可以降低梁的最大弯矩值

模块二 材料力学
项目五 任务十六 教学重点
梁的强度和刚度 梁的强度计算
梁弯曲时横截面上正应力、剪应力的计算 教学难点 正应力强度计算； 剪应力强度的计算
任务十六
梁的强度计算
教学 内 容 1、 梁弯曲时横截面上的正应力 2、 梁的正应力强度计算 3、 提高梁抗弯强度的途径 4、 梁的剪应力和剪应力的强度计算
RA=RB=ql/2=5.25kN
(2) 作出弯矩图，如图6(b)所示。最大弯矩发生在跨中截面，其 值为
Mmax=ql2/8=0.44kN· m
任务十六
梁的强度计算
一、梁弯曲时横截面上的正应力
2、横截面上的最大正应力
(3) 由型钢表查得10号槽钢截面 Iz=25.6cm4=25.6×104mm4 y1=1.52cm=15.2mm y2=3.28cm=32.8mm (4) 计算正应力 最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处 σlmax=Mmax/Iz· yz=56.05MPa 最大压应力发生在跨中截面的上边缘处
σmax=M/Iz· ymax=41.7MPa
图5
任务十六
梁的强度计算
一、梁弯曲时横截面上的正应力
2、横截面上的最大正应力
【例2】简支梁受均布荷载q作用，如图6(a)所示。已知q=3.5kN/m， 梁的跨度l=1m，该梁由10号槽钢平置制成。试计算梁的最大拉应力 σlmax和最大压应力σymax以及它们发生的位置。 【解】(1) 求支座反力 由对称性有
任务十六
梁的强度计算
3、正应力强度条件 ② 截面设计 当已知荷载和梁的材料时，可根据强度条件，计算所需的 抗弯截面系数
Wz
M max

③ 确定许可荷载
如已知梁的材料和截面尺寸，先根据强度条件，计算出梁所能承受的最 大弯矩
Mmax≤Wz［σ］
任务十六
梁的强度计算
二、提高梁抗弯强度的途径
Iz=bh3/12=40×603/12mm4=72×104mm4
σa=M/Izya=13.9MPa
任务十六
梁的强度计算
一、梁弯曲时横截面上的正应力
2、横截面上的最大正应力
(3) 计算固定端截面上的最大正应力
固定端截面的最大正应力发生在该截面的上、下边缘处。由梁 的变形情况可以看出，上边缘产生最大拉应力，下边缘产生最大压 应力，其应力分布如图5(b)所示。最大正应力值为
图1
任务十六
梁的强度计算
一、梁弯曲时横截面上的正应力
取一矩形截面等直梁，先在其表面画两条与轴线垂直的横线Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ， 以及两条与轴线平行的纵线ab和cd(图2(a))。然后在梁的两端各施加一个力偶 矩为M的外力偶，使梁发生纯弯曲变形(图2(b))。可以观察到如下现象：
（1） 梁变形后，横线Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ仍为直线，并与变形后梁的轴线垂直， 但倾斜了一个角度。 （2） 纵向线变成了曲线，靠近顶面的ab缩短了，靠近底面的cd伸长了。
(1) 对于中性轴是截面对称轴的梁
最大正应力的值为 σmax=Mmax/Wz
式中Wz称为抗弯截面系数
任务十六
2、横截面上的最大正应力
梁的强度计算
(2) 对于中性轴不是截面对称轴的梁 例如图10.10所示的T形截面梁，在正弯矩M作用下，梁下边缘处产生最 大拉应力，上边缘处产生最大压应力，其值分别为 σlmax=M/Iz· y1 σymax=M/Iz· y2 令 则 Wl=Iz/y1，Wy=Iz/y2 σlmax=M/Wl，σymax=M/Wy
2、横截面上的最大正应力
【例1】一悬臂梁的截面为矩形，自由端受集中力 P作用(图5(a)。已 知 P=4kN ， h=60mm ， b=40mm ， l=250mm 。求固定端截面上 a 点的 正应力及固定端截面上的最大正应力。
【解】(1) 计算固定端截面上的弯矩M
M=Pl=4×250kN· mm=1000kN· mm (2) 计算固定端截面上a点的正应力
一般情况下，梁的设计是以正应力强度条件为依据。由等直梁的正应 力强度条件 σmax=Mmax/Wz≤［σ］ 可以看出，梁横截面上最大正应力与最大弯矩成正比，与抗弯截面系 数成反比。所以提高梁的弯曲强度主要从降低最大弯矩值和增大抗弯截面
任务十六
梁的强度计算
一、梁弯曲时横截面上的正应力
图1(a)所示的简支梁，荷载与支座反力都作用在梁的纵向对称平面内，其剪 力图和弯矩图如图1(b)、(c)所示。
由图可知，在梁的AC、DB两段内，各横截面上既有剪力又有弯矩，这种弯 曲称为剪切弯曲(或横力弯曲)。
在梁的CD段内，各横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。
图7
任务十六
3、正应力强度条件
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梁的强度计算
(1) 当材料的抗拉和抗压能力相同时梁的正应力强度条件为
max
① 强度校核
M max [ ] WZ
在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸，以及所受荷载的 情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。
max
M max [ ] WZ
σymax=Mmax/Iz· y1=25.98MPa
任务十六
梁的强度计算
一、梁弯曲时横截面上的正应力
2、横截面上的最大正应力
图6
任务十六
梁的强度计算
2、横截面上的最大正应力
在进行梁的强度计算时，必须算出梁的最大正应力值。对于等 直梁，弯曲时的最大正应力一定在弯矩最大的截面的上、下边缘。 该截面称为危险截面，其上、下边缘的点称为危险点。
任务十六
梁的强度计算
1、 横截面上正应力计算公式
根据变形的几何关系，物理关系，静力关系 可得横截面 正应力计算公式

My IZ
图3
图4
任务十六
梁的强度计算
一、梁弯曲时横截面上的正应力
2、横截面上的最大正应力
max
M y max IZ
图3
图4
任务十六
梁的强度计算
一、梁弯曲时横截面上的正应力

图2
任务十六
梁的强度计算
一、梁弯曲时横截面上的正应力 1、 横截面上正应力计算公式
根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的变形，作出如下 的两点假设：
(1) 平面假设 假设梁的横截面变形后仍保持为平面，只是绕横截面内某轴转了一个 角度，偏转后仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 将梁看成是由无数纵向纤维组成，假设所有纵向纤维只受到轴向拉伸 或压缩，互相之间无挤压。