数学命题及其教学
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⑤吸收律：p∨(p∧q)≡p, p∧(p∨q)≡p. ⑥De Morgun律：﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q, ﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q .
⑦双否律：﹁(﹁p)≡p.
⑧幺元律：p∨0≡p, p∧1≡p. ⑨极元律：p∨1≡1, p∧0≡0. ⑩互补律：p∨﹁p≡1, p∧﹁p≡0. 利用逻辑等价可以将复杂的命题简单化，也可 推证两个命题的等价关系.
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二、数学命题的教学
数学中的定义、法则、定律、公式、性质、公理、定 理等，都是数学命题. 数学命题是数学知识的主体，它与 概念、推理、证明有着密切的联系：命题由概念组成，概 念由命题揭示；命题是组成推理的要素，而很多数学命题 是经过推理获得的；命题是证明的的重要依据，而命题的 真实性一般都需要经过证明才能确认.
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★ 命题的基本运算
否定(非)、合取(与、且、联言命题)、析取 (或、选言命题)、蕴涵、等价。 （1）否定（非 ——“﹁”）
给一个命题p，它与“﹁”构成复合命题“﹁p” 称为命题p的否定，也称为负命题。 否定真值表 p 1 0
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﹁p 0 1
（2）合取（与、且 ——“∧”） 给定两个命题p,q，用连接词“∧”联结起来， 构成复合命题“p∧q”, 称为命题p,q的合取式，也 称为联言命题。
（5）等价（当且仅当） 给定两个命题p,q, 用连接词“←→”联结起来， 构成复合命题“p ←→ q”, 称为命题p,q的等值式， 也称为充要条件假言命题。 等价真值表
p
1 1 0 0
q
1 0 1 0
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p ←→ q 1 0 0 1
★复合命题的真值 例1 求复合命题(p∧q) →p的真值。
例2 求复合命题p∧﹁ q的真值。
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★ 常用的逻辑等价式： 若两个命题的真值完全相同，则这两个命题 称为等假命题（或逻辑等价）.记着“≡”. 逻辑等价的两个命题，在推理证明时可以互 相替换. 常用的逻辑等价式有： ①幂等律：p∨p≡p，p∧p ≡p. ②交换律：p∨p≡q∨p， p∧p≡q∧p. ③结合律：(p∨q)∨r≡p∨(q∨r ), (p∧q)∧r≡p∧( q∧r), ④分配律：p∨(q∧r) ≡(p∨q)∧(p∨r), p∧(q∨r) ≡(p∧q)∨(p∧r).
即：两直线平行，则同位角且内错角相等。 ②同一数学对象诸判定定理的合并
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在上例中，两判定定理“若同位角相等，则两直线 平行”、“若内错角相等，则两直线平行”，可合 并为：
（q p） (q p) (q p)(q p)
1 2 1 2
(q q ) p
数学命题及其教学
一、判断与命题概述 1 判断的意义及其结构 ★ 什么是判断？ 判断是对思维对象有所断定的一种思维形式。 即，判断是对思维对象的某种属性进行肯定或否 定的一种思维形式。
例如，“π是无理数”、“0是自然数”、“我是 学生”等都是表示判断的语句。
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★ 判断的两个基本特征 （1）“要有所断定”，否则不称其为判断。
数学命题教学的基本任务，是使学生认识命题的条件 和结论，掌握证明命题的推理过程和证明方法，运用所学 的命题进行计算、推理或论证，提高数学基本能力，解答 实际问题. 并在此基础上，使学生弄清数学命题间的关系， 把学过的命题系统化，形成结构紧密的知识体系.
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（五）数学命题教学基本要求 1 重视数学命题引入的教学 （1）发现式引入，即通过实践去发现 （2）过渡性引入 2 重视数学命题证明与推导的教学 3 重视数学命题应用的教学 4 重视建立数学命题系统知识的教学
②矛盾律。在同一思维过程中，同一对象的 两个互相矛盾的思想不能同真。它的公式是 ﹁(A∧﹁A)(A与非A不能同真)。由真值表可知它 是一个恒真命题。 A 1 0 ﹁A 0 1 A∧﹁A 0 0 ﹁(A∧﹁A) 1 1
矛盾律是同一律的引申，它是用否定形式来 表达同一律的内容. 同一律说：p是p；矛盾律说： p不是﹁p.
