第1章[计数原理]课件(2) 新人教a版选修2-3
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高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修23
(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛， 没有顺序，是组合问题．
(4)冠 、亚军是有顺序的，是排列问题． (5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺 序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1 枪，有顺序，是排列问题.
类型 2 组合数的计算
[典例 2] (1)计算：C9979＋C9989＋C91900＝________； (2)求值：C5n－n＋C9n－＋n1＝________； (3)解不等式 C4n>C6n. 解析：(1)C9979＋C9989＋C91900＝C91800＋C91900＝C91901＝C2101＝ 101×100 2×1 ＝5 050.
第一章 计数原理
1.2 排列与组合 1．2.2 组合
第 1 课时 组合与组合数公式
[学习目标] 1.理解组合及组合数的概念(重点)． 2. 能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单 的组合问题(重点、难点)．
1．组合的概念 (1)组合：一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n) 个元素合成一组，叫作从n不同元素中取出m个元素的一 个组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元 素的组合数，用符号Cnm表示．
2．下列计算结果为 21 的是( )
A．A24＋C26 B．C77
C．A27
D．C27
解析：C27＝72× ×61＝21.
答案：D
3．下面几个问题中属于组合问题的是________． ①由 1，2，3，4 构成的双元素集合；②由 1，2，3 构成两位数的方法；③由 1，2，3 组合无重复数字的两位 数的方法． 解析：①中选出的两个元素构成集合，与顺序无关，
(4)冠 、亚军是有顺序的，是排列问题． (5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺 序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1 枪，有顺序，是排列问题.
类型 2 组合数的计算
[典例 2] (1)计算：C9979＋C9989＋C91900＝________； (2)求值：C5n－n＋C9n－＋n1＝________； (3)解不等式 C4n>C6n. 解析：(1)C9979＋C9989＋C91900＝C91800＋C91900＝C91901＝C2101＝ 101×100 2×1 ＝5 050.
第一章 计数原理
1.2 排列与组合 1．2.2 组合
第 1 课时 组合与组合数公式
[学习目标] 1.理解组合及组合数的概念(重点)． 2. 能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单 的组合问题(重点、难点)．
1．组合的概念 (1)组合：一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n) 个元素合成一组，叫作从n不同元素中取出m个元素的一 个组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元 素的组合数，用符号Cnm表示．
2．下列计算结果为 21 的是( )
A．A24＋C26 B．C77
C．A27
D．C27
解析：C27＝72× ×61＝21.
答案：D
3．下面几个问题中属于组合问题的是________． ①由 1，2，3，4 构成的双元素集合；②由 1，2，3 构成两位数的方法；③由 1，2，3 组合无重复数字的两位 数的方法． 解析：①中选出的两个元素构成集合，与顺序无关，
高中数学第一章计数原理1.2.1排列概念与排列数公式2课件新人教A版选修2_3
解析答案
(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？ 解 把位置作为研究对象. 第一步，从甲、乙以外的 5 名同学中选 2 名排在首末 2 个位置，有 A25种方法. 第二步，从未排上的 5 名同学中选出 3 名排在中间 3 个位置上，有 A35种方法. 根据分步乘法计数原理，共有 A25·A35＝1 200(种)方法.
排列方法.
解 甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变， 即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的A133. 故有AA7733＝840(种)不同的排法.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人， 若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？ 解 7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A44种， 而由高到低有从左到右和从右到左的不同站法， 所以共有不同站法 2·AA4477＝420(种).
解析答案
12345
2.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( C )
A.36
B.120
C.720
D.240
解析 6个人站成两排，每排3人，
分 2 类完成不同的排法有 A36A33＝720(种).
解析答案
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3.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和 第四棒，问共有________种参赛方案.
所以共有 A37＝7×6×5＝210(种)不同的送法. (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同 的送法？
解 从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同， 根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343(种).
