微积分题型总结
高考微积分专题总结(全是精华)
高考微积分专题总结(全是精华)本文旨在对高考微积分专题进行总结，为考生提供精华内容，帮助他们更好地备考。
1. 导数与微分- 导数的定义：导数可以理解为函数某一点的瞬时变化率，是函数在该点的切线斜率。
- 导数的求法：常用的求导法则有常数法则、幂函数法则、和差法则、乘法法则、除法法则以及复合函数法则。
- 微分的定义：微分是函数在某一点附近的近似线性变化，可以通过导数来求得。
2. 极值与最值- 极值：函数在某一区间内的最大值或最小值。
- 极值的求法：可以使用导数的方法求函数的极值。
- 最值：函数在整个定义域内的最大值或最小值，也称为全局极值。
- 最值的求法：需要考虑函数的边界点和无界函数的趋势。
3. 定积分与不定积分- 定积分：定积分是用于计算曲线下面的面积或曲线长度的工具。
- 定积分的计算：可以通过牛顿—莱布尼兹公式、换元法和分部积分法来计算定积分。
- 不定积分：不定积分是通过求导的逆运算来得到的，表示函数的原函数。
- 不定积分的计算：可以通过基本积分公式、换元法和分部积分法来计算不定积分。
4. 微分方程- 微分方程的基本概念：微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
- 微分方程的分类：常微分方程和偏微分方程。
- 微分方程的求解：可以使用分离变量法、变参数法和待定系数法等方法来求解微分方程。
5. 泰勒展开- 泰勒展开的基本思想：将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式，以近似表示该函数。
- 泰勒展开的应用：可以用泰勒展开来计算函数的近似值、导数、积分等。
以上是高考微积分专题的一些精华内容，希望对考生备考有所帮助。
数学复习中的常见微积分题解析
数学复习中的常见微积分题解析微积分是数学中的重要分支之一，涉及到对函数的导数、积分等运算。
在数学的学习与应用中，对微积分的理解和掌握至关重要。
本文将对常见的微积分题进行解析，帮助读者更好地复习和掌握微积分知识。
一、导数的计算导数是微积分中的基本概念，表示函数在某一点上的变化率。
常见的导数计算包括使用基本导数公式、链式法则、求导法则等。
下面以几个常见的例子进行解析。
1. 例题1：求函数f(x)=(3x^2+2x+1)^2的导数。
解析：首先，我们可以使用链式法则，将该函数拆解为两个函数的复合形式，即f(x)=u^2，其中u=3x^2+2x+1。
接下来，我们求u的导数，即u'。
根据求导法则，我们得到u' = 6x + 2。
然后，将u'代入链式法则的公式中，即d(f(u))/du * u'。
根据链式法则的公式，我们可以求得f(x)的导数为f'(x) = 2u * u' = 2(3x^2+2x+1)(6x+2)。
2. 例题2：求函数f(x)=sin(2x+3)的导数。
解析：对于这个问题，我们可以利用三角函数的导数规则。
根据导数规则，sin函数的导数是cos函数，因此该函数的导数f'(x) =cos(2x+3)。
二、定积分的计算定积分是微积分中另一个重要的概念，表示函数在某一区间上的面积。
常见的定积分计算包括使用基本积分表、换元积分法、分部积分法等。
下面以几个常见的例子进行解析。
1. 例题1：计算定积分∫[0, 1] x^2 dx。
解析：对于这个问题，我们可以直接应用定积分的公式，即∫[a, b]f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
根据该公式，我们可以求得∫[0, 1] x^2 dx = 1/3 * x^3 |[0, 1] = 1/3 - 0 = 1/3。
2. 例题2：计算定积分∫[0, π] sin(x) dx。
微积分复习附解题技巧
微积分复习附解题技巧本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March《微积分》复习及解题技巧第一章 函数一、据定义用代入法求函数值： 典型例题：《综合练习》第二大题之2二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
典型例题：《综合练习》第二大题之1补充：求y=xx212-+的定义域。
（答案：212<≤-x ）三、判断函数的奇偶性：典型例题：《综合练习》第一大题之3、4第二章 极限与连续求极限主要根据： 1、常见的极限：2、利用连续函数：初等函数在其定义域上都连续。
例：3、求极限的思路：可考虑以下9种可能：①00型不定式（用罗彼塔法则） ②20C =0 ③∞0=0④01C =∞ ⑤21C C ⑥∞1C =0⑦0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞∞型不定式（用罗彼塔法则）1sin lim 0=→x xx e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim )0(01lim >=∞→ααxx )()(0lim 0xf x f x x =→11lim 1=→x x 1)()(lim =→x g x f x α⎪⎩⎪⎨⎧∞≠=→)0(0)(11lim 常数C C x f x α⎪⎩⎪⎨⎧∞≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α特别注意：对于f （x ）、g （x ）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。
以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！典型例题：《综合练习》第二大题之3、4；第三大题之1、3、5、7、8补充1：若1)1(sin 221lim =++-→bax x x x ，则a= －2 ，b= 1 . 补充2：21221211111lim lim e x x x x xx x xx =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-•-∞→∞→补充3：21121121121121...513131121)12)(12(1...751531311lim lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⨯+⨯+⨯∞→∞→∞→n n n n n n n n 补充4：1ln lim 1-→x xx 111lim 1=→x x （此题用了“罗彼塔法则”）型0第三章 导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题： 典型例题：《综合练习》第一大题之12 二、求给定函数的导数或微分： 求导主要方法复习：1、求导的基本公式：教材P1232、求导的四则运算法则：教材P110—1113、复合函数求导法则（最重要的求导依据）4、隐函数求导法（包括对数函数求导法） 6、求高阶导数（最高为二阶） 7、求微分：dy=y / dx 即可典型例题：《综合练习》第四大题之1、2、7、9 补充：设y=22)(1arctgx x ++，求dy. 解：∵222212111221121x arctgxxx x arctgx x x y +++=+⋅+⋅+⋅=' ∴dy=)121(22xarctgx x x dx y +++=⋅'dx第四章中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题：典型例题：《综合练习》第一大题之16、19二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程：典型例题：《综合练习》第二大题之5二、函数的单调性（增减性）及极值问题：典型例题：《综合练习》第一大题之18，第二大题之6，第六大题之2第五章 不定积分 第六章 定积分Ⅰ理论内容复习： 1、原函数：)()(x f x F ='则称F （x ）为f （x ）的一个原函数。
