2020-2021学年上海市奉贤区九年级(上)期末数学试卷(一模)

2020-2021学年上海市奉贤区九年级（上）期末数学试卷
（一模）
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）
1.如果将抛物线y=−x2−2向右平移3个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是
()
A. y=−x2−5
B. y=−x2+1
C. y=−(x−3)2−2
D. y=−(x+3)2−2
2.下列四组图形中，一定相似的是()
A. 矩形与矩形
B. 正方形与菱形
C. 菱形与菱形
D. 正方形与正方形
3.已知非零向量a⃗、b⃗ 、c⃗，在下列条件中，不能判定a⃗//b⃗ 的是()
A. a⃗//c⃗,b⃗ //c⃗
B. a⃗=2c⃗,b⃗ =3c⃗
C. a⃗=−5b⃗
D. |a⃗|=2|b⃗ |
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=2
3
，则BC的长为()
A. 4
B. 2√5
C. 18√13
13D. 12√13
13
5. 6.在直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为3，⊙A的圆心A的坐标为(−√3,1)，
半径为1，那么⊙O与⊙A的位置关系是()
A. 内含
B. 内切
C. 相交
D. 外切
6.如图，梯形ABCD中，AB//CD，两条对角线交于点E.已知
△ABE的面积是a，△CDE的面积是b，则梯形ABCD的面积
是()
A. a2+b2
B. √2(a+b)
C. (√a+√b)2
D. (a+b)2
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7.已知a−2b
3b−a =3
5
，则b
a
=______．
8.若x是3和6的比例中项，则x的值为___________．
9.若点A(3,n)在二次函数y=x2+2x−3的图象上，则n的值为___。

10.已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=(x−1)2+1的图象上，若x1>x2>1，
则y1______y2(填“>”、“<”或“=”)．
11.有长为20m的铁栏杆，利用它和一面墙围成一个矩
形花圃ABCD(如图)，若花圃的面积为48m2，求AB
的长．若设AB的长为xm，则可列方程为______ ．
12.已知两个相似三角形对应高的比为3:10，且这两个三角形的周长差为56cm，则这
两个三角形的周长分别为．
13.已知线段MN=2，点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP，则MP=______．
14.已知一斜坡的坡度i=1：2，高度在20米，那么这一斜坡的坡长约为______ 米(精
确到0.1米)
15.如图，点G为△ABC的重心，GE//BC，BC=12，则
GE=______．
16.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，
DE//BC，交AC于点E，若∠A=84°，则
∠CDE=_______．
17.在平面直角坐标系xOy中，我们把对称轴相同的抛物线叫做同轴抛物线．已知抛物
线y=−x2+6x的顶点为M，它的某条同轴抛物线的顶点为N，且点N在点M的下方，MN=10，那么点N的坐标是______．
18.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6.将△ABC
绕点B旋转得到△DBE，点A的对应点D落在射线BC上．直线
AC交DE于点F，那么CF的长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）
19.已知a
5=b
7
=c
8
，且3a−2b+c=3，求2a+4b−3c的值．
20.已知抛物线y=x2+4x+c的顶点在x轴上，求c的值，并求出抛物线的顶点坐标．
21.我们已知tan30∘=√3
，tan45°=1，那么tan15°等于多少呢？tan22.5°等于多少
3
呢？小明想出了一个方法，求出了tan15°，其过程如下：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至D，使BD=AB，连接AD，则△ABD为等腰三角形，所以∠ADB=∠BAD.由于∠ABC=∠ADB+∠BAD，∠ABC=15∘.设AC=k，则AB=2k，BC=√3k，BD=AB=2k，
所以∠ADB=1
2
=2−√3，即所以CD=BC+BD=√3k+2k=(√3+2)k.所以tan∠ADB=AC
CD
tan15∘=2−√3．
你能用小明的方法，类似地求出tan22.5°吗？请试一试．
22.如图是某小区的一个健身器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求
端点A到地面CD的距离(精确到0.1m).(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)
23.如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点F，点
E是BD上一点，且∠BCA=∠ADE，∠CAD=∠BAE．
(1)求证：△ABC∽△AED；
(2)求证：BE⋅AC=CD⋅AB．
24.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−3,0)、
B(5,0)、C(0,4)三点，连结AC，点P是抛物线上的
动点，连结AP．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当AP平分∠CAB时，求直线AP所对应的函数表达式．
25.如图，⊙O中，△ABC中，AB为直径，点C为弧AE
的中点，E在弧BC上，BC与AE交点F，且F为BC
中点，过C点作CG⊥AB，交AE于点H，CH：HG=3：
1．
(1)求证：AH=CH；
(2)求tan∠EAB的值；
(3)当HG=2时，求△BEC的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：y=−x2−2的顶点坐标为(0,−2)，
∵向右平移3个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3,−2)，
∴所得到的新抛物线的表达式是y=−(x−3)2−2．
故选：C．
先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键.根据
相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
【解答】
解：A.矩形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B.正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
C.菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；
D.正方形与正方形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意.