反思与感悟 解析答案
(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？ 解 把位置作为研究对象. 第一步，从甲、乙以外的 5 名同学中选 2 名排在首末 2 个位置，有 A25种方法. 第二步，从未排上的 5 名同学中选出 3 名排在中间 3 个位置上，有 A35种方法. 根据分步乘法计数原理，共有 A25·A35＝1 200(种)方法.
排列方法.
解 甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变， 即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的A133. 故有AA7733＝840(种)不同的排法.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人， 若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？ 解 7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A44种， 而由高到低有从左到右和从右到左的不同站法， 所以共有不同站法 2·AA4477＝420(种).
解析答案
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2.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( C )
A.36
B.120
C.720
D.240
解析 6个人站成两排，每排3人，
分 2 类完成不同的排法有 A36A33＝720(种).
解析答案
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3.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和 第四棒，问共有________种参赛方案.
所以共有 A37＝7×6×5＝210(种)不同的送法. (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同 的送法？
解 从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同， 根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343(种).
反思与感悟 解析答案
2017_2018学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列课件新人教A版选修2_3
(3)全排列和阶乘:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个 元素的一个全排列.即有 A������ ������ =n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1, 就是说,n 个不同元素全部取出的排列数,等于正整数 1 到 n 的连 乘积.正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘,用 n!表示.所以 n 个不同
2.排列数与排列数公式 (1)排列数定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 不同排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 符号A������ ������ 表示. (2)排列数公式:A������ ������ =n(n-1)(n-2)…(n-m+1).
������-1 (4) ������!
������ -1
=
1 1 − . (������-1)! ������!
即A2 4 =12.
A������ 12
2.“排列数”与“一个排列”是否为同一个概念 剖析不是同一个概念.“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m 个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数;“排列数”是指 “从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”,它是一个数. 例如,从a,b,c中任取2个元素的排列有ab,ba,ac,ca,bc,cb,共6个,6就是 从a,b,c中任取2个元素的排列数. 归纳总结解简单的排列实际问题,首先必须认真分析理解题意, 看能否把问题归结为排列问题,即是否有顺序.如果是的话,再进一 步分析,这里“n个不同的元素”指的是什么,以及“从n个不同的元素 中任取m个元素”的每一种排列对应的是什么情况,然后才能运用排 列数公式求解.
1.排列的相关概念 (1)定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定 的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)相同排列:两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同, 且元素的排列顺序也相同. 名师点拨1.排列的定义包括两个基本内容:一是“取出元素”;二是 “按照一定的顺序排成一列”.研究的n个元素是互不相同的,取出的 m个元素也是不同的. 2.由相同排列的定义知,元素完全不同或元素部分相同或元素完 全相同而顺序不同的排列都不是同一个排列.
高中数学第一章计数原理1.2.2组合与组合数公式2课件新人教A版选修2_3
解析答案
(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少
种不同的取法.
解 (间接法)如图，从 10 个点中取 4 个点的取法有 C410种，
除去4点共面的取法种数可以得到结果.
从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面.
有 4C46 ＝60(种)，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面 情况，
第一章 §1.2 排列与组合
1.2.2 组 合(二)
学习目标
1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题. 2.能解决有限制条件的组合问题.
题型探究
达标检测
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 简单的组合应用题 例1 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛， 在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； 解 第一步：选 3 名男运动员，有 C36种选法； 第二步：选 2 名女运动员，有 C24种选法，故共有 C36·C24＝120(种)选法.
解析答案
类型二 与几何有关的组合应用题 例2 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线.以这些 点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
反思与感悟 解析答案
跟踪训练2 (1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点， 使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？ 解 (直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上， 除点A外都有5个点， 从中取出 3 点必与点 A 共面共有 3C35种取法； 含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种 取法. 根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有 3C35 ＋3＝33(种).
解析答案
(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少
种不同的取法.
解 (间接法)如图，从 10 个点中取 4 个点的取法有 C410种，
除去4点共面的取法种数可以得到结果.
从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面.
