量子力学复习指南 - 中国人民大学

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高等量子力学复习纲要

高等量子力学复习纲要2012级硕士生高等量子力学期末考试复习纲要 1. 会证明矢量空间中矢量的一些基本运算性质和定理;由右矢空间中矢量的关系证明左矢空间中相应的关系;有限维空间中各种不同的完全集所含矢量数目相同。

2. 会利用Schmidt正交化方法构造基矢;会利用直积基矢来展开波函数。

3. 会证明一些重要的公式与定理，比如:算符有逆定理;Glauber公式;厄米算符的性质定理;幺正算符的性质定理;投影算符的性质;本征矢量的完全集等。

定理4. 会证明幺正变换不改变矢量和算符的关系式;有逆算符不改变矢量的相关性。

5. 掌握量子力学的五个基本原理。

6. 会利用Levi-Civita符号及算符的基本对易关系证明角动量算符各分量与其它算符各分量的对易关系。

7. 会利用作用在位置和动量本征矢量上的升降算符的定义证明动量算符的本征矢量在坐标表象中的表示。

8. 会利用角动量的升降算符讨论对给定的角量子数j相应磁量子数m的取值范围;利用轨道角动量的本征函数所满足的本征值方程求解。

Y(,,,)Y(,,,)lm009. 试述绘景变换与表象变换的关系;三种绘景的区别和联系;会证明Heisenber方程;相互作用绘景中态矢量和算符所满足的方程。

10. 试给出薛定谔绘景中密度算符的表达式，并由此推导Liouville方程;会证明密度算符是厄米算符。

11. 会判断纯态和混合态;会由态的密度矩阵求力学量的平均值或者相反;会由不正交参与态构成的混合态构造正交参与态构成的混合态。

12. 能写出真空和电磁场中电子的所满足的Dirac方程及其协变形式;给出其中各物理量的含义;给出并证明自由电子体系的守恒量;会说明为何自由电子的哈密顿的本征矢量为何是高度简并的。

13. 会推导位置算符和动量算符在空间反演下的变换性质;能写出空间平移和空间转动算符的形式;会区分标量和矢量算符;会区分真标量和赝标量以及真矢量和轴矢量算符。

14. 理解系统在某一空间对称变换下具有不变性的含义，能写出系统在空间变换Q下具有不变性的明确数学表达式。

中国人民大学《617量子力学》考研真题详解

中国人民大学《617量子力学》考研真题详解2021年中国人民大学理学院物理系《617量子力学》考研全套目录•全国名校量子力学考研真题汇编•2021年量子力学考研真题精解精析50题说明：本科目考研真题不对外公布（暂时难以获得），通过分析参考教材知识点，精选了有类似考点的其他院校相关考研真题，以供参考。

2．教材教辅•曾谨言《量子力学教程》（第3版）配套题库【名校考研真题＋课后习题＋章节题库＋模拟试题】•曾谨言《量子力学导论》（第2版）网授精讲班【39课时】说明：以上为本科目参考教材配套的辅导资料。

•试看部分内容2021年量子力学考研真题精解精析50题1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。

假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。

（1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数；（2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。

（注意：参数在不同范围内，情况会不同）[浙江大学2014研]【解题思路】①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。

②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。

③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。

【解析】（1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量由薛定谔方程得本征能量为本征波函数为两粒子间有相互作用设因此即所以因为所以两粒子是费米子，满足费米狄拉克统计，体系的总波函数要求交换反对称，并且S＝0或者S＝1。

因为，所以体系基态选择，因此体系坐标部分的波函数为满足交换对称性。

天津市考研物理学复习资料量子力学基础知识点整理

天津市考研物理学复习资料量子力学基础知识点整理量子力学是现代物理学的重要分支，研究微观世界的物质和能量。

对于天津市考研物理学的复习来说，掌握量子力学的基础知识点至关重要。

本文将对量子力学的基础知识点进行整理和总结，旨在帮助考生更好地复习并取得优异的成绩。

一、波粒二象性波粒二象性是指微观粒子既表现出颗粒性，又表现出波动性。

最早的实验证明波粒二象性是通过电子的实验观察得出的。

德布罗意提出了与物质相关的波动性，即波动性质的物质粒子的波长与其动量呈反比关系。

根据波动性质，可以使用波函数来描述微观粒子的状态。

二、波函数与波函数的物理意义波函数是量子力学中用来描述微观粒子状态的数学函数。

波函数不同于经典物理学中的物体，波函数本身并没有物理意义，但是它的平方模的物理意义是微观粒子出现在某一状态的概率分布。

波函数的波动性质决定了微观粒子的行为方式。

三、定态与定态方程定态是指量子力学系统处于某一确定状态下。

定态方程是描述定态的波函数满足的方程。

对于定态，其波函数不随时间而变化，因此可以用定态方程来描述。

四、薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学定态和非定态的核心方程。

它可以用来推导和解释宏观和微观系统的性质。

薛定谔方程是一个偏微分方程，由哈密顿算符和波函数构成。

通过求解薛定谔方程，可以得到系统的波函数与能量本征值。

五、量子力学的算符在量子力学中，算符是非常重要的概念。

算符代表着物理量的某种操作，可以对波函数进行测量和转换。

算符在量子力学中以线性向量空间的形式出现，其本征值表示实测结果。

六、测量与不确定性原理测量是量子力学中重要的操作之一。

测量会导致量子态塌缩，即由波函数处于多个状态的叠加态向一个确定的状态过渡。

不确定性原理规定了在某些物理量的测量中，存在测量结果的不确定性。

根据不确定性原理，位置和动量、时间和能量等一些物理量具有相应的不确定性关系。

七、自旋与统计自旋是微观粒子固有的一种性质，类似于物体的旋转。

常见的自旋为1/2的粒子有电子、光子等。

量子力学复习提纲

量子力学复习提纲2008级材料物理专业《量子力学》复习提纲要点之一1. 20世纪初，经典理论在解释黑体辐射、光电效应和原子光谱的线状结构等实验结果时遇到了严重的困难。

