高中数学二级结论精.pdf
完整版)高中数学二级结论
完整版)高中数学二级结论1.简单n面体内切球的半径为3V/S表。
其中V是简单n 面体的体积，S表是简单n面体的表面积。
2.在任意三角形ABC内，有XXX=XXX。
由此可推论，如果XXX<0，则三角形ABC为钝角三角形。
3.斜二测画法直观图面积是原图形面积的2倍。
4.在椭圆准线上过一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点。
5.在导数题中，常用放缩e≥x+1、1/(x-1)≤lnx≤x-1、ex>ex(x>1)、x/(x^2+y^2)≤1/sqrt(x^2+y^2)。
6.椭圆2/a^2+2/b^2=1(a>b)的面积为S=πab。
7.圆锥曲线的切线方程可以通过隐函数求导得到。
推论：①过圆(x-a)^2+(y-b)^2=r上任意一点P(x,y)的切线方程为(x-a)(x-x)+(y-b)(y-y)=r；②过椭圆2/a^2+2/b^2=1(a>b)上任意一点P(x,y)的切线方程为2ax/x+2by/y=2a^2.8.切点弦方程是指平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程。
①圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的切点弦方程为xx+yy+2gx+2fy+c=0；②椭圆2/a^2+2/b^2=1(a>b)的切点弦方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1；③双曲线2/a^2-2/b^2=1(a>b)的切点弦方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1；④抛物线y=2px(p>0)的切点弦方程为yy=p(x+x)；⑤二次曲线的切点弦方程为Axx+Bxy+Cyy+Dx+Ey+F=0，其中B≠0.9.①椭圆2/a^2+2/b^2=1(a>b)与直线Ax+By+C=0(A·B≠0)相切的条件是A^2a^2-B^2b^2=C^2；②双曲线2/a^2-2/b^2=1(a>b)与直线A x+By+C=0(A·B≠0)相切的条件是A^2a^2-B^2b^2=C^2.10.如果圆锥曲线(二次曲线)上的顺次四点A、B、C、D在同一圆上，则直线AC、BD的斜率存在且不等于零，并且有kAC+kBD=0.11.已知椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，两焦点分别为 $F_1$，$F_2$，设焦点三角形 $PF_1F_2$ 中$\angle PF_1F_2=\theta$，则 $ab\cos\theta\geq 1-2e^2(\cos\theta_{max}=1-2e^2)$。
(完整word版)高中数学二级结论(精)
高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yya xx③过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yya xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC 在平面α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 的面积和△ABO 的面积为S 和S′，记△ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ=S′:S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则 （这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k (2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意△ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++CB A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角△ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC ,∠BAC ,∠OAB 三角的余弦关系为：cos ∠OAC=cos ∠BAC ·cos ∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长)42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n 50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。
重点高中高考数学所有二级结论《完整版》
重点高中高考数学所有二级结论《完整版》————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx③过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+byy a x x③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-byy a x x④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222b k a mb +21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC 在平面α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 的面积和△ABO 的面积为S 和S′ ，记△ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则 （这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则： ①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin41cos cos cos CB AC B A +=++ ③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin222CB AC B A -=++ ④4sin 4sin 4sin 412sin 2sin 2sinC B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin4sin sin sin CB AC B A =++ ⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cotCB AC B A =++ )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan=++A C C B B A ⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意△ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin222≥++C B A ⑩12tan 2tan 2tan222≥++CB A ⑪32tan 2tan 2tan≥++CB A ⑫932tan 2tan 2tan≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角△ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2H h =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC ,∠BAC ,∠OAB 三角的余弦关系为：cos ∠OAC=cos ∠BAC ·cos ∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=-立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e Λ 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长)42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心 (4)OC OB OA ==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M nX D 49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n 50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心 (3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心第 11 页 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅ 55.m >n 时，22n m nm n m e nm e e e e +>-->+。
高中数学二级结论(精)
7、三角形其它边角关系
①
b c
b
c
a a
a为最大边时
sin A cos B
sin A cos C
② ABC为锐角三角形 b 2 c 2 a 2 a 为最大边时
sin B cos C sin B cos A
sin C cos A sin C cos B
③ A为钝角的三角形
a2 b2 c2
b2 a2
.（3）k0·k=
b2 a2
.
第 5 页 共 8 页 （李老师编）
15、与双曲线
x a
2 2
y2 b2
1
有相同渐近线的双曲线方程为
x a
2 2
y2 b2
（ 0 时，焦点在 x 轴上； 0 时，焦点在 y 轴上）
七、立体几何
1、棱长为 a 的正四面体内切球半径 r= 6 a ，外接球半径 R= 6 a .
