数学分析2.1数列的极限
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第2章 数列极限【圣才出品】
不能随便舍去。
（2）数列极限
设{xn}是一给定数列，a 是一个实常数。如果对于任意给定的 ε>0，可以找到正整数
N，使得当 n>N 时，成立
|xn－a| < ε，
则称数列{xn}收敛于 a（或 a 是数列{xn}的极限），记为
有时也记为
如果不存在实数 a，使{xn}收敛于 a，则称数列{xn}发散。 注：在上述的收敛定义中，ε 既是任意的，又是给定的： ①只有当 ε 确定时，才能找到相应的正整数 N。这时 ε 是给定的； ②改变数列前面的有限项，不影响数列的收敛性。这时 ε 是任意的； （3）无穷小量 在收敛的数列中，称极限为 0 的数列为无穷小量。无穷小量是一个变量，而不是一个
（1）定义
，则{xnyn}与 都是无穷大量。
如∞±∞，（+∞）-（+∞），（+∞）+（-∞），0·∞，
等极限，其结果可以是无穷
小量，或非零极限，或无穷大量，也可以没有极限。我们称这种类型的极限为待定型。
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（2）如果数列{xn}满足 xnxn+1，n=1，2，3，…，则称{xn}为单调增加数列；若进一
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max S 是这有限个数中的最大数，min S 是这有限个数中的最小数；
②当 S 是无限集时，最大数及最小数不一定存在。
3．上确界与下确界
（1）上界、下界与有界集
设 S 是一个非空数集，如果 M∈R，使得 x ∈S ，都有 x≤M，则称 M 是 S 的一个
但它并不收敛。
§2.1数列极限
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
8
《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
引例②截丈问题
战国时代哲学家庄周著的《庄子· 天下 篇》引用过一句话：
一尺之棰 日取其半 万世不竭. 1 第一天截下后的杖长为 X1 ; 2 1 第二天截下后的杖长为 X2 2 ; 2
1 第n天 截 下 后 的 杖 长 为 Xn n ; 2 1 0 Xn n
2
……
9
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
两个引例共同点是出现了无限接近思想，这正是 极限概念的原始面貌. 极限概念是由于求某些问题的 精确答案而产生的, 割圆术和杖棰问题使用的都是极 限的方法. 第一个是把一个固定不变的量看作是一系 列变化着的多边形面积的趋向，从而确定出面积的 大小. 第二个是杖棰剩余问题，看作一系列变化着的 剩余趋向于一个确定量的问题. 无论是内接正多边形的面积 ，还是杖棰的剩余长 度，都可以看作是关于 n 的一个数列{ an }，而这个数 列中的项随着 n 增加产生一个什么样的变化过程则是 人们最关心的，极限就是讨论这一类问题的数学模型.
16
《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
(4) 对 0, 2 , , 2 , M ( M正常数 )等, 虽与 在 形式上有差异 ， 但在本质上都与 起着同样的作用 .
lim a n a 0, N N , 当n N时, 有 a n a M .
2017年11月29日星期三
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《数学分析》(1)
§2.1 数列极限概念
下面给出数列极限严格的数学定义. ( N定义)
高中数学中的数列极限求解知识点总结
高中数学中的数列极限求解知识点总结数列极限是高中数学中的重要内容，它是数学分析的基础，也是数学发展的重要方向之一。
掌握数列极限的求解方法和相关知识点，对于高中生提高数学学习水平具有重要的意义。
下面将对高中数学中的数列极限求解知识点进行总结与归纳。
一、数列极限的概念及性质数列极限指的是当数列中的项数趋于无穷大时，数列中的项的极限值。
数列极限的概念基于数列的收敛性，即当数列趋于某个确定的值时，其极限存在。
1.1 数列极限的定义数列{an}的极限为a，记作lim(n→∞) an = a，当且仅当对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，对应的数列项an 与极限a之间的差值小于ε，即|an - a| < ε。
1.2 数列极限的性质（1）唯一性：如果数列的极限存在，则极限值唯一。
（2）有界性：如果数列的极限存在，则数列必定有界。
（3）保序性：如果数列{an}的极限为a，且数列{bn}的极限为b，则当n足够大时，对于数列中的任意项an与bn，都有an ≤ bn。
二、常见数列极限求解方法2.1 基本数列的极限（1）常数数列的极限：对于常数数列{an} = a，其中a为常数，则该常数数列的极限为a，即lim(n→∞)a = a。
（2）等差数列的极限：对于等差数列{an} = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，则当公差d≠0时，该等差数列的极限为±∞（取决于公差d的正负性），若公差d=0，则该等差数列的极限为a1。
2.2 数列极限的四则运算法则（1）加减法则：如果数列{an}的极限为a，数列{bn}的极限为b，则数列{an ± bn}的极限为a ± b。
（2）乘法法则：如果数列{an}的极限为a，数列{bn}的极限为b，则数列{an × bn}的极限为a × b。
（3）除法法则：如果数列{an}的极限为a，数列{bn}的极限为b且b≠0，则数列{an ÷ bn}的极限为a ÷ b。
数学分析 第二版 上下册 课后答案 陈纪修
7
但在[ 0, 1 ] 的任一子区间上都不是单调函数。
解
f
(
x)
=
⎧x
⎨ ⎩1
−
x
x为有理数 。
x为无理数
8
第二章 数列极限
习 题 2.1 实数系的连续性
1. (1) 证明 6 不是有理数；
(2) 3 + 2 是不是有理数? 证（1）反证法。若 6 是有理数，则可写成既约分数 6 = m 。由 m2 = 6n2 ，
3
习 题 1.2 映射与函数
1. 设 S = {α , β ,γ }, T = {a,b,c} ，问有多少种可能的映射 f ：S → T ? 其中
哪些是双射?
