关于椭圆离心率求法
离心率求解技巧
离心率求解技巧离心率是描述椭圆轨道形状的一个重要参数，它可以用来衡量椭圆离圆形的程度。
在太空科学和航天工程中，离心率的求解是一个基本的问题。
下面将介绍一些离心率求解的技巧。
一、基本概念离心率是椭圆轨道焦点与椭圆形心之间的距离与椭圆长轴的比值。
换句话说，离心率表示椭圆形状的扁平度。
当离心率为0时，椭圆退化为圆形；当离心率为1时，椭圆退化为抛物线；当离心率大于1时，椭圆退化为双曲线。
二、离心率的求解求解离心率的基本思路是通过已知的轨道参数来计算。
根据Kepler定律，可以利用动量守恒定律和能量守恒定律来推导椭圆轨道的离心率。
1. 动量守恒定律根据动量守恒定律，可以得到以下公式：m * (V * r) = h，其中m表示物体的质量，V表示物体在轨道上的速度，r表示物体距离轨道中心的距离，h表示动量守恒常数。
当物体距离轨道中心的距离最小时（即椭圆轨道的近地点），动量守恒常数h可以表示为：h = m * (Vmin * rmin)，其中Vmin表示物体在近地点的速度，rmin表示物体在近地点的距离。
2. 能量守恒定律根据能量守恒定律，可以得到以下公式：E = (1/2) * m * V^2 - G * M * m / r，其中E表示物体的总能量，G表示万有引力常数，M 表示天体的质量。
当物体距离轨道中心的距离最远时（即椭圆轨道的远地点），能量守恒常数E可以表示为：E = (1/2) * m * Vmax^2 - G * M * m / rmax，其中Vmax表示物体在远地点的速度，rmax表示物体在远地点的距离。
3. 离心率的求解根据动量守恒定律和能量守恒定律，可以得到以下公式：Vmin * rmin = Vmax * rmax，以及Vmin^2 * rmin = Vmax^2 * rmax + 2 * G * M / (1 - e)，其中e表示椭圆轨道的离心率。
将上述两个公式联立求解，可以解得椭圆轨道的离心率e。
求椭圆离心率的方法
求椭圆离心率的方法椭圆的离心率是描述椭圆形状程度的一个数值，它是一个无量纲量，通常用字母e表示。
离心率的计算是通过椭圆的半长轴和半短轴来推导得到的。
首先，我们需要明确椭圆的定义。
椭圆是一个平面上的封闭曲线，它的形状类似于拉长的圆。
椭圆具有一对焦点（F1和F2），而且椭圆上的每一点到这两个焦点的距离之和是一个常数（2a）。
椭圆的长轴是连接两个焦点的直线段，并通过椭圆的中心点，而短轴则是与长轴垂直且通过椭圆的中心点的线段。
椭圆的离心率可以通过椭圆的半长轴（a）和半短轴（b）来计算。
半长轴表示椭圆长轴的一半，即半长轴等于长轴长度的一半，记作a；半短轴表示椭圆短轴的一半，即半短轴等于短轴长度的一半，记作b。
离心率的计算公式如下：e = √(1 - (b^2/a^2))其中，e表示椭圆的离心率，b表示椭圆的半短轴长度，a表示椭圆的半长轴长度。
举个例子来说明，假设一个椭圆的半长轴的长度是4，半短轴的长度是2，我们可以通过公式来计算其离心率。
首先，计算a的平方：a^2 = 4^2 = 16然后，计算b的平方：b^2 = 2^2 = 4接下来，将b的平方除以a的平方：b^2/a^2 = 4/16 = 1/4最后，计算1减去b的平方除以a的平方的结果：1 - (1/4) = 3/4最后，我们取这个结果的平方根：√(3/4) ≈0.866因此，这个椭圆的离心率约为0.866。
我们可以看到，椭圆的离心率范围是0到1之间的实数，并且离心率越接近于0，椭圆的形状越趋近于圆；离心率越接近于1，椭圆的形状越趋近于长条形。
另外，如果我们已知椭圆的焦距（c）和长轴的长度（2a），也可以通过这些参数来计算椭圆的离心率。
这个计算公式为：e = c/a其中，e表示椭圆的离心率，c表示焦距的长度，a表示长轴的长度。
以上就是计算椭圆离心率的两种方法，通过半长轴和半短轴的长度或者通过焦距和长轴的长度都能得到椭圆的离心率。
椭圆公式离心率
椭圆公式离心率
椭圆的离心率公式是：e=c/a=√(1-b²/a²)。
其中，e代表离心率，c代表焦距，a代表长半轴，b²代表短半轴的平方。
离心率是描述椭圆扁平程度的一种量度，定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值。
在椭圆的长轴不变的前提下，离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。
此外，离心率也可以表示为动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比。
在圆锥曲线统一定义中，圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
ρ=ep/(1-e×cosθ)，其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
椭圆离心率求法总结
I AF|FBA ⑤e= I F0| I A0|F2，以F1F2为边作正三角形，若椭变形1：椭圆x2 a2椭圆离心率的解法一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，0为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交0A 于B , P 、Q 在椭圆上, PD L L 于D, QF 丄AD 于 F,设椭圆的离心率为 e ,则①ej 黒 ②ej Q J ③e=^A 0^④I PD |I BF 丨 I BO|a2•••丨 A0| =a, I 0F| =c, •••有⑤；：T AO| =a, I BO| =——二有③。