为广义型奇函数（图像关于点 a，0 中心对称），当有两个相异实数 a，b 同时满足（*）
时，f（x）为周期函数 T=2|b-a| 2、抽象函数的对称性
（1）若 f（x）满足 f（a+x）+f（b-x）=c，则函数关于（ ， ）成中心对称（充要）
（2）若 f（x）满足 f（a+x）=f（b-x），则函数关于直线 x= 成轴对称（充要）
3、 方程f (x) k有解，则k的取值范围为f (x)的值域
4、 方程f (x) k有几个解 y f (x)的图像与直线 y k有几个交点
5、
x1,
x2
m，n，f
( x1 ) x1
f (x2 ) x2
k恒成立
x
m，n，f
( x)
高中数学常用二级结论(精编)
高中数学常用二级结论一、基础常用结论1.立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²-ab+b²);立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²).2. 任意的简单n 面体内切球半径为(V 是简单n 面体的体积， S表是简单n 面体的表面积).3. 在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c, 则△ABC的内切圆半径为4.斜二测画法直观图面积为原图形面积的倍.5. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和6. 函数ʃ{(x)具有对称轴x=a,x=b(a≠b),则ʃ(x)为周期函数且一个正周期为2 |a-b|.7. 导数题常用放缩e²≥x+1,e*>ex(x>1).8. 点(x,y) 关于直线Ax+By+C=0 的对称点坐标二、圆锥曲线相关结论10.若圆的直径端点A(x,yi),B(x₂,y₂), 则圆的方程为(x-x₁)(x-x₂)+(y-yi)(y-y₂)=0.11. 椭圆的面积S 为S=πab.12. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.13.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导.推论：①过圆(x-a)²+(y-b)²=r²上任意一点P(xo,yo) 的切线方程为(x o-a)(x-a)+(vo-b)(y-b)=r²;②过椭圆上任意一点P(x₀,y₀)的切线方程为;③过双曲：上任意一点P(xo,yo)的切线方程为 1.14.任意满足ax”+by”=r的二元方程，过曲线上一点(x₁,yi)的切线方程为ax,x'-+by₁y°+=r.15. 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两 切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程. ①过圆x²+y²+Dx+Ey+F=0 外一点P(x ₀,y ₀) 的 切点弦方程②过椭圆外 一 点P(x ₀,yo) 的切点弦方程为;③过双曲线)外一点P(x,yo) 的切点弦方程为;④过抛物线y²=2px(p>0) 外一点P(x ₀,y ₀) 弦方程为yoy=p(x ₀+x);⑤二次曲线Ax²+Bry+Cy²+Dx+Ey+F=0点 P(x ₀,y ₀) 的 切 点 弦 方 程 为16.①椭圆与直线Ax+By+C=0(AB≠0) 相切的条件是A²a²+B²b²=C²;②双曲线与直线的切点外17.若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次的四点，则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是：直线AC、BD的斜率存在且不等于零，并有kac+kaD=0 (k₄c,k₈p 分别表示AC和BD的斜率).18.已知椭圆方程为),两焦点分别为F,F2, 设焦点三角形PFF₂中∠PEF₂=θ,则cosθ≥1-2e²(cosθmm=1-2e²).19.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为x₀的点P 的距离)公式₁₂=a±ex₀.20.已知k,k₂,k₃为过原点的直线l,l₂,I₃的斜率，其中l₂是l₁和l₃的角平分线，则k,k₂,k₃满足下述转化关系：,21. 椭圆绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积22. 过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为23.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值。
(完整版)高中高考数学所有二级结论《完整版》
高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为(V 是简单n 面体的体积，是简单n 面体的表面积)表S V3表S 2.在任意内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan CABC △推论：在内，若tan A +tan B +tan C <0，则为钝角三角形ABC △ABC △3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的倍424.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩、、1+≥x e x1ln 11-≤≤-<-x x xx x )1(>>x ex e x 6.椭圆的面积S 为)0,0(12222>>=+b a by a x πabS =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆上任意一点的切线方程为222)()(r b y a x =-+-),(00y x P 200))(())((rb y b y a x a x =--+--②过椭圆上任意一点的切线方程为)0,0(12222>>=+b a b y a x ),(00y x P 12020=+b yy a xx ③过双曲线上任意一点的切线方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ),(00y x P 12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆的切点弦方程为022=++++F Ey Dx y x 0220000=++++++F E yy D x x y y x x ②椭圆的切点弦方程为)0,0(12222>>=+b a by a x 12020=+b y y a x x③双曲线的切点弦方程为)0,0(12222>>=-b a by a x 12020=-b y y a x x ④抛物线的切点弦方程为)0(22>=p px y )(00x x p y y +=⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆与直线相切的条件是)0,0(12222>>=+b a by a x )0·(0≠=++B A C By Ax 22222Cb B a A =+②双曲线与直线相切的条件是)0,0(12222>>=-b a by a x )0·(0≠=++B A C By Ax 22222Cb B a A =-10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有,(,分别表示AC 和BD 的斜率)0=+BD AC k k AC k BD k 11.已知椭圆方程为，两焦点分别为，，设焦点三角形中，则)0(12222>>=+b a by a x 1F 2F 21F PF θ=∠21F PF ()221cos e -≥θ2max 21cos e -=θ12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为的点P 的距离)公式0x 02,1ex a r ±=13.已知，，为过原点的直线，，的斜率，其中是和的角平分线，则，，满足下述1k 2k 3k 1l 2l 3l 2l 1l 3l 1k 2k 3k 转化关系：，，3222223321212k k k k k k k k +-+-=31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=2122221123212k k k k k k k k +-+-=14.任意满足的二次方程，过函数上一点的切线方程为r by ax nn=+),(11y x ry by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则，a xx f x =∝+→)(limbax x f x =-∝+→])([lim 16.椭圆绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为)0(12222>>=+b a by a x πabV 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中CB AC B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴，，则f (x )为周期函数且一个正周期为a x =b x =)(b a ≠|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆相交于两点，则纵坐标之和为)0(12222>>=+b a b y a x 22222b k a mb +21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如，，)272829AC C B B A S z A C y C B x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，)的点的集合ace =(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线依逆时针方向旋转到与第一次重合时所转的角是，则1l 2l θ21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线同时除以m+n )⇔OB OC n OA m OD =+=,25.过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为)0,0(12222>>=-b a by a x 2ab 26.反比例函数为双曲线，其焦点为和，k <0)0(>=k xky )2,2(k k )2,2(k k --27.面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC 在平面α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 的面积和△ABO 的面积为S 和S′ ，记△ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线29.数列不动点：定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠(1)若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11 （这里qca pca k --=）(2)若)(x f 只有唯一不动点p ，则k p a p a n n +-=--111 （这里da ck +=2）定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e a fex cbx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++30.(1)，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA *N∈k (2)若，则：πC B A =++①2sin2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin222CB AC B A -=++④4sin 4sin 4sin 412sin 2sin 2sinC B A C B A ---+=++πππ⑤2sin 2sin 2sin4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cotC B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan=++AC C B B A ⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+(3)在任意△ABC 中，有：①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin ≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin222≥++C B A ⑩12tan 2tan 2tan222≥++C B A ⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A ⑫932tan 2tan 2tan≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A (4)在任意锐角△ABC 中，有：①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A ②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A ③9tan tan tan 222≥++C B A ④1cot cot cot 222≥++C B A 31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为，式中，和是两底面的面积，是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离H S S S V )4(61201++=1S 2S 0S 时得到的截面的面积)2Hh = 事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC ,∠BAC ,∠OAB 三角的余弦关系为：cos ∠OAC=cos ∠BAC ·cos ∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2c b a -+35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=-立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OCOB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x et i h i n推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx 推论：①)0(ln 21>≥-t t tt ② )20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长)42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)是的重心⇔=++0OC OB OA O ABC ∆(2)为的垂心⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O ABC ∆(3)为的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0ABC ∆为的外心O ABC ∆43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：(e 为圆锥曲线的离心率)θρcos 1e ep-=48.