【数学】4.2.1 直线与圆的位置关系(人教A版必修2)2

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人教A版数学必修2课件：4.2.1直线与圆的位置关系

仿照点和圆位置关系的判定，怎样判断直线和圆的位置关系呢？
二、直线与圆的位置关系的判定：
方法1：定义法判断方法： (1)△＞0 直线与圆相交；方法2：几何法
圆心到直线的距离d与 (3)△＜0 直线与圆相离. 直线与圆没有交点半径r的大小关系
(d△ >r= ) 0 直线与圆相切； 1、相离 (2)
2 2
交于A, B两点.
x y 5 0 若弦长 A B 最大，则直线l的方程是2 ___________; x 2y 5 0 若弦长 A B 最短，则直线l的方程是___________.
【总一总★成竹在胸】
一、直线与圆的位置关系；二、直线与圆的位置关系的判定；三、直线与圆相交时弦长的求法。
(1)几何法：用弦心距d，半径r及半弦构成直角三角形的三边
AB r d , d为弦心距，r为半径 2
2 2 2
y r
B
A
d O
x
(2)代数法：用弦长公式
AB 1 k x1 x2 1 k x1 x2 4x1 x2
2 2 2
1.直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关
相切系为________ 2.直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的
相离位置关系为________
3.直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0 相交的位置关系为________
直线和圆相交时, 如何来求弦长呢？
三、直线与圆相交时弦长的求法：
1 1 AB 1 y1 y2 1 k k
2
2Leabharlann y1 y2 2

人教新课标版数学高一- 人教A版必修二 4.2.1直线与圆的位置关系

4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系问题导学一、直线与圆位置关系的判断活动与探究1已知圆的方程是x2＋y2＝1，直线y＝x＋b．当b为何值时，(1)圆与直线有两个公共点；(2)圆与直线只有一个公共点；(3)圆与直线没有公共点．迁移与应用1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交但不过圆心D．相交且过圆心2．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝4的位置关系是__________．判断直线与圆的位置关系有两种方法：代数法与几何法．具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定．代数法是从方程角度考虑，较繁琐；如果求交点坐标，就必须用该法；几何法是从几何角度考虑，方法简单，成为判断直线与圆位置关系的常用方法．二、直线与圆相切问题活动与探究2过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．迁移与应用1．过点P(2，2)作圆x2＋y2＝4的切线，则切线方程为__________．2．圆心为(1,1)且与直线x－y＝4相切的圆的方程为__________．3．求与直线y＝x＋2平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程．解答直线与圆相切问题时，通常用圆心到直线的距离等于半径求解．经过圆上一点的切线有一条，经过圆外一点的切线有两条，在求切线方程时，要注意斜率不存在的情况．三、直线与圆相交问题活动与探究3已知过点M (－3，－3)的直线l 被圆x 2＋y 2＋4y －21＝0所截得的弦长为45，求直线l 的方程．迁移与应用1．直线y ＝kx 被圆x 2＋y 2＝2截得的弦长等于________．2．已知一圆C 的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l ：x －y －1＝0截得的弦长为22，求该圆的方程．直线与圆相交后的弦长问题，常采用几何法(半弦长、弦心距，圆的半径构成的直角三角形)求解．当堂检测1．若直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切，则m 为( )A ．0或2B ．2C ． 2D ．无解2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)3．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( )A ． 6B ．522C ．1D ．5 4．垂直于x 轴的直线l 被圆x 2＋y 2－4x －5＝0截得的弦长为25，则直线l 的方程为__________．5．自点A (2,3)作圆x 2＋y 2－2y －4＝0的切线，则切线长为________．答案：课前预习导学【预习导引】2 1 0 ＜＝＞＞＝＜预习交流 (1)提示：利用圆心到直线的距离等于半径求解，但要注意直线的斜率不存在的情况．(2)提示：解答这类问题常利用半弦长、半径及弦心距组成的直角三角形求解．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：可联立方程组，由方程组解的个数求解，也可求出圆心到直线的距离，与半径比较求解．解：方法一：联立直线和圆的方程组成方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋b ，x 2＋y 2＝1，整理可得2x 2＋2bx ＋b 2－1＝0，其中Δ＝4(2－b 2)．(1)当Δ＝0，即b ＝±2时，直线和圆相切，此时直线和圆仅有一个公共点．(2)当Δ＞0，即－2＜b ＜2时，直线和圆相交，此时直线和圆有两个公共点．(3)当Δ＜0，即b ＜－2或b ＞2时，直线和圆相离，此时直线和圆没有公共点．方法二：圆x 2＋y 2＝1的圆心(0,0)到直线l ：y ＝x ＋b 的距离d ＝|b |2，圆的半径为r ＝1． (1)当d ＝|b |2＝1，即b ＝±2时，直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点． (2)当d ＝|b |2＜1，即－2＜b ＜2时，直线与圆相交，此时直线与圆有两个公共点． (3)当d ＝|b |2＞1，即b ＜－2或b ＞2时，直线与圆相离，此时直线与圆没有公共点．迁移与应用 1．C 2．相交活动与探究2 思路分析：利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出直线斜率，进而求出切线方程．解：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A 在圆外．(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y ＋3＝k (x －4)．因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1，所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1．解得k ＝－158．所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0．(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4．综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4．迁移与应用1．x＋y－22＝02．(x－1)2＋(y－1)2＝83．解：设所求的切线方程为y＝x＋b，即x－y＋b＝0．∵圆心坐标为(2,3)，半径为22，∴|2－3＋b|2＝22，即|b－1|＝4，b＝5或－3．∴所求的切线方程为x－y－3＝0或x－y＋5＝0．活动与探究3思路分析：设出直线的斜率，利用圆半径、弦心距、弦长之间的关系求出斜率，再由点斜式写出直线的方程．解：将圆的方程写成标准形式，得x2＋(y＋2)2＝25．若直线l斜率不存在，则直线方程为x＝－3．圆心到该直线距离为3，又圆半径为5，所以求得弦长为8，不合题意，舍去．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0．圆心到直线l的距离为d＝|3k－1|1＋k2，则⎝⎛⎭⎪⎪⎫|3k－1|1＋k22＋(25)2＝25．解得k＝－12或k＝2．所以所求直线的方程为y＋3＝－12(x＋3)或y＋3＝2(x＋3)，即x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0．迁移与应用1．2 22．解：设圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)，则弦长l＝2r2－d2，其中d为圆心到直线x－y－1＝0的距离，d＝2．∴l＝2r2－(2)2＝22．∴r2＝4．圆方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4．【当堂检测】1．B2．C3．A4．x＝0或x＝45． 3。