有 4C46 ＝60(种)，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面 情况，
第一章 §1.2 排列与组合
1.2.2 组 合(二)
学习目标
1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题. 2.能解决有限制条件的组合问题.
题型探究
达标检测
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 简单的组合应用题 例1 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛， 在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； 解 第一步：选 3 名男运动员，有 C36种选法； 第二步：选 2 名女运动员，有 C24种选法，故共有 C36·C24＝120(种)选法.
解析答案
类型二 与几何有关的组合应用题 例2 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线.以这些 点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
反思与感悟 解析答案
跟踪训练2 (1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点， 使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？ 解 (直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上， 除点A外都有5个点， 从中取出 3 点必与点 A 共面共有 3C35种取法； 含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种 取法. 根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有 3C35 ＋3＝33(种).
解析答案
高中数学新人教A版选修2-3课件：第一章计数原理本章整合
这类问题的类型就是把 n(n≥1)个相同的元素分配到 m(1≤m≤n)个不同的
组,使得每组中都至少有一个元素,求一共有多少种不同的分法的问题.
首 页
专题一
专题二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
专题三
应用 1 设 4 名同学报名参加同一时间安排的三种课外活动的方案有 a
的方法都有 n 种,由分步乘法计数原理得,从 n 个不同元素里有放回地取出
m 个元素(允许重复出现)的排列数为:N=n·
n·
n·
…·
n=nm(m,n∈N*,m≤n).
(2)“隔板法”是解决组合问题中关于若干个相同元素的分组问题的一
种常用方法,用这种方法解决此类问题,过程简捷明了,富有创意性和趣味性.
提示:本题既有相邻问题也有不相邻问题,故是捆绑法与插空法的综合
应用.
解析:先将甲乙捆绑,看作一个元素,有A22 种排法,然后将除甲乙丙之外
的 4 名学生全排列,有A44 种不同的排法,再将甲乙丙插入 5 个空中的两个,有
A25 种不同的排法,所以一共有A22 A44 A25=960 种不同排法.
答案:960
答案:B
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S 随堂练习
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
1
2
UITANG LIANXI
HONGDIAN NANDIAN
3
4
5
6
7
8
2.(2013·福建高考)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实
组,使得每组中都至少有一个元素,求一共有多少种不同的分法的问题.
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专题一
专题二
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专题三
应用 1 设 4 名同学报名参加同一时间安排的三种课外活动的方案有 a
的方法都有 n 种,由分步乘法计数原理得,从 n 个不同元素里有放回地取出
m 个元素(允许重复出现)的排列数为:N=n·
n·
n·
…·
n=nm(m,n∈N*,m≤n).
(2)“隔板法”是解决组合问题中关于若干个相同元素的分组问题的一
种常用方法,用这种方法解决此类问题,过程简捷明了,富有创意性和趣味性.
提示:本题既有相邻问题也有不相邻问题,故是捆绑法与插空法的综合
应用.
解析:先将甲乙捆绑,看作一个元素,有A22 种排法,然后将除甲乙丙之外
的 4 名学生全排列,有A44 种不同的排法,再将甲乙丙插入 5 个空中的两个,有
A25 种不同的排法,所以一共有A22 A44 A25=960 种不同排法.
