【数学】辽宁省抚顺市2018届高三3月高考模拟考试数学(理)试题含解析

2018年抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试
数学（供理科考生使用）
第Ⅰ卷 (选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.
【答案】B
2.
C. D.
【答案】C
3. 在等差数列中，已知12项和为
A. 30
B. 60
C. 90
D. 120
【答案】B
4. 下面给出的是某校高二（2）班50名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据图中所提供的信息，则下列结论正确的是
A. 成绩是50分或100分的人数是0
B. 成绩为75分的人数为20
C. 成绩为60分的频率为0.18
D. 成绩落在60—80分的人数为29
【答案】D
【解析】频率分布折线图表示的是某一个范围的频率,,
项的人数为.
5.
B. D.
【答案】C
6. 满足，则的最大值是
C. D.
【答案】C
【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 64
B. 32
C. 96
D. 48
【答案】A
【解析】由三视图可知,该几何体是长方体中间挖掉一个四棱锥所得,故体积为
8. 执行右面的程序框图，则输出的
【答案】B
判断是判断是判断是,依次
类推退出程序,输出
9. 学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话．甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”．
已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确．根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是
A. 甲和乙
B. 乙和丙
C. 丁和戊
D. 甲和丁
【答案】D
..................
10. 在三棱锥
C.
【答案】D
故外接球半径为
,故选.
11. 已知，分别是双曲线
的中点恰好在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于
C. D.
【答案】A
【解析】代入双曲线渐近线所以
,离心率为
【点睛】本小题主要考查双曲线的基本性质,考查双曲线的渐近线方程和双曲线的离心率.首
先根据题意画出双曲线的图象,,利用中点坐
标公式可求得中点坐标,再代入双曲线的渐近线方程,,即为等轴双曲线,离心率
12. 已知函数0，1）内任取两个实数
A. （15，
B. [156） D. 6
【答案】B
【解析】即
二次函数
上递增,时,最大值为,故
【点睛】本小题主要考查函数的导数与单调性,考查对于曲线上两点连线斜率公式的几何意义
的理解.考查恒成立问题的求解方法
,也就是转化为导数是大于或等于的.利用导数求得函数的导数,然后用分离常数法结合二次函数最值可求得的取值范围.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量=(1垂直，则_______．
【答案】2
两者垂直,
14. 已知函数的最小正周期为
个零点是___________________________．
【解析】
.
15. 若直线l，则以点
切的圆的标准方程为_________________________．
故切点为的距离为故半径为圆的方程
【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线的准线方程,考查圆的方程的求解.直线和抛物线相切有两种求解方法,一种是联立直线的方程和抛物线的方程,利用判别
.另一种方法是利用导数为切线的斜率,可求得切点的坐标,也即是圆心的坐标.
16. 已知数列，则满足
________________________．
【答案】4
等比数列,化简得
,上式左边为负数,,左边为正数,故的最小值为
【点睛】本小题主要考查数列求通项公式,,考查数列不等式的求
解方法.有两个方式,一个是将
,本题是第二种,将转化为,然后利用配凑法求得,解不等式解求得
小值.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在所对的边分别为，
的面积为
【答案】（12
【试题解析】
，即
，从而由余弦定理得，所以
18. 如图，在四棱锥中，⊥平面为梯形，
【答案】（1）见解析（2
【解析】【试题分析】(I)取,由此
进而证明,通过计算平面
.
【试题解析】
（Ⅰ）证明：设F为PD的中点，连接EF，FA．
因为EF EF∥CD，且EF
又AB∥CD，AB=2，所以，故四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF．
又PAD，平面PAD，所以BE∥平面PAD
（Ⅱ）解：设G为AB的中点，因为AD=AB，故DG⊥AB；因为AB∥CD，所以DG⊥DC；又平面ABCD，所以PD，DG，CD两两垂直
以D x
，，
DBE，即
，所以
即直线PB与平面BDE所成角的正弦值为
是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒
35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/
立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区2017
中随机抽取18天的数据作为样本，将监测值绘制成茎叶图如下图所示（十位为茎，个位为叶）．
（Ⅰ）在这18个数据中随机抽取3个数据，求其中恰有2个数据为空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）在这18个数据中随机抽取3个数据，用表示其中不．超标数据的个数，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）以这18360天计算）中约有多少天的空气质量为二级．
【答案】（12）见解析（3
【解析】【试题分析】(I)
的概率.(II)的可能取值为0、1、2、3.利用超几何分布计算出分布列并计算出数学期望.(III)
级的概率为,符合二项分布,故约有
.
