高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理教案 新人教A版必修4(1)
新人教A版必修4高中数学2.3.1 平面向量基本定理学案
高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4【学习目标】1知识与技能(1)了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题；(2)培养学生分析、抽象、概括的推理能力。
2过程与方法(1)通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法；(2)通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。
3情感.态度与价值观（1）通过本节学习,培养学生的理性思维，培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识；（2）通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考的能力，激发学生学习数学的兴趣。
【重点难点】重点：平面向量基本定理的应用难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。
【学习内容】一【知识链接】1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2．怎样理解向量的数乘运算λa？ （1）模：|λa|=|λ||a|；（2）方向：λ>0时λa 与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=03. 向量共线定理 ：向量b 与非零向量a共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.二【新课导入】情景展示：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论. 三、小组合作、自主探究 探究（一）：平面向量的基本定理探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e .探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢?【定理解读】1 、1e 、2e 必须是平面向量的基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ11e +λ22e .2、λ1，λ2是被a，1e ，2e 的数量 3、基底不唯一,关键是不共线;4、由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;5、基底给定时,分解形式唯一.6、λ 1 =0时 ； λ2=0时 ；λ1=0、λ2=0时 。
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
第二章平面向量教案新人教A版必修4
第二章平面向量教学目标三维目标1、知识与技能(1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系(3)通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别2、过程与方法引导发现法与讨论相结合。
这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适引导之后，应当的让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。
体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。
3、情感目标与价值观通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。
教学重点：理解向量、相等向量等相关的概念，向量的几何表示等是本节课的重点。
教学难点：难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解。
学情和教材分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景及代数意义，因此向量具有数形结合的特征，是深入学习数学及解决各类数学问题的有效工具，在其他学科中也有广泛应用。
所以向量是历年高考的必考内容，本节课是向量的第一节课，是新知识的一个起点，所以这是十分关键、重要的一节课。
本节教学内容的特点是：概念多，有向量、平行向量、相等向量、单位向量等相关概念及向量的几何表示。
学生在学习过程中，诸多概念容易混淆，它们之间关系不易理清，这些是学习中的难点。
教法设计：引导启发式教学学法设计：指导学生自主学习课时计划：一课时教具学具：多媒体、彩笔、三角板教学过程一、创设情景、导入新课1. ................ 我们知道物理中的力、速度，位移等都是矢量，不同与路程、质量等量，他们具有什么样的共同特征？............ （学生讨论作答）2•你能举出几个具有以上特征的量吗？年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗？（学生思考作答）3.在数学上，我们把具有这种特征的量称为向量，（教师在黑板上书写课题，然后大屏幕展示课题，学生阅读课本P74）二、推进新课1.定义：既有大小又有方向的量叫向量。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
高考数学一轮复习 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示教案 文 新人教A版-新人教A版高三全
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示一、知识梳理 1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．(2)基底：不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2． 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0． [提醒] 当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价． 即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． 常用结论1．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. 2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．二、习题改编1．(必修4P99例8改编)若P 1(1，3)，P 2(4，0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则点P 的坐标为( )A ．(2，2)B ．(3，－1)C ．(2，2)或(3，－1)D ．(2，2)或(3，1)解析：选D.由题意得P 1P →＝13P 1P 2→或P 1P →＝23P 1P 2→，P 1P 2→＝(3，－3)．设P (x ，y )，则P 1P →＝(x－1，y －3)，当P 1P →＝13P 1P 2→时，(x －1，y －3)＝13(3，－3)，所以x ＝2，y ＝2，即P (2，2)；当P 1P →＝23P 1P 2→时，(x －1，y －3)＝23(3，－3)，所以x ＝3，y ＝1，即P (3，1)．故选D.2．(必修4P119A 组T8改编)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝( )A ．－12B.12 C ．－2D ．2解析：选A.由向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，得m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得－(2m －n )＝4(3m ＋2n )，所以m n ＝－12.故选A.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC .( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) (5)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏常见误区(1)利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线； (2)由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误．1．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④解析：选B.平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：对于①，AD →与AB →不共线，可作为基底； 对于②，DA →与BC →为共线向量，不可作为基底； 对于③，CA →与DC →是两个不共线的向量，可作为基底；对于④，OD →与OB →在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底． 2．已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7，4) C ．(－1，4)D ．(1，4)解析：选A.法一：设C (x ，y )， 则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A. 法二：AB →＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)， BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.平面向量基本定理及其应用(师生共研)(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC→＝b ，则DE →＝( )A.13a ＋512bB.13a －1312b C ．－13a －512bD ．－13a ＋1312b(2)(2020·某某市第一次质量预测)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝．【解析】 (1)DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)由题图可设CG →＝xCE →(x ＞0)，则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.【答案】 (1)C (2)12运算遵法则 基底定分解(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．1．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB →＝a ，AC→＝b ，则PQ →＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A.由题意知PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，故选A.2．已知点A ，B 为单位圆O 上的两点，点P 为单位圆O 所在平面内的一点，且OA →与OB →不共线．(1)在△OAB 中，点P 在AB 上，且AP →＝2PB →，若AP →＝rOB →＋sOA →，求r ＋s 的值； (2)已知点P 满足OP →＝mOA →＋OB →(m 为常数)，若四边形OABP 为平行四边形，求m 的值． 解：(1)因为AP →＝2PB →，所以AP →＝23AB →，所以AP →＝23(OB →－OA →)＝23OB →－23OA →，又因为AP →＝rOB →＋sOA →， 所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s ＝0.(2)因为四边形OABP 为平行四边形， 所以OB →＝OP →＋OA →， 又因为OP →＝mOA →＋OB →， 所以OB →＝OB →＋(m ＋1)OA →，依题意OA →，OB →是非零向量且不共线， 所以m ＋1＝0， 解得m ＝－1.平面向量的坐标运算(师生共研)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，→＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ， 所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以M (0，20)．又因为→＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N (9，2)．所以MN →＝(9，－18)．向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．1．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是．解析：由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7.所以向量OB →的坐标是(4，7)． 答案：(4，7)2．如图所示，以e 1，e 2为基底，则a ＝．解析：以e 1的起点为原点建立平面直角坐标系，则e 1＝(1，0)，e 2＝(－1，1)，a ＝(－3，1)，令a ＝x e 1＋y e 2，即(－3，1)＝x (1，0)＋y (－1，1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－3，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即a ＝－2e 1＋e 2.答案：－2e 1＋e 2平面向量共线的坐标表示(多维探究) 角度一 利用向量共线求向量或点的坐标已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为．【解析】 因为在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，所以DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )，AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y )＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2，4)．