不定积分 (公式大全)

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1x2e2x1x e 2x1e2xC
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由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数的
次数可以降低一次。如果所得到的积分式还需要用分
部积分法解，那么，可以再用分部积分公式做下去。
为了简化运算过程，下面介绍:
三、分部积分法的列表解法
例如：求 ∫x2sinxdx
x2
sinx
求导↓ + ↓积分
第5章 不定积分
5.1 原函数与不定积分的概念
一、原函数与不定积分
通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数 y＝f(x)出发，去求它的导数f'(x)
那么，我们能不能从一个函数的导数f’(x)出发， 反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢?
[定义]
已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存
在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有
C1lnx
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x2a2 C
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以下结果可以作为公式使用： ⑿ ∫tanxdx＝ln|secx|＋C ⒀ ∫cotdx＝－ln|cscx|＋C ⒁ ∫secxdx＝ln|secx＋tanx|＋C ⒂ ∫cscxdx＝－ln|cscx＋cotx|＋C
⒃
dx x2a2
1lnxaC 2a xa
⒄
dx lnxx2a2C
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4实用文档
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有时，用分部积分法求不定积分需要连续使
用几次分部积分公式才可以求出结果。
例5：求∫x2e-2xdx 解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，则v(x)＝ 1 e2x
2
于是
x2 e 2xd x 1x2 e 2x2 x(1e 2x)dx
2
2
1 x 2 e 2 x x 2 x d e x 1 x 2 e 2 x ( 1 x 2 x e 1e 2 x d )x
运用直接积分法可以求出一些简单函数的 不定积分。
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例 1 求 x12dx
解 :x12d x(x22x1)d xx2d x2xdxdx
1x3x2xC 3
再如 求(x13)x(x223)dx
解: (x13)xx(223)dx
x3x23x3
3x2
dx
(1 3x1 31xx12)dx1 6x23 xln|x|1xC
F'(x)＝f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区
间上的一个原函数。 实用文档
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例1 求下列函数的一个原函数：
⑴ f(x)＝2x
⑵ f(x)＝cosx
解：⑴∵(x2)'＝2x
∴x2是函数2x的一个原函数
⑵∵(sinx)'＝cosx
∴sinx是函数cosx的一个原函数
这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数
证明： ⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x) ∴F(x)＋C也是f(x)的原函数
⑵略
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这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它
就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的
形式。
[定义5.2]
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作∫f(x)dx，
求导↓ ＋ ↓积分
(x 2 x 1 )4d 1 x 2u 4 d u 1 6 u 3 C 6 (x 2 1 1 )3 C
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例 5 求2xex2dx
解：设u＝x2，则du＝2xdx
2 x x 2 d e x e x 2 2 x d e u d x e u u C e x 2 C 例 7 求tanxdx
解 :设 x a st,则 it n arx ,c d a s x ct io , n d a 2 s tx 2 a cto a
a 2 1 x2d x a a c cto to d ss td t C arc a x s Cin
(2)如果被积函数含有 a2 x2，可以用x＝atant换元。
∵(ex)'＝ex ∴v(x)＝ex，
由分部积分公式有
∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C
例2 求∫xcos2xdx
解：令 u(x)＝x，v'(x)＝cos2x，则v(x)＝ 1 sin2x
于是∫xcos2xdx＝ 1
xsin2x－
1
2
∫sin2xdx
＝1
2
xsin2x＋
1
2
cos2x＋C
⑵ ∫F'(x)dx＝F(x)＋C
该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分，
所得结果与F(x)相差一个常数C
⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数)
该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以
提到积分号的前面
⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx
该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于
例如，求
1 dx ，把其中最难处理的部分换
x 11
元，令u
x
1则原式＝
u
1
1
dx，再反解x＝u2＋1，
得dx＝2udu，代入
x 1 1 1d x 2 uu 1d u 2 (1u1 1 )du
2 [ u lu n 1 ] C 2x 1 2 ln | x 1 1 | C
这就是第二换元积分法。
又
1 1x2
dx(
1 )dxarccoxsC 1x2
两式都是本题的解
[注意] 不能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间
的关系是 arcsinx＝π／实2用－文档arccosx
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四、 不定积分的性质
⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x)
该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导，
所得结果仍为f(x)
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例
求
sin x x
dx
解 :令 xt,则 xt2,d x2tdt
sx ix n d x stti 2 t nd 2 s ttid n 2 c t t o C s 2 c o x C s
(1)如果被积函数含有 a2 x2 ，可以用x＝asint换元。
例16 求 1 dx
a2x2
⑴ ∫dx＝x＋C
⑶ ⑷
1
axxddxxlna| xx|CC
lna
⑵ ∫xαdx＝ 1 x1 C (α≠-1)
1
⑸ ∫exdx＝ex＋C
⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C ⑺ ∫cosxdx＝sinx＋C
⑻ ∫sec2xdx＝tanx＋C ⑼ ∫csc2xdx＝－cotx＋C
⑽
a2 1x2dx ar
cxt aC n a
⑾
1 dxarcsx inC
a2x2
a 实用文档
7
例5 求 1 dx
解 : 1 d x2 xxx5 2d x2x2 3C
x2 x
3
说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数