超几何分布的期望：若，则(其中为符合要求元素的频率)，),,(M N n X~H N nM X E =)(NM1111()(----=N n N M N M nX D 49.为公差为d 的等差数列，为公比为q 的等比数列，若数列满足，则数列的前n {}n a {}n b {}n c n n n b a c ⋅={}n c项和为n S 2121)1(-+-=+q c c q c S n n n 50.若圆的直径端点，则圆的方程为()()1122,,,A x y B x y ()()()()12120x x x x y y y y --+--=51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n kn nC kC 53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m enm e e e e +>-->+。
高中高考数学所有二级结论《完整版》
高中数学二级结论1.随意的简单n 面体内切球半径为(V 是简单 n 面体的体积，是简单n 面体的表面积)2.在随意内，都有tanA+tanB+tanC=tanA· tanB· tanC推论：在内，若tanA+tanB+tanC<0，则为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的倍4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩、、6.椭圆的面积S 为7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：① 过圆上随意一点的切线方程为② 过椭圆上随意一点的切线方程为③ 过双曲线上随意一点的切线方程为8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程① 圆的切点弦方程为② 椭圆的切点弦方程为③ 双曲线的切点弦方程为④ 抛物线的切点弦方程为⑤ 二次曲线的切点弦方程为9.①椭圆与直线相切的条件是② 双曲线与直线相切的条件是10.若 A、 B、 C、 D 是圆锥曲线 (二次曲线 )上按序四点 ,则四点共圆 (常用订交弦定理 )的一个充要条件是 : 直线 AC、 BD 的斜率存在且不等于零 ,并有 ,(,分别表示 AC和 BD 的斜率 )11.已知椭圆方程为，两焦点分别为，，设焦点三角形中，则()12.椭圆的焦半径 (椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为的点P 的距离 )公式13.已知，，为过原点的直线，，的斜率，此中是和的角均分线，则，，知足下述转变关系：，，14.随意知足的二次方程，过函数上一点的切线方程为15.已知 f(x)的渐近线方程为y=ax+b，则，16.椭圆绕 Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中19.函数 f(x)拥有对称轴，，则f(x)为周期函数且一个正周期为20.y=kx+m 与椭圆订交于两点，则纵坐标之和为21.已知三角形三边x， y， z，求面积可用下述方法(一些状况下比海伦公式更适用，如，，)22.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏爱率，)的点的会合 (定点 F 不在定直线上，该常数为小于1的正数 )双曲线第二定义：平面内，到给定一点及向来线的距离之比大于 1 且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线依逆时针方向旋转到与第一次重合时所转的角是，则24.A、 B、 C 三点共线 (同时除以 m+n)25.过双曲线上随意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为26.反比率函数为双曲线，其焦点为和，k<027.面积射影定理：如图，设平面α外的△ ABC在平面α内的射影为△ ABO，分别记△ ABC的面积和△ ABO的面积为S第 1 页和 S′，记△ABC所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cosθ = S′ : S28,角均分线定理：三角形一个角的均分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比率角均分线定理逆定理：假如三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比率，那么该点与对角极点的连线是三角形的一条角均分线29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确立的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这类方法称为不动点法定理 1：假如的不动点，知足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理 2：设，知足递推关系，初值条件(1)如有两个相异的不动点，则（这里）(2)若只有独一不动点，则（这里）定理 3：设函数有两个不一样的不动点,且由确立着数列,那么当且仅当时 ,30.(1)，(2)若，则：①②③④⑤⑥⑦⑧(3)在随意△ ABC中，有：①⑥?②⑦?③⑧?④⑨?⑤⑩(4)在随意锐角△ ABC中，有：①③②④31.帕斯卡定理：假如一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：全部的极点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森 (Simpson)公式 ]：设拟柱体的高为H，假如用平行于底面的平面γ去截该图形，所获得的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超出 3 次的函数，那么该拟柱体的体积V 为，式中，和是两底面的面积，是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离时获得的截面的面积)事实上，不但是拟柱体，其余切合条件(全部极点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所获得的截面面积是该平面与一底之间距离的不超出 3 次的函数 )的立体图形也能够利用该公式求体积33.三余弦定理：设 A 为面上一点，过 A 的斜线 AO 在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么△ OAC,△ BAC,△ OAB 三角的余弦关系为：cos△OAC=cos△BAC·cos△OAB(△和BAC△OAB只好是锐角 )34.在 Rt △ ABC中， C 为直角，内角A， B， C 所对的边分别是a， b， c，则△ ABC的内切圆半径为第 2 页35.立方差公式：立方和公式：36.已知△ ABC，O 为其外心， H 为其垂心，则37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右极点重合的任一点组成的直线斜率乘积为定值推论：椭圆上不与左右极点重合的任一点与左右极点组成的直线斜率乘积为定值38.推论：39.推论：①②40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点 F 的连线垂直于该焦点弦41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a(长半轴长 )42.向量与三角形四心：在△ABC中，角 A， B， C 所对的边分别是a， b ，c(1)是的重心(2)为的垂心(3)为的心里(4)为的外心43.正弦平方差公式：44.对随意圆锥曲线，过其上随意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列乞降裂项相消：46.点 (x,y) 对于直线 Ax+By+C=0的对称点坐标为47.圆锥曲线一致的极坐标方程： (e 为圆锥曲线的离心率 )48.超几何散布的希望：若，则 ( 此中为切合要求元素的频次 ) ，49. 为公差为 d 的等差数列，为公比为q 的等比数列，若数列知足，则数列的前n 项和为50.若圆的直径端点，则圆的方程为51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、 B 两点，则直线 AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变成定系数的公式：53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三极点的连线所组成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三极点这四点中，任一点是其余三点所组成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的心里；或许说，三角形的心里是它旁心三角形的垂心(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一极点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ ABC中，角 A， B， C所对的边分别是 a，b， c，则55.m>n 时，第 3 页。
高中数学二级结论
1高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yya xx③过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yya xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC 在平面α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 的面积和△ABO 的面积为S 和S′，记△ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ=S′:S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则 （这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k (2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意△ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++CB A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角△ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC ,∠BAC ,∠OAB 三角的余弦关系为：cos ∠OAC=cos ∠BAC ·cos ∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长)42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n 50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。
高中高考数学所有二级结论《完整版》(1)(20200623142841)
如 27 ， 28 ， 29 )
椭 圆 的 第 二 定 义 ： 平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数 e(即椭圆的偏心率，
c e
a )的点的集合 (定点 F 不在定直线上， 该常数为小于 1的正数 )
双曲线第二定义： 平面内， 到给定一点及一直线的距离之比大于 1且为常数的点的轨迹称为双曲线
推论： ①过圆 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 上任意一点 P(x0, y0) 的切线方程为 (x0 a)( x a ) ( y0 b )( y b) r 2
x2 ②过椭圆 a 2
y2
xx0
b2
1( a
0,b
0)
上任意一点
P (x0, y0 ) 的切线方程为
a2
yy0 1 b2
x2 ③过双曲线 a 2
abc
34.在 Rt △ ABC 中， C为直角， 内角 A ， B ， C所对的边分别是 a， b， c， 则△ ABC 的内切圆半径为
2
35.立方差公式： a3 b3 ( a b)( a 2 ab b 2 )
立方和公式： a 3 b3 (a b )( a 2 ab b 2 )
第 6页
36.已知△ ABC ， O为其外心， H为其垂心， 则 OH OA OB OC
37. 过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值
a2 b2 (a b 0)
推论： 椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值
a2
2
(a
b
0)
b
ex 1 x x2
38.
