重庆中考第26题专题专训(教师版)
重庆数学中考26题专题训练(教师版)
重庆数学中考26题专题训练(教师版)重庆数学中考题26题专题训练0026、如图（1）Rt AOB中，A 90，AOB 60，OB 2，AOB 的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON.动点P从点B 出发沿折线BC CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动.（1）求OC、BC的长；（2）设CPQ的面积为S，直接写出S与t的函数关系式；（3）当P在OC上、Q在ON上运动时，如图（2），设PQ 与OA交于点M，当t为何值时，OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值.NACPNAPCQO图（1）BO图（2）B（1）在Rt AOB中，ABO 90 AOB 30 AO1OB 3 21AOB 300 2在Rt AOC中，令AC x OC 2AC 2xOC平分AOB AOC BOC (2x) x () x1 1,x2 1（舍）AC 1,OC 2。
3分COB CBO 30 BC OC 2。
4分(2)当0 t 2时，S222323t t。
6分__t t 2。
8分42当2 t 4时，SNAPQCOB(3)QO t 2，PO 4 t，POQ 60 ①OM MP时，如图MOP MPO 30 PQO 90 PO 2QO 4 t 2(t 2) t ②OM OP时，如图8。
9分31800 POMOMP OPM 7502PQO PMO POM 4510过P点作PD ON于D点，DOP 30 DO OP 2 PDPO2 DO2 (4 t) 2(4 t)2PQD 450QD PDOQ OD DQ t 2 分8 413(4 t) (4 t) t 。
__ ③OP PM时，此时POM PMO 30，而NOM 30，PM//ON,故舍。
10088 4时，OPM为等腰三角形当t 或33 326．如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB AD DC 5，BC 11．一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ BC，交折线段BA AD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t 0）．（1）当正方形PQMN 的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t ,使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．QQB2B26.解：（1）作AG BC，DH BC，垂足分别为G、H 则四边形AGHD为矩形∵梯形ABCD，AB AD DC 5 ∴△ABG≌△DCH ∴BGQ(M)1(BC AD) 3，AG 4 2B∴3秒后，正方形PQMN的边长恒为4∴当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，点M与点D 重合，此时MQ 4 ∴GP AQ AD DQ 1，BP BG GP 4∴t 4 即4秒时，正方形PQMN的边MN恰好经过点D 。
重庆中考,26题专练(1)
、如图，已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，连接BC 。
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）若点P 为线段BC 上的一点（不与B 、C 重合），PM ∥y 轴，且PM 交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，当△BCM 的面积最大时，求△BPN 的周长；（3）在（2）的条件下，当BCM 的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q ，使得△CNQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。
如图，抛物线y=﹣x 2﹣2x+3 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求A 、B 、C 的坐标；（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ．过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若FG=2DQ ，求点F 的坐标．图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA=AB=3抛物线c x ax y ++=492，过点A 、B ，，与x 轴的的正半轴于点E ，C ，（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为x 轴上的一个动点，当△ACP 为等腰三角形时，求点P 的坐标；（3），过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ．连接EF ，设△BEF 与△BFC 的面积的差为S ，问当CF 为何值时，S 最小，并求出这个最小值。
2021年重庆市中考二轮复习数学第26题几何证明专练专题(四)
重庆市中考二轮复习数学第26题几何证明专练专题（四）1.如图(甲),在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)在如图(甲)中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?证明你的结论.(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识,完成下题:如图(乙)四边形ABCD中,AD∥BC(BC＞AD),∠B=90°,AB=BC=6,点E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=2,求DE的长.2.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.(1)求证:OE=CD;(2)探究:当∠ABC等于多少度时,四边形OCED是正方形?并证明你的结论.3.已知,在平行四边形ABCD中,AC=AD,AE⊥CD于点E,BF⊥AC分别交AC、AE于点G、点F,连接GE,若BF=BC.(1)若BE=12,求平行四边形ABCD的面积.(2)求证:GE=2AG.4,如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF.(1)如图1,当E是线段AC的中点,且AB=2时,求△ABC的面积;(2)如图2,当点E不是线段AC的中点时,求证:BE=EF;(3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点时,(2)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.5.已知,在平行四边形ABCD中,E为AD上一点,且AB=AE,连接BE交AC于点H,过点A作AF⊥BC于F,交BE于点G.(1)若∠D=50°,求∠EBC的度数.(2)若AC⊥CD,过点G作GM∥BC交AC于点M,求证:AH=MC.6.正方形ABCD中,E是BC上一点,F是CD延长线上一点,BE=DF,连接AE,AF,EF,G为EF中点,连接AG,DG.(1)如图1:若AB=3,BE=1,求DG;(2)如图2:延长GD至M,使GM=GA,过M作MN∥FD交AF的延长线于N,连接NG,若∠BAE=30°,求证:NM+NA=3NG.7.如图,在平行四边形ABCD 中,AC=BC,E 是AB 中点,G 在AD 延长线上,连接CE 、BG 相交于点F.(1)若BC=6,∠ABC=75°,求平行四边形ABCD 的面积;(2)若∠GBC=∠ECB,求证:GF=BF+2EF.8.在菱形ABCD 中,∠B=60°,E 是边CD 上一点,以CE 为边作等边△CEF .(1)如图1,当CE⊥AD,CF=32时,求菱形ABCD 的面积;(2)如图2,过点E 作∠CEF 的平分线交CF 于H,连接DH,并延长DH 与AC 的延长交于点P,若∠ECD=15°,求证:CF=26CP9.如图,平行四边形ABCD中,CG⊥AB于点G,∠ABF=45°,F在CD上,BF交CD于点E,连接AE,AE⊥AD.(1)若BG=1,BC=1O,求EF的长度;(2)求证:CE+2BE=AB.10.如图,在矩形ABCD中,点E为AD上一点,连接BE、CE∠ABE=45°.(1)如图1,若BE=32,BC=4,求DE.(2)如图2,点P是EC的中点,连接BP并延长交CD于点F,H为AD上一点,连接HF,且∠DHF=∠CBF,求证:BP=PF+FH.11.在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,F为AB边上一点,连接CF,交AE于点G,CF=CB=AE.(1)若AB=22,BC=7,求CE的长.(2)求证:BE=CG-AG.12.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,E为AB边上一点,过E作EG⊥BC于点G,交对角线BD于点F.(1)如图(1),若∠ACE=15°,BC=6,求EF的长.(2)如图(2),H为CE的中点,连接AF,求证:AF=2FH.13.已知平行四边形ABCD ，过点A 作BC 的垂线，垂足为点E ，且满足AE ＝EC ，过点C 作AB 的垂线，垂足为点F ，交AE 于点G ，连接BG ．（1）如图1，若AC ＝，CD ＝4，求BC 的长度；（2）如图2取AC 上一点Q ，连接EQ ，在△QEC 内取一点，连接QH ，EH ，过点H 作AC 的垂线，垂足为点P ，若QH ＝EH ，∠QEH ＝45°．求证：AQ ＝2HP ．14.如图，在平行四边形 ABCD 中， A C 为对角线，过点 D 作 DE ⊥ DC 交直线 AB 于点 E ，过点 E 作 EH ⊥ AD 于点 H ，过点 B 作 BF ⊥ AD 于点 F ．（1）如图 1，若∠BAD = 60︒ ， AF = 3 ， AH = 2 ，求 AC 的长；（ 2 ）如图 2 ，若 BF = DH ，在 AC 上取一点 G ， 连接 DG 、 GE ，若 ∠DGE = 75︒ ，∠CDG = 45︒ - ∠CAB ，求证： DG =26CG15.如图,正方形ABCD中,E为AB边上一点,过点D作DF⊥DE,与BC延长线交于点F,连接EF,与CD边交于点G,与对角线BD交于点H.(1)若BF=BD=2,求BE的长:(2)若∠ADE=2∠BFE,求证:FH=HE+HD。
2020重庆中考复习数学第26题专题训练六(含答案解析)
2020重庆中考复习数学第26题专题训练六 1、如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，D是线段AC中点，E是线段AD上一点，过点D作DF⊥BE交BE的延长钱于点F，连接AF，过点A作AG⊥AF于点A，交BF于点G（1）若∠ABE＝∠C，BC＝2，求AE的长；（2）若点E为AD中点，求证：GE﹣FE＝FD；（3）如图2，连接BD，点N为BD中点，连接GN，若AD＝GF，请直接写出NG、GE、EA的数量关系．4、已知△ABC中，点D为BC的中点，BD＝AB，AD⊥BC．（1）如图1，求∠BAD的度数；（2）如图2，点E为BC上一点，点F为AC上一点，连接AE、BF交于点G，若∠AGF＝60°，求证：BE＝CF；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为BF的中点，点H为AG上一点，延长BH交AC于点K，AK ＝HK，BM⊥AE交AE延长线于点M，BG＝9，HM＝10，求线段AG的长．5、已知△ABC中，∠B＝60°，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点．（1）如图1，当点F恰好落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形；（2）如图2，当点F恰好落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF＝EF，求∠A的大小；（3）如图3，当点F恰好落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB＝9，求BG 的长．6、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边的中点，点E在直线BC上（不与点D重合），连接AE，过点C作直线AE的垂线，垂足为点F，交直线AD于点G，连接EG．（1）如图（1），当点E在线段BD上时，易证DE＝DG，请直接写出三条线段BE，AB，EG之间的数量关系是 ；（2）如图（2），当点E在线段BC的延长线上时，请写出三条线段BE、AB、EG之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若线段BC＝2，当△AEG为等腰三角形时，请直接写出的值．7、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿AD翻折，点B恰好与点C重合，点E在AC边上，连接BE．（1）如图①，若点F是BE的中点，连接DF，且AF＝5，AE＝6，求DF的长；（2）如图②，若AF⊥BE于点F，并延长AF交BC于点G，当点E是AC的中点时，连接EG，求证：AG+EG＝BE；（3）在（2）的条件下，连接DF，请直接写出∠DFG的度数．8、如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、E分别在AC、BC上，BD与AE交于点O，且CD＝CE，若点F是BD的中点，连接CF，交AE于点G．（1）求证：CF⊥AE；（2）如图2，过点F作FM⊥BC，交AE的延长线于点M，垂足为H，连接CM，若CG＝GM．①求证：CF＝CM；②求的值．9、（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点D为AC的中点，过点A作BD的垂线，垂足为E，延长AE交BC于点F，求△ABF的面积．小明发现，过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点G，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到BF与CF的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空：＝ 2，△ABF的面积为 ．（2）【类比探究】如图2，将（1）中的条件“点D为AC的中点”改为“点D为边AC上的一点，且满足CD＝2AD”，其他条件不变，试求△ABF的面积，并写出推理过程．（3）【拓展迁移】如图3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点D为AC上一点，且满足CD ＝2AD，E为BD上一点，∠AEB＝60°，延长AE交BC于F，请直接写出△ABF的面积．2020重庆中考复习数学第26题专题训练六参考答案 1、如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，D是线段AC中点，E是线段AD上一点，过点D作DF⊥BE交BE的延长钱于点F，连接AF，过点A作AG⊥AF于点A，交BF于点G（1）若∠ABE＝∠C，BC＝2，求AE的长；（2）若点E为AD中点，求证：GE﹣FE＝FD；（3）如图2，连接BD，点N为BD中点，连接GN，若AD＝GF，请直接写出NG、GE、EA的数量关系．解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，BC＝2，∴由勾股定理可得AB＝2，AC＝4，∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB＝90°，∴△BAE∽△CAB，∴AB2＝AE×AC，即22＝AE×4，解得AE＝1，（2）证明：如图1，过A作AH⊥BF于H，则∠AHE＝90°，∵DF⊥BE，∠BAC＝90°，∠AEB＝∠FED，∴∠ABG＝∠ADF，∵AG⊥AF，∠BAC＝90°，∴∠BAG＝∠DAF，∵AC＝2AB，D是线段AC中点，∴AB＝AD，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（ASA），∴AG＝AF，∴△AGF是等腰直角三角形，∴AH＝GF＝GH，∵点E为AD中点，∴AE＝DE，在△AEH和△DEF中，，∴△AEH≌△DEF（AAS），∴EH＝EF，AH＝DF＝GH，∵GE﹣HE＝GH，∴GE﹣FE＝FD；（3）NG、GE、EA的数量关系为：NG+GE＝2AE．理由：如图2，连接AN，NF，由（2）可得，△AGF是等腰直角三角形，∵AB＝AD，∠BAD＝90°，N是BD的中点，∴∠DAN＝45°＝∠ADN，∴△ADN是等腰直角三角形，∵AD＝GF，∴等腰Rt△AGF与等腰Rt△ADN全等，∴AG＝AF＝AN＝ND，∵Rt△BDF中，N是BD的中点，∴NF＝ND＝BN，∴AN＝NF＝AF，即△ANF是等边三角形，∴∠NAF＝∠ANF＝60°，∵∠DAN＝45°，△ABG≌△ADF，∴∠DAF＝15°＝∠BAG，∵∠ABN＝∠BAN＝45°，∴∠GAN＝30°，∵∠AGF＝45°，∴∠ABE＝30°，∴Rt△ABE中，BE＝2AE，∵∠ABN＝45°，∴∠GBN＝15°，由NF＝ND＝NB，可得∠FND＝2∠GBN＝30°，在△ANG和△NDF中，，∴△ANG≌△NDF（SAS），∴GN＝FD＝BG，∵BG+GE＝BE＝2AE，∴NG+GE＝2AE．MDEFBACG解： （1）由E 为CR 中点可得AG 平分BAC ，过G 作GH AB ，则有GH=CG=1，故BG=2（2）延长FD 交AG 于点M ，易证：()BFD AMD AAS ，所以BF=AM再证：()BFC CEA AAS ，所以BF=CE=AM ，CF=AE∴CF-CE=AE-AM ，即EM=EF ∴EFM 为等腰直角三角形 ∴222EFFMDF（3）结论为：622BDEF4、（2017秋?许昌月考）已知△ABC中，点D为BC的中点，BD＝AB，AD⊥BC．（1）如图1，求∠BAD的度数；（2）如图2，点E为BC上一点，点F为AC上一点，连接AE、BF交于点G，若∠AGF＝60°，求证：BE＝CF；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为BF的中点，点H为AG上一点，延长BH交AC于点K，AK ＝HK，BM⊥AE交AE延长线于点M，BG＝9，HM＝10，求线段AG的长．解：（1）∵点D为BC的中点，AD⊥BC，∴AB＝AC，BD＝CD＝BC，∵BD＝AB，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°；（2）由（1）知，△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，∴∠ABF+∠CBF＝60°，∵∠AGF＝60°，∴∠BAE+∠ABF＝60°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，（3）如图，过F作FN⊥AE于N，过F作FD⊥BM，交BM的延长线于D，∵AM⊥BM，∴GM∥DF，∵BG＝GF，∴BM＝DM，∵∠AGF＝60°，∴∠BGM＝60°，∵BM⊥AE，∴∠BMG＝90°，∴∠GBM＝30°，在Rt△BMG中，MG＝BG＝，BM＝DM＝FN＝，∵AK＝HK，∴∠HAK＝∠AHK＝∠BHM，∵∠ANF＝∠HMB＝90°，∴△ANF≌△HMB，∴AN＝HM＝10，Rt△FGN中，∠NFG＝∠GBM＝30°，∴GN＝GF＝，∴AG＝AN+NG＝10+＝14.5．