爱因斯坦在普朗克“ 能量子”假设的启发下，提出了“光量子”的概念，认为光是由一颗颗具有一定能量的粒子组成的粒子流。

2. 描述光的粒子性的能量E 和动量P与描述其波动性的频率（或角频率）和波矢K由 Planck- Einstein 方程联系起来，即：ων ==h E ；K n h P ==λ。

3. 德布罗意提出，一切物质粒子（原子、电子、质子等）都具有粒子、波动二重性，在一定条件下，表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。

4. 描述微观粒子（如原子、电子、质子等）粒子性的物理量为能量E 和动量P，描述其波动性的物理量为频率（或角频率）和波长，它们间的关系可用德布罗意关系式表示，即：ων ==h E ； K n h P==λ。

5. 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述，而是用波函数来描述。

描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波，即：)(),(Et r p i p Ae t r -?=ψ。

6. 波函数在空间某点的强度，即波函数模的平方，与在该点找到粒子的几率成正比例，即描写粒子的波可认为是几率波，反映了微观粒子运动的统计规律。

7. 波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。

8. 通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表示为)(0*n m dx n m ≠=?ψψ。

9. 设G ??和F的对易关系为k i G F ?]?,?[=，且G G G F F F -=?-=,??，则G ??和F 的测不准关系式为：4)?()?(222k G F≥；如果k 不等于零，则的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着F和G ?不能同时测定。

中国人民大学原子与分子物理考研参考书目与考试科目

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第 1 页共 1 页中国人民大学原子与分子物理考研参考书目与考
试科目
初试：
量子力学：
《量子力学》卷I 曾谨言科学出版社 2013年第5版
配套答案：量子力学教程习题剖析孙婷雅编科学出版社
另外可以参考下量子力学考研辅导（第2版）史守华著清华大学热力学与统计物理：
《热力学与统计物理》第5版汪志诚高等教育出版社 2013年配套答案：热力学统计物理学习辅导书第四版高等教育出版社
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中国人民大学物理系考研重点(含真题大意)

中国人民大学物理系考研重点介绍考研参考书：量子力学量子力学教程第二版曾谨言著科学出版社配套答案：量子力学教程习题剖析孙婷雅编科学出版社另外可以参考下量子力学考研辅导（第2版）史守华著清华大学出版社热力学统计物理学热力学统计物理第四版王志诚著高等教育出版社配套答案：热力学统计物理学习辅导书第四版高等教育出版社考研范围量子力学官方给出的范围是1）波粒二象性与态的叠加原理、波函数的统计诠释、薛定锷方程2）一维定态问题3）算符与表象理论4）量子力学中的对称性与守恒量5）中心力场6）电磁场中的量子力学运动7）自旋8）微扰论与变分法9）量子跃迁10）散射理论但考试中有些考的可能性很小，量子力学教程中复习1——8章、10章基本可以应付考试了。

根据近三年的真题可以推出重点是：无限深方势阱、算符、全同粒子、中心力场、自旋、微扰论近三年的考试内容2011、2012年都是五道大题，2013年是四道大题2011年考研真题无限深方势阱、三电子自旋耦合、中心力场、粒子在磁场中运动、薛定谔方程2012年考研真题一、自旋类似于量子力学教程中p1618.1、8.2、8.4、8.5。

二、球方势阱量子力学考研辅导书中有类似的题。

三、氢原子的斯达克效应，考虑n=2的情况，涉及微扰论，参考p181例3。

四、两电子自旋耦合。

类似量子力学教程中p1628.8。

五、两个粒子在一维无限深方势阱中运动。

考虑微扰。

2013年考研真题一、(20分)自旋，以Sx为本征基态求Sz的矩阵表示。

二、（30分）一维线性谐振子。

三、（50分）自旋为1/2的粒子处于静磁场中。

四、（50分）一维无限深方势阱，两个粒子不考虑自旋以及考虑自旋情况下基态，第一激发态下本征值、本征函数、简并度。

热力学与统计物理官方给出的范围是1）热力学基本定律2）均匀物质的热力学性质3）热动平衡判据4）微观运动状态的描述5）玻尔兹曼统计6）玻色统计与费米统计7）系综理论8）相变的初步知识根据考试范围可以看出书中第1、2、3、4、6、7、8、9章是需要看的，第5、10、11章是不需要看的。

量子力学复习提纲

量子力学复习提纲一波函数一、波函数的意义及性质在量子力学理论体系中，体系的状态用波函数来描述，一般记为),(t rψ=ψ，其物理意义是玻恩的几率解释：在时刻t ，在),,(z y x 附近体积元dxdydz 内发现粒子（体系）的几率为dxdydz t r 2|),(|ψ。

对波函数，要认识一下几个问题： 1、关于波函数的归一化问题（1）几率描述中实质问题是相对几率，即要求任意两点的几率比值相同即可，因此),(t r ψ和),(t r Cψ描述的是同一个几率波。

