苏州市2013届高三第一学期期末调研测试数学试卷(word版)2013.1.25
圆锥曲线填空题
曲线的渐近线相切,则该双曲线的离心率为_____.
.（扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷）在平面直角坐标系 xOy
中,设椭圆与双曲线 y 2 3x 2 3 共焦点,且经过点
2，2 ,则该椭圆的离心率为____.
． （南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系 xOy 中,已知双
焦点,以线段 F1 F2 为边作正 MF1 F2 ,若边 MF1 的中点在此双曲线上,则此双曲线的离 心率为__________.
． （镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题）设双曲线
x2 y2 1 的左、右焦点分别为 a 2 b2
F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右支上,且 PF1 4 PF2 ,则此双曲线离心率的最大值为______.
填空题 ． （扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知椭圆
x2 y 2 1(a b 0) a 2 b2
的离心率 e
3 ,A、B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上不同于 A、B 的一点,直线 PA、 2
PB 斜倾角分别为 、 ,则
cos( ) =____. cos( )
一、填空题 【答案】
3 5
6 5 5 ,2
1 1; 2
2
【答案】2 【答案】
【答案】 x 12 y 【答案】4
【答案】
3 3 2
【答案】
2 2
5 20
2 y2 1. 【答案】 x
【答案】 【答案】
3 5 5
2 2
【答案】
F1 、 F2 分别是椭圆
江苏省13大市高三上学期期末数学试题分类汇编--导数及其应用.pdf
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编 导数及其应用 1、（南通市2013届高三期末）曲线在点(1，f(1))处的切线方程为 ▲ ． 答案：． 2、（苏州市2013届高三期末）过坐标原点作函数图像的切线，则切线斜率为 ． 答案： 3、（泰州市2013届高三期末）曲线y=2lnx在点（e,2）处的切线与y轴交点的坐标为 (0,0) 4、（扬州市2013届高三期末）已知函数（）在区间上取得最小值4，则 ▲ ． 5、（常州市2013届高三期末）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，，．a，b为常数且满足.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块建游客休息区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为（），如图．设，△的面积为． （1）求关于的函数关系式； （2）试确定点E的位置，使得直角三角形地 块的面积最大，并求出的最大值． 解：（1）设，则，整理，得．………3分 ，． …………………………………4分 （2） 当时，，在递增，故当时，； 当时，在上，，递增，在上，，递减，故当时，. 6、（连云港市2013届高三期末）（连云港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定医疗费用在2万元10万元2万元10万元方案报销医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加报销医疗费用不得低于医疗总费用的50%报销医疗费用不得超过万元. (1)请分析采用函数模型y0.05(x2+4x+8)作为报销方案； (2)若定采用函数模型y+a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数的值．(1)函数y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分 当x=10时,y有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分 但当x=3时,y=0得xb时由（1）知x1=b，x2=A（b,0）B 当a<b时 x1=,x2=b 同理可得a-b=(舍) 综上a-b=………………………………………………..………………………….7分 的减区间为即（b,b+1）（x）减区间为 ∴公共减区间为（b，b+）长度为…………………………….……………………10分 （3） 若，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负。
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--数列
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数 列一、填空题1、（常州市2013届高三期末）已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ▲ ． 答案：2324n n ⋅--2、（连云港市2013届高三期末）正项等比数列{a n }中，311a a =16，则22212l o gl o g a a += ▲ .答案：43、（南京市、盐城市2013届高三期末）在等差数列{}n a 中, 若9753=++a a a , 则其前9项和9S 的值为 ▲ 答案：274、（南通市2013届高三期末）若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104， 则a 5与a 7的等比中项为 ▲ ． 答案：42±．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .答案：－26、（扬州市2013届高三期末）数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且122012111a a a +++ =2，则201314a a -的最小值为 ▲ ． 答案：27-7、（镇江市2013届高三期末）在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知5423a S =+，6523a S =+，则此数列的公比q 为 ▲ ．答案：3;8、（镇江市2013届高三期末） 观察下列等式：31×2×12＝1－122， 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝ ▲ ． 答案：()nn 2111⋅+-二、解答题1、（常州市2013届高三期末） 已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =．（1）若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值．答案：解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所以21n a n =+，从而349b a ==，所以13n n b -=． ……………………3分 （2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则15a d =-，13b q=，35a d =+，33b q =.因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=． 设1133a b ma b n+=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，则3553d mq d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.解得2(10)362n m m n d -++--=（舍去负根）.35a d =+ ，∴要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈ ，64mn =，∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的637612d +=， 所以，最大的3737612a +=………16分 2、（连云港市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2＝a (a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足：S n ＝n (a n －a 1)2(n ∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；(3)是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第3p －2项?若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)证明:由已知，得a 1=S 1=1⋅(a 1－a 1)2=0，∴S n =na n2， ………………………2分则有S n +1=(n +1)a n +12，∴2(S n +1－S n )=(n +1)a n +1－na n ，即(n －1)a n +1=na n n ∈N*， ∴na n +2=(n +1)a n +1，两式相减得，2a n +1=a n +2+a n n ∈N*， ……………………………4分 即a n +1－a n +1=a n +1－a n n ∈N*， 故数列{a n }是等差数列.又a 1=0，a 2=a ，∴a n =(n －1)a . ………………………………6分 (2)若a =2，则a n =2(n －1)，∴S n =n (n -1).由21114m n a S -=，得n 2-n +11=(m -1)2，即4(m -1)2－(2n -1)2=43， ∴(2m +2n -3)(2m －2n -1)=43. ………………………………8分 ∵43是质数， 2m +2n -3>2m －2n -1， 2m +2n -3>0， ∴⎩⎨⎧2m －2n －1=12m +2n －3=43，解得m =12，n =11. ………………………………10分 (III)由a n +b ≤p ，得a (n －1)+b ≤p .若a <0，则n ≥p －ba +1，不合题意，舍去; ……………………………11分若a >0，则n ≤p －ba+1.∵不等式a n +b ≤p 成立的最大正整数解为3p －2，∴3p －2≤p －ba +1<3p －1， ………………………………13分即2a －b <(3a －1)p ≤3a －b ，对任意正整数p 都成立.∴3a －1=0，解得a =13， ………………………………15分此时，23－b <0≤1－b ，解得23<b ≤1.故存在实数a 、b 满足条件， a 与b 的取值范围是a =13，23<b ≤1. ………16分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列；数列{}n b 的前n 项和为3n nS t =-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得1n n c b a +=, 并求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立（其中2≥k , *∈N k ）, 试求实数的取值范围．答案：解: (1)因为{}n a 是等差数列,所以(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-…………2分 而数列{}n b 的前n项和为3n n S t =-,所以当2n ≥时,11(31)(31)23n n n n b --=---=⨯,又113b S t ==-,所以13,123,2n n t n b n --=⎧=⎨⨯≥⎩……………………4分 (2)证明:因为{}n b 是等比数列,所以113232t --=⨯=,即1t =,所以612n a n =- ………………5分对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于11123636(32)12n n n n b --+=⨯=⨯=⨯+-,令1*32n nc N -=+∈,则116(23)12n n c n a b -+=+-=,所以命题成立 …7分数列{}n c 的前n 项和13112321322nn n T n n -=+=⨯+-- …………………9分(3)易得6(3)(12),14(2)3,2n nt t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩, 由于当2n ≥时,114(12)34(2)3n n n n d d n t n t ++-=+---38[(2)]32n n t =--⨯,所以①若3222t -<,即74t <,则1n n d d +>,所以当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,解得5975977444t ---+≤≤<,………13分②若32232t ≤-<,即7944t ≤<,则当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =…………………14分③若321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥,则当2n m ≤≤时,{}n d 是递减数列, 当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列, 则由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3m m t m t m +-=--,解得234m t +=…………15分 综上所述,的取值范围是59759744t ---+≤≤或234m t +=(,2)m N m ∈≥……16分4、（南通市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=． （1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． ………………………………………3分 (2)由1()2n n n a a S -=，即2n n naS =， ① 得 11(1)2n n n a S +++=． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． …………………………7分 又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． ………………………………………………………………9分 (3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是，21333p qp q=+． ……………………………………………………11分 所以，213()33q p p q =-(☆)．易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． ………………………………………13分 当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列， 于是2133pp -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． …………16分注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ，当0≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当0<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++（1） 求数列}{n n b a +的通项公式；（2） 若对任意的正整数n ，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出b a ,满足的条件；若不存在，说明理由； （3） 若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式. ⑴当0n n a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=，所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，……………………………………2分又当0n n a b +<时，11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+，…………………………………………4分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列，所以，n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分假设存在a ，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b =，224b a b -=，34516b ab -=，故2245()()416b a b ab --=，化简得0=+b a ，与题中0a b +≠矛盾， 故不存在a ，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………10分 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+- 所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……………………………………………12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…………………………………13分22133()114434nn n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………………………………………14分 所以，1224()11,943()1-1,434n n na b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时…………………………………16分6、（苏州市2013届高三期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）．（1）若132a =，294a =，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值．7、（泰州市2013届高三期末）已知数列16n a n =-,(1)15nn b n =--,其中*n N ∈ (1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合 （2）n ≠16,求数列nnb a 的最大值和最小值 （3）记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ，求所有满足22m n S S =（m<n ）的有序整数对(m,n) (1)a n +1=｜b n ｜，n －15=｜n －15｜，当n ≥15时,a n +1=｜b n ｜恒成立， 当n <15时,n －15=－(n －15) ，n =15 n 的集合{n ｜n ≥15,n ∈N *}……………………………………….…………….…………….4分(2)nn a b =1615)1(---n n n(i)当n>16时，n 取偶数n n a b =1615--n n =1+161-n当n=18时（nn a b ）max =23无最小值n 取奇数时nn a b =-1-161-n n=17时（nna b ）min =-2无最大值 ……………………………………………………………8分 (ii)当n<16时，nna b =16)15()1(---n n n当n 为偶数时nn a b =16)15(---n n =-1-161-nn=14时（nn a b ）max =-21（n n a b ）min =-1413当n 奇数n n a b =1615--n n =1+161-n ， n=1 ， （nn a b ）max =1-151=1514，n =15，（nna b ）min =0 ………………………………………………11分 综上，nn a b 最大值为23（n =18）最小值-2（n =17）……………….……..……………….12分(3)n≤15时，b n =(-1)n-1(n-15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0 ，n >15时，b n =(-1)n (n -15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0，其中a 15b 15+a 16b 16=0∴S 16=S 14 m =7， n =8…………………………………………………………….16分8、（无锡市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 1=2，n ∈N +，a n >0，数列{a n }的前n 项和S n ，且满足1122n n n a S S ++=-。
江苏省13大市2013高三数学上学期期末试题分类汇编 三角函数 苏教版
