八年级数学上册知识大综合基础练习
八年级上册数学综合复习题基础题北师版(含答案)
八年级上册数学综合复习题基础题北师版一、单选题(共7道，每道3分)1.下列生活中的现象，属于平移的是（）A.抽屉的拉开B.汽车刮雨器的运动C.坐在秋千上人的运动D.投影片的文字经投影变换到屏幕答案：A试题难度：三颗星知识点：平移的定义2.下列说法正确的是（）A.49的平方根是-7B.的算术平方根是4C.a²的算术平方根是aD.的立方根是a答案：D试题难度：三颗星知识点：立方根3.第二象限内的点（m，n）到x轴的距离是（）A.mB.-mC.nD.-n答案：C试题难度：三颗星知识点：点的坐标4.下列选项正确的是（）A.一个多边形的内角相等，则它的边一定都相等B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形C.正方形既是矩形，又是菱形D.矩形的对角线一定互相垂直答案：C试题难度：三颗星知识点：四边形的性质与判定5.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=3，BC=4，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则AD等于（）A. B.C. D.答案：A试题难度：三颗星知识点：折叠问题6.下列字母是中心对称图形的是（）A.UB.HC.MD.E答案：B试题难度：三颗星知识点：中心对称图形7.已知一次函数y=(a-1)x-b的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.a＞1，b＜0B.a＞1，b＞0C.a＜1，b＞0D.a＜1，b＜0答案：A试题难度：三颗星知识点：一次函数图象与系数的关系二、填空题(共8道，每道3分)1.若无理数a满足3.2＜a＜4，请你写出一个满足条件的无理数a：.答案：、、、或试题难度：三颗星知识点：无理数2.若一个正数的平方根是2a+1和-a-2，则这个正数是.答案：9试题难度：三颗星知识点：平方根3.已知m＜0，那么点P（-m²-1，m-2）关于原点的对称点在第象限，其坐标为.答案：（m²+1，2-m）试题难度：三颗星知识点：点的坐标4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AE//DC交BC于E，已知梯形的周长为30cm，AD=5cm，则△ABE的周长为.答案：20cm试题难度：三颗星知识点：梯形性质5.等腰梯形上底为6cm，下底为8cm，高为cm，则腰长为.答案：2cm试题难度：三颗星知识点：梯形性质6.如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A、D的坐标分别是（0，0），（2，3），AB=5，则顶点C的坐标为.答案：（7，3）试题难度：三颗星知识点：坐标与图形性质7.若2，4，2x，4y四个数的平均数是5，而5，7，4x，6y四个数的平均数是9，则x2+y2= ．答案：13试题难度：三颗星知识点：平均数8.在直角坐标系中，A（2，0），B（-4，0），△ABC为等边三角形，则C点的坐标为.答案：（-1，）或（-1，）试题难度：三颗星知识点：点的坐标三、计算题(共1道，每道8分)1.（1）（2）答案：（1）（2）试题难度：三颗星知识点：二次根式的混合运算四、解答题(共5道，每道7分)1.一辆卡车装满货物后，高4米，宽2.8米．这辆卡车能通过横截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？答案：能通过解：∵卡车在隧道中间位置能通过的可能性最大∴如图，O为EF的中点，OE=1.4m，OG为圆的半径，OG=2m在直角△OEG中GE²=OG²-OE²=2²-1.4²=2.04 ∵（4-2.6）²=1.4²=1.96，2.04>1.96 ∴在相同宽度下隧道的高度高于卡车的高度，卡车能通过该隧道试题难度：三颗星知识点：勾股定理应用之拱桥问题2.如图，lA、lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．（1）B出发时与A相距千米．（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是小时．（3）B出发后小时与A相遇．（4）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，小时与A相遇，相遇点离B 的出发点千米．在图中表示出这个相遇点C．（5）求出A行走的路程S与时间t的函数关系式．答案：（1）10；（2）1；（3）3；(4)（5）试题难度：三颗星知识点：一次函数的图象3.佳能电脑公司的李经理对2008年11月份电脑的销售情况做了调查，情况如下表：请你回答下列问题：（1）2008年11月份电脑价格（与销售台数无关）组成的数据平均数为，中位数为，本月平均每天销售台（11月份为30天）．（2）如果你是该商场的经理，根据以上信息，应该如何组织货源，并说明你的理由．答案：解：（1）平均数=（6000×20+4500×40+3800×60+3000×30）=4120；中位数为：3800；本月平均每天销售的数量为：（20+40+60+30）=5（台）；（2）价格为6000元一台的电脑，销售数量的频率=≈0.13；（3）如：多进3800元的电脑，适量进些其他价位的电脑等．故答案为：4120，3800，5．试题难度：三颗星知识点：平均数、中位数、众数4.甲、乙两种商品原来的单价和为100元．因市场变化，甲商品九折销售，乙商品七折销售，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了20%．甲、乙两种商品原来的单价各是多少？答案：解：设甲单价为x，乙单价为y，根据题意可得：解得：答：甲单价50元，乙单价50元．试题难度：三颗星知识点：二元一次方程应用题5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（-4，0），B（2，6）两点．（1）求一次函数y=kx+b 的表达式．（2）在直角坐标系中，画出这个函数的图象．（3）求这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积．答案：解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象经过两点A（-4，0）、B（2，6），∴，解得，∴函数解析式为：y=x+4；（2）函数图象如图：（3）一次函数y=x+4与y轴的交点为C（0，4），∴△AOC的面积=4×4÷2=8．试题难度：三颗星知识点：一次函数五、证明题(共1道，每道7分)1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB的中点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF=CE．求证：四边形ACEF是平行四边形.答案：证明：∵EF⊥BC，∠ACB=90°∴EF∥AC ∵E为Rt△ABC斜边中点∴EC=EA又∵AF=CE ∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6 从而△AEF和△EAC均为等腰三角形且底角相等∴两顶角∠FAE=∠AEC ∴AF∥EC ∴四边形ACEF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）试题难度：三颗星知识点：平行四边形的判定。
北师大版八年级数学上册实数基础知识点及练习题讲解
北师大版八年级数学上册实数基础知识点
及练习题讲解
本文档旨在为八年级学生提供关于北师大版数学上册实数基础知识点以及相应的练题讲解。
以下是一些关键的知识点和题解答。
实数的定义
实数是指有理数和无理数的集合。
有理数包括整数、分数和十进制无限循环小数，而无理数是指非循环无穷小数。
实数的运算
实数具有加法、减法、乘法和除法等基本运算。
以下是一些实数运算的例子：
- 加法：a + b = c
- 减法：a - b = d
- 乘法：a * b = e
- 除法：a / b = f
实数的性质
实数具有许多重要的性质，例如：
- 交换律：a + b = b + a
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 分配律：a * (b + c) = a * b + a * c
实数的应用
实数在数学中有广泛的应用。
例如，实数可以用来表示物体的长度、时间的流逝以及温度的变化等。
实数的概念也常常在代数和几何中使用。
题解答
以下是一些题的解答，供同学们练：
1. 计算：3 + 4 = ?
答案：7
2. 计算：5 * 6 = ?
答案：30
3. 计算：10 - 7 = ?
答案：3
请同学们仔细阅读每个题，并尝试独立解答。
如果有任何问题，请随时向老师请教。
以上是关于北师大版八年级数学上册实数基础知识点及练习题
讲解的内容。
希望对同学们的学习有所帮助！。
八年级数学上册综合算式专项练习题平方根与立方根的计算
八年级数学上册综合算式专项练习题平方根与立方根的计算在八年级数学上册中，综合算式是非常重要的一部分内容。
而在综合算式中，平方根与立方根的计算也是一个关键的知识点。
本文将为大家提供一些关于平方根与立方根计算的专项练习题。
1. 题目一：计算下列算式的平方根(1) √169(2) √225(3) √400(4) √576(5) √100解析：(1) √169 = 13(2) √225 = 15(3) √400 = 20(4) √576 = 24(5) √100 = 102. 题目二：计算下列算式的立方根(1) ³√8(2) ³√64(3) ³√125(4) ³√216(5) ³√1000解析：(1) ³√8 = 2(2) ³√64 = 4(3) ³√125 = 5(4) ³√216 = 6(5) ³√1000 = 103. 题目三：计算下列算式(1) (√16)² + (√25)²(2) (√81)² - (√49)²(3) (√256)² ÷ (√16)²(4) (√121)² × (√9)²(5) (√400)² - (√625)²解析：(1) (√16)² + (√25)² = 16 + 25 = 41(2) (√81)² - (√49)² = 81 - 49 = 32(3) (√256)² ÷ (√16)² = 256 ÷ 16 = 16(4) (√121)² × (√9)² = 121 × 9 = 1089(5) (√400)² - (√625)² = 400 - 625 = -2254. 题目四：计算下列算式的平方根与立方根(1) √(a² + b²)(2) ³√(a³ + b³)(3) (√a) × (√b)(4) (√a) ÷ (√b)(5) ³√(a³ - b³)解析：(1) √(a² + b²)：将两个数的平方相加，再开平方根(2) ³√(a³ + b³)：将两个数的立方相加，再求立方根(3) (√a) × (√b)：将两个数分别开平方根，再相乘(4) (√a) ÷ (√b)：将两个数分别开平方根，再相除(5) ³√(a³ - b³)：将两个数的立方相减，再求立方根通过以上综合算式的专项练习题，我们可以更加熟练地掌握平方根与立方根的计算方法。
专题13.19 课题-最短路径(将军饮马问题)(专项练习)(培优篇)八年级数学上册基础知识专项讲练
专题13.19 课题-最短路径（将军饮马问题）（专项练习）（培优篇）一、单选题1．如图，直线是一条河，A 、B 是两个新农村定居点．欲在l 上的某点处修建一个水泵站，直接向A 、B 两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）A ．B ． C. D ． 2．如图，等腰ABC 的底边BC 长为4cm ，面积为216cm ，腰AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上的动点．则CDM 周长的最小值为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm 3．如图．在五边形ABCDE 中，∠BAE ＝136°，∠B ＝∠E ＝90°，在BC 、DE 上分别找一点M 、N ，使得∠AMN 的周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数为（ ）A ．84°B ．88°C ．90°D ．96° 4．如图，30AOB ∠=︒，M ，N 分别是边,OA OB 上的定点，P ，Q 分别是边,OB OA 上的动点，记,OPM OQN αβ∠=∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，关于α，β的数量关系正确的是（ ）A ．60βα-=︒B ．210βα+=︒C ．230βα-=︒D ．2240βα+=︒ 5．如图，在锐角∠ABC 中，∠ACB ＝50°；边AB 上有一定点P ，M 、N 分别是AC 和BC 边上的动点，当∠PMN 的周长最小时，∠MPN 的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°6．如图，已知24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，1OP =，C 在OA 上，D 在OB 上，E 在OP 上．当CP CD DE ++取最小值时，此时PCD ∠的度数为（ ）A ．36︒B ．48︒C ．60︒D ．72︒7．如图，在ABC ∆中，10BC =，CD 是ACB ∠的平分线．若P ，Q 分别是CD 和AC 上的动点，且ABC ∆的面积为24，则PA PQ +的最小值是（ ）A．125B．4C．245D．58．在∠ABC中，AB=BC，点D在AC上，BD=6cm，E，F分别是AB，BC边上的动点，∠DEF 周长的最小值为6 cm，则ABC∠=( )A．20°B．25°C．30°D．35°9．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（）A．B．C．D．10．如图，在等边∠ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边∠ADE，连接EF，当∠AEF周长最小时，∠CFE的大小是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、填空题 11．如图，在Rt ABC 中，ACB 90∠=︒，AC 9=，BC 12=，15AB =，AD 是BAC ∠的平分线，若点P 、Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是______．12．如图，在锐角ABC ∆中，8AC cm =，218ABC S cm ∆=，AD 平分BAC ∠，M 、N 分别是AD 和AB 上 的动点，则BM MN +的最小值是__________cm ．13．已知30AOB ∠=︒，点C 为射线OB 上一点，点D 为OC 的中点，且6OC =.当点P 在射线OA 上运动时 ，则PC 与PD 和的最小值为_______．14．如图，∠ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD 是BC 边上的中线且AD ＝4，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF+EF 的最小值为_____．15．如图，在∠ABC中，AB = AC = 8，S∠ABC = 16，点P为角平分线AD上任意一点，PE∠AB，连接PB，则PB+PE的最小值为_____．16．如图，AD为等边∠ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝_______°．17．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_____．18．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当∠PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．19．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10 cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为________ ．20．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH 上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．21．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，∠AOB=30°则∠PMN周长的最小值=________三、解答题22．如图，在等边ABC中，D是直线BC上一点，E是边AC上一动点，以DE为边作等边DEF，连接CF．（提示：含30的直角三角形三边之比为2）+=；（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE CF CD（2）如图2，若点D在BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；（3）图2中，若ED AC==E从A运动到C停止，求出此过程中点F运动的路径长．23．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点．(1)要使得∠PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．(2)若OP＝4，要使得∠PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝________．24．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A、与y轴交于点B，且∠ABO ＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于y轴对称.(1)求∠ABC的面积；(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角∠BDE，求证：AB∠AE；(3)如图3，点E是y轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.25．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ.(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；(2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．参考答案1．D【分析】利用轴对称的性质，通过作对称点找到修建水泵站的位置．【详解】解：作点A关于直线l的对称点A'，然后连接A B'与直线l交于一点，在这点修建水泵站，根据轴对称的性质和连点之间线段最短的性质可以证明此事铺设的管道最短．故选：D．【点拨】本题考查利用轴对称的性质找线段和最小的问题，解题的关键是掌握这个作图方法．2．D【分析】连接AD，AM，由于∠ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD∠BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，MA．∠∠ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∠AD∠BC，∠S∠ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，∠EF是线段AC的垂直平分线，∠MA＝MC，∠MC+DM＝MA+DM≥AD，∠AD的长为CM+MD的最小值，∠∠CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝8+12×4＝10（cm）．故选：D．【点拨】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质是解答此题的关键．3．B【分析】根据要使AMN∆的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A',A'',即可得出44AA M A∠'+∠''=︒，进而得出2()AMN ANM AA M A∠+∠=∠'+∠''即可得出答案．【详解】解：如图示，作A关于BC和ED的对称点A'，A''，连接A A'''，交BC于M，交ED 于N，则A A'''即为AMN∆的周长最小值．延长AE，作'A H AE⊥于H点，136BAE ∠=︒，44HAA ∴∠'=︒，44A A HAA ∴∠'+∠''=∠'=︒，A M AA ∠'=∠'，NAE A ∠=∠''，且A MAA AMN ∠'+∠'=∠， NAE A ANM ∠+∠''=∠，2()24488AMN ANM A MAA NAE A A A ∴∠+∠=∠'+∠'+∠+∠''=∠'+∠''=⨯︒=︒， 故选：B ．【点拨】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质等知识，根据已知得出M ，N 的位置是解题关键．4．B【分析】如图，作M 关于OB 的对称点M′，N 关于OA 的对称点N′，连接M′N′交OA 于Q ，交OB 于P ，则MP+PQ+QN 最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN ，KD∠OQN=180°-30°-∠ONQ ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP ，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ ，由此即可解决问题．【详解】如图，作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''交OA 于Q ，交OB 于P ，则此时MP PQ QN ++的值最小．易知'∠=∠=∠OPM OPM NPQ ，'∠=∠=∠OQP AQN AQN ．∠18030∠=︒-︒-∠OQN ONQ ，30∠=∠=︒+∠OPM NPQ OQP30∠=∠=︒+∠OQP AQN ONQ ，∠303018030210+=︒+︒+∠+︒-︒-∠=︒ONQ ONQ αβ．故选：B.【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．D【分析】根据轴对称的性质作PD∠AC 于点E ，PG∠BC 于点F ，连接DG 交AC 、BC 于点M 、N ，连接MP 、NP ，得到∠PMN ，由此解答.【详解】解：过点P 作PD∠AC 于点E ，PG∠BC 于点F ，连接DG 交AC 、BC 于点M 、N ，连接MP 、NP ，∠PD ∠AC ，PG ∠BC ，∠∠PEC ＝∠PFC ＝90°，∠∠C +∠EPF ＝180°，∠∠C ＝50°，∠∠D +∠G +∠EPF ＝180°，∠∠D +∠G ＝50°，由对称可知：∠G ＝∠GPN ，∠D ＝∠DPM ，∠∠GPN +∠DPM ＝50°，∠∠MPN ＝130°﹣50°＝80°，故选：D ．【点拨】此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键.6．D【分析】作点P 关于OA 的对称点P'，作点E 关于OB 的对称点'E ，连接'OP 、'PP 、'OE 、'EE 、''P E ，则由轴对称知识可知=''CP CD DE CP CD DE ++++，所以依据垂线段最短知：当''P C D E 、、、在一条直线上，且'''P E OE ⊥时，CP CD DE ++取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出PCD ∠.【详解】解：∠24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，∠12AOP BOE ∠=∠=︒，作点P 关于OA 的对称点P'，作点E 关于OB 的对称点'E ，连接'OP 、'PP 、'OE 、'EE 、''P E ，则'P C PC =，'E D ED =，'1OP OP ==，'12AOP AOP ∠=∠=︒，'=12BOE BOE ∠∠=︒，∠=''CP CD DE CP CD DE ++++，''=48P OE ∠︒，'=9012=78OP P ∠︒-︒︒，'='CPP CP P ∠∠，当''P C D E 、、、在一条直线上，且'''P E OE ⊥时，CP CD DE ++取最小值， ∠''=9048=42OP E ∠︒-︒︒，∠'='''=784236CP P OP P OP E ∠∠-∠︒-︒=︒，∠'='36CPP CP P ∠∠=︒，∠'+'7=2PC CPP CP P D ∠∠=∠︒，故选：D.【点拨】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键.7．C【分析】由题意可知，根据角平分线的性质，先确定当PA PQ +取最小值时动点P 、Q 的位置，再利用三角形的面积公式即可求出答案．【详解】过点A 作AQ BC '⊥于点Q '，交CD 于点P ，过点P 作PQ AC ⊥，如图所示∠CD 平分ACB ∠，P 、Q 分别是CD 和AC 上的动点∠PQ PQ '=，Q 与Q '关于CD 对称∠此时，()AQ PA PQ '=+最小值∠10BC =，24ABC S ∆= ∠222424105ABC S AQ BC ∆⨯'=== ∠PA PQ +的最小值是245 故选：C【点拨】本题是轴对称最短路线问题，主要考查了角平分线的性质、对称的性质以及三角形的面积公式，确定()AQ PA PQ '=+最小值是解题的关键．8．