二次根式小结与复习
二次根式小结与复习教案人教版
3.将根号内的表达式分解为两个一次根式的乘积，即√(4x^2 - 9y^2) = √(2x + 3y) * √(2x - 3y)。
答案：√(4x^2 - 9y^2) = √(2x + 3y) * √(2x - 3y)。
4.作业指导：对学生在作业中遇到的问题进行指导，帮助学生理解和解决难点。通过作业指导，帮助学生提高对二次根式的理解和运用能力。
5.作业激励：通过激励措施，鼓励学生认真完成作业。如表扬优秀作业，给予小奖励等，激发学生的学习兴趣和主动性。
反思改进措施
（一）教学特色创新
1.引入实践案例：通过引入实际生活中的二次根式应用案例，让学生更好地理解二次根式的实际意义和应用价值，激发学生的学习兴趣。
1.2讨论法：组织学生进行小组讨论，让学生分享自己的理解和思路，通过交流和讨论，提高学生对二次根式的理解和运用能力。
1.3实践法：通过布置练习题，让学生在实践中运用二次根式，解决实际问题，培养学生的逻辑推理和数学建模能力。
2.教学手段
2.1多媒体设备：利用多媒体设备，展示二次根式的图像和实际应用场景，帮助学生直观地理解二次根式的概念和性质。
学生在知识方面，大部分已经掌握了二次根式的基本概念和性质，但程度不一。对于二次根式的运算规则，部分学生还掌握得不够熟练，需要通过练习来提高。在能力方面，大部分学生能够运用二次根式进行简单的运算，但解决实际问题的能力有待提高。部分学生在逻辑推理和数学建模方面存在困难，需要通过老师的引导和练习来提升。
在素质方面，大部分学生对数学学科有一定的兴趣，但部分学生对数学学科的学习积极性不高，可能影响到对二次根式的学习。在行为习惯方面，部分学生课堂纪律较好，能够认真听讲，但也有部分学生在课堂上的注意力不集中，容易走神。
21.4第二十一章《二次根式》小结与复习(陈沃根)
∴原式＝
(3)若化简|1－x|－
x2－8x＋16 的结果为2x－5，则x的取
值范围是________． 1≤x≤4 解析：∵|1－x|－ x2－8x＋16 ＝(x－1)－(4－x)＝2x－5， ∴|1－x|＝x－1≥0，x≥1， 且 x2－8x＋16 ＝4－x≥0，x≤4. ∴1≤x≤4.
知能迁移2
2012 10＋3)]
ห้องสมุดไป่ตู้
[2分] [4分]
＝[( 10 )2－32]2012 ＝(10－9)2010＝1
题型四
二次根式运算中的技巧
【例4】 (1)已知x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ，求：x2＋xy＋y2的值； (2)已知x＋ 1 ＝－3，求x－ 1 的值． x x 解：(1)∵x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ， ∴x＋y＝(2－ 3 )＋(2＋ 3 )＝4， xy＝(2－ 3 )×(2＋ 3 )＝1， ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15.
1 1 (2)∵ ( x－ )2 ＝( x＋ )2 －4＝(－3)2－4＝5， x x ∴x－ 1 ＝± 5 . x
(2)已知a＝3＋2 5 ，b＝3－2 5 ，求a2b－ab2的值；
解：∵a－b＝(3＋2
5)－(3－2 5 )＝4 5 ， ab＝(3＋2 5 )(3－2 5 )＝－11，
∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4 5 ＝－44 5 .
|6－3m|＋(n－5)2＋|n|· m－3＝3m－6， ∴m－3＝0且n－5＝0，
∴m＝3，n＝5，m－n＝3－5＝－2.
