2018年秋高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时角度问题学案新人教A版
(新课标)高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第2课时 高度、角度问题课时作业 新人教A版
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问题课时作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长导学号 54742144( A )A．1002m B．100错误!mC．50(错误!＋错误!）m D．200m[解析］如图，由条件知，AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝25（错误!＋错误!)，CD＝100cos75°＝25(6－错误!），BD＝错误!＝错误!＝25(3错误!＋错误!)．∴BC＝BD－CD＝25(3错误!＋错误!）－25(错误!－错误!）＝100错误!（m）．2．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m,则电视塔的高度为错误! ( D ）A．102m B．20mC．203m D．40m［解析]设AB＝x m，则BC＝x m，BD＝3x m，在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos120°,∴x2－20x－800＝0,∴x＝40(m)．3．若甲船在B岛的正南方A处,AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行,同时,乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是错误!（ A )A．错误!min B．错误!hC．21.5min D．2.15h[解析］当时间t<2。
高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2.2 解决有关测量高度的问题教案 新人教A版必
安徽省长丰县高中数学第一章解三角形1.2 应用举例1.2.2 解决有关测量高度的问题教案新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省长丰县高中数学第一章解三角形1.2 应用举例1.2.2 解决有关测量高度的问题教案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.2。
2 解决有关测量高度的问题一、知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.二、过程与方法本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导—-讨论—-归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.三、情感态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力。
教学重点1.结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；2.画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力．日常生活中的实例体点现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外,特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程．教学难点能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件；教学准备直尺和投影仪教学过程导入新课师设问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题.推进新课【例1】AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．[合作探究]师这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直接用尺去量一下就行了，那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢？生 要求建筑物AB 的高，我只要能把A E 的长求出来,然后再加上测角仪的高度E B 的长就行了.师 对了，求AB 长的关键是先求A E ，那谁能说出如何求A E ？生 由解直角三角形的知识，在△ADC 中,如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出A E 的长．师 那现在的问题就转化成如何去求CA 的长，谁能说说？生 应该设法借助解三角形的知识测出CA 的长．生 为了求CA 的长，应该把CA 放到△DCA 中，由于基线DC 可以测量，且β也可以测量,这样在△DCA 中就已知两角和一边，所以由正弦定理可以解出CA 的长．解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β,CD = A ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中,根据正弦定理可得)sin(sin βαβ-=a AC ，AB =A E+h=ac sinα+h=)sin(sin sin βαβα-a +h 。
高中数学 第一章 解三角形 1.2 解三角形应用举例教学
解三角形应用举例教学目标一、知识与技能1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语，如:坡度、俯角、方向角、方位角等2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题3、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题4、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题5、掌握三角形的面积公式的简单推导和应用二、教学重点1、分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法；2结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；3、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系；4、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.三、教学难点1、实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图；2、能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；3、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题；4、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.四、教学过程解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.［例题剖析］【例1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC=51°，∠ACB=75°．求A、B两点的距离.(精确到0.1 m)解：根据正弦定理，得ABCACACB AB ∠=∠sin sin ， ︒︒=︒-︒-︒︒=∠∠=∠∠=54sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55sin sin 55sin sin ABC ACB ABC ACB AC AB ≈65.7(m).答:A 、B 两点间的距离为65.7米.【例2】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞做直线往复运动，当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 0处，设连杆AB 长为340 mm ，曲柄CB 长为85 mm ，曲柄自CB 0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离A 0A ）.（精确到1 mm ）解：（如图）在△ABC 中，由正弦定理可得34080sin 85sin sin ︒⨯==AB C BC A ≈0.246 2. 因为BC ＜AB ，所以A 为锐角.∴A =14°15′，∴ B ＝180°-（A ＋C ）＝85°45′. 又由正弦定理，9848.05485sin 340sin sin '︒⨯==C B AB AC ≈344.3(m m ). ∴A 0A =A 0C –AC =(AB +BC )-AC =(340+85)-344.3=80.7≈81(mm). 答：活塞移动的距离为81 mm ．【例3】AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法．解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = A ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得)sin(sin βαβ-=a AC ,AB =A E+h=ac sinα+h=)sin(sin sin βαβα-a +h.【例4】如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′，在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′．已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD (精确到1 m).解：在△ABC 中,∠BCA =90°+β,∠ABC =90°-α,∠BAC =α-β,∠BAD =α. 根据正弦定理,)90sin()sin(ββα+︒=-AB BC =，所以)sin(cos )sin()90sin(βαββαβ-=-+︒=BC BC AB .在Rt △ABD 中,得BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式,得934sin 0454sin 150cos 3.27)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'︒'︒'︒='︒-'︒'︒'︒=BD ≈177(m),CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m).【例5】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上,行驶5 km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD .解：在△ABC 中, ∠A =15°,∠C =25°-15°=10°,根据正弦定理,︒︒===10sin 15sin 5sin sin ,sin sin C A AB BC C AB A BC ,≈ 7.452 4(km), CD =BC ×t a n ∠DBC =BC ×t a n8°≈1 047(m).答:山的高度约为1 047米.课堂练习用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角α和β,已知BD 间的距离为A ,测角仪的高度为B ,求气球的高度.分析:在Rt △EG A 中求解EG,只有角α一个条件,需要再有一边长被确定,而△E AC 中有较多已知条件,故可在△E AC 中考虑E A 边长的求解,而在△E AC 中有角β,∠E AC =180°-α两角与AC =BD =A 一边,故可以利用正弦定理求解E A . 解：在△AC E 中,AC =BD =A ,∠AC E=β,∠A E C =α-β,根据正弦定理,得)sin(sin βαβ-=a AE .在Rt △A EG 中，EG=A Esinα=)sin(sin sin βαβα-a .∴EF=EG+b =b a +-)sin(sin sin βαβα.答:气球的高度是b a +-)sin(sin sin βαβα.【例6】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ,然后从B 出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C .如果下次航行直接从A 出发到达C ,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01 n mile)解：在△ABC 中，∠ABC =180°- 75°+ 32°=137°，根据余弦定理，,137cos 0.545.6720.545.67cos 22222︒⨯⨯⨯-+=∠⨯⨯-+=ABC BC AB BC AB AC ≈113.15.根据正弦定理,,sin sin ABC ACCAB BC ∠=∠,15.113137sin 0.54sin sin ︒=∠=∠AC ABC BC CAB ≈0.325 5, 所以∠CAB ≈19.0°,75°-∠CAB =56.0°.