第二节不定积分基本公式和运算法则
不定积分的基本公式和直接积分法
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1 x 2
(2 )1 d x x 2 a r c ta n x C a rcc o tx C
(a r c ta n x ) 1 1 x 2,(a r c c o tx ) 1 1 x 2
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5
基 (1 )k dkx x C(k 是常数);
本
积
(2)
xd xx1C(1); 1
分
表
(3) 说明dxx：lnx| x|0,C ; dxlnxC,
x
x 0 ,[l n x )] (1 (x) 1,
x
x
dxxln(x)C, dxxln|x|C,
简写为
dx x
ln|
x|
C.
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6
(4) 11x2dxarcxtaC;n
(5)
1 dxarcxsC i;n 1x2
(6) coxsdxsix nC;
第二节 不定积分的基本公式和直 接积分法
一、不定积分的基本公式 二、直接积分法
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1
一、基本积分公式
实例
x1 x
1
xdxx1 C. 1
(1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式.
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2
1 常量函数：0dxC(常数) (C) 0
2 幂函数：
(1) xdxx1 C(1)
1
(2)1xdxlnxC
(
x 1
1
x
)
( (ln x ) 1) x
积分的基本公式和法则
积分的基本公式和法则积分是微积分的一个重要概念，它在数学中具有广泛的应用。
本文将介绍积分的基本公式和法则，帮助读者更好地理解和应用积分。
一、基本公式在介绍积分的基本公式之前，我们先来了解一下积分的定义。
积分可以理解为曲线与坐标轴所围成的面积。
具体来说，对于函数f(x)在[a,b]区间上的积分，可以表示为∫(a到b)f(x)dx。
1. 不定积分不定积分是指对一个函数进行积分，但没有明确的积分上下限。
不定积分可以表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示与x的无穷小增量。
不定积分具有以下基本公式：∫kdx = kx + C （k为常数，C为常数项）∫x^ndx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1，C为常数项）∫e^xdx = e^x + C （C为常数项）其中，kx表示k乘以x，x^n表示x的n次方。
2. 定积分定积分是指对一个函数在一个闭区间上进行积分，可以表示为∫(a到b)f(x)dx。
定积分的结果是一个具体的数值。
定积分的计算方法有多种，其中最常用的是牛顿-莱布尼茨公式和换元积分法。
牛顿-莱布尼茨公式可以简化定积分的计算，其表达式为：∫(a到b)f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)为f(x)的一个原函数。
二、积分的法则积分的法则是指在进行积分运算时，可以根据一些规律和性质简化计算过程。
积分的法则包括线性法则、分部积分法、换元积分法等。
1. 线性法则线性法则是指对于两个函数相加或相减的积分，可以分别对每个函数进行积分，然后再相加或相减。
具体表达式为：∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx∫(f(x) - g(x))dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx2. 分部积分法分部积分法是一种将积分运算转化为乘法运算的方法。
其基本公式为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这里的u(x)和v'(x)是原函数f(x)的两个因子，可以根据具体情况选择合适的函数进行求导和积分。
不定积分的基本公式和直接积分法
不定积分的基本公式和直接积分法不定积分，也叫原函数或不定积分，是微积分中的一个重要概念。
不定积分是指求函数的原函数的过程，也就是求解导数的逆运算。
在实际应用中，不定积分常用于求解曲线下的面积、确定概率密度函数等问题。
本文将介绍不定积分的基本公式和直接积分法。
不定积分的基本定义是，对函数F(x)求导得到f(x)。
式子可以写作F'(x) = f(x)，其中F(x)称为f(x)的一个原函数。
