《商不变的规律》 ppt课件
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商不变的规律课件
那么，我们刚才总结的规律应该有什么补充？ 那么，我们刚才总结的规律应该有什么补充？
被除数和除数同时 同时扩大或缩小相同 同时 相同 的倍数（0除外 0除外），商不变。
数学诊所
14 60 8 4 0 6 24 24 0 210 230 4 8 3 0 0 46 23 23 0
√
√
上面的计算对吗?你知道应用了什么规律吗？ 上面的计算对吗?你知道应用了什么规律吗？
4÷2＝ 2 ÷ ＝ 40÷20＝2 ÷ ＝ 400÷200＝ 2 ÷ ＝ 被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数，商不变。 缩小相同的倍数，商不变。
小法官判对错
（1）60÷12=（60÷2）÷12 ） ÷ （ ÷ ） （2）615÷15=（615÷4）÷（15÷5） ） ÷ （ ÷ ） ÷ ） （3）90÷30=（90×0）÷（30×0） ） ÷ （ × ） × ）
200÷50=(200 ÷
) ÷(50
)
你能摘几朵花？ ﹨ ﹨ ﹨ ﹨ 120÷30＝ 4 560÷80＝ 7 ﹨ ﹨ 480÷40＝ 12
6300÷700＝ 360÷90 ＝ ﹨ ﹨
4
9
Байду номын сангаас
3200÷400＝ 8
8100÷300＝ 27
想一想：古时候，有一个贪财的地 主到了给长工们发工钱的时候，他 对长工们说：“你们的工钱一共是 170两银子，60个长工平均分，每人 应得2两，还余下5两。就请大家喝 杯茶吧!”
积的变化规律
一个因数不变，另一个因数扩大或 一个因数不变， 缩小若干倍， 缩小若干倍，积也扩大或缩小相同的 倍数。 倍数。
猴王分桃
风景秀丽，气候宜人，那里住着一群猴子。 风景秀丽，气候宜人，那里住着一群猴子。有 一天，猴王让一只小猴分桃子。猴王说： 给你4 一天，猴王让一只小猴分桃子。猴王说：“给你4个桃 平均分给2只猴吧。 小猴听了，连连摇头说： 子，平均分给2只猴吧。”小猴听了，连连摇头说： 太少了，太少了。 猴王又说： 好吧，给你40 40个 “太少了，太少了。”猴王又说：“好吧，给你40个 桃子，平均分给20只猴，怎么样？ 小猴子得寸进尺， 20只猴 桃子，平均分给20只猴，怎么样？”小猴子得寸进尺， 挠挠头皮，试探地说： 大王，再多给点行不行啊？ 挠挠头皮，试探地说：“大王，再多给点行不行啊？” 猴王一拍桌子，显示出慷慨大度的样子说： 那好吧， 猴王一拍桌子，显示出慷慨大度的样子说：“那好吧， 给你400个桃子，平均分给200只小猴， 400个桃子 200只小猴 给你400个桃子，平均分给200只小猴，你总该满意了 小猴子连忙说： 好了、好了！ 吧？” 小猴子连忙说：“好了、好了！” 猴王听了 同学们，你知道猴王为什么笑吗？ 哈哈大笑。 哈哈大笑。
被除数和除数同时 同时扩大或缩小相同 同时 相同 的倍数（0除外 0除外），商不变。
数学诊所
14 60 8 4 0 6 24 24 0 210 230 4 8 3 0 0 46 23 23 0
√
√
上面的计算对吗?你知道应用了什么规律吗？ 上面的计算对吗?你知道应用了什么规律吗？
4÷2＝ 2 ÷ ＝ 40÷20＝2 ÷ ＝ 400÷200＝ 2 ÷ ＝ 被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数，商不变。 缩小相同的倍数，商不变。
小法官判对错
（1）60÷12=（60÷2）÷12 ） ÷ （ ÷ ） （2）615÷15=（615÷4）÷（15÷5） ） ÷ （ ÷ ） ÷ ） （3）90÷30=（90×0）÷（30×0） ） ÷ （ × ） × ）
200÷50=(200 ÷
) ÷(50
)
你能摘几朵花？ ﹨ ﹨ ﹨ ﹨ 120÷30＝ 4 560÷80＝ 7 ﹨ ﹨ 480÷40＝ 12
6300÷700＝ 360÷90 ＝ ﹨ ﹨
4
9
Байду номын сангаас
3200÷400＝ 8
8100÷300＝ 27
想一想：古时候，有一个贪财的地 主到了给长工们发工钱的时候，他 对长工们说：“你们的工钱一共是 170两银子，60个长工平均分，每人 应得2两，还余下5两。就请大家喝 杯茶吧!”