考研数学解析高等数学中的微积分与线性代数的典型题型
考研数学解析高等数学中的微积分与线性代数的典型题型考研数学是很多考生必考科目之一，其中涉及的高等数学包括微积分和线性代数两个部分。
微积分和线性代数都是数学的基础学科，对于考研数学的学习和理解至关重要。
本文将解析高等数学中微积分与线性代数的典型题型，帮助考生更好地掌握和应对考试。
一、微积分的典型题型解析1. 导数与微分在微积分中，导数和微分是非常重要的概念。
导数描述了函数在某一点上的变化率，而微分则是导数的计算结果。
考生需要掌握导数和微分的定义、计算方法和性质，并能够灵活运用。
典型题型1：计算函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1在x = 2处的导数和微分。
解析：首先求导数，根据导数的定义，我们有f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
然后计算微分，根据微分的定义，我们有df(x) = f'(x)dx = (6x^2 - 6x + 4)dx。
代入x = 2，得到f'(2) = 20和df(2) = 20dx。
2. 极限极限是微积分中另一个重要的概念，描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。
考生需要掌握极限的定义、计算方法和性质，并能够正确判断函数的极限存在与否。
典型题型2：判断函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)的极限是否存在，并计算存在时的极限值。
解析：观察这个函数，我们可以看到当x趋近于1时，分母趋于0，因此需要进一步化简。
将分子进行因式分解得f(x) = x + 1，此时可以看出函数在x = 1处没有定义，因此极限不存在。
3. 不定积分不定积分是微积分中的重要概念，也是求解函数的积分的方法。
考生需要掌握不定积分的定义、计算方法和性质，并能够灵活运用。
典型题型3：求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的不定积分。
解析：根据不定积分的性质，我们可以逐项积分得到F(x) = x^3 - x^2 + x + C，其中C为常数项。
二、线性代数的典型题型解析1. 矩阵运算与线性方程组矩阵运算和线性方程组是线性代数中最基础的内容。
ap微积分考试题型_
ap微积分考试题型
AP微积分考试通常包含两个部分：多项选择题（Multiple-Choice Questions，MCQs）和开放性问题（Free-Response Questions，FRQs）。
下面是这两个部分的一些常见题型：
1. 多项选择题（MCQs）：
-求极限：给出一个函数或数列，要求计算其极限。
-导数和微分：给出一个函数，要求计算其导数或微分。
-积分：给出一个函数，要求计算其不定积分或定积分。
-解微分方程：给出一个微分方程，要求找到满足条件的特解或通解。
-曲线分析：给出一个函数的图像或方程，要求根据图像或方程进行分析，如找极值点、拐点、渐近线等。
-高阶微积分概念：涉及高阶导数、泰勒级数、参数方程、极坐标等概念。
2. 开放性问题（FRQs）：
-解题和证明：给出一个问题或命题，要求解答并给出证明过程。
-应用问题：给出一个实际问题，要求建立数学模型并求解。
-推导公式：给出一个函数或关系，要求通过推导得到相应的公式。
-分析函数性质：给出一个函数或图像，要求分析其性质，如极值点、拐点、渐近线等。
在备考AP微积分考试时，建议你掌握以下几点：
1. 熟悉微积分的基本概念、公式和定理，包括极限、导数、积分、微分方程等。
2. 理解微积分的几何和物理意义，将数学概念与实际问题联系起来。
3. 多做练习题和模拟考试，熟悉题型和考试时间，提高解题速度和准确性。
4. 学会运用不同的解题方法和策略，灵活应用数学工具解决问题。
5. 注意细节和计算精度，避免常见的计算错误。
五十三期：导数单调性十种题型归纳
五十三期：导数单调性十种题型归纳导数单调性是微积分中重要的概念之一，是指函数在定义域上的单调性特征。
在解题过程中，常常会遇到与导数单调性相关的题型，这里将十种常见的题型归纳总结如下。
一、直接利用导数的正负判别这种题型要求我们利用导数的正负来判断函数的单调性。
具体来说，我们需要计算函数的导函数，然后通过求解导数的符号来确定函数的单调性。
当导数恒大于零时，函数单调递增；当导数恒小于零时，函数单调递减。
二、利用导数的正负变化这种题型要求我们通过导数的正负变化来判断函数的单调性。
具体来说，我们需要找出函数的导函数，然后观察导函数的正负变化情况。
当导数先减小后增大时，函数存在极值点，在极值点附近函数单调性发生变化；当导数先增大后减小时，函数存在极值点，在极值点附近函数单调性发生变化。
三、应用导数的加减法则这种题型要求我们利用导数的加减法则来判断函数的单调性。
具体来说，我们需要将函数表示为若干个函数之和或之差，并进一步求出每个函数的导数。
然后，根据导数的正负判断每个函数的单调性，并结合加减法则得出函数整体的单调性。
四、应用导数的乘法法则这种题型要求我们利用导数的乘法法则来判断函数的单调性。
具体来说，我们需要将函数表示为若干个函数之积，并求出每个函数的导数。
然后，根据导数的正负判断每个函数的单调性，并结合乘法法则得出函数整体的单调性。
五、应用函数的单调性判别法这种题型要求我们利用函数的单调性判别法来判断函数的单调性。
具体来说，我们需要根据函数的定义和性质，结合导数的正负判别，来判断函数在给定区间上的单调性。
六、应用导数的奇偶性这种题型要求我们利用导数的奇偶性来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数以奇对称或偶对称的方式分布，则可以通过导数的奇偶性来判断函数的单调性。
七、综合利用多种方法这种题型要求我们综合利用多种方法来判断函数的单调性。
具体来说，我们可以应用前述的各种方法和技巧，结合具体题目的条件和要求，来判断函数的单调性。
高三微积分专题复习(题型全面)
高三微积分专题复习(题型全面)一、导数与微分1. 导数的定义- 利用极限的概念，导数可以定义为函数在某一点的切线斜率。
- 导数可以表示函数的变化率和速度。
2. 导数的性质- 导数具有线性性质，即导数的和、差、常数倍可以通过对应函数的导数求得。
- 乘积法则和商规则为求导提供了相应的计算规则。
3. 微分的概念- 微分可以视为函数在某一点附近的线性近似。
- 微分与导数之间存在着密切的关系。
二、微分的应用1. 最值问题- 利用导数来求解最值问题可以简化计算过程。
- 极值点是函数最值问题中的关键点。
2. 斜率问题- 斜率表示函数在某点的变化趋势和速度。
- 导数可以表示函数斜率，从而解决斜率相关的问题。
3. 函数的图像与曲线- 通过对函数及其导函数的分析，可以绘制出函数的简单图像。
- 曲线的凹凸性与函数的二阶导数密切相关。
三、定积分与不定积分1. 定积分的概念- 定积分可以看作是函数在某一区间上的累积和。
- 定积分可以表示曲线下的面积。
2. 定积分的性质- 定积分具有线性性质，即定积分的和、差、常数倍可以通过对应函数的定积分求得。
- 积分中值定理为计算定积分提供了一种有效的方法。
3. 不定积分与原函数- 不定积分是定积分的逆运算。
- 不定积分可以用来寻找函数的原函数。
- 积分常规则和积分换元法为求不定积分提供了常用的技巧。
以上是高三微积分专题复习的题型全面的内容概要。
希望这份文档能帮助你更好地复习和理解微积分的知识。
微积分-期末复习总结整理-第一章.docx
第一章第一节常用符号介绍一，集合符号1.集合与元素之间符号“W”表示“属于”,符号F “表示”不属于“。
2.集合之间符号” W “表示”包含于“；符号”=“表示”等于“；符号” 0“表示”空集”；符号“U”表示“并”；符号“CI”表示“和”；符号表示“差”或“余”。
