2018年秋高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2第2课时正弦余弦函数的单调性与最值学案新人
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 第2课时 正、余弦函数的单调性
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2.下列函数在π2 ，π上为增函数的是(
第一章 三角函数
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第 2 课时 正、余弦函数的单调性
与最值
[学习目标] 1.通过图象理解正弦函数、余弦函数在 区间[0，2π]上的单调性、最大值与最小值等，体会数形 结合方法(重点)． 2.会求正弦函数、余弦函数的单调区 间、最大值与最小值(重点、难点)．
最值
π x＝__2__＋__2_k_π__ (k∈Z)
x＝_____ (k∈Z) 2kπ
时，ymax＝1；
时，ymax＝1；x＝ _2_k_π__＋__π____
π x＝_－__2__＋__2_k_π___
(k∈Z)时，ymin＝
－1 (k∈Z)时，ymin＝－1
温馨提示 三角函数的图象和性质，分别从“形”和 “数”这两个不同侧面反映了三角函数的变化规律，我们 应结合三角函数的定义，掌握三角函数的定义域、值域、 单调性、最值等性质．
故要求函数 y＝cosπ3 －2x的单调递增区间，只要求 函数 y＝cos2x－π3 的单调递增区间即可．
π 设 θ＝2x－ 3 ，
由于 y＝cos θ的单调递增区间为{θ|2kπ－π≤θ≤
2kπ(kkπ(k∈Z)，
π
π
解得 kπ－ 3 ≤x≤kπ＋ 6 (k∈Z)，
所以函数 y＝sinπ6 －x的单调递增区间就是函数 u＝
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质2第2课时aa高一数学
答案(1)-1
(2)4kπ(k∈Z)
2021/12/12
第七页，共四十七页。
一
二
思维(sīwéi)
辨析
三
三、正弦函数与余弦函数的对称性
问题思考(sīkǎo)
1.观察正弦曲线与余弦曲线,正弦曲线除了关于原点对称外,是否还关于其
他的点和直线对称?余弦曲线除了关于y轴对称外,是否还关于其他的点和直线
对称?
π
4
答案(1) - + π, + π (k∈Z)
π
2
(2) π, + π (k∈Z)
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第五页，共四十七页。
一
二
三
思维(sīwéi)辨
析
二、正弦函数与余弦函数的最值和值域
问题思考(sīkǎo)
1.观察正弦曲线和余弦曲线,正、余弦函数是否存在最大值和最小值?若存
在,其最大值和最小值分别为多少?当自变量x分别取何值时,正弦函数y=sin x取
比较大小
应用
3.能够结合三角函数的单调性求
最值与值域
函数的最值和值域.培养数学运算
素养.
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一
二
三
思维(sīwéi)
辨析
一、正弦函数与余弦函数的单调性
问题思考
1.观察正弦曲线,正弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函
数?如何将这些单调区间进行(jìnxíng)整合?类似地,余弦函数在哪些区间上是增
第2课时 正弦函数、余弦(yúxián)函数的性质(二)
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课 标 阐 释
思 维 脉 络
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2第2课时正、余弦函数的性质aa高一数学
是 x＝kπ＋π2(k∈Z)，所有对称轴垂直于 x 轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦
函数的最大(小)值．
数
学
必
修
④
·
人
教
A
版
12/13/2021
第八页，共四十四页。
2．余弦函数的图象与性质 余弦函数的图象与性质如下表所示：
解析式
y＝cosx
图象
定义域
___R___
值域
__[_－__1_，_1_]___
正弦函数、余弦函数的图象也很美，它们有怎样
数 的对称性？除此之外还有哪些性质呢？
学
必
修
④
·
人
教
A
版
12/13/2021
第五页，共四十四页。
1．正弦函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质如下表所示：
解析式
y＝sinx
图象
数 学
定义域
必
修
④
·
人
教
A
版
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__R____
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必 修 ④ ·
在___2_k_π_＋__π2_，__2_k_π_＋__32_π_______上是减函数(k∈Z)
人
教
A
版
12/13/2021
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[ 拓展] 正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为 (kπ，0)(k∈Z)，
即正弦曲线与 x 轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程
数 学
A．(0，π2)
必 修 ④ ·
C．(π，32π)
人
教
A
版
12/13/2021
[推荐学习]2018年秋高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 第2课
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第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值学习目标：1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．(重点、易混点)[自 主 预 习·探 新 知]定m 、n 的值吗？[提示] 由正弦函数和余弦函数的单调性可知m ＝π2，n ＝π.[基础自测]1．思考辨析(1)y ＝sin x 在(0，π)上是增函数．( ) (2)cos 1＞cos 2＞cos 3.( )(3)函数y ＝－12sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值为0.( )[解析] (1)错误．y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数．(2)正确．y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，且0＜1＜2＜3＜π，所以cos 1＞cos 2＞cos 3.(3)正确．函数y ＝－12sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为减函数，故当x ＝0时，取最大值0.[答案] (1)× (2)√ (3)√2．函数y ＝2－sin x 取得最大值时x 的取值集合为________．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π－π2，k ∈Z [当sin x ＝－1时，y max ＝2－(－1)＝3，此时x ＝2k π－π2，k ∈Z .]3．若cos x ＝m －1有意义，则m 的取值范围是________． [0,2] [因为－1≤cos x ≤1， 要使cos x ＝m －1有意义， 须有－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2.][合 作 探 究·攻 重 难]________．(2)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1，求函数f (x )的单调递增区间．[思路探究] 1.确定a 的范围→y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数→y ＝cos x 在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a 的范围．2．确定增区间→令u ＝π4＋2x →y ＝2sin u 的单调递增区间．(1)(－π，0] [(1)因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．](2)令u ＝π4＋2x ，函数y ＝2sin u 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤π4＋2x ≤π2＋2k π，k ∈Z得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z .所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z .[规律方法] 1.求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或形如y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (其中A ≠0，ω>0，b 为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx ＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x 的系数化为正；②在A >0，ω>0时，将“ωx ＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A <0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律． [跟踪训练]1．