积的变化规律
一个因数不变，另一个因数扩大或 一个因数不变， 缩小若干倍， 缩小若干倍，积也扩大或缩小相同的 倍数。 倍数。
猴王分桃
风景秀丽，气候宜人，那里住着一群猴子。 风景秀丽，气候宜人，那里住着一群猴子。有 一天，猴王让一只小猴分桃子。猴王说： 给你4 一天，猴王让一只小猴分桃子。猴王说：“给你4个桃 平均分给2只猴吧。 小猴听了，连连摇头说： 子，平均分给2只猴吧。”小猴听了，连连摇头说： 太少了，太少了。 猴王又说： 好吧，给你40 40个 “太少了，太少了。”猴王又说：“好吧，给你40个 桃子，平均分给20只猴，怎么样？ 小猴子得寸进尺， 20只猴 桃子，平均分给20只猴，怎么样？”小猴子得寸进尺， 挠挠头皮，试探地说： 大王，再多给点行不行啊？ 挠挠头皮，试探地说：“大王，再多给点行不行啊？” 猴王一拍桌子，显示出慷慨大度的样子说： 那好吧， 猴王一拍桌子，显示出慷慨大度的样子说：“那好吧， 给你400个桃子，平均分给200只小猴， 400个桃子 200只小猴 给你400个桃子，平均分给200只小猴，你总该满意了 小猴子连忙说： 好了、好了！ 吧？” 小猴子连忙说：“好了、好了！” 猴王听了 同学们，你知道猴王为什么笑吗？ 哈哈大笑。 哈哈大笑。
人教版小学四年级上册数学《商不变的规律》精品课件
400 ÷ 4 ＝ 100
÷5
×5
÷5
×5
80 ÷ 4 ＝
20
返回
商不变的规律
被除数不变，除数除以几，商就 乘几。
100 ÷ 20
＝5
÷5
×5 ×5
÷5
100 ÷ 4
＝ 25
返回
商不变的规律
被除数和除数都乘或除以一个相同 的数（0除外），商不变。30来自÷10 ＝ 3
×7
÷7 ×7
÷7
210
÷
70 ＝ 3
返回
商不变的规律
（2）
÷10 200÷
÷2
2
100
20 ＝ 10
40
5
×10 ×2
被除数不变，除数除 以几，商就乘几。
返回
商不变的规律
(3)计算并观察下面的题。
从 6 ÷3
2
上 往
60 ÷ 30
2
下 观
600 ÷ 300
察 6000 ÷ 3000
2 2
从上往下观察：
被除数和除数都乘一个相同的数，商不变。
返回
商不变的规律
判断:被除数和除数同时乘10,商就扩大到 原来的100倍。 ( × )
错在没有理解商不变的规律, 在除法中,被除数与除数同 时乘10,商不变,而不是扩大 到原来的100倍。
返回
商不变的规律
填一填。 18÷2=（18×3） ÷（2 × 3 ） 80÷16＝（80 ÷ 2 ）÷（16÷2） 48÷12＝（48×5）÷（12 × 5 ）
人教版 数学 四年级 上册
6 除数是两位数的除法
商不变的规律
课前导入
探究新知
课堂练习
四年级上册数学课件- 商不变的规律人教版(共19页)
返回
商不变的规律
判断:被除数和除数同时乘10,商就扩大到 原来的100倍。 ( × )
错在没有理解商不变的规律, 在除法中,被除数与除数同 时乘10,商不变,而不是扩大 到原来的100倍。
返回
四年级上册数学课件- 商不变的规律人教版(共19页)
商不变的规律
填一填。 18÷2=（18×3） ÷（2 × 3 ）
80÷16＝（80 ÷ 2 ）÷（16÷2）
48÷12＝（48×5）÷（12 × 5 ）
四年级上册数学课件- 商不变的规律人教版(共19页)
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四年级上册数学课件- 商不变的规律人教版(共19页)
商不变的规律
下面（ A ）里哪个算式的结果与32÷16的商相等。
A.（32÷4）÷（16÷4） B.（32×5）÷（ 16÷5） C.（32×3）÷（ 16÷3） D.（32÷4）÷（ 16÷3）
400 ÷ 4 ＝ 100
÷5
×5
÷5
×5
80 ÷ 4 ＝
20
返回
商不变的规律
被除数不变，除数除以几，商就 乘几。
100 ÷ 20
＝5
÷5
×5 ×5
÷5
100 ÷ 4
＝ 25
返回
商不变的规律
被除数和除数都乘或除以一个相同 的数（0除外），商不变。
30
÷
10 ＝ 3
×7
÷7 ×7
÷7
210
÷
70 ＝ 3
人教版 数学 四年级 上册
6 除数是两位数的除法
商不变的规律
课前导入
探究新知
课堂练习
课堂小结
课后作业
商不变的规律
课前导入
《商不变的规律》PPT课件
探究新知
交流：计算并观察下面的题。你发现了什么规律？
6 ÷ 3=
2
60 ÷ 30 = 2
600 ÷ 300 = 2
6000 ÷ 3000 = 2
探究新知
从上往下进行观察：
×10 6 ×100 60
÷ ÷
330==××10100
2 2
×1000 600 ÷ 300 = ×1000 2
商 不 变
6000 ÷ 3000 =
任何数乘以0都得0。 0不可以做除数。 所以，同乘或同除以的这个数不能是0。
探究新知 交流：你能举例验证这些规律吗？
除数不变，被除数乘几(除几)，商也乘几(除几)。
400 ÷ 4 ＝ 100
÷5
×5
÷5
×5
80 ÷ 4 ＝
20
探究新知 交流：你能举例验证这些规律吗？
被除数不变，除数除以几(乘几)，商反而乘几(除以几)。
课堂练习 下面（ A ）里哪个算式的结果与32÷16的商相等。
A.（32÷4）÷（16÷4） B.（32×5）÷（ 16÷5） C.（32×3）÷（ 16÷3） D.（32÷4）÷（ 16÷3）