答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15 n mile.[知识拓展]1.如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里到C 处，在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在△ABC 中，BC =30，B =30°， ∠ACB =180°-45°=135°, ∴A =15°.由正弦定理知B AC A BC sin sin =,∴︒=︒30sin 15sin 30AC. ∴21561515cos 6015sin 30sin 30+=︒=︒︒=AC .∴A 到BC 所在直线的距离为AC ·sin45°=（156+152）·22=15（3+1）≈40.98＞38（海里）， ∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险． 答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．2.如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O ，甲、乙分别在O X 、O Y 上，起初甲在离O 点3千米的A 点，乙在离O 点1千米的B 点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y 方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离； （3）什么时候两人的距离最短？ 解：（1）因甲、乙两人起初的位置是A 、B ，则AB 2=OA 2+OB 2-2OA ·OBco s60°=32+12-2×3×1×21=7, ∴起初，两人的距离是7千米．（2）设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q ， 则A P=4t,B Q=4t, 当0≤t≤43时，PQ 2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)co s60°=48t 2-24t+7; 当t ＞43时,PQ 2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)co s120°=48t 2-24t+7, 所以，PQ =48t 2-24t+7． （3）PQ 2=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4, ∴当t =41时，即在第15分钟末，PQ 最短． 答：在第15分钟末，两人的距离最短．【例7】 在△ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1 c m 2）. （1）已知A =14.8 c m,C =23.5 c m,B =148.5°; （2）已知B =62.7°,C =65.8°,B =3.16 c m;（3）已知三边的长分别为A =41.4 c m,B =27.3 c m,C =38.7 c m.解：（1）应用B ac S sin 21=，得 S=21×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(c m 2). (2)根据正弦定理，BCb c C c B b sin sin ,sin sin ==, BAC b A bc S sin sin sin 21sin 212==. A = 180°-(B + C )= 180°-(62.7°+ 65.8°)=51.5°,︒︒︒⨯⨯=7.62sin 5.51sin 8.65sin 16.3212S ≈4.0(c m 2). (3)根据余弦定理的推论，得4.417.3823.274.417.382cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.769 7,227697.01B cos 1sinB -≈-=≈0.638 4,应用B ac S sin 21=得S=21×41.4×38.7×0.6384≈511.4(c m 2). 【例8】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 c m 2）？ 解：设A =68 m,B =88 m,C =127m,根据余弦定理的推论，68127288681272cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.753 2,27532.01sin -=B ≈0.657 8,应用S=21ac sin B ,S=21×68×127×0.657 8≈2 840.38(m 2). 答：这个区域的面积是2 840.38 m 2． 【例9】在△ABC 中，求证：（1）CBA c b a 222222sin sin sin +=+; （2）a 2+b 2+c 2=2（bcco s A +caco s B +abco s C ）. 证明：（1）根据正弦定理，可设k Cc B b A a ===sin sin sin , 显然 k≠0，所以左边=CBA C kB k A k c b a 222222222222sin sin sin sin sin sin +=+=+=右边. （2）根据余弦定理的推论，右边=)222(2222222222abc b a ab ca b a c ca bc a c b bc-++-++-+=(b 2+c 2- a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2+c 2=左边. [知识拓展]如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =∠BCD =75°，∠ACB =∠BDC =45°，DC =3，求：(1)AB 的长;(2)四边形ABCD 的面积.解：（1）因为∠BCD =75°,∠ACB =45°， 所以∠ACD =30°. 又因为∠BDC =45°，所以∠DAC =180°-（75°+ 45°+ 30°）=30°.所以AD =DC =3. 在△BCD 中，∠CBD =180°-（75°+ 45°）=60°，所以22660sin 75sin 3,60sin 75sin +=︒︒=︒=︒BD DC BD .在△ABD 中，AB 2=AD 2+ BD 2-2×AD ×BD ×co s75°= 5,所以,得AB =5.(2)S △ABD =21×AD ×BD ×sin75°=4323+.同理，S △BCD =433+.所以四边形ABCD 的面积4336+=S .备课资料1.半角定理在△ABC 中,三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系:p c p b p a p a p A ))()((12tan----=, p c p b p a p b p B ))()((12tan----=, pc p b p a p c p C ))()((12tan----=, 其中p =21（a +b +c ). 证明:2cos2sin 2tan A A A =, 因为sin 2A ＞0,co s 2A＞0,所以bcc b a c b a bc c b a bc a c b A A 4))((4)()21(212cos 12sin 22222+--+=--=-+-=-=. 因为p =21(a +b +c ), 所以a -b +c =2(p -b ),a +b -c =2(p -c ).所以bcc p b p A ))((2sin--=. 而bc a c b A A 2)1(212cos 12cos 222-++=+=bca p p bca cb ac b bc a c b )(4))((4)(22-=-+++=-+所以p c p b p a p a p a p p c p b p bca p p bc c pb p A A A ))()((1)())(()())((2cos2sin2tan----=---=----=. 所以pc p b p a p a p A ))()((12tan----=. 同理,可得pc p b p a p b p B ))()((12tan----=, pc p b p a p c p C ))()((12tan---=-=.从上面的证明过程中,我们可以得到用三角形的三条边表示半角的正弦和半角的余弦的公式:bca p p A bc c pb p A )(2cos ,))((2sin-=--=. 同理可得.)(2cos )(2cos ,))((2sin ,))((2sinabc p p Cac b p p B ab b p a p C ac c p a p B -=-=--=--= 2.用三角形的三边表示它的内角平分线设在△ABC 中(如右图),已知三边a 、b 、c ,如果三个角A 、B 和C 的平分线分别是t A 、t B 和t C ，那么，用已知边表示三条内角平分线的公式是：)(2a p bcp cb t a -+=;)(2b p acp c a t b -+=;)(2c p abp ba t c -+=.证明：设AD 是角A 的平分线，并且BD =x ，DC =y,那么，在△ADC 中，由余弦定理，得t A 2=b 2+y 2-2byco s C ,① 根据三角形内角平分线的性质，得yxb c =, 所以yyx b b c +=+. 因为x+y=a , 所以yab bc =+. 所以cb aby +=.② 将②代入①,得C cb abb c b ab b t a cos )(2)(222+-++= =]cos )(22[)(22222C c b a a bc c b c b b +-++++. 因为bcc b a C 2cos 222-+=,所以]2)(22[)(222222222ab c b a c b a bc c b a c b b t a-+•+-++++==))(()()2()(22222a c b c b a c b bc a bc c b c b bc -++++=-+++=),()(4)(22)(22a p bcp c b a p p c b bc -•+=-••+所以)(2a p bcp cb t a -+=. 同理,可得)(2,)(2c p abp ba tb p acpc a t c b -+=-+=.这就是已知三边求三角形内角平分线的公式. 3.用三角形的三边来表示它的外接圆的半径设在△ABC 中,已知三边a 、b 、c ,那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是))()((c p b p a p p abcR ---=.证明: 因为A bc S A a R sin 21,sin 2==,11 所以bc S A 2sin =. 所以))()((4sin 2c p b p a p p abc S abc A a R ---===. 五、课堂小结在实际问题的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理相关知识点的熟练运用．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案．。
浙江专版2018年高中数学第一章解三角形1.2应用举例学案新人教A版必修520180605332
1.2 应用举例第一课时解三角形的实际应用举例预习课本P11～16，思考并完成以下问题[新知初探]实际测量中的有关名称、术语[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边( )(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得( )(3)方位角和方向角是一样的( )解析：(1)错误，要解三角形，至少知道这个三角形的一条边长．(2)错误，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得．(3)错误．方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，而方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)．答案：(1)×(2)×(3)×2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B 的( )A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10° D．北偏西10°解析：选B 如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.故选B.3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°解析：选B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.4.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为1 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 3 km，则A，B两船的距离为________km.解析：由题意得∠ACB＝(90°－25°)＋85°＝150°，又AC＝1，BC＝3，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 150°＝7，∴AB＝7.答案：7测量高度问题[典例] 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两点C 与D .现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .[解] 在△BCD 中， ∠CBD ＝π－(α＋β)．由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD .∴BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βα＋β.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s ·sin βtan θα＋β.[活学活用]1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A 处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A 向北偏东30°方向前进100 m 到达B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 如图，设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2×h ×100×cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，解得h ＝50或h ＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m.2.如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________m.解析：因为∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°， 所以∠ASB ＝180°－∠SAB －∠SBA ＝135°.。