【答案】 (2，4)角度二 利用两向量共线求参数已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B.43C.12D ．13【解析】 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线， 所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.【答案】 A(1)向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．1．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝． 解析：因为a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )， 所以a ＋b ＝(1，m －1)． 因为(a ＋b )∥c ，c ＝(－1，2)， 所以2－(－1)·(m －1)＝0. 所以m ＝－1. 答案：－12．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝mλ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )．因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →∥BC →.所以8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，所以m ＝32.思想方法系列8 坐标法解决平面向量的线性运算(2020·某某某某调研)在直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 在△ABC斜边BC 的中线AD 上，则AP →·(PB →＋PC →)的最大值为( )A.2516B.258C.254D ．252【解析】 以A 为坐标原点，AB →，AC →的方向分别为x 轴、y 轴正方向建立平面直角坐标系，则B (3，0)，C (0，4)，BC 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2，则直线AD 的方程为y ＝43x .设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，43x ，所以PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x ，－43x ，PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，4－43x ，AP→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，43x ，AP →·(PB →＋PC →)＝－509x 2＋253x ＝－509⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋258，所以当x ＝34时，AP →·(PB →＋PC →)的最大值为258.故选B. 【答案】 B系要建得巧，题就解得妙坐标是向量代数化的媒介，而坐标的获得又要借助于直角坐标系，对于某些平面向量问题，若能建立适当的直角坐标系，往往能很快实现问题的转化．常见的建系方法如下：(1)利用图形中现成的垂直关系若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系；(2)利用图形中的对称关系图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限．如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝．解析：法一：以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1)．因为AC →＝λAM →＋μBN→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2，λ2＋μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85.法二：由AM →＝AB →＋12AD →，BN →＝－12AB →＋AD →，得AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25.所以λ＋μ＝85.答案：85[基础题组练]1．已知e 1＝(2，1)，e 2＝(1，3)，a ＝(－1，2)．若a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则实数对(λ1，λ2)为( )A ．(1，1)B ．(－1，1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)解析：选B.因为e 1＝(2，1)，e 2＝(1，3)，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝λ1(2，1)＋λ2(1，3)＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)．又因为a ＝(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ1＋λ2＝－1，λ1＋3λ2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝1.故选B.2．(2020·某某某某三模)设向量e 1，e 2是平面内的一组基底，若向量a ＝－3e 1－e 2与b ＝e 1－λe 2共线，则λ＝( )A.13 B ．－13C ．－3D ．3解析：选B.法一：因为a 与b 共线，所以存在μ∈R ，使得a ＝μb ，即－3e 1－e 2＝μ(e 1－λe 2)．故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－13.故选B.法二：因为向量e 1，e 2是平面内的一组基底， 故由a 与b 共线可得，1－3＝－λ－1，解得λ＝－13.故选B.3．已知OB 是平行四边形OABC 的一条对角线，O 为坐标原点，OA →＝(2，4)，OB →＝(1，3)，若点E 满足OC →＝3EC →，则点E 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23 解析：选A.易知OC →＝OB →－OA →＝(－1，－1)，则C (－1，－1)，设E (x ，y )，则3EC →＝3(－1－x ，－1－y )＝(－3－3x ，－3－3y )，由OC →＝3EC →知⎩⎪⎨⎪⎧－3－3x ＝－1，－3－3y ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－23，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23.4．(2020·某某豫水中学质检)已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB ＝60°，设AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.233B.33C ．3D ．2 3解析：选A.如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)，因为∠DAB ＝60°，所以设D 点的坐标为(m ，3m )(m ≠0)． AD →＝(m ，3m )＝λAB →＋μAC →＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m ，且μ＝32m ，所以λμ＝233.5．设向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝．解析：因为a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，所以λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)．因为向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线， 所以－7(λ＋2)＋4(2λλ＝2. 答案：26．已知点A (2，3)，B (4，5)，C (7，10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为．解析：设P (x ，y )，则由AP →＝AB →＋λAC →，得(x －2，y －3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x ＝5λ＋4，y ＝7λP 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.答案：－237．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝．解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底， 则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.答案：438．已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． 解：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2)．点M 在第二或第三象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，解得t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2)． 因为AB →＝OB →－OA →＝(4，4)， AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →，所以A ，B ，M 三点共线．[综合题组练]1．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2)解析：选D.因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)， 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2)．2.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选B.因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1. 又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2， 故x ＋y 的最大值为 2.3．设OA →＝(－2，4)，OB →＝(－a ，2)，OC →＝(b ，0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b的最小值为．解析：由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 因为A ，B ，C 三点共线，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ（b ＋2），－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2， 所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2a b ＋b a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22a b ·b a ＝32＋2(当且仅当a ＝2－2，b ＝22－2时等号成立)．答案：32＋ 24．(2020·某某某某二模)已知W 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝120°，设AW →＝λ1AB →＋λ2AC →，则2λ1＋λ2＝．解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示．根据已知条件可知A (0，0)，B (4，0)，C (－1，3)． 根据外心的性质可知点W 在直线x ＝2上(如图所示)．易知线段AC 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，直线AC 的斜率为－3，故线段AC 的中垂线l的斜率为33(如图所示)，方程为y －32＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12. 令x ＝2，解得y ＝433，故W ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，433.由AW →＝λ1AB →＋λ2AC →得⎝ ⎛⎭⎪⎫2，433＝λ1(4，0)＋λ2(－1，3)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－λ2＝2，3λ2＝433，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝56，λ2＝43.所以2λ1＋λ2＝53＋43＝3.答案：3。
2.3.1平面向量基本定理课件(新人教A版必修4)
B
b
⑵向量的加法：
a
C
ab
O
a
平行四边形法则
b
B
b
O
A
a-b
ab
B
O
A a 三角形法则
已知平行四边形ABCD中,M,N分别是
BC,DC的中点且 AB a, AD b ，用 a, b
表示 AM, AN .
B
M N
解： AM AB BM A D b 1 AB BC 2 AN AD DN 1 1 1 AB AD AD DC AD AB 2 2 2 1 1 b a a b 2 2
=
二、向量的夹角:
两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
, 则 ( 0 180 ) AOB OB b
B
b
O
a
A
叫做向量
a和 b
夹角的范围：00 ,180
a
O
的夹角． 注意:两向量必须 是同起点的 0
B
a
A B b
b
0
b B
180
a
C
设 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，
a 是这一平面内的任一向量， 问：与 a e1 , e2 之间有怎样的关系？
M C
e1
a
e2
A
O
N
B
OM 1 e1 ON 2 e2
a OM ON 1 e1 2 e2
平面向量基本定理 • 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向 量a，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2.