课堂练习 填写下表。
被除数和除数依次同时乘2
被除数 56 112 224 672 1344
除数
4
8 16 48 96
40
5
探究新知 从上往下进行观察：
（1） ×10 ×20 ×2
16
2
160 ÷8＝ 20
320
40
不变
×10 ×20 ×2
除数不变，被除数乘几，商也乘几。
探究新知
从下往上进行观察：
（1） ÷10 ÷20 ÷2
北师大版四年级数学上册第六单元除法---第7课时《商不变的规律》PPT课件
100÷20＝ 5 （100÷2）÷（20÷2）＝ 5
被除数、除数同时除以2
（100÷10）÷（20÷10）＝ 5
被除数、除数同时除以10 商 不 变
第三组算式，被 除数、除数和商 有什么变化？
正确。
被除数和除数同时乘或除以相同 的数（零你除认外为）淘，气商改不的变正。确吗？
这就是商不变的规律。
÷5
÷5 不变
10 ÷ 2 ＝ 5 结论正确。
被除数和除数同时乘或除以相同 的数（不为0），商不变。
淘气把三组算式改写了一下，你同意吗？尝试 用自己的语言说出其中的规律。
小组讨论
1.小组讨论淘气改的算式是否正确。 2.在小组内说说自己看法。
8÷2＝ 4 （8×10）÷（2×10）＝ 4
被除数、除数同时乘10
48 ÷ 24 ＝ 2
÷2 ÷2 不变
24 ÷ 12 ＝ 2
与算式48÷24＝2相比较，当 被被除除数数、4除8和数除与数商24同时除以2时， 有得什到么2变4÷化1？2，商仍然是2。
48 ÷ 24 ＝ 2
÷8 ÷8 不变
6 ÷ 3 ＝2
与算式48÷24=2相比较，当 被被有除什除数么数、变48除化和数？除与数商24同时除以8时， 得到6÷3，商仍然是2。
2.下面的计算对吗？和同伴交流。
√
×
√
被除数和除数同时缩小到原来的十分之一， 商不变，应该是31，而不是310。
3.计算下列各题，并与同伴进行交流。
240÷30 ＝8 80÷20＝4
360÷90＝4 4800÷400＝12
440÷20＝22 9200÷400＝23 120÷40＝3 2400÷60＝40
＝6
＝16
北师大版四年级上册数学6.4《商不变的规律》 课件(共16张PPT).ppt
探究新知
你能将笑笑的算式进行这样的改写吗？和同伴 讨论一下你发现的规律。
100÷20=5 50÷10=5 10÷2=5
（100÷2）÷（20÷2）=5 （100÷10）÷（20÷10）=5
学以致用
想一想，和同伴说说它们的商为什么都是一样的。
81 ÷ 27 = 33 27 ÷ 9 = 33 9 ÷ 3 = 33
探究新知
淘气把两组算式改写了一下，你同意吗？为 什么？
8÷2=4 80÷20=4 800÷200=4
8÷2=4 （8×10）÷ (2×10）=4 （8×100）÷（2×100）=4
48÷24=2 24÷12=2 6 ÷ 3=2
48÷24 =2 （48÷2）÷（24÷2）=2 （48÷8）÷（24÷8）=2
商不变的规律
魔术表演
被除数 除数 商
88000 ÷222000 = 4
被除数 除数 商
42684 ÷ 12324 = 2
小组交流：
每组算式中后两个算式的被除 数、除数与第一个算式比较有什么 变化呢？
笑笑带来了一组算式，你能说说它们之 间的关系吗？
100÷20=5 50÷10=5 10÷2=5
探究新知
你能解释他们这样计算350÷50的理由吗？
学以致用
下面的计算对吗？和同伴交流。
=8
=4
=4
=22
=23
=3
=12 =40
一捆铁丝有多少米？
2500÷250×5 2500÷（250÷5）
=10×5
=2500÷50
=50（米）
=50（米）
这节课你都学到了什么？
课后思考作业：
7
7
50 3 6 0 350
《商不变的规律》除法PPT教学课件(第1课时)
第6页
第二单元
第7课
4.表格中的算式中，都没有涉及被除数和除数同时乘或除以0，想 一想:被除数和除数能同时乘或除以0吗？ 当被除数和除数同时乘0时，除数变成了0，这与0不能作除数相矛 盾；因为0不能作除数，所以被除数和除数不能除以0。因此，我们 在探究以上规律时，要把0除去。
第7页
第二单元
第7课
第8页
第二单元
第7课
➡归纳总结 在除法里，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数(0除外)，商 不变。这是商不变的规律。
第9页
第二单元
第7课
1.先填表，再说说你有什么发现。
被除数 54
54×6 54×12 54÷2
54÷3
除数
6
6×6
6×12
6÷2
6÷3
商
9
9
9
9
9
我发现: 被除数和除数同时乘或除以一个相同的数(0除外)，商不
(5)甲数除以乙数，商是8，如果甲、乙两数都扩大100倍，商是800。
(×)
第 11 页
3.选择。(把正确答案的序号填在括号里) (1)在一道除法算式中，被除数和除数同时乘3，商( A )。 A.不变 B.扩大到原来的3倍
第二单元
第7课
(2)120÷20＝6，120÷(20×2)的商( C )。
A.不变
第二单元 两、三位数除以两位数
商不变的规律
第1课时
第二单元
第7课
第1页
第二单元
第7课
1.理解、掌握商不变的规律，能运用商不变的规律进行简便运算。 2.在探索的过程体会数学与日常生活的联系，体验成功学习的快乐。
第2页
括号里最大能填几？ 20×( 4 )＜81 70×( 6 )＜427 50×( 7 )＜368