C【分析】作点D 关于AB 的对称点G ，关于BC 的对称点H ，连接GH 交AB 于E ，交BC 于F ，连接BG 、BH ，此时∠DEF 的周长最小，根据轴对称关系得到BG=BD=BH=6cm ，又由∠DEF 的周长=DE+DF+EF=GH=6cm ，得到∠GBH=60°，由此即可求出∠ABC 的度数.【详解】作点D 关于AB 的对称点G ，关于BC 的对称点H ，连接GH 交AB 于E ，交BC 于F ，连接BG 、BH ，此时∠DEF 的周长最小，由轴对称得：BG=BD=BH=6cm ，∠GBA=∠DBA ，∠HBC=∠DBC ，∠∠DEF 的周长=DE+DF+EF=GH=6cm ，∠∠BGH 是等边三角形，∠∠GBH=60°， ∠∠ABC=12∠GBH=30°， 故选：C.【点拨】此题考查最短路径，轴对称关系，等边三角形的判定定理及性质定理，三角形周长最小的题通常转化为最短路径的题进行解答.9．D【分析】做出点A 关于OB 和OC 的对称点A′和A″，连接A′A″，与OB 、OC 分别交于点M ，N ，则沿AM -MN -NA 的路线行走路线最短．【详解】要找一条最短路线，以河流为轴，取A 点的对称点A'，连接A'N 与河流相交于M 点，再连接AM ，则张大伯可沿着AM 走一条直线去河边M 点挑水，然后再沿MN 走一条直线到菜园去，同理，画出回家的路线图如下：故选D．【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和两点之间线段最短是解决问题的关键．10．D【解析】分析：首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），因为AF为定值，所以当AE+EF最小时，∠AEF的周长最小，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，根据等边三角形的判定和性质即可求出∠CFE的大小．详解：∠∠ABC，∠ADE都是等边三角形，∠AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，∠∠BAD=∠CAE，∠∠BAD∠∠CAE，∠∠ABD=∠ACE，∠AF=CF，∠∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∠点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，∠CA=CM，∠ACM=60°，∠∠ACM是等边三角形，∠AF=CF，∠FM∠AC，∠∠CFE′=90°，故选D．点拨：本题考查轴对称——最短距离问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），本题难度比较大，属于中考选择题中的压轴题．11．36 5【分析】由题意可以把Q反射到AB的Q点，如此PC+PQ的最小值问题即变为C与线段AB上某一点O的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解．【详解】解：如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时，CO=PC+PO=PC+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，∠当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，∠PC+PQ的最小值即为CM的长度，∠1115912 22ABCS AB CM AC CB CM=⨯=⨯∴=⨯，，∠CM=91236155⨯=，即PC+PQ的最小值为365，故答案为365．【点拨】本题考查线段和最小的问题，通过轴反射把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．12．9 2【分析】根据题意画出符合题意的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC 上），求出BM+MN=BR ，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE ，求出BE 即可得出BM+MN 的最小值.【详解】解：作N 关于AD 的对称点R ，作AC 边上的高BE （E 在AC 上）∠AD 平分BAC ∠，∠ABC 是锐角三角形∠R 必在AC 上∠N 关于AD 的对称点是R∠MN=MR∠BM+MN=BM+MR∠BM+MN=BR≥BE （垂线段最短）∠218ABC S cm ∆=，8AC cm = ∠182BE ⨯⨯=18 ∠BE=92cm 即BM+MN 的最小值是92cm. 故答案为92. 【点拨】本题考查了轴对称——最短路径问题. 解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值.13．【分析】作点D 关于OA 的对称点D′，连接CD′交OA 于点P′，连接DP,，根据轴对称的性质得到P′D′=P′D，此时DP′+CP′=CD′即为PC+PD的最小值，根据已知条件计算求出结果即可．【详解】解：作点D关于OA的对称点D′，连接CD′交OA于点P′，连接DP′，根据轴对称的性质得到P′D′=P′D，此时DP′+CP′=CD′即为PC+PD的最小值.设DD′与OA交于点E，∠∠O=30°，OD=3，由对称性可知∠DEO=90°,∠∠ODE=60°，DE=12OD=32,∠DD′=2DE=3,∠DD′=CD，∠∠D′=∠DCD′=12∠ODE=30°，∠∠EDP′=∠D′=30°，∠∠ODP′=∠ODE+∠EDP′=90°，∠在Rt∠ODP′中，∠O=30°，OD=3，故PC与PD和的最小值为【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，两点之间线段最短的性质．得出动点所在的位置是解题的关键．14．24 5【分析】作BM∠AC于M，交AD于F，根据三线合一定理求出BD的长和AD∠BC，根据三角形面积公式求出BM，根据对称性质求出BF＝CF，根据垂线段最短得出CF+EF≥BM，即可得出答案．【详解】解：作BM∠AC于M，交AD于F，∠AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，∠BD＝DC＝3，AD∠BC，AD平分∠BAC，∠B、C关于AD对称，∠BF＝CF，根据垂线段最短得出：CF+EF＝BF+EF≥BF+FM＝BM，即CF+EF≥BM，∠S∠ABC＝12×BC×AD＝12×AC×BM，∠BM＝BC ADAC⨯＝645⨯＝245，即CF+EF的最小值是245，故答案为：245．【点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．15．4【分析】利用角平分线定理确定当BF∠AC时，PB+PE的值最小，再利用三角形面积公式，即可求得.【详解】如图，∠AB = AC = 8，AD 平分CAB ∠∠'''P E P F =∠当BF∠AC 时，PB+PE 的值最小=BF1162ABC S AC BF ∆== ∠BF=4 ∠PB+PE 的最小值为4.【点拨】本题考查了轴对称-最短路径问题，也可以用角平分线定理考虑，找到PE+PB 最小值的情况并画出图形，是解题的关键.16．105°【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明∠AEC∠∠CFH ，得CE ＝FH ，将CE 转化为FH ，与BF 在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F 的位置，即F 为AC 与BH 的交点时，BF ＋CE 的值最小，求出此时∠AFB ＝105°．【详解】解：如图，作CH∠BC ，且CH ＝BC ，连接BH 交AD 于M ，连接FH ，∠∠ABC 是等边三角形，AD∠BC ，∠AC ＝BC ，∠DAC ＝30°，∠AC＝CH，∠∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∠∠ACH＝90°−60°＝30°，∠∠DAC＝∠ACH＝30°，∠AE＝CF，∠∠AEC∠∠CFH，∠CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，∠当F为AC与BH的交点时，BF＋CE的值最小，此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∠∠AFB＝105°，故答案为105°.【点拨】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF＋CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．17．（3【解析】【分析】作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM＋PN最小，由作图得到ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，求得∠NON′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N′M∠ON，解直角三角形即可得到结论．【详解】作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM＋PN最小，∠OA垂直平分NN′，∠ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，∠∠NON′是等边三角形，∠点M是ON的中点，∠N′M∠ON，∠点N（6，0），∠ON＝6，∠点M是ON的中点，∠OM＝3，∠PM∠P（3．故答案为：（3【点拨】本题考查了轴对称−最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置．18．40°【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，∠PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】如图：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA、OB的交点时，∠PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∠PP1关于OA对称，∠∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∠∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∠∠P1OP2是等腰三角形．∠∠OP2N=∠OP1M=50°，∠∠P1OP2=180°-2×50°=80°，∠∠AOB=40°，故答案为40°【点拨】本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得∠P1OP2是等腰三角形是解题的关键．19．5cm【分析】作M关于OC的对称点P，过P作PN∠OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小，则OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，根据含30°角的直角三角形性质求出PN 即可．【详解】解：作M关于OC的对称点P，过P作PN∠OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN 的值最小，∠∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，∠OA、OB关于OC对称，∠P点在OB上，∠OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，∠PN=12OP=12×10=5cm，∠QM+QN=PQ+QN=PN=5cm，故答案为5cm．【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形性质，轴对称以及最短路线问题，垂线段最短的应用，关键是确定Q、N的位置．20．60°【详解】如图，因为点Ａ关于GH的对称点是F，所以连接BF交GH于点P，则PA+PB=PF+PB=BF，所以PA+PB的最小值是BF.因为∠BAF=180°×(6-2)÷6=120°，AB=AF，所以∠AFB=30°.因为∠HGF=90°，所以∠GPF=60°.故答案为：60°.21．5cm；【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．∠点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∠PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∠点P关于OB的对称点为D，∠PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∠OC=OD=OP=5cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∠∠COD是等边三角形，∠CD=OC=OD=5cm．∠∠PMN 的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5cm ．故答案是：5cm ．【点拨】主要运用最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．22．（1）见解析；（2）CE CF CD +=，理由见解析；（3）8-【分析】（1）在CD 上截取CH CE =，易证CEH ∆是等边三角形，得出EH EC CH ==，证明()DEH FEC SAS ∆≅∆，得出DH CF =，即可得出结论；（2）过D 作//DG AB ，交AC 的延长线于点G ，由平行线的性质易证60GDC DGC ∠=∠=︒，得出GCD ∆为等边三角形，则DG CD CG ==，证明()EGD FCD SAS ∆≅∆，得出EG FC =，即可得出FC CD CE =+；（3）当点E 与A 重合时，CF 的值最小，最小值AC ==当CE CD =时，CF 的值最大，最大值224=+=，当点E 与C 重合时，CF 的值最小，最小值=，点F 的运动路径从最小值4，再减小到【详解】解：（1）证明：在CD 上截取CH CE =，如图1所示：ABC ∆是等边三角形，60ECH ∴∠=︒，CEH ∴∆是等边三角形，EH EC CH ∴==，60CEH ∠=︒，DEF ∆是等边三角形，DE FE ∴=，60DEF ∠=︒，60DEH HEF FEC HEF ∴∠+∠=∠+∠=︒，DEH FEC ∴∠=∠，在DEH ∆和FEC ∆中，DE FE DEH FEC EH EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEH FEC SAS ∴∆≅∆，DH CF ∴=，CD CH DH CE CF ∴=+=+，CE CF CD ∴+=．（2）线段CE ，CF 与CD 之间的等量关系是FC CD CE =+．理由如下：ABC ∆是等边三角形，60A B ∴∠=∠=︒，过D 作//DG AB ，交AC 的延长线于点G ，如图2所示：//GD AB ，60GDC B ∴∠=∠=︒，60DGC A ∠=∠=︒，60GDC DGC ∴∠=∠=︒，GCD ∴∆为等边三角形，DG CD CG ∴==，60GDC ∠=︒，EDF ∆为等边三角形，ED DF ∴=，60EDF GDC ∠=∠=︒，EDG FDC ∴∠=∠，在EGD ∆和FCD ∆中，ED DF EDG FDC DG CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EGD FCD SAS ∴∆≅∆，EG FC ∴=，FC EG CG CE CD CE ∴==+=+．∆≅∆，（3）由（2）EGD FCD则∠FCD=∠DGC=60°=∠FCE，∠CF与BC的夹角不变，即点F的运动路径为线段，当点E与A重合时，CF的值最小，最小值AC===时，∠EF=DF，当CE CD∠CF垂直平分ED，∠∠CFE=30°，∠∠CEF=90°，∠EF=ED=AC=∠CF=2=4，∠CF的最大值为4，当点E与C重合时，CF的值最小，最小值=∴点F的运动路径从最小值4，再减小到∴此过程中点F运动的路径长2(48=-=-．【点拨】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．23．(1) 作图见解析. (2)30°【详解】试题分析：（1）分别作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F.（2）由轴对称的性质知OP=OC，OP=OD，且∠PEF周长的最小值是CD，所以dqga4OCD 是等边三角形，而∠COD=2∠EOF，由此即可求解.试题解析：(1)如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F.此时，∠PEF的周长最小．(2)根据轴对称的性质得，OC=OP=OD ，∠COE=∠POE ，∠DOF=∠POF ，∠PEF 的周长的最小值=CD ，因为OP=4，∠PEF 的周长的最小值为4，所以∠OCD 是等边三角形.因为∠COE=∠POE ，∠DOF=∠POF ，所以∠PEF=12∠COD=30°.24．（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C 的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解；(2) 过E 作EF∠x 轴于点F ，延长EA 交y 轴于点H ，证∠DEF∠∠BDO ，得出EF ＝OD ＝AF ，有EAF OAH OAB 45∠∠∠===︒，得出∠BAE ＝90°.(3)由已知条件可在线段OA 上任取一点N,再在AE 作关于OF 的对称点N ',当点N 运动时，´ON 最短为点O 到直线AE 的距离.再由OAE 30∠=︒，在直角三角形AO N '中,OM ON O N +='即可得解.【详解】解：（1）由已知条件得：AC=12，OB=6 ∠1126362ABC S =⨯⨯=（2）过E 作EF∠x 轴于点F ，延长EA 交y 轴于点H,∠∠BDE 是等腰直角三角形，∠DE=DB, ∠BDE=90°,∠EDF BDO 90∠∠+=︒∠BOD 90∠=︒∠BDO DBO 90∠∠+=︒∠EDF DBO ∠∠=∠EF x ⊥轴，∠DEF BDO ≅∠DF=BO=AO,EF=OD∠AF=EF∠EAF OAH OAB 45∠∠∠===︒∠∠BAE ＝90°（3）由已知条件可在线段OA 上任取一点N,再在AE 作关于OF 的对称点N ',当点N 运动时，´ON 最短为点O 到直线AE 的距离,即点O 到直线AE 的垂线段的长，∠OAE 30∠=︒，OA=6，∠OM+ON=3【点拨】本题考查的知识点主要是直角三角形的性质及应用，轴对称在最短路径问题中的应用，弄懂题意，作出合理的辅助线是解题的关键.25．(1)见解析;(2)AM＋AN＝BM＋BN.【解析】试题分析：(1)根据轴对称的性质，分别作点M，N关于OP，OQ的对称点M′，N′，连接MM′，NN′交OP，OQ于点A，B.（2）由轴对称的性质可知AM+AN=M′N，BM+BN=MN′，试题解析：(1)图略，点A，B即为所求．画法：∠作点M关于射线OP的对称点M′；∠连接M′N 交OP于点A；∠作点N关于射线OQ的对称点N′；∠连接N′M交OQ于点B.(2)AM＋AN＝BM＋BN.点拨：本题主要考查了轴对称的性质，“将军饮马”型的问题是中考常考的题型，如图，点A，B在直线l的同旁，在直线l求点P，使PA+PB最小.确定点P的位置的方法是，作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于点P，则PA+PB的值最小.。
八年级数学上册第2章三角形所有知识点总结和常考题型练习题湘教版
三角形知识点一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的表示：三角形用符号“△"表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。
（2)三角形的任意两边之差小于第三边。
（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系.4、三角形的内角的关系:（1）三角形三个内角和等于180°。
（2)直角三角形的两个锐角互余.5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.6、三角形的分类：(1)三角形按边分类:不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2)三角形按角分类:直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形：等腰直角三角形.它是两条直角边相等的直角三角形。
7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义:在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质:三角形的三条角平分线交于一点。
交点在三角形的内部。
（2)三角形的中线:定义：在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形的三条中线交于一点,交点在三角形的内部.（3)三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。
锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；8、三角形的面积:1×底×高三角形的面积=2二、全等图形：定义:能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
应用二元一次方程组——里程碑上的数(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练