5、（2019秋?中山市期末）已知△ABC中，∠B＝60°，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点．（1）如图1，当点F恰好落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形；（2）如图2，当点F恰好落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF＝EF，求∠A的大小；（3）如图3，当点F恰好落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB＝9，求BG 的长．（1）证明：如图1，∵∠B＝60°，DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∵△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点，∴∠ADE＝∠FDE＝60°，∴∠BDF＝60°，∴∠DFB＝60°＝∠B＝∠BDF，∴△BDF是等边三角形；（2）解：∵∠B＝60°，DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∵△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点，∴∠ADE＝∠FDE＝60°，∠A＝∠DFE，∴∠ADC＝120°，∵CF＝EF，∴∠FEC＝∠FCE，设∠FEC＝∠FCE＝x，则∠A＝∠DFE＝∠FEC+∠FCE＝2x，在△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即2x+x+120°＝180°，解得：x＝20°，∴∠A＝2x＝40°；（3）解：同（1）得：∠BDF＝60°，△BDG是等边三角形，∠ADE＝∠B＝60°，∴BG＝BD，由折叠的性质得：AD＝FD，∵BF⊥AB，∴∠BFD＝90°﹣60°＝30°，∴FD＝2BD，∴AD＝2BD，∵AD+BD＝AB，∴2BD+BD＝9，∴BD＝3，∴BG＝BD＝3．6、（2018?连山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边的中点，点E在直线BC上（不与点D重合），连接AE，过点C作直线AE的垂线，垂足为点F，交直线AD于点G，连接EG．（1）如图（1），当点E在线段BD上时，易证DE＝DG，请直接写出三条线段BE，AB，EG之间的数量关系是 AB﹣EG＝BE；（2）如图（2），当点E在线段BC的延长线上时，请写出三条线段BE、AB、EG之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若线段BC＝2，当△AEG为等腰三角形时，请直接写出的值．解：（1）如图1中，结论：AB﹣EG＝BE理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC，∴AD⊥BC，∠ABC＝∠ACB＝45°，AD＝BD＝DC，∴BD＝AB，∵CF⊥AE，∴∠AFG＝∠CDG＝90°，∵∠AGF＝∠CGD，∴∠FAG＝∠GCD，∵∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG，∴DE＝DG，∴DE＝EG，∵BE+ED＝BD，∴BE+EG＝AB，∴AB﹣EG＝BE．（2）如图2中，结论：AB+EG＝BE．理由：同法可证：△ADE≌△CDG，∴DE＝DG，∴DE＝EG，∵BE﹣ED＝BD，∴BE+﹣EG＝AB，∴AB+EG＝BE．（3）①如图2中，当GA＝GE时，DG＝DE＝2﹣2，EG＝4﹣2，此时：＝＝﹣1．②如图3中，当GA＝GE时，设BD＝AD＝CD＝a，则AB＝AC＝CE＝a，DG＝DE＝a+a，EG＝a+2a，∴＝＝1+．③当点E与点C重合时，EG＝AB，可得EG：AB＝1，综上所述，的值为﹣1或1+或1．7、（2018?站前区校级一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿AD翻折，点B恰好与点C重合，点E在AC边上，连接BE．（1）如图①，若点F是BE的中点，连接DF，且AF＝5，AE＝6，求DF的长；（2）如图②，若AF⊥BE于点F，并延长AF交BC于点G，当点E是AC的中点时，连接EG，求证：AG+EG＝BE；（3）在（2）的条件下，连接DF，请直接写出∠DFG的度数．解：（1）∵将△ABC沿AD翻折，点B恰好与点C重合，∴AB＝AC，BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，且∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点F是BE的中点，AF＝5，∠BAC＝90°，∴BE＝10，∴AB＝＝＝8，∴AC＝8，∴EC＝2，∵BD＝CD，BF＝EF，∴DF＝EC＝1，（2）如图②，过点C作CH⊥AC交AG的延长线于点H，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴∠ABC＝∠BAD＝∠DAC＝∠ACB＝45°，∵∠BEA+∠CAH＝90°，∠CAH+∠H＝90°，∴∠H＝∠BEA，且AB＝AC，∠AFB＝∠ACH＝90°，∴△ABE≌△CAH（AAS）∴BE＝AH，AE＝CH，∠CAH＝∠ABE，∵AE＝CE，∴CE＝CH，∵∠ACH＝90°，∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠GCH，且CE＝CH，CG＝CG，∴△CEG≌△CHG（SAS）∴EG＝GH，∵BE＝AH＝AG+GH，∴AG+EG＝BE；（3）如图②，连接NG，∵∠ABC＝∠BAD＝∠DAC＝∠ACB＝45°，∴AD＝BD＝CD，∵∠BAN＝∠ACG＝45°，AB＝AC，∠ABE＝∠CAH，∴△ABN≌△CAG（ASA）∴AN＝CG，∴AD﹣AN＝CD﹣CG，∴DN＝DG，∴∠DNG＝45°∵∠NDG＝∠NFG＝90°，∴点N，点F，点G，点D四点共圆，∴∠DFG＝∠DNG＝45°．8、如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、E分别在AC、BC上，BD与AE交于点O，且CD＝CE，若点F是BD的中点，连接CF，交AE于点G．（1）求证：CF⊥AE；（2）如图2，过点F作FM⊥BC，交AE的延长线于点M，垂足为H，连接CM，若CG＝GM．①求证：CF＝CM；②求的值．（1）证明：如图1中，∵AC＝BC，∠ACE＝∠BCD＝90°，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵DF＝FB，∴CF＝FD＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠FCB＝∠CAE，∵∠CAB+∠AEC＝90°，∴∠AEC+∠FCB＝90°，∴∠CGE＝90°，∴CF⊥AE．（2）①证明：如图2中，∵FM⊥BC，∴∠FHC＝∠CGE＝∠MGF＝90°，∴∠ECG+∠CEG＝90°，∠ECG+∠CFH＝90°，∴∠CEG＝∠CFH，∵CG＝GM，∴△CGE≌△MGF（AAS），∴CE＝FM，EG＝GF，∵CD＝CE，∴CD＝FM，∵∠FHB＝∠ACB＝90°，∴CD∥FM，∴四边形CDFM是平行四边形，∴CM＝DF，∵CF＝DF＝FB，∴CM＝CF．②连接EF，BM．设FG＝EG＝a，∵CM＝BF，CM∥BF，∴FG∥BM，∴＝，∵△CAE≌△CBD，∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAB＝∠CBA，∴∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB，∴＝，易知OG＝GF＝EG＝a，EF＝EM＝a，∴OM＝2a+a，∴＝＝．9、（2015?新乡二模）（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点D为AC的中点，过点A作BD的垂线，垂足为E，延长AE交BC于点F，求△ABF的面积．小明发现，过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点G，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到BF与CF的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空：＝ 2，△ABF的面积为 ．（2）【类比探究】如图2，将（1）中的条件“点D为AC的中点”改为“点D为边AC上的一点，且满足CD＝2AD”，其他条件不变，试求△ABF的面积，并写出推理过程．（3）【拓展迁移】如图3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点D为AC上一点，且满足CD ＝2AD，E为BD上一点，∠AEB＝60°，延长AE交BC于F，请直接写出△ABF的面积．解：（1）如图1，过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点G．∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB＝90°，∴∠CAG＝∠ABD，在△ACG和△BAD中，，∴△ACG≌△BAD（ASA），∴CG＝AD＝AC＝，∵BA∥CG，∴△CFG∽△BFA，∴＝＝，即BF＝BC，BF：CF＝2，∴△ABF的面积＝××4×4＝；故答案为2，．（2）如图2，过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H．∵∠BAC＝90°∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB＝90°，∴∠CAG＝∠ABD，在△ACG和△BAD中，，∴△ACH≌△BAD（ASA），∴CH＝AD＝AC＝AB，∵BA∥CH，∴△CFH∽△BFA，∴＝＝，即BF＝BC，∴△ABF的面积＝××4×4＝6；（3）如图3中，作CH⊥BC交AF的延长线于H，AK⊥BC于K．∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵∠BCH＝90°，∴∠ACH＝∠BAD＝120°，∵∠ABD+∠ADB＝180°﹣120°＝60°，∠AEB＝∠EAD+∠ADE＝60°，∴∠ABD＝∠CAH，∴△BAD≌△ACH（ASA），∴CH＝AD∵AK⊥BC，∴BK＝CK，在Rt△ACK中，∵AC＝4，∠ACK＝30°，∴AK＝AC＝2，CK＝BK＝2，∵AK∥CH，AD＝CH＝，∴FK：FC＝AK：CH＝2：＝3：2，∴BF：BC＝4：5，∴S△ABF＝?S△ABC＝××4×2＝．。
2020重庆中考复习数学第26题专题训练六(含答案解析)
2020重庆中考复习数学第26题专题训练六1、如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，D是线段AC中点，E是线段AD上一点，过点D作DF⊥BE交BE的延长钱于点F，连接AF，过点A作AG⊥AF于点A，交BF于点G（1）若∠ABE＝∠C，BC＝2，求AE的长；（2）若点E为AD中点，求证：GE﹣FE＝FD；（3）如图2，连接BD，点N为BD中点，连接GN，若AD＝GF，请直接写出NG、GE、EA的数量关系．4、已知△ABC中，点D为BC的中点，BD＝AB，AD⊥BC．（1）如图1，求∠BAD的度数；（2）如图2，点E为BC上一点，点F为AC上一点，连接AE、BF交于点G，若∠AGF＝60°，求证：BE＝CF；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为BF的中点，点H为AG上一点，延长BH交AC于点K，AK ＝HK，BM⊥AE交AE延长线于点M，BG＝9，HM＝10，求线段AG的长．5、已知△ABC中，∠B＝60°，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点．（1）如图1，当点F恰好落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形；（2）如图2，当点F恰好落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF＝EF，求∠A的大小；（3）如图3，当点F恰好落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB＝9，求BG 的长．6、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边的中点，点E在直线BC上（不与点D重合），连接AE，过点C作直线AE的垂线，垂足为点F，交直线AD于点G，连接EG．（1）如图（1），当点E在线段BD上时，易证DE＝DG，请直接写出三条线段BE，AB，EG之间的数量关系是 ；（2）如图（2），当点E在线段BC的延长线上时，请写出三条线段BE、AB、EG之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若线段BC＝2，当△AEG为等腰三角形时，请直接写出的值．7、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿AD翻折，点B恰好与点C重合，点E在AC边上，连接BE．（1）如图①，若点F是BE的中点，连接DF，且AF＝5，AE＝6，求DF的长；（2）如图②，若AF⊥BE于点F，并延长AF交BC于点G，当点E是AC的中点时，连接EG，求证：AG+EG＝BE；（3）在（2）的条件下，连接DF，请直接写出∠DFG的度数．8、如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、E分别在AC、BC上，BD与AE交于点O，且CD＝CE，若点F是BD的中点，连接CF，交AE于点G．（1）求证：CF⊥AE；（2）如图2，过点F作FM⊥BC，交AE的延长线于点M，垂足为H，连接CM，若CG＝GM．①求证：CF＝CM；②求的值．9、（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点D为AC的中点，过点A作BD的垂线，垂足为E，延长AE交BC于点F，求△ABF的面积．小明发现，过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点G，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到BF与CF的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空：＝ 2，△ABF的面积为．（2）【类比探究】如图2，将（1）中的条件“点D为AC的中点”改为“点D为边AC上的一点，且满足CD＝2AD”，其他条件不变，试求△ABF的面积，并写出推理过程．（3）【拓展迁移】如图3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点D为AC上一点，且满足CD ＝2AD，E为BD上一点，∠AEB＝60°，延长AE交BC于F，请直接写出△ABF的面积．2020重庆中考复习数学第26题专题训练六参考答案1、如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，D是线段AC中点，E是线段AD上一点，过点D作DF⊥BE交BE的延长钱于点F，连接AF，过点A作AG⊥AF于点A，交BF于点G（1）若∠ABE＝∠C，BC＝2，求AE的长；（2）若点E为AD中点，求证：GE﹣FE＝FD；（3）如图2，连接BD，点N为BD中点，连接GN，若AD＝GF，请直接写出NG、GE、EA的数量关系．解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，BC＝2，∴由勾股定理可得AB＝2，AC＝4，∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB＝90°，∴△BAE∽△CAB，∴AB2＝AE×AC，即22＝AE×4，解得AE＝1，（2）证明：如图1，过A作AH⊥BF于H，则∠AHE＝90°，∵DF⊥BE，∠BAC＝90°，∠AEB＝∠FED，∴∠ABG＝∠ADF，∵AG⊥AF，∠BAC＝90°，∴∠BAG＝∠DAF，∵AC＝2AB，D是线段AC中点，∴AB＝AD，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（ASA），∴AG＝AF，∴△AGF是等腰直角三角形，∴AH＝GF＝GH，∵点E为AD中点，∴AE＝DE，在△AEH和△DEF中，，∴△AEH≌△DEF（AAS），∴EH＝EF，AH＝DF＝GH，∵GE﹣HE＝GH，∴GE﹣FE＝FD；（3）NG、GE、EA的数量关系为：NG+GE＝2AE．理由：如图2，连接AN，NF，由（2）可得，△AGF是等腰直角三角形，∵AB＝AD，∠BAD＝90°，N是BD的中点，∴∠DAN＝45°＝∠ADN，∴△ADN是等腰直角三角形，∵AD＝GF，∴等腰Rt△AGF与等腰Rt△ADN全等，∴AG＝AF＝AN＝ND，∵Rt△BDF中，N是BD的中点，∴NF＝ND＝BN，∴AN＝NF＝AF，即△ANF是等边三角形，∴∠NAF＝∠ANF＝60°，∵∠DAN＝45°，△ABG≌△ADF，∴∠DAF＝15°＝∠BAG，∵∠ABN＝∠BAN＝45°，∴∠GAN＝30°，∵∠AGF＝45°，∴∠ABE＝30°，∴Rt△ABE中，BE＝2AE，∵∠ABN＝45°，∴∠GBN＝15°，由NF＝ND＝NB，可得∠FND＝2∠GBN＝30°， 在△ANG和△NDF中，，∴△ANG≌△NDF（SAS），∴GN＝FD＝BG，∵BG+GE＝BE＝2AE，∴NG+GE＝2AE．G解：（1）由E 为CR 中点可得AG平分BAC ∠，过G 作GH AB ⊥，则有GH=CG=1，故 （2）延长FD 交AG 于点M，易证:()BFD AMD AAS ∆≅∆，所以BF=AM 再证：()BFC CEA AAS∆≅∆，所以BF=CE=AM，CF=AE ∴CF-CE=AE-AM，即EM=EF ∴EFM ∆为等腰直角三角形∴2EF FM ==（3）结论为：2BD EF +=4、（2017秋•许昌月考）已知△ABC中，点D为BC的中点，BD＝AB，AD⊥BC．（1）如图1，求∠BAD的度数；（2）如图2，点E为BC上一点，点F为AC上一点，连接AE、BF交于点G，若∠AGF＝60°，求证：BE＝CF；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为BF的中点，点H为AG上一点，延长BH交AC于点K，AK ＝HK，BM⊥AE交AE延长线于点M，BG＝9，HM＝10，求线段AG的长．解：（1）∵点D为BC的中点，AD⊥BC，∴AB＝AC，BD＝CD＝BC，∵BD＝AB，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°；（2）由（1）知，△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，∴∠ABF+∠CBF＝60°，∵∠AGF＝60°，∴∠BAE+∠ABF＝60°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，（3）如图，过F作FN⊥AE于N，过F作FD⊥BM，交BM的延长线于D，∵AM⊥BM，∴GM∥DF，∵BG＝GF，∴BM＝DM，∵∠AGF＝60°，∴∠BGM＝60°，∵BM⊥AE，∴∠BMG＝90°，∴∠GBM＝30°，在Rt△BMG中，MG＝BG＝，BM＝DM＝FN＝，∵AK＝HK，∴∠HAK＝∠AHK＝∠BHM，∵∠ANF＝∠HMB＝90°，∴△ANF≌△HMB，∴AN＝HM＝10，Rt△FGN中，∠NFG＝∠GBM＝30°，∴GN＝GF＝，∴AG＝AN+NG＝10+＝14.5．