2014年四川高考物理压轴题第三问的数学计算

2014年四川高考物理压轴题第三问的数学计算

河南省信阳高级中学陈庆威2017.12.21

2014年四川高考物理压轴题第三问难的几乎空前绝后，据说当年四川30万考生只有30人做对，成功率是万分之一。排除题本身的问题之外，单单是官方给出答案的数学计算就难倒了一大批考生，列出了三角函数的表达式后如何能求出角度，时间虽过去了好几年，可是现在我们做起来还是那么的不可思议。

题目：如图所示，水平放置的不带电的平行金属板p和b相距h，与图示电路相连，金属板厚度不计，忽略边缘效应。p板上表面光滑，涂有绝缘层，其上O点右侧相距h处有小孔K；b板上有小孔T，且O、T在同一条竖直线上，图示平面为竖直平面。质量为m、电荷量为- q （q > 0）的静止粒子被发射装置（图中未画出）从O点发射，沿P 板上表面运动时间t后到达K孔，不与板碰撞地进入两板之间。粒子视为质点，在图示平面内运动，电荷量保持不变，不计空气阻力，重力加速度大小为g。

（1）求发射装置对粒子做的功；

（2）电路中的直流电源内阻为r，开关S接“1”位置时，进入板间的粒子落在b板上的A点，A点与过K孔竖直线的距离为l。此后将开关S接“2”位置，求阻值为R的电阻中的电流强度；

（3）若选用恰当直流电源，电路中开关S 接“l ”位置，使进入板间的粒子受力平衡，此时在板间某区域加上方向垂直于图面的、磁感应

强度大小合适的匀强磁场（磁感应强度B 只能在 B m ~0=

围内选取），使粒子恰好从b 板的T 孔飞出，求粒子飞出时速度方向与b 板板面夹角的所有可能值（可用反三角函数表示）。 试题分析：

(1)设粒子在P 板上匀速运动的速度为v 0 ，由于粒子在P 板做匀速

说明：①②各2分，③式1分

（2）设电源的电动势为E 0、极板间的电压为U ，有U E =0④ 板间产生匀强电场为E ，粒子进入板间时有水平方向的初速度v 0 ，在板间受到竖直方向的重力和电场力作用而做类平抛运动，设运动时间为t 1 ，加速度为a ，有h E U = ⑤

当开关S 接“1”时，粒子在电场中做匀变速曲线运动，其加速度为

1vt l =⑧

当开关S 接“2”时，由闭合电路欧姆定律知

说明：④⑤⑥⑦⑧⑨⑩各1分

（3）由题意分析知，此时在板间运动的粒子重力和电场力平衡。当粒子从k 进入两板间后，立即进入磁场物体在电磁场中做匀速圆周运动，离开磁场后做匀速直线运动，故分析带电粒子的磁场如图所示，运动轨迹如图所示，粒子出磁场区域后沿DT 做匀速直线运动，DT 与 b 板上表面的夹角为θ ，

DT 与b 板上表面的夹角即为题中所求θ，设粒子与板间的夹角最大为

θ，磁场的磁感应强度B 取最大值时R 最小，θ最大设为m θ

由R

v vB 2

m q = ，⑾

当B 减小时，粒子离开磁场做匀速圆周运动的半径也要增大，D 点向b 板靠近。当磁场强度取B m 时，则如上图情况可知

，)cos 1(h θ+-=R DG ⑿ ,sin θR h TG +=⒀

m B =代入，求得arcsin

m =θ当B 逐渐减小是，粒子做匀速圆周运动的半径R ，D 点无线接近向

b 板上表面时，当粒子离开磁场后在板间几乎沿着b 板上表面运动而从T 孔飞出板间区域，此时0m >>B B 满足题目要求，夹角θ 趋近0θ ， 即：00=θ⒃

故粒子飞出时与b 板夹角的范围是arcsin 0≤<θ说明：⑿⒀⒁⒂⒃(17)各1分 第三问计算解读：

第三问的答案中给出了这样的几何关系

，)cos 1(h θ+-=R DG ,sin θR h TG += ,cos sin tan TG

DG

==

θθθ 联立以上各式，将m B B =代入，求得52

arcsin

m =θ。 但是，让老师们和无数同学们纠结的是5

2

sin =θ是怎么算出来的？

根据题中信息我们很容易得到以下公式：)cos 1(5

212

21sin cos θθθ++-=

-接下来的计算可能就让很多人感到头痛了，尤其是把上式和公式：

1cos sin 22=+θθ联立起来求解时基本上是得不出5

2

sin =

θ这个结果的，我试了两次都没有成功。 现将巧妙解法提供如下：

5

21

cos 52sin 5212215

21m 2-21521221a ,,,sin ,cos m a =

===

+=+-=-++=

++-=-==m a m b a m b a a

m m a m m b m b a m

b

θθθθ得：则：上式可表示为：为常数其中令