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编三角函数一、填空题1、（常州市2013届高三期末）函数(1)()cos cos22x x f x -=p p 的最小正周期为 ▲ ． 答案：22、（连云港市2013届高三期末）如果函数y ＝3sin(2x +)(0<<)的图象关于点(3，0)中心对称，则＝ ▲ . 答案：3;3、（南京市、盐城市2013届高三期末）将函数sin(2)3y x π=-的图像向左平移ϕ()0>ϕ个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则ϕ的最小值为 ▲ . 答案：6π4、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知角ϕ的终边经过点)1,1(-P ，点),(),,(2211y x B y x A 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象上的任意两点，若2)()(21=-x f x f 时，21x x -的最小值为3π，则)2(πf 的值是 ▲ .5、（苏州市2013届高三期末）（苏州市2013届高三期末）已知θ为锐角，4sin(15)5θ+=，则cos(215)θ-= ．6、（无锡市2013届高三期末）在△ABC 中，∠A=45o，∠C=105o，AC 的长度为 ． 答案：17、（扬州市2013届高三期末）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且3,sin 2sin a b C A ===，则sin A = ▲ ．8、（镇江市2013届高三期末）5. 已知0ω>,函数3sin()4y x πωπ=+的周期比振幅小1,则ω= ▲ ． 答案：19、（镇江市2013届高三期末） 在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C = ▲ ．41-10、（南京市、盐城市2013届高三期末）在ABC ∆中, 若9cos 24cos 25A B -=, 则BCAC的值为 ▲ ．2311、（南京市、盐城市2013届高三期末）若x ,y 满足22221log [4cos ()]ln ln 4cos ()22y e xy y xy +=-+, 则cos 4y x 的值为 ▲ ． 答案：－1 二、解答题1、（常州市2013届高三期末）已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-． （1）求sin()αβ-的值； （2）求cos β的值． 解：（1）∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ22αβ-<-<．又∵1tan()03αβ-=-<，∴π02αβ-<-<． …………………………4分∴sin()αβ-=． ………………………………6分（2）由（1）可得，cos()αβ-=∵α为锐角，3sin 5α=，∴4cos 5α=． ……………………………………10分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- …………12分=43(55+⨯． …………………………14分 2、（连云港市2013届高三期末）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c cos B +b cos C ＝3a cos B .(1)求cos B 的值； (2)若→BA ⋅→BC ＝2，求b 的最小值. 解:(1)因为c cos B +b cos C =3a cos B ,由正弦定理,得sin C cos B +sin B cos C =3sin A cos B ,即sin(B +C )=3sin A cos B . ………………………………5分又sin(B+C )=sin A 0,所以cos B =13. ……………………………7分(2)由→BA ⋅→BC =2,得ac cos B =2,所以ac =6. ………………………9分由余弦定理,得b 2=a 2+c 22ac cos B 2ac 23ac =8,当且仅当a =c 时取等号,故b 的最小值为2 2. (14)3、（南京市、盐城市2013届高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．(1)若cos(A ＋6π)＝sinA ，求A 的值； (2)若cosA ＝14，4b ＝c ，求sinB 的值．4、（南通市2013届高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B+=+．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围． 解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-． …………………………………………………4分 所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．即 2C A B =+, 得 3C π=． ………………………………7分(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， ………………………………………8分 故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα． …………………11分ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．……………14分5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++ （1） 求角A 值；（2） 求C B cos sin 3-的最大值.解：⑴因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=，由正弦定理，得()()3a b c b c a bc +++-=，…………………………………………2分所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，………………………………4分 因为(0,)A ∈π，所以3A π=．…………………………………………………………6分⑵ 由3A π=，得23B C π+=cos B C -2cos()3B B π--1(cos )2B B B =--sin()6B π=+，……………………………………10分因为203B π<<，所以666B ππ5π<<+，……………………………………………12分当62B ππ=+，即3B π=cos B C -的最大值为1． ……………………14分6、（苏州市2013届高三期末）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上有一个最低点为2(,3)3M π- （1）求()f x 的解析式； （2）求函数()()4y f x f x π=++的最大值及对应x 的值．（苏州市2013届高三期末）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠=，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=，路宽24AD =米，设灯柱高AB h =（米），ACB θ∠=（3045θ≤≤）（1）求灯柱的高h （用θ表示）；（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．C B A D7、（泰州市2013届高三期末）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB ＝1，BC ＝2，现要将些铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC 。
苏州市2013届高考数学模拟试卷及答案
苏州市2013届高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． 1．已知集合}5,3,1{=A ，集合},,2{b a B =，若{1,3}A B =I ，则b a +的值是 ．2．若复数z 满足(12)2i z i +=+，则z 的虚部为 ．3．右图是一个算法流程图．若输入5n =，则输出k 的值为 ．4．设函数2()log 12f x x =-的单调减区间是 ．5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的同学有30人，则n 的值为 ．6．在线段AB 上任取一点P ，以P 为顶点，B 为焦点作抛物线，则该抛物线的准线与线段AB 有交点的概率是 ．7．已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ，若曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程是220x y --=，则a = ．8．设数列}{n a (n ∈*N )是等差数列.若2a 和2012a 是方程03842=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2013项的和=2013S ．元9．函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在一个周期内的部分图象如图所示， 则()12f π的值是 .10．三棱锥S ABC -中，E ，F ，G ，H 分别为SA ，AC ，BC ，SB 的中点，则截面EFGH 将 三棱锥S ABC -分成两部分BGH AFE V -与SEH CFG V -的体积之比为 .11．在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，若P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅uuu r uu r的取值范围是___________.12．已知实数,,x y z 满足2221x y z ++=，则xy yz +的最大值是 .13．设数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，对于任意的n N +∈，2,,n n n a S a 成等差数列，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2(ln )nn n x b a =，若对任意的实数(]1,x e ∈（e 是自然对数的底）和任意正整数n ，总有n T r <()r N +∈．则r 的最小值为 .14．如图，双曲线22221x y a b-=(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ．则菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值12S S = .（第10题图）SACEHGF（第9题图）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤． 15．（本小题满分14分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2=a ，13-=b ，且b 是c 2与A cos 的等比中项．（1）求A ，B ，C ；（2）若函数()sin(2)f x x ϕ=+（4ϕπ<）满足2)2(c C f =，求函数)(x f 的解析式及单调递减区间．16．（本小题满分14分）在等腰梯形PDCB (见图1）中，//DC PB ，33PB DC ==，DA PB ⊥，垂足为A ，将PAD ∆沿AD 折起，使得PA AB ⊥，得到四棱锥P ABCD -（见图2）．在图2中完成下面问题： （1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；（2）在线段PB 上是否存在一点M ，使//PD 平面AMC .若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.17．（本小题满分14分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设2CD x =．（1）若用一种金属线条对梯形部件ABCD 镶边，求最少需要准备该金属线条多少米； （2）求梯形部件ABCD 面积的最大值．A B DP 图1ABDCPM图2B ACD O •18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，P 为椭圆上的一点，Q 为上顶点，M 在1PF 上，12F M MP =，2PO F M ⊥.（1）求当离心率12e =时的椭圆方程； （2）求满足题设要求的椭圆离心率范围； （3）当椭圆离心率最小时，若过(0,的直线l 与椭圆交于,A B （异于Q ），试问：AQB ∠是否为定值并给出证明. 19．（本小题满分16分）若在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k ∈N ，21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . （1）若2k q =（*k ∈N ），求13521k a a a a -++++ .（2）若对任意的*k ∈N ，22122,,k k k a a a ++成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-. ①求证：{}n b 成等差数列；②若12d =，试求数列{}k d 的前k 项和k D .20．（本小题满分16分）已知函数1()(2)(1)2ln ,().(,e xf x a x xg x xe a -=---=∈R 为自然对数的底数） （1）若函数1()(0,)2f x 在上无零点，求a 的最小值；（2）若对任意给定的(](]00,e ,0,e (1,2)i x x i ∈=在上总存在两个不同的，使得0()(),i f x g x a=成立求的取值范围.参考答案一、填空题1.42.35-3.34.1(,)2-∞5.1006.127.2 8.20139.10.1∶1 11.[9,9]-13.214.22二、解答题15．（1）根据题意得2222cos 22b c a b c A c bc+-=⋅=⋅，即2222b b c a =+-，解得c a =.∴cos B ==.∴6B π=，∴512A C π==. （2）∵()sin(2)f x x ϕ=+，2)2(c Cf =，512C π=，∴5sin()12ϕπ+=又∵4ϕπ<，∴5124ϕππ+=，6ϕπ=-，∴()sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k ππ3ππ+<-<π+∈Z ，可得单调递减区间为,,36k k k π5π⎛⎫π+π+∈ ⎪⎝⎭Z16．证明：（1）∵在图1的等腰梯形PDCB 中，PB DA ⊥，∴所以在四棱锥ABCD P -中，AB DA ⊥，又PA AB ⊥，且AB DC //，∴PA DC ⊥，DA DC ⊥， 而⊂DA 平面PAD ，⊂PA 平面PAD ，A DA PA = ， ∴⊥DC 平面PAD .∵⊂DC 平面PCD ， ∴平面⊥PAD 平面PCD .（2）当21=MB PM 时，有PD //平面AMC ． 证明：在梯形ABCD 中，连结AC 、BD 交于点O ，连结OM .易知AOB ∆∽DOC ∆，所以21==AB DC OB DO . 又21=MB PM ，所以MB PM OB DO =，所以在平面PBD 中，有MO PD //． 又因为⊄PD 平面AMC ，⊂MO 平面AMC ，所以PD //平面AMC .17．如图所示，以直径AB 所在的直线为x 轴，线段AB 中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(,)C x y ，过点C 作AB CE ⊥于E ，则(01)OE x x =<<，∴1EB x =-（1）∵221x y +=，∴CB =设ABCD 的周长为l ，则221)l x x =++<<. 下面只需要求l 的最大值.令t ，则222(0x t t =-<，A BD OPMB A CDO•E∴2242(1)55l t t t =-+=--+≤，即当1t =时，l 有最大值5. （2）11()()(22)(1)22S x AB CD CE x y x x =+⋅=+=+<< （方法1）()S x ==，令43221t x x x =--++，则32322'4622(231)2(1)(21)t x x x x x x =--+=-+-=-+-，令'0t =，12x =，当102x <<时，'0t >，当112x <<时，'0t <，所以当12x =时，t 有最大值2716，)(x S（方法2）21'()(1)2S x x =++=，令'()0S x =，∴2210x x +-=，(21)(1)0x x -+=，12x =.且当102x <<时，0)(>'x S ，当112x <<时，0)(<'x S ，所以当12x =时，()S x. （方法3）设COE θ∠=（02θπ<<），过点C 作CE AB ⊥于E ，则cos ,sin OE CE θθ==，11()()(22cos )sin (1cos )sin 22S AB CD CE θθθθθ=+⋅=+=+(0)2θπ<<，'()[(sin sin cos )]'(sin )'(sin cos )'S θθθθθθθ=+=+⋅22cos cos sin θθθ=+-22cos cos 1θθ=+-， 令'()0S θ=，得1co s 2θ=，即3θπ=，cos 1θ=-（舍），且当03θπ<<时，'()0S θ>，当32θππ<<时，'()0S θ<，所以当3θπ=时，()S θ18．（1）由题意11,2c c e a ===，得2a =，2223b a c ∴=-=,∴椭圆方程为22143x y +=. （2）（方法1）设00(,),(,)M M P x y M x y ，12(1,0),(1,0)F F -1(1,)M M F M x y ∴=+ ，00(,)M M MP x x y y =--．010122,2,22,M M M M x x x F M MP y y y +=-⎧=∴⎨=-⎩ 0021,332,3M M x x y y ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴200242(,)333F M x y =- ．20F M OP ⋅= ,2000242()0333x x y ∴-+=,2200020x x y ∴-+=2222200022(1)(1)(1)x x y b a a a=-=-- ,22001210x x a a ∴-+-=在(,]a a -上有解，22001210y x x a a =-+-= 对称轴是2x a =，2()0,()0,f a a a f a ->⎧>∴⎨≤⎩ ()0,()0,f a f a ->⎧∴⎨≤⎩02a ∴<≤112c e a a ∴==≥，01e << ,112e ∴≤<． （方法2）12221211(),23PO PF PF F M PM PF PF PF =+=-=-，由2PO F M ⊥得20PO F M ⋅=，121211()()023PF PF PF PF ∴+⋅-=，化简得：221122230PF PF PF PF -⋅-= ， 22112122||2||||cos 3||0PF PF PF F PF PF ∴-∠-= ,①在12F PF ∆中，由余弦定理,有222121212||||2||||cos 4PF PF PF PF F PF c ∴+-∠= ,②②-①得：2224||4PF c = ，即2||PF c = ,2||a c PF a c -≤≤+，2a c ∴≤，即12c e a =≥， 又01e <<，1[,1)2e ∴∈.（3）AQB ∠恒为直角．事实上，当e 最小时，即12e =，由（1）知椭圆方程为22143x y +=， 依题意可设AB所在直线方程为y kx =，代入椭圆方程得22576(34)049k x +--=， 设1122(,),(,),A x y B x y则12122576,49(34)x x x x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩Q ，1122(,,QA QB x y x y ∴⋅==1122(,,x kx x kx -=2121212192()49x x k x x x x +++=21212192(1)()49k x x x x +++=22576192(1)49(34)49k k -+++=2222576576192576768049(34)k k k k ---++=+， AQB ∴∠恒为直角.19．（1）2k q = ，21214k k a a +-∴=，∴13521,,k a a a a - 是首项为1，公比为4的等比数列， ∴13521141(41)143k kk a a a a --++++==-- . （2）① 2,2122,k k k a a a ++成等差数列，212222k k k a a a ++∴=+，又21222211,k k k k k k a a a a q q ++++==⋅ ，112k k q q +∴+=，则1111k kq q +-=-，得1111111k k k k q q q q +==+---，111111k k q q +∴-=--，即11n n b b +-=， {}n b ∴是公差为1的等差数列.②1322,2d a a =∴=+ ，则由223212a a a =⨯=+，解得22a =或21a =-. （ⅰ）当22a =时，12q =，11b ∴=，则1(1)1k b k k =+-⨯=，即11k k q =-， 得1k k q k +=，所以221221(1)k k a k a k +-+=， 则2121321121231k k k k k a a a a a a a a +-+--=⋅⋅⋅⋅ 2222222(1)21(1)(1)1k k k k k +=⋅⋅⋅⋅=+- ， ∴2212(1)(1)1k k k a k a k k k q k++===++，则212(3)1,;2k k k k k k d a a k D ++=-=+∴= （ⅱ）当21a =-时，11,q =-112b ∴=-，则13(1)122k b k k =-+-⨯=-，即1312k k q =--，得1232k k q k -=-， ∴2121321121231k k k k k a a a a a a a a +-+--=⋅⋅⋅⋅ 222222131()()()2221()()()222k k k k --=⋅⋅⋅⋅--- =214()2k -则212(21)(23)k k ka a k k q +==--，21242k k k d a a k +∴=-=-，从而22k D k =. 综上所述，(3)2k k k D +=或22k D k =． 20．（1）因为1()0(0,)2f x <在区间上恒成立不可能，故要使函数1()(0,)2f x 在上无零点，只要对任意的1(0,),()02x f x ∈>恒成立，即对12ln (0,),221xx a x ∈>--恒成立. 令2ln 1()2,(0,),12x l x x x =-∈-则2222(1)2ln 2ln 2()(1)(1)x x x x x l x x x --+-=-=--，再令 21()2ln 2,(0,)2m x x x x =+-∈，则22222(1)()0x m x x x x --'=-+=<，故()m x 在1(0,)2上为减函数，于是1()()22ln 202m x m >=->，从而()0l x >，于是()l x 在1(0,)2上为增函数，综上，若函数1()(0,)2f x 在上无零点，则a 的最小值为24ln 2-．（2）111()e e (1)e ,x x x g x x x ---'=-=-当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当(]1,e x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，又因为1e (0)0,(1)1,(e)e e 0g g g -===⋅>，所以，函数(](]()0,e 0,1.g x 在上的值域为当2a =时，不合题意；当2a ≠时，2(2)()2(2)22()2a x a x a f x a x xx-----'=--==，(]0,x e ∈，令()0f x '=，得22x a =-，由题意得，()f x 在(]0,e 不单调，故220e,22ea a <<<--即①此时，当,(),()x f x f x '变化时的变化情况如下：又因为，当0x →时，()f x →+∞，()2ln 22f a a a=---， ()(2)(e 1)2f e a =---，所以，对任意给定的(]00,e x ∈，在(]0,e e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立，当且仅当a 满足下列条件：23222ln 0,()0,22(2)(1)2 1.()1,a f a aa e f e ⎧⎧-≤≤⎪⎪--⎨⎨⎪⎪---≥≥⎩⎩即 令22()2ln,(,2)2eh a a a a =-∈-∞--，则 2()12[ln 2ln(2)]122ah a a a a ''=---=-=--，()0h a '=令得02a a ==或，故当(,0)a ∈-∞时，()0h a '>，函数()h a 单调递增；当2(0,2)ea ∈-时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，所以对任意的2(,2)e a ∈-∞-有()(0)0h a h ≤=，即②对任意2(,2)ea ∈-∞-恒成立.由③式解得：32.e 1a ≤--④ 综合①④可知，当(]03,2,0,e ,e 1a x ⎛⎤∈-∞-∈ ⎥-⎝⎦时对任意给定的在(]0,e (1,2),i x i =上总存在两个不同的使0()()i f x g x =成立.。
江苏省苏州市第一中学2013届高三数学三模试题苏教版
) sin 34
76 5．
16． (Ⅰ )直三棱柱 ABC-A1B1C1中 ,
……………………………………分…… 14
B1B⊥ AB, BC⊥ AB,又 B1B BC=B，
∴ AB⊥平面 BB1C1C. 又Ｎ、Ｆ分别为 A1 C1、 B1 C1的中点 ∴AB∥ A1B1∥NF. ∴ NF⊥平面 BB1C1C. 因为 FC 平面 BB1C1C所. 以 NF⊥FC .