2018版高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理(一)学案新人教A版必修5
1．1.2 余弦定理(一)[学习目标] 1.掌握余弦定理的内容与推论及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．知识点一 余弦定理及其证明 1．余弦定理的表示及其推论2.余弦定理的证明(1)课本上采用的证明方法：如图，设a ＝CB →，b ＝CA →，c ＝BA →，则c ＝b －a ，∴|c |2＝c ·c ＝(b －a )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝a2－2ab cos__C ＋b 2， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (2)利用坐标法证明如图，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (c cos__A ，c sin__A )，C (b ，0)(写出三点的坐标)．∴a ＝BC ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .思考1 在△ABC 中，若a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则A ＝________． 答案2π3解析 由题意知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.思考2 勾股定理和余弦定理的联系与区别？答案 二者都反映了三角形三边之间的平方关系，其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例． 知识点二 用余弦定理解三角形的问题 利用余弦定理可以解决以下两类问题： (1)已知两边及其夹角解三角形； (2)已知三边解三角形．思考 已知三角形的两边及一边的对角解三角形，有几种方法？ 答案 不妨设已知a ，b ，A ，方法一 由正弦定理a sin A ＝bsin B 可求得sin B ，进而得B ，C ，最后得边c .方法二 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得边c ，而后由余弦或正弦定理求得B ，C .题型一 已知两边及其夹角解三角形例1 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求角A ，B 和边c 的值(cos 15°＝6＋24，sin 15°＝6－24)． 解 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－2×2×22×6＋24＝8－43， ∴c ＝8－43＝（6－2）2＝6－ 2.由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝a sin 15°c＝2×6－246－2＝12， ∵b >a ，∴B >A ，∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝135°， ∴c ＝6－2，A ＝30°，B ＝135°.反思与感悟 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．(2)用正弦定理求解时，需对角的取值根据“大边对大角”进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(因为在(0，π)上，余弦值对应的角是唯一的)，故用余弦定理求解较好． 跟踪训练1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c 等于( )A ．4 B.15 C ．3 D.17 答案 D解析 由三角形内角和定理可知cos C ＝－cos(A ＋B )＝－13，又由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×(－13)＝17，所以c ＝17.题型二 已知三边(或三边的关系)解三角形例2 在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A ，B ，C .解 根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝（6＋23）2＋（43）2－（26）22（6＋23）（43）＝32. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（26）2＋（6＋23）2－（43）22×26×（6＋23）＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝712π，∴A ＝π6，B ＝712π，C ＝π4.反思与感悟 已知三边(或三边的关系)解三角形的方法(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为0，角为直角；值为负，角为钝角．(2)方法一：两次运用余弦定理的推论求出两个内角的余弦值，确定两个角，并确定第三个角． 方法二：由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小．(3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解． 跟踪训练2 将例2中的条件改为“a ∶b ∶c ＝26∶(6＋23)∶43”，求A ，B ，C . 解 ∵a ∶b ∶c ＝26∶(6＋23)∶43， 即a26＝b 6＋23＝c43，不妨设a26＝k ，则a ＝26k ，b ＝(6＋23)k ，c ＝43k ，下同例题解法．题型三 已知两边及其中一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝23，b ＝6，A ＝45°，求边c .解 方法一 在△ABC 中，根据余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即c 2－23c －6＝0，所以c ＝3±3. 又c >0，所以c ＝3＋3.方法二 在△ABC 中，由正弦定理得 sin B ＝b sin Aa ＝6×2223＝12，因为b <a ，所以B <A ，又B ∈(0°，180°)，所以B ＝30°， 所以C ＝180°－A －B ＝105°，所以sin C ＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝6＋24， 故c ＝a sin Csin A ＝23×6＋2422＝3＋3.反思与感悟 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后利用正弦定理求出第三边．跟踪训练3 已知在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，解此三角形．解 方法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得 (3)2＝a 2＋32－2×a ×3×cos 30°， ∴a 2－33a ＋6＝0，∴a ＝3或a ＝2 3. 当a ＝3时，a ＝b ，∴A ＝30°，∴C ＝120°； 当a ＝23时，由正弦定理得 sin A ＝a sin Bb ＝23sin 30°3＝1， 又∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°，C ＝60°.∴C ＝60°，A ＝90°，a ＝23或C ＝120°，A ＝30°，a ＝ 3. 方法二 由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°知本题有两解． 由正弦定理，得sin C ＝c sin B b ＝3×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理得a ＝b 2＋c 2＝23； 当C ＝120°时，A ＝30°＝B ，∴a ＝ 3.∴C ＝60°，A ＝90°，a ＝23或C ＝120°，A ＝30°，a ＝ 3.1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C B ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos A C ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos AD ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab答案 A解析 由余弦定理及其推论知只有A 正确．2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 D解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去，故选D.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不确定 答案 A解析 cos 120°＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－2a 22ab ＝－12，∴b ＝5－12a <a . 4．在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的大小为________． 答案π3解析 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝________． 答案 56π解析 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，又B ∈(0，π)，∴B ＝56π.1.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角． (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角． 2．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解．。
2017-2018学年高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例(2)学案 新人教A版必修5