二，数集符号自然数集：表示为“N”；整数集：表示为“Z“；有理数集：表示为” Q”。
显然有NCZCQCR区间设a, b WR, a<bo常用的有限区间有开区间 (a, b) ={x I a<x<b }；闭区间【a, b] ={x I aWxWb }；半开半闭区间：(a,, b] ={x I aVxWb }或【a, b) =(x I aWxVb }o常用的无限区间有(a, +oo) ={x I x>a} ； [a, +oo) ={x I xNa}(-oo, a) ={x I xVa} ； (-oo, a] ={x I xWa}邻域设aWR,对任意5>0,记数集U (a, 8) =(x I x-a| <8}= (a-5, a+5),称作以a为中心，以6为半径的邻域。
当不需要证明邻域半径5时，常将它表示为U(a),简称为a的邻域记数集U (a, 8) = (x I 0< x-a | <8}= (a—& a+6) Ta}, 即在a的5的邻域u(a, 5)中去掉a,称为a的6去心邻域。
第二节函数的概念一，函数的定义给定一个数集A,假设其中的元素为xo现对A中的元素x施加对应法则f,记作f (x),得到另一数集B。
假设B中的元素为y。
则y与x之间的等量关系可以用y=f (x)表示。
我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。
符号函数(1, x>0Y=sgnx< 0, x = 0(-1/ x <ro绝对值函数I . (—X, x<0 Y=|x|=I x, x > 0迪利克雷函数黎曼函数1 V一，X = 一Y 二q qto, x = 0, 1和3D内的无理数第三节数列的极限1.定义：设有数列｛%｝ , a是常数，若对任意的£>0 ,总存在自然数N ,对任意的自然数n>N ,有|a孔-a\ < £ ,则称数列｛%｝的极限是a , 或数列｛%｝收敛于a,表示为ZiTna” = a71T002.重点性质：唯一性，有界性，保序性3.数列收敛的判别方法：两边夹定理（夹逼定理），单调有界定理•夹逼定理:如果数列｛Xn｝,｛Yn｝及｛Zn｝满足下列条件：（1 ）当n>N0 时，其中NOeN* ,有YnWXnWZn ,（2 ）｛Yn｝、｛Zn｝有相同的极限a ,设-»<a<+oo单调性对任一数列｛Xj,如果从某一项Xk开始，满足Xk <X k+l <X k+2 < ......则称数列（从第k项开始）是单调递增的。
高中数学试题微积分的应用与题型解析
高中数学试题微积分的应用与题型解析*正文*高中数学试题微积分的应用与题型解析微积分是数学中重要的分支之一，它的应用广泛涉及到各个领域，尤其在高中阶段的教育中，微积分的学习成为了学生的必修内容之一。
本文将探讨高中数学试题中微积分的应用，并对常见的微积分题型进行解析。
一、定积分的应用定积分是微积分中的关键概念之一，它在数学问题的解决中具有重要的应用。
其中，定积分在求解物体的面积、体积、曲线长度等问题中常常发挥着重要作用。
以下是几个常见的应用题型：1. 面积问题题目：已知函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，其图像与$x$轴围成的图形的面积为$S$，求$S$的表达式。
解析：根据定积分的定义，该题可表示为$\int_a^b |f(x)| dx$。
根据题目中的条件，将函数$f(x)$的图像划分为正负两个部分，分别计算定积分得到的面积，再取绝对值求和即可得到最终答案。
2. 体积问题题目：已知曲线$y=f(x)$在区间$[a,b]$上连续，将其绕$x$轴旋转一周形成一个旋转体，求旋转体的体积。
解析：根据定积分的应用，该题可表示为$\pi\int_a^b [f(x)]^2 dx$。
将曲线$y=f(x)$绕$x$轴旋转一周，可以得到一个旋转体，利用定积分计算旋转体的截面面积，并对其进行累加，最终得到旋转体的体积。
二、无穷积分与级数无穷积分和级数是微积分领域中的另两个重要概念，在高中数学试题中也经常涉及到。
以下是几个常见的应用题型：1. 平面曲线与曲线下的面积题目：已知函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续且大于等于零，求曲线$y=f(x)$与$x$轴所围成的图形的面积。
解析：根据无穷积分的定义，该题可表示为$\int_a^{+\infty} f(x)dx$。
由于区间为无穷大，我们需要先判断积分的收敛性。
若积分收敛，则利用定积分的方法计算出积分的值；若积分发散，则无法计算出面积。
2. 级数求和题目：计算级数$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$的和。
高等代数、微积分、概率论重点题型
高等代数、微积分、概率论重点题型一、高等代数1.线性代数1.1向量向量是高等代数中的基础概念，我们首先来了解向量的定义和性质。
向量可以用箭头来表示，具有方向和大小。
1.2矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是由一个由数阵列组成的矩形阵列。
矩阵的运算包括加法、数乘和矩阵乘法等。
2.线性方程组2.1高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的常用方法，它通过矩阵变换的方法将线性方程组化简为最简形式，从而求得解。
2.2矩阵求逆矩阵求逆是解线性方程组的另一种重要方法，通过求解矩阵的逆矩阵，可以直接得到线性方程组的解。
二、微积分1.函数与极限1.1极限的定义极限是微积分的基本概念之一，它描述了一个函数在某一点附近的变化趋势。
1.2导数与微分导数和微分是函数的重要性质，它们描述了函数在某一点的瞬时变化率。
2.积分与微积分基本定理2.1不定积分不定积分是求函数原函数的过程，它是求解积分的基本方法之一。
2.2定积分与微积分基本定理定积分是求函数在一定区间上的面积或曲线下面积的过程，微积分基本定理将定积分与不定积分联系了起来。
三、概率论1.随机变量与概率分布1.1随机变量随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机试验的结果。
1.2概率分布概率分布是描述随机变量的取值与对应概率的数学函数，常见的概率分布包括均匀分布、正态分布等。
2.统计量与抽样分布2.1统计量统计量是描述样本特征的函数，它是从总体中抽取样本得出的。
2.2抽样分布抽样分布是指对一个总体进行重复抽样，得到一系列样本统计量所组成的分布。
ap微积分bc 题型分布
ap微积分bc 题型分布
AP微积分BC考试通常涵盖以下几个主要题型：
1. 微分和积分的应用，这部分题目可能涉及到函数的微分和积分，包括定积分的计算、微分方程、参数方程、极坐标等内容。
题
目可能涉及到物理、生物、经济学等领域的应用。
2. 极限和连续，这部分题目涉及函数的极限性质、无穷级数、
收敛性、连续性等内容。
可能包括函数的渐近线、泰勒级数、泰勒
展开等。
3. 微分方程，微积分BC考试通常也会涉及微分方程的解法，
包括一阶和二阶微分方程，常微分方程和偏微分方程等内容。
4. 多元函数微积分，这部分题目可能涉及到多元函数的偏导数、梯度、方向导数、多重积分、坐标变换等内容。
可能包括对坐标系
的转换、曲线坐标系、极坐标系等。
5. 空间解析几何，这部分题目可能涉及到三维空间中的曲线、
曲面、向量的性质、曲线积分、曲面积分等内容。
总的来说，AP微积分BC考试的题型分布比较全面，涵盖了微积分的各个方面，考察学生对微积分理论和方法的全面掌握能力。
希望以上内容能够帮助到你。
微积分总复习题详细答案
微积分总复习题详细答案一、极限与连续性1. 极限的定义- 极限是描述函数在某点或无穷远处的行为。
对于函数f(x)，当x趋近于a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，都有|f(x) - L| < ε，则称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限。