答案:960
答案:B
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2.(2013·福建高考)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实
人教A版高中数学选修2-3全册ppt课件
[一题多变] 1．[变条件]若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数， 那么这样的两位数有多少个．
解：当个位数字是 8 时，十位数字取 9，只有 1 个． 当个位数字是 6 时，十位数字可取 7,8,9，共 3 个． 当个位数字是 4 时，十位数字可取 5,6,7,8,9，共 5 个． 同理可知，当个位数字是 2 时，共 7 个， 当个位数字是 0 时，共 9 个． 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 1＋3＋5 ＋7＋9＝25(个)．
用计数原理解决涂色(种植)问题
[ 典例 ] 如图所示，要给“优”、
“化”、“指”、“导”四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色 使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色， 有多少种不同的涂色方法？
[解] 优、化、指、导四个区域依次涂色，分四步．
第 1 步，涂“优”区域，有 3 种选择． 第 2 步，涂“化”区域，有 2 种选择．
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
分步乘法计数原理的应用
[典例]
从 1,2,3,4 中选三个数字，组成无重复数字的整
数，则分别满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数； (2)三位数的偶数．
[解] (1)三位数有三个数位， 百位 十位 个位
故可分三个步骤完成： 第 1 步，排个位，从 1,2,3,4 中选 1 个数字，有 4 种方法； 第 2 步， 排十位， 从剩下的 3 个数字中选 1 个， 有 3 种方法；
2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2 且 a3<a2，则称这样的 三位数为凸数(如 120,342,275 等)，那么所有凸数个数是多少？ 解：分 8 类，当中间数为 2 时，百位只能选 1，个位可选 1、0， 由分步乘法计数原理，有 1×2＝2 个； 当中间数为 3 时，百位可选 1,2，个位可选 0,1,2，由分步乘法计 数原理，有 2×3＝6 个；同理可得： 当中间数为 4 时，有 3×4＝12 个； 当中间数为 5 时，有 4×5＝20 个； 当中间数为 6 时，有 5×6＝30 个； 当中间数为 7 时，有 6×7＝42 个； 当中间数为 8 时，有 7×8＝56 个； 当中间数为 9 时，有 8×9＝72 个． 故共有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240 个．
高中数学选修2-3第一章计数原理精品课件 两个原理01
远古人“结而计 之” “数而计之”
复杂的计数问题，怎么办？ “算而计之”
狐狸想 从草地逃到小岛，可以走水路,也可以走陆路 走水路有2艘船，走陆路有3辆车子，问：乘坐这些交通 工具,一共有多少种不同的方法，可以从草地逃回到小岛 （安全地）
引例1:
水路
2种 车路
草地
安全地
狐狸总共有多少种 方法逃到安全地？
狐狸有一共有多少种不同的方法，可以从 小岛逃回到自己的房子（安全地）
狐狸有一共有多少种不同的方法，可以从 草地逃回到自己的房子（安全地）
引例2:
草地
a1 a2
a3 a4 a5
5 种 方 法
b1
小岛
b2
2 种
方
安全地
4 种
方
别 墅
法
法
问题剖析 要我们做什么事情 完成这个事情要分几步 每步方法能否独立完成这件事情
0到9,这10 个数字一共可以组成多少个７ 位数码，即可产生多少种可能的中奖号码？
两 例２：体育福利彩票的中奖号码有7位数码，每 个 位数若是0~9这十个数字中任一个，则产生中奖 基 号码所有可能的种数是多少？ 本 第一位 第二位 第三位 第四位 第五位 第六位 第七位 原 理 的 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 例 =10７ 题 变１：这十个数一共可以组成多少７位数字？ 和 练 百万 十万 万 千 百 十 个 习
分步乘法计数原理的特点：
1、每一步的方法只能完成整个事情的一部分，所 有的步骤能完成整个事情。 2、每一步的方法都是互相联系、但互不干扰的。
大家谁能模仿：引例1 狐狸从草地到家的 此类的路线问题,举几个发生在我们实践中, 可以用分类计数原理解决的问题吗？
高中数学 第1章《计数原理》课件 新人教A版选修23
r n
(r＝0,1,2，…，n)称为二项
式系数，第r＋1项Crnan－rbr称为通项．
• [说明] ①二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与 项数有关，而后者还与a，b的取值有关．
• ②运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由 题意列方程求出r，再求所需的项(或项的系数)．
(2)二项式系数的性质： ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等，体现了组合数性质Cnm＝Cnn－m； ②增减性与最大值： 当k＜n＋2 1时，二项式系数Ckn逐渐增大； 当k＞n＋2 1时，二项式系数Ckn逐渐减小；
•
有3封信，4个信简．
• (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法？
• (2)把3封信都寄出，且每个信简中最多一封信，有多少种寄 信方法？
• [思维点击] 本题关键是要搞清楚以“谁”为主研究问 题．解决这类问题，切忌死记公式，应清楚哪类元素必须应 该用完，就以它为主进行分析，再用分步计数原理求解．
(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄 出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第 三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数 原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法．
(2)典型的排列问题，共有A34＝24种寄信方法．
• 1．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代 表队，共可组成( )
• A．7队 B．8队 • C．15队 D．63队 • 解析： 由分步乘法计数原理，知共可组成7×9＝63队． • 答案： D