1.2 应用举例（2）学习目标 1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识．知识点一 测量仰角(或俯角)求高度问题思考 如图，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，如果能测出点C ，D 间的距离m 和由C 点，D 点观察A 的仰角，怎样求建筑物高度AB ？(已知测角仪器的高是h )答案 解题思路是：在△ACD 中，ACsin β＝mα－β.所以AC ＝m sin βα－β，在Rt△AEC 中，AE ＝AC sin α，AB ＝AE ＋h .梳理 问题的本质如图，已知∠AEC 为直角，CD ＝m ，用α、β、m 表示AE 的长，所得结果再加上h .知识点二 测量方位角求高度思考 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?答案 先在△ABC 中，用正弦定理求BC ＝5sin 15°sin 10°，再在Rt△DBC 中求DC ＝BC tan 8°.梳理 问题本质是：如图，已知三棱锥 D －ABC ，DC ⊥平面ABC ，AB ＝m ，用α、β、m 、γ表示DC 的长．类型一 测量仰角(或俯角)求高度问题 命题角度1 仰角例1 如图所示，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1) mD ．5(3＋1) m答案 D解析 方法一 设AB ＝x m ，则BC ＝x m. ∴BD ＝(10＋x )m.∴tan∠ADB ＝AB DB ＝x 10＋x ＝33.解得x ＝5(3＋1)m.所以A 点离地面的高AB 等于5(3＋1)m. 方法二 ∵∠ACB ＝45°，∴∠ACD ＝135°， ∴∠CAD ＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，得AC ＝CDsin ∠CAD ·sin ∠ADC＝10sin 15°·sin 30°＝206－2.∴AB ＝AC sin 45°＝5(3＋1)m.反思与感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形．(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进．跟踪训练1 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________ m ．(精确到1 m)答案 811解析 如图，过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝20°， 所以∠ADE ＝160°，于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD ＝35°－20°＝15°， 所以∠ABD ＝30°. 在△ABD 中，由正弦定理， 得AB ＝AD sin∠ADB sin∠ABD ＝1 000×sin 135°sin 30°＝1 0002(m)．在Rt △ABC 中，BC ＝AB sin 35°≈811(m)． 所以山的高度约为811 m. 命题角度2 俯角例2 如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α＝54°40′，在塔底C 处测得A 处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出山高CD .(精确到1 m)解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠BAD ＝α. 根据正弦定理，BCα－β＝AB＋β，所以AB ＝BC ＋βα－β＝BC cos βα－β.解Rt△ABD ， 得BD ＝AB sin∠BAD ＝BC cos βsin αα－β.将测量数据代入上式，得BD ＝27.3cos 50°1′sin 54°40′－＝27.3cos 50°1′sin 54°40′sin 4°39′≈176.5(m)．CD ＝BD －BC ≈176.5－27.3≈149(m)．答 山的高度约为149 m.反思与感悟 利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．跟踪训练2 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_____ m. 答案 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点， 在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°＝30(m)，C ＝30°，AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，所以AB ＝30(m)．类型二 测量方位角求高度问题例3 如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD.解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由AB sin 15°＝ADsin 45°， 得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．即山的高度为800(3＋1) m.反思与感悟 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．跟踪训练3 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A ．10 mB ．10 2 mC ．10 3 mD ．10 6 m答案 D解析 在△BCD 中，CD ＝10 m ，∠BDC ＝45°， ∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理， 得BC sin∠BDC ＝CDsin∠DBC ， BC ＝10sin 45°sin 30°＝102(m)．在Rt△ABC 中，tan 60°＝AB BC， AB ＝BC ×tan 60°＝106(m)．1．一架飞机在海拔8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________ m ．(精确到0.1 m) 答案 5 856.4 解析 宽＝8 000tan 30°－8 000tan 45°＝5 856.4(m)．2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．答案 203米、4033米解析 甲楼的高为20tan 60°＝20×3＝203(米)， 乙楼的高为203－20tan 30°＝203－20×33＝4033(米)． 3．为测量某塔的高度，在A ，B 两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．解 在△ABT 中，∠ATB ＝21.4°－18.6°＝2.8°， ∠ABT ＝90°＋18.6°，AB ＝15(m)． 根据正弦定理，15sin 2.8°＝ATcos 18.6°，AT ＝15×cos 18.6°sin 2.8°.塔的高度为AT ×sin 21.4°＝15×cos 18.6°sin 2.8°×sin 21.4°≈106.19(m)．1．在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．40分钟课时作业一、选择题1．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高为( ) A ．20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋33 m B ．201＋32m C ．20(1＋3) m D ．30 m答案 A解析 塔的高度为20tan 30°＋20tan 45°＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋33(m)，故选A. 2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A ．200 m B ．300 m C ．400 m D ．100 3 m 答案 B解析 方法一 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600 m ， BC ＝DC ＝200 3 m.在△BCD 中， 由余弦定理可得 cos 2θ＝6002＋32－322×600×2003＝32， ∴2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt△ABC 中，AB ＝BC sin 4θ＝2003×32＝300(m)， 故选B.方法二 由于△BCD 是等腰三角形， 12BD ＝DC cos 2θ， 即300＝2003cos 2θ. cos 2θ＝32，0°＜2θ＜90°，2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt△ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(m)， 故选B.3．已知两座灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B解析 如图，因为△ABC 为等腰三角形， 所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.4．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( ) A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米 D ．22h 米答案 A解析 如图所示，BC ＝3h ，AC ＝h ，∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h (米)．5．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( ) A ．15 m B ．5 m C ．10 m D ．12 m答案 C解析 如图，设塔高为h ，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理，得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．即塔高为10 m.6．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是( ) A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 m答案 D解析由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC×CD×cos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h×500，解得h＝500(m)(负值舍去)．故选D.二、填空题7.如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝2 2 mm，AB＝29 mm，则∠ACB＝________.答案3π4解析 在△ABC 中，由余弦定理，得 cos∠ACB ＝32＋22－2922×3×22＝－22. 因为∠ACB ∈(0，π)，所以∠ACB ＝3π4.8. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________米．答案 15 6解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理，得BC sin∠BDC ＝CDsin∠CBD ，所以 BC ＝30sin 30°sin 135°＝15 2.在Rt△ABC 中，AB ＝BC tan∠ACB ＝152×tan 60° ＝156(米)．9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.若AB ＝BD ，则B 、D 间的距离为________km.答案 32＋620解析 在△ABC 中，∠BCA ＝60°，∠ABC ＝75°－60°＝15°，AC ＝0.1 km ，由正弦定理，得AB sin∠BCA ＝AC sin∠ABC ， 所以AB ＝0.1sin 60°sin 15°＝32＋620(km)， 又因为BD ＝AB ，所以BD ＝32＋620(km)． 三、解答题10．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高h ＝a sin αγ－βγ－α.证明 在△ABP 中，∠ABP ＝180°－γ＋β，∠BPA ＝180°－(α－β)－∠ABP＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.在△ABP 中，根据正弦定理，APsin∠ABP＝AB sin∠APB ， 即AP－γ＋β＝a γ－α， AP ＝a γ－βγ－α，所以山高h ＝AP sin α＝a sin αγ－βγ－α.11．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．解 如图所示，设AE 为塔，B 为塔正东方向一点，沿南偏西60°行走40 m 到达C 处，即BC ＝40，∠CAB ＝135°，∠ABC ＝30°，∠ACB ＝15°.在△ABC 中，AC sin∠ABC ＝BCsin∠CAB ，即AC sin 30°＝40sin 135°，∴AC ＝20 2.过点A 作AG ⊥BC ，垂足为G ，此时仰角∠AGE 最大，在△ABC 中，由面积公式知12×BC ×AG ＝12×BC ×AC ×sin∠ACB .∴AG ＝AC ×CB ×sin∠ACB BC ＝202×40×sin 15°40＝202sin 15°，∴AG ＝202sin(45°－30°)＝202(22×32－22×12)＝10(3－1)．在Rt△AEG 中，∵AE ＝AG tan∠AGE ，∴AE ＝10(3－1)×33＝10－1033，所以塔高为(10－1033)m. 12．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西3千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设检查员行驶到公路上C ，D 两点之间时收不到信号，即公路上C ，D 两点到考点的距离为1千米．在△ABC 中，AB ＝3(千米)，AC ＝1(千米)，∠ABC ＝30°，由正弦定理， 得sin∠ACB ＝sin 30°AC ×AB ＝32， ∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)，∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1(千米)．在△ACD 中，AC ＝AD ＝1，∠ACD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(千米)．∵BC12×60＝5， ∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟．∴最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．。