2. 极限的运算法则- 极限的加法法则：lim(x→a) (f(x) + g(x)) = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)- 极限的乘法法则：lim(x→a) (f(x) * g(x)) = (lim(x→a)f(x)) * (lim(x→a) g(x))- 极限的除法法则：lim(x→a) (f(x) / g(x)) = (lim(x→a)f(x)) / (lim(x→a) g(x))，前提是lim(x→a) g(x) ≠ 0。
3. 连续性的定义- 函数f(x)在点a处连续，如果lim(x→a) f(x) = f(a)。
4. 间断点的类型- 可去间断点：函数在a点的左极限或右极限存在，但不等于f(a)。
- 跳跃间断点：函数在a点的左极限和右极限都存在，但两者不相等。
- 无穷间断点：函数在a点的左极限或右极限为无穷大。
二、导数与微分1. 导数的定义- 函数f(x)在点a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) [(f(a+h)- f(a)) / h]。
2. 导数的几何意义- 导数表示函数在某点处的切线斜率。
3. 基本导数公式- (c)' = 0，其中c是常数。
- (x^n)' = nx^(n-1)，其中n是实数。
- (sin(x))' = cos(x)。
- (cos(x))' = -sin(x)。
- (e^x)' = e^x。
4. 高阶导数- 高阶导数是一阶导数的导数，记作f''(x)。
微积分常见题型与解题方法归纳(1)中级版
微积分常见题型与解题方法归纳(1)中级版微积分是数学中的重要学科，常见的题型主要包括函数求导、函数积分和曲线拟合等。
通过研究和掌握常见的解题方法，可以帮助我们更好地理解微积分的概念和应用。
函数求导题型1. 常函数求导：常函数的导函数为零，即 $y = c$，导数 $y' =0$。
常函数求导：常函数的导函数为零，即 $y = c$，导数 $y' = 0$。
2. 一次函数求导：一次函数 $y = ax + b$，导数 $y' = a$。
一次函数求导：一次函数 $y = ax + b$，导数 $y' = a$。
3. 幂函数求导：对幂函数 $y = x^n$，当 $n \neq 0$ 时，导数$y' = nx^{n-1}$。
幂函数求导：对幂函数 $y = x^n$，当 $n \neq0$ 时，导数 $y' = nx^{n-1}$。
4. 指数函数求导：对指数函数 $y = a^x$，导数 $y' = a^x \ln(a)$。
指数函数求导：对指数函数 $y = a^x$，导数 $y' = a^x \ln(a)$。
5. 对数函数求导：对对数函数 $y = \log_a{x}$，导数 $y' =\frac{1}{x\ln(a)}$。
对数函数求导：对对数函数 $y = \log_a{x}$，导数 $y' = \frac{1}{x\ln(a)}$。
函数积分题型1. 常函数积分：常函数的积分为常数乘以自变量加上一个常数，即 $\int{c}dx = cx + C$。
常函数积分：常函数的积分为常数乘以自变量加上一个常数，即 $\int{c}dx = cx + C$。
2. 一次函数积分：一次函数的积分为一次函数的系数乘以自变量的平方再除以2，即 $\int{ax + b}dx = \frac{a}{2}x^2 + bx + C$。
一次函数积分：一次函数的积分为一次函数的系数乘以自变量的平方再除以2，即 $\int{ax + b}dx = \frac{a}{2}x^2 + bx + C$。
微积分之大题题型总结(理科)
微积分之大题题型总结(理科)微积分作为理科专业中的重要学科，是许多考试的必考科目，大题题型也是其中的重要考点。
本文对微积分大题题型进行总结，帮助学生掌握解题技巧。
一、函数极值与最值在大题中，经常会出现让求函数极值或最值的问题。
对于这种问题，需要先求出函数的导数，然后令导数等于0，求出函数的驻点，再通过一些方法判断这些驻点的性质，即可求出函数的极值和最值。
二、曲线的弧长和曲率求曲线的弧长和曲率也是微积分中的常见问题，需要用到积分求解。
其中，曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以求出曲线在某一点的曲率半径，进而判断曲线在该点是凸还是凹的。
求解曲线弧长和曲率需要熟练掌握积分的求解方法。
三、微分方程微分方程也是微积分的重要分支，其在物理、经济等领域都有广泛应用。
在大题中，经常会出现用微分方程描述某种现象的问题，需要学生根据所学知识解决。
求解微分方程需要熟练掌握变量分离、二阶微分方程的特解和齐次解等基本方法。
四、参数方程参数方程以参数形式给出曲线上各点坐标的方程式，也是微积分中的重要考点。
学生需要根据参数方程画出曲线的图形，并根据所求问题求出相应的参数值。
掌握参数方程的求解方法对于理解曲线的性质和解决实际问题都有重要作用。
五、空间解析几何空间解析几何是微积分的重要分支之一，涉及到空间中曲线、曲面的各种问题。
在大题中，经常会出现求直线、平面交点、曲面方程等问题，需要学生对空间图形有准确的把握。
掌握空间解析几何的基本概念和解题技巧是解决该类问题的关键。
综上所述，理解和掌握微积分大题的各种题型和解题方法对于考试中获得好成绩至关重要。
定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结
定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.定积分的极念一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121ii ax x x x x n x b 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x （b axn），在每个小区间1,i i x x 上任取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：1()n n i i S f x ξ==∆=∑ 1()ni i b af n ξ=-∑，当x 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()baS f x dx =⎰，()f x 为被积函数，x 为积分变量，[,]a b 为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限． 需要注意以下几点：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法.①分割：n 等分区间,a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af nξ=-∑；④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()b aS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功(x)baS F dx =⎰2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间,a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()yf x 所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分()b af x dx ⎰的几何意义．