5、（2019秋•中山市期末）已知△ABC中，∠B＝60°，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点．（1）如图1，当点F恰好落在BC边上，求证：△BDF是等边三角形；（2）如图2，当点F恰好落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF＝EF，求∠A的大小；（3）如图3，当点F恰好落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB＝9，求BG 的长．（1）证明：如图1，∵∠B＝60°，DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∵△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点，∴∠ADE＝∠FDE＝60°，∴∠BDF＝60°，∴∠DFB＝60°＝∠B＝∠BDF，∴△BDF是等边三角形；（2）解：∵∠B＝60°，DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∵△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点，∴∠ADE＝∠FDE＝60°，∠A＝∠DFE，∴∠ADC＝120°，∵CF＝EF，∴∠FEC＝∠FCE，设∠FEC＝∠FCE＝x，则∠A＝∠DFE＝∠FEC+∠FCE＝2x，在△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即2x+x+120°＝180°，解得：x＝20°，∴∠A＝2x＝40°；（3）解：同（1）得：∠BDF＝60°，△BDG是等边三角形，∠ADE＝∠B＝60°，∴BG＝BD， 由折叠的性质得：AD＝FD，∵BF⊥AB，∴∠BFD＝90°﹣60°＝30°，∴FD＝2BD，∴AD＝2BD，∵AD+BD＝AB，∴2BD+BD＝9，∴BD＝3，∴BG＝BD＝3．6、（2018•连山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边的中点，点E在直线BC上（不与点D重合），连接AE，过点C作直线AE的垂线，垂足为点F，交直线AD于点G，连接EG． （1）如图（1），当点E在线段BD上时，易证DE＝DG，请直接写出三条线段BE，AB，EG之间的数量关系是 AB﹣EG＝BE；（2）如图（2），当点E在线段BC的延长线上时，请写出三条线段BE、AB、EG之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若线段BC＝2，当△AEG为等腰三角形时，请直接写出的值．解：（1）如图1中，结论：AB﹣EG＝BE理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC，∴AD⊥BC，∠ABC＝∠ACB＝45°，AD＝BD＝DC，∴BD＝AB，∵CF⊥AE，∴∠AFG＝∠CDG＝90°，∵∠AGF＝∠CGD，∴∠F AG＝∠GCD，∵∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG，∴DE＝DG，∴DE＝EG，∵BE+ED＝BD，∴BE+EG＝AB，∴AB﹣EG＝BE．（2）如图2中，结论：AB+EG＝BE．理由：同法可证：△ADE≌△CDG，∴DE＝DG，∴DE＝EG，∵BE﹣ED＝BD，∴BE+﹣EG＝AB，∴AB+EG＝BE．（3）①如图2中，当GA＝GE时，DG＝DE＝2﹣2，EG＝4﹣2，此时：＝＝﹣1．②如图3中，当GA＝GE时，设BD＝AD＝CD＝a，则AB＝AC＝CE＝a，DG＝DE＝a+a，EG＝a+2a，∴＝＝1+．③当点E与点C重合时，EG＝AB，可得EG：AB＝1，综上所述，的值为﹣1或1+或1．7、（2018•站前区校级一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿AD翻折，点B恰好与点C重合，点E在AC边上，连接BE．（1）如图①，若点F是BE的中点，连接DF，且AF＝5，AE＝6，求DF的长；（2）如图②，若AF⊥BE于点F，并延长AF交BC于点G，当点E是AC的中点时，连接EG，求证：AG+EG＝BE；（3）在（2）的条件下，连接DF，请直接写出∠DFG的度数．解：（1）∵将△ABC沿AD翻折，点B恰好与点C重合，∴AB＝AC，BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，且∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点F是BE的中点，AF＝5，∠BAC＝90°，∴BE＝10，∴AB＝＝＝8，∴AC＝8，∴EC＝2，∵BD＝CD，BF＝EF，∴DF＝EC＝1，（2）如图②，过点C作CH⊥AC交AG的延长线于点H，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴∠ABC＝∠BAD＝∠DAC＝∠ACB＝45°，∵∠BEA+∠CAH＝90°，∠CAH+∠H＝90°，∴∠H＝∠BEA，且AB＝AC，∠AFB＝∠ACH＝90°，∴△ABE≌△CAH（AAS）∴BE＝AH，AE＝CH，∠CAH＝∠ABE，∵AE＝CE，∴CE＝CH，∵∠ACH＝90°，∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠GCH，且CE＝CH，CG＝CG，∴△CEG≌△CHG（SAS）∴EG＝GH，∵BE＝AH＝AG+GH，∴AG+EG＝BE；（3）如图②，连接NG，∵∠ABC＝∠BAD＝∠DAC＝∠ACB＝45°，∴AD＝BD＝CD，∵∠BAN＝∠ACG＝45°，AB＝AC，∠ABE＝∠CAH，∴△ABN≌△CAG（ASA）∴AN＝CG，∴AD﹣AN＝CD﹣CG，∴DN＝DG，∴∠DNG＝45°∵∠NDG＝∠NFG＝90°，∴点N，点F，点G，点D四点共圆，∴∠DFG＝∠DNG＝45°．8、如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、E分别在AC、BC上，BD与AE交于点O，且CD＝CE，若点F是BD的中点，连接CF，交AE于点G．（1）求证：CF⊥AE；（2）如图2，过点F作FM⊥BC，交AE的延长线于点M，垂足为H，连接CM，若CG＝GM．①求证：CF＝CM；②求的值．（1）证明：如图1中，∵AC＝BC，∠ACE＝∠BCD＝90°，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵DF＝FB，∴CF＝FD＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠FCB＝∠CAE，∵∠CAB+∠AEC＝90°，∴∠AEC+∠FCB＝90°，∴∠CGE＝90°，∴CF⊥AE．（2）①证明：如图2中，∵FM⊥BC，∴∠FHC＝∠CGE＝∠MGF＝90°，∴∠ECG+∠CEG＝90°，∠ECG+∠CFH＝90°， ∴∠CEG＝∠CFH，∵CG＝GM，∴△CGE≌△MGF（AAS），∴CE＝FM，EG＝GF，∵CD＝CE，∴CD＝FM，∵∠FHB＝∠ACB＝90°，∴CD∥FM，∴四边形CDFM是平行四边形，∴CM＝DF，∵CF＝DF＝FB，∴CM＝CF．②连接EF，BM．设FG＝EG＝a，∵CM＝BF，CM∥BF，∴FG∥BM，∴＝，∵△CAE≌△CBD，∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAB＝∠CBA，∴∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB，∴＝，易知OG＝GF＝EG＝a，EF＝EM＝a，∴OM＝2a+a，∴＝＝．9、（2015•新乡二模）（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点D为AC的中点，过点A作BD的垂线，垂足为E，延长AE交BC于点F，求△ABF的面积．小明发现，过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点G，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到BF与CF的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空：＝ 2，△ABF的面积为．（2）【类比探究】如图2，将（1）中的条件“点D为AC的中点”改为“点D为边AC上的一点，且满足CD＝2AD”，其他条件不变，试求△ABF的面积，并写出推理过程．（3）【拓展迁移】如图3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点D为AC上一点，且满足CD ＝2AD，E为BD上一点，∠AEB＝60°，延长AE交BC于F，请直接写出△ABF的面积．解：（1）如图1，过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点G．∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB＝90°，∴∠CAG＝∠ABD，在△ACG和△BAD中，，∴△ACG≌△BAD（ASA），∴CG＝AD＝AC＝，∵BA∥CG，∴△CFG∽△BF A，∴＝＝，即BF＝BC，BF：CF＝2，∴△ABF的面积＝××4×4＝；故答案为2，．（2）如图2，过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H．∵∠BAC＝90°∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB＝90°，∴∠CAG＝∠ABD，在△ACG和△BAD中，，∴△ACH≌△BAD（ASA），∴CH＝AD＝AC＝AB，∵BA∥CH，∴△CFH∽△BF A，∴＝＝，即BF＝BC，∴△ABF的面积＝××4×4＝6；（3）如图3中，作CH⊥BC交AF的延长线于H，AK⊥BC于K．∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵∠BCH＝90°，∴∠ACH＝∠BAD＝120°，∵∠ABD+∠ADB＝180°﹣120°＝60°，∠AEB＝∠EAD+∠ADE＝60°， ∴∠ABD＝∠CAH，∴△BAD≌△ACH（ASA），∴CH＝AD∵AK⊥BC，∴BK＝CK，在Rt△ACK中，∵AC＝4，∠ACK＝30°，∴AK＝AC＝2，CK＝BK＝2，∵AK∥CH，AD＝CH＝，∴FK：FC＝AK：CH＝2：＝3：2，∴BF：BC＝4：5，∴S△ABF＝•S△ABC＝××4×2＝．。
最新重庆中考数学第26题专题训练
N MPCBA 1.如图，抛物线y=﹣x 2﹣2x+3 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求A 、B 、C 的坐标；（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ．过抛物线上一点F 作y轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若FG=2DQ ，求点F 的坐标．2.如图，已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，连接BC 。
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）若点P 为线段BC 上的一点（不与B 、C 重合），PM ∥y 轴，且PM 交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，当△BCM 的面积最大时，求△BPN 的周长；（3）在（2）的条件下，当BCM 的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q ，使得△CNQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。
3．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）。
（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点。
①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值。
4.如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A ，且与y 轴交于点C （0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．5.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线233334y x x=-++交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D。
2020年重庆中考复习几何第26题专题训练二(含答案解析)
2020年重庆中考复习几何题专题训练二\1、（2018•山西模拟）综合与实践美妙的黄金矩形阅读理解在数学上称短边与长边的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形（GoldenRec tan gle），黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调、匀称的美感．（1）某校团委举办“五•四手抄报比赛”，手抄报规格统一设计成：长是40cm的黄金矩形，则宽约为cm；（精确到0.1cm）操作发现利用一张正方形纸片折叠出一个黄金矩形．第一步，如图1，折叠正方形纸片ABCD，使AB和DC重合，得到折痕EF（点E，F分别在百年AD，BC上），然后把纸片展平．第二步，如图2，折叠正方形纸片ABCD，使得BC落在BE上，点C′和点C对应，得到折痕BG（点G在CD上），再次纸片展平．第三步，如图3，沿过点G的直线折叠正方形纸片ABCD，使点A和点D分别落在AB和CD上，折痕为HG，显然四边形HBCG为矩形．（2）在上述操作中，以AB＝2为例，证明矩形HBCG是黄金矩形．拓广探索（3）“希望小组”的同学通过探究发现：以黄金矩形的长边为一边，在原黄金矩形外作正方形，得到的新矩形仍然是黄金矩形．如图4，如果四边形ABCD是黄金矩形（AB＞AD），四边形DCEF是正方形，那么四边形ABEF也是黄金矩形，他们的发现正确吗？请说明理由．2、（2019•周口二模）在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是，数量关系是；深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展：（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA＝45°，BC＝，当BM＝时，BP的最大值为．3、（2016秋•青羊区校级期中）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC＝，P A＝2，则：①线段PB＝；②猜想：P A2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；（2）如图2，若点P在AB的延长线上，求证：P A2+PB2＝PQ2；（3）如图3，在平面直角坐标系中，以AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（5，0），点P为线段AC外一动点，且P A＝2，PM＝PC，∠CPM＝90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．4、（2018秋•鞍山期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C为顶点作等腰直角三角形CMN．使∠CMN＝90°，连接BN，射线NM交BC于点D．（1）如图1，若点A，M，N在一条直线上，①求证：BN+CM＝AM；②若AM＝4，BN＝，求BD的长；（2）如图2，若AB＝4，CN＝2，将△CMN绕点C顺时针旋转一周，在旋转过程中射线NM交AB于点H，当三角形DBH是直角三角形时，请你直接写出CD的长．5、探究学习：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AE、BD．（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AE与BD的数量关系是，位置关系是．（2）如图2，当点C在直线AB外，等腰直角三角形ECB绕点C逆时针旋转至图2位置，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，在（1）基础上等腰直角三角形BCE绕顶点C逆时针旋转到图3位置，取等腰直角三角形ACD的斜边AD的中点M，连接CM交BE于点G，试探究BG、GH、HE的数量关系，并写出证明思路．6、（2018春•市南区期末）如图①，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF，连接CF．（1）若AB＝AC，∠BAC＝90°①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探究CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图②中画出相应图形并直接写出你的猜想．（2）如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA＝45°，点D在线段BC上运动，试探究CF与BC 的位置关系，并说明理由．7、实践操作在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．初步思考（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．①当点P与点A重合时，∠DEF＝；当点E与点A重合时，∠DEF＝；②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP＝7时的菱形EPFD的边长．深入探究（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值．拓展延伸（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等？若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．8、（2019•虞城县一模）特殊：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD、BE．填空：①线段BD、BE的数量关系为．②线段BC、DE的位置关系为．一般：（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝a，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE、BD、BE，请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图3，在等边三角形ABC中，作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD、AE．若AB＝4，当△ADM与△AFD全等时，请直接写出DE的值．\ 2020年重庆中考复习几何题专题训练二答案1、（2018•山西模拟）综合与实践美妙的黄金矩形阅读理解在数学上称短边与长边的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形（GoldenRec tan gle），黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调、匀称的美感．