (1)设所求的线性回归方程为y ^
＝b ^
x ＋a ^
，
则b ^
＝
∑i ＝1
5
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
5
(x i －x )2
＝10
20
＝0.5， a ^
＝y －b ^
x ＝0.4.
∴年推销金额y 关于工作年限x 的回归直线方程为y ^
＝0.5x ＋0.4. (2)当x ＝11时，y ^
＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)． ∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元． 二、能力提升
8．下列说法中正确的有：①若r >0，则x 增大时，y 也相应增大；②若r <0，则x 增大时，y 也相应增大；③若r ＝1，或r ＝－1，则x 与y 的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．( )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③ 答案 C
9．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2.已知在两个人的试验中发现对变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为s ，对变量y 的观测数据的平均值也恰好相等，都为t .那么下列说法正确的是( ) A ．直线l 1和l 2有交点(s ，t )
B ．直线l 1和l 2相交，但是交点未必是点(s ，t )
C ．直线l 1和l 2由于斜率相等，所以必定平行
D ．直线l 1和l 2必定重合 答案 A
解析 由于回归直线一定过(x ，y )， ∴直线l 1和l 2都过(s ，t )点．
10．某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8
对观测值，计算得：∑8
i ＝1x i ＝52，∑8
i ＝1y i ＝228，∑8
i ＝1x 2i ＝478，∑8
i ＝1
x i y i ＝1 849，则y 与x 的
回归直线方程是________． 答案 y ^
＝11.47＋2.62x
11．某种图书每册的成本费y (元)与印刷册数x (千册)有关，经统计得到数据如下：
已知每册书的成本费y 与印刷册数的倒数1
x 之间有线性相关关系，求出y 关于x 的回归方程．
解 令u ＝1
x ，则题目所给数据变成如下表所示的数据：
u 1 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005 y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
由题意可知，每册书的成本费y 与印刷册数的倒数1
x 之间有线性相关关系，故由最小二乘法得：
b ^
≈8.973，a ^
≈1.125，所以y ＝8.973u ＋1.125.
回代u ＝1x 可得y ^ ＝8.973
x ＋1.125.
因此y 关于x 的回归方程为y ^
＝8.973
x
＋1.125.
12．为了研究某种细菌随时间x 变化时，繁殖个数y 的变化，收集数据如下：
天数x /天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y /个
6
12
25
49
95
190
(1)用天数x 作解释变量，繁殖个数y 作预报变量，作出这些数据的散点图； (2)描述解释变量x 与预报变量y 之间的关系． 解 (1)所作散点图如图所示．
(2)由散点图看出样本点分布在一条指数型函数y ＝c 1e c 2x 的周围，于是令z ＝ln y ，则
x 1 2 3 4 5 6 z
1.79
2.48
3.22
3.89
4.55
5.25
由计算器得：z ^
＝0.69x ＋1.115，则有y ^
＝e 0.69x ＋1.115
.
三、探究与拓展
13．下表给出了我国从1949年至1999年人口数据资料，试根据表中数据估计我国2004年的人口数，并作出相关性检验. 年份 1949
1954
1959
1964
1969
1974
1979
1984
1989
1994
1999
人口数/百万
542
603
672
705
807
909
975
1 035 1 107 1 177 1 246
x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 y
542
603
672
705
807
909
975
1 035
1 107
1 177
1 246
作出散点图如图，根据公式可得回归直线方程为 y ^
＝527.591＋14.453x .
由于2004对应的x ＝55，代入回归直线方程可得y ^
＝1 322.506(百万)，即2004年的人口总数估计为13.23亿．
下面对其进行线性相关性检验：
(1)作统计假设H 0∶x 与y 不具有线性相关； (2)由0.01与n －2＝9的附表中查得r 0.01＝0.735； (3)根据公式得相关系数r ＝0.998； (4)因为|r |＝0.998>0.735，即|r |>r 0.01，
所以有99%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系，回归直线方程为y ^
＝527.591＋14.453x ，用这个方程去估计我国2004年的人口数是有意义的．。