创新题的归类与赏析

创新题的归类与赏析
童嘉森;刘博
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2015(000)005
【总页数】3页(P1-3)
【作者】童嘉森;刘博
【作者单位】北京市第八十中学;北京市垂杨柳中学
【正文语种】中文
新课程标准中指出高中数学课程的一个目标是“发展数学应用意识和创新意识,力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断”,在这样理念的指导下,数学高考的创新问题也应运而生,而且在近几年各省市的高考中呈现上升趋势.
创新意识是理性思维的高层次表现.对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查.通过创新问题,考查考生对新颖的信息、情景设问,选择有效的方法和手段分析信息,综合与灵活地运用所学的数学知识、思想和方法,进行独立地思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题.在考试中常出现比较新颖的问题情景,这类问题往往有一定深度和广度.创新题主要可以分为以下几类.
在创新题中,定义型问题非常多,解决这类问题的关键主要在于如何读懂题目,将新旧知识相联系,剖开现象看本质.
例1(2013年福建理)设S、T是R的2个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足：①T={f(x)|x∈S};②对任意x1、x2∈S,当x1＜x2时,恒有f(x1)＜f(x2).那么称这2个集合“保序同构”,以下集合对不是“保序同构”的是( ).
反思本题的关键在于深刻理解函数的定义、单调增函数的定义,对基本初等函数也要非常熟悉,利用构造特殊函数的方法来解决问题.
①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;
③若数列{cn}满足c1=1,c2=1,cn=cn-1+cn-2(n≥3),则该数列不是比等差数列;
④若{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则数列{anbn}是比等差数列.
其中所有真命题的序号是( ).
A ①②;
B ②③;
C ③④;
D ①③
答案 D.
情景型题是指给出一个数学情景,通过阅读,读懂题意,进入情景,发现规律,解决问题. 例2(2014年江西理)如图1所示,在长方体A B C D-A1B1C1D1中,边A
B=11,AD=7,A A1=12,一质点从顶点A射向点E(4,3,12),遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将第i-1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i=2,3,4),L1=A E,将线段L1、L2、L3、L4竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是( ).
反思根据题意可知,题目中的所有反射光线共面.因此只要利用相似三角形的知识即可求解,关键在于弄清题目叙述的情景.
1)文字阅读型
例3 (2013年湖北文)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是_________寸.(注：a)平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;b)1尺=10寸)
该题目主要能够由题中的文字语言转化成数学语言,并画出相应正确的数学图形,即一个倒着放的圆台,如图3-甲所示,天池盆的半轴截面如图3-乙所示.
反思该问题实质是考查台体的体积公式,主要难点在于背景比较新,同学们要通过文字阅读,将文字信息转化为数学符号语言,因此提升数学阅读能力是十分重要的,要注
意数学建模的思想.
练习(2014年福建理)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)· (1+b)的展开式
1+a+b+a b表示出来,如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球,而“a b”则表示把红球和蓝球都取出来,以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法是( ).
方法1由题意知从5个无区别的红球中取出若干个球,可表示为1+a+a2+a3+a4+ a5;从5个无区别的蓝球中取出若干个球,所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法可表示为1+b5;从5个有区别的黑球中,取出若干个球,可表示为(1+
c)(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)=(1+c)5.故选A.
方法2本题有一个明显的缺口,即“所有的蓝球都取出或都不取出”,则其展开式中要么不含b,要么含b的5次方.满足条件的只有选项A.
2)符号阅读型
反思本题的关键是把符号语言转化成图形语言.从某种意义上讲,数学本身就是文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.
现代社会是信息化的社会,人们常常需要收集数据,根据所获得的数据提取有价值的信息,做出合理的决策.
例5 (2014年四川理)如图5所示,气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度B C约等于
______________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：s i n67°≈0.92,c o s67°≈0.39, s i n37°≈0.60,c o s37°≈0.80,≈1.73)方法1 用正弦定理解斜三角形A B C.如图6,由已知,∠A C B=30°,并且此时气球的高是46m,故A C=92 m,在△A B C中,由正弦定理得
方法2 解直角三角形.由已知可得
反思本小题以实际问题为背景,主要考查分析问题、解决问题和解三角形的计算能力.。