(1)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为________． (2)已知函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ，则它的单调减区间为________． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) [(1)由π2＋2k π≤3x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 得π9＋2k π3≤x ≤4π9＋2k π3(k ∈Z )． 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3， 所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3.(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．](1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 【导学号：84352095】[思路探究] 用诱导公式化简→利用函数的单调性由自变量的大小推出对应函数值的大小[解] (1)∵－π2＜－π10＜－π18＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°＜16°＜66°＜90°， ∴sin 16°＜sin 66°， 从而－sin 16°＞－sin 66°， 即sin 196°＞cos 156°. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0＜π4＜35π＜π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π＜cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. [规律方法] 三角函数值大小比较的策略1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2或⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内2不同名的函数化为同名的函数. 3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.[跟踪训练]2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )A ．sin α＜sin βB ．cos α＜sin βC ．cos α＜cos βD ．cos α ＞cos β(2)比较下列各组数的大小：①cos 15π8，cos 14π9；②cos 1，sin 1.(1)B [(1)α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞π2，α＞π2－β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β.](2)①cos 15π8＝cos π8，cos 14π9＝cos 4π9，因为0＜π8＜4π9＜π，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，所以cos π8＞cos 4π9，即cos 15π8＞cos 14π9.②因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，而0＜π2－1＜1＜π2且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＜sin 1，即cos 1＜sin 1.[1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x ∈[0，π]上最小值是多少？提示：因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22. 2．函数y ＝A sin x ＋b ，x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？提示：不是．因为A >0时最大值为A ＋b ，若A <0时最大值应为－A ＋b .(1)函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为________．(2)已知函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b (a ＞0)．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值. 【导学号：84352096】[思路探究] (1)先用平方关系转化，即cos 2x ＝1－sin 2x ，再将sin x 看作整体，转化为二次函数的值域问题．(2)先由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求2x －π3的取值范围，再求sin2x⎭⎪⎫－π3的取值范围，最后求f (x )min ，f (x )max ，列方程组求解．(1)[－4,0] [(1)y ＝cos 2x ＋2sin x －2 ＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2. 因为－1≤sin x ≤1，所以－4≤y ≤0，所以函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为[－4,0]．] (2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴f (x )max ＝a ＋b ＝3，f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.母题探究：1.求本例(1)中函数取得最小值时x 的取值集合．[解] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2， 所以当sin x ＝－1时，y min ＝－4，此时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π－π2，k ∈Z. 2．将本例(1)中函数改为y ＝cos 2x ＋sin x ，x ∈R 结果又如何？ [解] y ＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54.因为－1≤sin x ≤1，所以－1≤y ≤54，所以函数y ＝cos 2x ＋sin x ，x ∈R 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54.[规律方法] 三角函数最值问题的常见类型及求解方法：(1)y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)，利用换元思想设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值，t 的范围需要根据定义域来确定．(2)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)的范围，最后得最值．[当 堂 达 标·固 双 基]1．y ＝2cos x 2的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]D ．RA [因为x ∈R ，所以x 2≥0， 所以y ＝2cos x 2∈[－2,2]．]2．函数y ＝－cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先减后增函数D ．先增后减函数C [因为y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上先增后减，所以y ＝－cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上先减后增．]3．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤5π6的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 [因为π4≤x ≤5π6，所以12≤sin x ≤1，即所求的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.]4．sin 2π7________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8(填“＞”或“＜”). ＞ [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8， 因为0＜π8＜2π7＜π2，y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以sin π8＜sin 2π7，即sin 2π7＞sin ⎝⎛⎭⎪⎫－15π8.]5．函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间．[解] 求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间，转化为求函数y ＝sin 2x 的单调递减区间，由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．。
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第2课时正弦函数、余弦函数的性质(二)
(3)换元后配方利用二次函数求最值．
12/9/2021
第二十一页，共三十三页。
已知函数 f(x)＝sin2x＋cos x＋43x∈0，23π，则
函数 f(x)的值域为( )
A．[1,2]
B．－14，74
C.－34，1
12/9/2021