一般情况下，定积分()b af x dx ⎰的值的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图像以及直线,x a x b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．二、基本性质 性质1 1ba dxb a =-⎰.性质2 ()()(0)b baakf x dx k f x dx k =⎰⎰其中是不为的常数（定积分的线性性质）.性质3 1212[()()]()()b b ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）.性质4 ()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）推广1 1212[()()()]()()()bb bbm m a aaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰推广2 121()()()()kb c c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰．三、基本定理设函数()f x 是在区间[,]a b 上连续，且()F x 是()f x 是在[,]a b 上的任意一个原函数，即'()()F x f x =，则()()()b a f x dx F b F a =-⎰，或记为()()ba bf x dx F x a==⎰ ()()F b F a -，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数()f x 的一个原函数()F x ．然后计算原函数()F x 在区间[],a b 上的增量()()F b F a -即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．题型归纳及思路提示题型1 定积分的计算 思路提示对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算． 例计算()12-1sin x x dx +⎰= ．解析 ()123-111112sin =cos cos1cos113333x x dx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=----= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰．A. B. C. D.变式1 ()421dx x=⎰ A.-2ln 2 B. 2ln 2 C.-ln2 D. ln 2变式2 ()1(2)x e x dx +=⎰B 1e -. C.e D. +1e变式3 设函数()()20f x ax c a =+≠，若()()()100001f x dx f x x =≤≤⎰，则0x 的值为 ．变式4 设函数()y f x =的定义域为R, 若对于给定的正数k ，定义函数()()(),(),k k f x k f x f x f x k≤⎧=⎨>⎩，则当函数()1,1f x k x ==时，定积分()214k f x dx ⎰的值为（ ）A.2ln 22+B. 2ln 21-C.2ln2D. 2ln 21+ 例 根据定积分的几何意义计算下列定积分（1）()402x dx -⎰； （2）1-⎰分析根据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.解析 根据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14所示）的面积的代数和，很显然这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14所示，其面积代数和是0，故()4020x dx -=⎰．（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线()2210x y y +=≥和x 轴围成图形（如图3-15所示）的面积，显然是半个单位圆，其面积是2π，故121=2x dx π--⎰．评注 定积分()bax dx ⎰的几何意义是函数和直线,x a x b ==以及x 轴所围成的图形面积的代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时,()0f x >面积是正值，当函数()0f x <时，积分值是负值．变式1 根据定积分的几何几何意义计算下列定积分． （1）()402x dx +⎰； （2）024x dx --⎰； （3）100sin xdx π⎰； （4）344sin xdx ππ-⎰．题型52 求曲边梯形的面积 思路提示函数()(),y f x y g x ==与直线(),x a x b a b ==<围成曲边梯形的面积为()()|f g |dx baS x x =-⎰，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限． 例 由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ） A.112 B.14 C.13 D.712解析 由23x x =得01,x x ==或则由2y x =和3y x =围成的封闭图形的面积为()1233401111110343412x x dx x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选A ． 变式1（2012湖北理3）已知二次函数()y f x =的图象如图3-16所求，则它与x 轴所围成图形的面积为（ ） A.25π B.43 C.32 D.2π变式2 由曲线2y x =和直线()20,1,,0,1x x y t t ===∈所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值为（ ） A.23 B.13 C.12 D.14变式3 求抛物线24y x =与24y x =-围成的平面图形的面积．变式4 求由两条曲线2214,y 4y x x ==和直线4y =所围成的面积．最有效训练题 1.已知函数()223f x x x =--，则()11f x dx -=⎰（ ）A. -2B.163- D. 1632.定积分())1211x x dx --=⎰（ ）A,24π- B.12π- C.14π- D. 12π-3.设()[]2,0,12,(1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩，则()20f x dx =⎰（ ）A.34B.45C.56D.不存在 4.222,,sin xa xdxb e dxc xdx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ）A,a c b << B.a b c << C.c b a << D. c a b <<5.曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面区域的面积为（ ）A,１ B. ２ C.21 D. )2216.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y θ=所围成的平面图形的面积为（ ）A,12 B.１ C.33 7.抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积为 ．8.已知()f x 是偶函数，且()506f x dx =⎰，则()55f x dx -=⎰ ．9.()22|1x |dx --=⎰ ．1-y xO图3-161110.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ，其中()()10,0,5,1,02A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，．函数()()01y xf x x =≤≤的图象与x 轴所围成的图形的面积为 ．11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．（１）11|x|dx -⎰； （２）22411x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； （３）11dx ⎰；（４）20cos 2x dx π⎰； （５）20cos 2cos sin x dx x xπ-⎰ １２．有一条直线与抛物线2y x =相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．。