（1）某校团委举办“五•四手抄报比赛”，手抄报规格统一设计成：长是40cm的黄金矩形，则宽约为24.7cm；（精确到0.1cm）操作发现利用一张正方形纸片折叠出一个黄金矩形．第一步，如图1，折叠正方形纸片ABCD，使AB和DC重合，得到折痕EF（点E，F分别在百年AD，BC上），然后把纸片展平．第二步，如图2，折叠正方形纸片ABCD，使得BC落在BE上，点C′和点C对应，得到折痕BG（点G在CD上），再次纸片展平．第三步，如图3，沿过点G的直线折叠正方形纸片ABCD，使点A和点D分别落在AB和CD上，折痕为HG，显然四边形HBCG为矩形．（2）在上述操作中，以AB＝2为例，证明矩形HBCG是黄金矩形．拓广探索（3）“希望小组”的同学通过探究发现：以黄金矩形的长边为一边，在原黄金矩形外作正方形，得到的新矩形仍然是黄金矩形．如图4，如果四边形ABCD是黄金矩形（AB＞AD），四边形DCEF是正方形，那么四边形ABEF也是黄金矩形，他们的发现正确吗？请说明理由．解：（1）宽约为40×≈40×0.681≈24.7cm．故答案为24.7．（2）如图2中，连接EG，设CG＝C′G＝x．∵AB＝2，AE＝ED＝1，∴BE＝，EC′＝﹣2，在Rt△EGD和Rt△EGC′中，12+（2﹣x）2＝x2+（﹣2）2，解得x＝﹣1，∴＝，∴图3中的矩形HBCG是黄金矩形；（3）如图4中，四边形ABEF是黄金矩形这个结论正确；理由：设AB＝a，则AD＝BC＝a，∵四边形DCEF是正方形．∴DC＝DF＝EF＝CE＝a，∴AE＝BE＝a+a＝a，∴＝＝，∴矩形ABEF是黄金矩形．2、（2019•周口二模）在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是AM ⊥BN，数量关系是AM＝BN；深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展：（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA＝45°，BC＝，当BM＝2时，BP的最大值为1．解：问题初现：（1）①AM与BN位置关系是AM⊥BN，数量关系是AM＝BN．理由：如图1，∵△ABC，△CMN为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠MCN＝90°，AC＝BC，CM＝CN，∠CAB＝∠CBA＝45°∴∠ACM＝∠BCN，且AC＝BC，CM＝CN，∴△ACM≌△BCN（SAS）∴∠CAM＝∠CBN＝45°，AM＝BN．∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠ABN＝45°+45°＝90°，即AM⊥BN故答案为：AM⊥BN；AM＝BN深入探究：②当点M在线段AB的延长线上时，AM与BN位置关系是AM⊥BN，数量关系是AM＝BN．理由如下：如图，∵△ABC，△CMN为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠MCN＝90°，AC＝BC，CM＝CN，∠CAB＝∠CBA＝45°∴∠ACM＝∠BCN，且AC＝BC，CM＝CN，∴△ACM≌△BCN（SAS）∴∠CAM＝∠CBN＝45°，AM＝BN．∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠ABN＝45°+45°＝90°，即AM⊥BN类比拓展：（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点N作NF⊥CE于点F，则FN∥AB∵△MCN是等腰直角三角形∴CM＝CN，∠MCN＝90°∴∠ECM+∠FCN＝90°，且∠ECM+∠CME＝90°∴∠FCN＝∠CME，且CM＝CN，∠F＝∠CEM＝90°∴△CNF≌△CME（AAS）∴FN＝EC，EM＝CF∵BC＝4，CE⊥AB，∠CBA＝45°∴CE＝BE＝4，∴FN＝BE＝CE，且FN∥BA∴四边形FNBE是平行四边形，且∠F＝90°∴四边形FNBE是矩形∴∠CEM＝∠ABN＝90°∴∠PMB+∠MPB＝90°∵CM⊥MP∴∠CME+∠PMB＝90°∴∠CME＝∠MPB，且∠CEM＝∠ABN＝90°∴△CEM∽△MBP∴∴BP＝＝﹣（BM﹣2）2+1∴当BM＝2时，BP有最大值为1．3、（2016秋•青羊区校级期中）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC＝，P A＝2，则：①线段PB＝2；②猜想：P A2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为P A2+PB2＝PQ2；（2）如图2，若点P在AB的延长线上，求证：P A2+PB2＝PQ2；（3）如图3，在平面直角坐标系中，以AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（5，0），点P为线段AC外一动点，且P A＝2，PM＝PC，∠CPM＝90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．解：（1）①∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝2+2，∴PB＝AB﹣AP＝2，故答案为：2；②连接BQ，∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴∠ACP＝∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠A＝45°，∴∠PBQ＝90°，∴BQ2+PB2＝PQ2，即P A2+PB2＝PQ2；（2）由（1）②得，△ACP≌△BCQ，∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠A＝45°，∴∠PBQ＝90°，∴BQ2+PB2＝PQ2，即P A2+PB2＝PQ2；（3）如图3，连接CM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PCN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝P A＝2，CN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点C的坐标为（5，0），∴OA＝2，OC＝5，∴AC＝3，∴线段AM长的最大值＝线段CN长的最大值，∴当N在线段CA的延长线时，线段CN取得最大值，最大值＝AC+AN，∵AN＝AP＝2，∴最大值为2+3；如图4，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，∴OE＝CO﹣AC﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，∴P（2﹣，）．4、（2018秋•鞍山期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C为顶点作等腰直角三角形CMN．使∠CMN＝90°，连接BN，射线NM交BC于点D．（1）如图1，若点A，M，N在一条直线上，①求证：BN+CM＝AM；②若AM＝4，BN＝，求BD的长；（2）如图2，若AB＝4，CN＝2，将△CMN绕点C顺时针旋转一周，在旋转过程中射线NM交AB于点H，当三角形DBH是直角三角形时，请你直接写出CD的长．证明：（1）①如图，过点C作CF⊥CN，交AN于点F，∵△CMN是等腰直角三角形，∴∠CNM＝45°，CM＝MN，∵CF⊥CN，∠ACB＝90°，∴∠FCN＝∠ACB，∠CFN＝∠CNF＝45°，∴∠ACF＝∠BCN，CF＝CN，且AC＝BC，∴△ACF≌△BCN（SAS），∴AF＝BN，∵CF＝CN，CM⊥MN，∴MF＝MN＝CM，∴AM＝AF+FM＝BN+CM②∵AM＝4，BN＝，BN+CM＝AM，∴CM＝MN＝，∵△ACF≌△BCN，∴∠CAF＝∠CBN，∵∠CAF+∠ACF＝∠CFN＝45°，∠BCN+∠MCD＝∠MCN＝45°∴∠CAF＝∠MCD，且∠CAF＝∠CBN，∴∠MCD＝∠CBN∴CM∥BN∴△MCD∽△NBD，∠CMD＝∠BND＝90°∴＝∴MD＝ND∵MD+ND＝MN＝∴ND＝在Rt△DNB中，BD＝＝（2）若∠BDH＝90°，如图，此时点M与点D重合，∵△CMN是等腰直角三角形，CN＝2∴CM＝MN＝∴CD＝，若∠BHD＝90°，如图，∵∠BHD＝90°，∠B＝45°，∴∠BDH＝45°∴∠CDN＝45°＝∠N∴CD＝CN＝2．5、探究学习：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AE、BD．（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AE与BD的数量关系是AE＝BD，位置关系是AE ⊥BD．（2）如图2，当点C在直线AB外，等腰直角三角形ECB绕点C逆时针旋转至图2位置，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，在（1）基础上等腰直角三角形BCE绕顶点C逆时针旋转到图3位置，取等腰直角三角形ACD的斜边AD的中点M，连接CM交BE于点G，试探究BG、GH、HE的数量关系，并写出证明思路．解：（1）如图1，延长AE交BD于F，根据等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，可得AC＝DC，∠ACE＝∠DCB，EC＝BC，易得△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，∠CAE＝∠CDB，又∵∠ACE＝90°，∠AEC＝∠DEF，∴∠DFE＝90°，∴AF⊥DB，即AE⊥DB，故线段AE与BD的数量关系是AE＝BD，位置关系是AE⊥BD．故答案为：AE＝BD，AE⊥BD．（2）结论AE＝BD，AE⊥BD仍然成立．证明：∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，∴AC＝CD，CE＝CB，又∵∠ACE+∠ECD＝90°，∠BCD+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠EAC＝∠BDC，如图2，延长AE交BD于点F，∵∠ACD＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，又∵∠ADF+∠DAF+∠DF A＝180°，∴∠ADC+∠BDC+∠DAF+∠DF A＝180°，∴∠ADC+∠EAC+∠DAF+∠DF A＝180°，∴∠ADC+∠DAC+∠DF A＝180°，∴90°+∠DF A＝180°，∴∠DF A＝90°，∴AE⊥BD；（3）BG、GH、HE的数量关系是BG2+HE2＝GH2．证明：如图3，过点C作CF⊥CG，且CF＝CG，连接HF、EF．∵CF⊥CG，CE⊥CB，∴∠BCG＝∠ECF，在△BCG和△ECF中，，∴△BCG≌△ECF（SAS），∴BG＝EF，∠CBG＝∠CEF＝45°，∴∠HEF＝∠HEC+∠CEF＝90°，又∵△ACE≌△DCB，∴∠ACE＝∠DCB，∴∠FCH＝∠ACE+∠ECF＝∠DCB+∠BCG＝45°，∴∠GCH＝∠FCH，在△GCH和△FCH中，，∴△GCH≌△FCH（SAS），∴GH＝FH，∵在Rt△HEF中，EF2+HE2＝FH2，∴BG2+HE2＝GH2．6、（2018春•市南区期末）如图①，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF，连接CF．（1）若AB＝AC，∠BAC＝90°①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探究CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图②中画出相应图形并直接写出你的猜想．（2）如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA＝45°，点D在线段BC上运动，试探究CF与BC 的位置关系，并说明理由．解：（1）①CF＝BD，CF⊥BD，理由如下：∵∠BAC＝90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠CAF＝∠BAD，在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠FCB＝90°，∴CF⊥BD；②成立，理由如下：如图2：∵∠CAB＝∠DAF＝90°，∴∠CAB+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠CAF＝∠BAD，在△ACF和△ABD中，，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BD；（3）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝AE，∠AED＝45°，∵∠CAF+∠CAD＝90°，∠EAD+∠CAD＝90°，∴∠CAF＝∠EAD，在△ACF和△AED中，，∴△ACF≌△AED（SAS），∴∠ACF＝∠AED＝45°，∴∠BCF＝∠ACF+∠BCA＝45°+45°＝90°，∴CF⊥BD．7、实践操作7、在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．初步思考（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．①当点P与点A重合时，∠DEF＝90°；当点E与点A重合时，∠DEF＝45°；②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP＝7时的菱形EPFD的边长．深入探究（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值．拓展延伸（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等？若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．解：（1）①当点P与点A重合时，如图1，∴EF是AD的中垂线，∴∠DEF＝90°，当点E与点A重合时，如图2，此时∠DEF＝∠DAB＝45°，故答案为：90°，45°；②当点E在AB上，点F在DC上时，如图3，∵EF是PD的中垂线，∴DO＝PO，EF⊥PD，∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠FDO＝∠EPO，∵∠DOF＝∠EOP，∴△DOF≌△POE（ASA），∴DF＝PE，∵DF∥PE，∴四边形DEPF是平行四边形，∵EF⊥PD，∴▱DEPF为菱形，当AP＝7时，设菱形的边长为x，则AE＝7﹣x，DE＝x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，∴62+（7﹣x）2＝x2，x＝，∴当AP＝7时，设菱形的边长为；（2）若点P落在矩形ABCD的内部，且点E、F分别在AD、DC边上，如图4，设DF＝PF＝x，则AF＝，当A，P，F在一直线上时，AP最小，最小值为，所以当x最大取8时，AP最小值为2；（3）情况一：如图5，连接EM，∵DE＝EP＝AM，∴△EAM≌△MPE，设AE＝x，则AM＝DE＝6﹣x，则BM＝x+2，∵MP＝EA＝x，CP＝CD＝8，∴MC＝8﹣x，∴（x+2）2+62＝（8﹣x）2，解得：x＝；情况二，如图6，∵DE＝EP＝AM，∴△GAM≌△GPE，设AE＝x，则DE＝6﹣x，则AM＝PE＝DE＝6﹣x，MP＝AE＝x，则MC＝MP+PC＝x+8，BC＝6，BM＝14﹣x，∴（14﹣x）2+62＝（x+8）2，解得：x＝．8、（2019•虞城县一模）特殊：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD、BE．填空：①线段BD、BE的数量关系为BD＝BE．②线段BC、DE的位置关系为BC⊥DE．一般：（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝a，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC 外部射线CM上一点以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE、BD、BE，请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图3，在等边三角形ABC中，作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD、AE．若AB＝4，当△ADM与△AFD全等时，请直接写出DE的值．解：（1）如图1中，∵CM平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ACM＝∠BCM＝45°，∵∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠BCE＝45°，∵BC＝BC，CD＝CE，∴△BCD≌△BCE（SAS），∴BE＝BE，∵CD＝CE，∴BC垂直平分线段DE，故答案为BD＝BE，BC⊥DE．（2）结论仍然成立．理由：如图2中，∵CM平分∠ACB，∠ACB＝α，∴∠ACM＝∠BCM＝α，∵∠DCE＝α，∴∠BCD＝∠BCE＝α，∵BC＝BC，CD＝CE，∴△BCD≌△BCE（SAS），∴BD＝BE，∵CD＝CE，∴BC垂直平分线段DE．（3）①如图3﹣1中，当点D在线段BM上时，由题意：AF＝AM＝CM＝BF＝2在Rt△BEF中，∵∠BFE＝90°，EF＝BF•tan30°＝，∴DE＝2EF＝．②如图3﹣2中，当点D在线段BM的延长线上时，同法可得DE＝2EF＝4③如图3﹣3中，当点D在线段BM的延长线上，△ADM≌△AFD时，可得DE＝4，综上所述，满足条件的DE的值为或4或4．。
2020重庆中考复习数学第26题专题训练五(含答案解析)
2020重庆中考复习数学第26题专题训练五1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．2020重庆中考复习数学第26题专题训练五参考答案1、（2019秋•天桥区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、（2019秋•淮安期末）[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、（2019春•碑林区校级月考）【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A 为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、（2018春•铁西区期中）（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、（2019秋•武冈市期中）【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、（2018秋•东海县期末）模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、（2019秋•松北区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、（2017春•合肥期末）已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、（2017春•南岗区校级月考）如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．。