c题目1椭圆x 2- +¥2-=1(a>b >0)的两焦点为F1思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取 AF2的中点B,连接BF1 ,把 已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。
解：TI F 仆2| =2c | BF1 | =c | BF2| = 3cc+ ,3c=2a • e=- |-= , 3-1+ ;|—=1(a>b >0)的两焦点为F1、F2 ,点P 在椭圆上，使△ 0PF1为正 b2DB评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率 e ?变形2:x2椭圆- + y2—=1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点, b2P是椭圆b2a三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2 ,则丨0F2| = | OF1 | = | 0P| , / F1PF2 =90° 图形如上图，e=, 3-1题目2：椭圆X2— +y2—=1(a>b >0) , A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点,a2 b2ABF=90°，求e?PF c 〃AB- | PF1 |=b又•/ b= a2-c2PF2〃AB•- | F2 F1 | a• a2=5c2 e= ■厂5点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的解：T| PF1 |I F2 F1 | =2c | OB| =b | OA| =a式，推导离心率。
求椭圆离心率的方法
求椭圆离心率的方法椭圆是平面上的几何图形，具有有限个点的离心率的性质。
离心率是描述椭圆形状独特度的一个重要参数，它表明椭圆的偏心程度。
离心率的计算是通过椭圆的长短轴的长度来进行的。
首先，我们来了解一下什么是椭圆。
椭圆可以看作是一个平面上的一条固定点到平面上任意一点的距离之和等于常数的点的集合。
这个固定点叫做焦点，常数叫做焦距。
椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，并通过椭圆的中心点。
短轴是垂直于长轴的线段，并通过椭圆的中心点。
焦距的一半等于椭圆的离心距离。
椭圆的离心率是一个无量纲的比例，用e表示。
离心率的范围是0≤e<1，当e 等于0时，说明椭圆是一个圆；当e接近1时，椭圆的偏心程度越大。
要求椭圆的离心率，首先需要知道椭圆的长轴和短轴的长度。
假设椭圆的长轴长度是2a，短轴长度是2b，那么离心率e的计算公式为：e = √(a^2 - b^2)/a即离心率等于椭圆的长轴和短轴长度之差的平方根除以长轴长度。
通过这个公式，我们可以求解任意椭圆的离心率。
下面通过一个例子来进一步说明求解椭圆离心率的方法。
假设有一个椭圆，长轴的长度是6，短轴的长度是4。
我们先代入公式：e = √(6^2 - 4^2)/6计算得到离心率e=√(36-16)/6=√20/6≈0.82。
这个结果表明该椭圆的离心率约为0.82，说明椭圆的偏心程度较大。
除了通过椭圆的长短轴长度来计算离心率，还有另一种计算方法，即通过椭圆的焦点和焦距来计算离心率。
焦点的坐标可以表示为(F1,0)和(-F1,0)，焦距可以表示为2c。
离心率的计算公式如下：e = c/a对于上面的例子，假设焦点的坐标分别是(-2,0)和(2,0)，焦距是2c=4。
代入公式得到离心率e=4/6≈0.67，与前面的计算结果相近。
总结一下，我们可以通过椭圆的长短轴长度或者焦点和焦距来计算椭圆的离心率。
这个参数可以帮助我们进一步了解椭圆的形状特征，判断椭圆与其他几何图形的关系，以及在各种科学工程领域的应用。
离心率求解经典例题
离心率求解经典例题离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它在物理学、天文学以及航天工程等领域中具有重要的应用。
本文将介绍离心率的定义、计算公式以及求解经典例题。
1. 离心率的定义在椭圆的基本参数中，离心率是用来描述椭圆形状的一个值。
离心率的定义是：离心率等于焦点间距离与长轴的比值。
假设椭圆的焦点间距离为2a，椭圆的长轴长度为2b，则离心率e的计算公式为：e = a / b离心率的值范围在0到1之间，当离心率为0时，表示椭圆为一个圆形；当离心率为1时，表示椭圆为一个抛物线；当离心率大于1时，表示椭圆为一个双曲线。
2. 离心率的计算在求解离心率时，需要已知椭圆的焦点间距离和长轴长度。
给定坐标系下的椭圆方程为：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1，其中a为椭圆长轴的一半长度，b为椭圆短轴的一半长度。
可以通过知道椭圆的焦点坐标及椭圆上一点的坐标来求解离心率。
假设椭圆的焦点坐标为(F1, 0)和(F2, 0)，椭圆上一点的坐标为(x, y)。
根据距离公式，有：√((x - F1)^2 + y^2) + √((x - F2)^2 + y^2) = 2a将椭圆方程化简后，可得到：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1将上述两个方程联立，并且消去变量y，可以得到椭圆上一点坐标x的关系表达式。
将x的值代入任一方程中，即可求得y的值。
利用x和y的值，可以计算出离心率e。
3. 求解经典例题现在通过一个经典的例题来说明离心率的求解过程。
例题：已知一个椭圆的焦点坐标为(F1, 0) = (-2, 0)和(F2, 0) = (2, 0)，椭圆上一点的坐标为P(x, y) = (4, 3)。
