历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编 a单元 集合与常用逻辑用语(文科2016年) 含答案

数学
A单元集合与常用逻辑用语
A1 集合及其运算
1．A1 已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|x<3或x>5}，则A∩B＝( )
A．{x|2<x<5} B．{x|x<4或x>5}
C．{x|2<x<3} D．{x|x<2或x>5}
1．C A∩B＝{x|2<x<4}∩{x|x<3或x>5}＝{x|2<x<3}．
1．A1 设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( )
A．{1，3} B．{3，5}
C．{5，7} D．{1，7}
1．B 易知A∩B ＝{3，5}．
B＝( ) 1．A1 设集合A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{4，8}，则∁
A
A．{4，8} B．{0，2，6}
C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10}
B＝{0，2，6，10}．
1．C 易知∁
A
2．A1 设集合A＝{x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( )
A．6 B．5
C．4 D．3
2．B 由题可知，A∩Z＝{1，2，3，4，5}，则A∩Z中元素的个数为5.
1．A1 已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝( )
A．{－2，－1，0，1，2，3} B．{－2，－1，0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
1．D ∵x2<9，∴－3<x<3，∴B＝{x|－3<x<3}，∴A∩B＝{1，2}．
1．A1 设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则(A∪B)＝( )
∁
U
A．{2，6}
B．{3，6}
C．{1，3，4，5}
D．{1，2，4，6}
1．A ∵U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B
＝{1，3，4，5}，∁
U
(A∪B)＝{2，6}．
1．A1 已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝( ) A．{1，3} B．{1，2}
C．{2，3} D．{1，2，3}
1．A B＝{y|y＝2x－1，x∈A}＝{1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．
1．A1 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，
4}，则(∁
U
P)∪Q＝( )
A．{1} B．{3，5}
C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}
1．C 由已知得∁
U P＝{2，4，6}，所以(∁
U
P)∪Q＝{1，2，4，6}．
14．A1 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店
(1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种；
(2)这三天售出的商品最少有________种．
14．(1)16 (2)29 (1)第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝
16(种)．(2)当第三天售出的商品中有17种和第一天相同，剩余一种只和第二天售出的某一种商品相同时，这三天售出的商品最少，即为19－3＋13＝29(种)．1．A1 已知集合A＝{－1，2，3，6}，B＝{x|－2<x<3}，则A∩B＝________．1．{－1，2} 由题意可得A∩B＝{－1，2}．
20．A1、D3、D5 记U＝{1，2，…，100}．对数列{a
n
}(n∈N*)和U的子集T，
若T＝∅，定义S
T ＝0；若T＝{t
1
，t
2
，…，t
k
}，定义S
T
＝at
1
＋at
2
＋…＋at
k
.例
如：T＝{1，3，66}时，S
T ＝a
1
＋a
3
＋a
66
.现设{a
n
}(n∈N*)是公比为3的等比数列，
且当T＝{2，4}时，S
T
＝30.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)对任意正整数k(1≤k≤100)，若T⊆{1，2，…，k}，求证：S
T <a
k＋1
；
(3)设C⊆U，D⊆U，S
C ≥S
D
，求证：S
C
＋S
C∩D
≥2S
D
.
20．解：(1)由已知得a
n ＝a
1
·3n－1，n∈N*.
于是当T＝{2，4}时，S
T ＝a
2
＋a
4
＝3a
1
＋27a
1
＝30a
1
.
又S
T ＝30，所以30a
1
＝30，即a
1
＝1，
故数列{a
n }的通项公式为a
n
＝3n－1，n∈N*.
(2)证明：因为T⊆{1，2，…，k}，a
n
＝3n－1>0，n∈N*，
所以S
T ≤a
1
＋a
2
＋…＋a
k
＝1＋3＋…＋3k－1＝
1
2
(3k－1)<3k.
因此，S
T <a
k＋1
.
(3)证明：下面分三种情况证明．
①若D是C的子集，则S
C ＋S
C∩D
＝S
C
＋S
D
≥S
D
＋S
D
＝2S
D
.
②若C是D的子集，则S
C ＋S
C∩D
＝S
C
＋S
C
＝2S
C
≥2S
D
.
③若D不是C的子集，且C不是D的子集．
令E＝C∩(∁
U D)，F＝D∩(∁
U
C)，则E≠∅，F≠∅，E∩F＝∅.
于是S
C ＝S
E
＋S
C∩D
，S
D
＝S
F
＋S
C∩D
，进而由S
C
≥S
D
，得S
E
≥S
F
.
设k是E中最大的数，l为F中最大的数，则k≥1，l≥1，k≠l.
由(2)知，S
E <a
k＋1
，于是3l－1＝a
l
≤S
F
≤S
E
<a
k＋1
＝3k，所以l－1<k，即l≤k.
又k≠l，故l≤k－1，
从而S
F ≤a
1
＋a
2
＋…＋a
l
＝1＋3＋…＋3l－1＝
3l－1
2
≤
3k－1－1
2
＝
a
k
－1
2
≤
S
E
－1
2
，
故S
E ≥2S
F
＋1，所以S
C
－S
C∩D
≥2(S
D
－S
C∩D
)＋1，
即S
C ＋S
C∩D
≥2S
D
＋1.
综合①②③得，S
C ＋S
C∩D
≥2S
D
.
A2 命题及其关系、充分条件、必要条件
5．A2 设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p 是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．A 当x＞1且y＞1时，必有x＋y＞2，但当x＋y＞2时，不一定有x ＞1且y＞1，故选A.
6．G3、A2 已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a。