专题5.20应用二元一次方程组——里程碑上的数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】里程碑上的数字问题两位数：十位数字×10+个位数字.三位数：百位数字×100+十位数字×10+个位数字.四位数：千位数字+百位数字×100+十位数字×10+个位数字.......例如：如果一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，则这个两位数可表示为10y+x，而不可表示为yx，因为yx表示y乘x，应注意区别.特别提醒：1.在表示多位数时，什么数位上的数字就乘什么，如百位上的数字乘100，千位上的数字乘1000.2.若用两个数拼一个新数，则要关注两个数的前后顺序和前面的数扩大的倍数与后面的数的数位的关系.【考点目录】【考点1】数字问题；【考点2】几何问题；【考点3】图表信息题；【考点4】开放问题；【考点5】其他问题.【考点一】数字问题【例1】（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是几？（2）第一次，他们拼出的两位数是多少？【答案】（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5；（2）第一次他们拼成的两位数为45．【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x 、y ．根据题意列方程组求解即可；（2）根据（1）的结果即可求解．（1）解：设他们取出的两个数字分别为x 、y ．第一次拼成的两位数为10x y +，第二次拼成的两位数为10y x +．根据题意得：910910x y y x x y +=⎧⎨+-=+⎩①②，由②，得：1y x -=③，+①③得：5y =．把5y =代入①得：4x =，∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，所以第一次他们拼成的两位数为45．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022下·重庆江津·七年级校联考阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x ，乙数为y ．则得方程组（）A ．1001511001001089x y y y x x y +=⎧⎨+=+-⎩B ．1001511001001089x y x y x x y +=⎧⎨+=++⎩C ．1001001089100151x y x y y x y +=++⎧⎨+=⎩D ．1001001089100151x y x y y x y +=+-⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】设甲数为x ，乙数为y ．根据题意，列出二元一次方程组即可求解．解：设甲数为x ，乙数为y ．根据题意，得方程组1001511001001089x y y y x x y +=⎧⎨+=+-⎩，故选A ．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键．【变式2】（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）小凡出门前看了下智能手表上的运动APP ，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了．．．．．．．．．．．586步，则出门时看到的步数是．【答案】26【分析】设出门时看到的步数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据从出门到小区门口共走了586步，可列出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为一位正整数，即可得出x ，y 的值，再将其代入()10x y +中，即可求出结论．解：设出门时看到的步数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意得：()1001010586y x x y ++-+=，∴1164y x =+.又∵x ,y 均为一位正整数，∴2 6x y =⎧⎨=⎩，∴10102626x y +=⨯+=，即出门时看到的步数是26．故答案为：26．【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．【考点二】几何问题【例2】（2023上·四川内江·八年级威远中学校校考期中）（1）一个正方形的边长增加3cm ，面积就增加281cm ，求原正方形的边长；（2）已知一个长方形，若它的长增加4cm ，宽减少1cm ，则面积保持不变；若它的长减少2cm ，宽增加1cm ，则面积仍保持不变．求这个长方形的面积．【答案】（1）12cm ；（2）224cm 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用：（1）设原正方形的边长为cm x ，根据“正方形的边长增加3cm ，面积就增加281cm ”，列出方程，即可求解；（2）设长方形原来的长为cm x ，宽为cm y ，根据“它的长增加4cm ，宽减少1cm ，则面积保持不变；若它的长减少2cm ，宽增加1cm ，则面积仍保持不变”，列出方程组，即可求解．（1）解：设原正方形的边长为cm x ，()22381x x +-=，解得12x =．答：原正方形的边长为12cm ；（2）解：设长方形原来的长为cm x ，宽为cm y ，依题意，得()()()()4121x y xy x y xy ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得：4422x y x y -=-⎧⎨-=⎩，解得：83x y =⎧⎨=⎩，所以这个长方形的面积23824cm S xy ==⨯=．答：这个长方形的面积是224cm ．【举一反三】【变式1】（2021上·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，周长为34的大长方形ABCD 被分成7个全等的小长方形，则每个小长方形的面积为（）A ．10B ．14C ．20D ．30【答案】A 【分析】本题中的两个等量关系是：长方形长的四倍与宽的七倍之和为34；长的二倍等于宽的五倍，据此建立二元一次方程组求解即可．解：设长方形的长为x ，宽为y ，根据题意，得：473425x y x y +=⎧⎨=⎩，解得：52x y =⎧⎨=⎩，∴5210xy =⨯=，∴每个小长方形的面积为10．故选：A ．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．【变式2】（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考期中）如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD 的面积是2cm ．【答案】560【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长、宽分别为x 、y ，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形长和宽，然后求得大长方形的长和宽，从而求得面积．解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．解：设小长方形的长、宽分别为cm cm x y ，，依题意得212328x y y x y +-=⎧⎨+=⎩，解之得164x y =⎧⎨=⎩，∴小长方形的长、宽分别为16cm 4cm ，，∴12220cm,28cm AB y BC =+==，∴大长方形ABCD 的面积22028560cm AB BC =⋅=⨯=，【考点三】图表信息问题【例3】（2022上·陕西西安·八年级统考期末）张老师在某文体店购买商品A 、B 若干次（每次A 、B 两种商品都购买，且A 、B 都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A 、B 的数量和费用如表所示：购买商品A 的数量/个购买商品B 的数量/个购买总费用/元第一次购物65980第二次购物37940（1）求商品A 、B 的标价；（2）若张老师第三次购物时，商品A 、B 同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？【答案】（1）商品A 的标价为80元/个，商品B 的标价为100元/个；（2）张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A ，4个商品B ；方案二：购买10个商品A ，8个商品B ；方案三：购买5个商品A ，12个商品B【分析】（1）设商品A 的标价为x 元/个，商品B 的标价为y 元/个，根据“表格信息”建立方程组，再解方程组即可；（2）设张老师购买m 个商品A ，n 个商品B ，根据“这次购买总费用为960元”建立二元一次方程，再利用方程的正整数解可得答案．（1）解：设商品A 的标价为x 元/个，商品B 的标价为y 元/个，根据题意得：6598037940x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：80100x x =⎧⎨=⎩．答：商品A 的标价为80元/个，商品B 的标价为100元/个．（2）设张老师购买m 个商品A ，n 个商品B ，根据题意得：800.61000.6960m n ⨯+⨯=，∴5204m n =-．当4n =时，15m =；当8n =时，10m =；当12n =时，5m =．答：张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A ，4个商品B ；方案二：购买10个商品A ，8个商品B ；方案三：购买5个商品A ，12个商品B ．【点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的含义，理解题意，确定相等关系建立方程组或方程是解本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023下·河北邢台·七年级校考期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（）A ．10gB ．20gC ．25gD ．30g【答案】B 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量50=克．根据这两个等量关系式可列一个方程组，进行求解即可．解：设每块巧克力的重量为x 克，每块果冻的重量为y 克．由题意列方程组得：3250x y x y =⎧⎨+=⎩，解方程组得：2030x y =⎧⎨=⎩．即：每块巧克力的质量是20克．故选：B ．【点拨】题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程组是关键．【变式2】（2023下·浙江湖州·七年级统考期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在33⨯（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2的方格中填写了一些代数式，若能构成一个广义的三阶幻方，则a b +=．【答案】6-【分析】根据三阶幻方中的数字列方程组求解即可．解：由题意知，322224a a b +=-⎧⎨-=+-⎩，解得33a b =-⎧⎨=-⎩，∴336a b +=--=-，故答案为：6-．【点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练根据三阶幻方列方程求解是解题的关键．【考点四】开放问题【例4】（2017下·江苏南通·七年级校考期中）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?（本题的答案不唯一），答案：6.5吨.【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可．解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?（本题的答案不唯一）设1辆大车一次运货x 吨，1辆小车一次运货y 吨．根据题意,得3422{2623x y x y +=+=，解得4{ 2.5x y ==.则x+y=4+2.5=6.5（吨）.答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．【举一反三】【变式1】（2020上·辽宁铁岭·八年级校联考期中）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（）A ．20B ．22C ．23D ．25【答案】C 【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x ，y 分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；解：设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x ，y 分，依题意得：32192321x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴解这个方程组为：35x y =⎧⎨=⎩，∴大壮的得分为：432023x y +=+=．故选：C ．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．【变式2】（2018下·七年级单元测试）如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23cm ，小红所搭的“小树”的高度为22cm ，设每块A 型积木的高为x cm ，每块B 型积木的高为y cm ，则x =，y =．【答案】45解：根据小强搭的积木的高度=A 的高度×2+B 的高度×3，小红搭的积木的高度=A 的高度×3+B 的高度×2，依两个等量关系列出方程组23233222x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得45x y =⎧⎨=⎩．故答案为：4和5．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解．【考点五】其他问题【例5】（2023上·全国·八年级专题练习）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，预从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元．（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？【答案】（1）每瓶免洗手消毒液价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元；（2）学校选用方案一更节约钱，节约76元．【分析】本题考查二元一次方程组的应用．（1）根据购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．（1）解：设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a 元、b 元，40901320601201860a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：158a b =⎧⎨=⎩，答：每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；（2）方案一的花费为：()151008600.81584⨯+⨯⨯=（元），方案二的花费为：()15100860100521660⨯+⨯-÷⨯=（元），1660158476-=（元），15841660<，答：学校选用方案一更节约钱，节约76元．【举一反三】【变式1】（2023下·河南新乡·七年级统考期末）如图，2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm ，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm ，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则11个塑料凳子叠放在一起时的高度为（）A ．120cmB ．130cmC ．140cmD ．150cm【答案】D 【分析】设1支塑料凳子的高度为 cm x ，每叠放1支塑料凳子高度增加 cm y ，根据2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm ，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm ，列出二元一次方程组，解之求出x 、y 的值，即可解决问题．解：设1支塑料凳子的高度为 cm,x 每叠放1支塑料凳子高度增加 cm y ，依题意得：60380x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：5010x y =⎧⎨=⎩10501010150x y ∴+=+⨯=，即11支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为150cm ．故选：D ．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元．学校准备用160元全部购买A ，B 两种奖品若干个，那么可以购买B 种奖品个．【答案】4或8【分析】设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据“购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元”，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之可得出两种奖品的单价，设可以购买A 种奖品m 个，B 种奖品n 个，利用总价=单价×数量，可得出关于m ，n 的二元一次方程，结合m ，n 均为正整数，即可得出n 的值．解：设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据题意得：2410052130x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2015x y =⎧⎨=⎩，∴A 种奖品的单价为20元，B 种奖品的单价为15元．设可以购买A 种奖品m 个，B 种奖品n 个，根据题意得：2015160m n +=，∴384m n =-，∵m ，n 均为正整数，∴54m n =⎧⎨=⎩或28m n =⎧⎨=⎩，∴可以购买B种奖品4或8个．故答案为：4或8．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．。
人教版数学八年级上册基础知识练习题
八年级数学上册基础知识练习题班别：姓名1已知点P 在第三象限,且到x轴的距离为3,到y轴的距离为5,则点P的坐标为( • )A.(3,5)B.(-5,3)C.(3,-5)D.(-5,-3)2、下面有四个汽车标致图案，其中是轴对称图形的是（）A、②③④B、①②③C、①②④D、①②④①②③④3、两个三角形有以下三对元素对应相等,则不能判定全等的是（）(A)一边和任意两个角（B）两边和他们的夹角（C）两个角和他们一角的对边（D）三角对应相等4、下列语句中正确的有（）句.①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧.（A）1 （B）2 （C）3 （D）45、已知△ABC≌DEF,则下列说法错误的是：（）A、AB=DEB、∠CAB=∠FDEC、∠A=∠ED、BC=EF6、三角形内到三条边的距离相等的点是（）A、三角形的三条角平分线的交点B、三角形的三条高的交点C、三角形的三条中线的交点D、三角形的三边的垂直平分线的交点7、等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是（）A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°8、据统计，2008年五·一期间，我市某风景区接待中外游客的人数为86740人次，将这个数字保留三个有效数字，用科学记数法可表示为（）A.8.67×102B. 8.67×103C.8.67×104D. 8.67×1059、等腰三角形的周长为cm13，其中一边长为cm3，则该等腰三角形的底边为（）A、cm7B、cm3C、cm7或cm3D、cm8二、耐心填一填10、OC是∠BOA的平分线，PE⊥OB，PD⊥OA，若PE=5cm，则PD=11、已知等腰三角形的一边长为4，一边的长为6，则此等腰三角形的周长为。
多边形及其内角和(精选精练)(专项练习)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项
专题11.8多边形及其内角和（精选精练）（专项练习）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形，这个多边形是（）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形2．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）一个正多边形的内角和为1080︒．则这个正多边形的边数为（）A ．9B ．8C ．7D ．63．（2024·福建福州·模拟预测）如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角α的度数为（）A ．70︒B ．72︒C ．60︒D ．108︒4．（2020·辽宁葫芦岛·三模）如图，多边形ABCDEFG 中，108E F G ∠=∠=∠=︒,72C D ∠=∠=︒，则A B ∠∠+的值为（）A ．108︒B ．72︒C ．54︒D ．36︒5．（2024·内蒙古赤峰·三模）如果一个正多边形的一个外角是45︒，则这个正多边形是正（）边形A ．六B ．八C ．十D ．十二6．（2024·湖北荆门·模拟预测）小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：假如从点A 出发，沿直线走9米后向左转θ，接着沿直线前进9米后，再向左转θ，…，如此下去，当他第一次回到点A 时，发现自己一共走了72米，则θ的度数为（）A．60︒B．75︒C．30︒D．45︒7．（2024·云南玉溪·三模）若一个正多边形的每一个外角都是36︒，则该正多边形的内角和的度数是（）．A．1440︒B．360︒C．1800︒D．2160︒∠=︒，则1∠的度数为8．（2024·河北石家庄·三模）如图，五边形ABCDE是正五边形，AF DG∥，若226（）A．86︒B．64︒C．62︒D．52︒9．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）综合实践课上，嘉嘉用八个大小相等的含45°角的直角三角板拼成了一个环状图案，如图1，若淇淇尝试用含60°角的直角三角板拼成类似的环状图案，如图2，除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（）A．3个B．6个C．9个D．12个10．（2024·河北沧州·二模）用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的∠的度数为（）内角BCDA．120︒B．135︒C．144︒D．150︒二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2024八年级下·全国·专题练习）一个八边形的内角和是．12．（23-24六年级下·山东济南·期中）若从n边形的一个顶点最多能引出2条对角线，则n是．13．（2024·湖北咸宁·一模）一个多边形的内角和为540︒，这个多边形的边数是．14．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）一个正多边形的内角比外角大90︒，则这个多边形的内角和为．15．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为1440︒，那么原多边形有条边．16．（19-20七年级下·江苏扬州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝．17．（2024·陕西西安·模拟预测）一个正多边形的外角和与内角和的比为1:3，则这个多边形是正边形．18．（2024·云南昆明·二模）如图，一个正n边形被树叶遮掩了一部分，若直线a，b所夹锐角为36︒，则n的值是．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（21-22八年级下·广西桂林·期中）列式计算：求图中x的值．20．（8分）（23-24八年级上·江西南昌·期末）如果多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多30︒．（1）这个多边形的内角和是多少度？（2）求这个多边形的对角线的总条数．21．（10分）（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形ABCDE 中，100120AE CD A B �靶=，，∥（1）若110D ∠=︒，请求E ∠的度数；（2）试求出C ∠及五边形外角和的度数．22．（10分）（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：（1）多边形内角和为什么不可能为2020︒？（2）明明求的是几边形的内角和？（3）错当成内角的那个外角为多少度？23．（10分）（2024·浙江杭州·一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答．（1）若四边形的一个内角的度数是α．①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）；②求其他三个内角的和（用含α的代数式表示）．n>，除了一个内角，其余内角的和为920︒，求n的值．（2）若一个n边形(3)深入探究：n>的一个外角与和它不相邻的(n)1-个内角的和之间满足的等量关系，说明理由．（3）探索n边形(3)24．（12分）（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明；（2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？参考答案：1．A【分析】本题考查了多边形的对角线数量问题，根据n 边形从一个顶点出发可引出()3n -条对角线，可组成()2n -个三角形，依此可求出n 的值，得到答案．【详解】解：设这个多边形是n 边形，由题意得：23n -=，解得：5n =，即这个多边形是五边形，故选：A ．2．B【分析】本题多边形内角和公式，解题关键是理解并熟记多边形内角和公式．根据多边形内角和定理：可得方程()18021080x ︒⨯-=︒，再解方程即可．【详解】解：设多边形边数有x 条，由题意得：()18021080x ︒⨯-=︒解得：8x =故选B3．B【分析】本题主要考查多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和为360︒是解题的关键．根据多边形的外角和为360︒即可作答．【详解】解：360572÷=︒．故选：B ．4．B【分析】连接CD ，设AD 与BC 交于点O ，根据多边形的内角和公式即可求出∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠EDC ＋∠GCD ，根据各角的关系即可求出∠ODC ＋∠OCD ，然后根据对顶角的相等和三角形的内角和定义即可求出结论．【详解】解：连接CD ，设AD 与BC 交于点O∵∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠EDC ＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，108E F G ∠=∠=∠=︒，72∠=∠=︒GCB EDA ，∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC ＋72°＋∠OCD=540°∴∠ODC ＋∠OCD=72°∵∠AOB=∠COD∴∠A ＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC ＋∠OCD=72°故选B ．【点拨】此题考查的是多边形的内角和公式和对顶角的性质，掌握多边形的内角和公式和对顶角相等是解决此题的关键．5．B【分析】本题考查了正多边形的外角性质，根据正多边形的外角都相等以及外角和为360︒，列式36045︒÷︒进行计算，即可作答．【详解】解：∵一个正多边形的一个外角是45︒，∴360458︒÷︒=，∴这个正多边形是正八边形，故选：B ．6．D【分析】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是明确第一次回到出发点A 时，所经过的路线正好构成一个正多边形．第一次回到出发点A 时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用8972=÷，求得边数，再根据多边形的外角和为360︒，即可求解．