不定积分的符号为∫f(x)dx，表示对函数f(x)求不定积分。
积分号∫放在被积函数前面，并将被积函数写在后面。
积分变量x在∫的上下限之间。
1.常函数的不定积分：∫c dx = cx + C，其中c和C是常数。
2.幂函数的不定积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1，并且C是常数。
3.正弦函数和余弦函数的不定积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C4.指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C5.对数函数的不定积分：∫(1/x) dx = ln，x， + C，其中x不等于0这些基本公式是不定积分中常用的，掌握了这些公式可以在求解不定积分的过程中提供一定的指导。
另外，不定积分还可以通过直接积分法来求解。
直接积分法也叫换元积分法，是不定积分的常用方法之一、直接积分法的基本思想是通过适当的代换将被积函数化简为容易求解的形式。
常见的直接积分法有以下几种：1. 代入法：通过适当的代换将被积函数化简为容易求解的形式。
例如，将∫(2x + 3)^4 dx通过代入u = 2x + 3来化简。
2. 分部积分法：对一个积分式或一个积产品做分部积分，将其转化为不定积分的和或差的形式。
公式为∫u dv = uv - ∫v du。
3. 三角代换法：通过适当的三角代换将被积函数化简为容易求解的形式。
例如，将∫(x^2 - 1)^(3/2) dx通过代换x = cosθ来化简。
不定积分公式口诀
不定积分公式口诀摘要：一、引言二、不定积分的概念和基本公式三、常见基本初等函数的原函数四、如何记忆和使用不定积分公式五、总结正文：一、引言在微积分的学习过程中，不定积分是重要的基础知识之一。
掌握好不定积分的求解方法，对于解决实际问题和深入学习微积分具有重要意义。
为了帮助大家更好地记忆和应用不定积分公式，本文将为大家介绍一种口诀法。
二、不定积分的概念和基本公式不定积分是指对一个函数进行积分，但不求积分常数。
其基本公式为：∫f(x)dx = F(x) + C其中，F(x) 为f(x) 的一个原函数，C 为积分常数。
三、常见基本初等函数的原函数在实际求解过程中，我们需要掌握一些常见基本初等函数的原函数，以便快速求解不定积分。
以下是一些常见的基本初等函数及其原函数：1.幂函数：x^n 的原函数为x^(n+1)/(n+1) （n ≠-1）2.三角函数：sinx 的原函数为-cosx，cosx 的原函数为sinx3.指数函数：a^x 的原函数为a^x * ln(a) （a > 0 且a ≠1）4.对数函数：log_a(x) 的原函数为1/(xlna) （a > 0 且a ≠1）四、如何记忆和使用不定积分公式为了方便记忆和应用不定积分公式，我们可以使用口诀法。
首先，将不定积分公式中的F(x) 替换为对应的原函数，然后将C 视为积分常数，最后将整个式子视为一个新的函数G(x)，即：∫f(x)dx = G(x) + C接下来，我们可以将G(x) 视为一个新的函数，按照求导的逆过程，从原函数出发，逐步推导出G(x)。
通过这种方法，我们可以将复杂的不定积分问题简化为简单的求导问题。
五、总结掌握不定积分的求解方法对于学习微积分具有重要意义。
通过使用口诀法，我们可以轻松地记忆和应用不定积分公式，从而提高求解效率。
积分基本公式和法则
(1 x ) 2 dx =____________________ . 10、 x
二、求下列不定积分：
x2 dx 1、 2 1 x 2 3x 5 2x dx 2、 3x 3x
cos 2 x x dx dx 3、 cos 4、 2 2 2 cos x sin x 1 5、 (1 2 ) x x dx x x 2 sin(2 e 2 , 32) ，且在任一点处的切线的斜 三、一曲线通过点 x sec xdx 6、 x2 1 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
1 2 x 2 x ln x C 2
例6 求积分
2 x 3 x dx
6 C 解 原式= 6 dx ln 6 2 1 x x 化和 例7 求积分 dx . x (1 x 2 ) 2 2 1 x x x (1 x ) dx dx 解 2 2 x(1 x ) x(1 x ) 1 1 1 1 dx dx dx 2 2 x 1 x x 1 x
2.不定积分的性质
[k
1
f ( x ) k 2 g ( x )]dx k 1 f ( x )dx k 2 g( x )dx
k1 0, k 2 0
3.直接积分法： 经过恒等变形后再用性质和积分公式 求积分的方法叫做“直接积分法”.