解 有 33 = 27 种可能的映射，其中有 3!= 6 种是双射，它们是
⎧α a
⎧α a
⎧α b
⎧α b
⎧α c
⎧α c
f : ⎪⎨β b ， f : ⎪⎨β c ， f : ⎪⎨β c ， f : ⎪⎨β a ， f : ⎪⎨β a ， f : ⎪⎨β b 。
(3) f (x) = sin2 x + cos2 x , g(x) = 1。
解 （1）函数 f 和 g 不等同；
5
（2）函数 f 和 g 不等同；
（3）函数 f 和 g 等同。
7. (1) 设 f (x + 3) = 2x3 − 3x2 + 5x − 1,求 f (x) ；
(2)
设
f
⎜⎛ ⎝
x
x −
(4)
y = f (u) =
u
,u
=
g(x)
=
x x
−1。
+1
( ) ( ) 解（1） y = loga (x2 − 3) ，定义域： − ∞,− 3 ∪ 3,+∞ ，值域： (−∞,+∞) ；
§2.1 数列极限的概念与性质
\\ 2.1.2 数列极限的算术定义 数列极限与数值级数 映射与函数
例２ 用数列极限定义验证 分析 对于任意给定的正数
， 要使
只需 证 对于任意给定的正数 当 时，恒有 存在正整数 ， ，则
因此，由定义知
．
\\ 2.1.2 数列极限的算术定义 数列极限与数值级数 映射与函数
N 极限“
”定义简洁形式： 当 时，恒有
祖冲之 公元429-500
第二章 数列极限与数值级数
极限的定义 基本性质 收敛性判定 收敛与发散的定义 基本性质 收敛性判定
数列极限
数值级数
数列极限与数值级数 映射与函数
§2.1 数列极限的概念与性质
2.1.1 数列极限的直观描述 2.1.2 数列极限算术定义 2.1.3 数列极限的几何解释 2.1.4 数列极限的基本性质 内容小结与作业
an
.
.
. . . . . . . .. ..... . .... .... .... . ..
n
.
O
上图说明对任意给定的两平行线 一定可以找到正整数 ，对于 均落在这两条平行线之间．
与 的所有点
，
数列极限与数值级数 映射与函数
重点回顾
§2.1 数列极限的概念与性质
数列极限算术定义 数列极限的基本性质
n Sin n n Sin n
1 2 3 4 0.8415 0.9093 0.1411 0.7568 6 7 8 9 0.2794 0.6570 0.9894 0.4121
5 0.9589 10 0.5440
\\ 2.1.1 数列极限的直观描述 数列极限与数值级数 映射与函数
几何法：
方法一：将数列 的项所对应数值表示在数轴上
数学分析课后习题答案2.1
所以,任给 ε > 0 ,取 N = max{2, [ ] + 1} ,则当 n > N 时有
1
ε
3n 2 + n 3 3n 2 + n 3 , 故 lim = − < ε n →∞ 2n 2 − 1 2 2n 2 − 1 2
(3) 因为
n! 1 2 3 n 1 1 − 0 = ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ ≤ , 从而对任给的 ε > 0 , 取 N = [ ] + 1 , 则当 n > N n n n n n n ε n
(3) 对给定的 ε 是否只能找到一个 N ? 解: (1)当 ε 1 = 0.1 时,要使 a n − 0 =
1 + (−1) n 2 ≤ < 0.1 ,只要取 N 1 = 20 ; n n
当 ε 2 = 0.01 , ε 3 = 0.001 时, 只要取 N 2 = 200 , N 3 = 2000 即可.
1
所以任给 ε > 0 ,可取 N = [ ] + 1 ,则当 n > N 时有
ε
1+ 2 +3+ n 1 ≤ <ε n n3
故 lim
n →∞
1+ 2 +3+ n =0. n3
(3)由 {a n } 的定义知: 当 n 为奇数时,有 a n − 1 =
n2 + n −1 = n
n2 + n − n = n
n →∞ n →∞
证明:若 lim a n = a ,则由定义知: 任给 ε > 0 ,存在 N ,则当 n > N 时有 a n − a < ε
n →∞
于是当 n > N 时, n + k > n > N ,所以 a n + k − a < ε , 故 lim a n + k = a .