故选D．
3.【答案】D
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b⃗ ，故本选项，不符合题意；
【解析】解：A、∵a⃗//c⃗，b⃗ //c⃗，∴a//
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b⃗ ，故本选项，不符合题意；
B、∵a⃗=2c⃗，b⃗ =3c⃗，∴a//
C 、∵a ⃗ =−5b ⃗ ，∴a//⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b ⃗ ，故本选项，不符合题意；
D 、∵|a ⃗ |=2|b ⃗ |，不能判断a//⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b ⃗ ，故本选项，符合题意； 故选：D ．
根据平面向量的性质即可判断．
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．
4.【答案】A
【解析】 【分析】
此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握锐角的邻边与斜边的比叫做角的余弦．根据cosB =2
3，可得CB
AB =2
3，再把AB 的长代入可以计算出CB 的长． 【解答】
解：在Rt △ABC 中，∠C =90°， ∵cosB =2
3， ∴CB
AB =2
3， ∵AB =6， ∴CB =2
3×6=4， 故选A ．
5.【答案】B
【解析】 【分析】
首先求得点A 到点O 的距离是√3+1=2，再根据圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O 1与⊙O 2的位置关系． 【详解】
根据题意得点A 到点O 的距离是√3+1=2，即两圆的圆心距是2， 所以半径与圆心距的关系是3−1=2，
根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O 1与⊙O 2的位置关系是内切．
【点睛】
本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R 和r ，且R ≥r ，圆心距为P ，则：外离P >R +r ；外切P =R +r ；相交R −r <P <R +r ；内切P =R −r ；内含P <R −r ．
6.【答案】C
【解析】 【分析】
本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形的性质，三角形的面积等知识点，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，等高的两三角形的面积之比等于对应的边之比． 根据平行线得出△AEB∽△CED ，求出S △AEB
S
△CED
=
a b
=(BE
DE
)2，求出BE DE
=√a √b
，根据△AEB 的边
BE 上的高和△ADE 的边DE 上的高相同，设此高为h ，求出S △ADE =√ab ，同理求出S △BEC =√ab ，即可求出梯形ABCD 的面积． 【解答】 解：∵AB//CD ， ∴△AEB∽△CED ， ∴S △AEB S △CED
=a b =(BE
DE )2，
∴BE
DE =
√a
√b
， ∵△AEB 的边BE 上的高和△ADE 的边DE 上的高相同，设此高为h ，
，
∵S △AEB =a ， ∴S △ADE =√ab ， 同理S △BEC =√ab ，
∴梯形ABCD 的面积是：S △AEB +S △ADE +S △DEC +S △BEC =a +√ab +b +√ab =(√a +√b)2．
7.【答案】8
19
【解析】
【分析】
本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可得解．
【解答】
解：∵a−2b
3b−a =3
5
，
∴5(a−2b)=3(3b−a)，∴8a=19b，
∴b
a =8
19
．
故答案为8
19
．
8.【答案】±3√2
【解析】解：∵x是3和6的比例中项，
∴x2=3×6=18，
解得x=±3√2．
故答案为；±3√2．
根据比例中项的概念，得x2=3×6，即可求出x的值．
本题考查了比例线段，用到的知识点是比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项，求比例中项根据比例的基本性质进行计算．
9.【答案】12
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上所经过的点，均能满足该函数的解析式．将A(3,n)代入二次函数的关系式y=x2+2x−3，然后解关于n的方程即可．
【解答】
解：∵A(3,n)在二次函数y=x2+2x−3的图象上，
∴A(3,n)满足二次函数y=x2+2x−3，
∴n=9+6−3=12，即n=12，
故答案是12．
10.【答案】>
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点的位置是解答此题的关键．
先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的增减性，进而可得出结论．
【解答】
解：∵a=1>0，
∴二次函数的图象开口向上，
由二次函数y=(x−1)2+1可知，其对称轴为x=1，
∵x1>x2>1，
∴两点均在对称轴的右侧，
∵此函数图象开口向上，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵x1>x2>1，
∴y1>y2．
故答案为：>．
11.【答案】x(20−2x)=48
【解析】解：设AB长为x米，则BC长为(20−2x)米．
依题意，得x(20−2x)=48．
故答案为：x(20−2x)=48