人教版高中数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系2

为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中
心正北40km处，如果这艘轮船不
y 港口
改变航线，那么
它是否会受到台
风的影响？
O
轮船 x
小结：
设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
圆心C到直线l的距离为
小结：
设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解:
有解，则直线与圆有公共点：有一组解，则直线与圆相切；有两组解，则直线与圆相交；
小结：
1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定：比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.
2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解:
有解，则直线与圆有公共点：有一组解，则直线与圆相切；有两组解，则直线与圆相交；
课后作业
1. 阅读教材P.126到P.128； 2. 《课后限时检测》二十五 .
小结：
1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定：比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.
小结：
1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定：比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.
2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解:
小结：
1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定：比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.
无解，则直线与圆相离.
例2.直线y＝x与圆x2＋(y－1)2＝r2相切，求r的值.
例3. 已知过点M(－3, －3)的直线l被圆x2＋y2
＋4y－21＝0所截得的弦长为
求直线l的
方程.
练习.
例4. 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，

高一数学人教A版必修2课件：4.2.1 直线与圆的位置关系

2
∴a=±2.
答案:C
| a | 2, 2
第三十页，编辑于星期日：二十二点一分。
5.直线3x+4y-5=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交且过圆心
D.相交不过圆心
第三十一页，编辑于星期日：二十二点一分。
解析:将圆的方程配方得
∴直线与圆相交且通过圆心.
(3)设圆的切线方程为y=-x+b,代入圆的方程,
整理得2x2-2bx+b2-4=0.
∵直线与圆相切,
∴Δ=(-2b)2-4×2(b2-4)=0.
解得b=±
所求切线方程为2 x2.+y±
2 2 0.
第十六页，编辑于星期日：二十二点一分。
规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.
第二十三页，编辑于星期日：二十二点一分。
变式训练3:求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
消去y得x2-3x+2=0, 解得x1=1,x2=2,∴y1=3,y2=0. ∴两交点坐标A(1,3),B(2,0), ∴弦长
| AB | (3 0)2 (2 1)2 10.
A.在圆上
B.在圆外
C.在圆内
D.以上都有可能
解析:由题意可得
1 1,
∴
a2 b2 .1∴点P(aa,2b)在b2 圆外.
答案:B
第二十九页，编辑于星期日：二十二点一分。
4.设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为( )
A.±4

