随机分析 (B)参考答案及评分标准

湖 北 师 范 学 院
研究生课程考核试题参考答案及评分标准
（B ）
2012 — 2013学年第 1 学期
课程名称： 测度与概率 考核方式： 闭卷
任课教师： 潘继斌 开课院（系）： 数学与统计学院 注：标准答案需写清题号；每小题得分、共得分；参考答案要点；评分标准等。

一、证明题（共2小题，共计16分）
证明：1、随机开区间()(),τ∞的示性函数是左连右极过程；
2、若τ为停时[]()()
0,,,ττ⎡⎤⇒∞∈⎣⎦P(可料σ代数)。

二、证明题（共1小题，共计8分）
设[1,),p ∈∞G 为F 的子σ代数，若,q
L n X ξ−−→则[n E X G]P
L −−
→ [E ξG]
三、证明题（共1小题，共计10分）
. 证明：若M ∈M 20,H ∈H 2,,M M X I H =则22,X M μμ≤且
222
2...X M M d H a e d μμμ⎡⎤=
⎣⎦
四、证明题（共 1小题，共计10分）
设s t <，及F ∈F S ，M ∈M 20及2M H H ∈，证明
(,]
(,]
1
1F
u u F
u u s t s t H dM H dM =⎰⎰
；进一
步证明，对任一有界F S 可测随机变量ξ有：
(,]
(,]
.u
u
u u s t s t H dM
H dM ξξ
=⎰⎰
五、证明题（共2小题，每题8分，共计16分） 证明：（1）设A 为可料集，则M
2
A
为稳定子空间；
（2）M 2
c 及M 2
d 均为稳定子空间。

六、证明题（共 1小题，共计10分）
设X 为伊藤过程 ()()00
t
t
t s X X b s ds s dW σ=++⎰⎰，()()1,2,m f t x C R R +∈⨯，
求()T
dX dX 及(),t f t X 的伊藤微分公式。

七、证明题（共 1小题，共计10分）
设M 为d 维连续局部鞅，00M =，且存在d d ⨯矩阵值过程
()i j H H =∈()2d d
loc L R R ⨯，对t R +∀∈有()det 0,..H t a s ≠⎡⎤⎣⎦ 及
()()0
,,..,1,2,,t
i j ij t M M s ds a s i j d ⎡⎤=Φ=⎣⎦⎰，其中T HH Φ=，
则存在使0
..;.t
t s s
M H dW a s t R +=∈⎰
八、证明题（共 1小题，共计10分） 设[]2
0,f L T ∈，证明：()()2
1exp{},02t t t s X x f s dW f s ds t T =-≤≤⎰
⎰为
伊藤方程()0,,0t t t dX f t X dW X x R t T ==∈≤≤唯一的强解。

九、证明题（共 1小题，共计10分）
设M ∈M c
loc ，H ∈L ()2loc M ，则随机积分X H dM =⎰为唯一满足下式的连续局部鞅：对t R +∀∈及N ∈M c
loc 有[][],,.s t s X N H d M N =⎰。