思想方法 感悟提高
方法技巧
1.二次根式相加减，必须先化成最简二次根式，才能有效地合 并同类二次根式；二次根式乘除，不必化简为最简二次根式，
二次根式的小结与复习
第十二章小结与思考
本课时是让学生对本章知识进行梳理，对全章的知识有个全面的认识，能站在更高的角度看待全章.学生经过一阶段的学习，学到了很多的数学知识，而这些知识内容在学生头脑中是零散的，应该重视基础，但不能片面理解为面面俱到的基础知识简单堆积和基本技能重复操练.复习教学就是要完善学生头脑中的这一认知结构.要优化学生头脑中的认知结构，必须引导学生自主活动，对知识进行主动建构.因此，教师和学生双方都应在此基础上建构数学知识框架，并用知识树等方式表示出来，同时要建立这一章的知识与其他知识的联系，例
a的化简与a的化简的关系，二次根式有意义与函数自变量取值的关系等等.同时，如：2
还要能举一反三、触类旁通，在学生已有的知识领域的基础上进一步提高、迁移，拓宽学生的知识面，更新知识结构．
本节的教学目标：
1.梳理全章概念，了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质.
2.熟练进行二次根式的乘除法运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
3.理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算.
4.了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式.
学习重、难点：对本章基础知识的整理归纳，二次根式的运算．
教学过程：。
第21章二次根式小结与复习课件
式子有意义的条件是：
x2
（1）被开方数大于或等于0。
（2）分母不能为0。
变式训练：
1、若代数式 m 2 是二次根式，则m的取
值范围是
。
2、如果式子 m 1 有意义，则坐标系中
mn
点P（m，n)的位置在第（ ）象限。
第21章二次根式小结与复习课件
3. 当 - 2≤x＜1.5 时，有 x2 12x意义。
第21章二次根式小结与复习课件
变式练习： 3、能使二次根式 (x2)2有意义的实数x的值有（ B ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个
4.已x知 、 y是实 ,且 数 y x24 4x2 1 x2
求 3x4y的.值
第21章二次根式小结与复习课件
知识点3、二次根式的性质
1.( a)2 a (a 0)
8 22
5
3
93
mn n 5
第21章二次根式小结与复习课件
1、计算： 1 2 8 2 48 6
2、化简 (1) (16)(81) (2) 40
(3)3 1 3
(4) 4 1 9
(5) 0.2
变式训练：已知b＞0,化简 a3b 的结果是（ ）
A.a ab B.a ab C.a ab D.a ab
二次根式的化简，最终要化为最简二次根式。
回顾：什么叫最简二次根式？
第21章二次根式小结与复习课件
5、已知 a,b,c为△ AB的 C 三边, 长
化简(abc)2 (bac)2
6.化简
1
1 -
2
3
2 - 2 32
3
2
3- 7 2
2
2
7 5 2 7
4
人教版八年级下册二次根式小结与复习
3.若x，y是实数，且y＜
x1
1x 12,求
1 y
y 1
的值.
解：根据题意得， 1x
1≥ x≥
0， 0，
∴x=1.
.
∵y＜ x1 1x1,
2
∴y＜ 1 ，
2
∴ 1 y 1 y 1 .
y 1 y 1
要点梳理 二、二次根式的性质
( a )2
a2
从运算 顺序看 从取值 范围看 从运算 结果看
意义
解：x2-2x-3=(x-3)(x+1) 3 133 1 1
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知
和
均为0.