一、填空题： 1、一个已知的函数，有______个原函数，其中任意 两个的差是一个______； 2、 f ( x ) 的________称为 f ( x ) 的不定积分； 3、把 f ( x ) 的一个原函数F ( x ) 的图形叫做函数f ( x ) 的________，它的方程是 y F ( x ) ，这样不定积 f ( x )dx 在几何上就表示________，它的方程是 y F ( x) C ；
不定积分公式运算法则
不定积分公式运算法则
不定积分（Indefinite Integral）是指求函数的原函数的过程，也称为积分的逆运算。
不定积分的计算公式有
多种，主要包括：常数反演公式、幂公式、三角函数公
式、对数公式、指数公式以及反三角函数公式。
这些公式
的详细表述如下：
1.常数反演公式：∫cf(x)dx = c∫f(x)dx + C
2.幂公式：∫x^nf(x)dx = x^(n+1)/(n+1)f(x) + C
3.三角函数公式：∫sin(x)f(x)dx = -cos(x)f(x) + C
∫cos(x)f(x)dx = sin(x)f(x) + C
∫tan(x)f(x)dx = ln|sec(x)| + C
4.对数公式：∫ln(x)f(x)dx = xln(x) - x + C
5.指数公式：∫e^xf(x)dx = e^xf(x) + C
6.反三角函数公式：∫arcsin(x)f(x)dx = √(1-x^2) +
C
∫arccos(x)f(x)dx = √(1-x^2) + C
∫arctan(x)f(x)dx = x + C
不定积分运算法则包括线性公式、分部积分公式和常系数线性微分方程的通解公式。
积分基本公式和法则
积分基本公式和法则积分是微积分学中非常重要的概念之一，它是求解函数的面积、曲线的长度和平面的体积的工具。
积分的基本公式和法则是我们进行积分运算的基础，下面将介绍一些常见的积分基本公式和法则。
1.基本积分表达式：a)定积分基本公式：∫1dx = x + C，其中C为常数∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数（n为非负整数，不等于-1）∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为常数∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为常数∫sec^2(x) dx = tan(x) + C，其中C为常数∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C，其中C为常数∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C，其中C为常数∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C，其中C为常数b)不定积分基本公式：∫u(du) = u^2/2 + C，其中C为常数2.基本积分法则：a) 线性性质：对于任意常数a、b，有∫(af(x) + bg(x))dx =a∫f(x)dx + b∫g(x)dxb)基本算术运算法则：∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx∫(Cf(x))dx = C∫f(x)dx，其中C为常数c)分部积分法则：∫(u(x)v'(x))dx = u(x)v(x) - ∫(u'(x)v(x))dxd)替换法则：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du，其中u=g(x)3.基本的积分求导关系：a) 反函数关系：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则∫f(x)dx = x∙f(x) - ∫xf'(x)dx + C，其中C为常数b) 对数函数：∫(1/x)dx = ln，x， + Cc) 指数函数：∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C，其中a为常数且a>0且a≠1d) 双曲函数：∫sinh(x)dx = cosh(x) + C，∫cosh(x)dx = sinh(x) + C，∫tanh(x)dx = ln，cosh(x)， + C，∫coth(x)dx = ln，sinh(x)，+ C以上仅是一些基本的积分公式和法则，实际上积分的应用非常广泛，涉及到各种函数和曲线的求解。
不定积分基本公式
不定积分基本公式不定积分是微积分中的一个重要概念，它是函数的定义域上的一族原函数。
在计算不定积分时，我们使用的是不定积分的基本公式，也叫做不定积分的运算法则，下面是一些常用的不定积分基本公式。
1.一次幂函数的不定积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C，其中n不等于-12.常数函数的不定积分公式：∫a dx = ax + C，其中a是常数。
3.幂函数的不定积分公式：∫(a^x) dx = 1/(lna) * a^x + C，其中a是正常数且不等于14.指数函数的不定积分公式：∫e^x dx = e^x + C。
5.对数函数的不定积分公式：∫(1/x) dx = ln，x， + C，其中x不等于0。