4
答题纸
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分） …
成绩
…
… 1．
2．
3．
4．
5．
…
…
… 6．
7．
8．
9．
10 ．
题
…
… 11． …
12．
13．
14．
…
… 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分） 答 … 15．
…
…
_____________
… … 要 … … … …
12
f ( x)的周期 T 4 2 8，即 2 8，得
所以 ,函数
4
所以，函数 f ( x)的值域为 [ 2 3,2 3]
f (x0 ) 8 3 ，由
(Ⅱ )因为
5
(Ⅰ)有
……………………………………分……７
f ( x0 ) 2 3sin ( x0
) 8 3 ， 即 sin ( x0
4 )
43 5
（Ⅲ）若直线 l 与圆 C2 : (x 1) 2 y 2 1相切，椭圆上一点 P 满足 OM ONLeabharlann OP ，求实数 的取值范围．
y N
O
x
M
3
江苏省2013届高三调研试题(三)
江苏省2013届高三调研试题（三）一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分1．命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是_____▲____. 2．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝_____▲____. 3．将复数3i321++i 表示为),,(为虚数单位i R b a bi a ∈+的形式为____▲____.4．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3,|BC |=4，|CA |=5,则AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅的值等于 ▲ .5．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工___▲_____人． 6．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162xy+=的右焦点重合，则p的值为 ▲7．设b a ,是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出下列四个命题：①若,,a b a α⊥⊥b α⊄，则//b α；②若//,a ααβ⊥，则a β⊥；③若,a βαβ⊥⊥，则//a α或a α⊂；④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥．其中正确的命题是_____▲____（请把所有正确命题的序号都填上）．8．若)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数，则a = ▲_ .9．已知数列{}n a 中,112,34n n a a a +==+.则数列{}n a 的通项公式是 ▲ .10．直线2y x m =+和圆221x y +=交于点A 、B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，若AB =sin()αβ-的值是_____▲____.11．如右图所示，在单位正方体1111D C B A ABCD -的面对角线B A 1上存在一点P 使得P D AP 1+最短，则P D AP 1+的最小值为 ▲ .12. 设实数,x y 满足2025020x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤， 则22y x u xy-=的取值范围是▲ ．ABCDA 1B 1C 1D 1P13．已知椭圆方程22221x y ab+=()0a b >>,当216()a b a b +-的最小值时，椭圆的离心率=e ▲ ．14.设b a ,为互不相等的正整数，方程082=++b x ax 的两个实根为)(,2121x x x x ≠，且,1,121<<x x ，则b a +的最小值为_____▲______.二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知角C B A ,,为ABC ∆的三个内角，其对边分别为c b a ,,，若)2sin,2cos(A A -=m ，)2sin,2(cosA A =n ，32=a ，且21=⋅n m ．（1）求角A 的值． （2）求c b +的取值范围．16．（本小题满分14分）设函数2()(1)2ln f x x k x =+-． （1）当k =2时，求函数f (x )的增区间；（2）当k ＜0时，求函数g (x )=()f x '在区间（0，2]上的最小值．17．（本小题满分15分）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ；（2）求三棱锥D－AEC的体积；（3）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.18．已知圆M：22+-=，设点,B C是直线l：20(2)1x y-=上的两点，它们的横坐标x y分别是,4()t t t R+∈，点P在线段B C上，过P点作圆M的切线PA，切点为A．（1）若0t=，M P=PA的方程；（2）经过,,A P M三点的圆的圆心是D，求线段D O长的最小值()L t．19．（本小题满分15分）将数列{}n a中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a……记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)n n n nb n b S S=-≥．（Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和．20、（本小题满分16分）()f x 是定义在D 上的函数，若对任何实数()0,1α∈以及D 中的任意两数12,x x ，恒有()()()()()121211f x x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义在D 上的C 函数.（Ⅰ）试判断函数()21f x x =，()()210f x x x=<中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由；（Ⅱ）已知()f x 是R 上的C 函数，m 是给定的正整数，设(),0,1,2,,n a f n n m == ，且00,2m a a m ==，记12f m S a a a =+++ . 对于满足条件的任意函数()f x ，试求f S 的最大值；（Ⅲ）若（Ⅱ）中f S 的最大值记为()h m ，且()()()12h h h m a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≤对任意给定的正整数m 恒成立，试求a 的取值范围。
苏州市2013届高三上学期期末卷(word)
苏州市2013届高三调研测试 化 学2013.1可能用到的相对原子质量：H —1 C —12 N —14 O —16 Na —23 S —32 Fe —56 Ba —137选 择 题（共40分）单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。
每小题只有一个．．．．选项符合题意 1.下列相关化学用语表示准确的是A ．甲酸甲酯的实验式：CH 2OB ．钠离子的结构示意图：C ．中子数为53、质子数为78的碘原子：13153I D ．二氧化碳分子的电子式： 2.下列说法与“绿色思想”不符合．．．的是 A .启用大气中细颗粒物（PM2.5）的监测，以追根溯源，采取措施，改善空气质量 B .开发高效氢能、太阳能等新型电动汽车，以解决城市机动车尾气排放问题 C .推广使用可降解塑料及布质购物袋，以减少“白色污染”D .当前我市的汽油标准已由“国Ⅲ”提到“国Ⅳ”，这意味着汽车不再排放氮氧化物 3.常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是 A .0.01 mol ·L －1Ba(OH)2溶液：Al 3+、NH 4+、NO 3－、HCO 3－B .加入甲基橙显红色的溶液：Mg 2＋、Fe 2＋、Cl －、NO 3－C .含有苯酚的溶液中：K ＋、NH 4+、Br －、Fe 3＋D .0.01mol ·L －1HCl 溶液：K ＋、Na ＋、I －、SO 42－4.下列相关能量的判断或表示方法准确的是A ．从C(石墨)＝C(金刚石) ΔH ＝1.9 kJ ·mol －1，可知金刚石比石墨更稳定 B ．等质量的硫蒸气和硫固体分别完全燃烧，后者放出热量更多C ．由H +(aq)＋OH －(aq)＝H 2O(l) ΔH ＝-57.3 kJ ·mol －1，则向含0.1 mol HCl 的盐酸中加入4.0 gNaOH 固体，放出热量等于5.73 kJD ．2 gH 2完全燃烧生成液态水放出285.8 kJ 热量，则氢气燃烧的热化学方程式为：2H 2(g)＋O 2(g)＝2H 2O(l) ΔH ＝-571.6 kJ ·mol －15.下列各项中，理由、结论及因果关系均准确的是6.下列关于各实验装置与对应现象或结论的叙述均准确的是选项 理由结论A 键能：N ≡N ＞Cl －Cl 单质沸点：N 2＞Cl 2B 分子中可电离的H +个数：H 2SO 4＞CH 3COOH 酸性：H 2SO 4＞CH 3COOHC 元素的非金属性：N ＞P 酸性：HNO 3＞H 3PO 4D 氧化性：Fe 3+＞Cu 2+还原性：Fe 2+＞Cu甲 乙丙 丁戊A ．装置①：可用于分离石油，分别得到汽油、煤油和柴油等各种纯净物B ．装置②：可用于吸收NH 3或HCl 气体，并防止倒吸C ．装置③：如果“a 进b 出”可用于收集NO 2，如果“b 进a 出”可用于收集NH 3D ．装置④：持续通入CO 2气体，现象是先出现白色沉淀，后变澄清7.甲、乙、丙、丁、戊的相互转化关系如图所示（反应条件略去，箭头表示一步转化）。
江苏省苏州市2013届高考模拟试卷