第二章 平面向量基本定理
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2．两向量的夹角与垂直 → → (1)夹角：已知两个 非零向量 a 和 b，作OA＝a， ＝b， OB 则∠AOB＝θ，叫做向量 a 与 b 的夹角．
①范围： 向量 a 与 b 的夹角的范围是[0°， 180°]． ②当 θ＝0°时，a 与 b 同向． ③当 θ＝180°时，a 与 b 反向．
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→ → 解法二：(方程思想)：设AB＝x，BC＝y，则有 → → → → → → → → AB＋BC＝AC，AD－AB＝BD且AD＝BC＝y. x＋y＝a， 1 1 1 1 1 → 1 即 ∴x＝ a－ b，y＝ a＋ b，即AB＝ a－ 2 2 2 2 2 2 y－x＝b. → 1 1 b，BC＝ a＋ b. 2 2
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向量夹角的概念 【例 4】 已知两非零向量 a 与 b 的夹角为 80°，试求下 列向量的夹角： (1)a 与－b； (2)2a 与 3b.
思路分析：作出向量 a，b，再作出相应的向量，依据向 量夹角的定义来确定．
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解：(1)由向量夹角的定义，如下图①，向量 a 与－b 的 夹角为 100°.(2)如下图②，向量 2a 与 3b 的夹角为 80°.
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规 律 归 纳 本类型题需不断地利用三点共线进行转化，最后通过利 用任意一向量基底表示的唯一性，即若 a＝λ1e1＋µ1e2 且 a＝ λ ＝λ ， 1 2 λ2e1＋µ2e2，则 来构建方程，使得问题获解． µ1＝µ2
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答案：C
高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案(含解析)新人教A版必修4
2.3.1 平面向量基本定理考试标准学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来．3．在△ABC 中，明确AC →与AB →的夹角与CA →与AB →的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．状元随笔 平面向量基本定理的理解(1)e →1，e →2是同一平面内的两个不共线的向量，e →1，e →2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．(2)平面内的任一向量a →都可以沿基底进行分解． (3)基底e →1，e →2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． 2．关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ，叫作向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 状元随笔 两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与向量AB →的夹角，∠BAD 才是向量CA →与向量AB →的夹角．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3) 若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④ D．③④解析：①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．答案：B3．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角是指( )A ．∠CAB B ．∠ABC C ．∠BCAD ．以上都不是解析：由两向量夹角的定义知，AB →与BC →的夹角应是∠ABC 的补角，故选D. 答案：D4．如图所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．解析：由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2. 答案：OA →＝4e 1＋3e 2类型一 平面向量基本定理的理解例1 设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e 1与e 1＋e 2； ②e 1－2e 2与e 2－2e 1； ③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】 ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底． ②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底． ③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．【答案】 ③由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量e →1、e →2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则{ x 1＝x 2，y 1＝y 2.提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．跟踪训练1 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )A.①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B 项正确．答案：B平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．类型二 用基底表示平面向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE 与BF 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.【解析】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋12BC →＝－AD →＋AB →＋12AD →＝a －12b .BF →＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝b －12a .解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 (1)本例条件不变，试用基底a ，b 表示AG →；(2)若本例中的基向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.解析：(1)由平面几何知识知BG ＝23BF ，故AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF →＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝a ＋23b－13a ＝23a ＋23b . (2)DE →＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF →＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF →＝－2CE →＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则． 类型三 向量的夹角例3 已知|a |＝|b |，且a 与b 的夹角为120°，求a ＋b 与a 的夹角及a －b 与a 的夹角．【解析】 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝120°，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形． 所以OC →与OA →的夹角∠AOC ＝60°，BA →与OA →的夹角即为BA →与BC →的夹角∠ABC ＝30°.所以a ＋b 与a 的夹角为60°，a －b 与a 的夹角为30°.作图，由图中找到a →－b →与a →的夹角，利用三角形、四边形的知识求角． 方法归纳两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角． (2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，求a ＋b 与a 的夹角，a －b 与a 的夹角．解析：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ， 则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a . 因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形． 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC . 即a －b 与a 的夹角为60°. 因为|a |＝|b |，所以▱OACB 为菱形．所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°. 即a ＋b 与a 的夹角为30°.作出向量a →，b →，a →＋b →，a →－b →，利用平面几何知识求解． 2.3.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 解析：∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线． 答案：B2．当向量a 与b 共线时，则这两个向量的夹角θ为( ) A ．0° B．90°C ．180°D ．0°或180°解析：当向量a 与b 共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°. 答案：D3．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a解析：如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD →－AB →＝2b －a .答案：B4．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 解析：如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 答案：D5．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )55C.85D.45解析：∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．解析：因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.答案：37．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.解析：AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .答案：2a －b8．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解析：因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .10．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB→＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解析：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．[能力提升](20分钟，40分)11．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B．120° C ．60° D．30°解析：设向量a ，b 的夹角为θ，作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(图略)，a ，b 的夹角为180°－∠C .∵|a |＝|b |＝|c |，∴∠C ＝60°，∴θ＝120°.答案：B 12.如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1，又M 为AH 的中点，BC ＝3，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12(AB →＋13BC →)＝12AB →＋16BC →，所以λ＋μ＝23. 答案：2313．如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，试以a ，b 为基底表示OM →.解析：根据平面向量基本定理可设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b ， ∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →＝λAD →(λ为实数)，∴AM →＝－λa ＋λ2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－λ，n ＝12λ，消去λ得m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ， ∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →＝μCB →(μ为实数)，∴CM →＝－μ4a ＋μb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14μ，n ＝μ，消去μ得4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b . 14．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，D 是AC 的中点．求：(1)AD →与BD →夹角的大小；(2)DC →与BD →夹角的大小．解析：(1)如图所示，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，所以AB 2＋BC 2＝(3)2＋1＝22＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形．因为tan A ＝BC AB ＝13＝33， 所以A ＝30°.又因为D 为AC 的中点，所以∠ABD ＝∠A ＝30°，AD →＝DC →.在△ABD 中，∠BDA ＝180°－∠A －∠ABD ＝180°－30°－30°＝120°，所以AD →与BD →的夹角为120°.(2)因为AD →＝DC →，所以DC →与BD →的夹角也为120°.。