人教新课标A版高一数学《必修2》4.2.1 直线与圆的位置关系

圆心到直线的距离等于半径求解．
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题解析:
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题解析:
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题
2＋y2＝13上， (1) 解法 3 ： ∵ ( － 3,2) 在圆 x 解析: ∴切线方程为－3x＋2y＝13.
即3x－2y＋13＝0.
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题解析:
谢谢大家！
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题解析:
题后反思： (1)由于过某一定点的直线有两类：斜率存在，斜率不存在，
故过某一点做圆的切线，求切线方程时要分情况讨论．
(2)求切线一般有三种方法：①设切点坐标用切线公式：过圆
(x－a)2＋ (y－b)2＝ r2上一点(x0，y0) 的切线方程为 (x－a)(x0－a) ＋
【提示】
相交、相切、相离
探究点1
直线和圆的位置关系
【问题1】如果直线与圆相交，它们的公共点有几个？如果是相切或相离又是如何呢？
【提示】
相交2个、相切1个、相离0个
探究点1
直线和圆的位置关系
r d d
r
r d
【提示】
相交⇔d<r；相切⇔d=r；相离⇔d>r
探究点1
直线和圆的位置关系
【提示】
相交⇔方程有2个不同实数解⇔ Δ>0；
(y0 － b)(y － b) ＝ r2 ；②设切线方程，用判别式法；③设切线方程，
用圆心到切线的距离等于半径，但要注意斜率不存在的情况．
典例精讲：题型三：弦长问题例3 过点P(4，－4)的直线l被圆C:x2+y2－2x－4y－20=0截得的弦AB 的长度为8，求直线l的方程. 分析:设出直线l的方程，由圆心到直线的距离d与圆的半径及半弦长

高一数学人教版A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系

得 b＝±2 5.
解析答案
类型三弦长问题例3 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB的长为________.
解析答案
(2) 圆心为C(2 ，－1) ，截直线 y＝x－1 的弦长为 2 2 的圆的方程为 __(_x－__2_)_2_＋__(y_＋__1_)_2_＝__4______. 解析设圆的半径为r，由条件，得
|2＋1－1| 圆心到直线 y＝x－1 的距离为 d＝ 2 ＝ 2. 又直线 y＝x－1 被圆截得的弦长为 2 2，即半弦长为 2，所以r2＝2＋2＝4，r＝2，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
解析答案
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的弦长为4 5 ，求l的方程.
位置关系公共点个数
相交相切相离 2个 1个 0个
判几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2 定
方法
代数法： Ax＋By＋C＝0，由 x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程的判别式Δ
_d_<_r_ _d_＝__r _Δ_>_0_ Δ_＝__0_
_d_>_r_ Δ__<_0_
解析答案
(2)求由下列条件确定的圆x2＋y2＝4的切线方程： ①经过点 P(－ 2， 2)；
解 ∵(－ 2)2＋( 2)2＝4， ∴点P在圆x2＋y2＝4上，
∴切线方程为－ 2x＋ 2y＝4，即 x－y＋2 2＝0.
②切线斜率为2.
解设圆的切线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0，
由圆心到切线的距离为半径，可得： 22＋|b|－12＝2 故所求切线方程为 2x－y±2 5＝0.

高考数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2

k2＋1· x1＋x22－4x1x2＝ k2＋1|x1－x2|.
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.
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编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
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题型探究
重点突破
题型一直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.