......12 2x 0 a 21 0 在 ( a,a]上有解，y12 2x 0 a 21 0对 称 轴 是 xa 2，a x 0a x 0a 2 af ( a) 0, f ( a) 0,0 a 2e c 1 1 ，0 e 1 ,1 e 1．f (a) 0,f (a)0,a a 22〔方法 2〕PO1(PF 1 PF 2 ), F 2 M PM PF 21PF 1PF 2，由 PO F 2 M 得 PO F 2M0 ，123122(PF 1 PF 2) (PF 1 PF 2) 0，化简得：PF 1 2PF 1 PF 2 3PF 20 ，23| PF 1 |2 2| PF 1 || PF 2 |cos F 1 PF 23| PF 2 |2 0 ,①在 F 1 PF 2中，由余弦定理,有 | PF 1 |2| PF 2 |2 2| PF 1 || PF 2 |cos F 1 PF 2 4c 2,②②-①得：4| PF |2 4c 2，即 | PF 2 | c , a c | PF | a c ，a2c ，即ec1 ，22a2又 0e 1 ，e [ 1,1) .2〔3〕AQB 恒为直角．事实上，当e 最小时，即e1，由〔 1〕知椭圆方程为x 2 y 21，4 32依题意可设 AB 所在直线方程为ykx3，代入椭圆方程得 (34k 2)x28 3kx 576 0 ，77 498 3k设 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ), 那么x 1 x 2 7(3 4k 2),Q(0,3) ，576x 1 x 2 49(34k 2 ),QA QB ( x 1 , y 13)( x 2 , y 23) = ( x 1 , kx 18 3)( x 2 , kx 2 8 3)7 7= x 1x 2k 2 x 1 x 2 8 3 k ( x 1 x 2 ) 192 = (1 k 2 ) x 1 x 2 8 3 k( x 1 x 2 ) 1927 49 749 = (1 k 2 ) 576 8 3 k 8 3k 192 576 576k 2 192k 2 576 768k 20 ，= 49(34k 2 )49(3 4k 2 ) 7 7(3 4k 2 ) 49 AQB 恒为直角.19．〔 1〕q k2 ，a2 k 14 ，a 1 ,a 3 , a 5a 2k 1 是首项为 1，公比为4 的等比数列，a2 k1a 1 a 3 a 5a2 k 11 4k 1 (4k 1) .1 4 3〔2〕①a 2 k , a 2 k 1 ,a 2k 2成等差数列，2a2k 1a2 ka2k2 ，又a2ka 2 k 1, a 2 k 2a2 k 1qk 1，1qk 12 ，那么 q k1 1 11，得q kq kq k2x 0 a 1 0 y 2x 0 a 1 0a x 0a x 0a 2 af ( a) 0, f ( a) 0,0 a 2e c 1 1 ，0 e 1 ,1 e 1．f (a) 0,f (a)0,a a 22〔方法 2〕PO1(PF 1 PF 2 ), F 2 M PM PF 21PF 1PF 2，由 PO F 2 M 得 PO F 2M0 ，123122(PF 1 PF 2) (PF 1 PF 2) 0，化简得：PF 1 2PF 1 PF 2 3PF 20 ，23| PF 1 |2 2| PF 1 || PF 2 |cos F 1 PF 23| PF 2 |2 0 ,①在 F 1 PF 2中，由余弦定理,有 | PF 1 |2| PF 2 |2 2| PF 1 || PF 2 |cos F 1 PF 2 4c 2,②②-①得：4| PF |2 4c 2，即 | PF 2 | c , a c | PF | a c ，a2c ，即ec1 ，22a2又 0e 1 ，e [ 1,1) .2〔3〕AQB 恒为直角．事实上，当e 最小时，即e1，由〔 1〕知椭圆方程为x 2 y 21，4 32依题意可设 AB 所在直线方程为ykx3，代入椭圆方程得 (34k 2)x28 3kx 576 0 ，77 498 3k设 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ), 那么x 1 x 2 7(3 4k 2),Q(0,3) ，576x 1 x 2 49(34k 2 ),QA QB ( x 1 , y 13)( x 2 , y 23) = ( x 1 , kx 18 3)( x 2 , kx 2 8 3)7 7= x 1x 2k 2 x 1 x 2 8 3 k ( x 1 x 2 ) 192 = (1 k 2 ) x 1 x 2 8 3 k( x 1 x 2 ) 1927 49 749 = (1 k 2 ) 576 8 3 k 8 3k 192 576 576k 2 192k 2 576 768k 20 ，= 49(34k 2 )49(3 4k 2 ) 7 7(3 4k 2 ) 49 AQB 恒为直角.19．〔 1〕q k2 ，a2 k 14 ，a 1 ,a 3 , a 5a 2k 1 是首项为 1，公比为4 的等比数列，a2 k1a 1 a 3 a 5a2 k 11 4k 1 (4k 1) .1 4 3〔2〕①a 2 k , a 2 k 1 ,a 2k 2成等差数列，2a2k 1a2 ka2k2 ，又a2ka 2 k 1, a 2 k 2a2 k 1qk 1，1qk 12 ，那么 q k1 1 11，得q kq kq k2x 0 a 1 0 y 2x 0 a 1 0a x 0a x 0a 2 af ( a) 0, f ( a) 0,0 a 2e c 1 1 ，0 e 1 ,1 e 1．f (a) 0,f (a)0,a a 22〔方法 2〕PO1(PF 1 PF 2 ), F 2 M PM PF 21PF 1PF 2，由 PO F 2 M 得 PO F 2M0 ，123122(PF 1 PF 2) (PF 1 PF 2) 0，化简得：PF 1 2PF 1 PF 2 3PF 20 ，23| PF 1 |2 2| PF 1 || PF 2 |cos F 1 PF 23| PF 2 |2 0 ,①在 F 1 PF 2中，由余弦定理,有 | PF 1 |2| PF 2 |2 2| PF 1 || PF 2 |cos F 1 PF 2 4c 2,②②-①得：4| PF |2 4c 2，即 | PF 2 | c , a c | PF | a c ，a2c ，即ec1 ，22a2又 0e 1 ，e [ 1,1) .2〔3〕AQB 恒为直角．事实上，当e 最小时，即e1，由〔 1〕知椭圆方程为x 2 y 21，4 32依题意可设 AB 所在直线方程为ykx3，代入椭圆方程得 (34k 2)x28 3kx 576 0 ，77 498 3k设 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ), 那么x 1 x 2 7(3 4k 2),Q(0,3) ，576x 1 x 2 49(34k 2 ),QA QB ( x 1 , y 13)( x 2 , y 23) = ( x 1 , kx 18 3)( x 2 , kx 2 8 3)7 7= x 1x 2k 2 x 1 x 2 8 3 k ( x 1 x 2 ) 192 = (1 k 2 ) x 1 x 2 8 3 k( x 1 x 2 ) 1927 49 749 = (1 k 2 ) 576 8 3 k 8 3k 192 576 576k 2 192k 2 576 768k 20 ，= 49(34k 2 )49(3 4k 2 ) 7 7(3 4k 2 ) 49 AQB 恒为直角.19．〔 1〕q k2 ，a2 k 14 ，a 1 ,a 3 , a 5a 2k 1 是首项为 1，公比为4 的等比数列，a2 k1a 1 a 3 a 5a2 k 11 4k 1 (4k 1) .1 4 3〔2〕①a 2 k , a 2 k 1 ,a 2k 2成等差数列，2a2k 1a2 ka2k2 ，又a2ka 2 k 1, a 2 k 2a2 k 1qk 1，1qk 12 ，那么 q k1 1 11，得q kq kq k2x 0 a 1 0 y 2x 0 a 1 0a x 0a x 0a 2 af ( a) 0, f ( a) 0,0 a 2e c 1 1 ，0 e 1 ,1 e 1．f (a) 0,f (a)0,a a 22〔方法 2〕PO1(PF 1 PF 2 ), F 2 M PM PF 21PF 1PF 2，由 PO F 2 M 得 PO F 2M0 ，123122(PF 1 PF 2) (PF 1 PF 2) 0，化简得：PF 1 2PF 1 PF 2 3PF 20 ，23| PF 1 |2 2| PF 1 || PF 2 |cos F 1 PF 23| PF 2 |2 0 ,①在 F 1 PF 2中，由余弦定理,有 | PF 1 |2| PF 2 |2 2| PF 1 || PF 2 |cos F 1 PF 2 4c 2,②②-①得：4| PF |2 4c 2，即 | PF 2 | c , a c | PF | a c ，a2c ，即ec1 ，22a2又 0e 1 ，e [ 1,1) .2〔3〕AQB 恒为直角．事实上，当e 最小时，即e1，由〔 1〕知椭圆方程为x 2 y 21，4 32依题意可设 AB 所在直线方程为ykx3，代入椭圆方程得 (34k 2)x28 3kx 576 0 ，77 498 3k设 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ), 那么x 1 x 2 7(3 4k 2),Q(0,3) ，576x 1 x 2 49(34k 2 ),QA QB ( x 1 , y 13)( x 2 , y 23) = ( x 1 , kx 18 3)( x 2 , kx 2 8 3)7 7= x 1x 2k 2 x 1 x 2 8 3 k ( x 1 x 2 ) 192 = (1 k 2 ) x 1 x 2 8 3 k( x 1 x 2 ) 1927 49 749 = (1 k 2 ) 576 8 3 k 8 3k 192 576 576k 2 192k 2 576 768k 20 ，= 49(34k 2 )49(3 4k 2 ) 7 7(3 4k 2 ) 49 AQB 恒为直角.19．〔 1〕q k2 ，a2 k 14 ，a 1 ,a 3 , a 5a 2k 1 是首项为 1，公比为4 的等比数列，a2 k1a 1 a 3 a 5a2 k 11 4k 1 (4k 1) .1 4 3〔2〕①a 2 k , a 2 k 1 ,a 2k 2成等差数列，2a2k 1a2 ka2k2 ，又a2ka 2 k 1, a 2 k 2a2 k 1qk 1，1qk 12 ，那么 q k1 1 11，得q kq kq k。
苏州市2013届高三第一学期期末
苏州市2013届高三第一学期期末政治试卷Ⅰ卷(选择题共66分)一、单项选择题：在各题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题意的。
每小题2分，共66分。
1．阅读下图，在这一购物流程中，货币淘宝网购物流程图A. 主要执行了流通手段职能B. 表现了其他商品的价值C. 主要充当了价值尺度职能D. 只是观念上的货币2．下表为2011年至2012年甲国货币与乙国货币的兑换比例情况：据此，以下说法正确的是①甲国货币升值，乙国货币贬值 ②甲国货币兑换乙国货币的汇率下降③甲国货币贬值，乙国货币升值 ④甲国货币兑换乙国货币的汇率升高 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④3．国家发改委宣布从2012年9月11日零时开始，汽油、柴油销售价格每吨分别提高550元和540元。
对此认识正确的是①对汽油、柴油的需求会急剧下降②可能会推高物价，加大通胀压力③人们对汽油、柴油替代品的需求减少④利用价格调整有利于资源的节约和保护A ．①④B ．①②C ．②③D ．②④ 4.人们外出旅游的需求不仅要受景区票价的影响，还要受其他因素的影响。
2012年中秋、 国庆长假期间，为了鼓励人们外出旅游，国家出台了免收高速公路通行费的措施。
下列曲线（P 代表价格，Q 代表数量，A 1为措施出台前，A 2为措施出台后的情况)能反映这一措施带来影响的是2011年12月30日 甲国21.3元=乙国100元 2012年12月30日 甲国100元=乙国445元5．消费是整个经济链条的最后一个环节，在经济学的意义上，投资每增长一个百分点，能拉动经济增长0.2%，而消费每增长一个百分点，能拉动经济增长0.8%，是投资的4倍。
下列措施中，有助于促进居民消费的是A．提高银行存款利率B．提高劳动报酬在再分配中的比重C．提高银行准备金率D．建立企业职工工资正常增长机制6．2012年5月16日铁道部发布《关于鼓励和引导民间资本投资铁路的实施意见》，将鼓励和引导民间资本依法合规进入铁路领域，并强调对民间资本不单独设置附加条件。
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江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
1、(常州市2013届高三期末)空间内有个平面，设这个平面最多将空间分成个部分.
(1)求;
(2)写出关于的表达式并用数学归纳法证明.