微积分题型总结
微积分题型总结微积分题型总结第一部分 函 数函数是整个高等数学研究的主要对象，因而成为考核的对象之一。
特别是一元函数的定义和性质，其中包括反函数、复合函数、隐函数、初等函数和分段函数的定义和性质。
一、 重点内容提要1、函数定义中的关键要素是定义域与对应法则，这里要特别注意两点：①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。
②分段函数是一个函数而不是几个函数。
求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据： ①分式函数：分母≠0②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0④反正（余）弦函数式：自变量1≤x定义域的定义域。
求函数例的定义域。
求函数例的 2x-1x2=y 3例yx 4)2y x (ln 2122+----=x x y例4 x x x y arccos )3ln(2++=在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
2、关于反函数定义，我们仅要求掌握变量反解法。
3、函数的简单性质，重点掌握奇偶性、单调性。
4、关于复合函数定义将复合函数拆成基本初等函数或基本初等函数经四则运算形成的函数，这在求导和积分类型题中是不可避免的。
指出xey 1arctansin =的复合过程5、隐函数：主要在后面求导数及应用中用到6、注意初等函数的定义。
注意分段函数不是初等函数。
二、 典型例题类型题1、求函数定义域例1 求函数)1lg(4)(--=x x x f 的定义域. 解 要使函数表达式有意义，x 要满足：⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-0)1lg(0104x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧≠>≤214x x x所以函数的定义域为（1，2） （2，4］. 例2 求函数f(x)=⎩⎨⎧≤<-≤≤21,110,1x x 的定义域.解 函数f(x)的定义域是[0，2].小结：注意，对于分段函数，它的定义域为所有分段区间的并集。
导数与微分题型与做题方法总结
导数与微分题型与做题方法总结目录1. 导数与微分题型概述 (3)1.1 导数的概念 (4)1.2 微分的概念 (4)1.3 导数与微分的联系 (4)2. 导数题型分类及解题方法 (5)2.1 一阶导数求法 (6)2.1.1 利用导数定义求导 (6)2.1.2 利用导数公式求导 (7)2.1.3 利用求导法则求导 (7)2.2 高阶导数求法 (7)2.2.1 利用高阶导数公式求导 (8)2.2.2 利用求导法则求高阶导数 (9)2.3 复合函数求导 (9)2.3.2 分部积分求导 (10)2.4 隐函数求导 (11)2.4.1 直接求导法 (12)2.4.2 对数求导法 (13)2.5 参数方程求导 (13)3. 微分题型分类及解题方法 (14)3.1 微分公式及运算 (15)3.1.1 微分的基本公式 (15)3.1.2 微分的运算规则 (16)3.2 微分在近似计算中的应用 (16)3.2.1 微分近似计算公式 (17)3.2.2 微分近似计算的步骤 (17)3.3 微分在经济学中的应用 (18)3.3.1 边际分析 (19)4. 导数与微分综合题型及解题技巧 (21)4.1 导数与微分的综合应用 (22)4.1.1 导数与微分在几何中的应用 (23)4.1.2 导数与微分在物理中的应用 (24)4.2 解题步骤及注意事项 (25)4.2.1 分析题意，确定题型 (26)4.2.2 选择合适的求导方法 (27)4.2.3 注意细节，避免错误 (28)5. 案例分析及解题思路 (29)5.1 一阶导数求法案例分析 (29)5.2 高阶导数求法案例分析 (30)5.3 复合函数求导案例分析 (30)5.4 隐函数求导案例分析 (31)5.5 参数方程求导案例分析 (32)5.6 微分公式及运算案例分析 (32)5.7 微分在近似计算中的应用案例分析 (33)5.8 微分在经济学中的应用案例分析 (33)6. 常见错误及注意事项 (34)6.1 求导过程中的常见错误 (34)6.2 微分运算中的常见错误 (36)6.3 注意事项总结 (37)7. 总结与展望 (38)7.1 导数与微分的重要性 (39)7.2 学习建议及展望 (40)1. 导数与微分题型概述导数和微分是数学中的重要概念，用于描述函数的变化率和通过微小变化对函数值的影响。
高中数学中的微积分与几何题型解析
高中数学中的微积分与几何题型解析微积分与几何是高中数学中两个重要的领域，它们之间有着密切的联系。
在高考数学中，微积分与几何题型占据了一定的比重，因此，掌握微积分与几何题型的解题方法对于提高高中数学成绩具有重要意义。
本文将从以下几个方面对高中数学中的微积分与几何题型进行解析。
一、微积分基本概念1.1 极限极限是微积分的基石，主要研究当自变量趋近于某一值时，函数值的变化趋势。
极限的概念分为两类：limx→a f(x)和limx→∞f(x)。
极限的计算方法包括：直接求极限、无穷小替换、有理化方法、泰勒展开等。
1.2 导数导数研究的是函数在某一点的切线斜率，是微积分中最基本的概念之一。
导数的计算方法包括：求导公式、导数的四则运算法则、高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等。
1.3 积分积分是微积分中的另一个基本概念，主要研究函数与面积的关系。
积分的计算方法包括：换元积分、分部积分、定积分、双重积分、三重积分等。
二、几何题型解析2.1 直线与圆直线与圆的关系主要体现在直线与圆的交点、直线与圆的距离、直线与圆的切线等方面。
解题时，要注意运用圆的性质、直线的性质以及它们之间的关系。
2.2 空间几何空间几何主要包括三角形、四边形、多面体等。
在解题过程中，要熟练掌握各种几何体的性质，如：勾股定理、射影定理、正弦定理、余弦定理等。
同时，要灵活运用空间向量、坐标系等工具。
2.3 解析几何解析几何主要研究坐标系中点的轨迹、直线、圆的方程等。
解题时，要熟练掌握各种几何图形的方程，如：圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程等。
同时，要灵活运用解析几何中的代数方法、几何方法等。
三、微积分与几何的综合题型解析微积分与几何的综合题型是高考数学中的热点，主要体现在以下几个方面：3.1 利用微积分解决几何问题例如，求解曲线在某一点的切线斜率、计算曲线的弧长、求解曲面的面积等。
解题时，要运用微积分的基本概念和计算方法。
3.2 利用几何性质解决微积分问题例如，利用直线的斜率、圆的性质、空间几何中的体积等解决导数、积分等问题。
高等数学-一-微积分-考试必过归纳总结-要点重点