第九页，共x＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数(hánshù)求 单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体 “z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝ Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间，方法同上．
D．cos－π6＜cos－π5
【答案】C
12/9/2021
第六页，共三十三页。
3 ． (2018 年 内 蒙 古 呼 伦 贝 尔 二 模 ) 若 函 数 f(x) ＝ 1 ＋ asin ax＋π6 (a ＞ 0) 的 最 大 值 为 3 ， 则 f(x) 的 最 小 正 周 期 为 ________．
求最值．
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第二十七页，共三十三页。
1．函数 y＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( )
A.－π4，4π C.0，π2 【答案】C
B．π4，34π D．π2，π
【解析】若函数 y＝cos 2x 递减，应有 2kπ≤2x≤π＋2kπ，k
∈Z，即 kπ≤x≤π2＋kπ，k∈Z，令 k＝0 可得 0≤x≤π2.
第2课时(kèshí) 正弦函数、余弦函数的性质(二)
12/9/2021
第一页，共三十三页。
目标定位
重点难点
1.借助图象理解正、余弦函数在
2018年秋高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值
第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值学习目标：1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．(重点、易混点)[自 主 预 习·探 新 知]解析式y ＝sin x y ＝cos x图象值域[－1,1][－1,1]单调 性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z 上递增，在⎣⎢⎡π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z 上递减在[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z 上递增，在[2k π，π＋2k π]，k ∈Z 上递减最值x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－1 x ＝2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；x ＝π＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－1思考：y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间(m ，n )(其中0＜m ＜n ＜2π)上都是减函数，你能确定m 、n 的值吗？[提示] 由正弦函数和余弦函数的单调性可知m ＝π，n ＝π.1．思考辨析(1)y ＝sin x 在(0，π)上是增函数．(3)函数y ＝－12sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值为0.( )[解析] (1)错误．y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数．(2)正确．y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，且0＜1＜2＜3＜π，所以cos 1＞cos 2＞cos 3.(3)正确．函数y ＝－12sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为减函数，故当x ＝0时，取最大值0.[答案] (1)× (2)√ (3)√2．函数y ＝2－sin x 取得最大值时x 的取值集合为________．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π－π2，k ∈Z [当sin x ＝－1时，y max ＝2－(－1)＝3，此时x ＝2k π－π2，k ∈Z .]3．若cos x ＝m －1有意义，则m 的取值范围是________． [0,2] [因为－1≤cos x ≤1， 要使cos x ＝m －1有意义， 须有－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2.][合 作 探 究·攻 重 难]正弦函数、余弦函数的单调性(1)函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是(2)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1，求函数f (x )的单调递增区间．[思路探究] 1.确定a 的范围→y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数→y ＝cos x 在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a 的范围．2．确定增区间→令u ＝π4＋2x →y ＝2sin u 的单调递增区间．(1)(－π，0] [(1)因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．](2)令u ＝π4＋2x ，函数y ＝2sin u 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤π4＋2x ≤π2＋2k π，k ∈Z得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z .所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z .[规律方法] 1.求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或形如y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (其中A ≠0，ω>0，b 为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx ＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x 的系数化为正；②在A >0，ω>0时，将“ωx ＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A <0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律． [跟踪训练]1．(1)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为________． (2)已知函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ，则它的单调减区间为________． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) [(1)由π2＋2k π≤3x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 得π9＋2k π3≤x ≤4π9＋2k π3(k ∈Z )． 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3， 所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3.(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．]利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 【导学号：84352095】[思路探究] 用诱导公式化简→利用函数的单调性由自变量的大小推出对应函数值的大小[解] (1)∵－π2＜－π10＜－π18＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°＜16°＜66°＜90°， ∴sin 16°＜sin 66°， 从而－sin 16°＞－sin 66°， 即sin 196°＞cos 156°. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0＜π4＜35π＜π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π＜cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. [规律方法] 三角函数值大小比较的策略1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2或⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内.2不同名的函数化为同名的函数. 3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.[跟踪训练]2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )A ．sin α＜sin βB ．cos α＜sin βC ．cos α＜cos βD ．cos α ＞cos β(2)比较下列各组数的大小：①cos 15π8，cos 14π9；②cos 1，sin 1.