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⑷特称否定判断（O），其逻辑形式是：“有 些S不是P”，简记为SOP； ★ 判断的结构 (判断) = (量项) + (主项) + (联项) + (谓项) 2 命题及其基本运算 ★ 什么是命题？ 表述判断的语句称为命题 。 表述数学判断的语句则称为数学命题 ★ 真命题与假命题 由于判断有真假之分, 故命题应具有可判性、 有真假之分。
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③排中律。在同一思维过程中，同一对象的 两个互相矛盾的思想必有一真。它的公式是 A∨﹁A(A或非A)，易证它是一恒真命题。 排中律要求思维要有明确性，避免模棱两可. 它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指明 正确的思维不仅要求确定、互不矛盾，而且应该 明确地表示肯定或否定，不能模棱两可，不可含 糊不清. 矛盾律和排中律是反证法的逻辑基础.当要证 明某一命题的真实性有困难时，根据排中律，只 要证明这一命题的负命题是假的即可.
a 2 0 ”只有一个 例如, 命题“若a>0 或a<0, 则 条件(选言判断)和一个结论, 因而也只有一个逆命 题：“若 a 2 0 , 则a>0或a<0” 而没有偏逆命题。
② 逆否命题的制作
※ 简单命题的逆否命题的制作, 只需将条件、 结论先否定, 再换位即可。
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※ 复合命题的逆否命题制作，则需通过命题 运算才能得到。 例如, 求命题“若a=0或b=0, 则ab=0”的逆否命 题。应首先将命题表述为(a=0)∨(b=0)→(ab=0)； 然后进行命题运算： ﹁(ab=0)→﹁[(a=0)∨(b=0)] ≡(ab≠0)→(a≠0)∧(b≠0) 最后, 得逆否命题“若ab≠0, 则a=0且b=0”。 （4）命题的条件 充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也 不必要条件。
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思考题： 1. 什么是判断？什么是命题？ 2. 常用的逻辑联结词有哪些？ 3. 什么是逻辑等价？ 4. 指出命题四种形式的相互关系. 5. 写出命题“等腰三角形顶角的平分线也是底边的 中垂线”的逆命题和逆否命题. 6.何谓充分条件？何谓必要条件？
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（5）命题的合并
应用命题运算，将几个简单命题合并成一个形 式简单的复合命题，称为命题的合并. ①同一数学对象诸性质定理的合并 例如，设p：两直线平行, q1：同位角相等, q2 ：内错角相等。则命题p→ q1 , p→ q2 可合并为：
(p→q1)∧(p→ q 2 )≡(﹁p∨ q1 )∧(﹁p∨ q) 2 q) ≡﹁p∨( q∧ 2 1 q) ≡p→( q ∧ 2 1
例如：命题“若a>0, b>0,则ab>0”有两个条件 和一个结论, 因此, 它有一个逆命题“若ab>0, 则 a>0, b>0”和两个偏逆命题“若ab>0, b>0,则a>0”及 “若ab>0, a>0,则b>0”。
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※ 当命题的条件、结论中含有选言判断, 在 制作逆命题时, 选言判断只能当作一个整体, 不能 再加分解。
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★命题的四种形式
原命题： 若P,则Q. (互逆) 逆命题： 若P,则Q. 互 否
互 否 否命题： 若P,则Q.
互逆否 (互逆)
逆否命题： 若P,则Q.
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（3）命题的制作
①逆命题的制作
※ 直接换位得逆命题 ※ 将一个复合命题中相同个数的条件、结论 (不是全部)交换位置得逆命题——“偏逆命题”
(q q ) p
1 2
1
2
(q q ) p
1 2
这就是：两直线被第三直线所截，若同位角或 内错角相等，则这两直线平行。
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（6）对含有量词的命题否定 ※ 命题中的量词常用两个： 表示全体的全称量词——
表示部分的特称量词——
※ 含有量词命题的否定，有下述关系成立： ① ﹁[x( p( x)) ]≡ x(﹁p(x)) ② ﹁[ x(p(x))]≡ x(﹁p(x)).