解：(1);
(2).证明如下：
当时显然成立，
设时结论成立，即，
则当时，再添上第个平面，因为它和前个平面都相交，所以可得条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这条交线可以把第个平面划最多分成个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了个，，
1。
95苏州市2012-2013学年高三上学期期末考试数学试题
2012-2013学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）设集合，B={a}，若B⊆A，则实数a的值为0．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据集合关系，确定元素满足的条件，再求解．解答：解：∵B⊆A，∴a=≠1⇒a=0．故答案是0点评：本题考查集合中参数的确定．要注意验证集合中元素的互异性．2．（5分）已知复数z=﹣1+i（为虚数单位），计算：=﹣i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数z以及它的共轭复数代入表达式，化简后，复数的分母实数化，即可得到所求结果．解答：解：因为复数z=﹣1+i（为虚数单位），=﹣1﹣i，所以====﹣i．故答案为：﹣i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，考查计算能力．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e===，化简即可．解答：解：双曲线的渐近线方程为y=x，故y=x经过点（1，2），可得b=2a，故双曲线的离心率e====故答案为：点评：本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题．4．（5分）根据如图所示的算法，可知输出的结果为11．考点：伪代码．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题中的伪代码写出前几次循环的结果，得到该程序的功能是等比数列{2n﹣1}的前n项和，在S≤1023的情况下继续循环体，直到S＞1023时结束循环体并输出下一个n 值．由此结合题意即可得到本题答案．解答：解：根据题中的伪代码，可得该程序经过第一次循环得到S=2°，n=1；然后经过第二次循环得到S=2°+21，n=2；然后经过第三次循环得到S=2°+21+22，n=2；…依此类推，当S=2°+21+22+…+2n＞1023时，输出下一个n值由以上规律，可得：当n=10时，S=2°+21+22+…+210=2045，恰好大于1023，n变成11并且输出由此可得，输出的结果为11故答案为：11点评：本题给出程序框图，求20+21+22+…+2n＞1023时输出的n+1，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．5．（5分）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用古典概型的概率计算公式即可得出．解答：解：从10幅名画中任买一件有=10种方法，若此人买入的这幅画是膺品的方法有=2．因此此人买入的这幅画是膺品的事件的概率P=．故答案为．点评：正确理解古典概型的概率计算公式是解题的关键．6．（5分）函数的最小正周期为2．考点：二倍角的正弦；诱导公式的作用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先利用诱导公式对已知函数化简，然后利用二倍角公式，再代入周期公式可求解答：解：∵=cos=根据周期公式可得T=故答案为：2点评：本题主要考查了诱导公式、二倍角公式在三角函数化简中的应用及周期公式的应用，属于基础试题7．（5分）函数的值域为（﹣∞，2]．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用二次函数和对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜4﹣x2≤4，∴=2．∴函数的值域为（﹣∞，2]．故答案为（﹣∞，2]．点评：熟练掌握二次函数和对数函数的单调性是解题的关键．8．（5分）已知点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d=7．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：曲线在点A和点B处的切线互相平行得，f′（1）=f′（﹣1），再结合点在曲线上则点的坐标适合方程建立方程组，解方程求出a、b、d值即可．解答：解：设f（x）═ax3+bx2+d，∵f′（x）=3ax2+2bx，∴f′（1）=3a+2b，f′（﹣1）=3a﹣2b．根据题意得3a+2b=3a﹣2b，∴b=0．又点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C上，∴解得：a3+b2+d=7．故答案为：7．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．9．（5分）已知向量，满足，，则向量，的夹角的大小为π．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则、向量的数量积及夹角公式即可得出．解答：解：∵，，∴=（﹣2，4），=（2，﹣4）．∴=﹣2×2+4×（﹣4）=﹣20，==．∴==﹣1，∴．或由，得．故向量，的夹角的大小为π．故答案为π．点评：熟练掌握向量的运算法则、向量的数量积及夹角公式是解题的关键．10．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：根据面面垂直的判定定理，可判断（1）；根据平面与平面平行的判定定理，可判断（2）；根据空间直线夹角的定义，可判断（3），根据面面垂直的性质定理及反证法，可判断（4）解答：解：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故（1）正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故（2）错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即（3）正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故（4）正确故真命题有（1）、（3）、（4）三个故答案为：（1）、（3）、（4）点评：本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：利用数形结合和函数的单调性即可得出．解答：解：如图所示：①当x≥2时，由函数f（x）=单调递减可得：0＜f（x）=；②当0＜x＜2时，由函数f（x）=（x﹣1）3单调递增可得：﹣1＜f（x）＜1．由图象可知：由0＜2k＜1可得，故当时，函数y=kx与y=f（x）的图象有且只有两个交点，∴满足关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根的实数k的取值范围是．故答案为．点评：熟练掌握数形结合的思想方法和函数的单调性是解题的关键．12．（5分）已知数列{a n}满足，，则=．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由，，知a n+1=，由此得到+=3（+），从而推导出=3n﹣1﹣，由此能求出．解答：解：∵，，∴a n+1=，∴==+，∴+=3（+），即=3，∴=3n﹣1，即=3n﹣1，∴=3n﹣1﹣，∴=（30+3+32+…+3n﹣1）﹣==．故答案为：．点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想、构造法、等比数列性质的合理运用．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则的最大值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积及三角函数的单调性即可求出．解答：解：令x=0，得y2=4，解得y=±2，取N（0，﹣2）．令y=0，得x2=4，解得x=±2，取M（2，0）．设点P（2cosθ，2sinθ）（θ∈[0，2π））．则=（2﹣2cosθ，﹣2sinθ）•（（﹣2cosθ，﹣2﹣2sinθ）=﹣2cosθ（2﹣2cosθ）+2sinθ（2+2sinθ）=4sinθ﹣4cosθ+4=φ）+4≤，当且仅当sin（θ﹣φ）=1时取等号．∴的最大值为．故答案为．点评：熟练掌握向量的数量积及三角函数的单调性是解题的关键．14．（5分）已知实数x，y同时满足，，27y﹣4x≤1，则x+y的取值范围是．考点：有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．专题：探究型；函数的性质及应用．分析：题目给出了一个等式和两个不等式，分析给出的等式的特点，得到当x=，y=时该等式成立，同时把相应的x和y的值代入后面的两个不等式等号也成立，把给出的等式的左边变负指数幂为正指数幂，分析x和y的变化规律，知道y随x的增大而减小，而当x增大y减小时，两不等式不成立，因此断定，同时满足等式和不等式的x，y 取值唯一，从而可得x+y的取值范围．解答：解：当x=，y=时，，=，．由知，等式右边一定，左边y随x的增大而减小，而当y减小x增大时，log27y﹣log4x＜，当x减小y增大时，27y﹣4x＞1．均与题中所给条件不等式矛盾．综上，只有x=，y=时，条件成立，所以x+y的取值范围为{}．故答案为{}．点评：本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数式的运算性质，考查了特值验证法，培养了学生的探究能力，此题是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．（2）由（1）可得，，，根据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．解答：解：（1）∵，从而．又∵，∴．…（4分）利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，解得．…（6分）（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．…（10分）∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…（12分）==．…（14分）点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，，CD=3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；（3）求证：DN⊥平面PCB．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形的中位线性质证明MN∥AB，再由已知条件和公理4证明MN∥CD，再利用直线和平面平行的判定定理证得MN∥平面PCD．（2）由（1）可得MN∥CD．先由条件利用直线和平面垂直的判定证明CD⊥平面PAD，从而证得CD⊥MD，从而得到四边形MNCD是直角梯形．（3）由条件求得∠PAD=60°，利用勾股定理求得DN⊥CN．在Rt△PDB中，由PD=DB=，N是PB的中点，证得DN⊥PB，再根据直线和平面垂直的判定定理证得DN⊥平面PCB．解答：证明：（1）因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB．…（2分）因为CD∥AB，所以MN∥CD．又CD⊂平面PCD，而MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD．…（4分）（2）由（1）可得MN∥CD．因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD．又因为PD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PD，又AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD．…（6分）因为MD⊂平面PAD，所以CD⊥MD，所以四边形MNCD是直角梯形．…（8分）（3）因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD=60°．…（9分）在Rt△PDA中，AD=2，，，．在直角梯形MNCD中，MN=1，，CD=3，，从而DN2+CN2=CD2，所以DN⊥CN．…（11分）在Rt△PDB中，PD=DB=，N是PB的中点，则DN⊥PB．…（13分）又因为PB∩CN=N，所以DN⊥平面PCB．…（14分）点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，以及直线和平面垂直的判定定理和性质性质定理的应用，属于中档题．17．（14分）第八届中国花博会将于。
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--平面向量
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编平面向量1、（常州市2013届高三期末）已知向量a ，b 满足()22,4a b +=- ，()38,16a b -=-，则向量a ，b的夹角的大小为 ▲ ．答案：p2、（连云港市2013届高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆(x -1)2+(y -1)2＝4，C为圆心，点P 为圆上任意一点，则OP CP ⋅的最大值为 ▲ . 答案：4+22; 3、（南京市、盐城市2013届高三期末）如图, 在等腰三角形ABC 中,底边2=BC , DC AD =, 12AE EB = , 若12BD AC ⋅=- , 则AB CE ⋅= ▲ ．答案：04、（南通市2013届高三期末）在△ABC 中，若AB =1，AC =3，||||AB AC BC += ，则||BA BC BC ⋅ = ▲ ． 答案：12． 5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 则MN 的最小值是 ▲ .776、（苏州市2013届高三期末）已知向量a ，b ，满足1a = ，()(2)0a b a b +-=，则b 的最小值为 ．127、（无锡市2013届高三期末）已知向量a=（-2，2），b=（5，k ）．若|la+b|不超过5，则k 的取值范围是ABMNECF第14题图8、（扬州市2013届高三期末）已知向量()()k b a ,1,1,2-==，若b a ⊥，则k 等于 ▲ ． 答案：29、（镇江市2013届高三期末）已知向量(12,2)a x =- ，()2,1b - =，若a b ⊥ ，则实数x =▲ ． 答案：09、（镇江市2013届高三期末） 在菱形ABCD 中，23AB =,23B π∠=,3BC BE =,3DA DF = ,则EF AC ⋅= ▲ ． 答案：－1210、（连云港市2013届高三期末）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c cos B +b cos C ＝3a cos B .(1)求cos B 的值；(2)若→BA ⋅→BC ＝2，求b 的最小值. 解:(1)因为c cos B +b cos C =3a cos B ,由正弦定理,得sin C cos B +sin B cos C =3sin A cos B ,即sin(B +C )=3sin A cos B . ………………………………5分又sin(B+C )=sin A ≠0,所以cos B =13. ……………………………7分(2)由→BA ⋅→BC =2,得ac cos B =2,所以ac =6. ………………………9分由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ≥2ac -23ac =8,当且仅当a =c 时取等号,故b 的最小值为2 2. ………………………………14分 11、（泰州市2013届高三期末）已知向量a=(cos λθ,cos(10)λθ-),b=(sin(10)λθ-,sin λθ),,R λθ∈(1)求22a b + 的值（2）若a b ⊥，求θ（3）20πθ=，求证：a b解：（1）∵｜a ｜=cos 2λθ+cos 2(10-λ)θ ，｜b ｜=sin 2(10-λ)θ+sin 2λθ （算1个得1分） ｜a ｜2+｜b ｜2=2，………………………………………………………………4分（2）∵a ⊥b，∴cos λθ·sin(10-λ)θ +cos(10-λ) θ·sin λθ=0∴sin((10-λ)θ+λθ)=0，∴sin10θ=0…………………………………………7分∴10θ=k π，k ∈Z ，∴θ=10πk ，k ∈Z ……………………………………..........9分 （3）∵θ=20π, cos λθ·sin λθ－cos(10-λ) θ·sin ［(10－λ) θ］ =cos 20λπ·sin 20λπ－cos （2π－20λπ）·sin(2π－20λπ)=cos20λπ·sin20λπ-sin20λπ·cos20λπ=0，∴a ∥b………………………………………………..…………………………….. 14分12、（无锡市2013届高三期末） 已知向量(sin ,1)m x =- ，向量1(3cos ,)2n x = ，函数()()f x m n =+ ·m。
江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题(WORD解析版)