江苏大数学分析-2-1-数列极限的概念
或说数列{xn}是发散的,
数列收敛的
几何意义1:
a
习惯上也说 lim n
2 a
xn
不存在.
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
数列收敛的几何意义2:
当 n N时，所有 xn 都 a
A123
.
显然n越大, An越接近于S.
因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为 X 2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
1 2
1 22
1 2n
n
n
问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它？
答：可以用 xn 和 1 的距离任意小来刻划.
xn
1
(1)n1
xn 1
xn
1
1 n
O
102 103 104
105 106 107
108 109 1010 1011 n
xn
目标不惟一！！！！！！！！！！！！
xn (1)n
1
●
●
数学分析 2-1数列极限的概念
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三、数列极限的定义
先观察几个数列：
xn
1
1
an
1 n
O
102 103 104
105 106 107
108
109 1010 1011
n
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xn
1
2
an
1
1 n
O
102 103 104
105 106 107
n 108 109 1010 1011
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xn
3 an n
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（一）极限的直观定义 结论： 当 n “无限增大”时 ,数列的变化趋势有三种情形：
1、an“无限增大”；
2、an“变化Байду номын сангаас势不定”；
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观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
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观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
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观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
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观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
他计算到正3072 6 29边形，得：
3927 3.1416
1250
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Archimedes' calculation of
In the third century B.C., Archimedes calculated the value of pi to an accuracy of one accuracy of one part in a thousand. His technique was based on inscribing and circumscribing polygons in a circle, and is very much akin to the method of lower and upper sums used to define the Riemann integral. His approach is presented in the following sequence of slides.
数学分析——上下极限经典讲义
37第二章 极限论§2.1 上极限与下极限设{}n x 是有界数列,E 是{}n x 的聚点之集, 由Weierstrass 定理可知E ≠Φ, 且对任意∈a E , 有{}n x inf ≤a ≤{}n x sup , 这表明E 是有界集合。
定义1. α＝sup E , β＝inf E 分别称为数列{}n x 的上极限、下极限，记作 α＝_____lim ∞→n n x , β＝∞→n lim n x由定义可得定理1. 对任意有界数列{}n x , 有 ∞→n lim n x ≤_____lim ∞→n n x定理2. 设α,β是有界数列{}n x 的上、下极限，则α,β是{}n x 的聚点。
证明：设E 是{}n x 的聚点之集, 只需证对任意ε＞0,存在无穷多个n x , 满足|n x －α|＜ε. 事实上, α＝sup E , 对任意ε＞0, 存在α0∈E , 满足α－2ε＜α0≤α＜α＋2ε,对于α0∈E 以及如上的ε＞0, 存在无穷多个n x 满足 α0－2ε＜n x ＜α0＋2ε从而存在无穷多个n x 满足 α－ε＜n x ＜α＋ε, 这表明α是{}n x 的聚点。
同理可证β是{}n x 的聚点。
证毕。
定理3. α是有界数列{}n x 的上极限, 充分必要条件是对任意ε＞0, 有:(1) 存在自然数N, 当n ≥N 时,n x ＜α＋ε;38(2) 对任意自然数k , 存在k n k ≥, 使k n x ＞α－ε.证明: 设E 是有界数列{}n x 的聚点之集, 由定理2, 若α是{}n x 的上极限, 则α∈E⇐：由条件可知，α是{}n x 的聚点, 即α∈E , 若α＜sup E ＝α',则对0ε＝α'－α＞0, 由(1)存在自然数N, 当n ≥N 时,n x ＜α＋0ε＝α'＋α另一方面, 由于α'E ∈, 对如上的自然数N, 存在≥N n N, 使 N n x ＞α'－0ε＝α'＋α 引出矛盾, 因此必有 α＝α'＝sup E .⇒：由定理2, α是{}n x 的聚点, 因而(2)成立。
数列极限概念的引入1数列的概念若数列的定义域为全体正...