■ 按判断的质来分，判断可分为肯定判断和 否定判断。 ■ 按判断的量来分，则可分为全称判断和特 称判断。 ★ 数学中常用的四种判断形式 ⑴全称肯定判断(A)，其逻辑形式是：“所有的 S都是P”，简记为SAP；
⑵全称否定判断（E），其逻辑形式是：“所有 的S都不是P”，简记为SEP； ⑶特称肯定判断（I），其逻辑形式是：“有 些 S是P”，简记为SIP；
如，“0是自然数吗？”，“ x－1＞0”都不是 判断。 （ 2）判断有真假之分。
★ 判断可按不同的标准进行分类
■ 按判断的组成形式，可分为简单判断和复 合判断。 对于简单判断，又可按其内容分为性质判断 和关系判断； 对于复合判断，还可按其复合形式分为负判 断、联言判断、选言判断和假言判断。
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若命题p→q真, 则称p是q成立的充分条件； 若命题q→p真, 则称p是q成立的必要条件； 若命题p→q与p→q同真, 则称p是q成立的充要 条件(既充分又必要条件)； 若命题p→q与p→q同假, 则称p是q成立的既不 充分又不必要条件。 序号 ① ② ③ ④ p 1 1 0 0 q 1 0 1 0
（4）蕴涵(若…则…、如果…那么…——“→”) 给定两个命题p,q，用连接词“→”联结起来， 构成复合命题“p → q”, 称为命题p,q的蕴含式，也 称为假言命题。其中p叫做前件(或条件), q叫做后 件(或结论)。 蕴含真值表
p
1 1 0 0
q
1 0 1 0
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p→q 1 0 1 1
合取真值表
p
1 1 0 0
q
1 0 1 0
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p∧q 1 0 0 0
（3）析取（或 ——“∨”） 给定两个命题p,q，用连接词“∨”联结起来， 构成复合命题“p∨q”, 称为命题p,q的析取式，也 称为选言命题。 析取真值表
p
1 1 0 0
q
1 0 1 0
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p∨q 1 1 1 0
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p→q 1 0 1 1
q→p 1 1 0 1
分析上表： 当p→q真时, p真足可保证q也真①(不排除p假 时q还可真③), 因而p是q的充分条件； 当q→p真时, 没有p真就不会有q真④(不排除 有了p真还可q假②), 因而p是q的必要条件； 当p→q与q→p同真时, p与q同真假①④, 因而 p与q互为充要条件； 由此, 命题条件与结论间的逻辑关系可分为 四种情形：p是q的充分而非必要条件(表中的③)； p是q的必要而非充分条件(表中的②)； p是q的充 要条件(表中的①④) ；p是q成立的既不充分又不 必要条件。
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（2）命题的四种形式及关系 原命题：p→q 逆命题：q → p (换位) 否命题：﹁p→﹁q (换质) 逆否命题：﹁q → ﹁p 从真值表容易证明, 原命题与其逆否命题等价， 逆命题与否命题等价。即： p→q≡﹁q→﹁p.
以上结论也可以用命题运算律加以证明，如：
p→q≡﹁p∨q≡q∨﹁ p≡﹁(﹁q)∨﹁p ≡﹁q→﹁p
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如 x 2 7 ”和“ x 3 ”，由于含有变量
“ x ，故无法判断其真假，这样的语句称为开句，不 是命题, 但若当 x 赋值后, 则它都可成为数学命题。
如：存在x R，使得x 2 7.
★ 命题的运算（复合） 就是将命题符号化、形式化，将若干命题用 逻辑联系词联结起来构建新的命题，由于关键是 逻辑联系词，因此，命题运算实际上是命题的逻 辑联结。
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3 命题运算应用举例 （1）反映逻辑思维的基本规律 ①同一律。在同一思维过程中，每一思想都 必须是严格确定的和同一的。它的公式是A≡A , 表示成命题形式A→A。由真值表知它是恒真命题. A 1 0
A→A 1 1
同一律要求：思维对象应保持同一；表示同 一事物的概念应保持同一.