2017_2018年高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高度、角度问题课件新人教A版必修5
解：如题图所示，在△ABC 中，∠CAB＝15° ，∠ACB ＝30° －15° ＝15° ， 所以 BC＝AB＝5 (km)，
在 Rt△BCD 中， CD＝BC×tan∠DBC≈BC×tan 8°≈0.702 5 (km)≈703 (m)． 故山的高度约为 703 m.
在 Rt△ABD 中， BD＝AB sin ∠BAD＝15(3＋ 3)(米)， CD＝BD－BC＝15(1＋ 3)(米)． 故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路
上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在 东偏南 15° 的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山 脚在东偏南 30° 的方向上，且山顶 D 的仰角为 8° ，求此 山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 如图所示，则光源高度 h＝ 15 ＝5 3(m)． tan 60° 答案：5 3
3．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测 20 m 高的旗杆， 甲观测的仰角为 50°， 乙观测的仰角为 40°， 用 d1， d2 分别表示甲、 乙两人离旗杆的距离， 那么有( A．d1>d2 C．d1>20 m B．d1<d2 D．d2<20 m )
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2. 答案：B
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处 在坡角为 15° 的看台的某一列的正前方，从这一列的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60° 和 30° ，第 一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部 与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则 升旗手匀速升旗的速度为________．
高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2.4 解决有关三角形计算的问题教案 新人教A版
安徽省长丰县高中数学第一章解三角形1.2 应用举例1.2.4 解决有关三角形计算的问题教案新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省长丰县高中数学第一章解三角形1.2 应用举例1.2.4 解决有关三角形计算的问题教案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为安徽省长丰县高中数学第一章解三角形1.2 应用举例1.2.4 解决有关三角形计算的问题教案新人教A版必修5的全部内容。
1.2。
4 解决有关三角形计算的问题一、知识与技能1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题;2。
掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．二、过程与方法1。
本节课补充了三角形新的面积公式,巧妙设疑，引导学生证明,同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型;2。
本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点,能不拘一格,一题多解．只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点．三、情感态度与价值观1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；2．进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验成功的愉悦。
教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.导入新课[设置情境]师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式,今天我们来学习它的另一个表达公式．在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h A 、h B 、h C ，那么它们如何用已知边和角表示？生h A =b sin C =c sin B ，h B =c sin A =a sin C ,h C =a sin B =B sin A .师 根据以前学过的三角形面积公式ah S 21=，应用以上求出的高的公式如h A =b sin C 代入，可以推导出下面的三角形面积公式：C ab S sin 21=，大家能推出其他的几个公式吗?生 同理，可得A bc S sin 21=,B ac S sin 21=。
高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第2课时 角度问题学业分层测评 新人教A版必修5(2
2017-2018版高中数学第一章解三角形1.2 应用举例第2课时角度问题学业分层测评新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018版高中数学第一章解三角形1.2 应用举例第2课时角度问题学业分层测评新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
2 应用举例第2课时角度问题(建议用时:45分钟)［学业达标]一、选择题1．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为( )A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】如图所示，sin∠CAB＝错误!＝错误!，∴∠CAB＝30°.【答案】B2．如图1。
2。
24所示，长为3。
5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C 处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α等于（)图1。
2。
24A。
错误!B。
错误!C.错误!D.错误!【解析】由题意，可得在△ABC中，AB＝3。
5 m，AC＝1。
4 m，BC＝2。
8 m，且α＋∠ACB＝π。
由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB,即3。
52＝1。
42＋2.82－2×1.4×2。
高中数学第一章解三角形1.2应用举例二高度角度问题学案无答案新人教A版必修261
1.2应用举例（二）测量高度、角度问题（一）、学习任务：1、巩固正弦定理、余弦定理等知识。
2、能够用正弦、余弦定理等知识和方法求解高度、角度问题。
（二）、预习任务：（查资料完成并记住）1、方位角：2、方向角：3、仰角与俯角：4、坡比和坡角：一、回顾正、余弦定理公式及变式：1、正弦定理公式：2余弦定理公式：二、自主学习：问题1、高度问题：测量底部不可到达的建筑物的高度问题；如图所示：(13页图)这实际上就是由于底部不可到达，这类问题不能直接用三角形的方法解决，但常用正弦定理、余弦定理，计算出建筑物顶部到一个选定的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题，应怎样计算？例如：课本例3.中：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
（看书P页完成）13课本例4.课本例5.问题2、角的测量问题：可利用测角仪及测距离的钢卷尺等工具结合正弦定理及余弦定理解三角形，实际解决不能直接测得的角的大小的问题。
课本例6.三、当堂检测：（对点训练）1、从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系是（）海阔天空专业文档海阔天空专业文档 2 A 、α>β B 、α=β C 、α+β=90︒ D 、α+β=180︒2、若点P 在点Q 北偏东45︒30/，则点Q 在点P 的（ ）A 、东偏北44︒30/B 、东偏北45︒30/C 、南偏西44︒30/D 、西偏南44︒30/3、已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40︒，灯塔B 在观察站C 的南偏东60︒，则灯塔A 在灯塔B 的（ ）A 、北偏东10︒B 、北偏西10︒C 、南偏东10︒D 、南偏西10︒四、巩固训练：1、课本P 15页：1、2、3，2、课本P 16页：练习3、课本P 19页：习题1.2 A 组 1、2、3五、拓展延伸（能力提升）课本P 19页：习题1.2 A 组、4、5、6、7、8、9、10六、本节课你有什么收获⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧。
高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 1.2.3 解决有关测量角度的问题教案 新人教A版必
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1.2.3 解决有关测量角度的问题一、知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.二、过程与方法本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例6，还针对性地选择了既具典型性又具有启发性的1~2道例题,强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的主体地位,重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律,举一反三．三、情感态度与价值观培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在教学过程中激发学生的探索精神。
教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.导入新课设置情境设问师前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的生活中，人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗?生像航海,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向。
[推荐学习]高中数学第一章解三角形1.2应用举例1.2.3解决有关测量角度的问题教案新人教A版必修5