• 2.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开， 若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
[说明] 公式①主要用于具体的计算，公式②主要用于 化简．
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分类加法计数原理与分步乘法 计数原理2
巩固复习
1.两个计数原理:
分类计数原理:完成一件事,有n类方式,在第1类方式中有m1种 不同的方法,在第2类方式中有m2种不同的方法, …,在第n类方 式中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种 不同的方法
分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有m1种 不同的方法,做第2步有m2种不同的方法, …,做第n步有mn种不 同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方 法 2.两者的区别:
综合问题:
• 例７ 若直线方程ax+by=0中的a,b可以 从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数 字,则方程所表示的不同的直线共有多少条?
三．课堂练习：
1、要从甲、乙、丙三名工人中选出两名分 别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ 2、某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小 号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会 小号，从中选出会钢琴和会小号的各一人， 有多少种不同的选法？
分类加法计数原理是一次性能够完成任务,各种方法之间没有 顺序;而分布乘法计数原理 是不能一次性能够完成任务,需要 分多步才能完成,各步之间是有顺序的.
典例分析:
• 例1 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等 两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机 内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进 制。为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码， 每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算 机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位 构成。问： • （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字 符？ • （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉 字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个 汉字至少要用多少个字节表示？
例2 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程 序员需要知道到底有多少条执行路径(即程序从开始到结束的路 线),以便知道需要提供多少个测试数据.一般地,一个程序模块由 许多字模块组成.如图,它是一个具有许多执行路径的程序模块.问: 这个程序模块有多少条执行路径? 另外,为了减少测试时间,程序员需要设法减少测试次数.你能 帮助程序员设计一个测试方法,以减少测试次数吗? • • • • • • 字模块1 18条执行路径 字模块4字 38条执行路径 结束 开始 字模块2 45条执行路径 字模块3 28条执行路径
5、书架上原来并排放着5本不同的书，现要 插入三本不同的书，那么不同的插法有多少 种？
四.课堂小节
• 用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是 开始计算之前要进行分析——需要分类还是分步. • 分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对 每一类进行计数，最后用分类加法原理求和，得 到总数。 • 分步要做到“步骤完整”——完成了所有的 步骤，恰好完成任务，步与步之间要相互独立。 分步后再计算每一步的方法数，最后根据分布乘 法计数原理，把完成每一步的方法相乘，得到总 数。
模块5 43条执行路径
例3 随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有 量迅速增长,汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出 台了一种汽车牌照组成办法,每一个汽车牌照都必须 有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字, 并且3个字母必须合成一组出现,3个数字也必须合成 一组出现.那么这种办法共能给多少两汽车上牌照?
排数字问题
例4 用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位 的奇数? (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000 的自然数? (3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位 数字不允许重复的四位数?
变式:
1.将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方 格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与 所填的数字均不同的填法有_____种
3、用红、黄、蓝不同颜色的旗各三面，每 次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向 排列，共可以组成多少种不同的信号？
4、（1）8张卡片上写着0,1,2,…,7共8个数 字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成 多少个不同的三位数？
（2）4张卡片的正、反面分别写有0与1、 2与3、4与5、6与7，将其中的3张卡片排放在 一起，共有多少个不同的三位数？
五、ห้องสมุดไป่ตู้业
• 1、同步作业本 • 2、课本P12 A、B两组。
•
2.自然数2520有多少个正约数？
映射个数问题:
• 例5 设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B 共有多少种不同的映射?