2021重庆中考26题专题讲义教师版
针对性演练1、（2019重庆A卷）2、（2019重庆B卷）3、（2019一中二模）26、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线6332612++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。
（1）点P 为线段BC 上方抛物线上（不与B 、C 重合）的一动点，连接OP 交BC 于点D ，当ODPD 取得最大值时，将P 点沿着射线CB 方向平移6个单位长度，设点P 平移后的对应点记为'P ，在线段BC 上取一点E ，当CE E P 3'32+值最小时，求此时E 点的坐标；（2）如图2，抛物线对称轴与x 轴交于点K ，与线段BC 交于点M ，在对称轴上取一点R ，使得KR =12（点R 在第一象限），连接BR 。
已知点N 为线段BR 上一动点，连接MN ，将△BMN 沿MN 翻折到△MN B '。
若'B 罗在直线BR 的右侧或直线BR 上，当△MN B '与△BMR 重叠部分（如图中的△MNQ ）为直角三角形时，将此Rt △MNQ 绕点Q 顺时针旋转α（︒<≤︒1800α）得到Rt △Q N M ''，直线''N M 分别与直线BR 、直线BM 交于点G 、H 。
当△BGH 是以∠GBH 为底角的等腰三角形时，请直接写出BG 的长。
4、（2019南开阶段测试（四））5、（2019育才一诊）6、（2019八中初三下入学）7、（2019万唯白卷）8、（2019万唯黑卷）9、（2019南开（融侨）九下阶段二）26．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+x+9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）如图1，点P为线段BC上方抛物线上的任意一点，当四边形PCAB面积最大时，连接OP并延长至点Q，使PQ＝OP，在对称轴上有一动点E，将△ACE沿边CE翻折得到△A′CE，取BA′的中点N，求BQ+QN的最大值；（2）如图2，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为A1，C1，且点A1落在线段AC上，再将△A1OC1沿y轴平移得△A2O1C2，其中直线O1C2与x轴交于点K，点T是抛物线对称轴上的动点，连接KT，O1T，△O1KT能否成为以O1K为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点T的坐标；若不能，请说明理由．26．【分析】（1）先判断出四边形ACPB面积最大时，△BPC的面积最大，进而求出点P 的坐标，再求出QB的值，由折叠得出点A'是以点C为圆心，AC为半径的圆上，利用三角形的中位线构造出图形，判断出点A'，C，F在同一条直线上时，A'F最大得出QN最大，即可得出结论；（2）根据题意画出图形，分两种情况，建立方程即可得出结论．【解答】解：（1）针对于抛物线y＝﹣x2+x+9，令x＝0，则y＝9，∴C（0，9），令y＝0，∴0＝﹣x2+x+9，∴x＝﹣3，或x＝9，∴A（﹣3，0），B（9，0），∵S四边形ABPC ＝S△ABC+S△BPC＝×（9+3）×9+S△BPC ＝45+S△BPC，要四边形ABPC的面积最大，只要△BPC的面积最大，∵B（9，0），C（0，9）∴直线BC的解析式为y＝﹣x+9，如图1，过点P作PD'∥y轴交BC于D'，设点P（m，﹣m2+m+9）（0＜m＜9），∴D（m，﹣m+9），∴PD'＝﹣m2+m+9﹣（﹣m+9）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，＝[﹣（m﹣）2+]×9＝﹣（m﹣）2+∴S△BPC∴当m＝时，△BPC的面积最大，即：四边形ABPC的面积最大，∴P（，），∵点Q在OP的延长线上，且PQ＝OP，∴Q（9，），∵B（9，0）∴BQ⊥x轴，BQ＝，如图2，延长BQ至F，使QF＝BQ，连接A'F，∴BF＝45，∴F（9，45），∵点N是A'B的中点，∴QN是△A'BF的中位线，∴A'F＝2QN，∵BQ+QN＝9+QN，最大，∴QN最大，即：A'F最大，由折叠知，点A'在以点C为圆心，AC＝6为半径的圆上，∴FA'过点C时，A'F最大，∵C（0，9），F（9，45），∴直线CF的解析式为y＝x+9，令y＝0，∴x＝﹣＞3，∴点A'在x轴下方，如图3，过点C作CD⊥BF于D，在Rt△CDF中，CF＝＝9，∴A'F＝CF+A'C＝9+6，最大＝，∴QN最大∴（QN+QB）＝+＝；最大（2）在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝9，∴∠OAC＝60°，由旋转知，OA＝OA1，∴△AOA1是等边三角形，∠A1OA＝60°＝∠OA1C1，∴A1C1∥x轴，∴∠OC1A1＝30°，C1（9，3）∴直线OC1的解析式为y＝x，∵OC1∥O1C2，∴设直线O1C2的解析式为y＝x+b，∴O1（0，b），K（﹣b，0），∴OO1＝|b|，OK＝|b|，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+9，∴此抛物线的对称轴为x＝3，①当∠O1KT＝90°时，b＜0，OO1＝﹣b，OK＝﹣b，如图4，易证，△O1OK≌△KHT（AAS），∴OO1＝KT，OK＝HT，∴|b|+|b|＝3，∴b＝．∴T（3，）；②当∠KO1T＝90°时，当b＞0时，如图5，OO1＝b，OK＝b，易证，△O1OK≌△O1HT（AAS），∴OO1＝HT，OK＝O1H，∴b＝3，∴OH＝O1H﹣OO1＝OK﹣OO1＝9﹣3，∴T（3，9﹣3）；当∠KO1T＝90°时，当b＜0时，如图6，OO1＝﹣b，OK＝﹣b，易证，△O1OK≌△O1HT（AAS），∴OO1＝HT，OK＝O1H，∴b＝﹣3，∴OH＝O1H+OO1＝OK+OO1＝9+3，∴T（3，﹣9﹣3）；即：（3，）或（3，9﹣3）或（3，﹣9﹣3）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，极值的确定，三角形中位线的性质，折叠的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．10、（2019巴蜀初三上期末）26.解：（1）令06332612=++-x x ， 解得32,36-==B A x x ，所以)6,0()0,36(C A ，，………………………（1分） 设直线AC 解析式为b kx y +=，⎩⎨⎧==+6036b b k ，所以直线AC 解析式为：633+-=x y .…………………………（2分） （2）如图，过P 作x PH ⊥轴交AC 于点H,PH x x PH S C A PCA 33)(21=-⋅=∆ ， ∴当PH 取最大值时，PCA S ∆最大， 设)633,(),633261,(2+-++-m m H m m m P ， )360(3612<<+-=m m m PH ， ∴当33=m 时，PH 取最大值， 此时），（21533P ，………………………………………………………………………（4分） 由题意可得直线l 为：237=x ，)215,237(1P ∴， 设直线l 与x 轴垂直的垂足为Q ，连接A P 1，AQ P 1∆∴是直角三角形，且35,215,23511===A P Q P QA ， 111tan 360PQ P AQ P AQ QA∴∠==∴∠=， ， 作1P 关于直线AC 的对称点'1P ，连接'11P P ，与直线AC 、A’C’分别交于S 、T 点，A P P '11∆∴是等边三角形，111'53'(3,0)P A PA P ∴==∴， ， ,'2,''30,3MN AC CC C A A MN ⊥=∠=∴……………………………………（6分）将'1P 沿MN 方向平移3个单位得到)23,233(''1P ，将直线A’C’绕点A’顺时针旋转 45得到直线1l ，过点''1P 作11''l G P ⊥于点G ，与A’C’的交点即为N 点，易知GN A TN P ',''1∆∆都为等腰直角三角形，111min ''''''(')P N T A N A T TN GN PM MN ∴===-=∴=∴+=+……………………………………………………………………………（8分）（3）),6221,2311(),6221,2311(),233,23(),221,2313(4321+-S S S S …………………………………………………………………………（12分）11、（2019全真预测一）12、（2019全真预测二）13、（2019全真预测三）14、（2019全真预测四）15、（2019南开初三下半期）16、（2019八中一模）（1）设294P m m ⎛-- ⎝5,4Q m m ⎛- ⎝∴()29222PQMN C QP NP m ⎛=+=+ ⎝矩形∵0<，开口向下，∴m =当 (P - ∵最少时间12t RK KT TB =++， ∵R -，作R 关于y 轴对称'R ⎛- ⎝ 过'R 点作直线:4l y =的垂线交于H 点'H R 即为所求. ''''t R K K T TH =++ ∴过''R 作''R H l ⊥∴min 9'2t R H ==（2）综上()()((21310,6;0,12;0,3;0,3E E E E +-17、（2018重庆A 卷）26. 如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线=y x 4x -2+上,且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为)11(，（1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当PBE △的面积最大时，求FO 21HF PH ++的最小值；（3）在（2）中，FO 21HF PH ++取得最小值时，将CFH △绕点C 顺时针旋转︒60后得到''H CF △,过点'F 作'CF 的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使得点S R Q D ,,,为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由。
重庆中考26题专题训练
1. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为65，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2. 已知：如图，抛物线)0(22≠+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。
（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ 。
当△CQE 的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0）。
问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
Y XE C A D Q B O 28题图3.如图28-1所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成11AC D ∆和22BC D ∆两个三角形（如图28-2所示）.将纸片11AC D ∆沿直线2D B （AB ）方向平移（点12,,,A D D B 始终在同一直线上），当点1D 于点B 重合时，停止平移.在平移过程中，11C D 与2BC 交于点E,1AC 与222C D BC 、分别交于点F 、P.(1) 当11AC D ∆平移到如图28-3所示的位置时，猜想图中的1D E 与2D F 的数量关系，并证明你的猜想； (2) 设平移距离21D D 为x ，11AC D ∆与22BC D ∆重叠部分面积为y ，请写出y 与x 的函数关系式，以及自变量的取值范围；(3) 对于（2）中的结论是否存在这样的x 的值；若不存在，请说明理由.CB D A 28-1图P E F A D 1B C 1D 2C 228-3图 C 2D 2C 1B D 1A 28-2图4.如图1，在平面直角坐标系中有一个Rt △OAC ，点A （6，8），点C （6，0），将其沿直线AC 翻折，翻折后图形为△BAC ．动点P 从点O 出发，沿折线O →A →B 的方向以每秒2个单位的速度向B 运动，同时动点Q 从点B 出发，在线段BO 上以每秒1个单位的速度向点O 运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．（1）设△OPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）如图2，固定△OAC ，将△ACB 绕点C 逆时针旋转，旋转后得到的三角形为△''CB A ，设''B A 与AC 交于点D ，当∠'BCB =∠CAB 时，求线段CD 的长；（3）如图3，在△ACB 绕点C 逆时针旋转的过程中，若设C A '所在直线与OA 所在直线的交点为E ，是否存在点E 使△ACE 为等腰三角形，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由.图1 图2 图3备用图42251015BEB'A'OCAxyx642251015DB'A'OCBAyxy42251015OCBAx422451015Q POCBAy5.如图1，抛物线24y x x c =-+交x 轴于点A 和(1,0),B -交y 轴于点C ，且抛物线的对称轴交x 轴于点D ． (1)求这个抛物线的解析式；(2)若点E 在抛物线上，且位于第四象限，当四边形ADCE 面积最大时，求点E 的坐标；(3)如图2，在抛物线上是否存在这样的点P ，使PAB ∆中的内角．．中有一边与x 轴所夹锐角．．的正切值为12？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.6. 如图1，矩形OABC 的顶点O 为原点，点E 在AB 上，把CBE ∆沿CE 折叠，使点B 落在OA 边上的点D 处，点A D 、坐标分别为(10,0)和(6,0)，抛物线215y x bx c =++过点C B 、. (1)求C B 、两点的坐标及该抛物线的解析式；(2)如图2，长、宽一定的矩形PQRS 的宽1PQ =，点P 沿(1)中的抛物线滑动，在滑动过程中x PQ //轴，且RS 在PQ 的下方，当P 点横坐标为-1时，点S 距离x 轴511个单位，当矩形PQRS 在滑动过程中被x 轴分成上下．．两部分的面积比为2:3时，求点P 的坐标；(3)如图3，动点M N 、同时从点O 出发，点M 以每秒3个单位长度的速度沿折线ODC 按C D O →→的路线运动，点N 以每秒8个单位长度的速度沿折线OCD 按D C O →→的路线运动，当M N 、两点相遇时，它们都停止运动．设M N 、同时从点O 出发t 秒时，OMN ∆的面积为S ．①求出S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围：②设0S 是①中函数S 的最大值，那么0S = .。
2018重庆中考数学第26题专题训练
2018年重庆市中考数学26题专题训练1.抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．2.如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC。
（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标。
3．如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（－3，0）。
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式。
（2）已知，C为抛物线与y轴的交点。
若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。
4.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN 的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．5.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与轴的交点为D。
2021重庆中考26题专题复习及答案2
重庆中考26题专题复习1、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．2、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．3、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．。
2021重庆中考26题专题复习及答案5
重庆中考数学26题专题复习1、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC 于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；①如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF2、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．3、一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．。
2018年重庆中考数学第26题专题训练
（2）点P为直线x=1右方抛物线上的 一点（点P不与点B重合），记A、B、C、P四点所构成的四边形面积为 ，若 ，求点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上的动点，将△DEQ沿边EQ翻折得到△ ，是否存在点Q使得△ 与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形，若存在，请求出BQ的长，若不存在，请说明理由．
8.如图1，已知抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，点 是点 关于抛物线对称轴的对称点，连接 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 交 的延长线于点 .
（1）求线段 的长度；
（2）如图2，试在线段 上找一点 ，在线段 上找一点P，且点 为直线 上方抛物线上的一点，求当 的周长最小时， 面积的最大值是多少；
设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。
4.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
1.如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求Aபைடு நூலகம்B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）如图2，以AC为对角线作正方形AMCN，将正方形AMCN在平面内平移得正方形A′M′C′N′．当正方形A′M′C′N′有顶点在△ABC的边AC上（不含端点）时，正方形A′M′C′N′与△ABC重叠部分得到的多边形能否为轴对称图形，如果能，求出此时重叠部分面积S的值，或重叠部分面积S的取值范围；如果不能，请说明理由．
2021年重庆市中考二轮复习数学第26题几何证明专练专题(三)