极限
§２.１. 数列极限 一、数列极限概念的引入 1．数列的概念 若数列 f 的定义域为全体正整数集合 N+ ，则称
f :Z+ → R
或 f ( n), n ∈ N +
为数列。因为正整数集可以由小到大排列，故数列 f ( n ) 也可以写作
a1 , a 2 , ⋯, a n ,⋯
简记为 {a n } ，其中 a n 称为该数列的通项。 注:(1) 根据函数的记号，数列也可记为 f ( n), n ∈ N + ； (2) 记 f ( n) = an ，则数列 { f ( n)} 就可写作为： a1 , a2 ,⋯ , an ,⋯ ，简记为 {an } , 即 { f (n) | n ∈ N+ } = {an } . 2．极限概念引入 极限概念，是数学分析中最重要、最基础的概念，在后面要讲的连续、微分、 积分等等中都要用到极限概念．极限方法是从已知认识未知，从有限认识无限， 从近似认识精确的一种数学方法．这种方法，早在我国古代就被采用了． 例如 战国时代哲学家庄周所著的《庄子。天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取 其半，万世不竭。”也就是说一根一尺长的木棒，每天截去一半，这样的过程可 以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列,如图所示
1 以后的所有项： 10
n
18
−
1 1 1 , , − , ... 11 12 13
n
都能满足这个不等式。 对
1 ( −1) − 0 = 1 < 1 ，只须 ，能够做到 n > 102 即可，即数列(1)的第 102 项 2 2 n n 10 10
1 以后的所有项： 102 − 1 1 1 , , − , ... 101 102 103
数学分析数列极限分析解析
第二章 数列极限§1 数列极限概念教学目的与要求：使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。
教学重点，难点：数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。
教学内容： 一、课题引入1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。
2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，日取其半，万古不竭。
”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21，…… 或简记作数列：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21分析：1°、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0；2二、数列极限定义1°将上述实例一般化可得：对数列{}na ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。
例如：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1， a=0；⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(3， a=3; {}2n ， a 不存在，数列不收敛；{}n)1(-， a 不存在，数列不收敛；2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n )1(()3以3为极限，对ε=1013)1(3--+=-na a nn =1011n只需取N=10，即可3°“抽象化”得“数列极限”的定义定义：设{}na 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有aa n -＜ε则称数列{}na 收敛于a ，a 为它的极限。
记作a a n n =∞→lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明（1）若数列{}na 没有极限，则称该数列为发散数列。
复旦大学数学系陈纪修《数学分析》(第二版)习题答案ex2-1,2
第二章 数列极限习 题 2.1 实数系的连续性1. (1) 证明6不是有理数；(2) 3+2是不是有理数?证（1）反证法。
若6是有理数，则可写成既约分数nm=6。
由，可知是偶数，设，于是有，从而得到是偶数，这与226n m =m k m 2=2223k n =n nm是既约分数矛盾。
（2）3+2不是有理数。
若3+2是有理数，则可写成既约分数32+n m=，于是222623nm =++，252622−=n m ，即6是有理数，与（1）的结论矛盾。
2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： ； A x x =≥{|}0 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=320|sin πx x B ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈=+m n n m m n C 并且N ,。
解 ；因为，有0min =A A x ∈∀A x ∈+1，x x >+1，所以不存在。
A max 12sin max ==πB ；因为B x ∈∀，⎦⎤⎜⎝⎛∈∃2,0πα，使得αsin =x ，于是有B ∈2sinα，x <2sinα，所以B min 不存在。
C max 与都不存在，因为C min C m n ∈∀，有C m n ∈+1，C m n ∈++11， 111++<<+m n m n m n ，所以与都不存在。
C max C min 3. A B ,是两个有界集，证明： (1) 是有界集；A B ∪(2) 也是有界集。
S x y x A y B =+∈∈{|,}证 （1）设A x ∈∀，有1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则B A x ∪∈∀，有{}21,max M M x ≤。
（2）设，有A x ∈∀1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则S x ∈∀，有21M M x +≤。
4. 设数集S 有上界，则数集T x x S =−∈{|}有下界，且sup S =T inf −。
证 设数集S 的上确界为，则对任意S sup ∈x T x x S =−∈{|}，有，即；同时对任意S x sup ≤−S x sup −≥0>ε，存在S y ∈，使得ε−>S y sup ，于是，且T y ∈−ε+−<−S y sup 。
数学分析课件2.1数列的极限和无穷大量2.51MB
已知n b 1,由（ ）得证。 x 1 lim
n
c.
lim （3）当a 1时, 对n, n a 1, 故 n n a 1（a 1 . ）
一般地，xn c有
【数学分析课件】 15
例 4.
lim
n
n
n 1.