第二单元
第7课
4.表格中的算式中，都没有涉及被除数和除数同时乘或除以0，想 一想:被除数和除数能同时乘或除以0吗？ 当被除数和除数同时乘0时，除数变成了0，这与0不能作除数相矛 盾；因为0不能作除数，所以被除数和除数不能除以0。因此，我们 在探究以上规律时，要把0除去。
第7页
第二单元
第7课
第8页
第二单元
第7课
➡归纳总结 在除法里，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数(0除外)，商 不变。这是商不变的规律。
第9页
第二单元
第7课
1.先填表，再说说你有什么发现。
被除数 54
54×6 54×12 54÷2
54÷3
除数
6
6×6
6×12
6÷2
6÷3
商
9
9
9
9
9
我发现: 被除数和除数同时乘或除以一个相同的数(0除外)，商不
(5)甲数除以乙数，商是8，如果甲、乙两数都扩大100倍，商是800。
(×)
第 11 页
3.选择。(把正确答案的序号填在括号里) (1)在一道除法算式中，被除数和除数同时乘3，商( A )。 A.不变 B.扩大到原来的3倍
第二单元
第7课
(2)120÷20＝6，120÷(20×2)的商( C )。
A.不变
第二单元 两、三位数除以两位数
商不变的规律
第1课时
第二单元
第7课
第1页
第二单元
第7课
1.理解、掌握商不变的规律，能运用商不变的规律进行简便运算。 2.在探索的过程体会数学与日常生活的联系，体验成功学习的快乐。
第2页
括号里最大能填几？ 20×( 4 )＜81 70×( 6 )＜427 50×( 7 )＜368
《商不变的规律》ppt
的商相同。
问题二
解决方法
学生在计算过程中可能 出现错误，影响实验结
果。
教师需提醒学生仔细进 行计算，并核对计算结 果是否与预期商值一致。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
具体来说，如果有一个除法运算 a ÷ b = c，那么当被除数 a 和除数 b 同时扩 大或缩小 k 倍时，新的除法运算 (a × k) ÷ (b × k) 的结果仍然是 c。
性质
01
02
03
普遍性
商不变的规律适用于任何 形式的除法运算，无论是 整数、小数、分数还是代 数表达式。
双向性
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数时，商保 持不变。
稳定性
无论被除数和除数扩大或 缩小的倍数是多少，只要 倍数相同，商始终保持不 变。
商不变的规律在数学中的地位和作用
基础性
商不变的规律是数学中除 法运算的基础，是学习其 他代数知识和解决数学问 题的重要基础。
应用性
商不变的规律在数学中有 广泛的应用，如简化计算、 证明代数恒等式、解决方 程和不等式问题等。
商不变的规律的推广
商不变的规律在乘法中的推广
虽然商不变的规律原本是用于除法的，但也可以推广到乘法中。当两个数同时扩大或缩小相同的倍数时，它们的 乘积也保持不变。
商不变的规律在其他数学领域的应用
商不变的规律不仅在算术中有应用，还可以推广到其他数学领域，如代数、几何等。例如，在几何图形变换中， 图形的大小变化不会影响其形状和比例。
在计算几何形状的面积和周长时 ，可以利用商不变规律来简化计 算过程。
图形变换
在图形变换中，可以利用商不变 规律来研究图形之间的变换关系 ，例如相似、位似等。
问题二
解决方法
学生在计算过程中可能 出现错误，影响实验结
果。
教师需提醒学生仔细进 行计算，并核对计算结 果是否与预期商值一致。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
具体来说，如果有一个除法运算 a ÷ b = c，那么当被除数 a 和除数 b 同时扩 大或缩小 k 倍时，新的除法运算 (a × k) ÷ (b × k) 的结果仍然是 c。
性质
01
02
03
普遍性
商不变的规律适用于任何 形式的除法运算，无论是 整数、小数、分数还是代 数表达式。
双向性
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数时，商保 持不变。
稳定性
无论被除数和除数扩大或 缩小的倍数是多少，只要 倍数相同，商始终保持不 变。
商不变的规律在数学中的地位和作用
基础性
商不变的规律是数学中除 法运算的基础，是学习其 他代数知识和解决数学问 题的重要基础。
应用性
商不变的规律在数学中有 广泛的应用，如简化计算、 证明代数恒等式、解决方 程和不等式问题等。
商不变的规律的推广
商不变的规律在乘法中的推广
虽然商不变的规律原本是用于除法的，但也可以推广到乘法中。当两个数同时扩大或缩小相同的倍数时，它们的 乘积也保持不变。
商不变的规律在其他数学领域的应用
商不变的规律不仅在算术中有应用，还可以推广到其他数学领域，如代数、几何等。例如，在几何图形变换中， 图形的大小变化不会影响其形状和比例。
在计算几何形状的面积和周长时 ，可以利用商不变规律来简化计 算过程。
图形变换
在图形变换中，可以利用商不变 规律来研究图形之间的变换关系 ，例如相似、位似等。
西师大版四年级上册《商不变的规律》课件
第四部分：练习与巩固
练习和巩固是学习的重要环节，本部分将设计练习题并提供解答，同时提供 商不变的规律的练习题目及解析，帮助学生加深对规律的理解。