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[ 介绍学习 ] 高中数学第一章解三角形 1.2 应用举例 1.2.3 解决有关丈量角度的问题教课设计新人教 A版必修 51.2.3 解决有关丈量角度的问题项内容目课改正与解决有关丈量角度的问题题创新一、知识与技术能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实质问题 .二、过程与方法本节课是在学习了有关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本教的认识，这节课应经过综合训练加强学学生的相应能力．除了安排课本上的目例 6，还针对性地选择了既具典型性又标拥有启迪性的 1～2 道例题，重申知识的教授更重能力的浸透．讲堂中要充足表现学生的主体地位，重过程，重议论，教师经过导疑、导思让学生有效、踊跃、主动地参加到研究问题的过程中来，逐渐让学生自主发现规律，贯通融会．K12的学习需要努力专业专心坚持三、感情态度与价值观培育学生提出问题、正确剖析问题、独立解决问题的能力，并在教课过程中激发学生的研究精神 .教教课要点能依据正弦定理、余弦定理学的特色找到已知条件和所求角的关重、系．难教课难点灵巧运用正弦定理和余弦点定理解对于角度的问题 . 教学多媒体课件准备导入新课设置情境设问教师前面我们学习了如何丈量距离和学高度，这些实质上都可转变为已知三过角形的一些边和角求其他边的问程题．但是在实质的生活中 , 人们又会碰到新的问题，仍旧需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身旁有什么例子吗？生像航海，在浩大无垠的海面上如何保证轮船不迷失方向，保持必定的航速和航向 .生飞机在天上飞翔时，如何确立地面上的目标 .师实质生活中间像这样的例子好多，今日我们接着来商讨这方面的丈量问题．推动新课【例 1】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后抵达海岛B,而后从 B出发,沿北偏东32°的方向航行 54.0 n mile后抵达海岛C.假如下次航行直接从 A 出发抵达 C,此船应当沿如何的方向航行 , 需要航行多少距离 ?( 角度精准到 0.1 °, 距离精准到0.01 n mile)[ 合作研究 ]学生看图思虑．师要想解决这个问题，第一应当搞懂“北偏东 75°的方向”．生这是方向角．生这实质上就是解斜三角形，由方向角的观点可知，第一依据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角∠ ABC，即可用余弦定理算出 AC边，再依据正弦定理算出 AC边和 AB 边的夹角∠CAB，就能够知道AC 的方向和行程．师依据大家的回答，我们已经很清楚解题思路．下边请同学写一下解题过程.生解：在△ ABC中，∠ABC=180°-75°+32°=137°，依据余弦定理，cos ABC≈113.15.AC AB2BC 22AB BC67.5254.02267.554.0cos137 ,依据正弦定理 ,BC AC, ,sin CAB sin ABC≈ 0.325 5, sin CAB BC sin ABC54.0 sin 137AC113.15所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB=56.0°. K12的学习需要努力专业专心坚持答: 此船应当沿北偏东 56.0 °的方向航行 , 需要航行 113.15 n mile.师这道题综合运用了正、余弦定理，表现了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位．【例 2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距 9 海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10 海里/ 时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立刻以14海里/ 时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应当沿什么方向去追？需要多少时间才追追上该走私船？[ 合作研究 ]师你可否依据题意画出方向图？（在解斜三角形这一节里有好多都要把实质问题画出平面表示图，图画的利害有时也会影响到解题，这是成立数学模型的一个重要方面）生甲如右图．师从图上看这道题的要点是计算出三角形的各边，还需要什么呢 ?生引入时间这个参变量 , 能够设 x 小时后追上走私船 .生如图，设该巡逻艇沿 AB方向经过x小时后在 B 处追上走私船，则CB=10x, AB=14x, AC=9,∠ ACB=75°+45°=120°, 则由余弦定理，可得(14x) 2=92+(10x) 2- 2×9×10x co s120°, ∴化简得32x2-30x-27=0 ，即 x= 3或2x=- 9( 舍去).16因此 BC= 10x =15,AB =14x =21.又因为sin ∠BAC = BC sin120153 5 3 , ∴∠BAC=38°13′AB21214,或∠BAC=141°47′（钝角不合题意，舍去） .∴38°13′+45°=83°13′.答：巡逻艇应当沿北偏东 83°13′方向去追，经过 1.4 小时才追追上该走私船 .师这位同学是用正、余弦定理来解决的，我们能不可以都用余弦定理来解决呢？生同上解得 BC=15, AB=21,在△ ABC中，由余弦定理，得AC 2AB 2BC 28144122511≈ 0.785 cos CAB7,∴∠CAB≈38°13′,38°13′+45°= 83°13′.∴巡逻艇应沿北偏东 83°13′的方向追赶，经过 1.4 小时追追上该走私船．讲堂练习课本第 18 页练习 .答案：运用余弦定理求得倾斜角α 约为 116.23°.[ 方法指引 ]解三角形的应用题时，往常会碰到两种状况：（1）已知量与未知量全K12的学习需要努力专业专心坚持生活的色彩就是学习部集中在一个三角形中，挨次利用正弦定理或余弦定理解之．（2）已知量与未知量波及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐渐在其他的三角形中求出问题的解．[ 知识拓展 ]1.如图，海中小岛 A 四周38海里内有暗礁，船正向南航行，在 B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里到C 处，在 C 处测得小岛 A 在船的南偏东 45°，假如此船不改变航向，持续向南航行，有无触礁的危险？解：在△ ABC中， BC=30，B=30°，∠ACB=180°- 45°=135°,∴A=15°.由正弦定理知BC AC30AC. sin A sin B,∴sin 15sin 30∴ AC30 sin 3015 6 15 2.∴A到BC60 cos15sin15所在直线的距离为AC·sin45°=（156+152）· 2 =152（ 3 +1）≈40.98＞38（海里），∴不改变航向，持续向南航行，无触礁的危险．答：不改变航向，持续向南航行，无触礁的危险．2.如图，有两条订交成 60°角的直线XX′、YY′，交点是O，甲、乙分别在O X、O Y上，开初甲在离O点3千米的A 点，乙在离 O点1千米的 B 点，以后两人同时以每小时 4 千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿 Y′Y方向步行，（1）开初，两人的距离是多少？（2）用包括 t 的式子表示 t 小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解：（1）因甲、乙两人开初的地点是A、B，则22222AB=OA+OB-2 OA·OBco s60°=3 +1 -2×3×1×1 =7,2∴开初，两人的距离是7 千米．（2）设甲、乙两人 t 小时后的地点分别是 P、Q，则 A P=4t, B Q=4t,当0≤t ≤3时，4222-2(3-4t)(1+4t)c PQ=(3-4t)+(1+4t)o s60°=48t2-24t+7;当t＞34时 ,PQ2=(4t-3) 2+(1+4t) 2-2(4t-3)(1+4 t) co s120°=48t 2-24t+7,因此， PQ =48t2-24t+7．22-24t+7=48(t-2+4,（3）PQ=48t 1 )4∴当 t =1时，即在第 15 分钟末， PQ最4短．答：在第15 分钟末，两人的距离最短．讲堂小结在实质问题（航海、丈量等）的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理有关知识点的娴熟运用．应用解三角形知识解决实质问题时，要剖析和研究问题中波及的三角形，及此中哪些是已知量，哪些是未知量，应当采用正弦定理仍是余弦定理进行求解．应用解三角形知识解决实质问题的解题步骤：①依据题意作出表示图；②所波及的三角形，搞清已知和未知；③采用适合的定理进行求解；④给出答案．部署作业课本第 22 页习题 1.2 第 9、10、11 题.板解决有关丈量角度的问题书例 1例 2设讲堂练习计部署作业教本课时是一个有关丈量角度的问题，即课学本上的例 6. 在这里，可否灵巧求解问题的要点反是正弦定理和余弦定理的采用，有些题目只选思用其一，或二者混用，这中间有很大的灵巧性，需要对本来所学知识进行深入的整理、加工，鼓舞一题多解，训练发散思想．借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动向成效，能使学生更好地是非分明、掌握方法．。
高中数学第一章解三角形1.2.2解三角形的实际应用举例_高度角度问题学案新人教A版必修5
第2课时解三角形的实际应用举例——高度、角度问题学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题(逻辑推理、数学运算)2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题(数学建模)3.分清仰角、俯角、方向角、方位角和视角等概念(数学抽象)必备知识·自主学习导思方位角、方向角和视角的含义是什么?1.仰角和俯角(1)前提:在视线所在的垂直平面内.(2)仰角:视线在水平线以上时,视线与水平线所成的角.(3)俯角:视线在水平线以下时,视线与水平线所成的角.为了测量某建筑物的高度通常需要构造的三角形其所在平面与地面什么关系?提示:构造的三角形其所在平面与地面垂直.2.视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角,如图所示,视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)俯角和仰角都是对于水平线而言的.( )(2)仰角与俯角所在的平面是铅垂面.( )(3)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.()提示:(1)√.由俯角和仰角的定义可知此说法正确.(2)√.由仰角与俯角的定义可知,此说法正确.(3)×.画出示意图如图,由图可知α=β.2.(教材二次开发:练习改编)如图所示,为测量一树的高度,在地上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为( )A.mB.mC.mD.m【解析】选A.设树高为x m,则BP=x m,在△ABP中,AB=60,BP=x,A=30°,∠APB=15°,由正弦定理得=,即=,解得x=30+30.3.(教材二次开发:练习改编)如图所示为一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得AC=3 mm,BC=2 mm,AB= mm,则∠ACB=.【解析】在△ABC中,由余弦定理得cos ∠ACB==-.因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=.答案:关键能力·合作学习类型一在同一铅垂面内的高度问题(数学建模)【典例】1.如图在离地面高400 m的热气球上,观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°.已知∠BAC=60°,则山的高度BC为( )A.700 mB.640 mC.600 mD.560 m2.济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字,其造型流畅别致,是济南的标志和象征.李明同学想测量泉标的高度,于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°,他又沿着泉标底部方向前进15.2 m,到达B点,又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗?(精确到1 m,参考数据sin 20°≈0.34,sin 80°≈0.98)【思路导引】1.在△MAC中,三个角和AM可求,根据正弦定理可求AC,进而可求山的高度BC;2.设C,D分别为泉标的底部和顶端,先在△ABD中,根据正弦定理求BD,然后在Rt△BCD中求CD.【解析】1.选C.如图,过点M作MD⊥AB,垂足为D.在Rt△AMD中,∠MAD=45°,MD=400 m,AM==400(m).在△MAC中,∠AMC=45°+15°=60°,∠MAC=180°-45°-60°=75°,所以∠MCA=180°-∠AMC-∠MAC=45°.由正弦定理,得AC===400(m).在Rt△ABC中,BC=ACsin ∠BAC=400×=600(m).2.如图所示,点C,D分别为泉标的底部和顶端.依题意,∠BAD=60°,∠CBD=80°,AB=15.2 m,则∠ADB=80°-60°=20°,在△ABD中根据正弦定理,得BD=≈≈38.72,在Rt△BCD中,CD=BDsin 80°≈38.72×0.98≈38(m),即泉城广场上的泉标的高约为38 m.测量仰角(或俯角)求高度问题(1)基本思路:构造含建筑物高度的三角形,用正、余弦定理解答.(2)构造三角形的方法.①如图1所示,取经过建筑物AB底部B的基线上两点H,G,用同样高度的两个测角仪DH和CG 测量得仰角β,α,测量两个测角仪的距离,构成△ACD.②如图2所示,在建筑物CD顶部的竖立物体BC,分别在B,C两处测量俯角α,β,构成△ABC.1.如图是一个斜拉桥示意图的一部分,AC与BD表示两条相邻的钢缆,A,B与C,D分别表示钢缆在桥梁与主塔上的铆点,两条钢缆的仰角分别为α,β,为了便于计算,在点B处测得C的仰角为γ,若AB=m,则CD=( )A. B.C. D.【解析】选D.在△ABC中由正弦定理可得=,所以BC=,在△BCD中,由正弦定理可得=,所以CD==.2.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°,沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处,又测得山顶的仰角为65°,求此山的高度.(精确到1 m,参考数据:sin 35°≈0.573 6,≈1.414)【解析】如图,过点D作DE∥AC交BC于E,因为∠DAC=20°,所以∠ADE=160°,于是∠ADB=360°-160°-65°=135°.又∠BAD=35°-20°=15°,所以∠ABD=30°.在△ABD中,由正弦定理,得AB===1 000(m).