高一数学 实数与向量的积综合练习教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案：实数与向量的积综合练习
教材：5.3实数与向量的积综合练习《教学与测试》P141-144 67、68课
目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，
并能用来解决一些简单的几何问题。

过程：一、复习：1．实数与向量的积 (强调：“模”与“方向”两点)
2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律） 3．向量共线的充要条件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质） 二、处理《教学与测试》
1．当λ Z 时，验证：λ(a +b )=λa
+λb
证：当λ=0时，左边=0•(a +b )=0 右边=0•a
+0•b =0 分配律成立
当λ为正整数时，令λ=n, 则有：
n(a +b )=(a +b )+(a +b )+…+(a +b )
=a +a +…+a +b +b +b
+…+b =n a +n b
即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ= n （n 为正整数），有
n(a +b )=n[ (a +b )]=n[( a )+( b )]=n( a )+n( b )= n a +( n b )= n a
n b
分配律仍成立
综上所述，当λ为整数时，λ(a +b )=λa
+λb 恒成立 。

2．如图，在△ABC 中，=a
, =b AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量 解一：∵AB =a , BC =b 则BD =21BC =
2
1
b
∴=+=a +
21
b 而=3
2
∴=32a +31b
解二：过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F ∵△AEF ∽△ABC
=32=32a =32=3
2b
D A B
C
a
b D
A
E
C
a b
B
F
G
=21=31b
∴AG =AE +EG =32a +3
1b
3．在 ABCD 中，设对角线=a ，
=b 试用a , b
表示， 解一：AO =OC =21a BO =21=2
1b
∴AB =+= =21a 21b
=+=+=21a +2
1b
解二：设AB =x ，BC =
则AB +BC =AC x +y =a ∴ x =2
1(a b
)
= =b =2
1(a +b
)
即：AB =21(a b ) BC =2
1(a +b
)
4．设1e , 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e , =1e +32e , =21e 2e , 若三点A, B, D 共线，求k 的值。

解：= =(21e 2e ) (1e +32e )=1e 42e
∵A, B, D 共线 ∴,共线 ∴存在λ使=λ
即21e +k 2e =λ(1e 42e ) ∴⎩⎨
⎧-==λ
λ
42k ∴k= 8
5．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M, N 分别是DC, AB 中点，设AD =a
, AB =b ，
试以a , b
为基底表示, ,
解：=21=2
1b
连ND 则DC ╩ND
∴== =a 21b
又：=21=4
1b
∴= = =
BC DM
B
C
M B
=( a +21b ) 41b =4
1b a
6．1kg 的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30 , 60 角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90
||OP =1 (kg) P 1OP =60 P 2OP=30
∴||1OP =||OP cos60 =1•
2
1
=0.5 (kg) ||2OP =||OP c os30 =1•
2
3
=0.87 (kg) 即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg 和0.87 kg 三、作业：《教学与测试》67、68课练习
P。