结语
商不变的规律在数学中有着重要的地位，本部分将再次强调商不变的规律的重要性，并对课程进行回顾 和展望，同时鼓励和期望学生能够熟练掌握商不变的规律及其应用方法。
西师大版四年级上册《商 不变的规律》PPT课件
此PPT课件介绍西师大版四年级上册《商不变的规律》课程内容，通过生动的 图片和有趣的布局，帮助学生掌握商不变的规律的概念和应用方法。
第一部分：引言
商不变的规律是数学中的重要概念，本部分将介绍商不变的规律的背景和重 要性，并引入商不变的规律的概念和定义。
第二部分：商的概念和运算
商是数学中的基本运算之一，本部分将介绍商的定义和符号表示，以及商的 运算原理和步骤，并通过实例演示商的计算方法。
第三部分：商不变的规律
商不变的规律是数学中的重要理论，本部分将详细介绍商不变的规律的定义和表述，以及商不变的规律 的应用场景，并通过实例演示商不变的规律的
商不变规律ppt
商不变规律是数学教育中一个 重要的知识点，是学生学习除 法运算的基础。
商不变规律的应用场景
在解决实际问题的过程中，如工 程、经济、科技等领域，常常需 要使用商不变规律来简化计算过
程。
在数学题目的解答中，商不变规 律也经常被用来简化复杂的除法
运算。
在学习其他数学知识点时，如乘 法分配律、分数的约分等，商不
变规律也是重要的基础。
02
商不变规律的证明
证明的思路
引入商不变规律的概念
商不变规律是指在除法运算中，如果被除数和除数同时扩 大或缩小相同的倍数，商保持不变。
确定证明方法
为了证明商不变规律，可以采用举例法和演绎推理相结合 的方法。首先通过具体的例子来直观理解规律，然后运用 数学推导来证明其正确性。
被除数和除数都不能为0，否则不符 合数学的基本定义和规则。
商不变规律的推广
指数法则
在高等数学中，商不变规律可以 推广为指数法则，即当底数相同 时，指数相加或相减保持不变。
矩阵运算
在矩阵运算中，当两个矩阵同时 进行相似变换时，它们的行列式 值保持不变，这也与商不变规律
有一定的联系。
分式运算
在分式运算中，如果两个分数的 分子和分母同时扩大或缩小相同 的倍数，分数值保持不变，这也
符合商不变规律的原理。
04
商不变规律的应用
在数学中的应用
简化计算
商不变规律可以用于简化计算，例如在除法中，如果被除数和除 数同时乘以或除以同一个非零数，商不变。
解决数学问题
商不变规律是数学中解决一些问题的重要工具，例如在分数的加减 法中，可以通过商不变规律进行分母的通分。
数学证明
商不变规律在数学证明中也有广泛应用，例如在证明一些等式或不 等式时，可以利用商不变规律进行推导。
商不变的规律ppt
与其他数学知识的结合
乘法分配律
商不变的规律可以与乘法分配律结合使用，例如在解决某些数 学问题时，可以利用商不变的规律简化计算。
除法性质
商不变的规律与除法的性质有关，例如在计算两个数相除的结 果时，可以利用商不变的规律简化计算。
分数
商不变的规律可以应用于分数的计算，例如在计算两个分数相 除的结果时，可以利用商不变的规律简化计算。
性质
商不变的规律是一种数学运算规律，它具有普遍性和可传递 性。这意味着，如果满足商不变的规律，任何两个数的除法 运算都可以得到相同的商。
商不变规律的应用范围
整数除法
商不变的规律可以应用于整数除法，无论被除数和除数是大是小，只要它们满足相同的倍 数关系，就可以通过应用该规律简化计算。
小数除法
在小数除法中，虽然不能直接应用商不变的规律，但可以通过小数点的移动来实现类似的 效果。例如，可以将除数和被除数都乘以10或100等，使得计算更简便。
在化学工程中，商不变的规律可以应用于某些化学反应的计算，例如在计算两个浓度相除 的结果时，可以利用商不变的规律简化计算。
05
总结与展望
总结商不变规律的研究成果
商不变规律是数学中一个非常重要的规律，它描述了两个数 相除时，如果被除数和除数同时乘以或除以同一个数，商值 不会改变。这个规律在数学中有着广泛的应用。
03
商不变的规律的应用
在简化运算中的应用
总结词
简化运算，提高计算效率
详细描述
商不变的规律可以用于简化运算，特别是在进行大量除法计算时，可以避免反复 计算除数和被除数，只需确定商即可。这种方法可以大大提高计算效率，减少计 算错误。
在解方程中的应用
总结词
解方程的技巧和方法
商不变的规律(共25张PPT)
（80×5）÷（20×5）＝ “花果山风景秀丽，鸟语花香。 谁能给我们发现的规律取个名字？ （80×2）÷（20×2）＝ （80÷10）÷（20÷10）＝4
那现在你看看“商不变的规律”，你认为哪 几个词特别重要？
被除数和除数同时乘或除以 相同的数（0除外），商不变。
那现在你看看“商不变的规律”，你认为哪几 个词特别重要？
3.同时乘或除以的这个数不能是0。
课后作业
1.课本89页第二题； 2.课本90页第六题。
商不变。谁能给我们发现的规律取个名字？
这个规律人们通常叫：
“商不变的规律”。
那现在你看看“商不变的规律”，你认为哪几 个词特别重要？ （80÷4）÷（20÷4）＝4
（80×2）÷（20×2）＝4 =（400 × 4）÷（25 × 4） 我们可不能被表面现象所迷惑，要透过现象看本质。 （1）800÷25＝（800×4）÷（25×4） （ ）
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 （80×5）÷（20×5）＝
4
从上往下看，被除数和除数同时乘以相同的数。