(1)B [(1)α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞π2，α＞π2－β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β.](2)①cos 15π8＝cos π8，cos 14π9＝cos 4π9，因为0＜π8＜4π9＜π，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，所以cos π8＞cos 4π9，即cos 15π8＞cos 14π9.②因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，而0＜π2－1＜1＜π2且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＜sin 1，即cos 1＜sin 1.正弦函数、余弦函数的最值问题[1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x ∈[0，π]上最小值是多少？提示：因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22. 2．函数y ＝A sin x ＋b ，x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？提示：不是．因为A >0时最大值为A ＋b ，若A <0时最大值应为－A ＋b .(1)函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为________．(2)已知函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b (a ＞0)．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值. 【导学号：84352096】[思路探究] (1)先用平方关系转化，即cos 2x ＝1－sin 2x ，再将sin x 看作整体，转化为二次函数的值域问题．(2)先由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求2x －π3的取值范围，再求sin2x⎭⎪⎫－π3的取值范围，最后求f (x )min ，f (x )max ，列方程组求解．(1)[－4,0] [(1)y ＝cos 2x ＋2sin x －2 ＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2. 因为－1≤si n x ≤1，所以－4≤y ≤0，所以函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为[－4,0]．] (2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴f (x )max ＝a ＋b ＝3，f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2.2，2＋ 3.x 的取值集合．＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2，⎭⎪⎬⎪⎫π－π2，k ∈Z. x ＋sin x ，x ∈R 结果又如何？ [解] y ＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54.因为－1≤sin x ≤1，所以－1≤y ≤54，所以函数y ＝cos 2x ＋sin x ，x ∈R 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54.[规律方法] 三角函数最值问题的常见类型及求解方法：(1)y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)，利用换元思想设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at2＋bt ＋c 求最值，t 的范围需要根据定义域来确定．(2)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)的范围，最后得最值．[当 堂 达 标·固 双 基]1．y ＝2cos x 2的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]D ．RA [因为x ∈R ，所以x 2≥0， 所以y ＝2cos x 2∈[－2,2]．]2．函数y ＝－cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先减后增函数D ．先增后减函数C [因为y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上先增后减，所以y ＝－cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上先减后增．]3．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤5π6的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 [因为π4≤x ≤5π6，所以12≤sin x ≤1，即所求的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.]4．sin 2π7________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8(填“＞”或“＜”). ＞ [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8，因为0＜π8＜2π7＜π2，y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以sin π8＜sin 2π7，即sin 2π7＞sin ⎝⎛⎭⎪⎫－15π8.]5．函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间．[解] 求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间，转化为求函数y ＝sin 2x 的单调递减区间，由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．。
2018版高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课件新人教A版必修4
三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
学习目标
1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单
三角函数的值域和最值.
2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较
大小.
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间.
∴sin 16°<sin 66°， 从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.
解答
23 － π (2)cos 与 5
17 － π cos . 4
解
23 cos－ 5 π ＝cos
23 3 3 π ＝ cos(4π ＋ π) ＝ cos π ， 5 5 5
所以函数
π π π π 2π π π y＝sin3x＋6， x∈－3，3的单调递减区间为－3，－ 9 ， ， . 3 9
解析
答案
类型二
正、余弦函数单调性的应用
命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小
[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z 在_____________________
单调性
上递增， 在
π 3π ＋ 2 k π ， ＋ 2 k π ，k∈Z 2 2
上递增，
[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 在___________________
， 上递减
k∈Z上递减
π ＋ 2 k π ， k ∈ Z 2 当x＝_____________ 时，ymax＝1；当x＝ 2kπ，k∈Z 时，ymax
解
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质(第2课时)教学课件 新人教A版必修4
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质（第2课时）教学 课件 新人教A版必修4
第一章 三角函数
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）
1．了解周期函数与最小正周期的意义．(难点、 易错点)
2．了解三角函数的周期性和奇偶性．(重点)
3．会求函数的周期和判断三角函数的奇偶 性．(重点)
【即时演练】
若f(x＋1)＝－f(x)，试判断函数f(x)是否是周 期函数．
解：∵f(x＋1)＝－f(x)，
∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)．
∴f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．
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结束语
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与 性质（第2课时）教学课件 新人教A版必修4
【纠错提升】 利用定义判断周期函数
(1)要判断一个函数为周期函数，一要看定义域， 即对任意x∈I，有x＋T∈I；二是对任意x∈I， 有f(x)＝f(x＋T)．要说明一个函数不是周期函数 或者不是以T为周期的函数，只要举一反例即 可．
(2)求三角函数周期之前，要尽量将函数化为同 名同角三角函数，且函数的最高次数为1.