证明: 令n n 1 hn , 则n n 1 hn , 即
1 1 由不等式有 ，故只须 n 即可。 n
即对 0, 自然数 [ ] ，当 n [ ]时，便有
( 1) n 1 1 1 . n
1
1
定义：
若对 0, 总N [ ]， 当n N时， 有
1
( 1) n 1 1 1 . n
1 ( 1) n 1 1 . 1 , 只须 n 1000000 对 , 要 使1 n 1000000 1000000
……
【数学分析课件】 5
以上还不能说明 竟它们都还是确定的数。
对
( 1) n 1 1 1 n
任意小，并保持任意小，毕
( 1) n 1 1 才 行. 0, 要 使 1 n
2
一、数列极限的定义
1.数列: 是按次序排列的一列无穷多个数
x 1 , x 2 ,L , x n ,L
数列是定义在自然数集N上的函数。即以N为定义域由小 到大取值所对应的一列函数值。 对
n N
，设
f (n) xn
，则
自变量： 1,2, L,2006 L, n, L ,
x 函数值： 1 ,
x2 , L, x2006 , L, xn , L
1 n
or
a 1 ,
1 n
高等数学(数学分析)
第一章函数、极限、连续一、极限1.1数列极限的定义：∀ε>0，存在自然数N，使得当n＞N时，就有|x n−a|<ε，那么称数列{x n}收敛于a，记为limn→∞x n=a.称a为此数列的极限；极限不存在的数列称为发散数列.1.2函数极限的定义：设f(x)在a的某个去心领域有定义，A是一个实数。
如果对任一个ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x−a|<δ时，就有|f(x)−A|<ε，那么称f(x)在a处有极限A，记为limx→af(x)=A或f(x)→A(x→a).海涅定理：limx→af(x)=A的充分必要条件是，对任一满足x n→a(∀n,x n≠a)的数列，均有f(x n)→A.定理：limx→af(x)≠A成立的充分必要条件是，存在一个常数ε0>0，使得在a的任何去心邻域，都可以找到一点，满足|f(x)−A|≫ε0.1.3极限的性质及运算定理：如果f(x)在λ处极限存在，则f(x)比在λ的某去心邻域上有界。
定理：函数的极限若存在，则必唯一。
定理：若limx→λf(x)=A，limx→λf(x)=B，且A>B，则存在λ的某个去心邻域N̂λ(δ)，使得在N̂λ(δ)上，f(x)>g(x)成立。
（反之，也成立。
）定理（夹逼准则）：若f(x)≪ℎ(x)≪g(x)在λ的某个去心邻域上成立，且limx→λf(x)=limx→λg(x)=A，则limx→λℎ(x)=A。
注:（1） limx→af(x)=∞(±∞),函数f(x)为无穷大量；limx→af(x)=0，函数f(x)为无穷小量.（2）若函数极限存在，则函数的极限运算符合四则运算法则。
（3）limx→a f(x)=∞(±∞)，则limx→a1f(x)=0；lim x→af (x )=0，limx→a 1f (x )=∞(±∞).（4）若f (x )在λ的某个去心邻域上有界，g (x )当x →λ时为无穷小量，则f(x)g (x )当x →λ时也为无穷小量。
2-1数列极限的概念
分析 任给 0, 由
n 1 n7 , 2 2 3n n 7 3 3 （3n n 7 ）
2
当 n 7 时, n 7 2n, 3n2 n 7 3n2 2n 2n 2 ,
故要使
n7 2n 1 2 成立, 2 3n （ 3 3n n 7） 6n
n
a 1 , 当 n N 时, 故对于任意正数 , 取 N
n
a 1 . 因此证得 lim n a 1 .
n
这里放大时用到了伯努利不等式. 前页 后页 返回
1 (3)当 0 < a < 1, 令b 1, 由(2)知 lim n b 1. n a
a1 , a2 ,
, an ,
,
a2
..
. .
a1
2
an
an1
.
或简记为 {an}. 这里 an
称为数列 {an} 的通项.
O
1
n 1
n
前页 后页 返回
例如：
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
an ( 1) n1
1 4 n ( 1) 2, , ,, 2 3 n
是通过的相对固定性来实现的， 一旦给出, 在接下 来计算 N 的过程中，它暂时看作是确定不变的. 此外，又因 是任意正数, 所以 2 , ,
2
2
,
等
前页 后页 返回
均可看作任意正数, 故定义 1 中的不等式 | an a |
可以用 | an a | K ( K 为某一正常数 ) 来代替.
前页 后页 返回
1 1 , 2, 2 2
1 , n, 2
第二章 数列极限
几何解释:
a
x2 x1 x N 1
2
a
x N 2 x3
a
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
an a 只须证明 注意3： 证明极限 lim n
n
a 1 n 取N , 则当 n N 时 , 有 a 1 .
故
n
lim
n
a 1
(其中a 1).
1 1 n (3) 设 0 < a < 1, 则 1, 由(2)知 lim 1. n a a
即 >0, N, 当n>N时, 有
3n 2 3 由定义 lim 2 n n 4
适当予先限定n＞n0是允许的！但最后取N时要保证n＞n0
例5 证明 lim q n 0, 其中 q 1.
n
n 则 lim q lim 0 0; 若 q 0 , 任给 0 , 证 n n
若0 q 1,
n
例如
nn 1 n 1 n 1 1 1 n n ( ( 1 ) 1 ) lim lim lim 1 lim n n 00 lim lim 1 1 n n 1 n n 1 n n 22 n n nn
小结 (1), 数列极限的定义; (2), 数列极限的几何意义; (3), 应用数列极限的定义证明数列极限的方法.
作业
P27: 1, 2, 3, 5.
0, N N , n N
有
an a
“ 0 ”是证题者给出的，给出 之后，要找
梅加强版数学分析2.1习题答案
∃A
>
a
>
1, n
>
N1,
an+1 an
> a,
an
=
aN1
·
aaN1 +1 aaN1
·····
an an−1
>
aN1
· an−N1
→
∞.
3. 设 lim an = +∞, 则
n→∞
lim
n→∞
1 n
(a1
+
a2
+
·
·
·
+
an)
=
+∞;
4. 设 lim an = +∞, an > 0, 则
n→∞
n→∞
n→∞
an − bn ≤ A − bn ≤ bn − bn,
lim (an − bn) = lim (− (bn − an)) = 0,
n→∞
n→∞
lim
n→∞
(A
−
bn)
=
0,
lim
n→∞
bn
=
A.