2013年江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）（2013•镇江一模）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁U（A∩B）={2，4，6}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先利用并集的定义，求出全集U=A∪B，再利用交集的定义求出A∩B，再利用补集的定义求得集合∁U（A∩B）．解答：解：∵集合A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，∴A∩B={1，3，5}，又全集U={1，2，3，4，5，6}，∴集合∁U（A∩B）={2，4，6}，故答案为：{2，4，6}．点评：本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集、并集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）（2013•镇江一模）若实数a满足，其中i是虚数单位，则a=2．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由条件可得2+ai=2i（1﹣i），再利用两个复数相等的充要条件，求得a的值．解答：解：∵实数a满足，∴2+ai=2i（1﹣i），∴2+ai=2+2i，解得a=2，故答案为2．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相等的充要条件，属于基础题．3．（5分）（2013•镇江一模）已知m为实数，直线l1：mx+y+3=0，l2：（3m﹣2）x+my+2=0，则“m=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：把m=1代入可判l1∥l2”成立，而“l1∥l2”成立可推出m=1，或m=2，由充要条件的定义可得答案．解答：解：当m=1时，方程可化为l1：x+y+3=0，l2：x+y+2=0，显然有“l1∥l2”成立；而若满足“l1∥l2”成立，则必有，解得m=1，或m=2，不能推出m=1，故“m=1”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要点评：本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，属基础题．4．（5分）（2013•镇江一模）根据如图的伪代码，输出的结果T为100．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件T=1+3+5+7+…+19时，T的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件T=1+3+5+7+…+19值．∵T=1+3+5+7+…+19==100，故输出的T值为100．故答案为：100．点评：本题主要考查了循环结构，该题是当型循环结构，解题的关键是弄清推出循环的条件，属于基础题．5．（5分）（2013•镇江一模）已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．其中真命题的序号是②．（填上你认为正确的所有命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：对于①，根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α；对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个；对于③，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α；对于④，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α解答：解：对于①，若l⊂β，且α⊥β，则根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α，所以①错；对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若l⊥β，α∥β，l⊥α；②正确对于③，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，所以③错对于④，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α，所以④错故答案为②点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题．6．（5分）（2013•镇江一模）正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字恰好是2，0，1，3，0，3的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：由题意可知：两个四面体有一个1朝下，另一个2朝下，且那个面朝下是独立的，分别可得概率为，由概率的乘法的公式可得答案．解答：解：由题意可知：两个四面体有一个1朝下，另一个2朝下，可知每个四面体1朝下的概率为，2朝下的概率也为，故所求事件的概率为：P=×=故答案为：点评：本题考查古典概型及概率的计算公式，涉及独立事件的概率，属基础题．7．（5分）（2013•镇江一模）已知，则cos（30°﹣2α）的值为．考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），运算求得结果．解答：解：∵已知，∴sin（15°﹣α）=，则cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，故答案为．点评：本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．8．（5分）（2012•黑龙江）已知向量夹角为45°，且，则=3．考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；压轴题．分析：由已知可得，=，代入|2|====可求解答：解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法9．（5分）（2013•镇江一模）已知S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且=，（n∈N+）则+=．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：由等差数列的性质，知+==，由此能够求出结果．解答：解：∵S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且=，（n∈N+），∴+====．故答案为：．点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．10．（5分）（2013•镇江一模）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为+1．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据A是正三角形MF1F2的边MF1的中点，得到△AF1F2是直角三角形，设F1F2=2c，可得AF1=c，AF2=c，最后根据双曲线的定义，得2a=|AF1﹣AF2|=（﹣1）c，利用双曲线的离心率的公式，可得该双曲线的离心率．解答：解：设双曲线的方程为=1（a＞0，b＞0），∵线段F1F2为边作正三角形△MF1F2∴MF1=F1F2=2c，（c是双曲线的半焦距）又∵MF1的中点A在双曲线上，∴Rt△AF1F2中，AF1=c，AF2==c，根据双曲线的定义，得2a=|AF1﹣AF2|=（﹣1）c，∴双曲线的离心率e===+1．故答案为：+1．点评：本题给出以双曲线的焦距为边长的等边三角形，其一边中点在双曲线上，求该双曲线的离心率，着重考查了双曲线的定义与简单几何性质，属于基础题．11．（5分）（2013•镇江一模）在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y=e x的图象与y轴的交点为B，P为函数y=e x图象上的任意一点，则的最小值1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得向量的坐标，进而可得=﹣x0+，构造函数g（x）=﹣x+e x，通过求导数可得其极值，进而可得函数的最小值，进而可得答案．解答：解：由题意可知A（1，0），B（0，1），故=（0，1）﹣（1，0）=（﹣1，1），设P（x0，），所以=（x0，），故=﹣x0+，构造函数g（x）=﹣x+e x，则g′（x）=﹣1+e x，令其等于0可得x=0，且当x＜0时，g′（x）＜0，当x＞0时，g′（x）＞0，故函数g（x）在x=0处取到极小值，故g min（x）=g（0）=1，故的最小值为：1故答案为：1点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及导数法求函数的最值，属中档题．12．（5分）（2013•镇江一模）若对于给定的正实数k，函数的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2，则k的取值范围是（0，）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据题意得：以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于3，即f（x）的图象上离原点最近的点到原点的距离小于3，设出C坐标，利用两点间的距离公式表示出C到原点的距离，利用基本不等式求出距离的最小值，让最小值小于3列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．解答：解：根据题意得：|OC|＜1+2=3，设C（x，），∵|OC|=≥，∴＜3，即k＜，则k的范围为（0，）．故答案为：（0，）点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆与圆位置关系的判定，基本不等式的运用，以及两点间的距离公式，解题的关键是根据题意得出以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于3．13．（5分）（2013•镇江一模）已知函数，则=8．考点：函数的值．专题：计算题．分析：探究得到结论f（x）+f（﹣5﹣x）=8，利用之即可求得答案．解答：解：∵f（x）=+++，∴f（﹣5﹣x）=+++=+++，∴f（x）+f（﹣5﹣x）=[（+）+（+）+（+）+（+）]=8．∵﹣++（﹣﹣）=﹣5，∴f（﹣+）+f（﹣﹣）=8．故答案为：8．点评：本题考查函数的值，突出考查观察能力与运算能力，属于中档题．14．（5分）（2013•镇江一模）设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为．考点：三角形的形状判断；函数的值．专题：计算题．分析：不妨设c为直角边，则M＜a＜c，M＜b＜c，则可得ab＞M2，结合题意可得，结合a2+b2≥2ab可求c的范围，进而可求M的范围，即可求解解答：解：不妨设c为直角边，则M＜a＜c，M＜b＜c∴ab＞M2由题意可得，∴∵a2+b2≥2ab＞2c∴c2＞2c即c＞2∴ab＞2∴M2≥2∴故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式，三角形的性质的综合应用，试题具有一定的技巧性．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）（2013•镇江一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若=﹣，b=，求a+c的值；（2）求2sinA﹣sinC的取值范围．考点：余弦定理的应用；数列的应用；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：（1）通过A，B，C成等差数列，求得B的值，通过已知的向量积求得ac的值，代入余弦定理即可求出a+c．（2）通过两角和公式对2sinA﹣sinC，再根据C的范围和余弦函数的单调性求出2sinA﹣sinC 的取值范围．解答：解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴B=．∵•=﹣，∴accos（π﹣B）=﹣，∴ac=，即ac=3．∵b=，b2=a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2﹣ac=3，即（a+c）2﹣3ac=3．∴（a+c）2=12，所以a+c=2．（2）2sinA﹣sinC=2sin（﹣C）﹣sinC=2（cosC+sinC）﹣sinC=cosC．∵0＜C＜，∴cosC∈（﹣，）．∴2sinA﹣sinC的取值范围是（﹣，）．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．解决本题的关键就是充分利用了余弦定理的性质．16．（14分）（2013•镇江一模）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，已知E，F，G分别为棱AB，AC，A1C1的中点，∠ACB=90°，A1F⊥平面ABC，CH⊥BG，H为垂足．求证：（1）A1E∥平面GBC；（2）BG⊥平面ACH．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理和性质定理即可得到EF∥BC，A1F∥GC．再利用面面平行的判定定理即可证明平面A1FE∥平面GBC，利用面面平行的性质定理即可证明；（2）利用线面垂直的性质定理可得GC⊥AC，从而可证AC⊥平面GBC，于是得到AC⊥BG，利用线面垂直的判定定理即可证明．解答：证明：（1）连接A1E．∵E，F分别为棱AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，F，G分别为棱AC，A1C1的中点，∴，∴四边形A1FCG是平行四边形，∴A1F∥GC．好又∵A1F∩FE=F，GC∩CB=C，∴平面A1FE∥平面GBC，∴A1E∥平面GBC；（2））∵A1F⊥平面ABC，A1F∥GC，∴GC⊥平面ABC，∴GC⊥AC，∵∠ACB=90°，∴AC⊥CB．又CG∩AC=C，∴AC⊥平面BCG，∴AC⊥BG，又∵CH⊥BG，AC∩CH=C．∴BG⊥平面ACH．点评：熟练掌握用三角形的中位线定理和平行四边形的判定和性质定理、面面平行的判定和性质定理、线面垂直的性质和判定定理是解题的关键．17．（14分）（2013•镇江一模）已知实数a，b，c∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx满足f（1）=0，设f （x）的导函数为f′（x），满足f′（0）f′（1）＞0．（1）求的取值范围；（2）设a为常数，且a＞0，已知函数f（x）的两个极值点为x1，x2，A（x1，f（x1）），B（x2，f （x2）），求证：直线AB的斜率．考点：函数在某点取得极值的条件；导数的运算；直线的斜率．专题：转化思想；导数的综合应用．分析：（1）由f（1）=0得a+b+c=0，∴b=﹣（a+c），求导数f′（x），把f′（0）f′（1）＞0表示为关于a，c的不等式，进而化为关于的二次不等式即可求得的取值范围；（2）令f′（x）=3ax2+2bx+c=0，则，x1x2=，把韦达定理代入k=可得关于a，b，c的表达式，令t=，k可化为关于t的二次函数式，借助（1）问t的范围即可求得k的范围；解答：解：（1）∵f（1）=a+b+c=0，∴b=﹣（a+c），∵f′（x）=3ax2+2bx+c，∴f′（0）=c，f′（1）=3a+2b+c，∴f′（0）f′（1）=c（3a+2b+c）=c（a﹣c）=ac﹣c2＞0，∴a≠0，c≠0，∴＞0，所以0＜1．（2）令f′（x）=3ax2+2bx+c=0，则，x1x2=，∴k====a（）+b（x2+x1）+c=a[]+b（x2+x1）+c=a（﹣）+b（﹣）+c=a[（﹣）+（﹣）+]=（﹣+），令t=，由b=﹣（a+c）得，=﹣1﹣t，t∈（0，1），则k=[﹣（1+t）2+3t]=（﹣t2+t﹣1），∵a＞0，﹣t2+t﹣1∈（﹣1，﹣]，∴k∈（﹣，﹣]．点评：本题考查函数在某点取得极值的条件、导数运算及直线斜率，考查转化思想，解决（2）问关键是通过换元转化为关于t的二次函数，从而可利用二次函数性质解决．18．（16分）（2013•镇江一模）某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R （米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托，，，所在圆的圆心都是O、半径都是R（米）、圆弧的圆心角都是θ（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E 到地面的距离为h（米），且h＞R；灯脚FA1，FB1，FC1，FD1是正四棱锥F﹣A1B1C1D1的四条侧棱，正方形A1B1C1D1的外接圆半径为R（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ（弧度）．已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元），灯托造价是每米（元），其中R，h，a都为常数．设该灯架的总造价为y（元）．（1）求y关于θ的函数关系式；（2）当θ取何值时，y取得最小值？考点：函数模型的选择与应用；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意把4根灯脚及灯架写成是关于θ的表达式，运用弧长公式把4根灯托也用θ表示，然后乘以各自的造价作和即可得到y关于θ的函数关系式；（2）对（1）求出的函数式进行求导计算，分析得到当θ=时函数取得极小值，也就是最小值．解答：解：如图，（1）延长EF与地面交于O1，由题意知：∠A1FO1=θ，且，从而EF=h﹣，，则，．（2），设，令==．得：1﹣2cosθ=0，所以．当θ∈时，f′（θ）＜0．当θ∈时，f′（θ）＞0．设，其中，∴．∴，∴时，y最小．答：当时，灯架造价取得最小值．点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用导数求函数的最值，解答此题时要注意实际问题要注明符合实际意义的定义域，此题是中档题．19．（16分）（2013•镇江一模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，圆x2+y2=4上有一动点P，P在x轴的上方，C（1，0），直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB．（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面积S；（2）设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设D（x，y），利用勾股定理和两点间的距离公式即可关于x，y的方程，与椭圆的方程联立即可解得点D的坐标，利用S△ADC=即可得出；（2）设P（x0，y0），得到直线PA的方程，与椭圆的方程联立及利用点P在圆上即可表示出直线PB、DC的斜率，利用k1=λk2，及反比例函数的单调性即可得出．解答：解：（1）设D（x，y），∵∠ADC=90°，∴AD2+DC2=AC2，∴（x+2）2+y2+（x﹣1）2+y2=9，化为x2+y2+x﹣2=0 ①．∵点D在椭圆E上，∴②．联立①②得，消去y得3x2+4x﹣4=0，又﹣2＜x＜2，解得．代入椭圆方程解得．∴S△ADC==．（2）设P（x0，y0），则直线PA的方程为，代入椭圆的方程得到，∵，∴，化为．此方程有一个实数根﹣2，设D（x1，y1），则，代入直线PA的方程得，∴，=．∵k1=λk2，∴==，∵﹣2＜x0＜2，，∴λ的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，3）．点评：熟练掌握圆锥曲线的定义、方程及其性质、勾股定理、两点间的距离公式、斜率公式、直线与圆锥曲线的相交问题转化为方程组、一元二次方程的根与系数的关系、反比例函数的单调性是解题的关键．20．（16分）（2013•镇江一模）设数列{a n}的各项均为正数，其前n项的和为S n，对于任意正整数m，n，恒成立．