这导致波函数总有一个不确定的常数因子。

（2）根据（1），我们一般要求波函数归一化，即选择常数C ，使1||2=ψ?τd C不过这样选择的常数C ，还有一个不确定的相因子，我们把满足这个条件的常数C ，叫归一化常数。

（3）由于我们关注的是相对几率，因此在某些情形下，我们也使用一些非归一化的波函数，如自由粒子平面波函数r p i e r=2/3)2(1)(πψ 粒子的位置本征函数)()(0r r r-=δψ2、波函数的标准化条件（1）既然波函数是几率波，因此要求波函数模方为有限，是必然的。

即=ψ2||有限值。

但实际上，只要波函数满足=ψτd 2||有限就可以了。

例如对粒子位置本征函数就是这样。

而这种放宽的条件会导致波函数在某点的值变为无穷大。

这也是允许的。

（2）波函数的连续性要根据定态薛定谔方程来确定。

)()()](2[222x E x x V dx d ψψμ=+- 因此，如果)(x V 是x 的连续函数，则)(x ψ和dxd ψ必为x 的连续函数。

如果><=ax V a x Vx V 21)(，其中21,V V 是常数，且)(12V V -有限，则波函数及其一阶导数连续。

证明：将薛定谔方程在a x =邻域积分，得0)(])([2)0()0(2l i m''=-?→?=--+?+-dx x E x V a a a a ψμψψεε所以，)('x ψ连续，从而)(x ψ也连续。

量子力学期末考试复习重点、复习提纲

量子力学期末考试复习重点、复习提纲量子力学期末考试复习重点、复习提纲第一章绪论1、了解黑体辐射、光电效应和康普顿效应。

2、掌握玻尔—索末菲的量子化条件公式。

3、掌握并会应用德布罗意公式。

4、了解戴维逊-革末的电子衍射实验。

第二章波函数和薛定谔方程1、掌握、区别及计算概率密度和概率2、掌握可积波函数归一化的方法3、理解态叠加原理是波函数的线性叠加4、掌握概率流密度矢量5、理解定态的概念和特点6、掌握并会应用薛定谔方程求解一维无限深方势阱中粒子的波函数及对应能级7、掌握线性谐振子的能级8、定性掌握隧道效应的概念及应用。

第三章量子力学中的力学量1、会算符的基本计算2、掌握厄米算符的定义公式，并能够证明常见力学量算符是厄米算符。

3、了解波函数归一化的两种方法4、掌握动量算符及其本征方程和本征函数5、掌握角动量平方算符和z分量算符各自的本征值，本征方程6、掌握三个量子数n,l,m的取值范围。

7、了解氢原子体系转化为二体问题8、掌握并会求氢原子处于基态时电子的最可几半径9、掌握并会证明定理属于不同本征值（分立谱）的两个本征函数相互正交10、力学量算符F的本征函数组成正交归一系的表达式（分立谱和连续谱）11、理解本征函数的完全性，掌握波函数按某力学量的本征函数展开（分立谱），会求展开系数，理解展开系数的意义。

12、掌握两个计算期望值的公式，会证明其等价性，能应用两公式计算期望值13、掌握坐标、动量算符之间的对易关系，掌握角动量算符之间的对易关系。

14、掌握并会证明定理如果两个算符有一组共同本征函数，而且本征函数组成完全系，则两个算符对易15、掌握不确定关系不等式。

第四章态和力学量的表象（4.1~4.3节）1、理解和掌握什么是表象2、理解不同表象中的波函数描写同一状态。

3、理解态矢量和希尔伯特空间4、了解算符F在Q表象中的表示形式，算符在其自身表象中的表示形式。

物理学专业考研复习资料量子力学重难点解析

物理学专业考研复习资料量子力学重难点解析物理学专业考研复习资料：量子力学重难点解析量子力学是现代物理学的基石之一，也是物理学专业考研中的重要科目。

掌握量子力学的基本原理和重难点是考研复习的关键。

本文将针对量子力学考研的重难点进行解析，希望能够帮助考生更好地备考。

一、波粒二象性及波函数波粒二象性是量子力学的核心概念之一。

在量子力学中，粒子既具有粒子性带电荷，也具有波动性。

对于微观粒子，无法同时确定其粒子位置和动量，这体现了不确定性原理。

在考研复习中，需要理解和掌握波粒二象性的基本概念，如德布罗意假说和波粒对应关系等。

波函数是描述量子力学体系的基本工具，它可以用来计算各种物理量的期望值。

在考研复习中，需要熟悉波函数的表示形式、归一化条件以及波函数的解释等内容。

此外，还要了解波函数的复性质和相位因子的影响。

二、量子力学中的算符和测量算符是量子力学中非常重要的概念，用来描述各种物理量。

在考研复习中，需要了解常见算符的定义和性质，如位置算符、动量算符和角动量算符等。

此外，还要熟悉算符的本征值和本征函数，并能够运用算符进行计算。

测量是量子力学中另一个重要的概念，用来描述对量子力学体系进行观测的过程。

在考研复习中，需要理解测量对波函数的坍缩和测量结果的统计性质。

同时，还应了解不可约性原理和干涉现象在测量中的应用。

三、量子力学中的定态和定态方程定态是量子力学中一种非常重要的数学抽象，用来描述处于某一能量状态的粒子体系。

在考研复习中，需要理解定态波函数和定态方程的概念，如定态薛定谔方程等。

此外，还要了解定态能量的取值和定态波函数的特点。

定态方程是量子力学中的基本方程之一，可以用来求解粒子的波函数和能级。

在考研复习中，需要熟悉定态方程的求解方法，如无限深势阱、简谐振子和氢原子等模型的定态方程求解。

四、量子力学中的角动量角动量是量子力学中的重要物理量，也是考研复习的难点之一。

在考研复习中，需要了解轨道角动量和自旋角动量的定义和性质。

《量子力学》复习资料提纲

)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述（2）波函数具有什么样的特性（3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性）第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性）第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋）第七章三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。