人教A版高中数学必修二课件4.2.1直线与圆的位置关系2.pptx

5
因为直线与圆无公共点，d r,即 m 5 m 5或m 5
5
故当m 5或m 5时，直线与圆无公共点。
y
（2）如图，有平面几何垂径定理知
r 2 d 2 12 ,即5 m2 1得m 2 5 5
d
r0
x
故当m 2 5时，直线被圆截得的弦长为2
求过圆外一点的（x0,y0）的切线方程：
d
1
1 k2
1 k2
解得：k 3 4
所以直线方程为：
y 2 3 (x 2) 4
(2,2)
2x
变式演练
求经过A(2, 1),和直线x y 1相切，且圆心 y 在直线y 2x上的圆的方程。
解：设圆的方程为(x a)2 ( y b)2 r 2
圆心在直线y 2x上 b 2a (1) 又经过点A(2,1)
O
•A
x
C•
(2 a)2 (1 b)2 r 2 (2) 因为圆与直线x y 1相切
k AC
b 1 a2
+1
| a b 1| r (3) 2
由(1)(2)(3)得：a 1,b 2, r 2
所求圆的方程是(x 1)2 ( y 2)2 2
3 4
,即 1
m2 m2
3 4
得m2 3则m 3 m的值为 3
变式演练1
m为何值时，直线2x y m 0与圆x2 y2 5 （1）无公共点；（2）截得弦长为2；
解：(1)由已知，圆心为O(0, 0),半径r 5,
圆心到直线2x y m 0的距离d
m
m ,
22 (1)2
（2）设直线l与圆C交于A,B两点，若 AB = 17求m的值
解法2:(1)由圆方程可知，圆心为（0，1），半径为r=则圆心到直线l的距离为

高中数学人教A版必修二教案：4.2.1直线与圆的位置关系

消去 y，得 x2 – 3x + 2 = 0，置关系的基
求它们交点的坐标.
因为△= (–3)2 – 4×1×2
本步骤.
= 1＞0
所以，直线 l 与圆相交，有
应用举例
两个公共点. 解法二：圆 x2 + y2 –2y – 4 =
0 可化为 x2 + (y – 1)2 =5，其圆心
分析：方法一：由 C 的坐标为（0，1），半径长为
生：利用图形，寻找两种方的思路与方
方法二：利用直线法的数学思想.
法.
与圆的交点个数.
5．你能用两种判断
师：指导学生阅读教科书上
体会判
直线与圆的位置关系的的例 1.
断直线与圆
数学思想解决例 1 的问
生：仔细阅读教科书上的例的位置关系
题吗？
1，并完成教科书第 140 页的练的思想方法，
习题 2.
----------------------------------------------------------------------------
4.2.1 直线与圆的位置关系
（一）教学目标 1．知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. （二）过程与方法设直线 l：ax + by + c = 0，圆 C：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，圆的半径为 r，圆心
（1）当 d＜r，即–2＜b＜2 时，直线与圆相交，有两个公共点；
（2）当 d = r，即 b= 2 时，直线与圆相切，有一个公共点；

【说课稿】人教A版数学必修2 4.2.1直线与圆位置关系说课稿

《直线与圆的位置关系》说课稿---人教A版必修2第四章4.2.1一、教材分析1．教材的地位与作用“直线与圆的位置关系”这节课的教材是高中数学2第四章第二节的内容，它是学生在已经掌握“圆的概念性质”和“点和圆的位置关系”的基础上，进一步学习直线与圆的各种不同的位置关系。

它是在学生在已获得一定的探究方法的基础上的进一步深化。

这一节的内容不仅是在“圆与方程”一章中重要的一种位置关系，同时也是培养同学们的空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，为今后的课程学习打下良好基础。

2．教学目标（1）知识目标：掌握直线和圆的几种位置关系，熟练掌握判断位置关系的两种方法。

判断直线到圆心距离与圆半径的大小关系法和求解个数法。

（2）能力目标：通过教学初步培养学生分析问题，解决实际问题，读图分析、收集处理信息、团结协作、语言表达的能力，以及通过师生双边活动，初步培养学生运用知识的能力，培养学生加强理论联系实际的能力。

（3）情感目标培养学生自主学习的能力，让同学主动去探究问题的本质，唤醒学生的主体意识，使学生获得积极的情感体验。

抓住探究的好奇心理，主动学习的心理素质，通过理论联系实际的方式，通过知识的应用，培养学生唯物主义的思想观点。

3．教材的重点与难点教学重点：掌握直线和圆的几种位置关系，学会判定直线与圆的位置关系的两种方法：（1）直线到圆心距离与圆半径的大小关系，写出判定直线与圆的位置关系。