求此椭圆的离心率。
解答：根据离心率的计算公式，我们可以先求出椭圆长轴的一半长度a和短轴的一半长度b。
根据焦点坐标和椭圆上一点的坐标，可以得到a、b的计算公式如下：a = (PF1 + PF2) / 2 = (√((x - F1)^2 + y^2) + √((x - F2)^2 + y^2)) / 2 = (√((4 +2)^2 + 3^2) + √((4 - 2)^2 + 3^2)) / 2 = (11 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4b = √(a^2 - c^2) = √(4^2 - 2^2) = √(16 - 4) = √12 = √(4 * 3) = 2√3根据得到的a和b的值，可以计算离心率e：e = a / b = 4 / (2√3) = 2 / √3 = (2 / √3) * (√3 / √3) = (2√3) / 3 ≈ 1.155所以，此椭圆的离心率约为1.155。
椭圆离心率求法经典全面
离心率的五种求法椭圆的商心率0<0<1,双曲线的商心率丘>1,抛物线的离心率e = \. 一、直接求出“、J 求解《巳知圆锥曲线的标准方程或4、e 易求时，可利用率心率公式0 =上来解决。
a例1:已知双曲线^y-y 2 =1 (d>0)的一条淮线与抛物线y 2 =-6x 的准线重合, 则该双曲线的离心率为()A •迺B. 22 2Q 2 解：抛物线y 2 =-6x 的准线是X = -,即双曲线的右准线X =—2c2c 2 — 3c — 2 = 0 > 解得 c = 2 , a = -x/3，e =—=——,故选 r> a 3变式练习1：若椭圆通过原点，且核心为仟(1,0)、竹(3,0),则其商心率为()A. -B. -C. -D.丄43 24解：由片(1,0)、F 2(3,0)知 2c = 3 —1, • • c = 1 ,又T 椭圆过原点,■•a_c = l, a + c = 3 > • • a = 2 , c = 1 ,所以离心率e = — = — •故选C ・a 2变式练习2:若是双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为()A. —B. —C. - D 22 2 2c 3解：由题设a = 2, 2C = 69则c = 3, ^ =-=-,因此选Ca 2变式练习3：点P (-3, 1)在椭圆亠+二=1 (a >b>0)的左准线上，过点P 且方向 a 2b 2为a =(2,-5)的光线，经直线$ = -2反射后通过椭圆的左核心，则这个椭圆的离心率为()Di 2解：由题意知，入射光线为y-l=--(x + 3),关于y = —2的反射光线(对称关系)为 2 尤“c J3c解得 a = \[3 9 c = 1,则 e = — = •故选A云+ 5 = 0"3二、构造"、。
的齐次式，解出fV 6 TB !35x-2y+ 5 = 0,贝ij<按照题设条件，借助〃、b、C之间的关系，构造"、e的关系（特别是齐二次式），进而取得关于0的一元方程，从而解得离心率2 2例2：已知片、化是双曲线二一匚=1 （。
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
专题讲座：椭圆离心率的常规求法(文)
a,c的齐次式，解出e. 2.思想方法：
方程的思想，转化的思想
六.课后练习
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长 成等差数列，求该椭圆的离心率.
2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆 长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角 三角形，求椭圆的离心率.
专题讲座
椭圆离心率的常规求法
刘帅帅
一.复习巩固
二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法 例1.已知椭圆方程为 x2 + y2 =1，求椭圆的离心率；
16 8
y
P
a
F1(-c,0)o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e 2. 几何意义：e为∠OPF2的正弦值
变式训练1：
若椭圆x2 + y2 =1的离心率为1/2，求m的值.
四.高考链接
（ (a>2b0>102)新的课左标、全右国焦卷点），设P为F1直和线F2是x=椭3圆a ax上22 +一by点22 =，1
2
△ F2 P F1是底角为30°的等腰三角形， 求该椭圆
的离心率。
y P
30°
2c
F1 (-c,0)o2c
F2
(c,0)
c
x
2c=3a/2
x=3a/2
五.小结
3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一 点 ，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求该椭圆的 离心率。
变式训练2：
椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
关于椭圆离心率求法