的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。
例6
求
1 dx
1x2
解:
1 dxarcsixnC 1x2
⑵∵－cosx是sinx的一个原函数
∴ sixnd xc o xsC
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二、 不定积分的几何意义
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x)
称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲 线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分
的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲
这两个函数的不定积分的和或差
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五、 基本积分公式的应用 例7 求∫(9x2＋8x)dx 解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx
＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C
例10
求
x4 1x2
dx
解 : 1 x4x2dx 1x 4 x1 211x2dx (x21)d x 11x2dx
这种积分方法叫做凑微分法。
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[讲解例题] 例2 求∫2sin2xdx
解：设u＝2x，则du＝2dx
∫2sin2xdx＝∫sin2x·2dx＝∫sinudu
＝－cosu＋C＝－cos2x＋C
注意：最后结果中不能有u，一定要还原成x。
例3
求
(x2
x 1)4
dx
解：设u＝x2＋1，则du＝2xdx
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例17 求 1 dx a2x2
解 :设 x a ta t,则 n d a x s2 e t,d c a 2 t x 2 a stec
1 dx a2x2
as e2ctd t as etc
s etcdtlns etctatnC1
ln
a2x2 a
axC1ln
a2x2 xC
(3)如果被积
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积 分变量。
求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数， 因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C
其中C是任意常数，叫做积分常数。
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例2 求下列不定积分 ⑴ ∫x5dx ⑵ ∫sinxdx
解： ⑴∵ 1 x 6 是x5的一个原函数
6
∴ x5dx1x6 C 6
1x3xar cxtaCn 3
例11 求∫3xexdx
解 :3 xe x d x(3 e )xd x (3 e )x C 3 xe x C
实用l文n 档3 e )(
1 ln 3 10
5.2 不定积分的计算 一、 直接积分法
对被积函数进行简单的恒等变形后直接用 不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定 积分的方法称为直接积分法。
( x 1 ) 2 3 d ( x 1 ) ( x 1 ) 1 2 d ( x 1 ) 2 ( x 1 ) 5 2 2 ( x 1 ) 2 3 C
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例 求∫sin3xcosxdx 解：∫sin3xcosxdx＝∫sin3xd(sinx)＝ 1 sin4x＋C
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二、第二换元积分法
于是有
∫u(x)·v'(x)dx ＝ u(x)·v(x) － ∫u'(x)·v(x)dx
或表示成
∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)
这一公式称为分部积分公实式用文。档
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二、讲解例题
例1 求∫xexdx
解:令 u(x)＝x，v'(x)＝ex
则原式为∫u(x)·v'(x)dx的形式
x2a2
⒅
a 2 x2d x a 2arc x sxia n 2 x2 C
2 a2
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5.3 分部积分法
一、分部积分公式
考察函数乘积的求导法则：
[u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x)
两边积分得
u(x)·v(x)＝∫u'(x)v(x)dx＋∫u(x)v'(x)dx
例18 求
函数
1
含有
dx
x2
a2
x2 a2
，可以用x＝asect换元。
解 :设 x a st,e 则 d c a x ste ta tc ,d n x 2 ta 2 a ta t n
1
as etctatndt
dx
x2a2
atatn s etcdtlns etctatnC1
lnx a
x2a2 a
2x - -cosx
∫x2sinxdx ＝-x2cosx-∫2x(-cosx)dx
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[分部积分法的列表解法]
例如：求 ∫x2sinxdx
x2
sinx
求导↓ ＋ ↓积分
－
2x
-cosx
求导↓ － ↓积分
２ ＋ -sinx
∫x2sinxdx ＝-x2cosx＋∫2xcosxdx
＝-x2cosx＋2xsinx -∫2sinxdx
线族。
例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。
解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x，
故y＝x2＋C，
∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C，
解得C＝－1，
因此，所求曲线为y＝实用x文2－档 1。
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三、 基本积分公式
由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本
求导公式反推，可得基本积分公式
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一、第一换元法(凑微分法)
如果被积函数的自变量与积分变量不相同， 就不能用直接积分法。
例如求∫cos2xdx，被积函数的自变量是2x， 积分变量是x。
这时，我们可以设被积函数的自变量为u， 如果能从被积式中分离出一个因子u’(x)来， 那么根据∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C 就可以求出不定积分。
的原函数不是唯一的。
例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)'＝2x，
(x2－1)'＝2x
所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数)
都是函数f(x)＝2x的原函数。
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[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，
C是一个任意常数，那么，
⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示 为F(x)＋C
解:taxndxcs ionxxsdx 设u＝cosxቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ则du＝-sinxdx taxndxc1oxs(s ixn)dxu 1du ln|u|Cln|c ox|sC
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当计算熟练后，换元的过程可以省去不写。
例求 x x1dx
解 :xx 1 d x [x ( 1 )x 1 x 1 ] dx