本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
本题是用20米的铁栏杆围成三个边，设垂直墙的铁栏杆的长为xm，那么平行墙的铁栏
杆长为(20−2x)m，(20−2x)和x就是矩形花圃ABCD的长和宽．然后用面积做等量关系可列方程．．
12.【答案】24cm、80cm
【解析】
【分析】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长之比等于相似比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比是解题的关键．
根据相似三角形的性质求出相似三角形的周长比，根据题意列出方程，解之即可．
【解答】
解：∵两相似三角形对应高的比为3：10，
∴相似三角形的相似比为3：10，
∴相似三角形的周长比是3：10，
设一个三角形的周长是3x cm，x>0，则另一个三角形的周长为10x cm，
由题意得，10x−3x=56，
解得，x=8，
3x=24，10x=80，
故答案为24cm、80cm．
13.【答案】√5−1
【解析】
【分析】
本题考查了黄金分割的概念；熟练掌握黄金分割值是解题的关键．根据黄金分割的概念
得到MP=√5−1
2
MN，把MN=2代入计算即可．
【解答】
解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP，
∴MP=√5−1
2MN=√5−1
2
×2=√5−1；
故答案为：√5−1．14.【答案】44.7
【解析】
【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡脚问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．根据题意画出图形，由斜坡的坡度i=1：2可设BC=x，则AC=2x，由勾股定理得出AB的长，再由BC=20米即可得出结论．
【解答】
解：如图，
∵斜坡的坡度i=1：2，
∴设BC=x，则AC=2x，
∴AB=√BC2+AC2=√x2+4x2=√5x，
∵BC=20米，即x=20
∴AB=20√5≈44.7(米)，
故答案为：44.7．
15.【答案】4
【解析】解：∵点G点为△ABC的重心，
∴CD=1
2BC=1
2
×12=6；
∴AG：GD=2：1，∴AG：AD=2：3，又∵GE//BC，
∴△AGE∽△ADC，
∴GE
CD =AG
AD
=2
3
，
∴GE=2
3CD=2
3
×6=4．
故答案为：4．
首先根据G点为△ABC的重心，判断出AG：AD=2：3；然后根据平行线的性质，判
断出△AGE∽△ADC，于是GE
CD =AG
AD
=2
3
，即可求出GE的值是多少．
此题主要考查了三角形的重心的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
16.【答案】24°
【解析】
【分析】、
本题考查了对平行线的性质的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．根据等腰三角形的性质求出∠ACB，根据角平分线定义求出∠DCB，根据平行线的性质求出即可．
【解答】
解：∵AB=AC，∠A=84°，
∴∠ACB=∠ABC=48°，
∵CD是△ABC的角平分线，
∠ACB=24°，
∴∠DCB=1
2
∵DE//BC，
∴∠CDE=∠DCB=24°．
故答案为24°．
17.【答案】(3,−1)
【解析】
【分析】
把解析式化成顶点式，求得顶点M的坐标，然后根据题意即可求得N的坐标．
本题考查了二次函数的性质，还考查了二次函数图象与几何变换，求得M点的坐标是解题的关键．
【解答】
解：∵抛物线y=−x2+6x=−(x−3)2+9，
∴M(3,9)，
∵点N在点M的下方，MN=10，
∴N(3,−1)，
故答案为(3,−1)．
18.【答案】3
【解析】解：∵如图，已知Rt △ABC 中，
∠ACB =90°，AC =8，BC =6．
∴AB =√62+82=10，tan∠A =BC AC =34， ∵将△ABC 绕点B 旋转得到△DBE ，点A 的对应点D 落在射
线BC 上，直线AC 交DE 于点F ，
∴BD =AB =10，∠D =∠A ，
∴CD =BD −BC =10−6=4，
在Rt △FCD 中，∠DCF =90°，
∴tanD =CF CD =34，即CF 4=34，
∴CF =3．
故答案为：3．
由题意，可得BD =AB =10，tanD =tan∠A =BC AC =34，所以CD =4，在Rt △FCD 中，∠DCF =90°，tanD =CF CD =34，即CF 4=34，可得CF =3．
本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正确的画出图形是解题的关键． 19.【答案】解：设a 5=b 7=c 8=x ，
则a =5x ，b =7x ，c =8x ．
∵3a −2b +c =3，
∴15x −14x +8x =3．
解得x =13，
∴a =5x =53
，b =7x =73，c =8x =83． ∴2a +4b −3c =2×53+4×73−3×83=143．
【解析】根据等式的性质，可得x 表示a ，b ，c ，根据解方程，可得答案．
本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出x 表示a ，b ，c 是解题关键．
20.【答案】解：y =x 2+4x +c =(x +2)2−4+c ，
∵抛物线y =x 2+4x +c 的顶点在x 轴上，
∴−4+c =0，
∴c =4，
顶点坐标为(−2,0)．
【解析】把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后根据x轴上的点的坐标特征列出方程求解得到c，再求出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，把抛物线解析式整理成顶点式形式求解更简便．