32 32 1 . 解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
除法： ＝____(a≥0，b>0)．
乘法：
＝______(a≥0，b≥0)；
3.已知 x 51, y 51，求 x xy y 的值. 学调7(【若 解②(31定))法动解二：内定__理指 学 析 次由 在时_1分导生】根 题特定在母必的根式 意征量角_须学据得：做_的与习题被m_一无平-教积意开2些根分≥学极及方客0号线且改性二数观有，上m革。次a题意根的2≥同根和义-0号m点走式中，-无到2进与档求≠_这0行完_题m，个_，全的，分角协平取训母的调方值练_两_开式范速_边。展的围度的，非．和距持负正离之性确相以可率等恒知，。适我量们做在一和数些学综教合学题的，同提时高应解均关题为于思20理维. 论能联力系。实并际及，时因2总人结而、异记，忆因，材内施化教提，高充。分
二次根 式乘法
拓展法则
a b ka bk （ a 0 ,b 0 ,k 0 )
m a nb = m na b （ a 0 ,b 0 )
二次根式小结与复习教案 人教版(精品教案)
非负数， (27)2 表示的是（）的算术平方根，结果应是，此类利用平方根、算术平方根、
立方根的定义及符号含义来判断题目，常常用到．
例：计算（ 18 48)( 32 12 ）（ 2 3 ）．
解：原式（ 2 3 ）（ 2 3 ）（ 2 3 ）
× 6 6 ×（ 6 ）
66
6
【教师评析】 进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，
经历探究二次根式概念及运算的过程，体会二次根式的解题方法． 解决问题 在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法． 情感态度
培养学生良好的运算习惯和不懈的探索精神. 重难点、关键 重点：二次根式的化简以及运算 难点：二次根式性质、法则的正确使用． 关键：充分理解二次根式的概念，运用知识迁移的手法，体会二次根式的混合运算的 算法． 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题 学生准备：写一份本单元知识结构图． 教学过程 一、回顾交流 【教学方略】 将学生分成四人小组，交流各自书写的“单元知识结构图”进行概括总结．
加减法：先将二次根式化成最简的二次 根式，再将被开方数相同的二次根式进 行合并。
乘法： a A b ab(a 0,b 0)
除法： a a (a 0,b 0) bb
【师生共识】 （）二次根式有关概念：
二次根式：形如 a （≥）的式子
最简二次根式：（）被开方数不含分母； （）被开方数中不含能开尽方的因数或因式。 （）二次根式性质：
课本 复习题 第、、、、、题
hing at a time and All things in their being are good for somethin
【活动方略】 学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
《二次根式》小结与复习教案正式版
《二次根式》小结与复习教案教学内容本节课主要是对二次根式进行系统复习,巩固所学知识，提升应用方法．教学目标知识技能会理解二次根式的意义,会化简二次根式，会进行二次根式的乘除、加减混合运算．．数学思考经历探究二次根式概念及运算的过程，体会二次根式的解题方法．解决问题在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法．情感态度培养学生良好的运算习惯和不懈的探索精神。
重难点、关键重点：二次根式的化简以及运算难点:二次根式性质、法则的正确使用．关键：充分理解二次根式的概念，运用知识迁移的手法,•体会二次根式的混合运算的算法．教学准备教师准备:制作课件，精选习题学生准备:写一份本单元知识结构图．教学过程一、回顾交流【教学方略】将学生分成四人小组，•交流各自书写的“单元知识结构图”进行概括总结．知识网络图表【师生共识】 （1)二次根式有关概念: 二次根式：形如(a ≥0）的式子 最简二次根式：(a)被开方数不含分母; (b)被开方数中不含能开尽方的因数或因式。
（2）二次根式性质：2(0)((0,0)0,0)a a a a a b a b a b =≥==≥≥=≥>为实数） （3）二次根式运算法则：加减法：先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并．(0,(0,a b a b a b ≥≥>加减法：先将二次根式化成最简的二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
a b ab =(a a a b b =·（a≥0,b≥0）a≥0，b〉0)二、范例点击例1：下列各式中，正确的是（ )A±4 B=-5 C3=-答案：C【教师评析】A错，等号左边表示的是算术平方根，右边却是正负两个值；B错,•等号左边表示的是算术平方根，右边应是5；C对，-27的立方根只有一个实数-3；D错,•任何一个非负数的算27)2的算术平方根，结果应是27，此类利用平方根、算术平方根、立方根的定义及符号含义来判断题目,常常用到．例2:-（—)2．解:原式=（3+4）（4—2)-（—）2=12×2-6+16—8×3—（5-2）=10-5+2=12—5【教师评析】进行根式运算时,要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧,使=，•但这样计算量较大，不如将各根式化简后再乘方便,还要特别注意不要出现(-）2=（)2-（）2,此类常犯的错误．另外,根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如172不能写成812．三、随堂巩固课本P26 复习题21 第1、2、3、8、10、11题【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】为学生提供实际演练的机会，加强对已学知识的复习并检查对新知识的掌握情况.四、小结作业1。
初中数学二次根式知识点总结
二次根式知识点总结
