人教版数学中考复习专项练习含答案：一次函数与二次函数图像的交点问题

一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习

1. 已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +1）x +3m +3=0 （m ＞1）。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =x 1

﹣3x 2，求这个函数的解析式；

（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，b 的取值范围。

2. 已知抛物线22

21y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C 。

（1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；

（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若BOC △是等腰三角形，求抛物线的解析式；

（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式。

3. 已知关于x 的方程mx 2+（3m +1）x +3=0（m ≠0）。 （1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值；

（3）在（2）的条件下，将关于x 的二次函数y = mx 2+（3m +1）x +3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请结合这个新的图象回答：当直线y =x +b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围。

4. 已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224

y x ax =-+（其中a ＞2）。

（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若2

5

=

a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围。

5. 已知二次函数2

1y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点。 （1）求1C 对应的函数表达式；

（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线2C ，将2C 对应的

函数表达式记为2

2y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式；

（3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在2-≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得2y ≤3

y 成立，根据函数图象直接写出a 的取值范围。

一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习

参考答案

1.（1）证明：

()()()22

=41433=21,

m m m m ∆+-+-

()2

1,=210.

m m >∴∆->

所以方程有两个不等实根； （2）解：()

()2

4121412122m m m m x m

m

+±

-+±-=

=

，

13,1+

m

∴两根分别为。 1212111,01,1 2.1

,3,1.

13331.

m m m

x x x x m

y m m >∴<

<∴+<>∴==+⎛

⎫∴=-+=- ⎪⎝⎭

（3）解：作出函数3

(1)m m

>y=-的图象，并将图象在直线2m =左侧的部分沿此直

线翻折，所得新图形如图所示，易知点,A B 的坐标分别为3

(3,3),(2,).

2A B --

当直线2y m b =+过点 A 时，可求得9b =-

过点B 时，可求得11

,2

b =-

因此，。

2. 解：（1）令0y =，有2

2

210x mx m -+-+=，

∴2()10x m --+=，∴2()1x m -=， ∴11x m =+，21x m =-，

∵点B 在点A 的右侧，

∴(1,0)A m -，(1,0)B m +；

（2）∵点B 在原点的右侧且在点A 的右侧，点C 在原点的下方，抛物线开口向下，

∴10m ->，∴1m >， ∴1OB m =+，

令0x =，有21y m =-+， ∴21OC m =-，

∵BOC △是等腰三角形，且∠BOC =90°，

∴OB OC =，即211m m +=-，

∴210m m --=，∴12m =，21m =-（舍去），∴2m =， ∴抛物线的解析式为243y x x =-+-。

（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和4，

由此可得交点坐标为(1,0)和(4,3)-。

将交点坐标分别代入一次函数解析式y kx b =+中， 得 0 4 3.k b k b +=⎧⎨+=-⎩

， 解得

1

1k b =-⎧⎨

=⎩

，． 一次函数的解析式为1y x =-+。 3.（1）证明：∵m ≠0，

∴mx 2+（3m +1）x +3=0是关于x 的一元二次方程.

∴△=（3m +1）2－12m =（3m －1）2。∵ （3m －1）2≥0，∴方程总有两个实数根；

（2）解：由求根公式，得x 1=－3，x 2=1

m

-。 ∵方程的两个根都是整数，且m 为正整

数，∴m =1；

（3）解：∵m =1时，∴y =x 2+4x +3，

∴抛物线y =x 2+4x +3与x 轴的交点为A （－3，0）、B （－1，0）。依题意翻折后的图象如图所示，

当直线y =x +b 经过A 点时，可得b =3。 当直线y =x +b 经过B 点时，可得b =1。 ∴1＜b ＜3。

当直线y =x +b 与y =－x 2－4x －3 的图象有唯一公共点时， 可得x +b =－x 2－4x －3，∴x 2+5x +3+b =0，

∴△=52－4（3+b ） =0，∴b =134，∴b ＞13

4

，