【详解】解：∵第一次回到出发点A 时，所经过的路线正好构成一个正多边形，∴正多边形的边数为：8972=÷，根据多边形的外角和为360︒，∴则他每次转动θ的角度为：360845︒÷=︒，故选：D ．7．A【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和，掌握内角和公式是解题的关键．根据任何多边形的外角和都是360︒，可以求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式，就得到多边形的内角和．【详解】解：根据题意得：该多边形的边数为：3601036︒=︒，∴该正多边形的内角和为：()1021801440-⨯︒=︒．故选：A ．8．C【分析】此题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，熟记多边形内角和公式及平行线的性质是解题的关键．连接AD ，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可．【详解】如图,连接AD ,∵五边形ABCDE 是正五边形，()521801085E BAE -⨯︒∴∠=∠==︒，EA ED =，()34180108236∴∠=∠=︒-︒÷=︒，5108472∴∠=︒-∠=︒，226∠=︒ ，2598,DAF ∴∠=∠+∠=︒,AF DG 98,ADG ∴∠=︒1362.ADG ∴∠=∠-∠=︒故选:C ．9．C【分析】本题主要考查了正多边形的外角和．多边形由拼图方法可知：环状图案的外围是正多边形，根据正多边形外角和等于360︒即可求出正多边形的边数．【详解】解：依题意可知：用含60°角的直角三角板按图示拼成类似的环状图案是正多边形，正多边形的外角180(9060)30=︒-︒+︒=︒，故正多边形的边数为3603012︒÷︒=（条）∴除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为1239-=（个）故选C ．10．C【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，根据5个“筝形”组成一个正十边形，结合多边形内角和定理求解即可【详解】解；由图可知，5个“筝形”组成一个正十边形，∴()180********BCD ︒⨯-∠==︒，故选：C11．1080︒/1080度【分析】本题考查了多边形内角和定理，直接套用多边形的内角和()2180n -⋅︒进行计算可求八边形的内角和，【详解】解：内角和：()8218061801080-⨯︒=⨯︒=︒．故答案为：1080︒12．5【分析】本题考查了多边形的对角线，牢记n 边形从一个顶点出发可引出(3)n -条对角线是解题的关键．据此求解即可．【详解】解：∵从n 边形的一个顶点最多能引出2条对角线，∴32n -=，∴5n =．故答案为：5．13．5【分析】本题考查多边形的内角和公式，n 边形的内角和公式为()2180n -⨯︒，由此列方程即可得到答案．【详解】解：设这个多边形的边数为n ，则()2180540n -⨯︒=︒，解得5n =，故答案为：5．14．1080︒/1080度【分析】本题考查了多边形外角和与内角和，掌握其计算公式是解题的关键．多边形的内角和公式为：()2180n -⨯︒（其中n 为多边形的边数），多边形的外角和是360︒．因为多边形的外角和是360︒，且正多边形的每个内角都相等，每个外角也都相等，设这个正多边形的一个外角为x ，则内角为90x +︒，根据内角与外角的和为180︒可列出方程．【详解】设外角是x ，则内角是180x ︒-，则18090x x ︒--=︒，解得45x =︒．则多边形的边数是：360458︒÷︒=．∴内角和是：()821801080-⨯︒=︒．故答案为：1080︒．15．11或10或9【分析】本题考查了多边形的内角和度数，熟记相关结论是解题关键．【详解】解：以五边形为例，如图所示：剪去一个内角后，多边形的边数可能加1，可能不变，也可能减1设新多边形的边数为n ，则()21801440n -⨯︒=︒，解得：10n =∴原多边形可能有11或10或9条边．故答案为：11或10或9．16．540°【分析】连接ED ，由三角形内角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE ，再由五边形的内角和定理得出结论．【详解】连接ED ，∵∠A+∠B=180°-∠AOB ，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE ，∠AOB=∠DOE ，∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE ，∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2)×180°=540°，即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°，∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°．故答案为：540°．【点拨】本题考查了三角形的内角和公式，以及多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(n -2)×180°是解答本题的关键．17．八【分析】本题主要考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式，是解决问题的关键设这个正多边形的边数为n ，根据正多边形的外角和与内角和的比为1:3，利用多边形内角和公式与外角和列方程解答并检验，即得【详解】设这是个正n 边形，∵这个正多边形的外角和与内角和的比为1:3，∴()360121803n =-⨯，解得，8n =，经体验8n =是所列方程的解，且符合题意，∴这是个正八边形，故答案为：八18．5【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义及性质和外角和．先根据题意画出图形，再根据已知条件求出2∠和3∠的度数，然后根据正多边形的性质和外角和，求出正多边形的边数即可．【详解】解：如图所示：由题意得：136∠=︒，123180∠+∠+∠=︒ ，2318036144∴∠+∠=︒-︒=︒，正多边形每个外角都相等，23144272∴∠=∠=︒÷=︒，正多边形的外角和为360︒，∴它的边数为：360725÷=，n ∴的值为5，故答案为：5．19．100【分析】本题考查了四边形的内角和定理，根据题意，列式109060360x x +++︒+︒=︒计算即可．【详解】根据题意，列式109060360x x +++︒+︒=︒，解得100x =，故图中x 的值为100．20．(1)1800︒(2)54【分析】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．另外还要注意从n 边形一个顶点可以引3n -（）条对角线．（2）求出多边形的边数，利用多边形内角和公式即可得到答案；（3）根据n 边形有()32n n -条对角线，即可解答．【详解】（1）解：设这个正多边形的一个外角为x ︒，依题意有430180x x ++=，解得30x =，3603012︒÷︒=∴这个正多边形是十二边形．∴这个正多边形的内角和为(122)1801800-⨯︒=︒（2）解：对角线的总条数为4(1231)252-=⨯(条)．21．(1)70E ∠=︒(2)140C ∠=︒，五边形外角和的度数是360︒【分析】本题主要考查多边形内角和、外角和及平行线的性质，熟练掌握多边形内角和及平行线的性质是解题的关键．（1）根据平行线的性质可进行求解；（2）根据多边形内角和、外角和及平行线的性质可进行求解．【详解】（1）解：∵AE CD ∥，∴180D E ∠+∠=︒，∴180********E D ∠∠=︒-=︒-︒=︒；（2）解：五边形ABCDE 中，()52180540A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=-⨯︒=︒，∵180D E ∠+∠=︒，100A ∠=︒，120B ∠=︒，∴()540C D E A B∠∠∠∠∠=︒-+--140=︒；五边形外角和的度数是360︒．22．(1)见解析(2)十三边形或十四边形(3)110︒或20︒【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形内角和外角的关系以及二元一次方程组的应用．（1）根据多边形内角和定理公式计算判断即可．（2）设应加的内角为x ，多加的外角为y ，依题意可列方程为()21802020n y x -=-+ ，结合角的属性建立不等式求整数解即可．（3）分别计算十三边形的内角和以及十四边形的内角和，分别列出关于x ，y 的二元一次方程组求解即可．【详解】（1）设多边形的边数为n ，由题意得()18022020n -= ，解得2139n =，∵n 为正整数，∴多边形的内角和不可能为2020︒．（2）设应加的内角为x ，多加的外角为y ，依题意可列方程为()21802020n y x -=-+ ，∵180180x y -<-< ，∴()202018018022020180n -<-<+ ，解得22121499n <<，又∵n 为正整数，∴n 13=或14n =．故明明求的是十三边形或十四边形的内角和．（3）十三边形的内角和为()1801321980⨯-= ，∴2020198040y x -=-= ，又180x y += ，∴70x = ，110y = ．十四边形的内角和为()1801422160⨯-= ，∴21602020140x y -=-= ，又180x y += ，∴160x = ，20y = ．所以错当成内角的那个外角为110︒或20︒．23．（1）①180α︒-，②360α︒-（2）8n =；（3）(3)180n βα-=-⨯︒，理由见解析【分析】（1）①根据一个内角与它相邻的外角的和是180︒进行计算即可；②四边形的内角和是360︒进行计算即可；（2）根据多边形的内角和的计算方法进行计算即可；（3）表示出和它不相邻的(n )1-个内角的和即可．【详解】解：（1）①四边形的一个内角的度数是α，则与它相邻的外角的度数180α︒-；②由于四边形的内角和是360︒其中一个内角为α，则其它三个内角的和为360α︒-；（2）由题意得，(2)180920n α-⨯︒-=︒，3n > 的正整数，0180α︒<<︒，8n ∴=，即这个多边形为八边形；（3）设n 边形(3)n >的一个外角为α，它不相邻的(n )1-个内角的和为β，则有180(2)180n αβ︒-+=-⨯︒，即(3)180n βα-=-⨯︒．24．（1）见解析，∠CBD +∠ACE +∠BAF ＝360°，三角形中的外角和为360°，见解析；（2）∠RQG +∠SRH +∠PSM +∠QPN ＝360°，见解析；（3）多边形的外角和和都是360°，见解析【分析】（1）经测量得出∠CBD ＝138°，∠ACE ＝117°，∠BAF ＝105°，∠CBD +∠ACE +∠BAF ＝360°，则据此得出结论三角形中的外角和为360°，根据平角是180°和多边形内角和证明即可；（2）分别测量出几个角并求出这几个角的和，得出结论：在四边形的外角和是360°；根据（1）中证明方法证明即可；（3）猜想：多边形的外角和和都是360°．根据（1），（2）方法证明即可；【详解】解：（1）经测量知∠CBD ＝138°，∠ACE ＝117°，∠BAF ＝105°，∴∠CBD +∠ACE +∠BAF ＝360°，发现：三角形中的外角和为360°，理由：∵∠CBD+∠ABC＝180°，∠ACE+∠ACB＝180°，∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠CBD+∠ACE+∠BAF+∠ABC+∠ACB+∠BAC＝540°，又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°；（2）∠RQG＝125°，∠SRH＝113°，∠PSM＝48°，∠QPN＝74°，所以∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°；发现：在四边形的外角和是360°；∵∠RQG+∠PQR＝180°，∠SRH+∠QRS＝180°，∠PSM+∠RSP＝180°，∠QPN+∠QPS＝180°，∵∠RQG+∠PQR+∠SRH+∠QRS+∠PSM+∠RSP+∠QPN+∠QPS＝720°，∵∠PQR+∠QRS+∠RSP+∠QPS＝360°，∴∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°．（3）猜想：多边形的外角和都是360°．设多边形为n边形，则n边形的每一个内角与它相邻的外角的和为180°，∴n边形的外角和＝180°n﹣（n﹣2）×180°＝180°n﹣180°n+360°＝360°．【点拨】此题考查多边形外角和的知识，利用平角是180°结合多边形内角和证明即可．。
平方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.1 平方根（知识讲解）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】【知识点一】算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根”，叫做被开方数.特别说明：0，≥0. 【知识点二】平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【知识点四】平方根的性质【知识点五】平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000aa a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥向左移动1位..【典型例题】类型一、求一个数的平方根1．求下列各数的算术平方根． (1)169； (2)481； (3)0.09； (4)(﹣3)2． 【答案】(1)13； (2)29； (3)0.3； (4)3 【分析】根据算术平方根的定义解答 解：(1)∵132＝169，∵169的算术平方根是13， 13； (2)∵（29）2＝481， ∵481的算术平方根是29，29； (3)∵0.32＝0.09，∵0.09的算术平方根是0.3， ＝0.3； (4)∵32＝9＝（﹣3）2，∵（﹣3）2的算术平方根是3， 3．【点拨】此题考查了求一个数的算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键． 【变式】 求下列各数的算术平方根： (1) 0.64 (2) 4981【答案】(1) 0.8； (2)79【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 解：（1）因为0．82=0.64，所以0.64的算术平方根是0.8． （2）因为2749()981=，250=25= 2.5=0.25=所以4981的算术平方根是7979． 【点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．类型二、利用算术平方根非负性求解2．已知223y x x =-+--，求(x +y )2022的值 【答案】1【分析】根据二次根式的性质得到2x =，计算出1x y +=-，从而计算出最终的答案．解：∵3y =∵2020x x -≥⎧⎨-≥⎩得22x x ≥⎧⎨≤⎩∵2x =∵33y ==- ∵202220222022()(23)(1)1x y +=-=-= ∵2022()1x y +=．【点拨】本题考查二次根式、幂运算的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识．举一反三：【变式】 已知实数a 、b 、c |1|a +=(1) 求证：b c =；(2) 求a b c -++的平方根． 【答案】(1)见分析 (2)3±【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得,,a b c 的值，进而求得a b c -++的平方根．(1)证明：0≥0，0,0b c c b -≥-≥，b c ∴=；(2)解：|1|a +=b c =，10a -=，1,4a b ∴=-=， 4c b ∴==，1449a b c ∴-++=++=，9的平方根是3±．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键．类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分3．已知21a-＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是113的整数部分，求a+b+2c 的平方根．【答案】±5【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．解：＝3，∵2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∵15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵1011，∵c＝10，∵a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∵a+b+2c的平方根为±5．【点拨】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．举一反三：【变式】已知a b－1是400【答案】6a的值，进而利用算术平方根的定义得出b 的值，即可得出答案．解：∵a∵a＝15，∵b－1是400的算术平方根，∵b－1＝20，解得：b＝21，6．【点拨】此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根，得出a 的值是解题关键．类型四、算术平方根相关规律问题4.先填写表，通过观察后再回答问题：(1)表格中x ＝ ，y ＝ ；(2)从表格中探究a∵ ；∵8.973＝89.73，用含m 的代数式表示b ，则b ＝ ；(3)a 的大小．【答案】(1)0.1，10(2)∵31.6；∵100b m =(3)当0a =a =；当1a =a =；当01a <<a ；当1a >a 【分析】（1）根据算术平方根的性质，即可求解；（2）根据题意可得当a 扩大10010倍，∵≈3.16，即可求解；∵8.973＝89.73，即可求解；（3）分四种情况：当0a =时，当1a =时，当01a <<时，当1a >时，即可求解．(1)解：根据题意得：0.1,10x y ====；(2)解：根据题意得：当a 扩大10010倍，，31.6；8.973＝89.73， ∵100b m =；(3)当0a =0=a =；当1a =1=a =；当01a <<时，根据a a >；当1a >时，根据a a ；综上所述，当0a =a =；当1a =a ；当01a <<a >；当1a >时，a <．【点拨】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 举一反三：【变式】 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：221+=； 221+=；221+=；⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）请用含n （n 为正整数）的等式表示上述交化规律：______；（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；（3的长度；（4）若S 表示三角形面积，121OP P S S =△，232OP P S S =△，343OP P S S =△⋅⋅⋅，计算出222212310S S S S +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）221+=；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见分析；（4）554． 【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得； （2）根据等式和图形即可得；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，可得6OP 出点7P ，连接7OP 即为所求；（4）先分别求出123,,S S S 的值，再归纳总结出一般规律得出n S 的值，从而可得10S 的值，然后代入求和即可．解：（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为221+=故答案为：221+=；（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，即可得6OP 作点7P ，连接7OP ，则7OP 即为所求，如图所示：（4）121111122OP P S S==⨯⨯==2321122OP P S S ==⨯343112OP P S S==⨯归纳类推得：1112n n n OP P S S +==⨯当10n =时，101110112OP P S S==⨯=则222222221231010()2S S S S +++⋅⋅⋅+=++++ 123104444=++++123104++++=554=． 【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．类型五、算术平方根的实际应用5.如图，用两个边长为18cm 的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为230cm 请说明理由．【答案】不能，理由见分析【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为2：1，计算长方形的长与宽进行验证即可．解：不能，∵2+2=36（cm 2）， ∵大正方形的边长为6cm ，设截出的长方形的长为2b cm ，宽为b cm ， ∵2b 2=30，∵b∵2b =6=，∵不能截得长宽之比为2：1，且面积为30cm 2的长方形纸片．【点拨】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是正确解答的关键． 举一反三：【变式】 小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为1S 、2S ）．(1)如图1，121,1S S ==，拼成的大正方形1111D C B A 边长为___________； 如图2，121,4S S ==，拼成的大正方形2222A B C D 边长为___________； 如图3，121,16S S ==，拼成的大正方形3323A B C D 边长为___________．(2)若将（1）中的图3沿正方形3333A B C D 边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∵3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；【答案】(2)不能用正方形3333A B C D 纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见分析 【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．(1)解：如图1，当S 1=1，S 2=1，拼成的大正方形A 1B 1C 1D 1的面积为1+1=2，因此其边如图2，当S 1=1，S 2=4，拼成的大正方形A 2B 2C 2D 2的面积为1+4=5如图3，当S 1=1，S 2=16，拼成的大正方形A 3B 3C 3D 3的面积为1+16=17，(2)解：不能，理由如下：设长方形的长为4x ，宽为3x ，则有4x •3x =14.52， 所以x 2=1.21， 即x =1.1（x ＞0），因此长方形的长为4x =4.4，宽为3x =3.3， 因为（4.4）2=19.36＞17，所以不能用正方形A 3B 3C 3D 3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形． 【点拨】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．类型六、平方根概念的理解6.已知10﹣3a 的平方根是±1，a ﹣b +2的算术平方根是2，求3a +b 的值． 【答案】10【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a 与b 的值，然后代入3a +b 即可． 解：∵10﹣3a 的平方根是±1，∵()21031a -=±， 解得，a ＝3，∵a ﹣b +2的算术平方根是 2， ∵222a b -+=， 解得，b ＝1，∵333110a b +=⨯+=．【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的概念，理解掌握概念是解题的关键． 举一反三：【变式】 已知一个正数的两个不相等的平方根是6a +与29a -． （1）求a 的值及这个正数；（2）求关于x 的方程()2280ax --=的解． 【答案】（1）a =1，这个正数是49；（2）8x =± 【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到6a ++29a -=0，求解即可得到答案；（2）将a =1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可． 解：（1）由题意得6a ++29a -=0，解得a =1，∵这个正数是2(6)49a +=；（2）将a =1代入方程()2280ax --=，得2x -64=0， 解得8x =±．【点拨】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．