二次根式加减计算方法总结：
整式的加减归结为合并同类项,二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式，二次根式相加减的一般过程是：把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并
步骤:
1.化简：先将二次根式化简成最简二次根式（最简二次根式条件:1.被开方数的因数是整数，因式是整式；
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）
2.合并：将同类二次根式进行合并
易错总结：
1.不是最简二次根式要化成最简二次根式；
2.去括号时括号外面如果是负号，括号里面的符号要变号；
3.注意同类二次根式要合并。
二次根式乘除计算方法总结：
易错总结：
结果要化成最简二次根式
二次根式混合计算方法总结：
先算乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的，能利用
运算律或者乘法公
式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算。
易错总结：
1.进行根式计算时，要正确运用运算法则和乘法公式
2.与因式相乘的因数若是带分数，必须化成假分数
3.最终结果必须化成最简二次根式
4.去绝对值符号时，若绝对值符号里面是负数，去绝对值符号要改成相反数。
二次根式的复习和小结
12
2
2
2 1
2
2 1 2
1
2 1
例题5.
已知x 1 2 3 ，求代数式
7 4
3 x
2
2
3 x
3 的值.
例题பைடு நூலகம்.
已 知 a b 4, ab 2 ， 求 a b b a 的值.
例题7.比较大小.
1 a
3 2,b 2 3,c 4 b c d 0, x 则 a , b , c的 大 小 关 系 是 ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ . ab cd , y ac bd , z ad bc ,
2x 4
2
2 x 5 _______ .
3.最简二次根式.
满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式: ①____________________________________; ②____________________________________.
练习:
1.下列各式属于最简二次根式的是(
A . 8 B. x
2
)
D. 1 2
1
C.
y
3
2.下列各式中，哪些是同类二次根式？
75 1 50 1 27 12 32
例题4.计算.
1 2 3 4
5a b
3
a
2
b 1 2 3
2
a
b 0 2 2 7 3
28 5 1 2 3
1
x y
3 2
2
1 3x 5
(3) x 5 3 2 x
二次根式小结与复习
二次根式小结与复习基础盘点 1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式；（2）形如a b （a ≥0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0.2.二次根式的基本性质（1）a _____0（a ___0）；（2）()2a ＝_____（a ___0）；（3）a a =2＝()()⎩⎨⎧0_____0_____a a ；（4=____（a ___0，b ___0）；（5=_______（a ___0，b ___0）.3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含_______；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都______.4.二次根式的乘、除法则：（1=_____（a ___0，b ___0）；（2=_________（a ___0，b ___0）. 复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2()()⎩⎨⎧<-≥00a a a a 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外； （2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成_________后，如果_______相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_______，然后把___ ______进行合并.复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算.7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先____，再____，最后 ____，有括号的先_____内的.复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式.8.二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.考点呈现考点1 二次根式有意义的条件例1 若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≥34B.x ＞34C.x ≥43D.x ＞43 方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0.考点2 二次根式的性质 例2 下列各式中，正确的是（ ） A.()332-=- B.332-=- C.()332±=± D.332±=方法总结：()a a =2成立的条件是a ≥0，而在化简()2a 时，先要判断a 的正负情况.考点3 二次根式的非负性 例3 已知32552--+-=x x y ，则xy 2的值为（ ） A.—15 B.15 C.215- D.215 方法总结：二次根式a （a ≥0）具有双重非负性，即a ≥0、a ≥0.