四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。

五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。

第一章绪论1、德布洛意假设：德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射：附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。

2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。

中国人民大学617-量子力学考研参考书目、考研真题、复试分数线

中国人民大学617-量子力学考研参考书目、考研真题、复试分数线617-量子力学课程介绍量子力学（Quantum Mechanics）是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。

量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。

同时，量子力学也面临着无法诠释自身理论基础的难题，成为当前物理学的困惑。

面对此理论现象，《量子笔迹》一书首次提出了“微观作用”原理，微观作用属于量子力学背后更深层次的理论，微观作用力属于一种未被发现的力（《量子笔迹》一书已经给出，不同于已知力的作用形式），这种力存在于微观粒子之间，在知道了这种力的作用形式之后，量子力学现象得到理解，量子力学由概率因果关系重新回归到决定论的因果关系。

量子力学是描写微观物质的一个物理学理论，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱，许多物理学理论和科学如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的学科都是以量子力学为基础所进行的。

19世纪末，经典力学和经典电动力学在描述微观系统时的不足越来越明显。

量子力学是在20世纪初由马克斯·普朗克、尼尔斯·玻尔、沃纳·海森堡、埃尔温·薛定谔、沃尔夫冈·泡利、路易·德布罗意、马克斯·玻恩、恩里科·费米、保罗·狄拉克、阿尔伯特·爱因斯坦、康普顿等一大批物理学家共同创立的。

通过量子力学的发展人们对物质的结构以及其相互作用的见解被革命化地改变。

通过量子力学许多现象才得以真正地被解释，新的、无法直接想象出来的现象被预言，但是这些现象可以通过量子力学被精确地计算出来，而且后来也获得了非常精确的实验证明。

除通过广义相对论描写的引力外，至今所有其它物理基本相互作用均可以在量子力学的框架内描写（量子场论）。

量子力学复习提纲

量子力学复习提纲1. 粒子的双缝实验的结论是什么？答：粒子具有波动性2. 在量子力学中，波函数的波动方程是什么？它是定态薛定谔方程吗？答：量子力学中波函数的波动方程是),()](2[),(22t r r V mt r t i →→→+∇-=∂∂ψψ ，它不是定态薛定谔方程，定态薛定谔方程是假设势能V 不显含时间t ，其形式是：)()](2[)(22→→→+∇-=r r V mr E ψψ3. 波函数除了归一化要求之外的三个标准条件是什么？答：单值、连续、有限。

4. 写出一维无限深方势阱的能量本征函数及能量本征值。

答：5. 写出一维线性谐振子的能量本征函数及能量本征值。

222220,0(),ˆ,()()2()sin(),1,2,3,,1,2,3ˆ(2,2ˆ)n n n n nx x a U x x others H x E x n xx n a an E n P U x a H ψψπψπμμ<<⎧=⎨∞∈⎩=⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭==+=6. 动量算符的本征函数和本征值是什么？其本征函数如何归一？答：动量算符的本征函数是：)ex p()2(1)(23r p ir p ⋅=πψ，其本征值为p 。

其只能归以为函数δ函数，即)()()('*'p p d r r pp -=⎰∞δτϕϕ。

7. 在三维直角坐标系中，角动量算符的表示式是什么？动量（矢量）算符的本征函数和本征值是什么？答：ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆxz y yx z zy x L yp zp i y z z y Lzp xp i z x xz L xp yp i x y yx ⎛⎫∂∂=-=-- ⎪∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫=-=-- ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂=-=-- ⎪∂∂⎝⎭ 动量算符的本征函数和本征值如上。

8. 在球坐标系中，角动量平方算符的表示式又是什么？它的本征函数和本征值是什么？其中什么是轨道角动量量子数（角量子数）？取值范围是哪些数值？答：()22222222222222222222ˆˆˆˆ,11sinsin sinˆ11ˆsinsin sinx y zL L L Lctg ctgDDθϕθθθϕϕθθθθθθϕθθθθθϕ=++⎛⎫∂∂∂∂=-+++⎪∂∂∂∂⎝⎭⎡⎤∂∂∂⎛⎫=-+⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦=⎡⎤∂∂∂⎛⎫=-+⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦22ˆ(,)(1)(,)ˆ(,)(,)lm lmz lm lmL Y l l YL Y m Yθϕθϕθϕθϕ=+=l表征轨道角动量的大小，称为轨道角动量角量子数，l＝０，１，２，……m则称为轨道角动量的磁量子数，对应于一个l的值，m可取(2l+1)个值，m=l,l-1,l-2,…,1,0,-1,-2,…,-l9.在球坐标系中，角动量在极轴上的投影算符如何表达？其本征函数和本征值是什么？其中什么是轨道角动量磁量子数（磁量子数）？取值范围是哪些数值？答：答案如上10.量子力学中关于波函数与力学量的两个假设，告诉你什么结论，试用你自己的语言归纳出5条结论。