（1）若a1=1，求a2，a3，a4及数列{a n}的通项公式；（2）若a4=a2（a1+a2+1），求证：数列{a n}成等比数列．考点：等比关系的确定；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由给出的递推式分别取m=1，m=2得到两个关系式，两式作比后可以证明数列{1+S n}是一个等比数列，由等比数列的通项公式得到S n的表达式，模仿该式再写一个关系式，两式作差后进一步得到一个关于a2和S2的关系式，然后把a1代入即可求得a2的值，在分别取m=1，n=2；m=2，n=1代入原递推式，得到关于a3，a4的方程后可求解a3，a4则数列{a n}的通项公式可求；（2）在（1）的基础上，取m=n=2得关系式，结合m=1，n=2得到的关系式可求出q==2．最后结合题目给出的条件，a4=a2（a1+a2+1）证出数列{a n}成等比数列．解答：解（1）由得．令m=1，得①令m=2，得②②÷①得：（n∈N*）．记，则数列{1+S n} （n≥2，n∈N*）是公比为q的等比数列．∴（n≥2，n∈N*）③．n≥3时，④．③﹣④得，（n≥3，n∈N*）．在中，令m=n=1，得．∴．则1+S2=2a2，∴a2=1+a1．∵a1=1，∴a2=2．在中，令m=1，n=2，得．则⑤在中，令m=2，n=1，得则⑥．由⑤，⑥，解得a3=4，a4=8．则q=2，由（n≥3，n∈N*），得：∵a1=1，a2=2也适合上式，∴．（2）在中，令m=2，n=2，得则1+S4=2a4，∴1+S3=a4．在中，令m=1，n=2，得．则，∴．则a4=4a2，∴．代入（n≥3，n∈N*），得（n≥3，n∈N*）．由条件a4=a2（a1+a2+1），得a1+a2+1=4．∵a2=a1+1，a1=1，∴a2=2．则∵a1=1，a2=2上式也成立，∴（n∈N*）．故数列{a n}成等比数列．点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等差数列和等比数列的综合，训练了学生的灵活变形能力和对繁杂问题的计算能力，属中高档题．三．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（2013•镇江一模）（选修4﹣1几何证明选讲）如图，已知CB是⊙O的一条弦，A是⊙O上任意一点，过点A作⊙O的切线交直线CB于点P，D为⊙O 上一点，且∠ABD=∠ABP．求证：AB2=BP•BD．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题．分析：利用弦切角定理可得∠PAB=∠ADB，又∠ABD=∠ABP，可得△ABP∽△DBA，利用相似三角形得出性质即可得出．解答：解：∵AP是⊙O的切线，∴由弦切角定理可得∠PAB=∠ADB，又∵∠ABP=∠DBA，∴△ABP∽△DBA，∴，∴AB2=BP•BD．点评：熟练掌握弦切角定理化为相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（2013•镇江一模）（选修4﹣2：矩阵与变换）已知矩阵A=的一个特征值为λ1=﹣1，其对应的一个特征向量为，已知，求A5β．考点：特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．专题：计算题．分析：利用特征值、特征向量的定义，构建方程组，由此可求矩阵A．再求矩阵A的特征多项式，从而求得特征值与特征向量，利用矩阵A的特征值与特征向量，进而可求A5β．解答：解：依题意：Aα1=﹣α1，…（4分）即=﹣，∴，∴…（8分）A的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）λ﹣2=λ2﹣λ﹣2=0，则λ=﹣1或λ=2．λ=2时，特征方程，属于特征值λ=2的一个特征向量为，∵=﹣2+3，∴A5β=﹣2×（﹣1）5+3×25=．点评：本题考查待定系数法求矩阵，考查特征值与特征向量，理解特征值、特征向量的定义是关键．23．（2013•镇江一模）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知直线l的参数方程（t为参数），圆C的极坐标方程：ρ+2sinθ=0．（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在圆C上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C任意点P的坐标为（cosθ，﹣1+sinθ），利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值，并求出此时θ的度数，即可确定出所求点P的坐标．解答：解：（1）消去参数t，得直线l的普通方程为y=﹣x+1+2，ρ+2sinθ=0，两边同乘以ρ得ρ2+2ρsinθ=0，得⊙C的直角坐标方程为x2+（y+1）2=1；（2）设所求的点为P（cosθ，﹣1+sinθ），则P到直线l的距离d===，当θ=+2kπ，k∈Z，sin（θ+）=1，d取得最小值，此时点P的坐标为（，﹣）．点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及直线的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题．24．（2013•镇江一模）（选修4﹣5：不等式选讲）已知a，b，c都是正数，且a+2b+3c=6，求的最大值．考点：一般形式的柯西不等式；平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用柯西不等式，结合a+2b+3c=6，即可求得的最大值．解答：解：由柯西不等式可得（）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×9∴≤3，当且仅当时取等号．∴的最大值是3故最大值为3．点评：本题考查最值问题，考查柯西不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．四、[必做题]每小题0分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内．25．（2013•镇江一模）如图，圆锥的高PO=4，底面半径OB=2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE．（1）求异面直线EF与BD所成角的余弦值；（2）求二面角O﹣DF﹣E的正弦值．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用⇔=0，又=2，即可解得点F的坐标．利用异面直线EF与BD的方向向量的夹角即可得出所成角（锐角）的余弦值；（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，0，2），E（0，1，2），P（0，0，4），F（x，y，0）．∴，，．∵，∴=y﹣1=0，解得y=1．又∵=2，，取x＞0，把y=1代入解得x=，∴，∴．==．∴异面直线EF与BD所成角（锐角）的余弦值为；（2）设平面DEF的法向量为，则得，令x1=2，则，y1=0，∴．设平面ODF的法向量为=（x2，y2，z2），则，得，令x2=1，则，z2=0．∴．∴===．∴sinθ==．∴二面角O﹣DF﹣E的正弦值为．点评：熟练掌握通过建立如图所示的空间直角坐标系、利用异面直线的方向向量的夹角求得异面直线所成角、利用两个平面的法向量的夹角得出二面角、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．26．（2013•镇江一模）（1）山水城市镇江有“三山”﹣﹣金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望；（2）某城市有n（n为奇数，n≥3）个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这n个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）游客游览景点个数为0，1，2，3，ξ可能取值为：1，3，ξ=1表示游览一个景点或游览两个景点，ξ=3表示游览景点数为0或游览了三个景点，根据n次独立重复试验中事件发生k的概率公式即可求得P（ξ=1），P（ξ=3），进而得到分布列和期望；（2）当n=2k+1，k∈N*时，游客游览景点个数可能为：0，1，2，…，2k+1，则ξ可能取值为：1，3，5，…，2k+1．根据独立重复试验中事件A发生k次的概率计算公式求出ξ取各值是的概率，表示出Eξ=（2k+1﹣0）×2×+[（2k+1﹣1）﹣1]×2×+[（2k+1﹣2）﹣2]×2×+…+[2k+1﹣k）﹣k]×2×，分组后利用性质=n（i=1，2，3，…，n）对上式即可进行化简，最后再换为n即可；解答：解：（1）游客游览景点个数为0，1，2，3，ξ可能取值为：1，3，P（ξ=1）=+=2=，P（ξ=3）=+=2=，ξ的分布列为：所以Eξ=1×+3×=．（2）当n=2k+1，k∈N*时，游客游览景点个数可能为：0，1，2，…，2k+1，ξ可能取值为：1，3，5，…，2k+1．P（ξ=1）=+=2×；P（ξ=3）=+=；…P（ξ=2k+1）=+=2×，∴ξ的分布列为：∴Eξ=（2k+1﹣0）×2×+[（2k+1﹣1）﹣1]×2×+[（2k+1﹣2）﹣2]×2×+…+[2k+1﹣k）﹣k]×2×=2×{[（2k+1）+2k+（2k﹣1）+…+（2k+1﹣k）]﹣[（0×+1+2×+…+]}=2×{[（2k+1）×+2k×+（2k﹣1）×+…+（k+1）]﹣[0×+1×+…+]}，∵=n（i=1，2，3，…，n），Eξ=2×{（2k+1）×[]﹣（2k+1）×[]}=2××（2k+1）×[（）﹣（+）]=2××（2k+1）×=．答：ξ的数学期望Eξ为．点评：本题考查离散型随机变量的分布列、期望，考查n次独立重复试验中事件A发生k的概率计算公式，考查组合数性质应用，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，本题综合性强，能力要求高，属难题．。
(完整版)2013年高考江苏数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2014年江苏，1，5分】函数3sin(2)4y x π=-的最小正周期为_______．【答案】π【解析】函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==．（2）【2014年江苏，2，5分】设2(2i)z =-(i 为虚数单位)，则复数z 的模为_______． 【答案】5【解析】()222i 44i i 3i 54z =--+-====．（3）【2014年江苏，3，5分】双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为_______．【答案】34y x =±【解析】由题意可知所求双曲线的渐近线方程为34y x =±．（4）【2014年江苏，4，5分】集合{}1,0,1-共有 _______个子集． 【答案】8【解析】由于集合{}1,0,1-有3个元素，故其子集个数为328=．（5）【2014年江苏，5，5分】右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是_______． 【答案】3【解析】第一次循环后：82a n ←←，；第二次循环后：263a n ←←，；由于2620>，跳出循环，输出3n =．（6）【的那位运动员成绩的方差为 ．【答案】2【解析】由题中数据可得=90x 甲，=90x 乙．()()()()()22222287909190909089909015394s -+-+-⎡⎤=⎣+-+-⎦=甲，()()()()()22222289909090919088909015292s -+-+-⎡⎤=⎣+-+-⎦=乙，由22>s s 甲乙，可知乙运动员成绩稳定．故应填2．（7）【2014年江苏，7，5分】现有某类病毒记作m n X Y ，其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取，则,m n 都取到奇数的概率为________．【答案】2063【解析】由题意知m 的可能取值为1，2，3，…，7；n 的可能取值为1，2，3，…，9．由于是任取m ，n ：若1m =时，n 可取1，2，3，…，9，共9种情况；同理m 取2，3，…，7时，n 也各有9种情况，故m ，n 的取值情况共有7963⨯=种．若m ，n 都取奇数，则m 的取值为1，3，5，7，n 的取值为1，3，5，7，9，因此满足条件的情形有4×5=20种．故所求概率为2063．（8）【2014年江苏，8，5分】如图，在三棱柱111A B C ABC -中，,,D E F 分别是1,,AB AC AA 的中点，设三棱锥F ADE -的体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =_______． 【答案】1:24【解析】由题意可知点F 到面ABC 的距离与点1A 到面ABC 的距离之比为1:2，1:4ADE ABC S S =V V :．因此12131:242AED ABCAF S AF S V V ∆∆=⋅=⋅:． （9）【2014年江苏，9，5分】抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是________．【答案】12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意可知抛物线2y x =在1x =处的切线方程为21y x =-．该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：当直线20x y +=平移到过点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭时，2x y +取得最大值12．当直线20x y +=平移到过点1(0)B -，时，2x y +取得最小值2-． 因此所求的2x y +的取值范围为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（10）【2014年江苏，10，5分】设,D E 分别是ABC ∆的边,AB BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =，若12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r(12,λλ为实数)，则12λλ+的值为________． 【答案】12【解析】由题意作图如图．∵在ABC ∆中，1223DE DB BE AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 12()23AB AC AB =+-u u u r u u u r u u u r121263AB AC AB AC λλ=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴116λ=-，223λ=．故1212λλ+=．（11）【2014年江苏，11，5分】已知()f x 是定义在R 上的奇函数．当0x >时，2()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为________． 【答案】5,0)5()(∞U －,＋【解析】∵函数()f x 为奇函数，且0x >时，()24f x x x =-，则()22400040f x x x x x x x x =⎧->⎪=⎨⎪--<⎩∴原不等式等价于204x x x x >⎧⎨->⎩或204x x x x <⎧⎨-->⎩，由此可解得5x >或50x -<<． （12）【2014年江苏，12，5分】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ．若21d =，则椭圆的离心率为________．【解析】设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为=1x yc b+，即0bx cy bc +-=．于是可知1bc d a ==，22222a a c b d c c c c -=-==．∵21d =，∴2b c =，即2ab =．∴()22246a a c c -=．∴42610e e +-=．∴213e =．∴e（13）【2014年江苏，13，5分】平面直角坐标系xOy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=>图像上一动点，若点,P A 之间最短距离为a 的所有值为________．【答案】1-【解析】设P 点的坐标为1,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则222222111()=2=2x a a x a x a x x A x P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=．令12t x x =+≥，则()()2222222222PA t at a t a a t =-+-=-+-≥．结合题意可知(1)当2a ≤，2t =时，2PA 取得最小 值．此时()22228a a -+-=，解得1a =-，3a =(舍去)．(2)当2a >，t a =时，2PA 取得最小值．此时228a -=，解得a =a =(舍去)．故满足条件的实数a 1-．（14）【2014年江苏，14，5分】在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=．则满足123123......n n a a a a a a a a ++++>的最大正整数n 的值为_______． 【答案】12【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则由()26753a a a q q +=+=可得2q =，于是62n n a -=，则1251(12)13221232n n n a a a --=-+=-++⋯．∵512a =，2q =，∴61a =， 111210261a a a a a ==⋯==．∴12111a a a ⋯=．当n 取12时，7612121211121213222a a a a a a a a ++⋯+=->⋯==成立；当n 取13时，86713121312111213121322132·22a a a a a a a a a a ++⋯+=-⋯===<．当13n >时，随着n 增大12n a a a ++⋯+将恒小于12n a a a ⋯．因此所求n 的最大值为12．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知()cos sin a αα=，r ，()cos sin b ββ=，r，0βαπ<<<．（1）若a b -=r r a b ⊥r r；（2）设()01c ,=r ，若a b c +=r r r ，求α，β的值．解：（1）解法一：由||a b -=r r 22||()2a b a b -=-=r r r r ，即2222a a b b -⋅+=r r r r ．