2021年重庆市中考二轮复习数学第26题几何证明专练专题（三）1.已知在平行四边形ABCD 中,过点D 作DE ⊥BC 于点E,且AD=DE,连接AC 交DE 于点F,作DG⊥AC 于点G(1)如图1,若DF EF =21,AF=13,求DG 的长 (2)如图2,作EM⊥AC 于点M,连接DM,求证:AM-EM=2DG,2.如图,∆ABC 是等边三角形,AC 上有点,分别以BD 为边作等边∆BDE 和等 腰∆BDF,边BC 、DE 交于点H,点F 在BA 延长线上且DB=DF,连接CE,求 证(1) ∆ABD=∆CBE:(2)BC= AF+CE.3.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,M为对角线BD延长线上一点,连接AM 和CM,E为CM上一点,且满足CB=CE,连接BE,交CD于点F.(1)若∠AMB=30°,且DM=3,求BE的长:(2)证明:AM=CF+DM.4.如图,在矩形ABCD中,点E为AD上一点,连接BE、CE,∠ABE=45°(1)如图1,若BE=32,BC=4,求EC的长.(2)如图2,点P是EC的中点,连接BP并延长交CD于F,H为AD上一点,接HF,且∠DHF=∠CBF,求证:BP=PF+FH.5.(1)如图1,四边形EFGH中,FE=EH,∠EF G+∠EHG=180°,点A,B分1∠FEH,别在边FG,GH上,且∠AEB=2(1)求证:AB=AF+BH(2)如图2,四边形EFGH中,FE=EH,点M在边E上连接FM,EN平分∠FEH交FM于点N,∠ENM=a,∠FGH=180°-2a,连接GN,HN①找出图中与NH相等的线段,并加以证明;②求∠NGH的度数(用含a的式子表示).6.如图,在平行四边形ABCD中,点E在对角线BD上,AB=AE,AF⊥BD于点F, ∠ADB=45°(1)若BC=122,AB=13,求BF的长(2)延长AF交BC于点G,延长AD到点H.使得DH=BG,连接EH,求证:AE=EH.7.如图,在菱形ABCD中,∠B=120o,E、F分别是边BC、CD上的点,且满足CE=CF.连接EF.(1)若CE=1,AB=3,求AF的长;(2)取AF的中点G,连接EG、DG,求证:EG⊥DG.8.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相较于点O,以AD为边向外作等边∆MDE,连接CE,交BD于F(1)如图1,若AE=6,求DF的长;(2)如图2,点M为AB的延长线上一点,连接CM,连接FM且FM平分∠AMC.求证:CM=3MF-AM.9.如图,在平行四边形ABCD中,∠B=45°,过点C作CE⊥AD于点,连结AC,过点D作DF⊥AC于点F,交CE于点G,连结EF.(1)若DG=8,求对角线AC的长.(2)求证:AF+FG=2EF.10.如图, 平行四边形ABCD中,DF平分∠ADC交AC于点H,G为DH的中点(1)如图①,若M为AD的中点,AB⊥AC，AC=9,CF=8,CG=25,求GM.(2)如图②,M为线段AB上一点,连接MF,满足∠MCD=∠BCG,∠MFB=∠BAC,求证:MC=2CG.11.如图,平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点M为BC上一点,连接AM,且AB=AM,点E为BM中点,AF⊥AB,连接EF,延长FO交AB于点N.(1)若BM=4,MC=3,AC=38,求AM的长度;(2)若∠ACB=∠AFE=45°,求证AN+AF=2 EF.12.平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连接DE交对角线AC于点F，点G为DE一点，AH⊥DE于H，BC＝2AG且∠ACE＝∠GAC，点M为AD的中点，连接MF；若∠DFC＝75°．（1）求∠MFD的度数；（2）求证：GF+GH＝AH．13.在平行四边形ABCD中，AD=BD，E为AB的中点，F为CD上一点，连接EF交BD于G．（1）如图1，若DF=DG=2，AB=8，求EF的长；（2）如图2，∠ADB=90°，点P为平行四边形ABCD外部一点，且AP=AD，连接BP、DP、EP，DP交EF于点Q，若BP⊥DP，EF⊥EP，求证：DQ=PQ．14.如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AC=BC.(1)如图1,过点B作BE⊥AC于点E,若AC=8,BE=5时,求OE的长度;(2)如图2,若∠BDC=45°,过点C作CF⊥CD交BD于点F,过点B作BG⊥BC且BG=BC,连接AG、DG,求证:AG=2OF.15.如图1,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,连接CE,(1)若BE=42,CE=17,求AD的长;(2)如图2,点F是BC上一点,且EF=EC.过点C作CG⊥EF于点G,交BE于点H,求证:BH=2DEBH的值,(3)如图3,在(2)的条件下,连接DG,当BE=BC时,请直接写出DG。
[精品]重庆中考数学26题专训45.docx
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如图1,在长为44,宽为12的矩形PQRS中，将一张直角三角形纸片和一张正方形纸片QEFG如图放置，其中边力8、DE !6.在户。
上，边砂在上，边BC、DG在同一直线上，且Rt/\ABC两直角边BC=6, AB=3,正方形班FG的边长为4.从初始时刻开始，三角形纸片ABC.沿4P方向以每秒1个单位长度的速度向左平移：同时正方形纸片D时‘G,沿0?方向以每秒2个单位长度的速度向上平移，当边G尸落在S&上时，纸片立即沿RS方向以原速度向左平移，直至G点与S点集合时，两张纸片同时停止移动.设平移时间为x秒.(1)请填空：当尸2 时，CD= ▲, DO= A ,此时CD + DO A CO (请填"v”、"=”、">”)；(2)如图2,当缗片p野Q沿娜方向平移甘，连接CQ、和C0 求平移过程中△C£>Q的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围(这里规定线段的面积为零)；(3)如图3,当纸片DEFG沿战方向平移时，是否存在这样的时刻x,使以4、C、Z)为顶点的三角形图2AB Q图32.将•张矩形纸片沿对角线剪开（如图1）,得到两张三角形纸片AABC、NDEF（如图2）,量得他们的斜边长为6cm,较小锐角为30。
，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，旦点A、C、E、F在同一条直线上，点C与点E重合.NABC保持不动，OB为NABC的中线.现对KDEF纸片进行如卜操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.（1）将图3中的沿C4向右平移，直到两个三角形完全重合为止.设平移距离CE 为x （即CE的长），求平移过程中，ADEF与^BOC重叠部分的面积S与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；（2）平移到E与。
重合时（如图4）,将绕点。
顺时针旋转，旋转过程中AQEF的斜边EF交AABC的BC边于G,求点C、。
、G构成等腰二角形时，AOCG的面积；（3）在（2）的旋转过程中，的边EF、DE分别交线段BC于点G、"（不与端点重合）.求旋转角ZCOG为多少度时，线段BH、GH、CG之间满足GH- +BH- =CG2,3.如图，已知：△ABC为边长是4占的等边三角形，四边形DEFG为边长是6的正方形.现将等边AABC和正方形DEFG按如图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C (E)、F在同一条直线上，AABC从图1的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿EF方向向右匀速运动，当点C与点F重合时暂停运动，设AABC的运动时间为t秒(1)在整个运动过程中，设等边AABC和正方形DEFG重叠部分的面积为S,请直接写出S与f之间的函数关系式；(2)如图2,当点A与点O重合时，作/ABE的角平分线交AE于M点，将绕点A逆时针旋转，使边AB与边AC重合，得到△ACN.在线段AG上是否存在H点，使得为等腰三角形.如果存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由.(3)如图3,若四边形DEFG为边长为4也的正方形，△ABC的移动速度为每秒占个单位长度，其余条件保持不变.△ABC开始移动的同时，。
2021年重庆中考几何第26题专题训练一(含答案解析)
中考几何题专题训练一答案解析\1 、已知：在△ ABC 中，BC＝2AC ，∠ DBC ＝∠ACB，BD ＝BC，CD 交线段AB 于点E．（1）如图1，当∠ACB＝90°时，则线段DE 、CE 之间的数量关系为；（2）如图2，当∠ACB＝120°时，求证：DE＝3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点 F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于G，△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称（点 B 的对称点是点K，延长DK 交AB 于点H ．若BH ＝10，求CE 的长．2、（2016 春?重庆校级期中）在△ABC 中，AB＝AC，D 为射线BC 上一点，DB ＝DA，E 为射线AD 上一点，且AE＝CD ，连接BE．（1）如图1，若∠ADB ＝120°，AC＝2 ，求DE 的长；（2）如图2，若BE＝2CD ，连接CE 并延长交AB 于点F，求证：CF ＝3EF；（3）如图3，若BE⊥AD ，垂足为点E，猜想AE，BE，BD 之间的数量关系，直接写出关系式．3、（2019 秋?江岸区校级月考）在菱形ABCD 中，∠ABC＝60°（1）如图1，P 是边BD 延长线上一点，以AP 为边向右作等边△APE，连接BE、CE．①求证：CE⊥AD；② 若AB ＝，BE＝，求AE 的长；（2）如图2，P 是边CD 上一点，点 D 关于AP 的对称点为E，连接BE 并延长交AP 的延长线于点 F ，连接DE 、DF ．若BE＝11，DE ＝5，求△ADF 的面积．4、（2016 秋?南岗区校级月考）已知：如图，在等边△ABC 中，点 D 是AC 上任意一点，点 E 在BC 延长线上，连接DB ，使得BD ＝DE ．（1）如图1，求证：AD＝CE；（2）如图2，取BD 的中点 F ，连接AE、AF ．求证：∠ CAE ＝∠BAF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点F 作AE 的垂线，垂足为H，若AH ＝．求EH 的长．5、已知，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，点D 在边BC 上，连接AD，作DE⊥AD ，且DE＝AD ，连接BE、AE，DE 与AB 交于点H，（1）如图 1 所示，求证：∠C＝∠ABE；（2）如图2，把射线AD 沿AB 折叠，分别交BE、DE 的延长线于点F、点G．若∠AEB＝75°，求证：HG ＝2DH ；（3）在（2）的条件下，若BE＝3，求DH 的长？6、如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D 是△ABC 内部一点，连接AD，BD 和CD ．（1）如图1，若∠ BDC＝90°，BD＝1，CD ＝2，求AC 的长．（2）如图2，若CD 平分∠ACB，∠BDC ＝90°，过点 B 作BE∥AC 交AD 的延长线于点E，求证：AD ＝DE ．（3）如图3，若CD ＝CB，∠BCD ＝30°，取线段AC 的中点 F ，连接DF ，求证：∠AFD ＝45°7、（2013?洪山区模拟）如图1，直角梯形ABCD 中，BC＝CD ，AB ∥CD ，∠ABC＝90°，点P 为边AD上一点，BC＝PB．（1）求证：∠ CBP＝2∠DCP ；（2）如图2，若∠ABP 的平分线交CP 的延长线于点E，连接DE ，求证：BE+DE＝CE；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，请直接写出线段CE 的长度．8、（2016 秋?松北区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝60°，点 D 在射线BC 上，AB＝AD ．（1）如图1，求证：BC+CD ＝AC；（ 3）如图 3，在（ 2）的条件下， FG ⊥ BE 于点 G ， FG ＝ 4，EF ＝ ，求△ （ 2）如图 2，取 AB 的中点 F ，延长 CA 至点 E ，连接 BE 、DE 、EF ，使得∠ ABE ＝∠ CAD ，EF ＝AE ， 求证：∠ BEF ＝ 2∠ABD ；AED 的面积．9、（ 2016?九龙坡区校级一模）已知， Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，∠ CAB ＝ 30°，分别以 AB 、 AC 为边，向Rt△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE（1）如图1，连接BE、CD ，若BC＝2，求BE 的长；（2）如图2，连接DE 交AB 于点F ，作BH⊥AD 于H，连接FH ．求证：BH ＝2FH ；（3）如图3，取AB、CD 得中点M 、N，连接M 、N，试探求MN 和AE 的数量关系，并直接写出结论．10、重庆八中初2020 级九上期末11、重庆实验外国语学校初2020 级九上期末12、重庆双福育才中学初2020 级九上期末2020 年中考几何题专题训练一答案解析\1 、已知：在△ ABC 中，BC＝2AC ，∠ DBC ＝∠ACB，BD ＝BC，CD 交线段AB 于点E．（1）如图1，当∠ACB＝90°时，则线段DE 、CE 之间的数量关系为DE＝2CE ；（2）如图2，当∠ACB＝120°时，求证：DE＝3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点 F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于G，△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称（点 B 的对称点是点K，延长DK 交AB 于点H ．若BH ＝10，求CE 的长．（1）解：∵∠ DBC ＝∠ACB ＝90°，∴∠DBC +∠ACB ＝180°，∴AC ∥BD ，∴∠DBE ＝∠CAE又∵∠ DEB ＝∠AEC ，∴△DBE ∽△CAE ，∴＝，又∵ BD ＝BC ＝2AC ，∴DE ＝2CE；故答案为：DE ＝2CE ．（2）证明：如图2，∵∠DBC ＝∠ACB ＝120°，BD ＝BC，∴∠D＝∠BCD ＝30°，∴∠ ACD ＝90°，过点 B 作BM ⊥DC 于M ，则DM ＝MC ，BM ＝BC ，∵AC ＝BC ，∴BM ＝AC，∵在△ BME 和△ ACE 中∴△BME ≌△ACE （AAS），∴ME ＝CE ＝CM ，∴DE ＝3EC；（3）解：如图，过点 B 作BM ′⊥DC 于点M ′，过点 F 作FN ⊥DB 交DB 的延长线于点N，设BF ＝a，∵∠DBF ＝120°，∴∠FBN ＝60°，∴FN ＝a，BN ＝a，∵DB ＝BC ＝2BF ＝2a，∴DN ＝DB +BN ＝a，∴DF ＝＝＝a，∵AC ＝BC ，BF ＝BC，∴BF ＝AC ，∴△BDF ≌△BCA （SAS），∴∠ BDF ＝∠ CBA ，又∵∠ BFG ＝∠DFB ，∴△FBG ∽△FDB ，∴＝＝，∴BF 2＝FG ×FD ，∴a2＝a×FG ，∴FG ＝a，∴DG ＝DF ﹣FG ＝a，BG＝＝a，∵△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称，∴∠ GDH ＝∠BDF ，∴∠ ABC ＝∠ GDH ，又∵∠ BGF ＝∠DGH ，∴△BGF ∽△DGH ，∴＝，∴GH ＝＝a，∵B H ＝BG +GH ＝a＝10，∴a＝2 ；∴BC ＝2a＝4 ，CM ′＝BC cos30°＝2 ，∴DC ＝2CM ′＝4 ，∵DE ＝3EC，∴EC ＝DC ＝．2、（2016 春?重庆校级期中）在△ABC 中，AB＝AC，D 为射线BC 上一点，DB ＝DA，E 为射线AD 上一点，且AE＝CD ，连接BE．（1）如图1，若∠ADB ＝120°，AC＝2 ，求DE 的长；（2）如图2，若BE＝2CD ，连接CE 并延长交AB 于点F，求证：CF ＝3EF；（3）如图3，若BE⊥AD ，垂足为点E，猜想AE，BE，BD 之间的数量关系，直接写出关系式．（1）解：∵DA ＝DB ，∠ADB ＝120°，∴∠ABC ＝∠BAD ＝30°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C＝30°，∴∠CAD ＝90°，在RtACD 中，tan30 °＝，∴A D ＝2 ×＝2，AE ＝CD ＝2AD ＝4 ∴DE ＝AE ﹣AD ＝CD ﹣AD ＝4﹣2＝2；（2）证明：如图，过 A 作AG∥B C ，∵DB ＝DA ，AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠ABC ，∠ ABC ＝∠ACB ，∴∠BAD ＝∠ACB ，∵AE ＝CD ，在△ ABE 和△ CAD 中∴△ABE ≌△CAD （SAS），∴BE ＝AD ，∵BE ＝2CD，∴AD ＝2CD ＝2AE ，∴AE ＝DE ，∵AG ∥BC ，∴∠ G＝∠DCE ，∠ GAE ＝∠CDE ，在△ AGE 和△ DCE 中∴△AGE ≌△DCE （AAS ），∴GE ＝CE ，AG＝CD ＝AE ，∴△ AGE 为等腰三角形，∴∠GAF ＝∠ABC ＝∠ BAD ，∴F 为GE 的中点，∴CE ＝EG ＝2EF ，∴CF ＝3EF ；（3）如图3，取BE 中点M ，延长AM 至N，使MN ＝AM ，连接BN ，EN ，∴四边形ABNE 是平行四边形，∴AE ∥BN ，∴∠NBC ＝∠D，BN ＝AE ＝CD，∵AB ＝AC ，DB ＝DA ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠ BAD ，∴∠BAC ＝∠D＝∠NBC ，∵∠ABN ＝∠NBC +∠ABC ，∠ACD ＝∠BAC +∠ABC ，∴∠ ABN ＝∠ ACD ，在△ ABN 和△ ACD 中∴△ABN ≌△ACD （SAS），∴BD ＝AD ＝AN ＝2AM ，∵BE ⊥AD ，∴AE 2+ME 2＝AM 2，∴AE 2+（BE ）2＝（AN ）2，∴AE 2+ BE 2＝BD 2．3、（2019 秋?江岸区校级月考）在菱形ABCD 中，∠ABC＝60°（1）如图1，P 是边BD 延长线上一点，以AP 为边向右作等边△APE，连接BE、CE．①求证：CE⊥AD；② 若AB ＝，BE＝，求AE 的长；（2）如图2，P 是边CD 上一点，点 D 关于AP 的对称点为E，连接BE 并延长交AP 的延长线于点 F ，连接DE 、DF ．若BE＝11，DE ＝5，求△ADF 的面积．