6.三角函数的不定积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C∫csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C7.反三角函数的不定积分公式：∫arcsin(x) dx = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C∫arccos(x) dx = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + C∫arctan(x) dx = x*arctan(x) - 1/2ln(1+x^2) + C∫arccot(x) dx = x*arccot(x) + 1/2ln(1+x^2) + C∫arcsec(x) dx = x*arcsec(x) + ln，sec(x)+tan(x)， + C∫arccsc(x) dx = x*arccsc(x) - ln，csc(x)+cot(x)， + C8.双曲函数的不定积分公式：∫sinh(x) dx = cosh(x) + C∫cosh(x) dx = sinh(x) + C∫tanh(x) dx = ln，cosh(x)， + C∫coth(x) dx = ln，sinh(x)， + C∫sech(x) dx = arcsin(e^x) + C∫csch(x) dx = ln，tanh(x/2)， + C以上是一些常用的不定积分基本公式，但请注意，不定积分是一个广义的概念，有很多特殊函数的不定积分无法用基本公式表示，需要通过其他的方法进行求解，比如换元法、分部积分法、特殊函数等。
不定积分的基本技巧与计算方法
不定积分的基本技巧与计算方法一、不定积分的基本概念和定义（200字）不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数的原函数。
不定积分通常用∫来表示。
给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)满足F'(x) = f(x)，则F(x)称为f(x)的一个原函数。
利用不定积分，我们可以求解出一个函数的所有原函数。
二、不定积分的基本规则（400字）1. 常数积分法：对于常数C，∫C dx = Cx + K（K为常数）2. 幂函数积分法：对于函数f(x) = x^n（n ≠ -1），则其原函数F(x) = ∫f(x) dx = (1/n+1)x^(n+1) + K（n ≠ -1，K为常数）3. 指数函数积分法：对于函数f(x) = e^x，其原函数F(x) = ∫f(x) dx = e^x + K （K为常数）4. 三角函数积分法：对于函数f(x) = sin(x)，其原函数F(x) = -cos(x) + K（K为常数）三、不定积分的常见计算方法（1200字）1. 分部积分法：当有一个积分是一个函数的导数乘另一个函数时，我们可以通过分部积分法来进行计算。
假设有两个函数u(x)和v(x)，则分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) -∫v(x)u'(x)dx。
需要注意的是，选择u(x)和v'(x)时，要尽量使得∫v(x)u'(x)dx容易计算。
2. 换元积分法：当积分中存在复杂的函数组合时，我们可以通过换元积分法来进行简化。
假设有函数u(g(x))，并且g'(x) ≠ 0，则换元积分公式为∫f(u(g(x)))g'(x)dx =∫f(u)du。
在使用换元积分法时，需要进行适当的变量代换，使得积分变为更容易计算的形式。
3. 部分分式分解法：当被积函数是多项式或多项式除以多项式时，我们可以通过部分分式分解法进行计算。
部分分式分解法的基本思想是将一个有理函数拆分成几个简单的有理函数的和。
不定积分的性质与基本积分公式
不定积分的性质与基本积分公式一、不定积分的性质：1.线性性质：设f(x)和g(x)是R上的两个函数，k1、k2是常数，则有∫(k1*f(x) + k2*g(x))dx = k1*∫f(x)dx + k2*∫g(x)dx2.区间可加性：如果函数f(x)在[a,b]上可积，而c是[a,b]上的一个点，则有∫(a到b)f(x)dx = ∫(a到c)f(x)dx + ∫(c到b)f(x)dx3.分部积分公式：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx4.递推公式：设F(x)是f(x)的一个原函数，则对于正整数n，有∫f(x)^(n)dx = F(x)f(x)^(n-1) - ∫(F(x)f(x)^(n-1))'dx其中^(n)表示f(x)的n次方5.替换积分变量：如果函数f(x)是R上的可积函数，x=g(t)是可导的一一映射，则有∫f(g(t))g'(t)dt = ∫f(x)dx6.对称性：如果函数f(x)在区间[a,b]上可积，则有∫(a到b)f(x)dx = -∫(b到a)f(x)dx7.常数项可提出：对于常数c，有∫c*f(x)dx = c*∫f(x)dx二、基本积分公式：1.基本初等函数的不定积分：∫dx = x + C（C为常数）∫x^a dx = (x^(a+1))/(a+1) + C（a≠-1，C为常数）∫e^x dx = e^x + C（C为常数）∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + C（a>0且a≠1，C为常数）∫sin(x) dx = -cos(x) + C（C为常数）∫cos(x) dx = sin(x) + C（C为常数）∫sec^2(x) dx = ta n(x) + C（C为常数）∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C（C为常数）∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C（C为常数）∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C（C为常数）∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C（C为常数）∫1/(a^2+x^2) dx = (1/a)*arctan(x/a) + C（a>0，C为常数）∫1/(√(a^2-x^2)) dx = arcsin(x/a) + C（a>0，C为常数）∫1/(√(x^2-a^2)) dx = arccos(x/a) + C（a>0，C为常数）2.基本初等函数的合成函数的不定积分：∫f'(x)f(x)g(f(x))dx = (1/2)g^2(f(x)) + C（C为常数）∫f'(x)f(x)^n g(f(x))dx = (1/(n+1))g(f(x))^(n+1) + C（n≠-1，C为常数）这些性质和基本积分公式是我们进行不定积分过程中经常使用的工具，根据这些性质和公式，我们可以更加方便地求解各种函数的不定积分。