量子力学复习资料

量子力学复习资料量子力学复习资料量子力学是现代物理学的重要分支之一，研究微观世界的规律和现象。

它的发展对于人类认识自然界的深度和广度有着重要的推动作用。

在学习量子力学的过程中，复习资料是不可或缺的工具，它可以帮助我们理解和掌握这门学科的基本概念和数学表达方式。

本文将介绍一些常见的量子力学复习资料，并探讨如何利用它们提高学习效果。

首先，量子力学教材是学习的基础。

在市面上有很多经典的量子力学教材，如《量子力学导论》、《量子力学及其应用》等。

这些教材通常包含了量子力学的基本原理、数学表达和应用等内容。

在复习过程中，我们可以通过阅读教材来加深对知识点的理解和记忆。

同时，教材中通常会附带一些例题和习题，我们可以通过解题来巩固所学知识，并检验自己的掌握程度。

其次，量子力学的讲义和笔记也是很有价值的复习资料。

讲义和笔记通常是老师在课堂上讲解时整理的，它们更加简洁明了，便于我们快速回顾和理解。

在复习过程中，我们可以结合教材和讲义，对照着复习，找出自己的不足之处，并加以弥补。

此外，讲义和笔记还可以记录一些重要的知识点和公式，方便我们随时翻阅，加深记忆。

除了教材和讲义，量子力学的习题集也是必备的复习资料。

习题集中通常包含了大量的习题，涵盖了各个知识点和难度级别。

通过做习题，我们可以提高自己的问题解决能力和应用能力。

在解题过程中，我们可以思考问题的解题思路和方法，并与标准答案进行对比，找出自己的不足之处，并加以改进。

同时，习题集中的习题也可以帮助我们巩固所学知识，加深记忆。

此外，互联网上还有很多量子力学的学习资源，如在线课程、学术论文等。

在线课程通常由一些著名的大学或机构提供，它们可以帮助我们系统地学习量子力学的各个方面。

学术论文则是一些研究者在量子力学领域的研究成果，它们可以帮助我们了解最新的研究进展和前沿问题。

在利用互联网资源时，我们要注意选择权威和可靠的来源，并结合自己的实际情况进行学习和研究。

总之，量子力学复习资料是我们学习和掌握这门学科的重要工具。

量子力学复习计划

《量子力学》复习计划本复习计划总共分为五个阶段：第一阶段（7月——9月中旬）第二阶段（9月中旬——10月底）第三阶段（11月初——11月底）第四阶段（12月初——12月底）第五阶段（元旦后——考研前）第一阶段（7月——9月中旬）：重点复习以下内容，能够将课本内容和对应的课后练习至少过一遍，最好能认真过两遍。

做到心中有数。

课程名称：量子力学第一章绪论1. 复习内容第一节经典物理学的困难第二节光的波粒二象性第三节原子结构的玻尔理论第四节微粒的波粒二象性补充：再这一章里面还有设计到得重点实验，一定要掌握它的实验原理，基本上每年都会考。

2．复习要求了解经典物理学在解释相关量子物理现象的困难理解原子结构的玻耳理论掌握光和粒子的波粒二象性关系第二章波函数和薛定谔方程1. 复习内容第一节波函数的统计解释第二节态迭加原理第三节薛定谔方程第四节粒子流密度和粒子数守恒定律第五节定态薛定谔方程第六节一维无限深势阱第七节线性谐振子第八节势垒贯穿本章习题课和复习必须完成课后的2.1, 2.2, 2.4, 2.5, 2.6, 2.72．复习要求了解熟悉薛定谔方程的假设；理解波函数的玻恩解释；掌握：（1）波的态迭加原理及波函数的标准条件；（2）粒子流密度和粒子数守恒定律；（3）求解一维无限深势阱、线性谐振子的定态薛定谔方程，并能分析势垒贯穿。

第三章量子力学中的力学量（10学时）1. 复习内容第一节表示力学量的算符第二节动量算符和角动量算符第三节电子在库仑场中的运动第四节氢原子第五节厄密算符本征函数的正交性第六节算符与力学量的关系第七节算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系第八节力学量平均值随时间的变化守恒定律本章习题课和复习必须完成课后：1， 2 ，6，7，8，9，10.2．复习要求了解厄米算符本征函数的正交性；两力学量同时有确定值的条件，测不准关系和力学量守恒定律理解力学量算符的假设；掌握动量算符和角动量算符；掌握厄密算符及算符的对易关系；能运用上述知识分析氢原子。

量子力学主要知识点复习资料

大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答局部 1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。

这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量e 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,⋅⋅⋅对频率为n 的谐振子, 最小能量e 为: νh =ε波粒二象性〔wave-particle duality 〕是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。

波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。

在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。

前者的典型例子是光，后者那么组成了我们常说的“物质〞。

1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开场意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。

1924年，德布罗意提出“物质波〞假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。

根据这一假说，电子也会具有干预和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。

德布罗意公式h νmc E ==2 λhm p ==v在量子力学中，引入一个物理量：波函数，来描述粒子所具有的波粒二象性。

波函数满足薛定格波动方程粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。

所以，应该表示粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。

从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。

自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -⋅=ψ=ψ波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性4. 波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设C 是一个常数，那么和对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是一样的。