又2222||||1a b a b ====r r r u u r ，所以222a b -⋅=，0a b ⋅=r r ，故a b ⊥r r ． 解法二：(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--r r ，由||a b -=r r22||()2a b a b -=-=r r r r ， 即：22(cos cos )(sin sin )2αβαβ-+-=，化简，得：2(cos cos sin sin )0αβαβ+-=， cos cos sin sin 0a b αβαβ⋅=+-=r r ，所以a b ⊥r r ． （2）(cos cos ,sin sin )a b αβαβ+=++r r ，可得：cos cos 0(1)sin sin 1(2)αβαβ+=⎧⎨+=⎩L L L L解法一：AS AB =．过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是侧棱SA ，SC 的中点．求证：（1）平面EFG //平面ABC ； （2）BC SA ⊥． 解：（1）因为AS AB =，AF SB ⊥于F ，所以F 是SB 的中点．又E 是SA 的中点，所以//EF AB ．因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC ．同理可证//EG 平面ABC ．又EF EG E =I ，所以平面//EFG 平面ABC ．（2）因为平面SAB ⊥平面SBC 于SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF SB ⊥，所以AF ⊥平面SBC ．因为BC ⊂平面SBC ，所以AF BC ⊥．又因为AB BC⊥，AF AB A =I ，AF AB ⊂、平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB ．又因为SA ⊂平面SAB ，所以BC SA ⊥．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：．设圆的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 解：（1）由题设，圆心C 是直线24y x =-和1y x =-的交点，解得点2(3)C ,，于是切线的斜率必存在．设过3(0)A ,的圆C 的切线方程为3y kx =+1=，解得0k =或34-， 故所求切线方程为3y =或34120x y +-=．（2）因为圆心在直线24y x =-上，所以圆C 的方程为()()22221x a y a -+--⎤⎣⎦=⎡．设点()M x y ，， 因为2MA MO =22230x y y ++-=，即()2214x y ++=， 所以点M 在以1(0)D -，为圆心，2为半径的圆上．由题意，点()M x y ，在圆C 上，所以圆C 与圆D 有 公共点，则2121CD -≤≤+，即13≤．由251280a a -+≥，得R a ∈；由25120a a -≤，得0125a ≤≤．所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （18）【2014年江苏，18，16分】如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C 处有两种路径． 一种是从沿A 直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到 C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？．解：（1）在ABC ∆中，因为3os 1c 12A =，cos 35C =，所以sin 513A =，sin 45C =．从而()()sin sin sin sin cos cos sin 531246313513565B AC A C A C A C π=-+=+=+⨯⨯⨯==⎡⎤⎣⎦． 由正弦定理sin sin AB ACC B=，得12604sin 104063sin 565AC AB C B =⨯=⨯=．所以索道AB 的长为1040 m ． （2）假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了()10050 m t +，乙距离A 处130m t ，所以由余弦定理得()()()()2222121005013021301005020037705013d t t t t t t =++-⨯⨯+⨯=-+， 因10430001t ≤≤，即08t ≤≤，故当3537t =(min)时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理sin sin BC ACA B=，得12605sin 500m 63sin 1365AC BC A B =⨯=⨯=． 乙从B 出发时，甲已走了()50281550⨯++=(m)，还需走710 m 才能到达C ．设乙步行的速度为v m/min ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦(单位：m/min)范围内． （19）【2014年江苏，19，16分】设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和．记2n n nSb n c=+，N n *∈，其中c 为实数．（1）若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈；（2）若{}n b 是等差数列，证明：0c =． 解：由题设，(1)2n n n S na d -=+． （1）由0c =，得12n n S n b a d n -==+．又因为124b b b ，，成等比数列，所以1224b b b =，即23=22d a a a d ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得220d ad -=．因为0d ≠，所以2d a =．因此，对于所有的*N m ∈，有2m S m a =．从而对于所有的k ，*N n ∈，有()2222nk k S nk a n k a n S ===． （2）设数列{}n b 的公差是1d ，则()111n b b n d =+-，即()1121nb n nS n cd =+-+，*N n ∈，代入n S 的表达式，整理 得，对于所有的*N n ∈，有()111321111122d d n b d a d n cd n c d b ⎛⎫⎛⎫-+--++ ⎪ =⎪⎭⎭-⎝⎝．令112A d d =-，1112B d d b a =--+，()11D c d b =-，则对于所有的*N n ∈，有321An Bn cd n D ++=．(*)在(*)式中分别取1234n =,,,，得1111842279364164A B cd A B cd A B cd A B cd ++=++=++=++， 从而有11173019502150A B cd A B cd A B cd ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③，由②，③得0A =，15cd B =-，代入方程①，得0B =，从而10cd =．即1102d d -=，11102b d a d -+=-=0，10cd =．若d 1=0，则由1102d d -=，得0d =，与题设矛盾，所以10d ≠．又因为10cd =，所以0c =．（20）【2014年江苏，20，16分】设函数()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数． （1）若()f x 在()1,+∞上是单调减函数，且()g x 在()1,+∞上有最小值，求a 的范围； （2）若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论． 解：（1）令f ′(x )=()110axf x a x x-'=-=<，考虑到()f x 的定义域为(0)+∞，，故0a >，进而解得1x a ->，即()f x 在1()a -+∞，上是单调减函数．同理，()f x 在1(0)a -，上是单调增函数．由于()f x 在(1)+∞，上是单调减函数，故1()(1)a -∞∞⊆++，，，从而11a -≤，即1a ≥．令()0x g x e a '=-=，得ln x a =．当ln x a <时，()0g x '<；当ln x a >时，()0g x '>．又()g x 在(1)+∞，上有最小值，所以ln 1a >，即a e >．综上，有()a e ∈+∞，．（2）当0a ≤时，()g x 必为单调增函数；当0a >时，令()0x g x e a '=->，解得x a e <，即ln x a >．因为()g x 在()1-+∞，上是单调增函数，类似（1）有ln 1a ≤-，即10a e -<≤．结合上述两种情况，有1a e -≤． ①当0a =时，由()10f =以及()10f x x'=>，得()f x 存在唯一的零点； ②当0a <时，由于()()10a a a f e a ae a e =-=-<，()10f a =->，且函数()f x 在[1]a e ，上的图象不间断， 所以()f x 在(1)a e ，上存在零点．另外，当0x >时，()10f x a x'=->，故()f x 在(0)+∞，上是单调增 函数，所以f (x )只有一个零点．③当10a e -<≤时，令()10f x a x'=-=，解得1x a -=．当10x a -<<时，()0f x '>，当1x a ->时，()0f x '<，所以，1x a -=是()f x 的最大值点，且最大值为()1ln 1f a a -=--．当ln 10a --=，即1a e -=时，()f x 有一个零点x e =．当ln 10a -->，即10a e -<<时，()f x 有两个零点．实际上，对于10a e -<<，由于()1110f e ae --=--<，()10f a ->，且函数()f x 在11[]e a --，上的图象不间断，所以()f x 在11()e a --，上存在零点．另外，当1()0x a -∈，时， ()10a xf x =->'，故()f x 在1(0)a -，上是单调增函数，所以()f x 在1(0)a -，上只有一个零点．下面考虑()f x 在1()a -+∞，上的情况．先证()()1210a a f e a a e ---=-<．为此，我们要证明：当x e >时，2x e x >．设()2x h x e x =-，则()2x h x e x '=-，再设()()2x l x h x e x ='=-，则()2x l x e '=-．当1x >时，()220x l x e e '=->->，所以()()l x h x ='在(1)+∞，上是单调增函数．故当2x >时，()()22240x h x e x h e '=->'=->，从而()h x 在(2)+∞，上是单调增函数，进而当x e >时，()()220x e h x e x h e e e =->=->．即当x e >时，2x e x >．当10a e -<<，即1a e ->时，()()111210a a a f e a ae a a e -----=-=-<，又()10f a ->，且函数()f x 在11[]a a e --，上的图象不间断，所以()f x 在11()a a e --，上存在零点．又当1x a ->时，()0f x a '=-<，故()f x 在(a -1，+∞)上是单调减函数，所以f (x )在(a -1，+∞)上只有一个零点．综合①，②，③，当0a ≤或1a e -=时，()f x 的零点个数为1，当10a e -<<时，()f x 的零点个数为2．数学Ⅱ【选做】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2014年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D C AC 、，经过圆心O ，且2BC OC =．求证：2AC AD =．解：连结OD ．因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以90ADO ACB ∠=∠=︒．又因为A A ∠=∠，所以Rt Rt ADO ACB ∆∆∽．所以BC ACOD AD=． 又22BC OC OD ==，故2AC AD =． （21-B ）【2014年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1012,0206-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，求矩阵1-A B ． 解：设矩阵A 的逆矩阵为 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即 2 2a b c d --⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1 00 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故100a b c =-==，，，12d =，从而A 的逆矩阵为1 1 010 2--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=A ，所以1 1 010 2--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣=⎦A B 1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦= 1 20 3--⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （21-C ）【2014年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩（θ为参数）．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，由1x t =+得1t x =-，代入2y t =，得到直线l 的普通方程为220x y --=．同理得到曲线C 的普通方程为22y x =．联立2212y x y x =(-)⎧⎨=⎩,解得公共点的坐标为(2)2，，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭． （21-D ）【2014年江苏，21-D ，10分】（选修4-4：不等式选讲）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-． 解：()()()()()()()()332222222222222a b ab a b a a b b a b a b a b a b a b a b ---=-+-=-+=-++．因为0a b ≥>，所以0a b -≥，0a b +>，20a b +>，从而()()()20a b a b a b -++≥，即332222a b ab a b -≥-． 【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22）【2014年江苏，22，10分】如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值． 解：（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()000A ，，，()200B ，，，()020C ，，()110D ，，，14(0)0A ，，，14(0)2C ，，，所以1(20)4A B =-u u u r ，，，1(11)4C D =--u u u u r，，．因为111111cos ,A B C D A B C D A B C D⋅===u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r ，所以异面直线1A B 与1C D． （2）设平面1ADC 的法向量为1()n x y z =r ，，，因为(1)10AD =u u u r ，，，10()24AC =u u u u r ，，，所以10n AD ⋅=u u r u u u r，110n AC ⋅=u u r u u u u r ，即0x y +=且20y z +=，取1z =，得2x =，2y =-，所以，12()21n =-u u r，，是平面1ADC 的一个法向量．取平面1AA B 的一个法向量为2(010)n =u u r，，，设平面1ADC 与平面 1ABA 所成二面角的大小为θ．由12122||||s 3co θ⋅===n n n n，得sin θ=．因此，平面1ADC 与平面1ABA．（1）求11中元素个数； （2）求集合2000P 中元素个数．解：（1）由数列{}n a 的定义得123456789101223334444a a a a a a a a a a ==-=-====-=-=-=-，，，，，，，，，，，115a =，1234567891011113036226105S S S S S S S S S S S ∴==-=-=====-=-=-=-，，，，，，，，，，，从而11445566111102S a S a S a S a S a ==⨯===-，，，，，所以集合11P 中元素的个数为5． （2）先证：()()*2121()i i S i i i +=-+∈N ．①当1i =时，()3213i i S S +==-，()213i i -+=-，故原等式成立； ②假设i m =时成立，即()()2121m m S m m +=-+，则1i m =+时，()()()()()()()()22222(113)21222143253123m m m m S S m m m m m m m m m +++=++-+=-+--=-++=-++．综合①②可得()()2121i i S i i +=-+．于是()()()()()()()2(221121)212121211i i i i S S i i i i i i +++=++=-+++=++． 由上可知()21i i S +是21i +的倍数，而()21(211221)i i j a i j i ++=+=⋯+，，，，所以()()(212)121i i i i j S S j i +++=++是 ()211)2(21i i j a j i ++=⋯+，，，的倍数．又()()()()121121i i S i i ++=++不是22i +的倍数，而()()()12122i i j a i +++=-+()1222j i =⋯+，，，，所以()()()()()()()()1211212221122i i j i i S S j i i i j i +++++=-+=++-+不是()()121i i j a +++ 122()2j i =⋯+，，，的倍数，故当()21l i i =+时，集合l P 中元素的个数为()21321i i ++⋯+-=，于是，当()()21121l i i j j i =++≤≤+时，集合l P 中元素的个数为2i j +． 又()200031231147=⨯⨯++，故集合2000P 中元素的个数为231471008+=．。