高等数学(一)微积分一元函数微分学( 第三章、第四章)一元函数积分学（第五章）第一章函数及其图形第二章极限和连续多元函数微积分（第六章）高数一串讲教材所讲主要内容如下：全书内容可粗分为以下三大部分：第一部分 函数极限与连续〔包括级数〕 第二部分 导数及其应用〔包括多元函数〕第三部分 积分计算及其应用 〔包括二重积分和方程〕第一部分 函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
二、 极限与连续 常见考试题型：1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。
每年必有的考点第三部分导数微分及其应用常见考试题型：1、导数的几何意义；2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。
3、求函数的导数：复合函数求导，隐含数求导，参数方程求导；4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；5、求闭区间上连续函数的最值；6、实际问题求最值。
每年必有的考点第四部分积分计算及应用考试常见题型1、不定积分的概念与计算；2、定积分的计算；3、定积分计算平面图形的面积；4、定积分计算旋转体的体积；5、无穷限反常积分6、二重积分7、微分方程最近几年考题中，积分计算的题目较多，而且也有一定的难度。
第一部分函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型：1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
例1..函数___________.知识点：定义域约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。
解 要使根式函数有意义必须满足23log log 0x ≥，要使23log log 0x ≥成立， 只有3log 1x ≥，即3x ≥.注：我们所求定义域的函数一般都是初等函数，而初等函数：由基本初等函数，经过有限次的＋－×÷运算及有限次的复合得到的函数称为初等函数。
微积分的难题集
微积分的难题集当然，请查看以下微积分难题集的试题：1. 选择题：a. 在函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7 \) 的导数 \( f'(x) \) 的表达式中，常数项的系数是多少？- A) 2- B) -3- C) 5- D) -7b. 函数 \( g(x) = e^{2x} \) 在点 \( x = 0 \)处的导数是多少？- A) 0- B) 1- C) 2- D) \( e^2 \)c. 如果 \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 3 \)，则 \( f(1) \) 的值是多少，其中 \( f(x) \)是连续函数？2. 填空题：a. 计算不定积分 \( \int (2x^2 - 3x + 4) \, dx \)。
b. 计算定积分 \( \int_0^1 (x^2 + 2x) \, dx \)。
3. 选择题：a. 方程 \( \frac{dy}{dx} = x^2 + 2x \) 的通解是什么？- A) \( y = \frac{x^3}{3} + x^2 + C \)- B) \( y = \frac{x^3}{3} + x + C \)- C) \( y = \frac{x^3}{3} + 2x + C \)- D) \( y = \frac{x^3}{3} + 3x + C \)b. 如果 \( f(x) = \int_0^x (2t + 1) \, dt \)，则 \( f'(x) \) 的表达式是什么？- A) \( 2x + 1 \)- B) \( 2x \)- C) \( 2x - 1 \)- D) \( 2x + 2 \)4. 填空题：a. 计算极限 \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)。
b. 计算 \( \frac{d}{dx} (3x^2 - 2x + 1) \)。
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微积分题型总结第一部分 函 数函数是整个高等数学研究的主要对象，因而成为考核的对象之一。
特别是一元函数的定义和性质，其中包括反函数、复合函数、隐函数、初等函数和分段函数的定义和性质。
一、 重点内容提要1、函数定义中的关键要素是定义域与对应法则，这里要特别注意两点：①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。
②分段函数是一个函数而不是几个函数。
求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据：①分式函数：分母≠0②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0④反正（余）弦函数式：自变量1≤x定义域的定义域。
求函数例的定义域。
求函数例的 2x-1x2=y 3例y x 4)2y x (ln 2122+----=x x y例4 x x x y arccos )3ln(2++=在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。
2、关于反函数定义，我们仅要求掌握变量反解法。
3、函数的简单性质，重点掌握奇偶性、单调性。
4、关于复合函数定义将复合函数拆成基本初等函数或基本初等函数经四则运算形成的函数，这在求导和积分类型题中是不可避免的。
指出xey 1arctansin =的复合过程5、隐函数：主要在后面求导数及应用中用到6、注意初等函数的定义。
注意分段函数不是初等函数。
二、 典型例题类型题1、求函数定义域 例1 求函数)1lg(4)(--=x xx f 的定义域.解 要使函数表达式有意义，x 要满足：⎪⎩⎪⎨⎧≠->-≥-0)1lg(0104x x x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≠>≤214x x x 所以函数的定义域为（1，2） （2，4］. 例2 求函数f(x)=⎩⎨⎧≤<-≤≤21,110,1x x 的定义域.解 函数f(x)的定义域是[0，2].小结：注意，对于分段函数，它的定义域为所有分段区间的并集。
如: (1)函数21)(x x x f -+=的定义域是 ； (2)函数()11ln -+=x x y 定义域是(3)函数)12(log )(2-=x x f +arcsin(1-x)的定义域类型题2、函数值与函数记号 例 设f(x)=11+x ，求（1）f(x-1)；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1；（3）f [⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1]. 解 （1）f(x-1)=xx 11)1(1=+-（2）⎪⎭⎫⎝⎛x f 1=1111+=+x x x（3）f [⎪⎭⎫⎝⎛x f 1]=f 1211111++=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x xx x 第二部分 极限与连续作为高等数学研究的基本工具，求函数极限和讨论函数的连续性乃是考核的基本类型题，要引起注意。
一、 重点内容提要1、函数极限的求法，注意单侧极限与极限存在的充要条件。
2、知道极限的四则运算法则3、熟练掌握两个重要极限4、关于无穷小量（1）掌握无穷小量的定义，要特别注意极限过程不可缺少。
（2）掌握其性质与关系无穷小量的判定也是一个比较重要的问题例：xx x x x x x x x x x x 1sin ,sin ,sin ,,cos ,tan ,03下列那些量是无穷小量→ 5、掌握函数的连续性定义与间断点的求法（1）掌握函数的连续性定义 （2）掌握间断点定义（3）掌握并会用单侧连续性（4）掌握初等函数的连续性的结论 6、掌握闭区间上连续函数的性质（1）理解最大值和最小值定理，即在闭区间上连续的函数，必能在其上取到最大值和最小值。