【试题解析】
（Ⅱ）由题意，服从超几何分布：其中
的可能取值为0、1、2、3.，得
，
所以的分布列为：
（Ⅲ）由题意，一年中空气质量为二级的概率
天的空气质量为二级
20. 已知椭圆：（，，，，0）和（1，0）．
（Ⅱ），上的两个动点，
【答案】（12
【解析】【试题分析】(I)依题意得将利用椭圆的定义计算出,最后计算出得到椭圆的方程.设出直线,联立直线方程与椭圆方程,写出韦达定理,根据直线和圆相切,利用点到直线的距离公式建立方程,求得定圆的标准方程.
【试题解析】
，所以，得椭圆C的标准方程为
的方程为
的方程与椭圆方程联立，消去
上，得
，化简得
原点O到直线的距离，
是定值，所以有，解得
与以原点为圆心的定圆相切，
，定圆的标准方程为
【点睛】本小题主要考查利用椭圆的定义求椭圆的标准方程,考查直线和抛物线的位置关系,联立方程组和韦达定理的应用,还考查了直线和圆的位置关系.由于已知条件知道椭圆的焦点
坐标和椭圆上一点的坐标,,进而求得
方程.
21. 已知函数
在区间（2，）内单调递增，求的取值范围；
成立.
【答案】（12）见解析
【解析】【试题分析】(I)求导后分离常数,可求得的取值范围.(II)
的表达式,,,
由此证得不等式成立.
【试题解析】
在恒成立即可，
恒成立，又，所以
（Ⅱ）证明：的定义域为
，若有两个极值点
则方程的判别式
所以
，其中，由得
内单调递增，在区间
值为
恒成立
【点睛】本小题主要考查函数导数与恒成立问题,考查利用导数求函数的极值点,考查利用导数证明不等式.在解决第一问的过程中,函数的定义域是首先要求解出来的,必须在定义域的范围内来研究函数的导数,单调区间和极值.由于函数给定区间上单调递增,故其导数恒大于零,利用分离常数法可求得参数的取值范围.
22. 选修4—4：坐标系与参数方程
（，的原点为极点，
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
上的动点到坐标原点的距离
两点，且与
【答案】（12
【解析】【试题分析】(I)方程展开后化为直角坐标方程,
求得其最大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得
.
【试题解析】
的直角坐标方程为
的坐标为
为的直角坐标方程为
联立得……8分
，
23. 选修4—5：不等式选讲
的最大值
，求证：
【答案】（1）M=4（2）见解析
【解析】【试题分析】(I)利用绝对值三角不等式求得,再由单个绝对值的解法求
,进而求得对原不等式左边,
【试题解析】
恒成立，即
M=4
即
2018年高考考前猜题卷
理科数学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足i
i
i z 2|2|++=
，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．10
2．已知全集R U =，集合}012|{2
≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=
N M C U )(（ ）
A ．}1|{≤x x
B ．}121|{≤<-x x
C ．}12
1
|{<<-x x D ．}2
1
1|{<<-x x
3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π
-
B ．43
C ．6
3π D ．41
4．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交
于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+
5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）
A ．2-或2
B ．2-或2
C ．2-或2
D ．2-或2 6．已知函数)2
||,0)(3
sin()(π
ϕωπ
ω<
>+
=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为
2
π
，将函数)(x f y =的图象向左平移3
π
个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12
(
π
对称 B ．关于点)0,12
(π
-
对称
C ．关于直线12
π
=
x 对称 D ．关于直线12
π
-
=x 对称
7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）
A.