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角 的图象与性质（第2课时）教学课 同学们，下课休息人十教分A钟版。必现修在是4 休息时间
休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
【互动探究】
本题(2)中函数改为y＝cos |x|，则其周期又是 什么？
解：由诱导公式得y＝cos |x|＝cos x. 所以其周期T＝2π.
(3)函数应满足 1＋sin x≠0，
人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT
解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
2018_2019高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数余弦函数的图象课件新人教A版必修4p
x y＝sinx
0
π 2
π
3π 2
2π
0
1
0
－1
0
②描点：在平面直角坐标系中描出五点：(0,0)，___(_π2_，__1_) ___，(π，0)，(32π， －1)，(2π，0)．
③用___光__滑__的__曲__线___顺次连接这五个点，得正弦曲线在[0,2π]上的简图． y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向__左____、___右___平行移动(每次 2π 个单位长度)， 就可以得到正弦函数 y＝sinx，x∈R 的图象．
(1)列表：
x sinx 或 cosx
0 0或1
π 2 1或0
π 0 或－1
3 2π －1 或 0
2π 0或1
y
y1
y2
y3
y4
y5
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，(π2，y2)，(π，y3)，
(32π，y4)，(2π，y5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
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正弦
余弦
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2．正弦曲线和余弦曲线的关系 y＝sinx， 向左平移π2个单位 y＝cosx， x∈R的图象 向右平移2π个单位 x∈R的图象
1．用五点法画 y＝sinx，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点 ( A )
A．(π6，12)
新课标导学
数学
必修④ ·人教A版
第一章
三角函数 1.4 三角函数的图象与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
人教版高中数学必修四1.4三角函数的图象与性质1.4.2二含答案
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 课时目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．正弦函数、余弦函数的性质： 函数 y ＝sin xy ＝cos x 图象定义域______ ______ 值域______ ______ 奇偶性______ ______ 周期性最小正周期：______ 最小正周期：______ 单调性在__________________________________ 上单调递增；在__________________________________________________上单调递减 在__________________________________________上单调递增；在______________________________上单调递减 最值 在________________________时，y max ＝1；在________________________________________时，y min ＝－1在______________时，y max ＝1；在__________________________时，y min ＝－1 一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 5．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________． 9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．10．设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______． 三、解答题11．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12(cos 2x )．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．能力提升13．已知sin α>sin β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则( ) A ．α＋β>π B ．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π 14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32C ．2D ．31．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案知识梳理 R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z ) 作业设计1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54； 当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．]5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.]7.⎣⎡⎦⎤π2，π8．[0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3. ∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2] 9．