类型七、求一个数的平方根7.先用平方根符号表示下列各数，再求值： (1)9(2)1625【答案】(1)记为3±(2)±记为45± 【分析】（1）根据平方根的概念与性质，计算即可； （2）根据平方根的概念与性质，计算即可．(1)解：原式=3=±(2)解：原式45=±【点拨】本题考查平方根的概念与性质，一个数a 的正的平方根，用符号表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，a 的负平方根用“表示，根指数是2时，通常略去不写．如“根号a ”，“正、负根号a ”，掌握平方根的概念与性质是解题的关键．举一反三：【变式】 求下列各数的平方根： (1)100； (2)64； (3)4964；(4)1.21．【答案】(1)±10(2)±8(3)78±(4)±1.1【分析】（1）根据2100±=（10）计算即可． （2）根据264±=（8）计算即可．（3）根据2749864±=（）计算即可． （4）根据2 1.21±=（ 1.1）计算即可．解：(1)∵2100±=（10），∵100的平方根是±10．(2)∵264±=（8），∵64的平方根是±8． (3)∵2749864±=（） ∵4964的平方根是78±． (4)∵2 1.21±=（ 1.1），∵1．21的平方根是±1．1．【点拨】本题考查了平方根即如果2x a =（a 是非负数），则称x 是a 的平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．类型八、求代数式的平方根8.若2x +的算术平方根是3，求34+x 的平方根．【答案】5±【分析】根据2x +的算术平方根是3，求出x 的值后，代入34+x 中，再求34+x 的平方根．解：∵2x +的算术平方根是3，∵29x +=，∵7x =，∵3425x +=，∵34+x 的平方根为5±．【点拨】本题考查了算数平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算数平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉．举一反三：【变式】k 是64的平方根，求m -n+k 的平方根．【答案】【分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n -0，解得m=-1，n=2；由k 是64的方根，得出k=±8，再代入m 、n 、k 的值求得m -n+k 的值，求其平方根即可．解：0，又，∵m+1=0，2-n-0，∵m=-1，n=2，∵k是64的平方根，∵k=±8；当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；综合上述可得：m-n+k的平方根为【点拨】考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．类型九、已知一个数的平方根，求这个数9.一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a，则x是多少？【答案】25【分析】直接利用平方根的性质求解．解：依题意得，3a﹣2+4﹣a＝0，∵a＝﹣1，∵3a﹣2＝﹣5，∵x＝25．【点拨】本题考查了平方根的性质，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．【答案】a和x的值分别为﹣1，25【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到4a﹣1+（4﹣a）＝0，求出a＝﹣1，再根据x＝（4a﹣1）2求出x即可．解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，∵4a﹣1+（4﹣a）＝0，解得a＝﹣1，∵x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．答：a和x的值分别为﹣1，25．【点拨】此题考查了已知一个数的平方根求参数，正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键．类型十、利用平方根解方程10.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：（x－1）2＝4解：∵（x－1）2＝4（1）∵x－1＝2（2）∵x＝3（3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤__________（填序号）原因是____________________________________.请写出正确的解答过程.【答案】（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数，见分析【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解．解：上述过程中有错误，错在步骤（2），原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数，正确的解答过程为：解：∵（x－1）2＝4∵x－1＝±2∵x＝3或x＝－1故答案为：（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数，【点拨】本题考查了根据平方根解方程，掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】求下列式子中的x：(1)25(x﹣35)2＝49；(2)12(x+1)2＝32．【答案】(1)x1＝2，x2＝45(2)x1＝7，x2＝﹣9【分析】（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．(1)解：25（x﹣35）2＝49，（x﹣35）2＝4925，x﹣35＝±75，x ﹣35＝75或x ﹣35＝﹣75， 解得：x 1＝2，x 2＝45-； (2)12（x +1）2＝32，（x +1）2＝32×2，（x +1）2＝64，x +1＝±8，x +1＝8或x +1＝﹣8，解得：x 1＝7，x 2＝﹣9．【点拨】此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键． 类型十一、平方根的应用11.如图∵所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图∵的方式拼成一个正方形．(1)图∵中阴影部分的正方形的边长等于______________(2)请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积：方法一：________________________________________________方法二：________________________________________________(3)根据（2）直接写出22(),(),m n m n mn -+这三个代数式之间的等量关系．(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x 和y ，若9,18x y xy +==，求x y -的值．【答案】(1)m n -(2)2()m n -，2()4m n mn +-(3)22()()4m n m n mn -=+-(4)3±【分析】（1）利用小长方形的长减去宽即可得；（2）方法一：根据（1）的结论，直接利用正方形的面积公式即可得；方法二：利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；（3）根据（2）中方法一与方法二求出的面积相等即可得；（4）先利用（3）中的等式求出2()x y -的值，再根据平方根的性质即可得．(1)解：由题意得：小长方形的长为m ，宽为n ，则图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，故答案为：m n -．(2)解：方法一：图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，则其面积为2()m n -；方法二：图∵中大正方形的边长为m n +，四个小长方形的长均为m ，宽均为n ，则图∵中阴影部分的面积为2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-．(3)解：因为（2）中方法一与方法二求出的面积相等，所以22()()4m n m n mn -=+-．(4)解：9,18x y xy +==，222()()494189x y x y xy ∴-=+-=-⨯=，3x y ∴-=±．【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方根的应用，结合图形，正确发现图∵中阴影面积的两种求解方法是解题关键．举一反三：【变式】 已知|2020|a a -=，求22020a -的值．【答案】2022【分析】根据算术平方根的非负性确定a 的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．解：∵20220a -≥，∵2022a ≥．∵20200a -<，∵原式化简为2020a a -+=，2020=，∵220222020a -=，故220202022a -=．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定a 的范围化简绝对值是解题的关键．。
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第2章实数》章末综合知识点分类练习(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第2章实数》章末综合知识点分类练习（附答案） 一．平方根1．已知一个数的平方根是2a +5与﹣3a +25，求这个数．2．（1）若5a +1和a ﹣19是数m 的两个不同的平方根，求m 的值． （2）如果y ＝+3，试求2x +y 的值．二．算术平方根3．已知实数a ，b ，c 满足：b ＝+4，c 的平方根等于它本身．求的值．4．若一正数x 的平方根是2a ﹣1和﹣a +2， 是5的算术平方根，求x +5y 的平方根．三．非负数的性质：算术平方根 5．已知：（x +2）2与互为相反数，求（x +y ）2018的平方根．6．若+（1﹣y ）2＝0．（1）求x ，y 的值； （2）求+++…+()()202220221++y x 的值．四．立方根 7．已知M ＝是m +3的算术平方根，N ＝是n ﹣2的立方根，求：M ﹣N 的值的平方根． 五．计算器—数的开方8．（1）观察下表，你能得到什么规律？n 0.008 8 8000 80000000.2220200（2）请你用计算器求出精确到0.001的近似值，并利用这个近似值根据上述规律，求出和的近似值．六．无理数9．在实数：3.14159，，1.010010001…，，0，，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个七．实数10．把下列各数填在相应的大括号里：﹣（﹣2）2，，﹣0.101001，﹣|﹣2|，﹣0.，0.202002…，，0，负整数集合：（…）；负分数集合：（…）；无理数集合：（…）．八．实数的性质11．若|a|＝，则﹣的相反数是．12．已知|x﹣1|＝，求实数x的值．九．实数与数轴13．如图1，已知在数轴上有A、B两点，点A表示的数是﹣6，点B表示的数是9．点P 在数轴上从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点Q在数轴上从点B出发，以每秒3个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点Q到达点A时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）AB＝；t＝1时，点Q表示的数是；当t＝时，P、Q两点相遇；（2）如图2，若点M为线段AP的中点，点N为线段BP中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长；（3）如图3，若点M为线段AP的中点，点T为线段BQ中点，则点M表示的数为；点T表示的数为；MT＝．（用含t的代数式填空）十．实数大小比较14．先填写表，通过观察后再回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…（1）表格中x＝，y＝；（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知≈3.16，则≈；②已知＝8.973，若＝897.3，用含m的代数式表示b，则b＝；（3）试比较与a的大小．十一．估算无理数的大小15．阅读下面文字，然后回答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，由于的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用﹣1表示．由此我们得到一个真命题：如果＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y＝﹣1．请解答下列问题：（1）如果＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，那么a＝，b＝；（2）如果﹣＝c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，那么c＝，d＝；（3）已知2+＝m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣n|的值．十二．实数的运算16．（π﹣1）0+（﹣）﹣1+|5﹣|﹣2．17．（1）计算：（2）求x的值：（x﹣5）3＝﹣8十三．二次根式的定义18．已知是整数，则满足条件的最小正整数n是．十四．二次根式有意义的条件19．使在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．20．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．十六．最简二次根式21．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有个．十七．二次根式的乘除法22．化简：（b＜0）．十八．化简分母中的二次根式23．计算：＝．24．阅读下面计算过程：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．求：（1）的值．（2）（n为正整数）的值．（3）+++…+的值．十九．可以合并的二次根式25．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值为．26．若最简二次根式和是可以合并的二次根式．（1）求x，y的值；（2）求的值．二十．二次根式的加减法27．计算：+的结果为．28．化简．29．化简：（）2﹣＝．二十二．二次根式的化简求值30．若x，y是实数，且y＝++，求（x+）﹣（+）的值．参考答案一．平方根1．解：∵一个数的平方根是2a+5与﹣3a+25，∴2a+5+（﹣3a+25）＝0，解得a＝30，∴2a+5＝2×30+5＝65，∴这个数是：652＝4225．2．解：（1）∵5a+1和a﹣19是数m的两个不同的平方根，∴5a+1+a﹣19＝0，解得a＝3，所以，5a+1＝3×5+1＝16，m＝162＝256；（2）由题意得，x2﹣4≥0且4﹣x2≥0，所以，x2≥4且x2≤4，所以，x2＝4，解得x＝±2，又∵x+2≠0，∴x≠﹣2，所以，x＝2，y＝3，所以，2x+y＝2×2+3＝7．二．算术平方根3．解：∵﹣（a﹣3）2≥0，∴a＝3把a代入b＝+4得：∴b＝4∵c的平方根等于它本身，∴c＝0∴＝．4．解：∵一正数x 的平方根是2a ﹣1和﹣a +2， ∴2a ﹣1﹣a +2＝0，解得：a ＝﹣1． ∴2a ﹣1＝﹣3， ∴x ＝（﹣3）2＝9． ∵是5的算术平方根，∴3×9﹣2y ﹣9＝2，解得：y ＝8． ∴x +5y ＝49．∴x +5y 的平方根是±7． 三．非负数的性质：算术平方根 5．解：因为：（x +2）2与互为相反数，所以：（x +2）2+＝0，又因为：（x +2）2≥0，≥0， 所以 x +2＝0，x +2y ＝0， 所以x ＝﹣2，y ＝1， 所以（x +y ）2018＝1，所以（x +y ）2018的平方根是±1． 6．解：（1）根据题意得，解得；（2）原式＝+++…+202320241＝1﹣+﹣+﹣+…+20231﹣20241＝1﹣20241＝20242023． 四．立方根 7．解：∵M ＝是m +3的算术平方根，∴m ﹣4＝2，解得m＝6，∴M＝＝3；∵N＝是n﹣2的立方根，∴2m﹣4n+3＝3，即12﹣4n+3＝3，解得n＝3，∴N＝＝1，∴M﹣N＝3﹣1＝2，∴M﹣N的值的平方根是±．五．计算器—数的开方8．解：（1）被开方数的小数点每向右（左）移动3位，立方根的小数点向相同的方向移动1位；（2）∵，∴，．六．无理数9．解：3.14159，＝4，0，是有理数，1.010010001…，﹣，是无理数，共有3个，故选：C．七．实数10．解：在﹣（﹣2）2，，﹣0.101001，﹣|﹣2|，﹣0.，0.202002…，，0，中，负整数集合是：（﹣（﹣2）2，﹣|﹣2|，…）；负分数集合是：（﹣0.101001，﹣0.，…）；无理数集合是：（0.202002…，，…）．八．实数的性质11．解：∵|a|＝，∴a2＝6，∴﹣＝﹣＝﹣2，﹣2的相反数是2．故本题的答案是2．12．解：∵|x﹣1|＝，∴x﹣1＝±．解得：x＝+1或x＝﹣+1．∴x的值为1﹣或1+．九．实数与数轴13．解：（1）AB＝9﹣（﹣6）＝15，t＝1时，BQ＝3，OQ＝6，设t秒后相遇，由题意（2+3）t＝15，t＝3，故答案为15，6，3（2）答：MN长度不变，理由如下：∵M为AP中点，N为BP中点∴MP＝AP，NP＝BP，∴MN＝MP+NP＝（AP+BP）＝AB＝7.5．（3）则点M表示的数为t﹣6；点T表示的数为9﹣t；MT＝15﹣t；故答案为t﹣6，9﹣t，15﹣t；十．实数大小比较14．解：（1）x＝0.1，y＝10；（2）①根据题意得：≈31.6；②根据题意得：b＝10000m；（3）当a＝0或1时，＝a；当0＜a＜1时，＞a；当a＞1时，＜a，故答案为：（1）0.1；10；（2）①31.6；②10000m十一．估算无理数的大小15．解：（1）∵＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，2＜＜3，∴a＝2，b＝﹣2；（2）∵﹣＝c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，2＜＜3，﹣3＜﹣＜﹣2，∴c＝﹣3，d＝3﹣；（3）∵2+＝m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，∴m＝4，n＝﹣2，则|m﹣n|＝|4﹣+2|＝6﹣．故答案为：2，﹣2；﹣3，3﹣，6﹣．十二．实数的运算16．解：（π﹣1）0+（﹣）﹣1+|5﹣|﹣2＝1﹣2+3﹣5﹣2＝﹣6+．17．解：（1）原式＝5﹣4+2＝3；（2）开立方得：x﹣5＝﹣2，解得：x＝3．十三．二次根式的定义18．解：∵8＝22×2，∴n的最小值是2．故答案为：2．十四．二次根式有意义的条件19．解：由题意，得3﹣x≥0，且x≠0，解得x≤3且x≠0，故答案为：x≤3且x≠0．十五．二次根式的性质与化简20．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，∴原式＝|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|＝a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）＝a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c＝3a+b﹣c．十六．最简二次根式21．解：，是最简二次根式，故答案为：2．十七．二次根式的乘除法22．解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，∴原式＝•（﹣b）•（a）÷3＝﹣3a2b÷3＝﹣3a2b×（﹣）＝a2b2×＝ab．十八．化简分母中二次根式23．解：原式＝＝＝3．故答案为：3．24．解：（1）＝＝﹣；（2）＝＝﹣；（3）+++…+＝（﹣1）+（﹣）+（2﹣）+…+（10﹣）＝10﹣1＝9．十九．可以合并的二次根式25．解：∵最简二次根式与是可以合并的二次根式，∴2a﹣3＝5，解得：a＝4．故答案为：4．26．解：（1）根据题意知，解得：；（2）当x＝4、y＝3时，＝＝＝5．二十．二次根式的加减法27．解：原式＝+＝+2＝．故答案为：．28．解：＝﹣＝﹣＝﹣＝+4﹣﹣1＝3．二十一．二次根式的混合运算29．解：根据题意得3﹣x≥0，解得x≤3，所以原式＝3﹣x﹣＝3﹣x﹣（3﹣x）＝0．故答案为0．二十二．二次根式的化简求值30．解：∵x，y是实数，且y＝++，∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得：x＝，∴y＝，∴（x+）﹣（+）的值．＝2x+2﹣x﹣5＝x﹣3＝﹣3＝﹣．。
初二数学上册知识点总结及练习、答案八年级上册
初二数学上册知识点总结及练习、答案八年级上册规律方法指导1．内角和与边数成正比：边数增加, 内角和增加；边数减少, 内角和减少 . 每增加一条边 ,内角的和就增加180°（反过来也成立） , 且多边形的内角和必须是180°的整数倍 .2．多边形外角和恒等于360°, 与边数的多少无关 .3．多边形最多有三个内角为锐角, 最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角, 最少没有钝角 .4．在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时, 常与方程思想相结合 , 运用方程思想是解决本节问题的常用方法.5．在解决多边形的内角和问题时, 通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形 , 是研究复杂图形的基础, 同时注意转化思想在数学中的应用.经典例题透析类型一：多边形内角和及外角和定理应用1．一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍 , 它是几边形？总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用.只要设出边数, 根据条件列出关于的方程 , 求出的值即可 , 这是一种常用的解题思路.举一反三：【变式 1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800° , 求这个多边形的边数 .【变式 2】一个多边形除了一个内角外 , 其余各内角和为2750°, 求这个多边形的内角和是多少？【答案】设这个多边形的边数为, 这个内角为, .6 / 20【变式 3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350° , 求这个多边形的边数。
类型二：多边形对角线公式的运用【变式 1】一个多边形共有 20 条对角线 , 则多边形的边数是（）.A． 6 B． 7 C ．8 D．9【变式 2】一个十二边形有几条对角线。
总结升华：对于一个 n 边形的对角线的条数 , 我们可以总结出规律条 , 牢记这个公, 以后只要用相应的 n 的值代入即可求出对角线的条数 , 要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。
八年级上册数学基础训练卷子
八年级上册数学基础训练卷子全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：八年级上册数学基础训练卷子一、选择题1. 下列哪个数与3/5等值？A. 0.6B. 1.2C. 2.5D. 0.35. 已知a=3，b=5，则a+b的平方等于多少？A. 4B. 16C. 25D. 64二、填空题1. 36的平方根是_______。
2. 90的一半是_______。
3. 0.25用分数表示为_________。
4. 12%用小数表示为_________。
5. 已知a=3，b=4，则a的平方加b的平方等于_______。
三、计算题四、应用题1. 一条长为5米的绳子，剪成了3段，第一段长2.3米，第二段长1.1米，问第三段长多少米？2. 一辆自行车由A到B共走了15公里，第一小时速度为10km/h，第二小时为15km/h，请问A到B的距离是多少公里？3. 一个玻璃罐装满了水果罐头，已知这个罐头的质量为1500克，玻璃罐的质量为300克，问罐头的质量占了总重量的百分之多少？4. 成本为1500元的商品打6.5折后售价是多少？5. 甲乙两地相距120公里，两辆车同时出发，甲车每小时行驶30公里，乙车每小时行驶40公里，问几个小时后两车相遇？以上就是八年级上册数学基础训练卷子的内容，希望同学们能认真完成，加油！第二篇示例：【八年级上册数学基础训练卷子】一、选择题1. 下列哪一组数中，只有一个是质数。
A. 13、17、21、29B. 3、5、7、11C. 2、4、6、8D. 19、23、25、272. 下列哪个数能整除24？A. 5B. 6C. 8D. 93. 若3a - 2 = 10，那么a 的值是多少？A. 2B. 4C. 6D. 84. 一个长方形的长为12厘米，宽为8厘米，它的周长是多少？A. 28厘米B. 32厘米C. 36厘米D. 40厘米二、填空题1. 48 ÷ 6 = ______2. 7 x 4 = ______3. 0.3 x 5 = ______4. 19 - 8 = ______5. 15 + 6 = ______三、解答题1. 某商店原价出售一本书是25元，现在打8折出售，打折后的价格是多少？2. 一条绳子长10米，需要剪成3段，其中一段为4米，一段为2米，剩下的一段是多长？3. 某地区去年的降雨量为560毫升，今年比去年增加了30%，今年的降雨量是多少？4. 甲乙两人分别向同一方向同时前进，甲的速度是每小时4千米，乙的速度是每小时6千米。