2!
ex 1 x x2
推论：
高中高考数学所有二级结论《完整版》
2、在任意 内，都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
3、若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。①f(x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x)④f(x＋a)＝－1/f(x)
(3)三角形的外心：中垂线的交点(外接圆圆心，正弦定理求外接圆半径）
(5)三角形的内心：角平分线交点（内切圆圆心，面积法求内切圆半径）
40、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
41、洛必达法则：若函数 和 满足： ， ；则
42、圆锥曲线弦长公式
d = =
= = d =
43、抛物线焦点弦长公式：
45、向量法解立体几何公式总结
一、基本知识点
直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 （若只涉及一个平面 ，则用 表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面内的情况。
3、夹角问题
1）异面直线 所成的角 （范围： ）
2）线面角 （范围： ），
3）二面角 （范围： ）
4、距离问题
1）点A到点B的距离：
24、双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a(长半轴长)
推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值
25、面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC在平面α内的射影为△ABO，分别记△ABC的面积和△ABO的面积为S和S′，记△ABC所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cosθ=S′:S
=2px，过焦点直线交抛物线于A(x1,y1）和B(x2,y2）两点，则AB弦长：d=p+x1+x2
高中数学二级结论(精)
高中数学二级结论一、函数性质1、奇偶函数概念的推广及其周期（1）对于函数f （x ），若存在常数a ，使得f （a -x ）=f （a +x ）（*），则称f （x ）为广义型偶函数（图像关于直线a x =轴对称），且当有两个相异实数a ，b 同时满足（*）时，f （x ）为周期函数T =2|b -a |；（2）对于函数f （x ），若存在常数a ，使得f （a -x ）=—f （a +x ）（*），则称f （x ）为广义型奇函数（图像关于点()0a ，中心对称），当有两个相异实数a ，b 同时满足（*）时，f （x ）为周期函数T =2|b -a |2、抽象函数的对称性（1）若f （x ）满足f （a +x ）+f （b -x ）=c ，则函数关于（，）成中心对称（充要）（2）若f （x ）满足f （a +x ）=f （b -x ），则函数关于直线x =成轴对称（充要）3、()()f x k k f x =方程有解，则的取值范围为的值域4、有几个交点的图像与直线有几个解方程k y x f y k x f ==⇔=)()(5、()()恒成立，，恒成立，，k x f n m x k x x x f x f n m x x >'∈∀⇔>--∈∀)()()(,212121二、导数应用（一）常用不等式放缩①1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x、)1(>>x ex e x 、()2ln x e ax x a >>；②()11ln 10x x x x -<<->、2ln(1)2x x x x -<+<()0x >；③)2(≤≥--a ax e e x x 推论：)0(ln 21>≥-t t t t 、ln (002)axx x a x a≥>≤≤+，；④x x 2111+≈+；()11nx nx +≥+；⑤sin tan x x x <<)2,0(π∈x ；πx x 2sin >)2,0(π∈x .（二）洛必达法则法则1：若函数f （x ）和g （x ）满足下列条件：（1）()lim 0x a f x →=及()lim 0x a g x →=；（2）在点a 的去心邻域内，f （x ）与g （x ）可导且g '（x ）≠0；（3）()()limx af x lg x →'='，那么()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='.法则2：若函数f （x ）和g （x ）满足下列条件：（1）()lim x a f x →=∞及()lim x ag x →=∞；（2）在点a 的去心邻域内，f （x ）与g （x ）可导且g '（x ）≠0；（3）()()limx a f x l g x →'='，那么()()limx af xg x →=()()lim x af x lg x →'='.三、解三角形1、面积公式（1）111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆A B =A ==B （2）()()()122111221,,,2CS x y x y b x y c x y ∆A B ==-==其中r r （3）已知三角形三边，求面积可用下述方法：①海伦公式变式：如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分别为a ，b ，c ，大三角形面积为縰 th （ t hᦙ縰②xz z y y x S z y x c x z b z y a y x ⋅+⋅+⋅==+=+=+21222再代入、、解得，，由2、外接圆半径3、任意三角形内切圆半径r =cb a S++2（S 为面积）（若C 为直角，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+）4、余弦定理推论：2222b c a AB AC +-⋅=5、射影定理：a ＝bc osC ＋cc os B ；b ＝cc osA ＋ac osC ；c =ac os B ＋bc os A6、正切定理：tanA +tanB +tan C=tanAtanBtan C7、三角形其它边角关系①()b c a a b c a +>⎧⎪⎨-<⎪⎩为最大边时②()222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos A BA CB CABC b c a a B A C A C B>⎧⎪>⎪⎪>∆⇔+>⇔⎨>⎪⎪>⎪>⎩为锐角三角形为最大边时③()222tan tan tan 0a b c A a A B C a b c ⎧>+∠⇔⇔++<⎨<+⎩为钝角的三角形为最大边时四、平面向量1、三点共线定理：2、等和线定理：3、燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．4、奔驰定理已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=五、直线和圆的方程1、到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-23、直线向量式方程：(112121=x x y y x x y y ----，，或()()()()211211x x y y y y x x --=--4、点（x ，y ）关于直线Ax +By +C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 5、以()()1122,,,A x y B x y 为直径端点的圆方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=6、过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--7、抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.8、切点弦方程（平面内一点),(00y x P 引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程）①圆222)()(r b y a x =-+-的切点弦方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=六、圆锥曲线OFE DCBA1、e=2、椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+3、双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-4、若直线y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b ab y a x 相交于两点，则2222212bk a mb y y +=+5、弦长公式：AB=6、椭圆的焦半径公式：1020,PF a ex PF a ex =+=-7、已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且，焦准距（焦点到对应准线的距离）为，则①22cos cos b b FA FB a c a c θθ==-+，，；②当焦点内分弦时，有；③当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有.8、已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21PF F ，则221cos e -≥θ（P 点在y 轴上时，θ角最大）证明：()()222222222121221222121212122+42+422cos =1111222+2a c r r c r r r r c b b e r r r r r r a r r θ----==-≥-=-=-⎛⎫⎪⎝⎭9、()()111221sin 2,,sin sin sin sin sin r r cPF F PF F e αβαβαβαααβ+∠=∠===⇒=++若则()2222tan APB tan AP P 1a x a xab y y y H B H a x a x a b y y+-+-∠=∠+∠==+---⋅22PA PB b k k a ⋅=-）10、在椭圆22221x y a b+=（a >b >0），F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的面积122tan 2PF F S b θ= ，其中θ=∠F 1PF 2.