b <c <a解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.∵b <c <a . 10.1－22解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－(sin x －12)2＋54∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． (2)由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z . ∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z . ∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5. 由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 13．A [∵β∈⎝⎛⎭⎫π，32π， ∴π－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增，∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β)⇔α>π－β⇔α＋β>π.]14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6. ∴ω的最小值为32，故选B.]附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2第2课时正弦、余弦函数的单调性与最值优化
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1。
4。
2 第2课时正弦、余弦函数的单调性与最值[课时作业］［A组基础巩固]1．函数y＝cos 错误!，x∈错误!的值域是（)A。
错误!B．错误!C。
错误! D.错误!解析：因为0≤x≤错误!，所以错误!≤x＋错误!≤错误!π，所以cos 错误!π≤cos 错误!≤cos 错误!，所以－错误!≤y≤错误!.故选B。
答案：B2．函数y＝2sin 错误!（x∈［0,π］)的单调递增区间是（)A.错误!B．错误!C.错误!D.错误!解析：因为y＝2sin 错误!＝－2sin 错误!，令错误!＋2kπ≤2x－错误!≤错误!π＋2kπ（k∈Z）得错误!＋kπ≤x≤错误!＋kπ(k∈Z）,取k＝0得π3≤x≤5π6。
答案：C3．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间错误!上为减函数的是（)A．y＝2|sin x| B． y＝sin 2xC．y＝2|cos x｜D．y＝cos 2x解析：A的最小正周期是π,且在区间错误!上为减函数，所以A正确；B的最小正周期是π，但在区间错误!上为先减后增，所以B不正确;C的最小正周期是π，在区间错误!上为增函数，所以C不正确；D的最小正周期是π，且在区间错误!上为增函数，所以D不正确,选A.答案：A4．若函数f(x）＝3sin（ωx＋φ)对任意的x都有f 错误!＝f 错误!，则f 错误!等于（) A．3或0 B．－3或0C．0 D．－3或3解析：∵f 错误!＝f 错误!，∴f（x）关于直线x＝错误!对称，∴f 错误!应取得最大值或最小值．答案：D5．若0〈α〈β<错误!，a＝错误!sin 错误!，b＝错误!sin 错误!,则( ）A．a<b B．a>bC．ab<1 D．ab〉错误!解析：因为0〈α<β<错误!，所以错误!<α＋错误!〈β＋错误!〈错误!,而正弦函数y＝sin x在错误!上是增函数，所以sin 错误!〈sin 错误!，故a〈b.答案：A6．设f(x)＝2sin ωx，( 0〈ω〈1)在闭区间错误!上的最大值为错误!，则ω的值为________．解析：根据函数y＝sin x的单调性知,当x＝错误!时，函数取得最大值，ω×π3＝错误!⇒ω＝错误!。
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象课件 新人教A版必修4
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．无数个
解析：设 f(x)＝－x，g(x)＝sin x，在同一直角坐标系中画出 f(x)和 g(x)的图象，
如图所示．
由图知 f(x)和 g(x)的图象仅有一个交点，则方程 x＋sin x＝0 仅有一个根． 答案：B
3．已知 cos x≥12且 x∈[0,2π]，求 x 的取值范围． 解析：函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示，
1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
考纲定位
重难突破
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的 重点：1.利用“五点法”画
方法．
正、余弦函数的图象．
2.掌握、余函数图象之间
步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正、
的区别与联系．
余弦曲线．
[双基自测] 1．正弦曲线在(0,2π]内最高点坐标为________，最低点坐标为________． 解析：由正弦曲线知，正弦曲线在(0,2π]内最高点为π2，1，最低点为32π，－1. 答案：π2，1 32π，－1
2．用五点作图法作 y＝1－cos x，x∈(0,2π]的图象时，其中第二个关键点的坐标 为________． 解析：由五点作图法的规则知第二个关键点坐标为π2，1. 答案：π2，1
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2.1正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性课件新
2．函数
y＝sin2
0211π－2
010x是(
)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：y＝sin2
0211π－2
010x＝sinπ2－2
010x＋1
005π
＝－sinπ2－2
010x＝－cos2
010x，
所以为偶函数．
答案：B
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结论 函数 f(x)叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期
(2)最小正周期.
条件 周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期