在Rt△ABC中,BC=ABsin 35°≈811(m).答:此山的高度约为811 m.【补偿训练】在社会实践中,小明观察一棵桃树.他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°,往正前方走4米后,在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.(1)求BC的长.(2)若小明身高为 1.70米,求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米,其中≈1.732).【解析】(1)在△ABC中,∠CAB=45°,∠DBC=75°,则∠ACB=75°-45°=30°,AB=4,由正弦定理得=,解得BC=4(米).(2)在△CBD中,∠CDB=90°,BC=4,所以DC=4sin 75°,因为sin 75°=sin (45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=,则DC=2+2,所以CE=3.70+2≈3.70+3.464≈7.16(米).答:(1)BC的长为4米;(2)这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16米.类型二不在同一铅垂面内的高度问题(数学建模)【典例】空中有一气球D,在它正西方向的地面上有一点A,在此处测得气球的仰角为45°,同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B,测得气球的仰角为30°,两观察点A,B相距266 m,计算气球的高度.(结果保留根号)四步内容理解题意条件:①在气球D 的正西方向的地面上A 处测得气球的仰角为45° ②在气球D 的南偏东60°方向的地面上B 处,测得气球的仰角为30°③A,B 相距266 m 结论:计算气球的高度.思路探求令气球D 在地面上的投影为点C,解Rt△ACD 和Rt△BCD ⇒AC 与气球的高度的关系,CB 与气球的高度的关系⇒在△ABC 中用余弦定理构造方程求气球的高度.书写 表达如图,令气球D 在地面上的投影为点C,设CD=x,在Rt△ACD 中,∠DAC=45°,在Rt△BCD 中, ∠CBD=30°,在△ABC 中,∠ACB=90°+60°=150°,由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2·AC·BC·cos∠ACB,所以所以x=38 m.所以气球的高度为38 m.注意书写的规范性:①解Rt△ACD,建立AC 与所求量的关系 ②解Rt△BCD,建立CB 与所求量的关系③在△ABC中构建方程计算所求量是解题关键.题后反思此类问题中,既有方向角,又有仰角,要注意作出的示意图应是立体图解不在同一铅垂面内的高度问题的思路和方法(1)基本思路.方向角属于水平面的角度,而仰角属于铅垂面内的角,所以此类问题的图形通常是立体图形.解题的基本思路是把目标高度转化为三角形的边长,从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.(2)基本方法.首先在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥,再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或几个三角形,从而求出高度.1.A,B是海平面上的两个点,相距800 m,在点A测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在点B测得∠ABD=45°,其中点D是点C在海平面上的射影,则山高CD 为.【解析】如图,由于CD⊥AD,∠CAD=45°,所以CD=AD.因此,只需在△ABD中求出AD即可.在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,由=,得AD===800(+1)m.所以CD=AD=800(+1)m.答案:800(+1)m2.如图,某景区欲在两山顶A,C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离.已知山高AB=1 km,CD=3 km,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°,山顶C的仰角为60°,∠AEC=150°,则两山顶A,C之间的距离为( )A.2 kmB.3 kmC.4 kmD.3 km【解析】选A.AB=1,CD=3,∠AEB=30°,∠CED=60°,∠AEC=150°,所以AE=2AB=2,CE===2,在△ACE中,由余弦定理得AC2=AE2+CE2-2×AE×CE×cos ∠AEC=4+12-2×2×2×=28,所以AC=2,即两山顶A,C之间的距离为2km.【补偿训练】如图,某人在塔的正东方向上的C处,在与塔垂直的水平面内,沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后,在点D处望见塔的底端B在东北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟;(2)求塔的高AB.【解析】(1)依题意知,在△DBC中,∠BCD=30°,∠DBC=180°-45°=135°,CD=6 000×=100(m),∠D=180°-135°-30°=15°,由正弦定理得=,所以BC=====50(-1)(m).在Rt△ABE中,tan α=,因为AB为定长,所以当BE的长最小时,α取最大值60°,这时BE⊥CD.当BE⊥CD时,在Rt△BEC中,EC=BC·cos ∠BCE=50(-1)·=25(3-)(m),设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了t分钟,则t=×60=×60=(分钟).(2)由(1)知,当α取得最大值60°时,BE⊥CD,在Rt△BEC中,BE=BC·sin ∠BCD,所以AB=BE·tan 60°=BC·sin ∠BCD·tan 60°=50(-1)··=25(3-)(m),即所求塔高为25(3-)m.类型三测量角度问题(数学建模)角度1 角度问题【典例】如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的倾斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对于山坡的倾斜度为45°,若CD=50 m,山坡对于地平面的坡度为θ,则cos θ等于( )A. B. C.-1 D.-1【思路导引】由题意可知△ADC可解,角θ与∠BDC有密切关系.【解析】选C.在△ABC中,由正弦定理,=,即=,所以AC=100.在△ADC中,由正弦定理得=,即=,所以cos θ=sin(θ+90°)==-1.角度2 航行方向问题【典例】如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cos θ的值为.【思路导引】先利用余弦定理求出BC,再利用正弦定理求出sin ∠ACB,得到cos ∠ACB,利用两角和与差的余弦即可求出cos θ.【解析】如图所示,在△ABC中,AB=30,AC=20,∠BAC=135°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 135°=3 400,所以BC=10,由正弦定理得sin∠ACB=·sin∠BAC=.由∠BAC=135°知∠ACB为锐角,故cos∠ACB=.故cos θ=cos(∠ACB+45°)=cos∠ACBcos 45°-sin∠ACBsin 45°=(-)=.答案:将本例条件“30”改为“40”,“45°”改为“30°”,其他条件不变,试求cos θ.【解析】如图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800,所以BC=20 .由正弦定理得sin∠ACB= ·sin∠BAC= .由∠BAC=120°知∠ACB为锐角,cos∠ACB= .cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°=.1.有关仰角和俯角的问题(1)建筑物顶部无法到达或高度过高而无法测量时,通常采用解三角形的方法解决,在构造三角形时,一般利用与地面垂直的直角三角形,此时应注意仰角的应用.(2)但在某些情况下,仍需根据正、余弦定理来解三角形.2.测量角度问题画示意图的基本步骤1.长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离C处1.4 m的地面上,另一端B在离C处的2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α=()A. B. C. D.【解析】选A.由题意得在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且∠α+∠ACB=π.由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos α=,所以sin α=,所以tan α==.2.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船?(参考数据:sin 38°≈,sin 22°≈)【解析】如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC=0.5x,AC=5,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°,所以BC2=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC===,所以∠ABC=38°,又因为∠BAD=38°,所以BC∥AD,故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船. 【补偿训练】游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C,线路2是先从A沿直线步行到景点B处,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的倍,甲走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达C处.经测量,AB=1 040 m,BC=500 m,则sin∠BAC等于.【解析】依题意,设乙的速度为x m/s,则甲的速度为x m/s,因为AB=1 040 m,BC=500 m,所以=,解得:AC=1 260 m,在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC===,所以sin∠BAC===.答案:3.如图,在海岸A处,发现南偏东45°方向距A为(2-2)海里的B处有一艘走私船,在A处正北方向,距A为2海里的C处的缉私船立即奉命以10海里/时的速度追截走私船.(1)刚发现走私船时,求两船的距离;(2)若走私船正以10海里/时的速度从B处向南偏东75°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.(精确到分钟,参考数据:≈1.4,≈2.5)【解析】(1)在△ABC中,因为AB=(2-2)海里,AC=2海里,∠BAC=135°,由余弦定理,得BC==4(海里).(2)根据正弦定理,可得sin ∠ABC==.所以∠ABC=30°,易知∠ACB=15°,设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,如图所示.则有CD=10t(海里),BD=10t(海里).而∠CBD=120°,在△BCD中,根据正弦定理,可得sin ∠BCD===,所以∠BCD=45°,∠BDC=15°,所以∠ACD=60°.在△CBD中,根据正弦定理,得=,即=,解得t=小时≈0.78小时≈47分钟.故缉私船沿南偏东60°方向,需47分钟才能追上走私船.课堂检测·素养达标1.如图,要测出山上一座天文台BC的高,从山腰A处测得AC=60 m,天文台最高处B的仰角为45°,天文台底部C的仰角为15°,则天文台BC的高为( )A.20 mB.30 mC.20 mD.30 m【解析】选B.由题图,可得∠B=45°,∠BAC=30°,故BC===30 m.2.一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B,又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C,若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C,则此船沿方向行驶海里至海岛C. ( )A.北偏东60°10B.北偏东40°10C.北偏东30°10D.北偏东20°10【解析】选B.由已知得在△ABC中,∠ABC=180°-70°+10°=120°,AB=BC=10,故∠BAC=30°, 所以从A到C的航向为北偏东70°-30°=40°,由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos ∠ABC=102+102-2×10×10×=300,所以AC=10.3.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m、50 m,BD为水平面,则从建筑物AB 的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD=.【解析】依题意可得AD=20m,AC=30m,又CD=50 m,所以在△ACD中,由余弦定理得cos ∠CAD====,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为45°. 答案:45°4.如图所示,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得点A的俯角β=45°.已知塔高60 m,则山高为m.(结果保留根号)【解析】在△ABC中,BC=60 m,∠BAC=15°,∠ABC=30°.由正弦定理,得AC==30(+)m,所以CD=AC·sin 45°=30(+1)m.答案:30(+1)5.(教材二次开发:例题改编)如图,小明同学在山顶A处观测到,一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100 m,汽车从C点到B点历时14 s,求这辆汽车的速度.(精确到0.1,参考数据:≈3.162)【解析】由题意,AB=200 m,AC=100m,由余弦定理可得BC=≈316.2 m,所以这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s).。