①()()222222121212121224=+2cos +421cos =1cos b c r r rr r r c rr rr θθθ-=-=+⇒+②11、在双曲线22221x y a b-=1（a >0，b >0）中，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的面积122tan2PF F b S θ=，其中θ=∠F 1PF 2.12、关于抛物线焦点弦的一些结论：设AB 为过抛物线22(0)y p x p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，则⑴焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π以AB 为直径的圆与准线相切.⑵2212121112=042222p p p p p x x y y p FA FB y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⋅--⋅--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，uuu r uuu r ，y 1+y 2=；⑶()222221212442=2222p p p k px px p AB p y y ==+--+，221221sin p AB p k θ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；⑷21224==1+2FAp k FB x x p λλλ=+--当时，11212()22p p x x x x λλ⎛⎫⎧-=-⎪ ⎪⎨ ⎪ ⎪⎪=⎩⎝⎭；⑸112||||FA FB P +=.13、在椭圆E :22221x y a b+=（a >b >0）中:（1）如图①所示，若直线y =kx （k ≠0）与椭圆E 交于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线l ，l '，有l ∥l '，设其斜率为k 0，则k 0·k =22b a-.（2）如图②所示，若直线y =kx 与椭圆E 交于A ，B 两点，P 为椭圆上异于A ，B 的点，若直线P A ，PB 的斜率存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2=22b a-.（3）如图③所示，若直线y =kx +m （k ≠0且m ≠0）与椭圆E 交于A ，B 两点，P 为弦AB 的中点，设直线P O 的斜率为k 0，则k 0·k =22b a-.推论：以椭圆22221x y a b+=内任意一点（x 0，y 0）为中点的弦AB 的斜率k =2020x b a y -⋅.14、在双曲线E :22221x y a b-=（a >0，b >0）中，类比上述结论有:（1）k 0·k =22b a .（2）k 1·k 2=22b a .（3）k 0·k =22b a.15、与双曲线12222=-b y a x 有相同渐近线的双曲线方程为λ=-2222by a x （0>λ时，焦点在x 轴上；0<λ时，焦点在y 轴上）七、立体几何1、棱长为a 的正四面体内切球半径r =612a ，外接球半径R =64a .2、任意的简单n 面体内切球半径为表S V3（V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积）3、斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍4、向量法判断位置关系（1）设直线l m 、的方向向量分别是 、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，则：①线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔=a kb②线面平行：l ∥α⇔a ⊥ u 0⇔= a u ③面面平行：////αβ⇔⇔=u v u kv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.（2）设直线l m 、的方向向量分别是m n 、，平面α内任意向量 、a b ，平面β内任意向量c，则：①线线垂直：⊥⇔l m 0m n =②线面垂直：α⊥⇔l 00m a m b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r ru r r③面面垂直：βα⊥⇔0c a c b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r r r r 5、向量法求空间角（设直线l m 、的方向向量分别是 、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ）（1）直线l m 、所成的角(0)2πθθ≤≤满足：cos θ⋅=a b a b（2）直线l 与平面α所成的角(0)2πθθ≤≤满足：sin θ⋅=a u a u（3）平面α与平面β所成的二面角的平面角(0)θθπ≤≤满足：cos θ⋅=u vu v八、数列1、通项公式的求法类型一()1n n a a f n +-=的数列（逐差累加法）类型二：1n n a pa q +=+（法一）()()111111111,,,n n n n n n n n n n n n n n n q q a pa q a pa q p a p pb a b pb b b p a p a a a p 令解得再令，得l ll l l l l l l l l++---+++=+Þ+=++=+==+=\==+=+\=+-（法二）由q pa a n n +=+1得1(2)n n a pa q n -=+≥两式相减并整理得11,n nn n a a p a a +--=-则{}1n n a a +-构成以21a a -为首项，以p 为公比的等比数列，得到{}1n n a a +-的通项：()1n n a a f n +-=（类型一）1()n n a pa f n +=+两边同时除以1n p +可得到111()n n n n n a a f n p p p +++=+，令n n n a b p =，则11()n nn f n b b p ++=+（类型一）11n n n a pa qa +-=+()()()11111,()n n n n n n n n n p xy qa x y a xya a ya x a ya a ya f n 令类型三+-+-++==-=+-Þ-=-Þ-=11n n n n a a da a ---=⇒111n n d a a --=（等差数列）1n n n pa q a a k ++=+()()111+1111 ,11111,,=n n n n n n n n n n nn n n n n n q kp a p pa q pa qa a a k a ka ka k q kq k a p p a p k k b b a p a a p p 令解得再令得 类型二l l ll l l l ll l l l ll l l l l l l l++++++++++=Û+=+=+++++Þ=×=++++++--Þ=×+=+++++++2、放缩裂项求和211(1)k kk <-，211(1)k k k >+=<*,1)k N k >∈>()()()()()11111111111111111n n n n n n n n n k k k k k k k k k k k +++++-⎛⎫=<=⋅- ⎪--------⎝⎭九、随机变量的期望和方差1、二项分布：()k k n kn P X k p q-==C 2、几何分布：()1n P X k q p -==3、超几何分布：()K n k M N MnNC C P X k C --==4、数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+.（2）若ξ～(,)B n p ，则E np ξ=.（3）若ξ～(),g n p ，则1E pξ=.5、方差与标准差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+L L ，σξ=ξD .6、方差的性质（1）()2D a b a D ξξ+=；（2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.（3）若ξ～(),g n p ，且()1k P k q p ξ-==，则2q D p ξ=.十、排列组合1、隔板法I把n 个元素放到m 个集合中，所得集合均非空，则有种，例如x 1+x 2+…+x m =n的正整数解个数为.2、隔板法II把n 个元素放到m 个集合中，所得集合可为空，则有种，例如x 1+x 2+…+x m =n的非负整数解个数为，例如（a 1x 1+a 2x 2+…+a m x m ）n 展开式的项数为.3、圆排列从n 个元素中抽取m 个元素，按照一定的顺序排列成一圈，叫做一个圆排列，圆排列的个数4、重复组合从n 个元素中抽取m 个元素，元素可以重复选取，不管顺序，组成一组，叫重复组合，重复组合个数.5、（ax +by ）n 展开式中，第k 项系数绝对值最大，则 縰其中[]表示高斯函数，即取整函数.十一、常用不等式1、三个正数的均值不等式3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.2绝对值不等式：a b a b a b-≤±≤+3、二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.4+1122(,,,).x y x y R ∈。
高中高考数学所有二级结论《完整版》