3
2 B.
43
C. 2
D. 4
11 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6
)2(x
x -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）
A ．160
B ．160-
C ．350
D ．320- 9．已知函数)0(2
1
2)(<-
=x x f x
与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）
A ．)2,(--∞
B ．)2,(-∞
C ．)22,(--∞
D ．)2
2,
22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）
A ．π16
B ．π20
C ．π65
D ．
π4
65 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0
120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
12．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若
n n a a a c b ==++1111,2，2
,211n
n n n n n a b c a c b +=+=
++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列
C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列
D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .
14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .
15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-2
2
，则
B
A tan 1
tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)
(log )12(1
12+⋅+=
n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .
18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.
（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；
（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.
19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.
（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；
（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为0
30，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.
20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .
（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.
（注：2
2
2
r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）
21．已知函数x a x g x x f ln )(,2
1)(2
==
. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；
（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)
()(2
121>--x x x h x h 恒成立，求
实数a 的取值范围；
（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()
('1
)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值
范围.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩
⎪
⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ）
，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且0
90=∠AOB . （1）求b 的值；
（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲
已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；
（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2
<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a
的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)3
3
2,
1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
+=+=+=28242
23
21
m S m S m S ，)(R m ∈，
从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比22
3
==
a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.
（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)1
21
1
21(
2
1)
12)(12(1+-
-⨯=
-+=
n n n n b n ∴)1
211215131311(2121+--++-+-⨯=
+++=n n b b b T n n 1
2+=
n n
. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；1201
1)(310==C B P ，10312036)(3
10
2416===C C C C P ，
21
12060)(3101
426===C C C D P ，6
112020)(31036===C C E P
∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.
（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则
18
1
)|(2912==C C F G P .
（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为
由题意得，若要不亏本，则
032
12103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.
19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1
又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.
（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，
以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -
∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为0
30，∴0
30=∠ABO
设1=AO ，则3=BO ，∵0
160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形
∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，
则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩
⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n
设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ， 则4
6
||
||||,cos |sin =
=><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42
020=+y x ，
则)24,2(),2,
2(0
00y x F y x E +--， ∴41
164164164244242
2
002000
0021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则1441224122
21=+⇒-=+⋅-⇒
-=y x x y x y k k （0≠y ） 故曲线C 的方程为14
22
=+y x （0≠y ） （2）联立⎩⎨
⎧=++=4
42
2y x m
x y 消去y ，得044852
2=-++m mx x ，
设),(),,(2211y x Q y x P ，则5
4
4,5822121-=-=+m x x m x x ，
由0)44(20642
2>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m
∴222212
212
55
2
45444)58(24)(1
1||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，
易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=，
∴2
2
)
3(554||||m m ST PQ S S OST
OPQ +-===
∆∆λ，
令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ，
则4
5)431(4544
65
422
2+--⨯=
-+-=
t t t t λ， 当431
=
t ，即43=t 时，λ取得最大值5
52，此时35-=m . 21．解：（1）x
a
x y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得32
2=-
a
，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 2
12
+=
对任意两个不等的正数21,x x ，
2)
()(2
121>--x x x h x h 恒成立，
令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立 则问题等价于x x a x x F 2ln 2
1)(2
-+=
在),0(+∞上为增函数 2)('-+
=x
a
x x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立，
所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞. （3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+
等价于0
000ln 1x a
x a x x -<+，
整理得01ln 0
00<++
-x a
x a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(， 由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m
2
222)
1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--=
因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1
①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.
令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得
)1ln(1
1+<++a a
a （*） 令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为
t t t ln 1
1
<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++
-=e
a
a e e m 解得1
1
2-+>e e a .
综上所述，实数a 的取值范围是),1
1
(
)2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，
4)2(22=++y x
∵0
90=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b . （2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2
>=a ay x ，直线l 的参数方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+-=t
y t x 22222（t 为参数）
，代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 042
12
>+=
∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ， ∴||||22N C M C 为定值8.
23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，
即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩
⎨⎧≤+--<9331x x
解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ， 故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.
（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立
⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立 3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒5
0a a 5≥⇒a .。