不定积分的性质与基本积分公式
不定积分的性质与基本积分公式不定积分是微积分中一个重要的概念，用于求解给定函数的原函数。
在实际应用中，不定积分可以用于求解曲线的长度、曲线下的面积、物体的质心等问题。
本文将介绍不定积分的性质和基本积分公式。
1.不定积分的定义不定积分是对函数进行积分运算的过程。
设函数f(x)在区间[a, b]上可导。
称满足F′(x) = f(x)的函数F(x)为f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。
记为F(x) = ∫f(x)dx + C，其中C为常数。
这里的F(x)就是f(x)的一个原函数，符号∫f(x)dx称为不定积分。
2.不定积分的运算性质（1）线性性质：若F(x)和G(x)都是f(x)在区间[a,b]上的原函数，则c1F(x)+c2G(x)也是f(x)在区间[a,b]上的原函数，其中c1和c2为常数。
（2）积分和导数的关系：若F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的一个原函数，其中C为常数。
即：（F(x)+C）'=F'(x)=f(x)。
（3）换元法则：设u = g(x)是一个可导函数，f(u)在区间[a, b]上连续，且f(g(x))g′(x)在[a, b]上连续，则∫f(g(x))g′(x)dx =∫f(u)du。
（4）分部积分法则：设u = u(x)和v = v(x)是可导函数，且u′(x)和v′(x)在[a, b]上连续，则∫u′(x)v(x)dx = u(x)v(x) -∫v′(x)u(x)dx。
（1）常数函数：∫kdx = kx + C，其中C为常数。
（2）幂函数：∫x^ndx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数，n≠-1（3）指数函数：∫e^xdx = e^x + C，其中C为常数。
（4）三角函数：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C，∫sec^2xdx = tanx + C，其中C为常数。
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法-推荐下载
函数的的形式。
求函数的不定积分的方法叫积分法。
1.求下列不定积分.（1）
例
解：（1）
（2）
x
1 x 2 dx ＝
xdx ＝
3
x 2 dx
1 x2
dx
x2dx x21 C 1 C
5
2
x
2 1
5 2
C
（2） x xdx
x
此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为 x 的形式，然后应用幂函
数的积分公式求积分。
二 不定积分的基本运算法则
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
不定积分公式大全 含求积分通用方法及例题
不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C迅捷P DF编辑器（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。
第二节不定积分基本公式和运算法则
第二节不定积分基本公式和运算法则不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数的原函数。
本节将介绍不定积分的基本公式和运算法则。
1.不定积分的基本公式(1)幂函数积分公式：如果n不等于-1，则有∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C其中C为积分常数。
举例来说：∫x^3 dx = (x^4)/4 + C(2)三角函数积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C∫csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C(3)指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C(4)对数函数积分公式：∫1/x dx = ln，x， + C∫ln(x) dx = xln，x， - x + C2.不定积分的运算法则(1)线性运算法则：∫(f(x) ± g(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx举例来说：∫(2x^2 + 3x + 1) dx = ∫2x^2 dx + ∫3x dx + ∫1 dx =(2/3)x^3+(3/2)x^2+x+C(2)常数倍数法则：∫af(x) dx = a∫f(x) dx举例来说：∫4x^3 dx = 4∫x^3 dx = (4/4)x^4 + C = x^4 + C (3)分部积分法则：∫uv' dx = uv - ∫u'v dx举例来说：∫x*sin(x) dx = -x*cos(x) + ∫cos(x) dx= -x*cos(x) + sin(x) + C(4)替换法则：根据替换法则，我们可以通过进行变量替换来求解积分。
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人书友圈7.三端同步
f (x)dx g(x)dx
f (x) g(x). 法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即
f1(x) f2(x) fn(x)dx f1(x)dx f2(x)dx fn(x)dx.