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⑤吸收律：p∨(p∧q)≡p, p∧(p∨q)≡p. ⑥De Morgun律：﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q, ﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q .
⑦双否律：﹁(﹁p)≡p.
⑧幺元律：p∨0≡p, p∧1≡p. ⑨极元律：p∨1≡1, p∧0≡0. ⑩互补律：p∨﹁p≡1, p∧﹁p≡0. 利用逻辑等价可以将复杂的命题简单化，也可 推证两个命题的等价关系.
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二、数学命题的教学
数学中的定义、法则、定律、公式、性质、公理、定 理等，都是数学命题. 数学命题是数学知识的主体，它与 概念、推理、证明有着密切的联系：命题由概念组成，概 念由命题揭示；命题是组成推理的要素，而很多数学命题 是经过推理获得的；命题是证明的的重要依据，而命题的 真实性一般都需要经过证明才能确认.
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★ 命题的基本运算
否定(非)、合取(与、且、联言命题)、析取 (或、选言命题)、蕴涵、等价。 （1）否定（非 ——“﹁”）
给一个命题p，它与“﹁”构成复合命题“﹁p” 称为命题p的否定，也称为负命题。 否定真值表 p 1 0
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﹁p 0 1
（2）合取（与、且 ——“∧”） 给定两个命题p,q，用连接词“∧”联结起来， 构成复合命题“p∧q”, 称为命题p,q的合取式，也 称为联言命题。
（5）等价（当且仅当） 给定两个命题p,q, 用连接词“←→”联结起来， 构成复合命题“p ←→ q”, 称为命题p,q的等值式， 也称为充要条件假言命题。 等价真值表
p
1 1 0 0
q
1 0 1 0
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p ←→ q 1 0 0 1
★复合命题的真值 例1 求复合命题(p∧q) →p的真值。
例2 求复合命题p∧﹁ q的真值。
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★ 常用的逻辑等价式： 若两个命题的真值完全相同，则这两个命题 称为等假命题（或逻辑等价）.记着“≡”. 逻辑等价的两个命题，在推理证明时可以互 相替换. 常用的逻辑等价式有： ①幂等律：p∨p≡p，p∧p ≡p. ②交换律：p∨p≡q∨p， p∧p≡q∧p. ③结合律：(p∨q)∨r≡p∨(q∨r ), (p∧q)∧r≡p∧( q∧r), ④分配律：p∨(q∧r) ≡(p∨q)∧(p∨r), p∧(q∨r) ≡(p∧q)∨(p∧r).
即：两直线平行，则同位角且内错角相等。 ②同一数学对象诸判定定理的合并
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在上例中，两判定定理“若同位角相等，则两直线 平行”、“若内错角相等，则两直线平行”，可合 并为：
（q p） (q p) (q p)(q p)
1 2 1 2
(q q ) p
数学命题及其教学
一、判断与命题概述 1 判断的意义及其结构 ★ 什么是判断？ 判断是对思维对象有所断定的一种思维形式。 即，判断是对思维对象的某种属性进行肯定或否 定的一种思维形式。
例如，“π是无理数”、“0是自然数”、“我是 学生”等都是表示判断的语句。
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★ 判断的两个基本特征 （1）“要有所断定”，否则不称其为判断。
数学命题教学的基本任务，是使学生认识命题的条件 和结论，掌握证明命题的推理过程和证明方法，运用所学 的命题进行计算、推理或论证，提高数学基本能力，解答 实际问题. 并在此基础上，使学生弄清数学命题间的关系， 把学过的命题系统化，形成结构紧密的知识体系.
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（五）数学命题教学基本要求 1 重视数学命题引入的教学 （1）发现式引入，即通过实践去发现 （2）过渡性引入 2 重视数学命题证明与推导的教学 3 重视数学命题应用的教学 4 重视建立数学命题系统知识的教学
②矛盾律。在同一思维过程中，同一对象的 两个互相矛盾的思想不能同真。它的公式是 ﹁(A∧﹁A)(A与非A不能同真)。由真值表可知它 是一个恒真命题。 A 1 0 ﹁A 0 1 A∧﹁A 0 0 ﹁(A∧﹁A) 1 1
矛盾律是同一律的引申，它是用否定形式来 表达同一律的内容. 同一律说：p是p；矛盾律说： p不是﹁p.