高中数学人教A版必修四教师用书：第2章+2.3+2.3.1+平面向量基本定理
2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理学习目标：1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点)[自主预习·探新知]1．平面向量基本定理(2)平面向量的基底是唯一的吗？[提示](1)不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的．(2)不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．2．向量的夹角[0，π]a与b同向[基础自测]1．思考辨析(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( )(2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( )[解析] (1)错误．根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底．(2)正确．根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e 1，e 2线性表示．(3)错误．当e 1与e 2共线时，结论不一定成立． [答案] (1)× (2)√ (3)×2．若△ABC 是等边三角形，则AB →与BC →的夹角的大小为________． 120° [由向量夹角的定义知AB →与BC →的夹角与∠B 互补，大小为120°.] 3．如图2-3-1所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．图2-3-14e 1＋3e 2 [由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2.][合 作 探 究·攻 重 难](1)D ，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列结论：①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ； ③CF →＝－12a ＋12b ；④EF →＝12a . 其中正确的结论的序号为________．(2)如图2-3-2，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 表示DC →，EF →，FC →.图2-3-2[思路探究] 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．(1)①②③ [(1)如图，AD →＝AC →＋CD →＝－b ＋12CB →＝－b －12a ，①正确；BE →＝BC →＋CE →＝a ＋12b ，②正确；AB →＝AC →＋CB →＝－b －a ，CF →＝CA →＋12AB →＝b ＋12(－b －a ) ＝12b －12a ，③正确；④EF →＝12CB →＝－12a ，④不正确．](2)因为DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， 所以FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b . EF →＝ED →＋DA →＋AF → ＝－12DC →－AD →＋12AB → ＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .[规律方法] 用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义． (2)模型：[跟踪训练]1．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则BF →等于( )【导学号：84352209】图2-3-3A ．－a ＋15b B ．a －15b C ．23a －13bD ．13a ＋23bA [∵AE →＝15AB →，∴BE →＝－45AB →. 又∵EF ∥BC ，∴EF →＝15BC →＝15(AC →－AB →)，∴BF →＝BE →＋EF →＝－45AB →＋15(AC →－AB →) ＝15AC →－AB →＝－a ＋15b .](1)b ，c ⊥a ，则a ，b的夹角等于________．(2)若a ≠0，b ≠0，且|a|＝|b|＝|a －b|，求a 与a ＋b 的夹角.【导学号：84352210】[思路探究] 可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决．(1)120° [作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(如图所示)， 则a ，b 夹角为180°－∠C . ∵|a|＝1，|b|＝2，c ⊥a ， ∴∠C ＝60°， ∴a ，b 的夹角为120°.](2)[解] 由向量运算的几何意义知a ＋b ，a －b 是以a ，b 为邻边的平行四边形两条对角线．如图，∵|a |＝|b |＝|a －b |， ∴∠BOA ＝60°.又∵OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA ， ∴a 与a ＋b 的夹角是30°.[规律方法] 两向量夹角的实质与求解方法：(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误.[跟踪训练]2．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝AC ，则AB →与BC →夹角的大小为________．150° [如图所示，因为∠A ＝120°，AB ＝AC ，所以∠B ＝30°，所以AB →与BC →的夹角为180°－∠B ＝150°.][探究问题]若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e 1，e 2，使向量a ＝λ1e 1＋λ2e 2，a ＝μ1e 1＋μ2e 2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？提示：由题意λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，即(λ1－μ1)e 1＝(μ2－λ2)e 2，由于e 1，e 2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2.如图2-3-4所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，点M 是AB 上靠近B 的一个三等分点，点N 是OA 上靠近A 的一个四等分点．若OM 与BN 相交于点P ，求OP →.【导学号：84352211】图2-3-4[思路探究] 可利用OP →＝tOM →及OP →＝ON →＋NP →＝ON →＋sNB →两种形式来表示OP →，并都转化为以a ，b 为基底的表达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得s ，t ，进而得OP →.[解] OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB → ＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13a ＋23b . 因为OP →与OM →共线， 故可设OP →＝tOM →＝t3a ＋2t 3b .又NP →与NB →共线，可设NP →＝sNB →，OP →＝ON →＋sNB →＝34OA →＋s (OB →－ON →)＝34(1－s )a ＋s b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧34(1－s )＝t 3，s ＝23t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝910，s ＝35，所以OP →＝310a ＋35b .母题探究：1.将本例中“M 是AB 上靠近B 的一个三等分点”改为“M 是AB 上靠近A 的一个三等分点”，“点N 是OA 上靠近A 的一个四分点”改为“N 为OA 的中点”，求BP ∶PN 的值．图2-3-5[解] BN →＝ON →－OB →＝12a －b ，OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b ， 因为O ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， 所以存在实数λ，μ使BP →＝λBN →＝λ2a －λb ， OP →＝μOM →＝2μ3a ＋μ3b ，所以OB →＝OP →＋PB →＝OP →－BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2μ3－λ2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ3＋λb ， 又OB →＝b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2μ3－λ2＝0，μ3＋λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35，所以BP →＝45BN →，即BP ∶PN ＝4∶1.2．将本例中点M ，N 的位置改为“OM →＝12MB →，N 为OA 中点”，其他条件不变，试用a ，b 表示OP →.图2-3-6[解] AM →＝OM →－OA →＝13OB →－OA →＝13b －a ，BN →＝ON →－OB →＝12OA →－OB →＝12a －b ，因为A ，P ，M 三点共线，所以存在实数λ使得AP →＝λAM →＝λ3b －λa ， 所以OP →＝OA →＋AP →＝(1－λ)a ＋λ3b .因为B ，P ，N 三点共线，所以存在实数μ使得BP →＝μBN →＝μ2a －μb ， 所以OP →＝OB →＋BP →＝μ2a ＋(1－μ)b . 即⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝μ2，λ3＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，μ＝45，所以OP →＝25a ＋15b .[规律方法] 1.任意一向量基底表示的唯一性的理解：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e 1，e 2的线性组合λ1e 1＋λ2e 2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知平行四边形ABCD ，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )A.AB →，DC →B.AD →，BC →C.BC →，CB →D.AB →，DA →D [由于AB →，DA →不共线，所以是一组基底．]2．已知▱ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD →与CD →的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°D [AD →与CD →的夹角与∠DAB 互补，其大小为180°－30°＝150°.] 3．设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝3CD →，则( )【导学号：84352212】A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC → A [因为BC →＝3CD →，所以AC →－AB →＝3(AD →－AC →)＝3AD →－3AC →， 所以3AD →＝4AC →－AB →，所以AD →＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.]4．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．3 [因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ， 所以⎩⎨⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.]5．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →.【导学号：84352213】图2-3-7[解] AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC → ＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ； AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第二章平面向量教案完整版
例 4 如图， 设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心， 分别写出图中与向量 OA 、 OB 、 OC 相
等的向量 .
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（
11 个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（ CB, DO, FE ）
课堂练习 ： 1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由
说明：（ 1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系
.
（与．有．向．线．段．的． （ 2）共线向量
（四）理解和巩固：
例 1 书本 86 页例 1. 例 2 判断：
（ 1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（ 2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
学习必备
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说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小
.
5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定
0 与任一向量平行 .
说明：（ 1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （ 2）向量 ａ、ｂ、ｃ平行，记作 ａ ∥ ｂ∥ ｃ.
6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 .