八年级上册数学沪科版基础训练
八年级上册数学沪科版基础训练一、序言数学是一门严谨、深奥、有趣的学科，在学生的学习过程中，数学作为一门基础学科扮演着至关重要的角色。
为了帮助学生建立扎实的数学基础，提升数学能力，沪科版数学教材为八年级上册特别设计了基础训练，以期能够更好地辅助学生的学习。
本文将对此基础训练进行系统、全面的介绍，以帮助同学们更好地理解和应用。
二、基础训练内容八年级上册数学沪科版基础训练主要内容包括以下几个方面：1.数与代数本部分主要包括有理数的运算、方程与不等式、一元一次方程与一元一次不等式、整式的加减法与乘法、乘法公式及其应用、一元二次方程等内容。
通过这些内容的学习，学生将能够建立对数与代数的基本认识，并能够在实际问题中运用相应的知识解决问题。
2.平面图形的性质本部分主要包括平行线与三角形、四边形的性质、多边形的性质、相似三角形、勾股定理等内容。
通过对这些内容的学习，学生将能够了解平面图形的基本性质，并能够运用相应的知识解决实际问题。
3.统计与概率本部分包括统计图、中心倾向度量、离散度量、样本与总体、概率的基本概念等内容。
通过这些内容的学习，学生将能够了解统计与概率的基本概念，并能够在实际问题中应用相应的知识进行分析和计算。
三、基础训练的重要性数学基础训练旨在通过严谨的训练和练习来巩固学生的数学基础，提升数学能力。
在八年级上册学习数学过程中，学生将接触到更多抽象的、深入的数学知识，因此建立扎实的数学基础十分重要。
1.巩固基础知识数学基础训练能够帮助学生巩固所学的基础知识，弥补知识的漏洞，消除知识的薄弱点，从而打下坚实的数学基础。
2.提升解题能力数学基础训练注重对典型题型的训练，通过大量的题目练习，学生将掌握相应的解题技巧，提升解题能力。
3.培养逻辑思维数学基础训练注重对逻辑思维的培养，通过训练能够提高学生的逻辑思维能力，培养学生的分析问题和解决问题的能力。
四、基础训练的学习方法在学习八年级上册数学沪科版基础训练时，学生可以采取以下几种学习方法：1.系统学习学生应该按照教材的要求，按部就班地系统学习基础训练的内容，确保每个知识点都能够掌握。
北师大版八年级数学上册 第二章 二次函数知识整理及基础训练(含答案)
第二章 二次函数知识整理及基础训练【知识整理】1. 定义：形如：c bx ax y ++=2（其中a,b,c 是常数，且a ≠0）的函数是二次函数。
2. 本质：二次函数是用自变量的二次式表示的函数。
3. 图象：二次函数的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴和抛物线的交点叫做抛物线的顶点。
4. 二次项的系数a 对抛物线的影响：当 a>0时,抛物线的开口向上, 当 a<0时,抛物线的开口向下；a 越大开口越小, a 越小开口越大、综上所述：a 决定抛物线的开口大小和方向，即a 决定抛物线的形状。
5. 一次项的系数b 对抛物线的影响： 当b=0时,抛物线的对称轴是y 轴； 当a,b 同号时,对称轴在y 轴的左边；当a,b 异号时,对称轴在y 轴的右边。
即“左同右异” 综上所述：a,b 决定抛物线的左右位置。
6. 常数项c 对抛物线的影响：当c>0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； 当c<0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 当c=0时,抛物线经过原点、综上所述：c 决定抛物线的上下位置。
7. 判别式⊿对抛物线的影响：当⊿>0时,抛物线与x 轴有两个交点；当⊿=0时,抛物线与x 轴有一个交点,即顶点在x 轴上； 当⊿<0时,抛物线与x 轴没有交点。
综上所述：⊿决定抛物线与x 轴交点的个数。
8. 当 a>0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为正；当 a<0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为负。
9. 当x=0, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c, 当x=1, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c b a ++, 当x=-1, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c b a+-,……10. 二次函数c bx ax y ++=2的对称轴为直线abx 2-=，顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,2211. 二次函数的解析式有如下三种形式：12. 当 a>0时，若a bx 2-<，y 随着x 的增大而减小，若a b x 2->，y 随着x 的增大而增大，当 a<0时，若a bx 2-<，y 随着x 的增大而增大，若ab x 2->，y 随着x 的增大而减小。
人教版初中数学八年级上册全册知识梳理及练习(提高版)(家教补习复习专用)
新人教版八年级上册数学全册知识点及巩固练习题与三角形有关的线段（提高）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 【与三角形有关的线段 2、三角形的分类 】 2．三角形的分类 (1)按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的的差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1．三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB ＝∠ADC＝90°.注意：AD是ΔABC的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2．三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝21BC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3．三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝21∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC 为公共边的“共边三角形”有（ ）.A ．2对；B ．3对；C ．4对；D ．6对；EDC BA【答案】B.【解析】以BC 为公共边的“共边三角形”有：△BDC 与△BEC 、△BDC 与△BAC 、△BEC 与 △BAC 三对．【总结升华】根据新定义和已学过的知识，全面准确的识图．举一反三：【变式】根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是( ).(1) (2)(3)A ．6(n-1)B ．6nC ．6(n+1)D ．12n 【答案】C.类型二、三角形的三边关系2.（2016春•丹阳市期末）若三角形的三边长分别为a 、b 、5，其中a 、b 为正整数，且a ≤b ≤5，则所有满足条件的三角形共有 个．【思路点拨】根据已知条件，得a 的可能值是1，2，3，4，5，再结合三角形的三边关系，对应求得b 的值即可．【答案与解析】解：∵三角形的三边a 、b 、5的长都是整数，且a ≤b ≤5，c 最大为5， ∴a=1，b=5，c=5； a=2，b=4，或5，c=5；a=3，b=3，或4，或5，c=5； a=4，b=4，或5，c=5； a=5，b=5，c=5．故存在以a 、b 、5为三边长的三角形的个数为9个．【总结升华】考查了三角形三边关系，此题要注意根据“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析计算． 举一反三：【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成个不同的三角形.当x为时，所组成的三角形周长最大.【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因为x为整数，故x可取6，7，8；当x=8时，组成的三角形周长最大为11).3.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】三角形边的关系经常用来证明线段之间的不等关系．举一反三：【变式】（2015春•邗江区校级月考）已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b ﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|=．【答案】0.解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，=（a+b+c）﹣（﹣a+b+c）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c），=a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c，=0.类型三、三角形中的重要线段4.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD 的端点D 是AC 边的中点，所以AD ＝CD ，造成两部分不等的原因是BC 边与AB 、AC 边不等，故应分类讨论． 【答案与解析】解：如图(1)，设AB ＝x ，AD ＝CD ＝12x ． (1)若AB+AD ＝12，即1122x x +=，所以x ＝8， 即AB ＝AC ＝8，则CD ＝4．故BC ＝15-4＝11． 此时AB+AC ＞BC 所以三边长为8，8，11． (2)如图(2)，若AB+AD ＝15，即1152x x +=，所以x ＝10． 即AB ＝AC ＝10，则CD ＝5．故BC ＝12-5＝7． 显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD 把△ABC 的周长分为12cm 和15cm 两部分，哪部分是12cm ，哪部分是15cm ，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论． 【与三角形有关的线段 例5、】 举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC 上取D 、E 、F ，使BD=ED=EF=FC ，连接AE 、ED 、AF ．方案2：如答图(2)，分别取AB 、BC 、CA 的中点D 、E 、F ，连接DE 、EF 、DF ． 方案3：如答图(3)，取BC 中点D 、再取AD 的中点E ，连接AD 、DE 、BE 、CE ．方案2：如答图(4)，在 AB 取点 D ，使DC ＝2BD ，连接AD ，再取AD 的三等分点E 、F ，连接CE 、CF ．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离.它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了.【总结升华】要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等.举一反三：【变式】（2014秋•仙桃校级月考）（1）下列图中具有稳定性是（填序号）（2）对不具稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【答案】解：（1）具有稳定性的是①④⑥三个．（2）如图所示：与三角形有关的线段(提高)巩固练习【巩固练习】一、选择题1．如果三条线段的比是：①1:3:4；②1:2:3；③1:4:6；④3:3:6；⑤6:6:10；⑥3:4:5，其中可构成三角形的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为 ( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 3．（2016春•成安县期末）下列说法正确的是（ ） ①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③4．如图，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，则下列说法中错误的是 ( ) A ．在△ABC 中，AC 是BC 边上的高 B ．在△BCD 中，DE 是BC 边上的高 C ．在△ABE 中，DE 是BE 边上的高D ．在△ACD 中，AD 是CD 边上的高5．（2015春•南长区期中）有4根小木棒，长度分别为3cm 、5cm 、7cm 、9cm 任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6．给出下列图形：其中具有稳定性的是( )A ．①B ．③C ．②③D ．②③④7．如图所示为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为214平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分? ( )A ．11B ．12C ．13D ．148.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架．如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条?( )A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根二、填空题 9．（2014春•渝北区期末）对面积为1的△ABC 进行以下操作：分别延长AB 、BC 、CA 至点A 1、B 1、C 1，使得A 1B=2AB ，B 1C=2BC ，C 1A=2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1（如图所示），记其面积为S 1．现再分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1至点A 2、B 2、C 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2A 1=2C 1A 1，顺次连接A 2、B 2、C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2，则S 2= ．10．三角形的两边长分别为5 cm 和12 cm ，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________． 11．（2016春•丹阳市校级期中）如图，AD ⊥BC 于D ，那么图中以AD 为高的三角形有 个．12.在数学活动中，小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值(结果用n 表示)，设计了如图所示的几何图形．请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)2n +＝________．13．请你观察下图的变化过程，说明四边形的四条边一定时，其面积________确定．(填“能”或“不能”)14．如图，是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，使AB 固定，转动AD ，当∠DAB ＝_____时，ABCD 的面积最大，最大值是________．三、解答题15．草原上有4口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，如图所示，如果现在要建一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到4口油井的距离之和HA+HB+HC+HD为最小，说明理由．16．取一张正方形纸片，把它裁成两个等腰直角三角形，取出其中一张如图①，再沿着直角边上的中线AD按图②所示折叠，则AB与DC相交于点G．试问：△AGC和△BGD的面积哪个大?为什么?17. 已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，（1）求∠BAC的度数．（2）△ABC是什么三角形．18.（2014春•西城区期末）阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的高．P是BC边上一点，PM，PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M，N．求证：BD=PM+PN．他发现，连接AP，有S△ABC=S△ABP+S△ACP，即AC•BD=AB•PM+AC•PN．由AB=AC，可得BD=PM+PN．他又画出了当点P在CB的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：BD=PN﹣PM．请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；证明：连接AP．∵S△ABC=S△APC﹣，∴AC•BD=AC•﹣AB•．∵AB=AC，∴BD=PN﹣PM．（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一点，PM，PN，PQ 分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．①如图3，若点P在△ABC的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：；②若点P在如图4所示的位置，利用图4探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B；【解析】根据两边之和大于第三边：⑤⑥满足.2. 【答案】B；【解析】5+9＝14，所以第三边长应为偶数，大于4而小于14的偶数有4个，所以3. 【答案】B；【解析】①、②正确；而对于三角形三条高：锐角三角形的三条高在三角形的内部；直角三角形有两条高在边上；钝角三角形有两条高在外部，故③错误．4. 【答案】C；【解析】三角形高的定义.5. 【答案】B；【解析】解：可搭出不同的三角形为：3cm、5cm、7cm；3cm、5cm、9cm；3cm、7cm、9cm；5cm、7cm、9cm共4个，其中3cm、5cm、9cm不能组成三角形，故选B．6. 【答案】C；【解析】均是由三角形构成的图形，具有稳定性.7. 【答案】B；【解析】设每个小正方形的边长为a，则有16a2－4 a×2 a÷2－3 a×2 a÷2－4 a×a÷2＝214，解得a2＝34，而整个方格纸的面积为16a2＝12（平方公分）.8. 【答案】B；二、填空题9. 【答案】361；【解析】解：连接A1C，根据A1B=2AB，得到：AB：A1A=1：3，因而若过点B，A1作△ABC与△AA1C的AC边上的高，则高线的比是1：3，因而面积的比是1：3，则△A1BC的面积是△ABC的面积的2倍，设△ABC的面积是a，则△A1BC的面积是2a，同理可以得到△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，是4a，则△A1B1B的面积是6a，同理△B 1C 1C 和△A 1C 1A 的面积都是6a ，△A 1B 1C 1的面积是19a ，即△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的19倍，同理△A 2B 2C 2的面积是△A 1B 1C 1的面积的19倍，∴S 2=19×19×1=361．故答案为：361．10.【答案】29cm ；11.【答案】6；12．【答案】112n -； 【答案】解：如图所示，设大三角形的面积为1，然后不断地按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n+表示组成面积为1的大三角形的n 个小三角形的面积之和，因此23411112222++++ (12)n +＝112n -． 13.【答案】不能；【解析】因为四边形的高不能确定．14.【答案】90°， 48 cm 2；三、解答题15.【解析】解：维修站应建在四边形两对角线AC 、BD 的交点H 处，理由如下：取不同于H 的F 点，根据三角形两边之和大于第三边可得；FD+FB ＞HD+HB ，FC+FA ＞HC+HA ． 所以：FD+FB+FC+FA ＞HD+HB+HC+HA ，即HD+HB+HC+HA 为最小．16.【解析】解：∵ BD ＝CD ，∴ A B D A C D S S =△△． ∴ A B D A D G A C D A S S S S -=-△△△△． ∴ A D G B G D S S =△△．17.【解析】解：（1）当高AD 在△ABC 的内部时(如图(1))．因为∠BAD ＝70°，∠CAD ＝20°，所以∠BAC ＝∠BAD+∠CAD ＝70°+20°＝90°．当高AD在△ABC的外部时(如图(2))．因为∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，所以∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°．综上可知∠BAC的度数为90°或50°．（2）如图(1)，当AD在△ABC的内部时，因为∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝70°+20°＝90°，所以△ABC是直角三角形．如图(2)，当AD在△ABC的外部时，因为∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝70°-20°＝50°，∠ABC＝90°-∠BAD＝90°-70°＝20°，所以∠ACB＝180°-∠ABC-∠BAC＝180°-50°-20°＝110°．所以△ABC为钝角三角形．综上可知，△ABC是直角三角形或钝角三角形．18.【解析】解：（1）证明：连接AP．∵S△ABC=S△APC﹣S△APB，∴AC•BD=AC•PN﹣AB•PM．∵AB=AC，∴BD=PN﹣PM．（2）①BD=PM+PN+PQ；如图3，连接AP、BP、CP，∵S△ABC=S△APC+S△APB+S△BPC∴AC•BD=AC•PN+AB•PM+BC•PQ，∵AB=AC=BC，∴BD=PM+PN+PQ；②BD=PM+PQ﹣PN；如图4，连接AP、BP、CP，∵S△ABC=S△APB+S△BPC﹣S△APC．∵AC•BD=AB•PM+BC•PQ﹣AC•PN，∵AB=AC=BC，∴BD=PM+PQ﹣PN．与三角形有关的角（提高）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．（2016春•东平县期中）适合条件∠A=∠B=∠C的三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形【思路点拨】设∠A=x，则∠B=x，∠C=3x．根据三角形的内角和是180°，列方程求得三个内角的度数，即可判断三角形的形状．【答案与解析】解：设∠A=x，则∠B=x，∠C=3x．根据三角形的内角和定理，得x+x+3x=180，x=36．则∠C=108°．则该三角形是钝角三角形,故选B．【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．举一反三：【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度．【答案】60.【变式2】（2015春•新沂市校级月考）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A= ．【答案】40°.解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB），=180°﹣2（∠DBC+∠BCD）∵∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠BCD），∴∠A=180°﹣2（180°﹣∠BDC）∴∠BDC=90°+∠A，∴∠A=2（110°﹣90°）=40°．2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵ BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．类型二、三角形的外角【与三角形有关的角例4、】3.如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线，∠B=50º，∠C=70º，求∠DAE ．【答案与解析】解：∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－50°－70°＝60°,又AD 为∠BAC 的平分线,所以∠BAD ＝12BAC ∠＝30°,∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝50º＋30°＝80°,又 AE ⊥BC 于E ,所以∠DAE ＝90°－∠ADE ＝90°－80°＝10°.举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AE ⊥BC 于E ，AD 为∠BAC 的平分线，则∠DAE 与∠C －∠B 的数量关系 .【答案】2C B DAE ∠-∠∠=.4.如图所示，已知CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，CE 交BA 延长线于点E.