2
方法 2. 当 n > N, 有
lim
n→∞
(bn
−
an)
=
0, ∀ε
>
0, ∃N
>
0,
|bn − an| < ε,
····
·
(n −
1) (n + 1) n2
=
lim
n→∞
n+1 2n
=
1 .
2
lim
n→∞
1 n2
(1
+
数学分析(第二版)上册第二章第二节《数列极限概念》课件
1，
一般地，任给 0 ，想要 1 -0 ， n
只要n
N
:
1
1，就有
1 n
0
.
1 0n
n
几何直观：当n无限增大时，1 无限接近0. n
一般地，任给 0 ，想要 1 -0 ， n
只要n
N
:
1
1，就有
1 n
0
.
把
1 n
抽象为an
,
把 0 抽象 a.
K.T.W. Weierstrass 德, 1815-1897
23
n
1 an n
0 (n )
收
敛
an
1
(1)n1 n
1 n
(3) 2 , 4 , 8 ,
, 2n ,
an 2n (n )发Βιβλιοθήκη an (1)n1散
趋势不定
数列极限的直观定义
定性描述: 一般地，当 n 无限增大时，若 an 无
限接近某常数
a
，则称
a
为
{an
}
的极限(Limit). I.Newton,
n
天剩下的长度
1 2n
1
1
1
1
2
22
23
24
……
1 2n
引例2.抛物线弓形面积问题.
元前287-212《阿基米德方法》：
弓形面积为与其同底等高三角形面积的 4 倍. 3
逐次作出与弓形同底等高的三角形，再累加三角形面积.
穷竭法:
S弓形
4 3
A.
记 Sn 为第 n 次累加面积值,
A
当 n 越来越大时，
几点说明
注：1.正数 以小为贵。取之前有任意性，取后有（暂时）确定性.
极限的概念2-1
由定义
3n 2 lim 2 3 n n 4
适当予先限定 n＞N。是允许的！但最后取 N 时要保证n＞N。
例3
设xn C (C为常数), 证明 lim xn C .
n
证
0,
对于一切自然数n ,
xn C C C 0
例 4. lim n a 1(a 0) 7
n
证明：分三种情况证明.
(1)当a 1 , 则n a 1.对 0,由 时
n
a 1 a 1 or
1 n
a 1 ,
1 n
ln a 1 . 即 ln a ln(1 ), 解 得n ln( ) 1 n
3. 几何解释
n
lim xn a
0, N 0, 使 n N时，
恒有
xn a
在 (a , a ) 外 至多只有有限项： x1 , x2 , ... , x N .
a xxn aa n
xn U ( )a ) (a a , ,
ln 只要 n ln q
即 n ln q ln ,
（ln q 0),
ln 取N [ ], 则当n N时, 就有 ln q
n
qn 0 ,
lim q n 0.
n ( 1)n , 证明数列 xn 的极限为1. 例5 已知 xn n n ( 1)n 1 证 xn 1 n 1 只要 n ε 0 , 要使 即 ε 1 因此 , 取 N [ ] , 则当 n N 时, 就有 ε n ( 1)n N是正整数, 1 ε n 所以要取整 n ( 1)n 故 lim xn lim 1. n n n
数学分析目录
第一章集合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射与实函数3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及应用7．1微分中值定理7．2Taylor展开式及应用7．3LHospital法则及应用第八章导数的应用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类R［a，b］9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分与广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的应用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理应用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1Cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4Abel-Dirichlet 判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的Abel-Dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章Fourier级数15．1Fourier级数15．2Fourier级数的收敛性15．3Fourier级数的性质15．4用分项式逼近连续函数第十六章Euclid空间上的点集拓扑16．1Euclid空间上点集拓扑的基本概念16．2Euclid空间上点集拓扑的基本定理第十七章Euclid空间上映射的极限和连续17．1多元函数的极限和连续17．2Euclid空间上的映射17．3连续映射第十八章偏导数18．1偏导数和全微分18．2链式法则第十九章隐函数存在定理和隐函数求导法19．