•变式: •(1)6个人分到3个车间,共有多少种分发? •(2)6个人分工栽3棵树,每人只栽1棵,共有多 少种不同方案?
染色问题:
• 例6 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求 在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中 不用同一种颜色. • (1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法? • (2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n • • • • ① ② (1) ③ ④ ① ③ ② (2) ④
巩固复习
1.两个计数原理:
分类计数原理:完成一件事,有n类方式,在第1类方式中有m1种 不同的方法,在第2类方式中有m2种不同的方法, …,在第n类方 式中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种 不同的方法
分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有m1种 不同的方法,做第2步有m2种不同的方法, …,做第n步有mn种不 同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方 法 2.两者的区别:
综合问题:
• 例７ 若直线方程ax+by=0中的a,b可以 从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数 字,则方程所表示的不同的直线共有多少条?
三．课堂练习：
1、要从甲、乙、丙三名工人中选出两名分 别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ 2、某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小 号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会 小号，从中选出会钢琴和会小号的各一人， 有多少种不同的选法？
分类加法计数原理是一次性能够完成任务,各种方法之间没有 顺序;而分布乘法计数原理 是不能一次性能够完成任务,需要 分多步才能完成,各步之间是有顺序的.
典例分析:
• 例1 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等 两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机 内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进 制。为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码， 每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算 机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位 构成。问： • （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字 符？ • （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉 字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个 汉字至少要用多少个字节表示？
例2 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程 序员需要知道到底有多少条执行路径(即程序从开始到结束的路 线),以便知道需要提供多少个测试数据.一般地,一个程序模块由 许多字模块组成.如图,它是一个具有许多执行路径的程序模块.问: 这个程序模块有多少条执行路径? 另外,为了减少测试时间,程序员需要设法减少测试次数.你能 帮助程序员设计一个测试方法,以减少测试次数吗? • • • • • • 字模块1 18条执行路径 字模块4字 38条执行路径 结束 开始 字模块2 45条执行路径 字模块3 28条执行路径
5、书架上原来并排放着5本不同的书，现要 插入三本不同的书，那么不同的插法有多少 种？
四.课堂小节
• 用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是 开始计算之前要进行分析——需要分类还是分步. • 分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对 每一类进行计数，最后用分类加法原理求和，得 到总数。 • 分步要做到“步骤完整”——完成了所有的 步骤，恰好完成任务，步与步之间要相互独立。 分步后再计算每一步的方法数，最后根据分布乘 法计数原理，把完成每一步的方法相乘，得到总 数。
模块5 43条执行路径
例3 随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有 量迅速增长,汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出 台了一种汽车牌照组成办法,每一个汽车牌照都必须 有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字, 并且3个字母必须合成一组出现,3个数字也必须合成 一组出现.那么这种办法共能给多少两汽车上牌照?
排数字问题
例4 用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位 的奇数? (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000 的自然数? (3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位 数字不允许重复的四位数?
变式:
1.将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方 格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与 所填的数字均不同的填法有_____种
3、用红、黄、蓝不同颜色的旗各三面，每 次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向 排列，共可以组成多少种不同的信号？
4、（1）8张卡片上写着0,1,2,…,7共8个数 字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成 多少个不同的三位数？
（2）4张卡片的正、反面分别写有0与1、 2与3、4与5、6与7，将其中的3张卡片排放在 一起，共有多少个不同的三位数？
五、ห้องสมุดไป่ตู้业
• 1、同步作业本 • 2、课本P12 A、B两组。
•
2.自然数2520有多少个正约数？
映射个数问题:
• 例5 设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B 共有多少种不同的映射?
•变式: •(1)6个人分到3个车间,共有多少种分发? •(2)6个人分工栽3棵树,每人只栽1棵,共有多 少种不同方案?
染色问题:
• 例6 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求 在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中 不用同一种颜色. • (1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法? • (2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n • • • • ① ② (1) ③ ④ ① ③ ② (2) ④