高中数学二级结论(V 是简单n 面体的体积， S 表是简单n 面体的表面积)S 表2.在任意△ ABC 内，都有 tanA+tanB+tanC=tanA • tanB • tanC推论： 在△ ABC 内，若tanA+tanB+tanC<o ，贝U △ ABC 为钝角三角形3. 斜二测画法直观图面积为原图形面积的 2倍44. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩e x x 1、T -1 x 1 In x x -1x xxeex( x 1)6.椭圆亠a 2y I1(a o, b b 20)的面积S 为S - n ab7.圆锥曲线的切线方程求法:隐函数求导推论：①过圆(x -a) 2(y-b) 2 j 2 上任意一点 P( x o , y o )的切线方程为(x o a)( x a) ( y o b)( y b) r 2②过椭圆x yL _1(a o,b : o)上任意一点P(x o , y o )的切线方程为以x o • -yy^ _ 1a 2b 2a 2b 2 ③过双曲线x 2= 1(a > o, b > o )上任意一点P(x o , y o )的切线方程为xx 〜= 1 a 2 b 2a 2b 28.切点弦方程： 平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆x 2 y 2 Dx Ey F -o 的切点弦方程为x o x - y o y ； —x o x D2②椭圆x a 2— y 2 -1(a o,b o)的切点弦方程为b 2x o -x -y o -y = 1 a 2 b 2③双曲线/—y 2 =1(a o,b o)的切点弦方程为a 2b 2x o x ：「=y o y 二 1 a 2b 2④抛物线y 一 2 px( p o)的切点弦方程为 y o y ~ p(x o x) ⑤二次曲线的切点弦方程为Axo x ' B -x o y y o x Cyo y D x —x2 2 E y ° y2 ①椭圆x 2 • y 2二1(a o,b o)与直线 Ax By C 一 o ( AB ：^o )相切的条件是 9. a 2 b 2 22222②双曲线/— — , =1(a 》o,b >o )与直线 Ax +By ^C =o ( A B= o )相切的条件是 A 2a 2— B 2b 2二C 2 a 2 b 23V1.任意的简单n 面体内切球半径为x 2十 y 2- 、2mb 220. y=kx+m 与椭圆 '2 "1(a b 0)相交于两点，则纵坐标之和为22a 2b 2a 2 k 2亠b 221. 已知三角形三边 x , y , z ,求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如’27 ,28 ,29 )A B = x 2 B C "y 2 C A _z 22S 二 J AB ・ +BC +CA22. 圆锥曲线的第二定义：10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点，则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零 护k 三,并有k ACBD0 ,( k AC , k BD 分别表示 AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为2 2x y2 • 2- 1(a b 0)，两焦点分别为 F i ，F 2，设焦点三角形PF 1F 2中 PF 1F 2--a bcos 期固 1 —2e 2( COS^m ax 二 1=2e 2)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为X 0的点P 的距离)公式「1,2— a ex o13.已知k 1， k 2， k 3为过原点的直线 11， I 2， 13的斜率，其中I 2是11和13的角平分线，则 k 1， k 2， k 3满足下述转化关系: 2k 1 _ ——k 3—k 3k 2 ， k 2 ——■ 2 ■■1 k 222k 2 k 32 2k 1k 3 1 二：(1 k 1k 3 )护 (卡1 k 3 )k 1 k 3一 +2 — 1 k 222k 1k 2 2k 1k 214.任意满足ax n亠by n= r 的二次方程，过函数上一点(X 1 , y 1)的切线方程为ax 1 by 1 y n 1- r15.已知f(x)的渐近线方程为f (x)y=ax+b ，贝V lim ---------x —xa ， lim [ f ( x) ax] = b-x t/L :16.椭圆 己y 2 - 1(a b 0)绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为a 2b 2Tta b17. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和 18. 在锐角三角形中r :*八 '-化丄Isin A sin B sin C cos A cosB cosC 19.函数f(x)具有对称轴x-a , x - b ( a …b)，则f(x)为周期函数且一个正周期为|2a 2b |c椭圆的第二定义：平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏心率，驴一)的点的集合(定a点F不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线k^23. 到角公式：若把直线11依逆时针方向旋转到与12第一次重合时所转的角是「，则tan令=一k11 k1 k224.A 、B 、C 三点共线；」OD ，mOA nOC ,OB27. 面积射影定理： 如图，设平面 a 外的△ ABC 在平面a 内的射影为 △ABO，分别记△ ABC 的面积和△ ABO的面积为S 和S '，记 △ ABC 所在平面和平面 a 所成的二面角为 B,则cos e = S ': S28, 角平分线定理： 三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例25.过双曲线1(a 0, b 0)上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为ab26.反比例函数b 2ky (k 0)为双曲线，其焦点为(2k , 2k )和(2k , 2k ) ，k<0 x10D (同时除以m+n)222角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线29. 数列不动点：定义：方程f ( X)一X的根称为函数 f (X)的不动点利用递推数列 f ( X)的不动点，可将某些递推关系a n」f (a n -1 )所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理 1 ：若f (x) —ax b(a -0, a -1), p 是f ( x)的不动点，a n 满足递推关系 an — f (a n 1 ), (n 1)，则___,即 —a np a(a n < p) { a np}是公比为a 的等比数列.宀^十b、卄、、、、定理 2 :设f ( x) — ax (c 品0, ad — be 宁0)， { a n }满足递推关系ex da n — p a n 」—p(1)若f (x)有两个相异的不动点p,q ，贝U -------- = k ------------- -a n 一 qa n —厂 q2 + .定理 3:设函数f ( x) L -----------------bx c( a 崇0, e 蛉0)有两个不同的不动点ex 〒f—U _ X{ U n },那么当且仅当 b 一 0,e 口2a 时，U n 1X 1 ◎ ( n 1 ) 2U n 1X 2U n X 230.2 A 2 B 2③ sin 2——-sin 2 — sin 2 C —1 2 si2 2 .C22 郸一 A 2 2 —B 遽A .B ④sinsin sin T 4 sinsin sinCa n g f (a n 1 ), n 1，初值条件 a — f (a 1 )(这里k=⑵若f (x)只有唯一不动点p ，则(这里— a _ 一 a n pn1pk_ 2c)a dx 1 , x 2 ,且由U n 1 f (u n )确定着数列(1) sin (nA) si n(nB) 1冷 si n(nC)- ⑵若A B C n 贝U ： sin 2C -8sin sin CnA4si nnB nCsin sin2 2 nA nB 4 cos ——cos ——cos2 .nA .4 sin ——sin2 nA 4cos 2nB .——sin2 nB —cos 2 B . 一 sin C2 2BCcos A cos B cosC m 1d 4 sin sin — sin ① sin 2 A sin 2Bsin A sin BA . 一 sin2 A - 2 nC nC 22nCcos —=2 2n i 4k n - 4k 1 ,kNn 耳 4k 2 n = 4k 32 2 .B . C sin — sin2224 4 4AB C ⑤ sin A sin B -sin C — 4 sinsin — sin 4 L2 22A 區B 亠 CA B C ⑥cotcot —COL i cotcoL coL222222AB BCC A⑦tantan — 1■tan — tan —' ta n 一 tan 12 2 2 22 2⑧ sin( B C A) sin(C A ~ B) sin( A B _C ) 4 sin A sin B sin C32. 拟柱体： 所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式［辛普森（Simpson ）公式］:设拟柱体的高为 H ，如果用平行于底面的平面 丫去截该图形，所得到 的截面面积是平面Y 与一个底面之间距离h 的不超过 3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为1 HV （S 1 -4S o + *S 2 ）H ，式中，S 1和S 2是两底面的面积，S o 是中截面的面积（即平面 Y 与底面之间距离 h=厂-6 2时得到的截面的面积）事实上，不光是拟柱体，其他符合条件 （所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过 3次的函数）的立体图形也可以利用该公式求体积33. 