关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a b a2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sincoscosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe解法4：利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x ca e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222≤-<∈c a e ae 得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221 解法6：巧用图形的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。
例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。
解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。
变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。
解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。
因此，选C。
变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。
变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。
设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。
设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。
其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。
关于椭圆离心率求法
关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a b a2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe解法4：利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x ca e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222≤-<∈c a e ae 得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221 解法6：巧用图形的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。
离心率的五种求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
浅谈一道椭圆离心率问题的多种解法
浅谈一道椭圆离心率问题的多种解法椭圆离心率是椭圆的重要参数，应用于航天飞机的运动轨道计算，利用椭圆的离心率可以更直观地分析航天飞机的运动情况，特别是在开展气动模型实验的时候，需要准确的椭圆离心率来作为参数输入，因此，计算出一道椭圆离心率问题的正确答案就显得十分重要。
椭圆离心率问题大致可以分为三类，分别是通用公式、三角函数和矩阵表达式。
这三类解法都可以在数学上解决椭圆离心率问题，但是它们之间的适用场景也有所不同。
因此，要根据具体的应用需求选择合适的求解方法。
首先，从通用公式的角度来看，椭圆离心率是椭圆的短轴和长轴的比值。
通过椭圆的短轴和长轴长度就可以计算出离心率，但是这种方法只适用于给定椭圆上任意点的离心率问题。
其次，从三角函数的角度来看，可以通过正弦定理求解椭圆离心率。
通过计算椭圆上任意点的两个法向量的夹角，并用正弦定理求出夹角的正弦值，即可以得出该点的离心率。
但是，这种方法的精度较低，受误差影响较大。
最后，从矩阵表达式的角度来看，可以使用矩阵来求解椭圆离心率。
矩阵求解法首先把椭圆表示成矩阵形式，然后再计算出离心率。
这种方式可以被认为是最为准确的求解方式，并且可以解决许多复杂的椭圆定位问题。
上述三种椭圆离心率解法都可以在数学上解决椭圆离心率问题，但是它们之间也存在着一定的差异，要根据具体的需求来选择合适的求解方法。
此外，在应用以上解法时，要特别注意精度的把握，为了获得更加准确的结果，有时候需要做多次迭代。
总而言之，椭圆离心率问题可以运用通用公式、三角函数和矩阵表达式等多种数学方法，来求解。
它们有不同的适用范围，在计算结果的精度要求比较高的时候，可以采取多次迭代的办法，提高求解的精确度。
虽然上述解法都可以用来求解椭圆离心率，但是具体要根据应用场景来选择对于的解法，从而以最优的解决方案应对椭圆离心率问题。
除此之外，还可以利用新技术求解椭圆离心率问题，如数值分析技术和逼近技术，以及利用计算机软件进行矩阵计算来求解椭圆离心率问题。
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2c∴有③。
题目1：椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e=c a= 3-1变形1：椭圆x2 a2 +y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x2 a2 +y2b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF1｜=b2a｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= ba 又 ∵b=a2-c2∴a2=5c2 e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。