求证： ∠BAC >∠B.【答案与解析】证明：在△ACE 中，∠BAC >∠1（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）. 同理在△BCE 中，∠2 >∠B ，因为∠1=∠2，所以∠BAC >∠B.【总结升华】涉及角的不等关系的问题时，经常用到三角形外角性质：“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”.举一反三：【变式】如图所示，用“<”把∠1、∠2、∠A 联系起来________.【答案】∠A <∠2 <∠1.类型三、三角形的内角外角综合5.（2015春•启东市校级月考）如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．（1）试探求：∠F与∠B、∠D之间的关系？（2）若∠B：∠D：∠F=2：4：x．求x的值．【思路点拨】（1）先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据对顶角相等和三角形内角和定理得到∠D+∠1=∠F+∠3，∠B+∠4=∠F+∠2，然后把两式相加即可得到∠F与∠B、∠D之间的关系；（2）设∠B=2a，则∠D=4a，∠F=ax，利用（1）中的结论得到2ax=2a+4a，然后解关于x的方程即可．【答案与解析】解：（1）∵CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠D+∠1=∠F+∠3，∠B+∠4=∠F+∠2，∴∠B+∠D+∠1+∠4=2∠F+∠3+∠2，∴∠F=（∠B+∠D）；（2）当∠B：∠D：∠F=2：4：x时，设∠B=2a，则∠D=4a，∠F=ax，∵2∠F=∠B+∠D，∴2ax=2a+4a∴2x=2+4，∴x=3．【总结升华】本题考查了三角形内角和定理：通过三角形内角和为180°列等量关系．也考查了角平分线的定义．举一反三：【变式1】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.【答案】解：因为∠AGF是△GCE的外角，所以∠AGF=∠C+∠E.同理∠AFG=∠B+∠D.在△AFG中，∠A+∠AFG+∠AGF=180°.所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.【变式2】一个三角形的外角中，最多有锐角( ).A．1个 B．2个 C．3个 D．不能确定【答案】A (提示：由于三角形最多有一个内角是钝角，故最多有一个外角是锐角．)与三角形有关的角（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1.如图所示，一根直尺EF压在三角板30°的角∠BAC上，与两边AC，AB交于M，N．那么∠CME+∠BNF是( )A．150° B．180° C．135° D．不能确定2．若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于( )A．30° B．45° C．60° D．55°3．下列语句中，正确的是( )A．三角形的外角大于任何一个内角B．三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和C．三角形的外角中，至少有两个钝角D．三角形的外角中，至少有一个钝角4．如果一个三角形的两个外角之和为270°，那么这个三角形是 ( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定5．（2016春•泰山区期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 ( )A．∠A+∠B＝∠C B．∠A=12∠B=13∠CC．∠A:∠B:∠C=1:2:3 D．∠A=2∠B=3∠C6.（2015春•泰山区期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（）A.70°B.80°C.90°D.100°二、填空题7．在△ABC中，若∠A-2∠B＝70°，2∠C-∠B＝10°，则∠C＝________．8．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．(1)若∠A＝76°，则∠BOC＝________；(2)若∠BOC＝120°，则∠A＝_______；(3)∠A与∠BOC之间具有的数量关系是_______．9. 已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的底角等于________．10．将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为________．11.（2016•贵港二模）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…∠A n﹣1BC的平行线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n，设∠A=θ，则∠A n=．12．如图，O是△ABC外一点，OB，OC分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF.若∠A＝n°，则∠BOC＝（用含n的代数式表示）.三、解答题13.如图，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.14．（2015春•扬州校级期中）如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）如果∠A=80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，则有∠MPB+∠NPC=90°﹣∠A．若将直线MN绕点P旋转，（ⅰ）如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由；（ⅱ）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（ⅰ）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D．试说明12D A ∠=∠．16．如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C＞∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于F．(1)试探索∠DEF与∠B，∠C的大小关系；(2)如图(2)所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索到的结论是否还成立?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A【解析】(1)由∠A＝30°，可得∠AMN+∠ANM＝180°-30°＝150°又∵∠CME＝∠AMN，∠BNF＝∠ANM，故有∠CME+∠BNF＝150°．2. 【答案】C；【解析】假如三角形的最小角不小于60°，则必有大于或等于60°的，因为该三角形三个内角互不相等，所以另外两个非最小角一定大于60°，此时，该三角形的三个内角和必大于180°，这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不可能成立，即它的最小角必小于60°．3. 【答案】C ；【解析】因为三角形的内角中最多有一个钝角，所以外角中最多有一个锐角，即外角中至少有两个钝角.4. 【答案】B；【解析】因为三角形的外角和360°，而两个外角的和为270°，所以必有一个外角为90°，所以有一个内有为90°.5. 【答案】D；6. 【答案】C；【解析】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=60°，∠ACB=180°﹣∠ACM=80°，∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，∵∠BPC=20°，∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠BCP=30°，∴∠A+∠P=90°，故选C．二、填空题7. 【答案】20°；【解析】联立方程组：A-2B=702C-10180BA B C∠∠︒⎧⎪∠∠=︒⎨⎪∠+∠+∠=︒⎩，解得20C∠=︒．8.【答案】128°, 60°，∠BOC＝90°+12∠A；9. 【答案】80°或50°；【解析】100°的补角为80°，(1)80°为三角形的顶角；（2）80°为三角形底角时，则三角形顶角为20°.10．【答案】75°；11.【答案】；【解析】解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A +∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ， ∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴∠A 1BC=∠ABC ，∠A 1CD=∠ACD ，∴∠A 1+∠A 1BC=（∠A +∠ABC ）=∠A +∠A 1BC ，∴∠A 1=∠A ，同理可得∠A 2=∠A 1==，…，∠A n =． 12.【答案】190n ︒-︒；∴∠COB=180°－[(180)2n n ︒+︒-︒]＝1902n ︒-︒. 三、解答题13.【解析】解：延长BE ，交AC 于点H,易得∠BFC=∠A+∠B+∠C再由∠EFC=∠D+∠E ，上式两边分别相加，得：∠A+∠B+∠C ＋∠D+∠E ＝∠BFC ＋∠EFC ＝180°.即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°14.【解析】解：（1）如图①∵在△ABC 中，∠A+∠B+∠ACB=180°，且∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=100°，∵∠1=∠ABC ，∠2=∠ACB ，∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB ）=×100°=50°，∴∠BPC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣50°=130°．（2）（ⅰ）如图③，由（1）知：∠BPC=180°﹣（∠1+∠2）；∵∠1+∠2=（180°﹣∠A ）=90°∠A ，∴∠BPC=180°﹣（90°﹣∠A ）=90°+∠A ；。
2.13 二次根式专项练习220212022学年八年级数学上册基础知识专项讲练北师大版
专题2.13 二次根式（专项练习2）一、单选题知识点一、最简二次根式的判断1．下列式子中，属于最简二次根式的是A B C D 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）.A．B C D3,则a的值为( )A．-34B．43C．1D．-1知识点二、最简二次根式化简4化为最简二次根式，得（）A．2B．C．D．25 ）A B C D6．下列说法中正确的是（ ）A B．9的平方根为3C是最简二次根式D．﹣27没有立方根知识点三、化为最简二次根式的参数7是同类二次根式，则x的值为（ ）A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝38x的值可能为( )A．x＝－12B．x＝34C．x＝2D．x＝59．化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a 的最小值为（ ）A．23B．21C．15D．5知识点四、同类二次根式10是同类二次根式的是（ ）A B C D11．若= (b为整数)，则a的值可以是（）A．15B．27C．24D．2012．下面说法正确的是（ ）A是最简二次根式B是同类二次根式C的式子是二次根式D＝a，则a＞0知识点五、二次根式的加减法13．下列计算正确的是（ ）A．a2+a3=a5B．1=C．（x2）3=x5D．m5÷m3=m2 14．下列运算正确的是（）A+ B．﹣=1C．=2D．=（a﹣b15．下列计算中，正确的是（）A=B．2+=C=D．2=知识点六、二次根式的混合运算16．估计(的值应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间17．下列计算正确的是( )A =B ．3-=C 2¸=D =18．设4-a ，小数部分为b ，则1a b-的值为（ ）A ．BC ．1+D ．1知识点七、分母有理化19．若a 、b ，则a 和b 互为（ ）A ．倒数B ．相反数C ．负倒数D ．有理化因式20．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：7==+除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来，设x =->，故0x >，由22332x ==+--=，解得x =，即=果为（ ）A ．5+B ．5+C ．5D ．5-21．若a ，b ＝，则a b 的值为（ ）A ．12B ．14C ．321+D 知识点八、已知字母的值，化简求值22．已知3a =+，3b =的值是（ ）A ．24B ．±C ．D ．23．已知1x =-，则代数式2(6(1x x ++++ ）A ．20+BC ．12-D ．12+24．已知x=2，则代数式（）x 2+（x+ 的值是（ ）A ．0B C ．D ．2知识点九、已知条件，化简求值25．若1a 2££a 2+-的结果是（ ）A ．2a 3-D ．126．若01x <<=( ).A ．2xB ．2x-C ．2x -D ．2x27．当x =()20193419971994x x --的值为( ).A ．1B ．1-C ．20022D ．20012-知识点十、比较二次根式的大小28．设a ，b 1，c ，则a ，b ，c 之间的大小关系是( )A ．c ＞b ＞a B ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c29．设x ，y 3-，则x ，y 的大小关系是（ ）A ．x ＞yB ．x ≥yC ．x ＜yD ．x ＝y30．-和-( )A ．->-B ．-<-C ．-=-D ．不能确定知识点十一、二次根式的应用31成立的条件是()A ．x ＞0B ．x ＜1C ．0≤x ＜1D ．x≥0且x≠132．设a 的小数部分，b 的小数部分，则21b a-的值为（ ）A 1B 1+C 1-D 1+33．若实数a ，b 满足+=3，﹣=3k ，则k 的取值范围是（ ）A ．﹣3≤k ≤2B ．﹣3≤k ≤3C ．﹣1≤k ≤1D ．k ≥﹣1二、填空题知识点一、最简二次根式的判断34与a 的被开方数相同，则a ＋b ＝________.35，12_____．36是最简二次根式，则最小的正整数a=______知识点二、最简二次根式化简37_____．38．若0a >化成最简二次根式为________．39=________=______．知识点三、化为最简二次根式的参数40m =__________．41和可以合并，则b a -=______．42是同类二次根式，则m=_____．知识点四、同类二次根式43与最简二次根式是同类二次根式，则a=_____．44能合并成一项，则a ＝_____．45a b +的值为_________.知识点五、二次根式的加减法46＝_____．47==，则ab =_________．48．观察下列等式：第1个等式：a 11=-，第2个等式：a 2=，第3个等式：a 3第4个等式：a 42=-，…按上述规律,回答以下问题：(1)请写出第n 个等式：a n =__________.(2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________知识点六、二次根式的混合运算49．若m ，则m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．50=________________ .51．化简))2017201811-的结果为_____．知识点七、分母有理化52_____．53．已知a =，b =，则22a b -的值是______．54．已知x =，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______知识点八、已知字母的值，化简求值55．已知5y x =-+，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应y 值的总和是__________．56．若实数a =，则代数式244a a -+的值为___.57．已知y ＋18_____．知识点九、已知条件，化简求值58．已知112a b +=59．若1a +,=__________.60．若x ，y 为实数，且|x ＝0，则（xy ）2020的值是_____．知识点十、比较二次根式的大小61．比较大小：(填“ ＞、＜、或 = ”).62______.63知识点十一、二次根式的应用64===，……请你将发现的规律用含自然数n （n≥1）的等式表示出来__________________．65．已知1＜x ＜2，171x x +=--_____．66．设4- a,小数部分为 b.则1a b- = __________________________.三、解答题知识点一、最简二次根式的判断67．判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由．(1；(2(3；(4；(5(6．知识点二、最简二次根式化简68．把根号外的因式移到根号内：(1)- (2)(1x -知识点三、化为最简二次根式的参数69．＝0，求x 、y 的值．知识点四、同类二次根式70．是同类二次根式，求a 的值．知识点五、二次根式的加减法71．计算：（1 （2）))2111+--知识点六、二次根式的混合运算71．计算:（1）||1|3|-+---（2）+知识点七、分母有理化72．先化简，再求值：24211326x x x x -+⎛⎫-¸⎪++⎝⎭，其中1x =+.知识点八、已知字母的值，化简求值73．先化简，后求值：（（a ）﹣a （a ﹣2），其中12．知识点九、已知条件，化简求值74．已知2310x x -+=，求221x x+的值．知识点十、比较二次根式的大小76．先观察解题过程，再解决以下问题：1的大小．解：1=，1)1-=，=1-=1+>1<（1的大小．（2的大小．知识点十一、二次根式的应用77．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：231+=+（，善于思考的小明进行了以下探索：设(2a m +=+（其中ab m n 、、、均为整数），则有22a m 2n +=++∴22a m 2n b 2mn =+=，．这样小明就找到了一种把部分a +法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：当a b m n 、、、均为正整数时，若(2a m +=+，用含m 、n 的式子分别表示a b 、，得a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a b m n 、、、，填空： ＋ ＝( ＋ 2；（3）若(2a m +=＋，且ab m n 、、、均为正整数，求a 的值．参考答案1．B解：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件 (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.3==，属于最简二次根式.故选B.2．A解：根据最简二次根式的意义，可知=，，不是最简二次根式.故选A.3．C【分析】根据最简二次根式的定义可知1a +=42a -，解出a 即可.解：依题意1a +=42a -，解得a=1，选C.【点拨】此题主要考查最简二次根式的定义，解题的关键是找到被开方数相等.4．A【分析】根据最简二次根式的定义将原式子化简可得答案..==.故选A.【点拨】本题主要考查二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键5．D相同，可得答案．解：A ，故A 合并；B ＝，故B 合并；C ＝，故C 合并；D＝D合并；故选D【点拨】本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．6．A解：A，故正确．B．9的平方根为±3，故错误．C=不是最简二次根式，故错误．D．﹣27的立方根为﹣3，故错误．故选A．考点：最简二次根式；平方根；立方根；分母有理化．7．D【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．解：∵∴x+3＝2x，解得：x＝3，故选：D．【点拨】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．8．C【分析】根据能合并的最简二次根式是同类二次根式列出方程求解即可．解：∵能合并，∴2x+1=4x-3，解得x=2．故选C．【点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．9．D【解析】=23﹣a ＝2n 2，分别取n ＝1、2、3即可得答案．解：=是同类二次根式，∴23﹣a ＝2时，a ＝21；23﹣a ＝8时，a ＝15；23﹣a ＝18时，a ＝5；23﹣a ＝32时，a ＝﹣9（不符合题意，舍）；∴符合条件的正整数a 的值为5、15、21．∴a 的最小值为5．故选D ．【点拨】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．10．C【分析】同类二次根式定义为几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.解：符合定义的只有C 项，所以答案选择C 项.【点拨】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键.11．D【分析】根据 =为整数),可得：a 的值等于一个整数的平方与5的乘积，据此求解即可．解：=为整数)，∴a 的值等于一个整数的平方与5的乘积，∵2222733,2426,2025=´=´=´， ∴a 的值可以是20.故选D.【点拨】考查二次根式的加减，正确化简二次根式是解题的关键.12．A【分析】根据最简二次根式的定义以及同类二次根式的定义即可求出答案．解：A 是最简二次根式，正确；B =，故不是同类二次根式，故B 错误；C a ≥0）的式子是二次根式，故C 错误；D =a ，则a ≥0，故D 错误．故选A ．【点拨】本题考查了二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的相关概念，本题属于基础题型．13．D 【解析】分析：直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．详解：A 、a 2与a 3不是同类项，无法计算，故此选项错误；B 、，故此选项错误；C 、（x 2）3=x 6，故此选项错误；D 、m 5÷m 3=m 2，正确．故选D ．点睛：此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．14．D解：利用二次根式的加减法计算，可知：A 、+ 不能合并，此选项错误；B 、﹣，此选项错误；C 、不能合并，此选项错误；D 、﹣（a ﹣b ，此选项正确．故选D ．15．C【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．解：AB．2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；C==，此选项计算正确；D．﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；故选：C．【点拨】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念．16．B解：【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围.【详解】(=，-，=2而，<5，所以2<2<3，所以估计(2和3之间，故选B.【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.17．D【分析】根据二次根式的运算法则逐项计算即可判断.解：A不是同类二次根式，不能合并，故错误；B 、，故错误；C 2¸，故错误；D .故选D.【点拨】本题考查了二次根式的四则运算.18．D解：∵1＜2＜4，∴1＜2，∴﹣2＜＜﹣1，∴2＜43，∴a=2，b=422--=2-，∴1221a b -===-．故选D ．【点拨】本题考查估算无理数的大小．19．D【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案解：Q a+b≠0，ab≠±1\a 与b 不是互为相反数，倒数，负倒数故选D【点拨】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解相反数，倒数，负倒数的概念.20．D进行化简，然后再进行合并即可.解：设x =<∴0x <，∴266x =--++，∴212236x=-´=，∴x=，5=-，∴原式5=-5=-，故选D．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.21．B【解析】【分析】将a可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能得出ab的值．解：a=b4 =．∴14ab=．故选：B．【点拨】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．