法则 2 被积函数中的不为零的常数因子可以 提到积分号前面，即
kf (x)dx k f (x)dx (k 为不等于零的常数)
当 x < 0 时，因为ln( x) 1 (1) 1 ,
x
x
所以
1 dx ln(x) C . x
综合以上两种情况，当 x 0 时，得
1 dx ln| x | C . x
例 2 求不定积分.
(1) x 2 xdx ;
(2) 1 dx . x
解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基
5
2 cos x 4 x 2 5
C 2 ) 2
2 5
5
x2
C3
(C1 2C 2 2C 3 )
5
e x 2 cos x 4 x 2 C.
5
其中每一项虽然都应有一个积分常数，但是由于
任意常数之和还是任意常数，所 以 只 需 在 最 后
不定积分公式总结
不定积分公式总结不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求导的逆运算。
在数学分析、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
不定积分公式众多，熟练掌握这些公式对于解决积分问题至关重要。
下面我们就来对常见的不定积分公式进行总结。
一、基本积分公式1、常数的积分：∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这是最简单的积分公式，常数的积分就是常数乘以自变量再加上常数 C。
2、幂函数的积分：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）∫x^（－1) dx ＝ ln|x| ＋ C对于幂函数的积分，当指数不为－1 时，将指数加 1 然后除以新的指数，再加上常数 C；当指数为－1 时，积分结果为自然对数。
3、指数函数的积分：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C∫a^x dx ＝（1/ln a)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）指数函数 e^x 的积分就是其本身，而对于底数为 a 的指数函数，积分结果需要除以其底数的自然对数。
4、对数函数的积分：∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C这是对数函数的一个重要积分公式。
5、三角函数的积分：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C∫cos x dx ＝ sin x ＋ C∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C∫sec x dx ＝ ln|sec x ＋ tan x| ＋ C∫csc x dx ＝ ln|csc x ＋ cot x| ＋ C三角函数的积分需要牢记这些常见的公式，在解题中经常会用到。
二、凑微分法相关公式凑微分法是积分中的一种重要方法，通过对被积表达式进行适当的变形，将其凑成某个函数的微分形式，然后进行积分。
1、例如：∫f(ax ＋ b) dx ＝（1/a)∫f(u) du （令 u ＝ ax ＋ b）2、∫cos(ax ＋ b) dx ＝（1/a)sin(ax ＋ b) ＋ C （令 u ＝ ax ＋ b）3、∫sin(ax ＋ b) dx ＝（1/a)cos(ax ＋ b) ＋ C （令 u ＝ ax ＋ b）凑微分法需要我们对函数的形式有敏锐的观察力，能够准确地找到合适的代换。
第二节 不定积分的基本公式和直接积分法
dx ∫ x = ln | x | +C ;
简写为
1 ( 4) ∫ dx = arctan x + C ; 2 1+ x 1 ( 5) ∫ dx = arcsin x + C ; 2 1− x (6) ∫ cos xdx = sin x + C ;
(7)
2
2
2
1 1 dx = − 1 + arctan x + C . = ∫ 2 dx + ∫ 2 x 1+ x x
例2 求下列不定积分
x (1)∫ sin dx 2
2
cos 2 x ( 2) ∫ dx cos x − sin x
解
1 1 − cos x dx = ∫ (1 − cos x )dx (1)原式 = ∫ 原式 2 2