（2）通过解直线与圆方程组成的方程，根据解的个数，写出判定直线与圆的位置关系。

教学难点：位置关系《=》大小关系式《=》解的个数4．教材处理教学如何提示知识的发生过程？即它们是如何被提出的、发现的，是如何被抽象、概括的，是如何被猜测、判断的……在这一系列的思维活动中，蕴含了极其丰富的思维因素与价值。

二、教学策略㈠教学手段：如何突出重点，突破难点，从而实现教学目标。

我在教学过程中拟计划进行如下操作：1：“读（看）——议——讲”结合法2：图表分析法3：读图讨论法4：教学过程中坚持启发式教学的原则基于本节课的与实际联系较强特点，着重采用课本与图形实物相结合的教学方法。

高中数学人教a版必修二课件：4.2.1《直线与圆的位置关系》

为 4 5 ，求直线l的方程。
解：因为直线l过点 M (3,3) ，所以可设所求直线l 的方程为：
y 3 k(x 3) 即：kx y 3k 3 0
y
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离：
d | 2 3k 3 | k2 1
因此： | 2 3k 3 | 5 k2 1
通过例1掌握直线与圆位置关系判定的两种方法并加以对比，体会几何法的简便性，通过例2进一步体会利用直线与圆的几何性质解答问题的重要性，通过例3例4学会建立直角坐标系，利用坐标法解答实际问题和平面几何问题。运用方程思想、转化思想、数形结合思想，把几何问题转化为代数问题解答，体会数形结合和几何法和代数法在直线与圆位置关系中的应用。
动画演示轮船是否遇台风
为解决这个问题，我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建
立如图所示的直角坐标系，其中取 10km 为单位长度．
这样，受台风影响的圆区域所对应
的圆心为O的圆的方程为:
y
40 港口
x2 y2 9
轮船航线所在直4x 7 y 28 0
问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点．
个斜率k值，说明另一条斜率不存在。
直线与圆的方程的应用
引例解答：
受台风影响的圆O的方程为: x2 y2 9
轮船航线所在直线l的方程为：4x 7 y 28 0
圆与直线l 有无公共点？
圆心O到直线l 的距离为 d 28 28 65 3
42 72
65
所以轮船不会受台风的影响。
例3.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m
都满足圆的方程.于是得到方程组 02+(4-b)2=r2,
102+(0-b)2=r2,

高中数学人教A版必修2课件-4.2.1直线与圆的位置关系

思考1:过圆上一点、圆外一点作圆的切线，分别可作多少条？
M M
思考2:设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2 上或外一点，如何求过点M的圆的切
线方程？（切线斜率存在）
y
M
y
A
M
o
x
o
x
B
x0xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy0y=r2
一般地，过圆(x-a)2+(y-b)2=r2,
上一点P(x0,y0)的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
例2 过点M(－3，－3)的直线l 被圆x2＋y2＋4y－21=0所截得的弦长为，求直线l的方程.
y A
C M
o
x
B
思考：求过点P（2，1），圆心在直线2x＋y=0上，且与直线x-y-1＝0 相切的圆方程.
2x+y=0
P
作业布置:
P132习题4.2A组：2，3，5．
知识探究（二）：圆的切线方程
知识探究(一)：直线与圆的位置关系的判定
思考1:在平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？
思考2:在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？
d
d
d
r
r
r
d<r
d=r
d>r
方法一：几何法 1.把直线方程化为一般式，并求出圆心坐标和半径r；
2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d；
3.比较d与r的大小关系：
若d＞r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d＜r，则直线与圆相交．
思考3:如何根据直线与圆的公共点个数判断直线与圆的位置关系？
两个公共点一个公共点没有公共点

高中数学人教新课标A版必修2 第四章圆与方程 4.2.1直线与圆的位置关系

高中数学人教新课标A版必修2 第四章圆与方程 4.2.1直线与圆的位置关系选择题直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是（）A.相离B.相交C.相切D.不确定【答案】B【解析】当a＝0时，直线y＝0显然与该圆相交；当a≠0时，圆心（0,0）到直线ax－y＋2a＝0的距离d＝（半径），也与该圆相交．故答案为：B。

分a为零和a不为零两种情况来讨论。

选择题已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（）A.x2＋y2－2x－3＝0B.x2＋y2＋4x＝0C.x2＋y2＋2x－3＝0D.x2＋y2－4x＝0【答案】D【解析】设圆心为（a,0）（a＞0），则即a＝2，∴圆C的方程为（x－2）2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故答案为：D。