三余弦定理： 设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为 AB , AC 为面上的一条直线，那么/ OAC , / BAC , / OAB 三角的余弦关系为：cos / OAC=cos / BAC • cos / OAB （ / BAC 和/ OAB 只能是锐角） ⑶在任意△ ABC 中，有：B .C sin _1 2亠8① sin A 2 sin 一2⑥ cos A cos B cosC -18A ? tan — ② cos A 2B cos 2C cos 3 - 3 2亠8⑦ sin Asin B sin C 3 3-2B C tan _tag2B? cot — - cot —2 229CcoJ __ 3- 32③ sin A2.B sin —2④ cos A cos __ , cos⑧ cos A 诗cos B cosC-3 —2CQ C O ⑨ Sin A • sin 2B sin 2 2 ? cot A cot B⑤ sin A sin B sin C二3 3（4）在任意锐角 △ ABC 中， 有: ① tan A tan B② cot A cot Bcot C 窿9③ tan 2A -Han2B - tan 2C 9 31.帕斯卡定理: 一条直线上3 M 42C1•迂■- 12 ⑩ tan 2 A tan 2_B tan2B C— tan — _ 32 22 A ? tan — tan 2④ cot 2 A cot 2B cot 2C 1如果一个六边形内接于一条二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线 ），那么它的三对对边的交点在同a -b —c34. 在Rt△ ABC中，C为直角，内角A, B , C所对的边分别是a, b , c,则△ ABC的内切圆半径为2 35. 立方差公式：a3b3—（ a b）（a 2 ab b2）立方和公式： a 3 . b 3 _(a b)(a 2 _ ab b 2 )36.已知△ ABC , O 为其外心，H 为其垂心，则37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值 a 2-©2 (a b 0) 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值38. e x _1 一 x x 2 x n e 汗 X n 12! n! (n 1)!推论：e x 1醤x - x 239. e x "e x ax(a 2)M n 1OH ' OA OB OC--(a b 0巾 2>推论：①t 亠1 2 ln t (t 0) t 40. 抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点 41. 双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值 ② ln x —ax- (x 0,0 a 2)x aF 的连线垂直于该焦点弦a(长半轴长)42.向量与三角形四心:在△ ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c(1) OA OB OC 二 0 — O 是'ABC 的重心⑵ OA OB - OB OC 一 OC OA O 为 ABC 的垂心--------- 4-" ------------ I d J 4 f⑶aOA +bOB cOC = 护 O 为°ABC 的内心(4) O A = O B =O C 白O 为也ABC 的外心43. 正弦平方差公式： sin 2 sin 2 ' = sin (田「护怡和(「 )44. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消: sin x _sin( x 4) - sin(x - 斗)2 2 12 cos- 2 ( + +(V 一)(1 ) N N~ 149. £n擒公差为d的等差数列，t n〉为公比为q的等比数列，若数列・{cn＞满足C^ = a n - b n，贝擞列(Cn＞的前nC 2n 丄 _ q C n + C1项和S n为S n 2 ------(q 一1)50. 若圆的直径端点 A X i, y i ), B(X2 , y2)，则圆的方程为：(x "x i 乂x之2 )旳(y -y i %y y2 )电51. 过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值52. 二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：kCi k= n C n^J153. 三角形五心的一些性质：(1) 三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2) 三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3) 三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心⑷三角形的外心是它的中点三角形的垂心(5) 三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6) 三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心⑺三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍——一匚a 2 b2L，c254. 在厶ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则AB AC ' 2e m+e n e m_e n m±55. m＞n 时， e 22 m _n。
高中高考数学所有二级结论《[完整版]》
![高中高考数学所有二级结论《[完整版]》](https://img.taocdn.com/s3/m/bcac83c3fab069dc502201fe.png)
高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx③过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-byy a x x④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2max 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222b k a mb +21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC 在平面α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 的面积和△ABO 的面积为S 和S′ ，记△ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则（这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k (2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(3)在任意△ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++CB A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角△ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A ③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC ,∠BAC ,∠OAB 三角的余弦关系为：cos∠OAC=cos∠BAC ·cos∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长) 42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M nX D 49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n 50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值 52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n kn nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。
(完整版)高中数学二级结论(精)
1.任意的简单n面体内切球半径为3V（V是简单n面体的体积，S表是简单n面体的表面积）
S表
2.在任意△ABC内，都有tanA+tan B+tanC=tanA tan B tanC推论：在厶ABC内，若tanA+tan B+tanC<0,则△ABC为钝角三角形
3•斜二测画法直观图面积为原图形面积的
2
②过椭圆笃
a
2
1（a
XX0
~2
a
泌
b2
2
③过双曲线笃
a
2
与
b
XXo
yy。
b2
8•切点弦方程:
①圆
平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程y。yE
2
Dx Ey F 0
y
2
2
②椭圆笃
a
2
每
b
X
2
a
YgY1
b
③双曲线
2X~~2a
2
爲1（a0,b0）的切点弦方程为
b
x
~2~
a
④抛物线
2px（p0）的切点弦方程为y°y
P
x)
⑤二次曲线的切点弦方程为
AX0X BX0y加
Cy
d3
2
y
2
9•①椭圆
2x~~2a
2
~2
b
0,b
0）
By
0(AB
0）相切的条件是
A
B
C
②双曲线
2
x
2
a
2
十
0,b
0）
By
0(
0）相切的条件是
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4、点（x，y）关于直线
Ax+By+C=0
的对称点坐标为
x
2
A(
Ax A2
By B2
C
)
,
y
2B(
Ax A2
By B2
C
)
5、以 A x1, y1 , B x2, y2 为直径端点的圆方程为 x x1 x x2 y y1 y y2 0
6、过圆 (x a)2 ( y b)2 r 2 上任意一点 P(x0 , y0 ) 的切线方程为
2
⑤ sin
x
x
tan x
x (0
,
) ； sin
2
x
2x
x
(0
,
2
)
.