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2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sinx
y＝cosx
周期 2kπ(k∈Z 且 k≠0) 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
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[化解疑难] 正确理解函数的周期性
(1)关于函数周期性的理解，应注意以下三点： ①存在一个不等于零的常数 T； ②对于定义域内的每一个值，都有 x＋T 属于这个定义域； ③满足 f(x＋T)＝f(x)． (2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其 周期也不一定唯一． (3)如果 T 是函数 f(x)的一个周期，则 nT(n∈Z 且 n≠0)也是 f(x) 的周期．
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(2)法一：因为 f(x)＝|sinx|， 所以 f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，所以 f(x)的周期为 π. 法二：因为函数 y＝|sinx|的图象如图所示． 由图象可知 T＝π.
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（周期性）课堂导学三点剖析1.周期的概念及求函数的周期【例1】求下列函数的周期：（1）y=sin2x;(2)y=3cos x 21;(3)y=2sin(2x-3π). 思路分析：本题主要考查y=Asin(ωx+φ).y=Acos(ωx+φ)的周期的求法.利用周期函数定义及诱导公式求函数的周期.解：（1）由于f （x+π）=sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x=f(x)，所以由周期函数的定义知，原函数的周期为π.(2)由于f(x+4π)=3cos ［12(x+4π)］=3cos(x 21+2π)=3cos x 21=f(x),所以，由周期函数的定义知，原函数的周期为4π.(3)由于f(x+π)=2sin ［2(x+π)-3π］=2sin ［2x+2π-3π］=2sin(2x-3π)=f(x)，由周期函数的定义知，原函数的周期为π.温馨提示由上例可以看到函数的周期仅与x 的系数有关.一般地,y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)（其中A 、ω、φ为常数，A≠0,ω＞0）的周期T=2πω，若y=f(x)的周期为T ，则y=f(ωx)的周期为||ωT.2.周期函数概念的理解【例2】判断下列函数是否是周期函数？如果是，求出它的一个周期.(1)y=lgx;(2)y=sinx.思路分析：判断一个函数是否是周期函数，须根据定义，看是否存在一个常数T ，使得f(x+T)=f(x).解：（1）取定义域内一个值x 0=1.由于f(x 0+T)=lg(x 0+T)=lg(1+T)≠lg1(T≠0的常数)，于是f(x)=lgx 不是周期函数.(2)∵对定义域内任一x ，有sin(x+2k π)=sinx,(k∈Z ,k≠0),∴y=sinx 是周期函数，周期为2k π(k∈Z ,k≠0).温馨提示判断一个函数是周期函数，关键是能找到常数T （T≠0），使得对定义域内的任一x ，有f(x+T)=f(x).判断一个函数不是周期函数，只要在定义域内找一个特殊值x 0，验证f （x 0+T ）≠f(x 0).就可以说明f(x)不是周期函数.3.周期函数的定义【例3】①存在T=2π使sin(4π+2π)=sin 4π成立，所以2π是y=sinx 的一个周期. ②f(2x+T)=f(x)对定义域内的任意x 都成立，所以2T 是f(x)的周期.(T≠0) ③周期函数不一定有最小正周期.④周期函数的周期不止一个.以上命题是真命题的是.答案：②③④温馨提示理解周期函数的概念要注意以下三点：(1)存在一个常数T≠0;(2)对其定义域内的每一个x 值，x+T 属于定义域;(3)当x 取定义域内每个值时，f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期. (1)y=3sin(2x+6π); (2)y=2cos(π2x-3π). 解：(1)T=22π=π. (2)T=ππ22=π2. 变式提升1求y=|sinx|的周期.解：将y=sinx 的图象中y≥0的部分保持不变，将y ＜0部分的图象翻折到x 轴的上方，即得y=|sinx|的图象，(如下图所示).由y=|sinx|的图象知其周期为π.温馨提示由数形结合法可知y=|Asin(ωx+φ)|（A 、ω、φ是常数，ω＞0）的周期为y=Asin(ωx+φ)（A 、ω、φ为常数，ω＞0）的周期的一半.类题演练2下列四个函数为周期函数的是（ ）A.y=3B.y=3x 0C.y=sin|x| x∈RD.y=sin1x x∈R 且x≠0答案：A变式提升2已知定义在实数集上的函数f(x)始终满足f(x+2)=-f(x).判断y=f(x)是否是周期函数.若是周期函数，求出它的一个周期.解：∵f(x+4)=f ［2+(x+2)］=-f(x+2)=-［-f(x)］=f(x).∴f(x)是周期函数，且周期是4.类题演练3函数y=f(x)，x∈［-2,2］图象如下图所示,f(x)是周期函数吗？解析：在周期函数y=f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT(k∈Z且k≠0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界.答案：不是变式提升3函数y=a sinx的图象是怎样的呢？是否是周期函数？若是，它的最小正周期又是什么呢？解析：∵y=a sin(x+2kπ)=a sinx,即存在常数T=2kπ(k∈Z),使得f(x+T)=f(x),∴y=a sinx是周期函数，且最小正周期为2π.因此，它的图象应是每隔2π个单位长度是相同的.。
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质