A
B
C
则两次的位移和： AB BC AC
（2）若上题改为从 A 到 B，再从 B 按反方向到 C，
CA
B
则两次的位移和： AB BC AC
（3）某车从 A 到 B ，再从 B 改变方向到 C，
C
则两次的位移和： AB BC AC
A
B
C
（4）船速为 AB ，水速为 BC ，则两速度和： AB BC AC
2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修4
a与b 7 __同__向______ a与b 8 __垂__直______，记作 9 _a_⊥__b______
a与b 10 ___反__向_____
‖小试身手‖
3．若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
答案：B 4．在等腰
Rt△ABC
题型二 向量的夹角
【例 2】 已知|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 60°，设 a＋b 与 a 的夹角为 α，a－b 与 a 的夹角是 β，求 α＋β.
[解] 如图，作O→A＝a，O→B＝b，且∠AOB＝60°，
以O→A，O→B为邻边作▱OACB， 则O→C＝a＋b，B→A＝O→A－O→B＝a－b， B→C＝O→A＝a.
解：解法一：∵A→B＝e2，DABC＝k， ∴D→C＝kA→B＝ke2. ∵A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0， ∴B→C＝－A→B－C→D－D→A ＝－A→B＋D→C＋A→D＝e1＋(k－1)e2. 又M→N＋N→B＋B→A＋A→M＝0，
且N→B＝－12B→C，A→M＝12A→D， ∴M→N＝－A→M－B→A－N→B ＝－12A→D＋A→B＋12B→C＝k＋2 1e2. 解法二：同解法一得，D→C＝ke2， B→C＝e1＋(k－1)e2.连接MB，MC， 由M→N＝12(M→B＋M→C)得，M→N＝12(M→A＋A→B＋M→D＋D→C)＝12(A→B ＋D→C)＝k＋2 1e2.
A．a－12b
B．12a－b
C．a＋12b
D．12a＋b
解析：选 D 连接 CD，OD，如图所示．∵ 点 C，D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点，∴ AC＝CD，∠CAD＝∠DAO＝30°.∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAO＝30°，∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥DO.由 AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，∴∠CDA＝∠ DAO，∴CD∥AO，∴四边形 ACDO 为平行四边形， ∴A→D＝A→O ＋A→C＝12A→B＋A→C＝12a＋b.故选 D.
2020_2021学年高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理训练含解析新人教A版必修4
第二章 平面向量2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理 [A 组 学业达标]1．若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0，那么下面关于向量a ，b 的判断正确的是( )A ．a 与b 一定共线B ．a 与b 一定不共线C ．a 与b 垂直D ．a 与b 中至少有一个为0解析：由平面向量基本定理可知，当a ，b 不共线时，k 1＝k 2＝0. 答案：B2.如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足 ( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0解析：取第Ⅲ部分内一点画图易得a >0，b <0. 答案：B3．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( )①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ，μ有无数多对；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ，μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2 ＝0时，这样的λ有无数个．故选B. 答案：B4．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →＝2DC →，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →可用基底a ，b 表示为 ( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b ) 解析：∵BD →＝2DC →，∴BD →＝23BC →.∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b .答案：C5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p ，p ＝________．解析：设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.所以p ＝－74m ＋138n .答案：－74m ＋138n6．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝________．解析：∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3.答案：37．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．解析：易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.答案：128．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB＝k (k ≠1)．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出下列向量在此基底下的分解式：DC →，BC →，MN →. 解析：如图，∵AB →＝e 2，且DC AB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝－e 2＋k e 2＋e 1＝e 1＋(k －1)e 2. ∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM →＝12BC →＋e 2－12AD →＝12[e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12e 1＝k ＋12e 2. 9．在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上且AN →＝2NC →，AM 交BN 于P 点，求AP与AM 的比值．解析：设BM →＝a ，CN →＝b ，则AM →＝AC →＋CM →＝－a －3b ，BN →＝2a ＋b . ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， ∴存在实数λ，μ使AP →＝λAM →＝－λa －3λb ， BP →＝μBN →＝2μa ＋μb .∴BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)a ＋(3λ＋μ)b . 又∵BA →＝BC →＋CA →＝2a ＋3b ，由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35，则AP →＝45AM →.∴AP 与AM 的比值为45.[B 组 能力提升]10．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝( )A ．a ＋λbB ．λa ＋bC ．λa ＋(1＋λ)bD.a ＋λb 1＋λ解析：∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)，(1＋λ)OP →＝λOP 2→＋OP 1→，∴OP →＝a ＋λb1＋λ.答案：D11.如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝( )A ．1 B.43 C.23D.56解析：AF →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋2nAE →， 由B ，F ，E 三点共线，得m ＋2n ＝1，① AF →＝mAB →＋nAC →＝2mAD →＋nAC →， 由C ，F ，D 三点共线，得2m ＋n ＝1，② ①＋②得3(m ＋n )＝2，m ＋n ＝23.答案：C12．设G 为△ABC 的重心，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OG →，则OG →＝________．解析：OG →＝OC →＋CG →＝OC →＋13(CA →＋CB →)＝OC →＋13(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝13(a ＋b ＋c )．答案：13(a ＋b ＋c )13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________．(用e 1，e 2表示)解析：如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.答案：－23e 1＋512e 214．已知△ABC 内一点P 满足AP →＝λAB →＋μAC →，若△P AB 的面积与△ABC 的面积之比为1∶3，△P AC 的面积与△ABC 的面积之比为1∶4，求实数λ，μ的值．解析：如图，过点P 作PM ∥AC ，PN ∥AB ，则AP →＝AM →＋AN →，所以AM →＝λAB →，AN →＝μAC →.作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H . 因为S △P AC S △ABC ＝14，所以PG BH ＝14.又因为△PNG ∽△BAH ，所以PG BH ＝PN AB ＝14，即AM AB ＝14，所以λ＝14，同理μ＝13. 15．如图，已知三点O ，A ，B 不共线，且OC →＝2OA →，OD →＝3OB →，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)试用a ，b 表示向量OE →；(2)设线段AB ，OE ，CD 的中点分别为L ，M ，N ，试证明：L ，M ，N 三点共线．解析：(1)∵B ，E ，C 三点共线， ∴OE →＝xOC →＋(1－x )OB →＝2x a ＋(1－x )b .①同理，∵A ，E ，D 三点共线，∴OE →＝y a ＋3(1－y )b .②比较①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ，1－x ＝3（1－y ），解得x ＝25，y ＝45，∴OE →＝45a ＋35b .(2)证明：∵OL →＝a ＋b 2，OM →＝12OE →＝4a ＋3b 10，ON →＝12(OC →＋OD →)＝2a ＋3b 2，∴MN →＝ON →－OM→＝6a ＋12b 10，ML →＝OL →－OM →＝a ＋2b10， ∴MN →＝6ML →，又MN →与ML →有公共点M ， ∴L ，M ，N 三点共线．。
高中数学探究导学课型第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教版必修4
1 AB 2 AC.
所以6λ1+λ32= 1 .