22．C解：∵a=3b=3∴a+b=6，ab=4，∴==．故选C．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，抓住式子的特点，灵活利用完全平方公式变形，使计算简便．23．D【分析】直接代入，利用完全平方公式以及平方差公式计算即可.解：∵1x =-，∴2(6(1x x ++++2(6(1=+++(615=+-+-362015=-+-+12=．故选D.【点拨】本题考查了二次根式的化简求值、乘法公式等知识，解题的关键是熟练掌握应用乘法公式，掌握二次根式的混合运算法则.24．C【分析】把x 的值代入代数式，运用完全平方公式和平方差公式计算即可解：当x=2（）x 2+（x+＝（）（2）2+（（2）+＝（）（+1+＝＝故选C.【点拨】此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用完全平方公式和平方差公式进行计算．25．D【分析】由1≤a≤2，即可判断出a-1≥0，a-2≤ 0，继而去根号和绝对值即可得出结果．解：∵1≤a≤2，∴a-1≥0，a-2≤0，∴原式2-=a-1+2-a=1，故答案为D ．【点拨】二次根式和绝对值的化简是本题的考点，根据a 的取值范围判断出a-1≥0，a-2≤ 0是解题的关键.26．D【分析】根据二次根式的意义先化简各项，再进行分式的加减运算可得出解.解：∵0＜x ＜1，∴0＜x ＜1＜1x，∴10x x +>，10x x-<．原式-=11x x x x +--=11x x x x++-=2x ．故选D ．点睛：本题考查了二次根式的性质和绝对值化简，也考查了分式的加减.27．B【分析】由原式得()2211994x -=，得244+11994x x -=，原式变形后再将244+11994x x -=代和可得出答案.解：∵x =，()2211994x \-=，即24419930x x --=，()()32241997199444199344199311x x x x x x x \--=--+---=-．\原式()201911=-=-．【点拨】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化.28．D解：-1），；×-1），＞1，∴a＞b＞c．故选D．29．A【解析】【分析】把x的值分母有理化，再比较．解：，，所以x=-y且x＞y．故选：A．−3两者互为相反数是解决本题的关键．30．A解：试题解析：-=-=><即->-故选A.点睛：两个负数，绝对值大的反而小.31．C【解析】【分析】根据二次根式的被开方数必须是非负数，而且分母不能为0，可得x≥0，1-x＞0，解不等式组即可．解：由题意得，010x x ³ìí-î＞ ,解得：0≤x ＜1．故答案为：C.【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除法运算和二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．32．B【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a 、b 对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．∴a ，∴b ，∴21b a -，故选：B ．【点拨】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．33．C【解析】依据二次根式有意义的条件即可求得k的范围．解：若实数a，b满足+=3，又有≥0，≥0，故有0≤≤3①，0≤≤3，则﹣3≤-≤0②+②可得﹣3≤﹣≤3，又有﹣=3k，即﹣3≤3k≤3，化简可得﹣1≤k≤1．故选C．点睛：本题主要考查了二次根式的意义和性质．解题的关键在于二次根式具有双非负性，即≥0（a≥0），利用其非负性即可得到0≤≤3，0≤≤3，并对0≤≤3变形得到﹣3≤-≤0，进而即可转化为关于k的不等式组，求出k的取值范围.34．8【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可解出二元一次方程组，再解出即可.解：由题意得2423a ba bìí+î－＝，＝，解得53abìíî＝，＝，∴a＋b＝8.【点拨】此题主要考查最简二次根式的定义，解题的关键是最简二次根式的定义列出方程进行求解.35【分析】利用最简二次根式定义判断即可．，【点拨】本题考查的知识点是最简二次根式，解题的关键是熟练的掌握最简二次根式. 36．2解：因为a为正整数，当a=1时不是最简二次根式，当a=2是最简二次根式，则最小的正整数a为2故答案为：2．【点拨】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．37．4 3【分析】根据算术平方根的定义求解可得．解：解:=4 3故答案为4 3【点拨】本题考查算术平方根，解题关键是熟练掌握算术平方根的定义．38．【分析】先判断b的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.解：∵40,0 aab-³>∴0b<=所以答案是：a=.39【分析】根据化简二次根式的一般方法计算即可．==【点拨】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．化为最简二次根式m ＋1＝2，然后解方程即可．解：=，∴m ＋1＝2，∴m ＝1．故答案为1．【点拨】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．41．19【分析】由最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义，先求出a 、b 的值，然后进行计算，即可得到答案．解：∵和可以合并，和是同类二次根式，∴124135a a b -=ìí-=+î，∴32a b =ìí=î，∴2139b a --==；故答案为：19．【点拨】本题考查了最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义，解题的关键是熟记所学的定义，正确求出a 、b 的值．42．7．【分析】由最简二次根式的定义可得3m +1=8+2m ，解出m 即可.解：由题意得：3m +1=8+2m ，解得：m =7.故答案为7.【点拨】本题主要考查最简二次根式的定义.化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a 的方程，解出即可．详解：与最简二次根式，∴a+1=3，解得：a=2．故答案为2．点睛：本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．44．1【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a 的方程，根据解方程，可得答案．=能合并成一项，得a +1＝2．解得a ＝1．故答案是：1．【点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．45．2【分析】两个最简二次根式能够合并，则说明二者是同类二次根式，所以其被开方数、根指数相同，依此建立方程组求解，再进一步代入求值即可解：由题意得：12b +=，4326a b a b +=-+；解得1b =，1a =；所以2a b +=所以答案为2【点拨】本题考查了同类二次根式的性质，熟练掌握其概念是解题关键46．解：原式==．故答案为【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．解：-=-=∴a=3,b=2∴ab =6故答案为：6．【点拨】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．48= 1-【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．解：∵第1个等式：a 11=-，第2个等式：a 2=，第3个等式：a 3第4个等式：a 42=-，……∴第n =；=-；（2）1231)(2n a a a a +++=-++++L L12-+++-L1-；1-．【点拨】本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题49．4030【分析】利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可.解：mm+1，∴m 3-m 2-2017m +2015=m 2（m ﹣1）﹣2017m +2015=+1）2﹣2017+1）+2015=（）﹣﹣2017+2015+2×2016﹣﹣2=4030.故答案为4030.【点拨】本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.50．-【解析】===，故答案为-.51+1【分析】利用积的乘方得到原式＝[﹣1）+1）]2017•），然后利用平方差公式计算．解：原式＝[﹣1）+1）]2017•+1）＝（2﹣1）2017•+1+1．+1．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．52 ．【解析】解：解 ．．【点拨】本题考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．53．-【分析】先对a 、b 分母有理化，然后将22a b -因式分解，最后将a 、b 的值代入计算即可．解：∵a =，b =，∴22()()a b a b a b -=+-=éùéù+-ëûëû(-．故填：-【点拨】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，正确的对a 、b 因式分解是解答本题的关键．54．6-【分析】先把x 分母有理化求出2+ ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可．解：2x ===+∵23<<∴425<<∴4,242a b ==-=∴42)6a b -=-=【点拨】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．55．2032【分析】先化简二次根式求出y 的表达式，再将x 的取值依次代入，然后求和即可得．解：545y x x x =-+=--+当4x <时，4592y x x x=--+=-当4x ³时，451y x x =--+=则所求的总和为(921)(922)(923)111-´+-´+-´++++L 75312017=+++´2032=故答案为：2032．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．56．3解：∵a = +∴244a a -+=（a-2）2=()222+-=3，故答案为3.57．【分析】首先由二次根式有意义的条件求得x ＝8，则y ＝18，然后代入化简后的代数式求值．解：由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，解得，x＝8，则y＝18，∵∴把x＝8，y＝18代入＝﹣＝，故答案为：．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定x、y的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简．58．13【解析】【分析】由112a b+=得a+b=2ab，然后再变形535a ab ba ab b++-+，最后代入求解即可.解：∵112 a b+=∴a+b=2ab∴()5353510ab3===132aba b aba ab b aba ab b a b ab ab+++++-++--故答案为13.【点拨】本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找到等式和代数式的联系.59．1【分析】首先将已知条件的不等式进行转换，，即可判定化简式的正负，即可得解.10a -+＜解得1a -＜-，即1a +-，a +＜0∴a a +-11a a =++=---∴原式11a a =-+=故答案为1.【点拨】此题主要考查二次根式的化简，关键是根据已知条件判定其正负.60．1【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x ，y 的值，进而得出答案．解：∵x ，y 为实数，且|x 0，∴x +1＝0，y -1＝0，解得：x ＝-1，y ＝1，则(xy )2020＝1．故答案为：1．【点拨】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．61．＜解：试题分析：将两式进行平方可得：(2=12，(2=18，因为12＜18，则＜62．>【解析】< ，> .63．＜【分析】直接利用二次根式的性质分别变形，进而比较得出答案．==-==+<故答案为：＜．【点拨】此题主要考查了二次根式的分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．64(1)n n =+³=(2=+，(3=+，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是(1)n n =+³解：由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是(1)n n =+³(1)n n =+³【点拨】本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n 表示的等式即可．65．-2解：∵x+11x -=7，∴x-1+11x -=6，∴（x-1）-2+11x -=4，即2 =4，又∵1＜x ＜2,，故答案为-2.【点拨】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求的式子对已知的式子进行变形.66．1-【分析】根据实数的估算求出a,b ，再代入1a b -即可求解.解：∵1＜2，∴-2＜＜-1，∴2＜43∴整数部分a=2,小数部分为4，∴1a b -=22-==1故填：1.【点拨】此题主要考查无理数的估算，分母有理化等，解题的关键熟知实数的性质.67．（1）不是最简二次根式；2（）不是最简二次根式；（3）是最简二次根式；（4）不是最简二次根式；5（）不是最简二次根式；（6）是最简二次根式．【分析】根据最简二次根式的定义分别进行判断即可．解：(1=，不是最简二次根式；(2，不是最简二次根式；(3是最简二次根式；(4==，不是最简二次根式；(5a ==(6是最简二次根式．【点拨】此题主要考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．68．（1） ；（2）解：试题分析：根据二次根式的性质进行化简即可.试题解析：(1)原式===(2)原式== 69．x ＝8，y ＝6.【解析】【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a ，根据算术平方根的非负性计算即可．解：由题意，得3a ﹣11＝19﹣2a ，解得 a ＝6. 0.≥0，所以 24－3x ＝0，y －6＝0.解得 x ＝8，y ＝6.【点拨】本题考查最简二次根式，熟练掌握运算法则是解题关键.70．1a =±【分析】根据同类二次根式的概念可得关于a 的方程，解方程即可求得答案.解：根据题意，得224161a a +=-，即222a =，所以1a =±.【点拨】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．71．(1) 2+;(2) 2+【解析】试题分析：（1）将各个二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可得解；（2）将原式按照完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类二次根式即可得解.试题解析：（1）原式=2++2+（2）原式=()651+--=2+72．（1）4- （2）9【分析】（1）根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可；（2）先进行开方运算，然后进行加法运算．解：（1）原式--4；（2）原式=-（-2）+5+2=2+5+2=9．73.【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解.解：原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫¸=×= ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭.将1x =+=【点拨】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.74．4-【分析】先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法将原式化简，再将a 的值代入计算可得．解：原式=a 2﹣5﹣a 2+2a=2a ﹣5，当12时，原式=2×12）﹣5+1﹣5﹣4．【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．75．7．【解析】【分析】给等式两边同时除以x ，可得13x x +=，然后再用完全平方公式对221x x +进行变形即可.解：由2310x x -+=得130x x -+=，即13x x +=，∴221x x+=21()2x x +-=9-2=7．【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是对等式和代数式进行变形，寻找联系.76．（1；（2【分析】（1化为分子是1的数，再比较大小即可；（2化为分子是1的式子，再比较大小即可．解：（1）∵1=，1=，==，又>，；（2）∵+，)=1，-==又+，．【点拨】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数或式子，是解题的关键．77．（1）22m3n+，2mn；（2）13,4，2，1（答案不唯一）；（3）a＝7或a＝13．解：(1)∵2(a m+=+，∴2232a m n+=++，∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．故答案为m2＋3n2，2mn．(2)设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．(3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．∵4＝2mn，且m、n为正整数，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．。
北师版八年级上册数学第五章--二元一次方程组知识点及练习题
学易佳教育中心 八年级上册第五章 二元一次方程组基础知识1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程. 2、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
4二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法（1）代入(消元）法（2）加减（消元）法 6、一次函数与二元一次方程(组)的关系： （1）一次函数与二元一次方程的关系：直线y=kx+b 上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx — y+b=0的解 （2）一次函数与二元一次方程组的关系：二元一次方程组的解可看作两个一次函数和 的图象的交点.当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线)平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。
⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 11111b cx b a y +-=22122b c x b a y +-=【基础训练】1、下列方程是二元一次方程的有：___________________（只填序号）①093=-+y x ②012232=+-y x ③202=+y x ④113=-yx ⑤3A -4B=70 ⑥x 2+10=02、甲种物品每个4kg ，乙种物品每个7kg.现有甲种物品x 个，乙种物品y 个，共76kg. (1)列出关于x,y 的二元一次方程组_____________________________ (2)若x=12，则y=___________(3)若有乙种物品8个，则甲种物品有_________个。
3、小明从邮局买了面值50分和80分的邮票共9枚,花了6。
3元,小明买了50分邮票x 枚，买了80分邮票y 枚，则根据题意可列方程组：___________________4、、下列四组数值中,哪些是二元一次方程102=+y x 的解_______________（1）⎩⎨⎧=-=;6,2y x （2）⎩⎨⎧==;4,3y x （3）⎩⎨⎧==;3,4y x （4）⎩⎨⎧-==.2,6y x5、、二元一次方程组⎩⎨⎧==+x y y x 2,102的解是（ )（A ）⎩⎨⎧==;3,4y x (B ）⎩⎨⎧==;6,3y x （C ）⎩⎨⎧==;4,2y x （D)⎩⎨⎧==.2,4y x6、用代入消元法解下列方程组:1、435,22x y x y -=⎧⎨-=⎩2、103717,831x x y +=⎧⎨-=⎩7、用加减消元法解下列方程组：1、⎩⎨⎧=+=-31351434y x y x 2、⎩⎨⎧-=+=-156356y x y x3、⎩⎨⎧-=-=-547965y x y x 4、⎩⎨⎧+=-+=-)5(3)1(55)1(3x y y x【巩固提高】一、填空题： 1．已知是关于x ,y 的二元一次方程，则m ＝ ．2.如果是一个二元一次方程,那么数= ，= .3.如果是同类项，那么 = ，= .11331=+-y x m 1032162312=--+--b a b a y x a b b a a b y x y x4222542-+-与a b4。
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八年级数学上册知识大综合基础练习
试卷简介:全卷共四个大题，第一题是选择（1道，每道5分）；第二题是填空（10道，每道5分）；第三题是解答（4道，每道10分），第四题是作图（1道，每道5分），满分100分，测试时间30分钟。
本套试卷综合考察了八年级上册的基础知识，同学们在做题的过程中可以查漏补缺，做到及时巩固。
学习建议:本讲内容主要回顾了八年级上册学习的基础知识，大家可以针对自己的薄弱点再加强练习，争取做到牢固掌握各个知识点并且能够灵活综合应用。
一、单选题(共1道，每道5分)
1.一个多边形的每个内角都等于144°，则内角和是______，共有______条边.（）
A.1260°，8
B.1440°，10
C.1620°，9
D.1800°，11
二、填空题(共10道，每道5分)
1.______，的算术平方根的平方根是______.
2.下列说法正确的是______ ① 任何正数的两个平方根的和等于0 ② 任何实数都有一个立方根③ 无限小数都是无理数④ 实数和数轴上的点一一对应
3.菱形有一个内角是60°，边长为10，则它的面积是______
4.下列表述的图形中能进行密铺的有______ ①平行四边形②三角形③直角梯形④正五边形⑤正八边形
5.矩形ABCD的对角线AC，BD所成的锐角是60度，则下列说法正确的是______
①.AC+BD=AB+BC+CD+DA ②.BD+AC=AB+AC ③.BD=2AB ④.以上都不对
6.等腰梯形ABCD中，A=120°，AB=4，CD=10，各顶点坐标是A______，B______，C______，D(0，0)．
7.点P(a-1，-b+2)关于x轴对称与关于y轴对称的点的坐标相同，则a、b的值分别是______．
8.如图所示，图中函数的解析式为______
9.y=-2x+b与x轴交于（4，0），则它与y轴的交点为______，与y=x的交点坐标为______．
10.方程2x+y=7在自然数范围内的解有______对.
三、解答题(共4道，每道10分)
1.如图，菱形ABCD中，E是AD中点，EF⊥AC交CB的延长线与点F．
①DE和BF相等吗？请说明理由．
②连结AF、BE，四边形AFBE是平行四边形吗？说明理由．
2.如图，lA 、lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．
（1）B出发时与A相距______千米．
（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是______小时．
（3）B出发后______小时与A相遇．
（4）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，______小时与A相遇，相遇点离B的出发点______千米．
（5）求出A行走的路程S与时间t的函数关系式．
3.列方程组解应用题：甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品提价40%，乙商品降价10%，两种商品的单价和比原来提高了20%，甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？
4.在一次射击比赛中，19名参赛队员（每人打3发）的成绩如下表：
求出这组数据的平均数，众数，中位数．
四、作图题(共1道，每道5分)
1.将△ABC平移后，A点移到A1点，请作出平移后的图形.
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