（1）①证明：在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∴∠ ADC ＝60°，且AB ＝BC＝DA ＝DC ，∴△ ADC 和△ ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠ BAC ＝∠CAD ＝60°，又∵△ APE 是等边三角形，∴AE ＝AP，∠EAP ＝60°，∴∠ BAC +∠CAP ＝∠PAE +∠CAP，即∠ BAP ＝∠CAE ，∴△BAP ≌△CAE （SAS），∴∠ACE ＝∠ABP ＝∠ABC ＝30°，∵∠CAD ＝60°，∴∠ACE +∠CAD ＝90°，∴CE ⊥AD ；② 解：如图1，设AC 与BD 交于点O，由① 知，∠ ACE ＝30°，且∠ ACB ＝60°，∴∠ACE +∠ACB ＝∠BCE ＝90°，∵在Rt △BCE 中，BC ＝AB ＝，BE ＝，∴CE ＝＝4，由① 知，△ BAP ≌△ CAE ，∴BP ＝CE＝4，在Rt △BOC 中，∠ ACB ＝60°，∴BO ＝BC＝，CO＝AO＝BC ＝，∴OP＝BP﹣BO＝，∴在Rt △AOP 中，AP ＝＝＝，∴A E ＝AP＝；（2）解：如图2，连接AE ，过点 A 作AH ⊥BF 于点H ，∵点 D 关于AP 的对称点为E，∴AP 垂直平分DE ，∴AD ＝AE ，FD ＝FE ，∴∠EAF ＝∠DAF ＝∠EAD ，∠DFA ＝∠EFA ＝∠DFE ，又∵在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，∴AB ＝AE ，∴AH 垂直平分BE ，∴EH ＝BH ＝BE ＝，∠BAH ＝∠EAH ＝∠B AE ，∴∠HAF ＝∠EAH +∠EAF ＝∠BAD ，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝180°﹣∠ABC ＝120°，∴∠HAF ＝60°，∴∠AFH ＝90°﹣∠ HAF ＝30°，∴∠DFE ＝60°，∴△ DEF 为等边三角形，∴EF ＝DE ＝5，∴HF ＝HE +EF ＝+5＝，在Rt △AHF 中，∠ AFH ＝30°，∴AH ＝HF ＝，∴S△AEF ＝EF ?AH ＝×5×＝，∵AD ＝AE ，FD ＝FE ，AF ＝AF ，∴△ADF ≌△AEF （S S S），∴△ADF 的面积为．4、（2016 秋?南岗区校级月考）已知：如图，在等边△ABC 中，点 D 是AC 上任意一点，点 E 在BC 延长线上，连接DB ，使得BD ＝DE ．（1）如图1，求证：AD＝CE；（2）如图2，取BD 的中点 F ，连接AE、AF ．求证：∠ CAE ＝∠BAF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点 F 作AE 的垂线，垂足为H，若AH ＝．求EH 的长．解：（ 1）如图 1，作 DF ∥ AB ，，过点 B 作 BG ∥ AC 交 AF 的延长线于 G ，∴∠ G ＝∠ DAF ，∠ CBG ＝∠ ACB ＝ 60°，∴∠ ABG ＝∠ ABC +∠ CBG ＝ 120°＝∠ ACE ，∵ DF ∥ AB ， ∴ ， ∵ AC ＝ BC ， ∴ CF ＝ CD ， ∴ BF ＝ AD ， ∵ DF ∥ AB ， ∴∠ DFC ＝ 60°， ∴∠ BFD ＝ 120°， ∵ BD ＝DE ， ∴∠ E ＝∠ DBE ，在△ BDF 和△ EDC 中，∴△ BDF ≌△ EDC ，（ AAS ） ∴ BF ＝ CE ， ∴ AD ＝ CE ， （ 2）如图 2，∵点 F 是BD 中点，∴BF ＝DF ，在△BFG 和△DFA 中，，∴△BFG ≌△DFA ，∴BG ＝AD ，由（1）知，AD ＝CE ，∴BG ＝CE ，在△ABG 和△ACE 中，，∴△ABG ≌△ACE ，∴∠BAF ＝CAE ；（3）由（2）知，∠ BAF ＝∠CAE ，∴∠FAE ＝∠FAC +∠CAE ＝∠FAC +∠BAF ＝∠BAC ＝60°，∵F H ⊥AE ，∴∠AHF ＝90°，∴∠AFH ＝90°﹣∠FAE ＝30°，在Rt △AFH 中，AH ＝，∴AF ＝2 ，由（2）知，△ BFG ≌△ DFA ，∴GF ＝AF ＝2 ，由（2）知，△ ABG ≌△ ACE ，∴AE ＝AG ＝2AF ＝4 ，∴EH ＝AE ﹣AH ＝4 ﹣＝3 ．5、已知，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，点D 在边BC 上，连接AD，作DE⊥AD ，且DE＝AD ，连接BE、AE，DE 与AB 交于点H，（1）如图 1 所示，求证：∠C＝∠ABE；（2）如图2，把射线AD 沿AB 折叠，分别交BE、DE 的延长线于点F、点G．若∠AEB＝75°，求证：HG ＝2DH ；（3）在（2）的条件下，若BE＝3，求DH 的长？证明：（1）如图1，过点 E 作EM ⊥BC 于M ，∵∠ACB ＝90°，AD ⊥DE∴∠ACB ＝∠ADE ＝90°∵∠ADB ＝∠ACB +∠DAC ＝∠ADE +∠EDB∴∠ DAC ＝∠EDB ，且∠ ACD ＝∠ EMD ＝90°，AD＝DE ∴△ACD ≌△DME （AAS ）∴AC ＝DM ，CD ＝EM∵AC ＝BC ，∴BC ＝DM∴CD ＝BM∴BM ＝EM ，且EM ⊥BM∴∠EBM ＝45°∵∠C＝90°，AC＝BC∴∠ABC ＝∠BAC ＝45°∴∠ABE ＝180°﹣∠ABC ﹣∠EBM ＝90°∴∠ C＝∠ABE（2）如图2，过点 E 作EM ⊥BC 于M ，∵∠C＝90°，AC＝BC ，∠ADE ＝90°，AD ＝DE∴∠ CAB ＝∠DAE ＝∠AED ＝45°由（1）可知∠ EBM ＝45°，∴∠CBE ＝135°，∵∠ DAE +∠AEB +∠DBE + ∠ADB ＝360°，且∠ AEB ＝75°，∴∠ADB ＝105°∴∠ACD +∠CAD ＝∠ADB ＝105°∴∠CAD ＝15°∴∠DAB ＝30°∵把射线AD 沿AB 折叠，分别交BE 、DE 的延长线于点 F 、点G．∴∠DAB ＝∠BAG ＝30°∴∠ DAG ＝60°，且∠ ADE ＝90°∴∠G＝30°＝∠BAG∴AH ＝HG∵∠ADE ＝90°，∠ DAH ＝30°∴AH ＝2DH∴HG ＝2DH（3）作EN 平分∠ DEB 交BC 于点N ，∵EM ＝BM ，∠EMB ＝90°∴BE ＝EM ，且BE ＝3，∴E M ＝∵∠AEB ＝75°，∠ AED ＝45°∴∠DEN ＝30°∵EN 平分∠ DEB∴∠DEN ＝15°∵∠ EDM ＝∠C AD ＝15°∴∠DEN ＝∠EDB ＝15°，∴DN ＝EN ，∠ ENM ＝30°，且EM ⊥BM∴NE ＝2EM ＝3 ，NM ＝EM ＝在Rt △DEM 中，DE ＝＝3 +3＝AD∵∠DAH ＝30°，∠ ADH ＝90°∴AD ＝DH ＝3 +3∴ DH ＝3+6、如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D 是△ABC 内部一点，连接AD，BD 和CD ．（1）如图1，若∠ BDC＝90°，BD＝1，CD ＝2，求AC 的长．（2）如图2，若CD 平分∠ACB，∠BDC ＝90°，过点 B 作BE∥AC 交AD 的延长线于点E，求证：AD ＝DE ．（3）如图3，若CD ＝CB，∠BCD ＝30°，取线段AC 的中点 F ，连接DF ，求证：∠AFD ＝45°解：（1）如图1，∵∠ BDC ＝90°，BD ＝1，CD ＝2，∴BC ＝＝＝，∵AB ＝BC ＝，由勾股定理得：AC ＝＝＝；（2）如图2，延长BD 交AC 于P，∵DC 平分∠ ACB ，∴∠BCD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠PDC＝90°，∵CD ＝CD ，∴△BDC ≌△PDC，∴BD ＝PD ，∵BE ∥AC ，∴∠E＝∠EAC ，∠EBD ＝∠ DPA，∴△BDE ≌△PDA ，∴AD ＝DE ；（3）如图3，以BD 为边作等边三角形BDE ，连接BF 、CE，∴BD ＝DE ＝BE ，∵AB ＝BC ，F 是AC 的中点，∴BF ⊥AC ，∴∠AFB ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴BF ＝AF ，∵CD ＝BC ，∠BCD ＝30°，∴∠CBD ＝∠CDB ＝75°，∵CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CED ，∴∠BCE ＝∠DCE ＝15°，∵∠CBD ＝75°，∠ DBE ＝60°，∴∠CBE ＝75°﹣60°＝15°，∵∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＝90°﹣75°＝15°，∴∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE ＝15°，∴∠ABD ＝∠BAD ＝15°，∴AD ＝BD ，∵D F ＝DF ，∴△ADF ≌△BDF ，∴∠ AFD ＝∠B FD ＝∠AFB ＝×90°＝45°．7、（2013?洪山区模拟）如图1，直角梯形ABCD 中，BC＝CD ，AB ∥CD ，∠ABC＝90°，点P 为边AD上一点，BC＝PB．（1）求证：∠ CBP＝2∠DCP ；（2）如图2，若∠ABP 的平分线交CP 的延长线于点E，连接DE ，求证：BE+DE＝CE；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，请直接写出线段CE 的长度．解：（1）取CP 的中点F，连接BF ，如图1，∵BC ＝BP，BF 是底边上的中点，∴∠CBF ＝∠PBF ＝∠CBP，BF ⊥PC，∴∠CBF +∠BCF ＝90°，∵∠BCF +∠DCP ＝90°，∴∠DCP ＝∠CBF ，∴∠CBP ＝2∠DCP ；（2）过得 C 作CG ⊥CE 交EB 的延长线于点G，连接BD ，如图2，∵BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，∵∠EBF ＝∠EBP +∠PBF ＝∠ABP + ∠CBP ＝45°，∴∠BEF ＝180°﹣∠EBF ﹣∠BFE ＝45°，∴△ CEG 是等腰直角三角形，∴EG ＝CE，CG ＝CE ，∵∠ECG ＝90°＝∠ BCD ，∴∠ BCG ＝∠DCE ，在△ CBD 和△ CDE 中∴△CBD ≌△CDE （SAS），∴BG ＝DE ，∴DE +BE ＝BG+BE ＝EG ＝CE；（3）CE＝，理由如下；取CD 的中点M ，连接MF ，设MF 的延长线交直线AB 与B ′，如图2，∵F 是PC 的中点，∴FM ∥AD ，∵AB ∥CD ，∴四边形AB ′MD 是平行四边形，∴AB ′＝DM ＝1＝AB ，∴B′与 B 重合，即B、F、M 在一条直线上，∴BM ⊥CE ，∵∠CBF ＝∠MBC ，∴△BFC ∽△BCM ，∴＝，即＝，∴BF ＝2CF ，∵∠BEF ＝45°，∠ BFE ＝90°，∴EF ＝BF ＝2CF ，∵CF ＝PF ，∴CF ＝PF ＝PE，CE＝3CF ，∵S△BCM ＝CF ?BM ＝BC?CM ，∴CF ＝＝＝，∴CE ＝3CF ＝．8、（2016 秋?松北区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝60°，点 D 在射线BC 上，AB＝AD ．（1）如图1，求证：BC+CD ＝AC；（2）如图2，取AB 的中点F，延长CA 至点E，连接BE、DE、EF ，使得∠ ABE＝∠CAD ，EF ＝AE，求证：∠ BEF ＝2∠ABD ；（3）如图3，在（2）的条件下，FG ⊥BE 于点G，FG ＝4，EF ＝，求△AED 的面积．（1）证明：延长DB 至E ，使BE ＝CD ，连接AE ，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠ABE +∠ABD ＝180°，∠ADC +∠ADB ＝180°，∴∠ ABE ＝∠ ADC ，在△ ABE 和△ ADC 中，，∴△ABE ≌△ADC ，∴∠C＝∠ E＝60°，∴△ AEC 为等边三角形，∴AC ＝CE ，∵BC +BE ＝CE ，∴BC +CD ＝AC ；（2）证明：∵ AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠CAD +∠ADB ＝∠ACB ＝60°，∠ CAD ＝∠ABE ，∴∠ABE +∠ABD ＝∠CAD +∠ADB ＝60°，∴△ BEC 为等边三角形，过点 A 作AN ∥BC 交EB 于N，∴△ENA 为等边三角形，∠NAB ＝∠ABD ，∴AN ＝AE ，∴BN ＝AC ，∴∠ NAB ＝∠ ADC ，在△ BNA 和△ ACD 中，，∴△BNA ≌△ACD ，∴AN ＝CD ，∴CD ＝AE ，延长EF 至M 使得EF ＝FM ，连接BM ，∴△ AEF ≌△BMF ，∴AE ＝BM ，AE ∥BM ，∴BM ＝CD ，∠MBC ＝∠ECB ＝60°，∴∠ EBM ＝∠EBC +∠MBC ＝120°，又∵∠ ECD ＝∠EBM ＝120°，∴△ BEM ≌△C ED ，∴∠BEF ＝∠CED ，∵EF ＝AE ，∴∠EFA ＝∠EAF ，∴∠BEF +∠EBF ＝∠ACB +∠ABD ，∴∠BEF +60 °﹣∠ ABD ＝∠ABD +60°，∴∠BEF ＝2∠ABD ∠CED ＝2∠ABD ；（3）解：由（2）得，△ EMD 是等边三角形，∴，过点 A 作AP ⊥DE 于P，由（2）可证△ EFG ≌△ EAP ，∴AP ＝FG ＝4，∴S△AED＝DE ×AP ＝××4＝37．9、（2016?九龙坡区校级一模）已知，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，分别以AB、AC 为边，向Rt△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE（1）如图1，连接BE、CD ，若BC＝2，求BE 的长；（2）如图2，连接DE 交AB 于点F ，作BH⊥AD 于H，连接FH ．求证：BH ＝2FH ；（3）如图3，取AB、CD 得中点M 、N，连接M 、N，试探求MN 和AE 的数量关系，并直接写出结论．解：（1）如图1，Rt △ABC 中，∠ CAB ＝30°，BC ＝2，∴AB ＝4，AC＝2 ，∵△ ACE 是等边三角形，∴AE ＝AC ＝2 ，∠EAC ＝60°，∴∠EAB ＝60°+30°＝90°，在Rt △EAB 中，EB ＝＝＝2 ；（2）如图2，过 E 作EG ∥BD ，交BA 的延长线于G，∴∠EGA ＝∠ABD ，∵△ ABD 是等边三角形，∴∠ABD ＝60°，∴∠EGA ＝60°，Rt △AEG 中，设AG＝x，∴EG ＝2x，AE ＝x，∴AC ＝AE ＝BH ＝x ，∵∠BDH ＝60°，∴BD ＝2x，∴EG ＝BD ＝2x ，∵∠EFG ＝∠BFD ，∴△EFG ≌△DFB ，∴EF ＝DF ，等边△ ABD 中，∵ BH ⊥AD ，∴AH ＝DH ，∴FH 是△ AED 的中位线，∴FH ＝AE ＝BH ，∴BH ＝2FH ；（3）如图3，连接BN ，并延长交AD 于H ，∵∠CBA ＝60°＝∠ BAD ，∴BC ∥AD ，∴∠BCN ＝∠NDH ，∵CN ＝ND ，∠CNB ＝∠ DNH ，∴△CNB ≌△DNH ，∴BN ＝NH ，BC＝DH ，∵M 是AB 的中点，∴MN 是△ ABH 的中位线，∴MN ＝AH ，设BC＝x，则DH ＝x，AB ＝AD ＝2x，∴AH ＝x，∴MN ＝x，Rt △ACB 中，AC ＝2 x ，∴AE ＝2 x ，∴＝＝，∴AE ＝4 MN ．10、重庆八中初2020 级九上期末11、重庆实验外国语学校初2020 级九上期末12、重庆双福育才中学初2020 级九上期末。
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重庆中考数学第26题专题专训1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D，当线段PD的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动中所用时间t最少时，求点M的坐标；（3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，平移后B，O，C三点的对应点分别是B′，O′，C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S的坐标．解：（1）当y=0时，﹣x2﹣x﹣2=0，解这个方程，得：x1=﹣6，x2=﹣1，∴点A（﹣6，0），B（﹣1，0），当x=0时，y=﹣2，∴C（0，﹣2），设直线AC的解析式为：y=ax+b（a≠0），将点A（﹣6，0），C（0，﹣2）代入得：，∴，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2；（3分）（2）如图1，过点P作PE∥y轴交直线AC于点E，设P（a，﹣），则点E（a，﹣﹣2），∴PE=（﹣）﹣（﹣﹣2）=﹣﹣2a，∵AO=6，OC=2，∴AC===2，∵∠PDE=∠AOC=90°，∠PED=∠ACO，∴△PDE∽△AOC，∴=，∴PD=PE==﹣﹣，对称轴是：a=﹣3，∵﹣，∴当a=﹣3时，PD的长度最大，此时点P的坐标为（﹣3，2），如图1所示，在x轴上取点F（1，0），连接CF并延长，∴CF===3，∴sin∠OCF==，点M是y轴上一点，过点M作MH⊥CF于点H，由△CHM∽△COF，可知：=，∵t==PM+MH，如图2，当P、M、H在同一直线上时，t的值最小，此时，过P作PK⊥y轴于K，由△PKM∽△COF，可知：=2，∴KM=，∴M（0，），（7分）（3）如图3，当四边形ACSO'是菱形时，过S作SG⊥y轴于G，延长O'C'交x轴于H，∵四边形ACSO'是菱形，∴AO'=AC=SC，AO'∥SC，∴∠AMC=∠BCS，∴∠AO'H+∠MC'O'=∠BCO+∠OCS，∵∠MC'O'=∠BCO，∴∠AO'H=∠OCS，∵∠AHO'=∠CGS，∴△O'AH≌△CSG，∴AH=SG，O'H=CG，Rt△OCB中，sin∠OCB==，∴sin∠BC'H==，设BH=x，则BC'=3x，∴C'H=2x，∴AH=SG=5﹣x，∵O'C'=OC=2，∴C'H=OG=2x，由勾股定理得：AC2=O'A2，∴AO2+OC2=O'H2+AH2，∴=（5﹣x）2+（2+2x）2，解得：x=，当x=时，SG=5﹣x=，OG=2x=，当x=＜0时，不符合题意，舍去，SG=5﹣x=，OG=2x=，此时S的坐标为：或；②如图4，过S作SH⊥AO于H，延长O'B'到y轴交于G，∵SE∥CF，EC∥SF，∴四边形SECF是平行四边形，∴∠ESF=∠ECF，∵四边形ASO'C是菱形，∴∠ASO'=∠ACO'，∴∠ASH=∠O'CG，同理得：△ASH≌△O'CG，∴AH=O'G，SH=CG，sin∠GCB'==，设GB'=x，则CB'=3x，CG=2x，∴O'G=1+x，由勾股定理得：AC2=O'C2，∴62+（2）2=（2x）2+（x+1）2解得：x=，当x=时，SH=CG=2x=，OH=6﹣AH=6﹣O'G=5﹣x=，当x=＜0时，不符合题意，舍去，此时，点S的坐标为：（，）；③如图5，AC为对角线时，同理可得S（，）④如图6，过S作SE⊥x轴于E，延长B'O'交y轴于H，延长O'C'交x轴于G，设GB'=x，则CB'=3x，CG=2x，∴O'G=O'H=1+x，∵∠HO'D=∠O'DA=∠EAS，易得△SEA≌△CHO'，同理可得S（，）；⑤如图7，过S作SH⊥x轴于H，过O'作O'E⊥SH于E，延长C'O'交x轴于G，设OG=x，则BG=1+x，∵O'B'∥BG，∴，∴，∴C'G=2（1+x），∴O'G=C'G﹣C'O'=2x，∴AG=1+x，同理得：62+（2）2=（1+x）2+（2x）2，解得：x1=，x2=（舍），可得S；综上所述，S的坐标为：或或（，）或（，）或（，）．（12分）2．在平面直角坐标系中，已知抛物线322+--=x x y 的图象交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ．（1）求直线AC 的解析式；（2）抛物线的对称轴交直线AC 于点E ，直线AC 上方的抛物线上有一动点P ，当△PEC 面积最大时，线段CE 在直线AC 上平移，记线段CE 平移 后为E C ''，求E C P ''∆的周长最小值；（3）抛物线的顶点为D ，连接AD ，将线段AD 沿直线AC 平移，记线段AD 平移后为D A ''，过点D '作x 轴的垂线交x 轴于点G ，当G D A ''∆ 为等腰三角形时，求A A '的长度．