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⑷特称否定判断（O），其逻辑形式是：“有 些S不是P”，简记为SOP； ★ 判断的结构 (判断) = (量项) + (主项) + (联项) + (谓项) 2 命题及其基本运算 ★ 什么是命题？ 表述判断的语句称为命题 。 表述数学判断的语句则称为数学命题 ★ 真命题与假命题 由于判断有真假之分, 故命题应具有可判性、 有真假之分。
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③排中律。在同一思维过程中，同一对象的 两个互相矛盾的思想必有一真。它的公式是 A∨﹁A(A或非A)，易证它是一恒真命题。 排中律要求思维要有明确性，避免模棱两可. 它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指明 正确的思维不仅要求确定、互不矛盾，而且应该 明确地表示肯定或否定，不能模棱两可，不可含 糊不清. 矛盾律和排中律是反证法的逻辑基础.当要证 明某一命题的真实性有困难时，根据排中律，只 要证明这一命题的负命题是假的即可.
a 2 0 ”只有一个 例如, 命题“若a>0 或a<0, 则 条件(选言判断)和一个结论, 因而也只有一个逆命 题：“若 a 2 0 , 则a>0或a<0” 而没有偏逆命题。
② 逆否命题的制作
※ 简单命题的逆否命题的制作, 只需将条件、 结论先否定, 再换位即可。
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※ 复合命题的逆否命题制作，则需通过命题 运算才能得到。 例如, 求命题“若a=0或b=0, 则ab=0”的逆否命 题。应首先将命题表述为(a=0)∨(b=0)→(ab=0)； 然后进行命题运算： ﹁(ab=0)→﹁[(a=0)∨(b=0)] ≡(ab≠0)→(a≠0)∧(b≠0) 最后, 得逆否命题“若ab≠0, 则a=0且b=0”。 （4）命题的条件 充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也 不必要条件。
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思考题： 1. 什么是判断？什么是命题？ 2. 常用的逻辑联结词有哪些？ 3. 什么是逻辑等价？ 4. 指出命题四种形式的相互关系. 5. 写出命题“等腰三角形顶角的平分线也是底边的 中垂线”的逆命题和逆否命题. 6.何谓充分条件？何谓必要条件？
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（5）命题的合并
应用命题运算，将几个简单命题合并成一个形 式简单的复合命题，称为命题的合并. ①同一数学对象诸性质定理的合并 例如，设p：两直线平行, q1：同位角相等, q2 ：内错角相等。则命题p→ q1 , p→ q2 可合并为：
(p→q1)∧(p→ q 2 )≡(﹁p∨ q1 )∧(﹁p∨ q) 2 q) ≡﹁p∨( q∧ 2 1 q) ≡p→( q ∧ 2 1
例如：命题“若a>0, b>0,则ab>0”有两个条件 和一个结论, 因此, 它有一个逆命题“若ab>0, 则 a>0, b>0”和两个偏逆命题“若ab>0, b>0,则a>0”及 “若ab>0, a>0,则b>0”。
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※ 当命题的条件、结论中含有选言判断, 在 制作逆命题时, 选言判断只能当作一个整体, 不能 再加分解。
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★命题的四种形式
原命题： 若P,则Q. (互逆) 逆命题： 若P,则Q. 互 否
互 否 否命题： 若P,则Q.
互逆否 (互逆)
逆否命题： 若P,则Q.
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（3）命题的制作
①逆命题的制作
※ 直接换位得逆命题 ※ 将一个复合命题中相同个数的条件、结论 (不是全部)交换位置得逆命题——“偏逆命题”
(q q ) p
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(q q ) p
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这就是：两直线被第三直线所截，若同位角或 内错角相等，则这两直线平行。
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（6）对含有量词的命题否定 ※ 命题中的量词常用两个： 表示全体的全称量词——
表示部分的特称量词——
※ 含有量词命题的否定，有下述关系成立： ① ﹁[x( p( x)) ]≡ x(﹁p(x)) ② ﹁[ x(p(x))]≡ x(﹁p(x)).