考点4 最简二次根式例4 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A.51 B.5.0 C.5 D.50 方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止.考点5 二次根式的运算例5 计算1824-×31＝____. 方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则.考点6 二次根式的化简求值例6 若120142013-=m ，则34520132m m m --的值是_____. 方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.误区点拨一、考虑问题不全面例1 代数式21-x 中，x 的取值范围是______. 错解：根据题意，得2-x ≥0，解得x ≥2，故填x ≥2.剖析：整体观察式子的特点，存在分母，应满足分母不为0的条件；又存在二次根式，应满足被开方数为非负数. 错解只注意被开方数的非负性，而忽略了分式中分母不为0的条件.正解：根据题意，得2-x ＞0，解得x ＞2，故填x ＞2.二、理解性质出错例2 求()23-的值.错解：()23-＝—3.剖析：()23-表示()23-的算术平方根，应为正数. 错解由于对二次根式的性质理解不透而犯错.正解：()23-＝9＝3. 三、忽略运算顺序例3 计算3312⨯÷.错解：原式＝212=÷.剖析：由于乘除是同一级运算，应按照从左到右的顺序进行.正解：原式＝23332=⨯⨯.四、对最简二次根式判断不准例4 下列各式中是最简二次根式的是（ ）A.23 B.36 C.2.1 D.49 错解：选C.剖析：最简二次根式的被开方数中既不含开的尽方的因式或因数，也不含分母，满足条件的只有B. 错解只看表面形式，不求甚解，C 中被开方数是小数形式，化为分数后，可继续化简.正解：选B.专题二 利用二次根式的性质将代数式化简4. 把(a b -化成最简二次根式正确的结果是（ ）5.实数、________=.跟踪训练1.根式3-x 中x 的取值范围是（ ）A.x ≥3B.x ≤3C.x ＜3D.x ＞32.下列各式是最简二次根式的是（ ） A.20 B.1.2 C.72 D.51 3.下列各式中，与3是同类二次根式的是（ ） A.18 B.24 C.12 D.94.化简122154+⨯的结果是（ ）A.25 B.36 C.3 D.35 5.下列运算正确的是（ ）A.25＝±5 B.12734=- C.9218=÷ D.62324=∙ 6.已知：132-=-b a ，3=ab ，则()()11-+b a 的值为（ ）A.3-B.33C.223-D.13-7.已知三角形三边的长分别为18cm 、12cm 、18cm ，则它的周长为_____cm.8.当m ＜0时，化简mm 2＝____. 9.计算：()2850÷-的结果是_____. 10.实数在数轴上的位置如下图所示，化简()221-+-a a ＝_____.11.已知011=-++b a ，则20132013b a +＝____.12.如果最简二次根式a m a --7与m 2是同类二次根式，则a ＝____，m ＝____.13.先化简，再求值：()()()633--+-a a a a ，其中215+=a . 14.先化简，再求值：221a a a +-+，其中1007=a . 下图是小亮和小芳的解答过（1）_____的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___________.（3）先化简，再求值：9622+-+a a a ，其中2007-=a .专题一 乘法公式与二次根式的混合运算1. 计算：65)23()23(-+.。
二次根式复习与小结
二次根式复习与小结学习目的：1、能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简.2、能过比较熟练进行二次根式的运算.3、会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题. 学习重、难点：重点：二次根式的性质的应用，二次根式的运算，二次根式的应用. 难点：二次根式的化简及运用。
学习过程：一、知识结构二、知识点复习1.形如 的代数式叫做二次根式.（即一个 的算术平方根叫做二次根式） 强调：二次根式被开方数不小于02.二次根式的性质：双重非负性=2)a ( （a ≥0）， =2a =⎪⎩⎪⎨⎧<≥0)（a 0）(a=ab （a ≥0，b ≥0）=ba（a ≥0，b ＞0） 3.二次根式的运算：二次根式乘法法则 ab b a =⨯（a ≥0，b ≥0）二次根式除法法则ab ba =（a ≥0，b ＞0）二次根式的加减： 类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并.二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如22222b 2ab a )b a (;b a b)-b)(a (a +±=±-=+）仍然适用. 三、例题讲解例1：当x_____时,式子在实数范围内有意义. 分析：二次根式有意义的条件是被开方数非负，5-x例题2、 解：例题3、计算1、 2、3、 4、课堂练习1、下列各式中与 是同类二次根式的是（ ）2、下列运算中错误的是 （ ）3、当a 为______时，二次根式的值最小。
4、 5、计算下列各式：课后练习：一、填空题___,0)2(52的值为则若b a b a +=++-3,25,0205=+⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=-b a b a b a 所以解得由题意可知2141822-+()()34341222--⨯-()2ba -()()23322332-+.12121,321:4222的值求已知例mm m m m m m ：m -+---+-+=224、A 12、B 23、C 18、D 632=⨯、A 2221=、B 252322=+、C ()32322-=-、D ____,522=+-+-=xy x x y 则已知2145051183)1(-+、()1212122⎪⎭⎫⎝⎛--+）、（()()()122212213-⎪⎭⎫ ⎝⎛+---、()()323214+--、（1）下列二次根式中，同类二次根式是。