解：（1）抛物线y=﹣x 2﹣2x+3，∴A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3），∴直线AC 的解析式 y=x+3； （2）∵对称轴为x=﹣1，∴E （﹣1，2），设P （m ，﹣m 2﹣2m+3）， ∴S △PEC =﹣m 2﹣m=﹣（m+）2+，∴当m=﹣时，S △PEC 的有最大值， 即：P （﹣，），将线段PC 平移，使得C 与E 重合，得到线段P'E ， ∴P'（﹣，），P''（﹣，），∴△PC'E'的周长的最小值为PP''+CE=+（3）∵抛物线y=﹣x 2﹣2x+3， ∴D （﹣1，4），设A'（﹣3+n ，n ），D'（﹣1+n ，4+n ），则G （﹣1+n ，0）， ∴AA'=|n|， ∴A'D'2=20，A'G 2=n 2+4，D'G 2=n 2+8n+16，∵△A ′D ′G 为等腰三角形，①当A'D'=A'G时，∴20=n2+4，∴n=±4，∴AA'=4②当A'D'=D'G时，∴20=n2+8n+16，∴n=±2﹣4，∴AA'=2±4③当D'G=A'G时，∴n2+4=n2+8n+16，∴n=﹣，∴AA'=，即：AA′的长度为4或2或．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D．（1）求平行线AD、BC之间的距离；（2）如图1，点P为线段BC上方抛物线上的一动点，当△PCB的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到直线BC上点M处，再沿垂直于直线BC的方向运动到直线AD上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止．当点Q的运动路径最短时，求点M的坐标及点Q经过的最短路径的长；（3）如图2，将抛物线以每秒个单位长度的速度沿射线AD方向平移，抛物线上的点A、C平移后的对应点分别记作A′、C′，当△A′C′B是以C′B为底边的等腰三角形时，将等腰△A′C′B 绕点D逆时针旋转一周，记旋转中的△A′C′B为△A″C″B′，若直线A″C″与y轴交于点K，直线A″C″与直线AD交于点I，当△DKI是以KI为底边的等腰三角形时，求出DK2的值．解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．对于抛物线y=﹣x2+x+3，令y=0，得到﹣x2+x+3=0，解得x=﹣或3，∴A（﹣，0），B（3，0），令x=0，得到y=3，∴C（0，3），∴OA=，OB=3，AB=4，OC=3，BC==3，∵S△ABC=•AB•CO=•BC•AH，∴AH==，∵AD∥BC，∴AD与BC之间的距离为．（2）如图2中，设P（m，﹣m2+m+3），S△PBC =S△POB+S△PCO﹣S△BOC=×3×（﹣m2+m+3）+×3×m﹣×3×3=﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴m=时，△PBC的面积最大，此时P（，），作B关于直线AD的对称点B′交AD于K，连接PK交BC于M，作MN⊥AD于N，连接BN，则PM+MN+BN 的值最小．∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，AD∥BC，∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1，∵BB′⊥BC，∴直线BB′的解析式为y=x﹣6，由，解得，∴K（，﹣），∴直线PK的解析式为y=﹣x+，由，解得，∴M（，），∴点Q经过的最短路径的长=PM+MN+BN=MN+（PM+MK）=MN+PK，∵MN=，PK==，∴点Q经过的最短路径的长为+．4. 抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D 是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O 2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，过点D作DK⊥y轴于K，当x=0时，y=，∴C（0，），y=﹣x2﹣x+=﹣（x+）2+，∴D（﹣，），∴DK=，CK=﹣=，∴CD===；（4分）（2）在y=﹣x2﹣x+中，令y=0，则﹣x2﹣x+=0，解得：x1=﹣3，x2=，∴A（﹣3，0），B（，0），∵C（0，），易得直线AC的解析式为：y=，设E（x，），P（x，﹣x2﹣x+），∴PF=﹣x2﹣x+，EF=，Rt△ACO中，AO=3，OC=，∴AC=2，∴∠CAO=30°，∴AE=2EF=，∴PE+EC=（﹣x2﹣x+）﹣（x+）+（AC﹣AE），=﹣﹣x+[2﹣（）]，=﹣﹣x﹣x，=﹣（x+2）2+，（5分）∴当PE+EC的值最大时，x=﹣2，此时P（﹣2，），（6分）∴PC=2，∵O1B1=OB=，∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，如图2，将点P向右平移个单位长度得点P1（﹣，），连接P1B1，则PO1=P1B1，再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），则P1B1=P2B1，∴PO1+B1C=P2B1+B1C，∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1，∴B 1（﹣，0），将B 1向左平移个单位长度即得点O 1，此时PO 1+B 1C=P 2C==，对应的点O 1的坐标为（﹣，0），（7分）∴四边形PO 1B 1C 周长的最小值为+3；（8分） （3）O 2M 的长度为或或2+或2．（12分）理由是：如图3，∵H 是AB 的中点，∴OH=，∵OC=，∴CH=BC=2，∴∠HCO=∠BCO=30°，∵∠ACO=60°，∴将CO 沿CH 对折后落在直线AC 上，即O2在AC 上， ∴∠B 2CA=∠CAB=30°， ∴B 2C ∥AB ， ∴B 2（﹣2，），①如图4，AN=MN ，∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O 2B 2O 3，由旋转得：∠CB 2C 1=∠O 2B 2O 3=30°，B 2C=B 2C 1， ∴∠B 2CC 1=∠B 2C 1C=75°，过C 1作C 1E ⊥B 2C 于E ， ∵B 2C=B 2C 1=2，∴=B 2O 2，B 2E=，∵∠O 2MB 2=∠B 2MO 3=75°=∠B 2CC 1， ∠B 2O 2M=∠C 1EC=90°， ∴△C 1EC ≌△B 2O 2M ， ∴O 2M=CE=B 2C ﹣B 2E=2﹣；②如图5，AM=MN ，此时M 与C 重合，O 2M=O 2C=，③如图6，AM=MN ，∵B 2C=B 2C 1=2=B 2H ，即N 和H 、C 1重合，∴∠CAO=∠AHM=∠MHO 2=30°，∴O 2M=AO 2=；④如图7，AN=MN ，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ， ∴∠NMA=∠NAM=30°，∵∠O 3C 1B 2=30°=∠O 3MA ，∴C 1B 2∥AC ，∴∠C 1B 2O 2=∠AO 2B 2=90°， ∵∠C 1EC=90°， ∴四边形C 1EO 2B 2是矩形， ∴EO 2=C 1B 2=2，，∴EM=，∴O 2M=EO 2+EM=2+， 综上所述，O 2M 的长是或或2+或2．5. 如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=﹣x 2+4x 上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为（1，1）． （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当△PBE 的面积最大时，求PH+HF+FO 的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO 取得最小值时，将△CFH 绕点C 顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）由题意A （1，3），B （3，3）， ∴AB=2．（2）如图1中，设P （m ，﹣m 2+4m ），作PN ∥y 轴J 交BE 于N ．∵直线BE 的解析式为y=x ， ∴N （m ，m ）， ∴S △PEB =×2×（﹣m 2+3m ）=﹣m 2+3m ， ∴当m=时，△PEB 的面积最大，此时P （，），H （，3），∴PH=﹣3=，作直线OG 交AB 于G ，使得∠COG=30°，作HK ⊥OG 于K 交OC 于F ， ∵FK=OF ，∴PH+HF+FO=PH+FH+FK=PH+HK ，此时PH+HF+OF 的值最小， ∵•HG•OC=•OG•HK，∴HK==+， ∴PH+HF+OF 的最小值为+． （3）如图2中，由题意CH=，CF=，QF=，CQ=1，∴Q （﹣1，3），D （2，4），DQ=，①当DQ 为菱形的边时，S 1（﹣1，3﹣），S 2（﹣1，3+），②当DQ 为对角线时，可得S 3（﹣1，8）， ③当DR 为对角线时，可得S 4（5，3） 综上所述，满足条件的点S 坐标为（﹣1，3﹣）或（﹣1，3+）或（﹣1，8）或（5，3）．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，过点B 作BC 的垂线，交对称轴于点E ．（1）求证：点E 与点D 关于x 轴对称；（2）点P 为第四象限内的抛物线上的一动点，当△PAE 的面积最大时，在对称轴上找一点M ，在y 轴上找一点N ，使得OM+MN+NP 最小，求此时点M 的坐标及OM+MN+NP 的最小值；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线AD 上移动，点D 平移后的对应点为D′，点A 的对应点A′，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ，将△FBC 沿BC 翻折，使点F 落在点F′处，在平面内找一点G ，若以F′、G 、D′、A′为顶点的四边形为菱形，求平移的距离．（1）证明：如图1中，令y=0，得到x2﹣x﹣3=0，解得x=﹣或3，∴A（﹣，0），B（3，0），令x=0，可得y=﹣3，∴C（0，﹣3），∵y=x2﹣x﹣3=（x﹣）2﹣4，∴顶点D（，﹣4），设对称轴与x轴交于F，则BF=2，∵△EFB∽△BOC，∴=，∴=，∴EF=4，∴E（，4），∴E、D关于x轴对称．（2）过点P作PQ∥y轴，交直线AE于点Q．∵yAE=x+2，∴设P（a，a2﹣a﹣3），Q（a，a+2），（0＜a＜3），7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x x=-与x轴交于A、B两点(点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C．(1)求直线AC的解析式；(2)如图2，点E(a，b)是对称轴右侧抛物线上一点，过点E垂直于y轴的直线与AC交于点D(m，n)．点P是x轴上的一点，点Q是该抛物线对称轴上的一点，当a m+最大时，求点E的坐标，并直接写出23EQ PQ PB++的最小值；(3)如图3，在(2)的条件下，连结OD，将△AOD沿x轴翻折得到△AOM，再将△AOM沿射线CB 的方向以每秒3个单位的速度沿平移，记平移后的△AOM为△A O M'''，同时抛物线以每秒1个单位的速度沿x 轴正方向平移，点B 的对应点为B '．△A B M '''能否为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点M '的坐标；若不能，请说明理由．8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线423412++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B左侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的对称轴及△ABC 的周长；（2）点D 是线段AC 的中点，过点D 作BC 的平行线，分别与x 轴、抛物线交于点E 、F ，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，连接PD 交线段BC 于点G ，当四边形PGEF 面积最大时，点Q 从点P 出发沿适当的路径运动到x 轴上的点M 处，再沿射线DF 方向运动5个单位到点N 处，最后回到直线BC 上的点H 处停止，当点Q 的运动路径最短时，求点Q 的最短运动路径长及点H 的坐标；（3）如图2，将△AOC 绕点O 顺时针旋转至△A 1OC 1的位置，点A 、C 的对应点分别为点A 1、C 1，且点A 1落在线段AC 上，再将△A 1OC 1沿y 轴平移得△A 2O 1C 2，其中直线O 1C 2与x 轴交于点K ，点T 是抛物线对称轴上的动点，连接KT 、O 1T ，△O 1KT 能否成为以O 1K 为直角边的等腰直角三角形?若能，请直接写出所有符合条件的点T 的坐标；若不能，请说明理由．9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x 2-3x+4交x 轴于A 、D 两点(点A 在点B 的左例), 交y 轴于点C,顶点为点D,连接BC,作直线AC.(1)求点D 的坐标和直线BC 的解析式；(2)若点P 为BC 上方抛物线上的一个动点,连接PC 、PB,过P 作PE ⊥y 轴于点E,当△PBC 面积最大时,将△PEC 绕平面内一点逆时针方向旋转90°后得到△111C E P .点P 、E 、C 的对应点分别是点1P 、1E 、1C ,当点C 1C 落在线段AC 上时,连接PP 1,求A C C P PP 111122++的最小值，并求出此时点1C 的坐标；(3)在(2)的条件下,将△111C E P 沿射线AC 以每秒2个单位长度的速度平移,记平移后的△111C E P 为△222C E P 点1P 、1E 、1C 的对应点分别是点2P 、2E ,C 2,设平移时间为秒,当△CD P2为等腰三角形时,求t 的值.10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0≠(++=2a c bx ax y 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，AO=CO=4，BO=6，点D 是第四象限抛物线上一点，且点F 的纵坐标为-4.(1)求抛物线的解析式和直线CF 的解析式； (2)如图1，点P 是直线CF 上方抛物线上一点，点E 在直线CF 上，点E 的横坐标为3，当△PCF 的面积最大时,在y 轴有一动点M ，在x 轴有一动点N ，当PM+MN+NE 的值最小时，求出PM+MN+NE 的最小值.(3)如图2，点D 为线段BO 的中点，连接CD ，将C D O∆绕着点D 顺时针旋转α度得到对应''C DO ∆()0180α︒<<︒.设直线'C D 和直线''C O 分别与直线BC 交于H 、G 两点,当三角形C ′HG 是等腰三角形11.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++-=2的图像与x 轴交于点A 和点B （5,0），与y 轴交于点C ，点D （1,8）是抛物线上一点.（1）求抛物线和直线AD 的解析式；（2）点Q 是抛物线一象限内一动点，过点Q 作QN ∥AD 交BC 于N ，QG ⊥AB 交BC 与点M ，交AB 于点G （如图1），当QNM ∆的周长最大时，求QNM ∆周长的最大值；此时，在直线BC 上有两动点P 、H ，且PH=22（P 在H 的右边），K （2,0），当HK PQ -最大时求点P 的坐标（3）直线AD 与y 轴交于点F ，点E 是点C 关于对称轴的对称点，点P 是线段AE 上的一动点，将AFP ∆沿着FP 所在的直线翻折得到FP A '∆（点A 的对应点为点A '）（如图2），当FP A '∆与AED ∆重叠部分为直角三角形时，求AP 的长.(第26题1) (第26题2) (第26题备用图)13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D，当线段PD的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒3个单位的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动中所用时间t最少时，求点M的坐标；（3）如图2，将△BOC沿直线BC平移，平移后B，O，C三点的对应点分别是B′，O′，C′，点S是坐标平面内一点，若以A，C，O′，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点S的坐标．解：（1）当y=0时，﹣x 2﹣x ﹣2=0，解这个方程，得：x 1=﹣6，x 2=﹣1， ∴点A （﹣6，0），B （﹣1，0）， 当x=0时，y=﹣2，∴C （0，﹣2），设直线AC 的解析式为：y=ax+b （a ≠0）， 将点A （﹣6，0），C （0，﹣2）代入得：， ∴，∴直线AC 的解析式为：y=﹣x ﹣2；（3分）（2）如图1，过点P 作PE ∥y 轴交直线AC 于点E ， 设P （a ，﹣），则点E （a ，﹣﹣2）， ∴PE=（﹣）﹣（﹣﹣2）=﹣﹣2a ，∵AO=6，OC=2， ∴AC===2，∵∠PDE=∠AOC=90°，∠PED=∠ACO ， ∴△PDE ∽△AOC ，∴=， ∴PD=PE==﹣﹣，对称轴是：a=﹣3， ∵﹣，∴当a=﹣3时，PD 的长度最大，此时点P 的坐标为（﹣3，2），如图1所示，在x 轴上取点F （1，0），连接CF 并延长， ∴CF===3，∴sin ∠OCF==，点M 是y 轴上一点，过点M 作MH ⊥CF 于点H ， 由△CHM ∽△COF ，可知：=，∵t==PM+MH，如图2，当P、M、H在同一直线上时，t的值最小，此时，过P作PK⊥y轴于K，由△PKM∽△COF，可知：=2，∴KM=，∴M（0，），（7分）（3）如图3，当四边形ACSO'是菱形时，过S作SG⊥y轴于G，延长O'C'交x轴于H，∵四边形ACSO'是菱形，∴AO'=AC=SC，AO'∥SC，∴∠AMC=∠BCS，∴∠AO'H+∠MC'O'=∠BCO+∠OCS，∵∠MC'O'=∠BCO，∴∠AO'H=∠OCS，∵∠AHO'=∠CGS，∴△O'AH≌△CSG，∴AH=SG，O'H=CG，Rt△OCB中，sin∠OCB==，∴sin∠BC'H==，设BH=x，则BC'=3x，∴C'H=2x，∴AH=SG=5﹣x，∵O'C'=OC=2，∴C'H=OG=2x，由勾股定理得：AC2=O'A2，∴AO2+OC2=O'H2+AH2，∴=（5﹣x）2+（2+2x）2，解得：x=，当x=时，SG=5﹣x=，OG=2x=，当x=＜0时，不符合题意，舍去，SG=5﹣x=，OG=2x=，此时S的坐标为：或；②如图4，过S作SH⊥AO于H，延长O'B'到y轴交于G，∵SE∥CF，EC∥SF，∴四边形SECF是平行四边形，∴∠ESF=∠ECF，∵四边形ASO'C是菱形，∴∠ASO'=∠ACO'，∴∠ASH=∠O'CG，同理得：△ASH≌△O'CG，∴AH=O'G，SH=CG，sin∠GCB'==，设GB'=x，则CB'=3x，CG=2x，∴O'G=1+x，由勾股定理得：AC2=O'C2，∴62+（2）2=（2x）2+（x+1）2解得：x=，当x=时，SH=CG=2x=，OH=6﹣AH=6﹣O'G=5﹣x=，当x=＜0时，不符合题意，舍去，此时，点S的坐标为：（，）；③如图5，AC为对角线时，同理可得S（，）④如图6，过S作SE⊥x轴于E，延长B'O'交y轴于H，延长O'C'交x轴于G，设GB'=x，则CB'=3x，CG=2x，∴O'G=O'H=1+x，∵∠HO'D=∠O'DA=∠EAS，易得△SEA≌△CHO'，同理可得S（，）；⑤如图7，过S作SH⊥x轴于H，过O'作O'E⊥SH于E，延长C'O'交x轴于G，设OG=x，则BG=1+x，∵O'B'∥BG，∴， ∴，∴C'G=2（1+x ），∴O'G=C'G ﹣C'O'=2x ， ∴AG=1+x ，同理得：62+（2）2=（1+x ）2+（2x ）2， 解得：x 1=，x 2=（舍）， 可得S ；综上所述，S 的坐标为：或或（，）或（，）或（，）．（12分）。