由直线与圆相切的性质可以求出圆的方程。

选择题圆心坐标为（2，－1）的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为，那么这个圆的方程为（）A.（x－2）2＋（y＋1）2＝4B.（x－2）2＋（y＋1）2＝2C.（x－2）2＋（y＋1）2＝8D.（x－2）2＋（y＋1）2＝16【答案】A【解析】圆心到直线的距离，圆的半径，∴圆的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝4.所以答案是：A。

选择题已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y＋10＝0上任意一点，点A关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a的值为（）A.10B.－10C.－4D.4【答案】B【解析】通过配方可得圆C的标准方程为（x＋）2＋（y＋2）2＝，由题意，可知直线x＋2y－1＝0过圆心C（－，－2），∴－－4－1＝0，∴a＝－10.又a＝－10时，＞0，∴a的值为－10，所以答案是：B.【考点精析】解答此题的关键在于理解圆的标准方程的相关知识，掌握圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，以及对圆的一般方程的理解，了解圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项；(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了；(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．选择题已知直线x＋7y＝10把圆x2＋y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（）A.B.C.πD.2π【答案】D【解析】圆x2＋y2＝4的圆心为O（0,0），半径r＝2，设直线x ＋7y＝10与圆x2＋y2＝4交于M，N两点，圆心O到直线x＋7y＝10的距离d＝，过点O作OP⊥MN于P，则|MN|＝2 .在△MNO中，|OM|2＋|ON|2＝2r2＝8＝|MN|2 ，则∠MON＝90°，这两段弧长之差的绝对值等于.所以答案是：D。

人教版高中数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系课件

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复习引入
1. 在初中我们知道直线与圆有三种位置关系： (1) 相交，有两个公共点； (2) 相切，只有一个公共点； (3) 相离，没有公共点.
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练习. 已知l：直 3x线 y230，人教版高中数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系课件圆C：x2y2 4，求直线 l被圆C截得的弦.
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的点的坐标.
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练习 3.求圆心在直线2x－y＝3上，且与两坐标轴相切的圆的方程. 4.若直线4x－3y＝a与圆x2＋y2＝100 (1)相交； (2)相切；(3)相离，分别求实数a的取值范围.
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例2.直线y＝x与圆x2＋(y－1)2＝r2相切，求r的值.
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例3. 已知过点M(－3, －3)的直线l被圆x2＋y2 ＋4y－21＝0所截得的弦长为 4 5 , 求直线l的方程.
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C到直线l的距离为

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课堂小结
1、通过本课学习，应知道直线与圆有三种位置关系。
2、会根据数量关系和几何关系来判断直线与圆的位置关系。
3、掌握切线的最基本的判定方法：d=r，会求圆的切线；注意讨论直线的斜率； 4、掌握直线被圆所截的得弦长求法： ⑴几何法：用弦心距，半径及半径构成
直角三角形的三边 ⑵代数法：弦长公式：
y
受台风影响的圆形区域的圆的方程：
x2+y2=9 轮船航线所在直线的方程为：
4x+7y-28=0
港口
轮船
O
x
问题归结为：圆与直线有无公共点？
直线与圆的位置关系
观察与思考
观察上面五条直线与圆的位置情况，归纳一下共有几种不同的位置关系？
直线和圆的位置关系
r
d EC F
直线 l与⊙A
相交 d ＜r
两个公共点
z x y的最大值。
解：z x y y x z表示斜率为1，纵截距为z,且与圆有交点的一系列平行直线。
问题转化为：过圆上一动点P作斜率为 1的直线，求此直线的纵截距的最大值。
由图可知满足条件的直线为圆的切线 (设切点为 T )。
下面求该切线的纵截距：
设切线l的纵截距为z0，则l的方程为：x
8.已知圆与直线相交（设直线不过圆心），圆半
径为r，圆心C到直线l的距离为d(d>0)，讨论圆上
到直线距离为a(a>0)的点的个数。
解：当0<a<r-d时，4个（每段弧上各两个）；
当a= r-d时，3个(其中1个是点B，
另两个点在优弧上)；
y
l
当r-d<a<r+d时，2个(都在
A
优弧上)；