相位不定性如果常数，那么和对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是一样的。

表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。

表示点(x,y,z )处的体积元中找到粒子的概率。

这就是波函数的统计诠释。

河南省考研物理学复习资料量子力学基础知识总结

河南省考研物理学复习资料量子力学基础知识总结量子力学是物理学中的基础学科，研究微观粒子的行为和性质。

作为河南省考研物理学的复习资料，掌握量子力学的基础知识是非常重要的。

本文将对量子力学的基础知识进行总结，以帮助考生高效备考。

一、波粒二象性量子力学的核心概念之一是波粒二象性。

根据德布罗意的假设，微观粒子也具有波动特性。

这一特性可以通过波函数来描述，而波函数的模的平方表示了该位置上发现粒子的概率。

同时，微观粒子也表现出粒子性，例如在观察实验中能够被探测到。

二、薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基础方程，描述了体系的波函数随时间演化的规律。

对于定态系统，薛定谔方程有简化形式，即定态薛定谔方程。

定态薛定谔方程是一个亥姆霍兹方程，可以通过求解该方程得到体系的能量本征值和相应的波函数。

三、量子力学算符在量子力学中，物理量用算符来表示。

例如，位置算符、动量算符、角动量算符等。

这些算符作用在波函数上，可以得到相应的物理量的值。

四、量子力学的可观测量和本征值对于可观测量，量子力学给出了一些重要的规律。

首先，可观测量的值必须是实数。

其次，可观测量具有本征值，即在某个本征态下的测量结果就是相应的本征值。

通过求解薛定谔方程可以得到体系的能量本征值和相应的波函数，其中能量本征值即为能量算符的本征值。

五、不确定性原理不确定性原理是量子力学中的重要原理之一，由海森堡提出。

该原理指出，对于某一对物理量，如位置和动量，精确测量其中一个物理量的结果将导致对另一个物理量的测量结果的不确定性增加。

换句话说，无法同时准确测量这一对物理量。

六、量子力学中的统计解释量子力学的统计解释是对微观粒子行为的概率性描述。

例如在双缝实验中，粒子以一定的概率通过不同的缝隙，形成干涉图样。

这种行为无法用经典的物理学描述，只能通过波函数的统计解释来理解。

七、量子力学的基本定律量子力学中有一些基本的定律，如量子力学的线性叠加原理、量子力学的量子态叠加原理等。

这些定律对于理解量子力学的基本原理和进行相应的计算是至关重要的。

2017年-2018年人民大学凝聚态物理考研参考书目

2018年人民大学凝聚态物理考研参考书目量子力学：《量子力学》卷I 曾谨言科学出版社2013年第5版配套答案：量子力学教程习题剖析孙婷雅编科学出版社另外可以参考下量子力学考研辅导（第2版）史守华著清华大学专业规划新祥旭教研室对专业课解析：正是由于专业课比较复杂，只要考生认真研究专业课，把握专业课考试的本质和规律，那么，专业课的复习就能够事半功倍。

第一阶段：确定专业在这一阶段，同学必须要根据三个最重要的因素来正确选择报考专业。

这三个重要因素是：1.本科专业与研究生专业的匹配程度2.对研究生专业真实的喜好程度3.对研究生专业天然的擅长程度第二阶段：进行通用知识点学习在专业确定后，还需更多时间考虑更多因素才能最终决策报考学校。

在定了专业却没定学校的这段时期，很多同学不会进行专业课学习，因为他们认为同一专业，不同学校考的不一样，在没有最终确定学校之前，无法开始学习。

其实这是一个错误的认识。

因为，虽然不同学校同一专业学习内容不全相同，但只要是同属于一个专业，无论哪个学校所的考查范围，一定有20%左右的知识点是重叠的。

这不同学校都一致要求掌握的20%相同知识点，我们称之为通用知识点。

通用知识点往往是基础层面的知识点，也就是在未定学校之前就应该开始学习的专业课内容。

我们在确定专业后，就应采用特殊方案锁定通用知识点，然后针对通用知识点，进行2轮预热理解与1轮初始记忆。

第三阶段：确定学校这一阶段，同学应综合多种因素来正确选择报考学校。

影响学校选择的因素很多，但最重要的一个因素是你自身的考试能力。

同一专业，不同学校竞争强度不同，越好的学校越难考，你有多强的考试能力你就可以考多好的学校。

但是自己的考试能力未来能强到什么程度，自己力所能及的最好学校是那所学校，所以确定学校的一个重要因素就是充分的了解自己的实力。

第四阶段：进行全范围知识点学习在报考学校确定后，同学应利用四种资料(专业招生目录、历年真题、公开指定参考书籍和内部默认学习资料)来确定专业课需要复习的全部知识点范围。

