二次根式单元小结(一)

__ . a 4 + 4 a 有意义的条件是 a=4
2.(2005.青岛)
3.求下列二次根式中字母的取值范围
1 x 5 3 x
解： x
3- x 0
5 0
①
②
解得
- 5≤x＜3
练习与反馈
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ 的取值范围 1 （１） （３） （５）
3 x
二次根式的概念
１．二次根式的定义： 形如 a（a 0）的式子 叫做二次根式
２．二次根式的识别： （１）．被开方数
a0
（２）．根指数是２
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
①
是
15
2
②
不是
2
3a
③
x 100
是
④
a b
是
2
⑤
不是
a2 1
⑥
不是
2
2
( 2x) ( 3y) 2x 3y 2x 3 y
2



．在实数范围内分解因式 2
（１）
x 2
2
（２）
（３）
x 2 3x 3
x 9x
5
（４）
a 3a 2
4 2
6．若
x 1
求
y 1 0
2
x y
2
2
的值
2
7． 求下列各式的值 （１）( 3)
2
（２） (3) （４）
（３） ( x 1)
( x 1)
2
8．计算 （１） ( 5) 2 ( 5) 2 （２） ( 10)2 (3 3)2
题型3最简二次根式：
１、被开方数不含分数； ２、被开方数不含开的尽方的因数或因式； 注意：分母中不含二次根式。
1 x x
（２） （４）
2x 5
x 3 8 x
2
x 2 2 x （６） x 2x 1
题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知：
x4 +
2x y
=0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 解得
x-4=0 且 2x+y=0 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
练习1：把下列各式化为最简二次根式
1 5
5 5
32
4 2
2 7
2 7 7
2x3 3y
x 6 xy 3y
练习：把下列各式化成最简二次根式
(1) 1.5 ( 2) 4a 2 16a 2
2

3 6 2 2
20a 2 5a
题型4同类二次根式：
化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式。
2
，
3．若１＜Ｘ＜４，则化简 ( x 4) 2 ( x 1) 2 的结果是＿＿＿＿＿
4．设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c) (a b c) (b a c) (c b a)
2 2 2
2 2
2
5．若 a ( a ) ，则a的取值范围是（） a0 Ａ． Ｂ．a 0 Ｃ． Ｄ．a 为任意数 a0
下列哪些是同类二次根式
18
3 2
18
、
27
3 3
8
2 2
9m
32
3 m 4 2
8
、
32 是同类二次根式
题型5：利用 a ( a )2 (a 0) 进行分解因式
例：分解因式：
(1) x 2
2
2 2
x ( 2) x 2 x 2



(2)2 x 3 y
2
144
⑦a 2a 1是 ⑧ 35不是
３．二次根式的性质
（1）．
（2）． （3）．
a 0 （ａ 0）
( a) a
2
a a {
2
a ,a 0 a ,a 0
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当
≤3 时， 3 x 有意义。 x _____
知识结构
三个概念
最简二次根式
同类二次根式 有理化因式 1
ab a b a 0, b 0
二 次 根 式
两个性质 2 1、
a b
a b
2
(a 0, b 0)
两个公式
a
2
a a 0
2、
a a
aa 0 aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
2 =0,则x-y的值为( +3(y-2) x 1
D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
2．（１）
( 3) ____
2
2
（２）当 x 1 时， (1 x) ____ （３） ( x 2) 2 x 2 ， 则Ｘ的取值范围是＿＿＿
（４）若
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
( x 7) 1 x7