■ 按判断的质来分，判断可分为肯定判断和 否定判断。 ■ 按判断的量来分，则可分为全称判断和特 称判断。 ★ 数学中常用的四种判断形式 ⑴全称肯定判断(A)，其逻辑形式是：“所有的 S都是P”，简记为SAP；
⑵全称否定判断（E），其逻辑形式是：“所有 的S都不是P”，简记为SEP； ⑶特称肯定判断（I），其逻辑形式是：“有 些 S是P”，简记为SIP；
如，“0是自然数吗？”，“ x－1＞0”都不是 判断。 （ 2）判断有真假之分。
★ 判断可按不同的标准进行分类
■ 按判断的组成形式，可分为简单判断和复 合判断。 对于简单判断，又可按其内容分为性质判断 和关系判断； 对于复合判断，还可按其复合形式分为负判 断、联言判断、选言判断和假言判断。
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若命题p→q真, 则称p是q成立的充分条件； 若命题q→p真, 则称p是q成立的必要条件； 若命题p→q与p→q同真, 则称p是q成立的充要 条件(既充分又必要条件)； 若命题p→q与p→q同假, 则称p是q成立的既不 充分又不必要条件。 序号 ① ② ③ ④ p 1 1 0 0 q 1 0 1 0
（4）蕴涵(若…则…、如果…那么…——“→”) 给定两个命题p,q，用连接词“→”联结起来， 构成复合命题“p → q”, 称为命题p,q的蕴含式，也 称为假言命题。其中p叫做前件(或条件), q叫做后 件(或结论)。 蕴含真值表
p
1 1 0 0
q
1 0 1 0
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p→q 1 0 1 1
合取真值表
p
1 1 0 0
q
1 0 1 0
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p∧q 1 0 0 0
（3）析取（或 ——“∨”） 给定两个命题p,q，用连接词“∨”联结起来， 构成复合命题“p∨q”, 称为命题p,q的析取式，也 称为选言命题。 析取真值表
p
1 1 0 0
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1 0 1 0
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p∨q 1 1 1 0
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p→q 1 0 1 1
q→p 1 1 0 1
分析上表： 当p→q真时, p真足可保证q也真①(不排除p假 时q还可真③), 因而p是q的充分条件； 当q→p真时, 没有p真就不会有q真④(不排除 有了p真还可q假②), 因而p是q的必要条件； 当p→q与q→p同真时, p与q同真假①④, 因而 p与q互为充要条件； 由此, 命题条件与结论间的逻辑关系可分为 四种情形：p是q的充分而非必要条件(表中的③)； p是q的必要而非充分条件(表中的②)； p是q的充 要条件(表中的①④) ；p是q成立的既不充分又不 必要条件。
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（2）命题的四种形式及关系 原命题：p→q 逆命题：q → p (换位) 否命题：﹁p→﹁q (换质) 逆否命题：﹁q → ﹁p 从真值表容易证明, 原命题与其逆否命题等价， 逆命题与否命题等价。即： p→q≡﹁q→﹁p.
以上结论也可以用命题运算律加以证明，如：
p→q≡﹁p∨q≡q∨﹁ p≡﹁(﹁q)∨﹁p ≡﹁q→﹁p
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如 x 2 7 ”和“ x 3 ”，由于含有变量
“ x ，故无法判断其真假，这样的语句称为开句，不 是命题, 但若当 x 赋值后, 则它都可成为数学命题。
如：存在x R，使得x 2 7.
★ 命题的运算（复合） 就是将命题符号化、形式化，将若干命题用 逻辑联系词联结起来构建新的命题，由于关键是 逻辑联系词，因此，命题运算实际上是命题的逻 辑联结。
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3 命题运算应用举例 （1）反映逻辑思维的基本规律 ①同一律。在同一思维过程中，每一思想都 必须是严格确定的和同一的。它的公式是A≡A , 表示成命题形式A→A。由真值表知它是恒真命题. A 1 0
A→A 1 1
同一律要求：思维对象应保持同一；表示同 一事物的概念应保持同一.
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