1隐函数的求导法19．2隐函数存在定理第二十章偏导数的应用20．1偏导数在几何上的应用20．2方向导数和梯度20．3Taylor公式20．4极值20．5Logrange乘子法20．6向量值函数的全导数第二十一章重积分21．1矩形上的二重积分21．2有界集上的二重积分21．3二重积分的变量代换及曲面的面积21．4三重积分、n重积分的例子第二十二章广义重积分22．1无界集上的广义重积分22．2无界函数的重积分第二十三章曲线积分23．1第一类曲线积分23．2第二类曲线积分23．3Green公式23．4Green定理第二十四章曲面积分24．1第一类曲面积分24．2第二类曲面积分24．3Gauss公式24．4Stokes公式24．5场论初步第二十五章含参变量的积分25．1含参变量的常义积分25，2含参变量的广义积分25．3B函数和函数第二十六章Lebesgue积分26．1可测函数26．2若干预备定理26．3Lebesgue积分26．4（L）积分存在的充分必要条件26．5三大极限定理26．6可测集及其测度26．7Fubini定理练习及习题解答复旦大学数学系的数学分析教材从20世纪60年代起出版了几种版本，随着改革开放和对外交流的发展，现代数学观点和方法融入数学分析教材是必然的趋势。
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第二章数列极限1 数列极限概念若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称f:N+→R或f(n)，n∈N+为数列，可写作a1,a2,…,a n,…，或简单地记为{a n}，其中a n称为该数列的通项.例1：《庄子·天下篇》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，无限循环，可把每天截下部分的长度记为数列：(单位尺)：，，…，，…或{}.定义1：(数列极限的ε-N定义)设{a n}为数列，a为定数. 若对任给的正数ε，总存在正整数N，使n>N(或n≥N)时有|a n -a|<ε(或|a n -a|≤ε)，则称数列{a n}收敛于a，定数a称为数列{a n}的极限，记作=a，或a n→a(n→∞)，读作“当n趋于无穷大时，a n的极限等于a或a n趋于a”.若数列{a n}没有极限，则称{a n}不收敛，或称{a n}为发散数列.例2：证明：当a>0时，=0.证：对任给的ε>0，要使ε=ε，只要取N=ε，则当n>N时，便有ε，即ε. ∴=0.例3：证明=3.证1：∵(n≥3)；∴任给ε>0，要使εε，只要取N=max{3,ε}，则当n>N时，有ε. ∴=3.证2：∵ (n≥3)；∴任给ε>0，要使ε，ε}，则当n>N时，有ε. ∴=3.只要取N=max{3,ε例4：证明=0，这里|q|<1.证：若q=0，结论成立. 当0<|q|<1时方法1：任给ε>0，要使εε，只要取N=[ε(或N≥ε)，则当n>N时，有ε. ∴=0.方法2：记h=，则；由(1+h)n≥1+nh可得：. 要使ε，ε，则当n>N时，有ε，∴=0.只要取N≥ε例5：证明=1，其中a>0.证：当a=1时，结论成立。
方法1：当a>1时，任给ε>0，要使εε，，∵ε，∴只要取Nε则当n>N时，有ε.当0<a<1时，任给ε>0，要使εε，∵ε，∴只要取N，ε则当n>N时，有ε. ∴=1.方法2：当a>1时，记h=，则h>0，由a=(1+h)n≥1+nh=1+n()，可得≤，，任给ε>0，要使εε只要取Nε，则当n>N时，有ε.当0<a<1时，记h=，则0<h<1，由a=(1-h)n≤，可得≤，任给ε>0，要使εε，只要取Nε，则当n>N时，有ε.∴=1.注意：1、正数ε具有任意性，ε愈小表示通项an与定数a更接近，ε可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度。
所以可以“不妨设ε小于某正数”，不能“不妨设ε大于某正数”。
2、N具有相应性，一般地，它随着ε的变小而变大，所以常把N写作N(ε). 当N的值确定之后，比它更大的N都成立，所以它没有唯一性。
3、所有下标大于N的项a n都落在邻域U(a;ε)内；而U(a;ε)之外至多只有N 个(有限个)项。
反之，任给ε>0，若在U(a;ε)之外的项只有有限个，设其中最大的下标为N，则当n>N时，有a n∈U(a;ε)，即当n>N时，有|a n-a|<ε.定义1’：任给ε>0，若在U(a;ε)之外数列{a n}中的项至多只有有限个，则称数列{a n}收敛于极限a.反之，若存在ε>0，使数列{a n}中有无穷多个项落在U(a;ε0)之外，则{a n}不以a 为极限。
例6：证明{n2}和{(-1)n}都是发散数列。
证：对任何a∈R，取ε=1，则数列{n2}中所有满足n>a+1的项(有无限个)显然都落在U(a;ε0)之外，∴{n2}不以任何数a为极限，即{n2}是发散数列。
当a=1时，取ε0=1，则U(a;ε)之外有{(-1)n }中的所有奇数项；当a≠1时，取ε=，则在U(a;ε0)之外有{(-1)n }中的所有偶数项。
∴{(-1)n}不以任何数a为极限，即{(-1)n}是发散数列。