量子力学复习提纲

量子力学复习提纲第一章绪论 1.德布罗意关系, E h νω==(1)h p n k λ==(2)2.微观粒子的波粒二象性.3. 电子被V 伏电压加速,则电子的德布罗意波长为12.25hA λ=≈(3)第二章波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释:波函数在空间某一点的强度()2,r t ψ 和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波. 其中2w*=ψψ=ψ代表几率密度.2.态叠加原理:如果1ψ和2ψ是体系的可能状态,那么它们的线性叠加1122c c ψ=ψ+ψ,也是体系的一个可能状态.3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程薛定谔方程()(),ˆ,r t i H r t t∂ψ=ψ∂(4)定态薛定谔方程()()ˆH r E r ψ=ψ (5)其中()22ˆ2H U r μ=-∇+ (6)为哈密顿算符,又称为能量算符,4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括ψ及其一阶导数)和单值性.5. 波函数的归一化,1d τ*∞ψψ=⎰(9)6.求解一维薛定谔方程的几个例子.一维无限深势阱及其变种, 一维线性谐振子; 势垒贯穿.第三章量子力学中的力学量1. 坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则;2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念ˆF ψλψ= (10)3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.ˆF dx ψφ*=⎰()ˆF dx ψφ*⎰(11)实数性: 厄密算符的本征值是实数.正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交.完全性: 厄密算符ˆF的本征函数()n x φ和()x λφ组成完全系, 即任一函数()x ψ可以按()n x φ和()x λφ展开为级数:()()()n n nx c x c x d λλψφφλ=+∑⎰ (12)展开系数: ()()nnc x x dx φψ*=⎰, (13)()()c x x dx λλφψ*=⎰. (14)2nc 是在()x ψ态中测量力学量F 得到nλ的几率,2c d λλ是在()x ψ态中测量力学量F ,得到测量结果在λ到d λλ+范围内的几率.4. 2ˆL 和ˆZL 算符的本征值方程,本征值和本征函数. ()22ˆ1L l l ψψ=+ , ˆzL m ψψ= 本征函数 (),lm Y θφ.5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数nlm ψ的数学结构, ()()(),,,nlmnl lm r R r Y ψθφθφ= (15)主量子数n ,角量子数l 和磁量子数m 的取值范围,简并态的概念.6. 氢原子的能级公式和能级的简并度.422,1,2,3,...2s n e E n nμ=-= (16)不考虑电子的自旋是2n 度简并的;考虑电子的自旋是22n 度简并的.7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在(),,r θφ点周围的体积元内的几率()22,,sin nlm r r drd d ψθφθθφ(17)计算电子几率的径向分布和角分布.计算在半径r 到r dr +的球壳内找到电子的几率. 8. 给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式.()()ˆF x F x dx ψψ*=⎰(18) 注意(11)式对波函数所在的空间作积分. 9. 算符的对易关系及测不准关系.(1) 如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时具有确定值(即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数.例如: 氢原子的哈密顿算符ˆH ,角动量平方算符2ˆL 和角动量算符ˆz L 相互对易, 则(i) 它们有共同的本征函数nlm ψ, (ii) 在态nlm ψ中,它们同时具有确定值:4222s n e E n μ=-,()21l l + , m .(2) 测不准关系:如果算符ˆF和ˆG 不对易,则一般来说它们不能同时有确定值. 设ˆFˆG -ˆG ˆF =ˆik 则算符ˆF和ˆG 的均方偏差满足:()_______2ˆF ∆⋅()_______22ˆ4k G ∆≥(19)其中 ()()________________________2222222F F F F FF F F F ∆=-=-+=-()__________222F F F ∆=-, ()__________222G G G ∆=-(a) 利用测不准关系估计氢原子的基态能量, 线性谐振子的零点能等.(b) 给定态函数ψ,计算两个力学量ˆF和ˆG 的均方偏差的乘积()_______2ˆF∆⋅()_______2ˆ?G ∆=(20)第四章态和力学量的表象 1. 对表象的理解(1) 状态ψ: 态矢量(2) Q 表象:力学量Q 的本征函数 ()()()12,,...,...n u x u x u x构成无限维希耳伯特空间(坐标系)的基矢量 (4) 将态矢量按照上述基矢量展开:()()(),n n nx t a t u x ψ=∑()()()12,,...,...n a t a t a t 是态矢量ψ在Q 表象中沿各基矢量的分量.(5) ()2n a t 是在(),x t ψ所描写的态中,测量力学量Q 得到结果为n Q 的几率. 2. 算符在Q 表象中的表示(i)算符ˆF在Q 表象中是一个矩阵, nm F 称为矩阵元 ()(),nm nm F u x F x u x dx i x *∂⎛⎫≡ ⎪∂⎝⎭⎰(ii) 算符在自身表象中是一个对角矩阵,其对角矩阵元为该算符对应的本征值. 3. 量子力学公式的矩阵表述 (1) 平均值公式:†F F =ψψ (21)(2) 本征值方程 → 久期方程()()()()()()1111121222122212 ... ... ... ... : : : ... ... : : :m m n n nm mm a t a t F F F a t a t F F F F F F a t a t λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭→ 111212122212 ... ... ... ... 0... ... ..............................n n n n nn F F F F F F F F F λλλ--=-(3) 薛定谔方程的矩阵形式 di H dtψ=ψ(22) 4. 么正变换的概念(1) 么正变换是两个表象基矢量之间的变换矩阵. (2) 么正变换的矩阵元由两个表象的基矢量共同确定,()()()(),.n n m m S x x dx S x x dx ββααψϕψϕ***⎫=⎪⎬=⎪⎭⎰⎰(3) 态矢量由A 表象变换到B 表象的公式1b S a -= (23)(4) 力学量ˆF由A 表象变换到B 表象的公式: 1F S FS -'= (24)5. 么正变换的性质(i) 么正变换不改变算符的本征值; (ii) 么正变换不改变矩阵F 的迹; (iii) 么正变换不改变力学量的平均值.第五章微扰理论(I) 求解非简并定态微扰问题 (1) 确定微扰的哈密顿算符ˆH'. ()0ˆˆˆHH H '=+, 及与()0ˆH对应的零级近似能量()n E 和零级近似波函数()0nψ;(2) 计算能量的一级修正:()()()100ˆn nn E H d ψψτ*'=⎰ (25)(3) 计算波函数的一级修正:()()()()10'00mn n m mn mH E E ψψ'=-∑(26) (4) 计算能量的二级修正:()()()22'0nln ln l H E E E '=-∑ (27)(II) 求解非简并定态微扰问题 (只要求能量的一级修正) 求解步骤(1) 确定微扰的哈密顿算符ˆH'. (2) 确定微扰算符的矩阵元:ˆliH '=ˆl i H d φφτ*'⎰(28)(3) 求解久期方程得到能量的一级修正()()()111121121222112.........................................................n k n k kkkkn H E H H H H E H H H H E '''-'''-='''- (29)(III) 变分法不作要求 (IV) 含时微扰论 (1) 基本步骤设0ˆH 的本征函数为n φ为已知:0ˆn n nH φεφ=(30)将ψ按照0ˆH 的定态波函数n it n n e εφ-Φ=展开:()n nna t ψ=Φ∑(31)展开系数的表达式:()01mk ti t m mka t H e dt i ω'''=⎰(32)其中ˆmn m n H H d φφτ*''=⎰(33)是微扰矩阵元,()1m nmnωεε=-(34)为体系由n ε能级跃迁到m ε能级的玻尔频率. 在t 时刻发现体系处于m Φ态的几率是()2m a t , 体系在微扰的作用下,由初态k Φ跃迁到终态m Φ的几率为()2k m m W a t →= (35)(2) 用于周期微扰()()ˆˆi t i t H t F e e ωω-'=+得到()()()11mk mk i t i t mk m mk mk F e e a t ωωωωωωωω''+-⎡⎤--=-+⎢⎥+-⎣⎦(36)由(36)式,讨论并理解发生跃迁的条件是mkωω=±或m k m k εεω=± (37)(i) 表明只有外界的微扰含有频率mk ω时,体系才能从k Φ态跃迁到m Φ态,这时体系吸收和发射的能量是mk ω ;(ii)跃迁是一个共振现象.(3) 能量时间的测不准关系的含义E t ∆∆ (38)(4) 了解原子的跃迁几率和三个爱因斯坦系数:mk A , mkB 和km B 及相互关系. (5) 了解用含时微扰理论计算爱因斯坦发射和吸收系数(6) 记住对角量子数和磁量子数的选择定则1,0, 1.l l l m m m '∆=-=±⎫⎬'∆=-=±⎭(39) 第六章散射只要求理解微分散射截面的概论, 不作计算要求.第七章自旋与全同粒子1. 电子的自旋角动量S ,它在空间任何方向的投影只能取 2z S =± (40) 2. 自旋算符的矩阵形式 01ˆ210x S ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ , 0ˆ20y i S i ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭ , 10ˆ201z S ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭(41) 3.泡利矩阵 01ˆ10x σ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 0ˆ0y i i σ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭, 10ˆ01z σ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭ (42)(1) 求力学量在某个自旋态的平均值和均方偏差.†G G =ψψ (43)()11121†1222122G G G G G G **⎛⎫ψ⎛⎫=ψψ=ψψ ⎪ ⎪ ⎪ψ⎝⎭⎝⎭ (44) (2)求解自旋角动量算符的本征值方程, 本征值和本征函数4. 自旋与轨道角动量的耦合及产生光谱的精细结构的原因.5. 全同性原理的表述6. 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称或反对称的,它们的对称性不随时间改变.实验证明,微观粒子按照其波函数的对称性可以分为两类: (I) 费米子: 波函数是反对称的;(II) 玻色子: 波函数是对称的.7.泡利不相容原理:不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态.。