（二）洛必达法则
法则 1：若函数 f（x）和 g（x）满足下列条件：（1） lim f x 0 及 lim g x 0 ；
xa
xa
（2）在点
a
的去心邻域内，f（x）与
g（x）可导且
g'（x）≠0；（3）
lim
xa
7、三角形其它边角关系
①
b c
b
c
a a
a为最大边时
sin A cos B
sin A cos C
② ABC为锐角三角形 b 2 c 2 a 2 a 为最大边时
sin B cos C sin B cos A
sin C cos A sin C cos B
③ A为钝角的三角形
a2 b2 c2
3、 方程f (x) k有解，则k的取值范围为f (x)的值域
4、 方程f (x) k有几个解 y f (x)的图像与直线 y k有几个交点
5、
x1,
x2
m，n，f
( x1 ) x1
f (x2 ) x2
k恒成立
x
m，n，f
( x)
k恒成立
二、导数应用
（一）常用不等式放缩
①ex
x 1、
(x0 a)(x a) ( y0 b)( y b) r 2
7、抛物线 y 2 2 px 上一点 P(x0, y0 ) 处的切线方程是 y0 y p(x x0 ) .
8、切点弦方程（平面内一点 P(x0, y0 ) 引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程）
①圆 (x a)2 ( y b)2 r 2 的切点弦方程为 (x0 a)(x a) ( y0 b)( y b) r 2
1、到角公式：若把直线 l1依逆时针方向旋转到与 l2 第一次重合时所转的角是 ，则
tan θ= k2 k1 1 k1 k2
2、两直线所夹角平分线方程：
A1x B1 y C1 A12 B12
=
A2 x B2 y C2 A22 B22
3、直线向量式方程： x x1，y y1 = x2 x1，y2 y1 或 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1
2
2、外接圆半径
3、任意三角形内切圆半径 r= 2S （S 为面积）
abc
（若 C 为直角，则△ABC 的内切圆半径为 a b c ）
2
4、余弦定理推论：
AB
AC
b2
c2
a2
2
5、射影定理：a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c=acosB＋bcosA
6、正切定理：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
1 x
x 1 x
ln
x
x
1、 ex
ex( x
1) 、 ex
ax x
2 ln a
；
②1 1 ln x x 1 x 0 、 x x2 ln(1 x) x x 0 ；
x
2
③ex
ex
ax(a
2)
推论： t
1 t
2 ln t(t
0)
、 ln
x
ax xa
(x
0，0
a
2) ；
④ 1 x 1 1 x ； 1 xn 1 nx ；
②椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的切点弦方程为
x0 x a2
（3）已知三角形三边，求面积可用下述方法： ①海伦公式变式：如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分别为 a， b，c，大三角形面积为
縰 th（ t hᦙ 縰 （ 䂕 ᦙ䂉 䂕 䂄 ᦙ䂉 䂄 䂕ᦙ䂉䂕 䂄 ᦙ
②由x y a2，y z b2，z x c2解得x、y、z再代入S 1 x y y z z x
f g
x x
l
，
那么
lim
xa
f g
x x
= lim xa
f x gx
l
.
法则 2：若函数 f（x）和 g（x）满足下列条件：（1） lim f x 及 lim g x ；
xa
xa
（2）在点
a
的去心邻域内，f（x）与
g（x）可导且
g'（x）≠0；（3）
lim
xa
f g
x x
l
，
那么
lim
a
b
c
a
为最大边时
tanA
tanB
tanC
0
四、平面向量
1、三点共线定理： 2、等和线定理：
第 2 页 共 8 页 （李老师编）
3、燕尾定理：在三角形 ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点 O ，那么 SABO : SACO BD : DC ． 4、奔驰定理
A
F
O
B
D
E C
已知△ABC，O 为其外心，H 为其垂心，则 OH OA OB OC 五、直线和圆的方程
一、函数性质
高中数学二级结论
1、奇偶函数概念的推广及其周期 （1）对于函数 f（x），若存在常数 a，使得 f（a-x）=f（a+x）（*），则称 f（x）为 广义型偶函数（图像关于直线 x a 轴对称），且当有两个相异实数 a，b 同时满足（*） 时，f（x）为周期函数 T=2|b-a|； （2）对于函数 f（x），若存在常数 a，使得 f（a-x）= —f（a+x）（*），则称 f（x）
xa
f g
x x
= lim xa
f x gx
l
.
第 1 页 共 8 页 （李老师编）
三、解三角形
1、面积公式
（1） S C
1 bc sin 2
1 ab sin C 2
1 ac sin 2
（2） S C
11 2
x1 y 2 x2 y1
r
r
其 中 b x1 , y1 , c x2 , y2
为广义型奇函数（图像关于点 a，0 中心对称），当有两个相异实数 a，b 同时满足（*）
时，f（x）为周期函数 T=2|b-a| 2、抽象函数的对称性
（1）若 f（x）满足 f（a+x）+f（b-x）=c，则函数关于（ ， ）成中心对称（充要）
（2）若 f（x）满足 f（a+x）=f（b-x），则函数关于直线 x= 成轴对称（充要）