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第2课时 角度问题学习目标：1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解决角度问题(重点).2.会将实际问题转化为解三角形问题(难点).3.能根据题意画出几何图形(易错点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B 的方位角为α(如图1218所示)．图1218方位角的取值范围：[0°，360°)． 2．视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角，如图1219所示，视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度．图1219 思考：方位角的范围为什么不是(0，π)?[提示] 方位角的概念表明，“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该是[0,2π)．[基础自测]1．思考辨析(1)如图1220所示，该角可以说成北偏东110°.( )图1220(2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.( )(3)方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致．( )[答案](1)×(2)×(3)√提示：(1)说成南偏东70°或东偏南20°.(2)方位角的范围是[0,2π)．2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是( )【导学号：91432060】A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°B[由仰角与俯角的水平线平行可知α＝β.]3．在某次高度测量中，在A处测得B点的仰角为60°，在同一铅垂平面内测得C点的俯角为70°，则∠BAC等于( )A．10° B．50°C．120° D．130°D[如图所示：∠BAC＝130°.]4．某人从A处出发，沿北偏东60°行走33公里到B处，再沿正东方向行走2公里到C处，则A、C两地的距离为________公里.【导学号：91432061】7[如图所示，由题意可知AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理得AC2＝27＋4－2×33×2·cos 150°＝49，AC＝7.所以A、C两地的距离为7公里．][合作探究·攻重难]角度问题(1)如图1221，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 ( )图1221A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m ，下底长为10 m ，高为23m ，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是( )【导学号：91432062】A.33，60° B.3，60° C.3，30°D.33，30° (1)D (2)B [(1)由条件及图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.(2)如图所示，横断面是等腰梯形ABCD ，AB ＝10 m ，CD ＝6 m ，高DE ＝2 3m ，则AE ＝AB －CD2＝2 m ，∴tan ∠DAE ＝DE AE ＝232＝3，∴∠DAE ＝60°.]1．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h ；水的流向是正东，流速是20 km/h ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.60° 203 [如图，∠AOB ＝60°，由余弦定理知OC 2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC ＝203，∠COY ＝30°＋30°＝60°.]求航向的角度在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？思路探究：①你能根据题意画出示意图吗？ ②在△ABC 中，能求出BC 与∠ABC 吗？ ③在△BCD 中，如何求出∠BCD?[解] 设缉私船用t 小时在D 处追上走私船，画出示意图，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos 120°＝6，∴BC ＝6，且sin∠ABC ＝AC BC·sin∠BAC ＝26×32＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向成90°角． ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得 sin∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．2．甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a n mile ，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的3倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile?【导学号：91432063】[解] 如图所示，设两船在C 处相遇，并设∠CAB ＝θ，乙船行驶距离BC为x n mile ，则AC ＝3x ， 由正弦定理得sin θ＝BC ·sin 120°AC ＝12，而θ<60°，∴θ＝30°，∴∠ACB ＝30°，BC ＝AB ＝a .∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了an mile.求解速度问题[探究问题]1．某物流投递员沿一条大路前进，从A 到B ，方位角是60°，距离是4 km ，从B 到C ，方位角是120°，距离是8 km ，从C 到D ，方位角是150°，距离是3 km ，试画出示意图．提示：如图所示：2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A 点到C 点，则此人的速度至少是多少？提示：在上图中，在△ABC 中，∠ABC ＝60°＋(180°－120°)＝120°，由余弦定理得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 120°＝47，则此人的最小速度为v ＝4712＝87(km/h)． 3．在探究1中若投递员以24 km/h 的速度匀速沿大路从A 到D 前进，10分钟后某人以167 km/h 的速度沿小路直接由A 到C 追投递员，问在C 点此人能否与投递员相遇？提示：投递员到达C 点的时间为t 1＝4＋824＝12(小时)＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t 2＝47167＝14(小时)＝15分钟；由于30>15＋10，所以此人在C 点能与投递员相遇．如图1222，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C 处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)【导学号：91432064】图1222思路探究：根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将实际问题转化为数学问题，运用正、余弦定理解决．[解] 设用t 小时，甲船追上乙船，且在C 处相遇， 则在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9， ∠ABC ＝180°－15°－45°＝120°， 由余弦定理得，(28t )2＝81＋(20t )2－2×9×20t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即128t 2－60t －27＝0， 解得t ＝34或t ＝－932(舍去)，∴AC ＝21(海里)，BC ＝15(海里)． 根据正弦定理， 得sin∠BAC ＝BC ·sin∠ABC AC ＝5314，则cos∠BAC ＝1－75142＝1114. 又∠ABC ＝120°，∠BAC 为锐角，∴θ＝45°－∠BAC ， sin θ＝sin(45°－∠BAC )＝sin 45°cos∠BAC －cos 45°sin ∠BAC ＝112－5628.母题探究：(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度．[解] 设乙船的速度为x 海里每小时，用t 小时甲船追上乙船，且在C 处相遇(如图所示)，则在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝xt ，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝135°.由正弦定理得AC sin∠ABC ＝BCsin∠CAB ，即28t sin 135°＝xtsin 30°.所以x ＝28×sin 30°sin 135°＝28×1222＝142(海里每小时)．故乙船的速度为142海里每小时． [规律方法] 解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题.1．在某测量中，设A 在B 的南偏东34°27′，则B 在A 的( )【导学号：91432065】A ．北偏西34°27′B ．北偏东55°33′C ．北偏西55°33′ D．南偏西34°27′ A [由方向角的概念，B 在A 的北偏西34°27′.]2．如图1223所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )图1223A ．北偏东5°B ．北偏西10°C ．南偏东5°D ．南偏西10°B [由题意可知∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°.∵AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝50°，从而可知灯塔A 在灯塔B 的北偏西10°.]3．如图1224所示，D ，C ，B 三点在地面的同一直线上，DC ＝a ，从D ，C 两点测得A 点仰角分别为α，β(α<β)，则点A 离地面的高度AB 等于( )图1224A.a sin αsin ββ－αB.a sin αsin ββ－αC.a cos αcos ββ－αD.a cos αsin ββ－αA [结合图形可知∠DAC ＝β－α.在△ACD 中，由正弦定理得DC sin∠DAC ＝ACsin α，∴AC ＝a sin αsin∠DAC＝a sin αβ－α.在Rt△ABC 中，AB ＝AC sin β＝a sin αsin ββ－α.]4．如图1225所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )【导学号：91432066】图1225A.32B. 3C.3－1D.2－1C [在△ABC 中，由正弦定理AB s in 30°＝ACsin 135°，∴AC ＝100 2. 在△ADC 中，ACθ＋＝CDsin 15°，∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC ·sin 15°CD＝3－1.]5．如图1226，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C 点，求P ，C 间的距离．图1226[解] 因为AB ＝40，∠BAP ＝120°，∠ABP ＝30°， 所以∠APB ＝30°，所以AP ＝40， 所以BP 2＝AB 2＋AP 2－2AP ·AB ·cos 120°＝402＋402－2×40×40×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝402×3，所以BP ＝40 3.又∠PBC ＝90°，BC ＝80，所以PC 2＝BP 2＋BC 2＝(403)2＋802＝11 200， 所以PC ＝407海里．。