因为猴王利用商不变的规律把小猴子给骗了，每只小猴子还是分的2个桃子。
（80÷4）÷（20÷4）＝4
（80÷4）÷（20÷4）＝4
（80÷4）÷（20÷4）＝
（80×2）÷（20×2）＝
从上往下 看，被除 数和除数 同时乘以 相同的数。
80 ÷20＝ 4 （80×2）÷（20×2）＝ 4 （80×5）÷（20×5）＝ 4 （80×10）÷（20×10）＝ 4
发现第一组算式的得 数都是4
从上往下 看，被除 数和除数 同时除以 相同的数。
80 ÷20＝ 4 （80 ÷ 2）÷（20 ÷ 2）＝ 4 （80 ÷ 4）÷（20 ÷ 4）＝ 4 （80 ÷ 10）÷（20 ÷ 10）＝ 4
那现在你看看“商不变的规律”，你认为哪 几个词特别重要？
被除数和除数同时乘或除以 相同的数（0除外），商不变。
那现在你看看“商不变的规律”，你认为哪几 个词特别重要？
3.同时乘或除以的这个数不能是0。
课后作业
1.课本89页第二题； 2.课本90页第六题。
商不变。谁能给我们发现的规律取个名字？
这个规律人们通常叫：
“商不变的规律”。
那现在你看看“商不变的规律”，你认为哪几 个词特别重要？ （80÷4）÷（20÷4）＝4
（80×2）÷（20×2）＝4 =（400 × 4）÷（25 × 4） 我们可不能被表面现象所迷惑，要透过现象看本质。 （1）800÷25＝（800×4）÷（25×4） （ ）
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 （80×5）÷（20×5）＝
4
从上往下看，被除数和除数同时乘以相同的数。
因为猴王利用商不变的规律把小猴子给骗了，每只小猴子还是分的2个桃子。
（80÷4）÷（20÷4）＝4
（80÷4）÷（20÷4）＝4
（80÷4）÷（20÷4）＝
（80×2）÷（20×2）＝
从上往下 看，被除 数和除数 同时乘以 相同的数。
80 ÷20＝ 4 （80×2）÷（20×2）＝ 4 （80×5）÷（20×5）＝ 4 （80×10）÷（20×10）＝ 4
发现第一组算式的得 数都是4
从上往下 看，被除 数和除数 同时除以 相同的数。
80 ÷20＝ 4 （80 ÷ 2）÷（20 ÷ 2）＝ 4 （80 ÷ 4）÷（20 ÷ 4）＝ 4 （80 ÷ 10）÷（20 ÷ 10）＝ 4
《商不变的规律》课件
03
商不变规律是数学中一个重要的基本性质，它在很多数 学问题中都有应用。
商不变规律的数学表达
如果被除数a和除数b 同时扩大m倍，则商 的表达式为 a/b=ma/mb。
通过数学表达，我们 可以更清晰地理解商 不变规律的内涵和运 用方式。
如果被除数和除数同 时缩小n倍，则商的 表达式仍为 a/b=(a/n)/(b/n)。
步骤二
利用代数表达式表示被除数和除数，并设 定一个非零数用于变换。
B
C
步骤三
根据代数运算法则，将被除数和除数同时乘 以或除以该非零数，得到新的被除数和除数 。
步骤四
计算新的商，发现商与原来的商相等，证明 商不变的规律。
D
证明中的注意事项
注意事项一
确保非零数的选择是合理 的，不能导致除数为零的 情况。
03 商不变规律的证明
证明方法的概述
证明方法
通过数学推导和演绎推理，利用 已知的数学定理和性质，证明商 在某些条件下保持不变的规律。
证明思路
首先明确商不变的条件，然后通 过代数变换和等价变换，逐步推 导出商不变的结论。
具体的证明步骤
A
步骤一
明确商不变的条件，即被除数和除数同时乘以 或除以同一个非零数，商保持不变。
如速度、加速度等。
化学
在化学中，商不变规律可以用于 计算化学反应中各物质之间的比 例关系，如反应速率、化学平衡
常数等。
经济学
在经济学中，商不变规律可以用 于研究市场供需关系、商品价格 变化等问题，帮助我们更好地理
解经济现象。
05 总结与展望
商不变规律的总结
01
商不变规律的定义
在除法中，当被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数时，商不变。
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2
同学们，谁的笑是 聪明的一笑，为什么？
3
80 ÷20＝ 4 （80×2）÷（20×2）＝ 4 （80×5）÷（20×5）＝ 4 （80×10）÷（20×10）＝ 4
4
（80÷2）÷（20÷2）＝ 4 （80÷4）÷（20÷4）＝ 4 （80÷10）÷（20÷10）＝ 4
5
80÷20＝4
（80×2）÷（20×2）＝4 （80×5）÷（20×5）＝4 （80×10）÷（20×10）＝4
讨论：看看小红说 的这个算式是等于 4吗？
不等于4。
那么，我们刚才总
结的规律应该有什么补 充？
被除数和除数同时乘或除以相 同的数（0除外），商不变。
12
刚才，同学们通过观察、思考、 讨论、验证，证实了：在除法中，被 除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外） ，商不变。谁能给我们发现的 规律取个名字？
18
同学们，谁的笑是聪明的一笑，为什么？
第一次：6 第二次：60 第三次：600
3 30
300
小猴子的笑是聪明的一笑，因为越来越 多的小猴子分到桃子了。
猴王的笑是聪明的一笑。因为猴王利用商 不变的规律把小猴子给骗了，每只小猴子 还是分的2个桃子。