椭圆离心率求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
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水深火热的演练一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。
在椭圆中，a c e =，22222221ab a b a ac a c e -=-===1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于23.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为21 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为12。
5.若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离心率为=e 22。
6..已知)0.0(121>>=+n m nm 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为238.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为=e 22。
9.P 是椭圆22a x +22by =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e 13-10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若οο75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为3613.椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于21∣AF∣，则椭圆的离心率是36。
14.椭圆12222=+by a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是215-15.已知直线L 过椭圆12222=+by a x （a>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 的距离为2a，则椭圆的离心率是3616.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e=217.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-= 的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ A ）Ａ．必在圆222x y +=Ｂ．必在圆222x y +=上 Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能二、构造a c ，的齐次式，解出e1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是53 2．以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是13-3．以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13-4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三15．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是33 三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。
1．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r的点M 总在椭圆部，则椭圆离心率的取值围是 2．已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且ο9021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,223．已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且ο6021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21 4．设椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆上存在一点Q ，使∠F 1QF 2=120º，椭圆离心率e 的取值围为136<≤e 5．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =38． 6．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值围是1⎫⎪⎪⎣⎭7．如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F 均在椭圆上，则椭圆离心率的取值围是13-关于双曲线离心率一、利用双曲线性质例1 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的左支上，双曲线两焦点为21F F 、，已知|PF |1是点P 到左准线l 的距离d 和|PF |2的比例中项，求双曲线离心率的取值围。