上海市考研物理学复习资料量子力学重要公式速查手册

上海市考研物理学复习资料量子力学重要公式速查手册量子力学是物理学中一门重要的学科，研究微观世界的规律和性质。

而在考研物理学的复习过程中，重要的公式是必不可少的。

本文为上海市考研物理学复习资料，将为大家提供一个量子力学重要公式速查手册。

一、波函数与概率密度1. 波函数的一般形式：Ψ(x, t) = Aei(kx-ωt)2. 波函数归一化条件：∫|Ψ(x, t)|²dx = 1二、力学量与算符1. 力学量算符：Â2. 力学量的平均值：<A> = ∫Ψ*(x, t)ÂΨ(x, t)dx三、定态薛定谔方程1. 薛定谔方程：ĤΨ(x, t) = iℏ(∂/∂t)Ψ(x, t)2. 定态薛定谔方程：ĤΨ_n(x) = E_nΨ_n(x)四、不确定度原理1. 动量与位置的不确定度原理：ΔpΔx ≥ ℏ/22. 能量与时间的不确定度原理：ΔEΔt ≥ ℏ/2五、算符性质1. 正则算符的对易关系：[â, â† ] = 12. 和平方算符的对易关系：[x, p] = iℏ六、定态束缚态1. 一维薛定谔方程的解：Ψ(x) = Aei(kx)+Bei(-kx)2. 边界条件：Ψ(0) = Ψ(L) = 0七、氢原子1. 氢原子径向定态波函数：R_nl(r) = (2/n^2)(1/nr)^lL_n-l-1^2[(2l+1)r/na_0]e^(-r/na_0)2. 氢原子角向定态波函数：Y_lm(θ, φ) = (-1)^m√((2l+1)/4π)(l-m)!(l+m)!P_l^m(cosθ)e^(imφ)总结：本手册罗列了上海市考研物理学复习所需的量子力学重要公式，涵盖了波函数与概率密度、力学量与算符、定态薛定谔方程、不确定度原理、算符性质、定态束缚态和氢原子等方面。

通过使用这个速查手册，考生可以更便捷地回顾与复习重要公式，以提高复习效率和备考质量。

（注：本手册所列公式仅作速查参考之用，具体使用时请结合教材和实际情况。