19
对！数字变了，但桃 子个数与小猴只数之间的 倍数关系没有变。我们可 不能被表面现象所迷惑， 要透过现象看本质。
被除数和除数同时乘或除 以相同的数（0除外），商不 变。
16
那现在你看看“商不变的规律”，你认为 哪几个词特别重要？
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数（0除外）， 商不变。
17
“花果山风景秀丽，鸟语花香。桃树上挂满 了桃子，桃树下坐着一群猴子，它们在等猴王 来分桃子。猴王准时来到。猴王说：‘给你6个 桃子，平均分给3只小猴吧。’小猴子听了，连 连摇头：‘太少了，太少了！’猴王就说： ‘那好吧，给你60个桃子，平均分给30只小猴， 怎么样？’小猴子得寸进尺，挠挠头皮，试探 地说：‘大王，请您开开恩，再多给点行不行 啊？’猴王一拍胸脯，显示出慷慨大度的样子： ‘那好吧，给你600个桃，平均分给300个小猴， 你总该满意了吧？！’这时，小猴子笑了，猴 王也笑了。
1
“花果山风景秀丽，鸟语花香。桃树上挂满 了桃子，桃树下坐着一群猴子，它们在等猴王 来分桃子。猴王准时来到。猴王说：‘给你6个 桃子，平均分给3只小猴吧。’小猴子听了，连 连摇头：‘太少了，太少了！’猴王就说： ‘那好吧，给你60个桃子，平均分给30只小猴， 怎么样？’小猴子得寸进尺，挠挠头皮，试探 地说：‘大王，请您开开恩，再多给点行不行 啊？’猴王一拍胸脯，显示出慷慨大度的样子： ‘那好吧，给你600个桃，平均分给300个小猴， 你总该满意了吧？！’这时，小猴子笑了，猴 王也笑了。
被除数和除数同时乘 或除以相同的数，商不变。
9
同学们发现的这个规律是否具 有普遍性呢？请你们接下来再举几 个例子，看被除数和除数同时乘或 除以相同的数，商变不变？
10
（80×100）÷（20×100）＝4
小芳
（80 ÷ 20）÷（20 ÷ 20）＝ 4
小刚
（80×0）÷（20×0）＝4
小红
11
（80×0）÷（20×0）＝4
20
（1）800÷25＝（800×4）÷（25×4） （2）48÷24＝（48÷4）÷（24÷2） （3）32800÷400＝328÷4 （4）30×4＝（30÷2）×（4÷2）
（√ ） （X ） （√ ） （ √）
21
下面是淘气计算“400÷25”的过 程，仔细观察计算的每一步，你受到 什么启发？
2.乘或除以的数要相同。 3.同时乘或除以的这个数不能是0。
24
这个规律人们通常叫：
“商不变的规律”。
13
那现在你看看“商不变的规律”，你认为 哪几个词特别重要？
被除数和除数同时乘或除 以相同的数（0除外），商不 变。
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那现在你看看“商不变的规律”，你认为 哪几个词特别重要？
被除数和除数同时乘或除 以相同的数（0除外），商不 变。
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那现在你看看“商不变的规律”，你认为 哪几个词特别重要？
发现第一组算式的 得数都是4
7
从上往下 看，被除 数和除数 同时除以 相同的数。
80 ÷20＝ 4 （80 80 ÷ 10）÷（20 ÷ 10）＝ 4
发现第二组算式的 得数都是4，商不 变。
8
你能尝试把这两种情况 用一句话概括出来吗？
现在我们回过头 来看这两组题。你发 现这两组题有什么特 点？
80÷20＝4 （80÷2）÷（20÷2）＝4 （80÷4）÷（20÷4）＝4 （80÷10）÷（20÷10）＝4
6
从上往下 看，被除 数和除数 同时乘以 相同的数。
80 ÷20＝ 4 （80×2）÷（20×2）＝ 4 （80×5）÷（20×5）＝ 4 （80×10）÷（20×10）＝ 4
400÷25 =（400 × 4）÷（25 × 4） =1600 ÷100 =16
22
你能用这个方法计 算下面各题吗？
150÷25 =(150 ×4 )÷(25 ×4) =600 ÷100 =6
23
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
在除法里，被除数和除数都乘（或除以）一个相同 的数（0除外），商不变。 强调：1.要同时乘或除以一个数。
同学们，谁的笑是 聪明的一笑，为什么？
3
80 ÷20＝ 4 （80×2）÷（20×2）＝ 4 （80×5）÷（20×5）＝ 4 （80×10）÷（20×10）＝ 4
4
（80÷2）÷（20÷2）＝ 4 （80÷4）÷（20÷4）＝ 4 （80÷10）÷（20÷10）＝ 4
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80÷20＝4
（80×2）÷（20×2）＝4 （80×5）÷（20×5）＝4 （80×10）÷（20×10）＝4
讨论：看看小红说 的这个算式是等于 4吗？
不等于4。
那么，我们刚才总
结的规律应该有什么补 充？
被除数和除数同时乘或除以相 同的数（0除外），商不变。
12
刚才，同学们通过观察、思考、 讨论、验证，证实了：在除法中，被 除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外） ，商不变。谁能给我们发现的 规律取个名字？
18
同学们，谁的笑是聪明的一笑，为什么？