解析：由题设|PF |d |PF |221=得：|PF ||PF |d |PF |121=。
由双曲线第二定义e d|PF |1=得：e |PF ||PF |12=，由焦半径公式得：e ex a ex a =+--，则a ee a)e 1(x 2-≤-+-=，即01e 2e 2≥--，解得21e 1+≤<。
归纳：求双曲线离心率取值围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点P 在双曲线1b y a x 2222=-的左支上则a x -≤；若点p 在双曲线1by a x 2222=-的右支上则a x ≥。
二、利用平面几何性质例 2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值围。
解析：由双曲线第一定义得：a 2|PF ||PF |21=-，与已知|PF |4|PF |21=联立解得：a 32|PF |,a 38|PF |21==，由三角形性质|F F ||PF ||PF |2121≥+得：c 2a 32a 38≥+解得：35e 1≤<。
归纳：求双曲线离心率的取值围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。
三、利用数形结合 例3 （同例2） 解析：由例2可知：a 32|PF |,a 38|PF |21==，点P 在双曲线右支上由图1可知：a c |PF |1+≥，a c PF -≥||2，即a c a 32,a c a 38-≥+≥，两式相加得：c a 35≥，解得：35e 1≤<。
四、利用均值不等式例4 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b y a x 2222>>--的右支上，双曲线两焦点为21F F 、，|PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值围。
解析：a 8a 4|PF |a 4|PF ||PF |)a 2|PF (||PF ||PF |222222221≥++=+=，由均值定理知：当且仅当a 2|PF |2=时取得最小值a 8，又a c |PF |2-≥所以a c a 2-≥，则3e 1≤<。
五、利用已知参数的围例5 （2000年全国高考题）已知梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值围。
解析：如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为)0b ,0a (1by a x 2222>>=-，设)y ,x (E )h ,2c(C )0,c (B )0,c (A 00、、、-其中h 是梯形的高，由定比分点公式得1hy ,)1(2c )2(x 00+λλ=+λ-λ=，把C 、E 两点坐标分别代入双曲线方程得1b h a 4c 2222=-，1b)1(h a )1(4c )2(22222222=+λλ++λ-λ， 两式整理得1)14e ()1()1(4e )2(222222=-+λλ++λ-λ，从而建立函数关系式2e 1e 22+-=λ，由已知4332≤λ≤得，432e 1e 3222≤+-≤，解得10e 7≤≤。
六、利用直线与双曲线的位置关系例6 已知双曲线)0a (1y ax 222>=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值围。
解析：把双曲线方程和直线方程联立消去x 得：0a 1,0a 1y 2y )a 1(2222≠-=-+--时，直线与双曲线有两个不同的交点则0>∆，0)a 2(a 4)a 1(442222>-=--=∆，即2a 2<且1a ≠，所以23a11a c e 2222>+==，即26e >且2e ≠。
七、利用点与双曲线的位置关系例7 已知双曲线)0a (1y ax 222>=-上存在P 、Q 两点关于直线1y 2x =+对称，求双曲线离心率的取值围。
解析：设)y ,x (Q ),y ,x (P 2211，弦PQ 中点为M ，由点差法求得)2a 1,2a a (M 222++， 当点M 在双曲线部时1)2a (1)2a (a 22222>+-+，整理得：05a 3a 24<++无解； 当点M 在双曲线外部时，点M 应在两渐近线相交所形成的上下区域，由线性规划可知：0)2a (1)2a (a 22222<+-+，即1a 2<，则2a 11e 22>+=，所以2e >。
八、利用非负数性质例8 已知过双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-左焦点1F 的直线l 交双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），求双曲线离心率的取值围。
解析：设)y ,x (Q )y ,x (P 2211、，过左焦点1F 的直线l 方程：c ty x -=，代入双曲线方程得：0b tcy b 2y )a t b (422222=+--，由韦达定理得：222221at b tcb 2y y -=+， 2212122121222421c )y y (ct y y t )c ty )(c ty (x x ,at b b y y ++-=--=-=，由OP ⊥OQ 得0y y x x 2121=+，即：0c a t b c t b 2a t b )1t (b 222222222224=+---+，解得：222242ba c ab t -=，因为0t 2≥，所以0c a b 224≥-，则253e ,01e 3e ,0c c a 3a 2244224+≥≥+-≥+-，所以215e +≥。