答案: 1
2
2
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【备选训练】已知G为△ABC的重心(zhòngAxīBn),a,设AC b. 试用基底a,b表示向量 AG(仿. 照教材P94例1的解析过程)
第十五页，共46页。
【解析】连接(liánjiē)AG并延长,交BC于点D,则D为BC的
的夹角为
答案:120°
第十二页，共46页。
4.设D,E分别(fēnbié)是△ABC的边AB,BC上AD的点1 A,B，
2
BE 2 BC，若
3
DE 1AB 2 AC (λ1,λ2为实数),则
λ1+λ2的值为________.
第十三页，共46页。
【解析( jiě xī)】D易E知 1 AB 2 BC 1 AB 2 AC AB 23 23
3
故AG AB BG AB 2 BF a 2 (b 1 a)
3
32
a 2 b 1 a 2 a 2 b. 3333
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2.若本例中的基向量 “AB, AD”换为“CE，C即F”若 CE a,CF b试, 用(shìyòng)a,b表示D向E,量BF. 【解析】
第十七页，共46页。
2.对于同一向量a,若基底不同,则表示这一向量a的实数 λ1,λ2的值是否相同? 提示(tíshì):不相同,根据平面向量基本定理 a=λ1e1+λ2e2,向量e1,e2改变时,λ1,λ2的值也变化.
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【拓展延伸】平面向量基本定理的实质 这个(zhè ge)定理告诉我们,平面内任意向量都可以沿 两个不共线的方向分解为两个向量的和,并且这种分解 是唯一的.λ1e1+λ2e2叫做e1,e2的一个线性组合.由平 面向量基本定理可知,如果e1,e2不共线,那么由e1,e2的 所有线性组合构成的集合{λ1e1+λ2e2}(λ1,λ2∈R) 就是平面内的全体向量.
高中数学-第二章-平面向量-2.3-平面向量的基本定理及坐标表示-2.3.2-2.3.3-知识巧解学案-新人教A版必修4
2.3.2 平面向量的坐标表示及运算2.3.3 平面向量共线的坐标表示疱工巧解牛知识•巧学一、平面向量的正交分解1.由平面向量基本定理可知，我们选定平面中的一组不共线向量作为基底，则这个平面内的任意一向量都可用这组基底唯一表示.在解决实际问题时，往往根据需要，人为地选定一组基底来表示相关的量.如图2-3-11，△ABC 中，D 、E 分别是边、的中点.图2-3-11求证：DE 21BC. 证明：先选定一组基底，设=a ，=b ，则=b -a .又∵AD =21AB =21a ，AE =21=21b ， ∴=-=21b 21 a =21 (b -a ). ∴=2，即△ABC 中，DE 21BC. 学法一得 利用平面向量的基本定理证明向量共线的过程是：先选好一组基底，用该基底把相关的向量表示出来，再根据两向量共线的条件，确定唯一的实数，证得两向量共线，其实质是判定出两向量的方向与模的关系.2.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.此时，这两个互相垂直的基底为正交基底.二、正交分解下向量的坐标1.向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a .由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(x ，y)，使得a =x i +y j .由于向量a 与有序实数对(x ，y)是一一对应的，因此，我们就把(x ，y)叫做向量a 的(直角)坐标，记作a =(x ，y),其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a =(x ，y)叫做向量的坐标表示.显然，i =(1，0)，j =(0，1)，0=(0，0).图2-3-12设向量a=(x，y)，a方向相对于x轴正方向的旋转角为θ.由三角函数的定义可知：x=|a|cosθ，y=|a|sinθ，即向量a的坐标由它的模和方向唯一确定，与它的位置无关.2.向量坐标的唯一性在直角坐标平面内，以原点O为起点作=a，则点A的位置由a唯一确定.设=x i+y j，则向量的坐标(x，y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标.图2-3-13如图2-3-13所示，CD=OA=a，CD向量的坐标怎样表示?由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，这就是我们常说的自由向量.向量在移动的过程中，其坐标是不变的，此时OA向量的坐标等于CD的坐标，即相等向量的坐标相同.3.一一对应原理任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标表示的向量却不一定是唯一的，也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为坐标原点的向量是一一对应的关系.由此可见，在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在直角坐标系中，点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.学法一得①平面向量的坐标表示是平面向量基本定理的具体运用，其关键是在直角坐标系的两坐标轴上取与正方向一致的两个单位向量作为基底，用该基底把平面直角坐标系中的某一向量表示出来.②由于向量是可以平移的，模相等方向相同的向量是相等的向量，所以平面内任一向量所对应的坐标，与把该向量的起点移至原点，终点所对应的坐标相等.三、向量的坐标运算1.加法运算对于向量的加法除了用向量线性运算的结合律和分配律去证明外，还可用几何作图的方法予以证明.设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，求a+b.图2-3-14如图2-3-14所示，OA =a ，OB =b ，以a 、b 为邻边作平行四边形，则OC =a +b .作BB ′⊥x 轴，垂足为B ′，AA ′⊥x 轴，垂足为A ′，CD ⊥x 轴，垂足为D ，AC ′⊥CD ，垂足为C ′.从作图过程可知Rt △BB ′O ≌Rt △CC ′A.所以OB ′=AC ′=A ′D ，BB ′=CC ′.所以C 点的坐标为x C =OA ′+A ′D=x 1+x 2，y C =C ′D+C ′C=y 1+y 2，即=(x 1+x 2，y 1+y 2)，也就是a +b =(x 1+x 2，y 1+y 2).也就是说：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.上述结论对于三个或三个以上向量加法仍然成立.2.减法运算由向量线性运算的结合律和分配律，可得a -b =(x 1i +y 1j )-(x 2i +y 2j )=(x 1-x 2)i +(y 1-y 2)j ，即a -b =(x 1-x 2，y 1-y 2)，也就是说：两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差. 类似于向量的加法运算，也可以通过作图验证减法的坐标运算规则.3.实数与向量积的坐标如图2-3-15，已知OA =a ，OB =λa ，不妨设λ＞0，作AA ′⊥x 轴，BB ′⊥x 轴，垂足分别为A ′、B ′.图2-3-15由△AOA ′∽△BOB ′，∴B B A A B O A O OB OA ''=''=. 由λ1=OB OA ，OA ′=x ，A ′A=y ， ∴B O x '=λ1，B B y '=λ1，得OB ′=λx ，B ′B=λy ， 即OB =(λx ，λy)，即λa =(λx ，λy).同理可证当λ＜0时，结论也成立；当λ=0时，λa =0，结论显然也成立.综上所述，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.学法一得 当λ＞0时，λa 所对应的坐标可看作把a 的坐标伸长(λ＞1)或缩短(0＜λ＜1)到原来的λ倍而得到；当λ＜0时，可看作把a 的相反向量的坐标伸长(λ＜-1)或缩短(-1＜λ＜0)到原来的-λ倍而得到.典题•热题知识点一 利用图形间的关系求坐标例1 在平面内以点O 的正东方向为x 轴正向，正北方向为y 轴的正向建立直角坐标系.质点在平面内作直线运动，分别求下列位移向量的坐标.(1)向量a 表示沿东北方向移动了2个长度单位；(2)向量b 表示沿北偏西30°方向移动了3个长度单位；(3)向量c 表示沿南偏东60°方向移动了4个长度单位.解：设=a ，=b ，=c ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，R(x 3，y 3).