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二次根式小结与复习
夏飞
【主要内容】
本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、•同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．
【要点归纳】
1. 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．
2. 二次根式的性质：
①
②
③
④
3. 二次根式的运算
二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．
（1）二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相
加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
（2）二次根式的乘法：
（3）二次根式的除法：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
（4）二次根式的混合运算：
先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．
注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成
假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．
（5）有理化因式：
一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①与；②与；
③与；④与．
说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．
【难点指导】
1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；
2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；
3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；
4、区别和的不同：
中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．
5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：
（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：
6、二次根式的比较：
（1）若，则有；（2）若，则有．
说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．
二次根式强化训练与复习巩固自测试题
【时间60分钟满分100分】
一、填空题：（每小题2分，共20分）
1．化简：______；_________．
2．当______时，．
3．等式成立的条件是______．
4．当，化简_______．
5．比较与的大小：_______．
6．分母有理化：
（1）__________；（2）__________；（3）__________．7．已知，，，那么________．
8．计算_________．
9．如果，那么的值为___________．
10．若有意义，则的取值范围是___________．
二、选择题：（每小题2分，共20分）
1．下式中不是二次根式的为（）
A．；B．；C．；D．
2．计算得（）
A．；B．C．D．17
3．若，则化简等于（）A．B．C．D．1
4．化简的结果是（）
A．B．C．D．
5．计算的结果是（）
A．B．C．D．
6．化简的结果是（）
A．2 B．C．D．以上答案都不对7．把式子中根号外的移到根号内，得（）A．B．C．D．
8．等式成立的条件是（）
A．B．C．D．
9．的值为（）
A．B．C．D．
10．若代数式有意义，则的取值范围是（）
A．且B．C．且D．且三、计算与化简：（每小题2分，共16分）
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
四、求值题：（每小题4分，共16分）
1．已知：，求的值．
2．已知，求的值。
3．已知：，求的值．
4．求的值．
5．已知、是实数，且，求的值．
五、解答题：（每小题4分，共16分）
1．解方程：
2．在△ABC中，三边分别为，且满足，，试探求△ABC的形状．
3．有一种房梁的截面积是一个矩形，•且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm 的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？
答案与提示：
一、填空题：
1．8；2．；3．，；4．；5．；6．（1）（2）（3）7．；8．；9．4；10．；
二、选择题：
1．B；2．B；3．C；4．A；5．A；6．C；7．C；8．A；9．B；10．C；
三、计算与化简：
（1）96 （2）（3）（4）（5）（6）
（7）（8）（9）
（10）思路点拨：由于，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，•再通过解含有字母系数的一元一次方程得到的值，代入化简得结果即可．
解：原式
．
四、求值题：
1．由于，所以；
2．解：∵，∴
∴，∴，∴
∴原式．
3．提示：由，得：，即：
，所以，；再化简，即：
．
4．提示：由于
，而，所以．
5．提示：由，可知的取值范围：，则；则
．
五、解答题：
1．原方程可化为：，
∴∴
2．∵，∴，
又∵，∴，∴，∴；
∵，，，∴，，，∴，∴△ABC是等边三角形．
3．设：矩形房梁的宽为，则长为，依题意，
得：，，，
所以．
答：加工后的房梁的最大截面积是．。