本定理主要为求函数的最值做必要的铺垫。
（2）掌握介值定理的推论---零点定理。
本定理主要用于判定一个方程根的存在性。
二、典型例题求函数极限常用方法有：利用极限的四则运算法则求极限，利用初等函数的连续性求极限；利用两个重要极限求极限；利用洛必达法则求极限等。
类型题1、利用极限的四则运算法则及初等函数连续性求极限例1)()(lim )(lim 000111001110x f a x a x a x a a x a x a x a x f n n n n n n n n x x x x =+++=+++=----→→例2 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∞=<=++++++=----∞→∞→mn m n b a m n b x b x b x b a x a x a x a x q x p mn m m m m n n n n x m n x 0lim )()(lim 01110111例3 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≠∞==≠=→0)(0)(0)()()(000)()()()()(lim 00000000x q x p x q x p x q x q x p x q x p x x ；洛比达法则例1 求1lim →x 11232-+-x x x解 注意到1=x 使分子和分母都为零，可通过约去公共零因子的方法解决，我们有1lim →x 11232-+-x x x =1lim →x )1)(1()1(22++--x x x x =1lim→x 0112=++-x x x 注：约去零因子后，1=x 成为连续点，便可以利用初等函数的连续性求极限了。
例2 求4lim→x 22312---+x x解 同上题，设法分离出零因子，然后消去。
有4lim→x 22312---+x x =4lim →x )22)(312)(22()22)(312)(312(+-++--+-++-+x x x x x x=4lim →x ()()())312(22)22(3122222++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x x x =4lim →x ()()()()31242282++-+--x x x x =4lim→x 23233222312)22(2=+⋅=+++-x x类型题2、利用两个重要极限求极限重要极限一及其推广形式 1sin lim0=→xxx ，推广形式 1)()(sin lim0)(=→x x x ϕϕϕ 注意比较以下四个极限1sin lim 0sin lim 0sin lim1sin lim0====∞→→∞→→x x x x x xx x x x x x 例2 求下列函数的极限： （1）0lim →x x x 3sin ； （2）∞→x lim xx3sin .解 （1）0lim→x x x 3sin =0lim →x 333sin ⋅x x x t 3=令 0lim →t 3313sin =⋅=⋅tt. （2）∞→x limxx 3sin =∞→x lim sin 1x 3x=0（因为∞→x lim01=x ，而sin3x 是有界函数） 例 3 求∞→x lim xsin x1解 ∞→x lim xsin x 1=∞→x limxx 11sinx t /1=令 0lim →t .1sin =tt 重要极限二 及其推广形式例1 求∞→x lim xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21解 ∞→x lim xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21=∞→x lim 2221⋅⎪⎭⎫⎝⎛+x x 令u=x /2 = ()22101lim e u u u =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→0sin sin lim sin lim 020==→→x xxx x x x 例(07.二.6) 极限=+-∞→xx x x )11(lim类型题3、利用无穷小量的性质求极限x1xsinlim x1xsin lim x x 1sinlim x sinx lim x sinx lim 3001sinx xsinx lim x x sin lim 2010xsinx x 1xsinlim sinx x 1sinx lim1x x x x 0x 0x 20x 0x 20x →∞→∞→∞→→→→→→=•=====例例例类型题4、利用洛必塔法则求极限6lim 5)111(lim 4xlnx lim 3111lim 11x 11x 1-lim arccotx )x 1ln(1lim 21sinx-lim a -x cosa -cosx lim1sin 0x 0x 0x 22x 22x x 0x 0x 例例例例例例xx x e x x x x x x ++→→→+∞→+∞→+∞→→→--=++=+-•+=+==⎰⎰-→x xx dtt t dtt 020)sin 1(2lim求极限类型题5、判断函数在指定点的连续性（连续的定义要明确）例1 判断函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠-=0,21,0,1cos )(2x x xx x f 在x=0处的连续性。
解 因为0lim →x f(x)= 0lim →x =-21cos x x 0lim →x 22)2(sin 2xx-=0lim →x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2122sin 2x x =21-. 又因为 f(0)= 21-，所以函数f(x)在x=0处连续. (07.二.7) 设321)(--+=x x x f ，要使)(x f 在x=3处连续，应补充定义f(3)=_______函数在某一点是否有定义、是否有极限、是否连续、可导、可微之间的关系 小结判断分段函数在分界点处是否连续，首先要判断函数在该点处的极限是否存在，然后考察f(x)在该点的极限值是否等于函数在该点处的函数值，若相等，则函数在分界点处连续，否则就不连续。
类型题6、求函数的连续区间例 求函数f(x)=32231+-x x 的连续区间。
解 因为f(x)的定义域为x 2—3x+2≠0，即(x-1)(x-2)≠0得x ≠1且x ≠2。
所以函数f(x)的连续区间是()()()+∞⋃⋃∞-,22,11,小结由于一切初等函数在其定义域内都连续，因此要求初等函数的连续区间也就是求它的定义域。
类型题7、求函数间断点。
例1 求函数f(x)＝()221+x 的间断点。
解 对于有理分式函数，使分母为零的点是它的不连续点。
使(x+2)2=0的点为x= —2， ∴x= —2是函数f(x)的间断点。
例1 求函数f(x)＝())3(2)1)(2(----x x x x 的间断点。
解 对于有理分式函数，使分母为零的点是它的不连续点。
使（x-2）(x-3)=0的点为x= 2，x= 3 ∴ x= 2，x= 3是函数f(x)的间断点。
类型题8、判定方程根的存在性例1 证明：方程0145=-+x x 至少存在一个实根。
证：设14)(5-+=x x x f ，则函数)(x f 是定义在整个数轴上的初等函数，故在区间]1,0[上连续，且有,0)4()1()1()0(<⋅-=⋅f f ，由零点定理知，至少存在一个点),1,0(∈=c x 使得,0)(=c f 或,0145=-+c c 即方程0145=-+x x 至少存在一个实根.c x =小结：这类证明题一般都是先行设一个函数，这个函数通常是将给定方程的非零项移至方程的一侧所形成的。