图2-3-16(1)如图2-3-16,可知∠POP ′=45°，|OP |=2，所以a =OP =P P P O '+=2i +2j ,所以a =(2，2).(2)因为∠QOQ ′=60°，||=3，所以b ==Q O '+Q '=23-i +323j ，所以b =(23-，323). (3)因为∠ROR ′=30°，||=4，所以c ==R O '+R R '=32i -2j .所以c =(32，-2). 方法归纳 求解向量坐标时，常用到解直角三角形的知识或任意角的三角函数的定义.构造直角三角形是学习过程中常用到的一种解题手段.知识点二 向量的坐标运算例2 已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及=+t .求：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上?P 在y 轴上?P 在第二象限?(2)四边形OABP 能成为平行四边形吗?若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由. 解： (1)=+t =(1+3t ，2+3t).若P 在x 轴上，只需2+3t=0，即t=32-； 若P 在y 轴上，只需1+3t=0，即t=31-； 若P 在第二象限，则需⎩⎨⎧>+<+,032,031t t 解得-32＜t ＜-31. (2)OA =(1，2)，PB =(3-3t ，3-3t).若四边形OABP 为平行四边形，需=.于是⎩⎨⎧=-=-233,133t t 无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形.巧解提示:向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁.向量的坐标表示实际是向量的代数表示，使向量的运算完全代数化，为几何问题的解决又提供了一种崭新的方法.知识点三 求向量坐标例3 已知A(0，0)，B(21，31-)，C(21-，32)，则下列计算正确的是( ) A.向量的坐标为(21-，31) B.向量的坐标为(0，31) C.向量的坐标为(21-，32) D.向量+的坐标为(0，31) 思路分析：利用“向量的坐标=终点坐标-起点坐标”直接得到结果.=(21，31-)-(0，0)=(21，31-)， =(21-，32)-(21，-31)=(-1，1)， CA =(0，0)-(21-，32)=(21，32-)， +AB =(21-，32)+(21，31-)=(0，31). 答案：D例4 在直角坐标系xOy 中，已知点A(3，2)、B(-2，4)，求向量+的方向和长度. 解：如图2-3-17,可知=(3，2)，=(-2，4).图2-3-17 设OC =OA +OB ，则OC =OA +OB =(3，2)+(-2，4)=(1，6).由两点间距离公式，得|OC |=376122=+. 设相对x 轴正向的转角为α，则tan α=6，使用计算器计算得α=80°32′. 所以向量+的方向偏离x 轴正方向约为80°32′，长度等于37.知识点四 利用向量坐标解综合题例5 已知a =(6，-4)，b =(0，2)，c =a +λb ，若c 的终点在直线y=21x 上，求实数λ的值. 思路分析：此题是向量与直线结合的问题，关键是建立关于λ的等式关系.图2-3-18解：如图2-3-18所示，过A 作平行于y 轴的直线交直线y=21x 于C 点，则可求得C(6，3)，过C 点作直线OA 的平行线，交y 轴于D 点，则四边形AODC 为平行四边形，易求得|OD|=7，所以27||||=OB OD ，即λ=27. 巧解提示:设c =(x ，y)，由题设，可得(x ，y)=(6，-4)+λ(0，2)，即(x ，y)=(6，-4+2λ).∴⎩⎨⎧+-==.24,6λy x∵c 的终点在直线y=21x 上， ∴-4+2λ=21×6.解得λ=27. 例6 已知向量u =(x ，y)与向量v =(y ，2y-x)的对应关系用v =f(u )表示.(1)设a =(1，1)，b =(1，0)，求向量f(a )及f(b )的坐标；(2)证明对于任意向量a 、b 及常数m 、n 恒有f(m a +n b )=mf(a )+nf(b )成立；(3)求使f(c )=(p ，q)(p ，q 为常数)的向量c 的坐标.思路分析：为应用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而使问题解决. 解：(1)f(a )=(1，2×1-1)=(1，1)；f(b )=(0，2×0-1)=(0，-1).(2)设a =(a 1，a 2)，b =(b 1，b 2)，则m a +n b =(m a 1+n b 1，m a 2+n b 2)，∴f(m a +n b )=(ma 2+nb 2，2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1)，mf(a )+nf(b )=m(a 2，2a 2-a 1)+n(b 2，2b 2-b 1)=(ma 2+nb 2，2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1).∴f(m a +n b )=mf(a )+nf(b )成立.(3)设c =(x ，y)，则f(c )=(y ，2y-x)=(p ，q)，∴⎩⎨⎧=-=.2,q x y p y∴x=2p-q ，即向量c=(2p-q ，p).例7 已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，如图2-3-19所示.图2-3-19 求证：EF =21(AB +DC ). 思路分析：根据向量加法的三角形法则或坐标运算法则可以用不同方法证明.证明：建立直角坐标系，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4). 则=(x 2-x 1，y 2-y 1)，=(x 3-x 4，y 3-y 4)， ∴21(AB +)=(2,241324132y y y y x x x x --+--+). 又E(2,24141y y x x ++)，F(2,23232y y x x ++)， 则=(22,2241324132y y y y x x x x +-++-+)， ∴EF =21(AB +DC ). 巧解提示:∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，图2-3-20 ∴+=+=0. 又=++，=++，两式相加得2=+，即=21(+). 问题•探究材料信息探究材料：一个力可以分解为平面内任意两个方向上的力.如图2-3-21：图2-3-21拖拉机拉着耙，对耙的拉力是斜向上方的，我们可以说，这个力产生两个效果：使耙克服泥土的阻力前进，同时把耙向上提，使它不会插得太深.这两个效果相当于两个力分别产生的：一个水平的力F 1使耙前进，一个竖直向上的力F 2把耙上提，即力F 可以用两个力F 1和F 2来代替，即力F 被分解成两个力F 1和F 2.问题 能不能将上面的物理知识抽象为数学知识？这一数学知识有何作用？探究过程:由物理学知识可知力是矢量，它可以抽象为数学中的向量.因此物理学中力的分解可以抽象为数学中一个平面内的向量都可以分解为两个不共线的向量，即平面内任意一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的，其实质就是平面向量基本定理.这一定理是向量坐标表示的理论基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底化归，从而导致问题的解决. 探究结论:上面的物理知识可以抽象为数学中的平面向量基本定理，该定理是向量坐标化的理论基础，也是联系向量问题与几何问题的桥梁与纽带.方案设计探究问题 试探究用向量求76cos 74cos 72cosπππ++的值的方法. 探究过程:要求76cos 74cos 72cos πππ++可先求cos0+cos 72π+cos 74π+cos 76π+cos 78π +cos 710π+cos 712π的值，由于0、72π、74π、76π、78π、710π、712π这七个角每相邻两个角都相差72π，则可考虑在直角坐标系中构造一个边长为1的正七边形OABCDEF ，且使A 点的坐标为(1，0)，则由此可得出OA 、、BC BC 、CD 、、和FO 的坐标，再利用它们的和是零向量及零向量的横坐标、纵坐标都为零即可求解.探究结论:如图2-3-22所示，将边长为1的正七边形OABCDEF 放入直角坐标系中，则图2-3-22=(1，0)，=(cos 72π,sin 72π)，=(cos 74π,sin 74π)，=(cos 76π,sin 76π)，DE =(cos 78π,sin 78π)，EF =(cos 710π,sin 710π)，FO =(cos 712π,sin 712π). 由于++++++=0，则有cos0+cos72π+cos 74π+cos 76π+cos 78π+cos 710π+cos 712π=0. 