例7：设，作数列{z n}：x1,y1,x2,y2…,x n,y n,…; 证明证：∵，∴任给ε>0，在U(a;ε)之外{}中的项至多只有N1个；同理，对任给ε>0，在U(a;ε)之外{}中的项至多只有N2个；∴在U(a;ε)之外{z n}中的项至多只有N1+ N2个. ∴例8：设{a n}为给定的数列，{b n}为对{a n}增加、减少或改变有限项后得到的数列. 证明：数列{b n}与{a n}同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。
证：当{a n}发散时，对任何a∈R，有ε0>0，使U(a;ε0)之外{a n}中的项有无穷个. 对{a n}增加、减少或改变有限项后得到的数列{b n}仍有无穷个项在U(a;ε0)之外，∴{b n}与{a n}同时发散。
当{a n}收敛时，设，对任何ε>0，在U(a;ε)之外{a n}中的项有有限个. 对{a n}增加、减少或改变有限项后得到的数列{b n}仍有有限个项在U(a;ε)之外，∴{b n}与{a n}同时收敛，且两者的极限相等。
定义2：若，则称{a n}为无穷小数列.定理2.1：数列{a n}收敛于a的充要条件是：{a n -a}为无穷小数列.习题1、设，n=1,2,…，a=0(1)对下列ε分别求出极限定义中相应的N：ε1=0.1，ε2=0.01，ε3=0.001；(2)对ε1，ε2，ε3可找到相应的N，这是否证明了a n趋于0？应该怎样做才对？(3)对给定的ε是否只能找到一个N？解：(1)当ε1=0.1时，要使||=≤<0.1；只要取N1=20.同理，当ε2=0.01时，取N2=200; 当ε3=0.001时，取N3=2000.(2)ε1，ε2，ε3可找到相应的N，不能证明a n趋于0. 因为ε具有任意性。
正确的做法是：对∀ε>0，都能找到相应的N.即由|a n-0|≤<ε=ε，求得：N=[ε]+1或Nε，才能证明a n趋于0.(3)对任意给定的ε>0，只要能找到一个合适的N0，则一切大于N0的正整数都可作为定义中的N，所以有无穷多个N.2、按ε-N定义证明：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)(a>1)证：(1)∀ε>0，要使||=<<ε=ε，只要取N=ε]+1，则当n>N时，||<ε，∴.(2)∀ε>0，要使||=<<ε=εε，只要取N=εε+1，则当n>N时，||<ε，∴.(3)∀ε>0，要使||=<<ε=ε，只要取N=ε]+1，则当n>N时，||<ε，∴.(4)∀ε>0，要使|sin|=sin<ε=ε，只要取N=ε]+1，则当n>N时，|sin|<ε，∴.(5)∵a>1，设a=1+h(h>0)，则a n=(1+h) n=1+nh++…+>.∀ε>0，要使||=<ε=εε，只要取N≥εε，则当n>N时，有||ε.∴.3、求下列极限，并指出哪些是无穷小数列.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).解：(1)当a>0时，=0. ∴=0.(2)当a>0时，=1，∴=1.(3)当a>0时，=0. ∴=0.(4)当|q|<1时，=0，∴=0.(5)当|q|<1时，=0，∴=0.(6) 当a>0时，=1，∴(7) 当a>0时，=1，∴=1.其中(1)(3)(4)(5)是无穷小数列.4、证明：若=a，则对任一正整数k，有 a.证：若=a，则由定义可知，∀ε>0，∃自然数N，当n>N时，|a n-a|<ε; 又n+k>n>N，∴|a n+k-a|<ε，∴ a.5、试用定义1’证明：(1)数列{}不以1为极限；(2)数列{}发散.证：对数列{a n}，有确定的数a，∃ε0>0，对∀N>0，总∃n0>N，使得||≥ε0，则a不是{a n}的极限。
(1)对于常数1，∃ε0>0，对∀自然数N，总∃n0=N+1>N，使得||=≥，∴1不是{}的极限。
(2)当n=2k时，a n=2k，则=+∞；当n=2k-1时，a n=，则=0，∴数列{}的极限不存在，发散.6、证明定理2.1，并应用它证明数列{1+}的极限是1.证：已知{a n}收敛于a，即=a，则∀ε>0，∃自然数N，当n>N时，||=||<ε.∴，即{a n -a}为无穷小数列.已知{a n -a}为无穷小数列，即.则∀ε>0，∃自然数N，当n>N时，||=||<ε.∴=a，即{a n}收敛于a，∴数列{a n}收敛于a的充要条件是：{a n -a}为无穷小数列.∵|1+|=，且{}是无穷小数列，∴1+是无穷小数列，∴=1.7、证明：若=a，则=|a|，当且仅当a为何值时，反之也成立。
证：∵=a，∴∀ε>0，∃自然数N，当n>N时，||<ε，又||||≤||，∴||||<ε，∴=|a|.若=|a|，则∀ε>0，∃自然数N，当n>N时，||||<ε，∵||||≤||，∴仅当a=0时，||=||||<ε，使=a成立.8按ε-N定义证明：(1)；(2)；(3)，其中=为偶数为奇数证：(1)∀ε>0，要使||=<<ε，ε+1，则当n>N时，有||<ε，只要取N=ε∴.]+1，(2)∀ε>0，要使||=≤<ε，只要取N=[ε则当n>N时，有||<ε，∴.(3)∀ε>0，当n为偶数时，要使||=<ε，当n为奇数时，要使||=<<ε，+1，则当n>N时，有||<ε，∴.只要取N=ε。