21.【答案】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB至D，使BD=AB，连接AD，
∴∠ADB=∠BAD，
，
设AC=k，则BC=k，
∴AB=√2k=BD，
∴CD=(√2+1)k，
，
即．
【解析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰三角形的性质及三角形的外角性质.构造等腰三角形得22.5°是解题的关键.先作等腰直角三角形ABC，再延长CB至D，使BD=AB得等腰三角形ABD，根据三角形的外角性质可得∠D=22.5°，再根据正切的定义求出AC
的值即可求解．
DC
22.【答案】解：作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，
则四边形EFBC是矩形，
∵OD⊥CD，∠BOD=70°，
∴AE//OD，
∴∠A=∠BOD=70°，
在Rt△AFB中，∵AB=2.7m，
∴AF=2.7×cos70°≈2.7×0.34=0.918m，
∴AE=AF+BC≈0.918+0.15=1.068≈1.1m，
答：端点A到地面CD的距离是1.1m．
【解析】作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，求出AF、EF即可
解决问题．
本题考查解直角三角形的应用、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】证明：(1)∵∠BAE=∠DAC，∠BAC=∠BAE−∠CAE，∠DAE=∠DAC−∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，
又∵∠ACB=∠ADE，
∴△ABC∽△AED；
(2)∵△ABC∽△AED，
∴AB
AC =AE
AD
，
又∵∠BAE=∠CAD，∴△ABE∽△ACD，
∴BE
CD =AB
AC
，
即：BE⋅AC=CD⋅AB．
【解析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
(1)根据已知条件和角的和差得到∠BAC=∠DAE，由于∠ACB=∠ADE，即可得到结论；
(2)根据相似三角形的性质得到AB
AC =AE
AD
，由∠BAE=∠CAD，推出△ABE∽△ACD，由相
似三角形的性质即可得到结论．
24.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x−5)，
把C(0,4)代入得a⋅3⋅(−5)=4，解得a=−4
15
，
∴抛物线的解析式为y=−4
15
(x+3)(x−5)，
即y=−4
15x2+8
15
x+4；
(2)设AP交y轴于点D，作DE⊥AC于点E，如图，设D(0,t)，
∵AP平分∠CAB，DE⊥AC于点E，DO⊥x轴于点O．∴DE=DO=t，
∴CD=4−t，
在Rt△OAC中，AC=√32+42=5，∵∠DCE=∠ACO，
∴Rt△CED∽Rt△COA，
∴DE
OA =CD
CA
，即t
3
=4−t
5
，解得t=3
2
，
∴D(0,3
2
)，
设直线AP为y=kx+3
2
，
把A(−3,0)代入得−3k+3
2=0，解得k=1
2
∴直线AP所对应的函数表达式为：y=1
2x+3
2
．
【解析】(1)设交点式y=a(x+3)(x−5)，然后把C点坐标代入求出a的值即可；(2)设AP交y轴于点D，作DE⊥AC于点E，如图，设D(0,t)，利用角平分线的性质得到DE=DO=t，则CD=4−t，利用勾股定理计算出AC=5，再证明Rt△CED∽Rt△COA，则利用相似比可求出t得到D(0,3
2
)，然后利用待定系数法求AC的解析式．
本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和角平分线的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式；灵活利用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形性质．
25.【答案】(1)证明：∵AB是直径，CG⊥AB，
∴∠ACB=∠CGB=90°，
∴∠ACH+∠BCG=90°，∠BCG+∠CBG=90°，
∴∠ACH=∠CBA，
∵AC⏜=EC⏜，
∴∠CAH=∠ABC，
∴∠ACH=∠CAH，
∴AH=CH．
(2)∵CH：HG=3：1，设HG=m，则AH=CH=3m，
在Rt△AGH中，AG=√(3m)2−m2=2√2m，
∴tan∠EAB=HG
AG =
2√2m
=√2
4
．
(3)如图连接OC交AE于M.连接OE．
∵AC⏜=CE⏜，
∴OC⊥AE，
∵AB是直径，
∴∠AMO=∠AEB=90°，
∴BE//CO，
∴S△BEC=S△BEO=S△AEO，
∵∠AHG=∠CHM，∠AGH=∠CMH=90°，AH=CH，
∴△AHG≌△CHM，
∴GH=HM=2，AH=CH=6，AG=CM=4√2，AM=6，
设⊙O的半径为R，
在Rt△OEM中，R2=82+(R−4√2)2，
∴R=6√2，
∴OM=2√2，
×16×2√2=16√2．
∴S△BEC=S△AEO=1
2
【解析】(1)欲证明AH=CH，只要证明∠ACH=∠CAH即可；
(2)设HG=m，则AH=CH=3m，在Rt△AGH中，AG=√(3m)2−m2=2√2m，根
，即可解决问题；
据tan∠EAB=HG
AG
(3)如图连接OC交AE于M.连接OE.首先证明BE//CO，推出S△BEC=S△BEO=S△AEO，解直角三角形求出AE、OM即可解决问题；
本题考查垂径定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。