又cos 78π=cos 76π，cos 710π=cos 74π，cos 712π=cos 72π，cos0=1， 所以有1+2(cos 72π+cos 74π+cos 76π)=0，即cos 72π+cos 74π+cos 76π=21-. 思想方法探究问题 在数学中，我们经常遇到一个点把一条线段分成两部分，如果已经知道了两个端点的坐标，那么怎样用两个端点的坐标来表示这个分点的坐标就成为我们关心的问题.向量是解决几何问题的有效工具，能否用向量分析这一问题？探究过程:在数学上，我们把分线段成两部分的点称为定比分点，假设点P 分有向线段的比为λ，即=λ，O 为平面上一定点，那么会有+λ=0，=λλ++1OB OA .事实上，因为=λ，所以+λ=0，于是有(-)+λ(-)=0,(1+λ) =+λ,所以=λλ++1OB OA . 如果在直角坐标系中，设O 为坐标原点，P(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有(x,y)=)1,1(1),(),(21212211λλλλλλ++++=++y y x x y x y x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x 探究结论:P 点的坐标为(λλλλ++++1,12121y y x x )，此公式就叫做线段的定比分点公式.它可以直接利用线段端点的坐标来表示分点的坐标，显得方便、快捷. 如下面的问题，已知O(0,0)和A(6,3)两点，若点P 在直线OA 上，且21=PA OP ，又P 是线段OB 的中点，利用公式就可以直接得到点B 的坐标.假设P(x,y)，由定比分点公式有22116210=+⨯+=x ,2113210+⨯+=y ，即P(2,1).又因为P 是线段OB 的中点，所以点B 的坐标(4,2).欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课堂达标新人教A版必修4
2.3.1 平面向量基本定理1.设e1，e2是同一平面内的两个向量，则有( )A.e1，e2一定平行B.e1，e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(μ，λ∈R)D.若e1，e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(μ，λ∈R)【解析】选D.只有e1，e2不共线，才可以作为一组基底，表示平面内的任意向量，故D正确.2.已知e1，e2不共线，则不可以作为一组基底的是( )A.e1+e2和e1-e2B.e1-2e2和6e2-3e1C.2e1-e2和e2D.e1-e2和2e1-e2【解析】选B.因为6e2-3e1=-3(e1-2e2)，所以e1-2e2与6e2-3e1共线，故e1-2e2和6e2-3e1不可以作为一组基底.由e1，e2不共线，可知A，C，D中三组向量均不共线，可以作为基底.3.已知向量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1，e2不共线，则a+b与c=6e1-2e2的关系为( )A.不共线B.共线C.相等D.无法确定【解析】选B.因为a+b=(e1-2e2)+(2e1+e2)=3e1-e2，所以c=6e1-2e2=2(a+b)，故a+b与c=6e1-2e2共线.4.已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，∠BAC=80°，则向量与向量的夹角为.【解析】由题意，∠BAD=40°，所以向量与向量的夹角为140°. 答案：140°5.设，不共线，P点在AB上.求证：=λ+μ，且λ+μ=1(λ，μ∈R).【证明】因为P点在AB上，所以，共线，所以=t(t∈R)，故=+=+t=+t(-)=(1-t)+t，令λ=1-t，μ=t ，则有=λ+μ，且λ+μ=1(λ，μ∈R).- 1 -。
平面向量基本定理(教案)
《2。
3。
1 平面向量基本定理》教案【教材】人教版数学必修4（A版）第105—106页【课时安排】1个课时【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹【教材分析】1.向量在数学中的地位向量是近代数学中重要的概念,它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具,因此具有很高的教育价值.2.本节在教学中的地位平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础;该“定理"以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间,是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础.因此本节知识在本章中起承上启下的作用。
3.本节在教学思维方面的培养价值平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。
它是用基本要素用基本要素(基底、元)表达事物(向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。
【目标分析】知识与技能1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表示为一组基底的线性组合;2.了解平面向量的基本定理,初步利用定理解决问题(如相交线交成线段比的问题等)。
过程与方法1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的转化思想。
情感态度价值观1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程；2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。
【学情分析】有利因素1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备;2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这为我们学习向量分解提供了认知准备.不利因素1.学生对向量加减法及数乘运算的意义与作用认识不够，可能增加向量用基底表示时的难度;2.对于向量加减法及数乘运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。
高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案新人教A版必修4(2021年整理)
（浙江专版）2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2．3。
1 平面向量基本定理预习课本P93～94,思考并完成以下问题（1）平面向量基本定理的内容是什么？（2)如何定义平面向量基底?(3)两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？错误!1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[12向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向［点睛］当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时,夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°。
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2.3.1 平面向量基本定理
1.知识与技能
(1)了解平面向量基本定理.
(2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实
际问题的重要思想方法.
(3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
2.过程与方法
通过对定理的探究,培养学生发现数学规律的思维方法和能力;通过对定理的证明和应用,培养学生分析问题、解决问题的能力,体会化归与转化和数形结合的思想方法.
3.情感、态度与价值观
通过对定理的学习和运用,体会数学的科学价值、应用价值.
重点:平面向量基本定理.
难点:平面向量基本定理的理解与应用.
1.在△ABC中,=a,=b,AD为BC边的中线,G为△ABC的重心,以a,b为一组基
底来表示向量=.
解析:∵D是BC的中点,G是重心,
∴)
=a+b,
即a+b.
答案:a+b
2.如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,点F在BC上,且BF=BC,以a,b为基底分解向量.
解:由题意得
==b+a,
=
=
=a-b.。