x ∫ x dx = µ + 1 + C (µ ≠ −1);
µ
∫ kdx = kx ++C µ 1
是常数 ( k是常数);
dx = ln x + C , 说明： 说明： x > 0, ⇒ ∫ x 1 1 ( − x )′ = , x < 0, [ln( − x )]′ = x −x dx dx ⇒ ∫ = ln( − x ) + C , ∴ ∫ = ln | x | + C , x x
( 8)
∫ sin xdx = − cos x + C ; dx 2 ∫ cos 2 x = ∫ sec xdx = tan x + C ;
dx (9) ∫ 2 = ∫ csc 2 xdx = − cot x + C ; sin x
不定积分的运算
不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求原函数或反导函数的过程。
不定积分的运算主要包括基本积分公式、积分法则和积分计算方法。
基本积分公式是计算不定积分的基础，包括求导法则和微积分的基本原理。
其中，最常用的基本积分公式是：∫x^n dx = (1/n+1) * x^(n+1) + C，其中C是常数。
这个公式可以用来计算很多常见函数的积分。
除了基本积分公式外，还有一系列的积分法则，如乘法法则、除法法则、复合函数法则等，这些法则可以帮助我们简化积分计算。
例如，乘法法则可以表示为：∫(f(x)g(x)) dx = ∫f(x) dx ∫g(x) dx；除法法则可以表示为：∫(f(x)/g(x)) dx = ∫f(x) dx / ∫g(x) dx；复合函数法则可以表示为：∫f(g(x)) dx = ∫f(u) du / ∫g(u) du。
在计算不定积分时，我们通常会使用一些计算方法，如换元法、分部积分法等。
换元法是通过引入新的变量来简化积分计算的方法，分部积分法则是一种通过将函数拆分成两个部分来计算积分的方法。
总的来说，不定积分的运算需要掌握基本积分公式、积分法则和计算方法，并且要能够灵活运用这些知识来求解不同类型的积分问题。
同时，不定积分的运算也是理解微积分理论和应用的基础，对于学习数学和物理等学科的学生来说是非常重要的。
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法则 2 常数因子可提到不定积分号前面，既
kf ( x)dx k f ( x)dx （ k 为 常 数 ）
例 4 求 x ( x 2 5)dx
解
5
1
x ( x 2 5) dx ( x 2 5 x 2 ) dx
2
7
x2
52
3
x2
C
2
x3
x 10 x
7
3
7
3
x C
x3 3x2 2x 4
例5 求
x2
dx 。
解
x 3
3x2 x2
2x
4 dx
(x
3
2 x
4 x 2 )dx
1 x 2 3 x 2 ln x 4 C
2
x
例6 求
(cos x 4 e x 1 dx 。
cos 2 x
解
(cos x 4 e x 1 )dx
cos 2 x
cos
xdx
4 e x dx
1
cos 2
dx x
sin x 4 e x tan x C
例 7 求 2 x2 1 dx 。 x 2 ( x 2 1)
解
2x2 1
x2
(x2
dx 1)
x
x 2(
2
x
1
2
dx 1)
x2
x2
(x2
dx 1)
1
1
1
dx x2
(x2
1)
dx
x
arctan
xபைடு நூலகம்
C
例8 求
x
x
2
4
1
dx
。
解
x4
x4 1 1
x2
dx 1
dx x2 1
( x 2 1 )( x 2 1 )
x2 1
dx
1
x
2
dx 1
( x 2 1 ) dx
1
x
2
dx 1
1 x 3 arctan x C 3
Thank you 感谢聆听
解 (2x3 1 cosx)dx 1 x4 x sin x C 2
三、直接积分法 求积分时，如果直接应用积分公式或两个积分法
则或对被积函数进行简单的恒等变形，再求积分的 方法，叫作直接积分方法。
一、 不定积分的基本运算法则 法则 1 函数代数和的不定积分等于这两个函数的不 定积分的代数和。
第二节不定积分基本公式和运算法则
例 1 求不定积分 x2 xdx 。
解 根据积分公式得
x2
xdx
5
x 2 dx
2
7
x2
C
7
例 2 求 2xexdx 。
解 根据积分公式得
2x exdx (2e)x dx 2x ex C 1 ln 2
例 3 求 (2x3 1 cos x)dx