第一次：6 第二次：60 第三次：600
3 30
300
小猴子的笑是聪明的一笑，因为越来越 多的小猴子分到桃子了。
猴王的笑是聪明的一笑。因为猴王利用商 不变的规律把小猴子给骗了，每只小猴子 还是分的2个桃子。
19
对！数字变了，但桃 子个数与小猴只数之间的 倍数关系没有变。我们可 不能被表面现象所迷惑， 要透过现象看本质。
被除数和除数同时乘或除 以相同的数（0除外），商不 变。
16
那现在你看看“商不变的规律”，你认为 哪几个词特别重要？
被除数和除数同时扩大或 缩小相同的倍数（0除外）， 商不变。
17
“花果山风景秀丽，鸟语花香。桃树上挂满 了桃子，桃树下坐着一群猴子，它们在等猴王 来分桃子。猴王准时来到。猴王说：‘给你6个 桃子，平均分给3只小猴吧。’小猴子听了，连 连摇头：‘太少了，太少了！’猴王就说： ‘那好吧，给你60个桃子，平均分给30只小猴， 怎么样？’小猴子得寸进尺，挠挠头皮，试探 地说：‘大王，请您开开恩，再多给点行不行 啊？’猴王一拍胸脯，显示出慷慨大度的样子： ‘那好吧，给你600个桃，平均分给300个小猴， 你总该满意了吧？！’这时，小猴子笑了，猴 王也笑了。
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“花果山风景秀丽，鸟语花香。桃树上挂满 了桃子，桃树下坐着一群猴子，它们在等猴王 来分桃子。猴王准时来到。猴王说：‘给你6个 桃子，平均分给3只小猴吧。’小猴子听了，连 连摇头：‘太少了，太少了！’猴王就说： ‘那好吧，给你60个桃子，平均分给30只小猴， 怎么样？’小猴子得寸进尺，挠挠头皮，试探 地说：‘大王，请您开开恩，再多给点行不行 啊？’猴王一拍胸脯，显示出慷慨大度的样子： ‘那好吧，给你600个桃，平均分给300个小猴， 你总该满意了吧？！’这时，小猴子笑了，猴 王也笑了。
被除数和除数同时乘 或除以相同的数，商不变。
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同学们发现的这个规律是否具 有普遍性呢？请你们接下来再举几 个例子，看被除数和除数同时乘或 除以相同的数，商变不变？
10
（80×100）÷（20×100）＝4
小芳
（80 ÷ 20）÷（20 ÷ 20）＝ 4
小刚
（80×0）÷（20×0）＝4
小红
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（80×0）÷（20×0）＝4
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（1）800÷25＝（800×4）÷（25×4） （2）48÷24＝（48÷4）÷（24÷2） （3）32800÷400＝328÷4 （4）30×4＝（30÷2）×（4÷2）
（√ ） （X ） （√ ） （ √）
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下面是淘气计算“400÷25”的过 程，仔细观察计算的每一步，你受到 什么启发？
2.乘或除以的数要相同。 3.同时乘或除以的这个数不能是0。
24
这个规律人们通常叫：
“商不变的规律”。
13
那现在你看看“商不变的规律”，你认为 哪几个词特别重要？
被除数和除数同时乘或除 以相同的数（0除外），商不 变。
14
那现在你看看“商不变的规律”，你认为 哪几个词特别重要？
被除数和除数同时乘或除 以相同的数（0除外），商不 变。
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那现在你看看“商不变的规律”，你认为 哪几个词特别重要？
发现第一组算式的 得数都是4
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从上往下 看，被除 数和除数 同时除以 相同的数。
80 ÷20＝ 4 （80 80 ÷ 10）÷（20 ÷ 10）＝ 4
发现第二组算式的 得数都是4，商不 变。
8
你能尝试把这两种情况 用一句话概括出来吗？
现在我们回过头 来看这两组题。你发 现这两组题有什么特 点？
80÷20＝4 （80÷2）÷（20÷2）＝4 （80÷4）÷（20÷4）＝4 （80÷10）÷（20÷10）＝4
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从上往下 看，被除 数和除数 同时乘以 相同的数。
80 ÷20＝ 4 （80×2）÷（20×2）＝ 4 （80×5）÷（20×5）＝ 4 （80×10）÷（20×10）＝ 4
400÷25 =（400 × 4）÷（25 × 4） =1600 ÷100 =16
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你能用这个方法计 算下面各题吗？
150÷25 =(150 ×4 )÷(25 ×4) =600 ÷100 =6
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课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
在除法里，被除数和除数都乘（或除以）一个相同 的数（0除外），商不变。 强调：1.要同时乘或除以一个数。