1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质（单调性和奇偶性）课堂导学三点剖析1.正余弦函数的单调性、奇偶性与最值 【例1】求下列函数的单调区间： （1）y=sin(x-3π); (2)y=cos2x. 思路分析：本题主要考查复合函数的单调区间的求法.可依据y=sinx(x∈R )和y=cosx(x∈R )的单调区间及复合函数单调性原则求单调区间.解：（1）令u=x-3π,函数y=sinu 的递增、递减区间分别为［2k π-2π,2k π+2π］，k∈Z，［2k π+2π,2k π+π23］，k∈Z .∴y=sin(x -3π)的递增、递减区间分别由下面的不等式确定.2k π-2π≤x -3π≤2k π+2π,k∈Z ,2k π+2π≤x -3π≤2k π+23π,k∈Z ,得2k π-6π≤x≤2k π+π65,k∈Z ,2k π+65π≤x≤2k π+116π,k∈Z .∴函数y=sin(x-3π)的递增区间、递减区间分别是［2k π-6π，2k π+π65］,k∈Z ,［2k π+65π，2k π+116π］,k∈Z .(2)函数y=cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定2k π-π≤2x≤2k π(k∈Z ),2k π≤2x≤2k π+π,k∈Z . ∴k π-2π≤x≤k π,k∈Z ,k π≤x≤k π+2π,k∈Z. ∴函数y=cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别为［k π-2π,k π］,k∈Z,［k π,k π+2π］,k∈Z . 【例2】求函数y=3-2sin(x+6π)的最大、最小值及相应的x 值.思路分析：使函数y=3-2sin(x+6π)取得最大、最小值的x 就是使得函数y=sin(x+6π)取得最小、最大值的x.解：当sin(x+6π)=1 即x+6π=2k π+2π,x=2k π+3π时，y 取最小值，y 的最小值为3-2=1.当sin(x+6π)=-1即x+6π=2k π-2π,x=2k π-23π时,y 取最大值，y 的最大值为3+2=5.温馨提示求形如y=Asin(ωx+φ)+B 或y=Acos(ωx+φ)+B 的单调区间或最值时，我们用整体换元思想.A 、ω＞0时，则ωx+φ直接套正余弦函数的增减区间和取最大、最小值的x 的集合，解得x 的范围即可. 2.判断函数的奇偶性【例3】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=|sinx|+cosx; (2)f(x)=xx xx cos sin 1cos sin 1++-+;(3)y=1sin -x ;(4)y=1cos cos 1-+-x x .思路分析：本题主要考查奇偶性的判定.判断奇偶性的方法.①判断定义域是否关于原点对称；②判断f(-x)与f(x)的关系. 解：（1）函数的定义域为R , f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x) =|-sinx|+cosx=|sinx|+cosx=f(x). ∴函数为偶函数.(2)由1+sinx+cosx≠0得 x≠π+2k π,且x≠π23+2k π,k∈Z . ∴函数的定义域不关于原点对称. ∴函数f(x)=xx xx cos sin 1cos sin 1++-+为非奇非偶函数.(3)∵sinx -1≥0, ∴sinx=1,x=2k π+2π(k∈Z ). 函数定义域不是关于原点对称的区间，故为非奇非偶函数. (4)∵1-cosx≥0且cosx≥1，∴cosx=1,x =2k π(k∈Z ).此时，y=0，故该函数既是奇函数，又是偶函数. 温馨提示判断函数的奇偶性，要特别注意函数的定义域.如果定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称.再通过化简判断f(-x)与f(x)的关系，如f(x)=f(-x)且f(x)≠-f(x),则该函数为只偶非奇函数；如：f(-x)=-f(x)且f(-x)≠f(x)，则该函数为只奇非偶函数；如f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，则该函数为既奇又偶函数； 如f(-x)≠f(x)，且f(-x)≠-f(x)，则该函数为非奇非偶函数.3.y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)型函数中，A 、ω的正负对求单调区间及最值的影响 【例4】求函数的单调区间：y=2sin(4π-x). 思路分析：令4π-x=u,则u=4π-x 在x∈R 上是减函数，由复合函数同增异减原则，要求原函数的递增区间，4π-x 必须套sinu 的减区间.解：y=2sin(4π-x)化为y=-2sin(x-4π).∵y=sinu(u∈R )的递增、递减区间分别为［2k π-2π,2k π+2π］,k∈Z . ［2k π+2π,2k π+23π］,k∈Z .∴函数y=-2sin(x-4π)的递增、递减区间分别由下面的不等式确定.2k π+2π≤x -4π≤2k π+23π,k∈Z .2k π-2π≤x -4π≤2k π+2π,k∈Z.得2k π+43π≤x≤2k π+47π,k∈Z .2k π-4π≤x≤2k π+43π,k∈Z .∴函数y=sin(4π-x)的单调递增区间、单调递减区间分别为［2k π+43π,2k π+47π］,k∈Z .［2k π-4π,2k π+43π］,k∈Z .各个击破类题演练1 求函数y=3sin(2x+4π)的单调递增区间. 解：令2x+4π=u ,则 y=3sinu 的单调增区间为［2k π-2π,2k π+2π］,k∈Z , 即2k π-2π≤2x+4π≤2k π+2π,∴k π-π83≤x≤k π+8π. ∴y=3sin(2x+4π)的单调递增区间是［k π-83π,k π+8π］,k∈Z .变式提升1比较下列各组数的大小. （1）sin16°与sin154°； （2）cos3,cos43π,sin4,cos 65π. 解：(1)因为sin154°=sin(180°-26°)=sin26°.函数y=sinx 在［0,2π］为增函数，而26°＞16°.所以sin26°＞sin16°,即sin154°＞sin16°. (2)因为sin4=cos(2π-4)=cos(4-2π)，函数y=cosx 在［0，π］为减函数，而 43π＜4-2π＜65π＜3＜π. 所以cos 43π＞cos(4-2π)＞cos 65π＞cos3.即cos 43π＞sin4＞cos 65π＞cos3.类题演练2函数f(x)=3sin(π5x+3π)的最大值为____________,相应的x 取值集合为____________. 解析：最大值为3，此时π5x+3π=2k π+2π,k∈Z ,∴x=10k+65,k∈Z .答案：3 {x|x=10k+65,k∈Z }变式提升2求下列函数的最大值与最小值及相应的x. (1)y=acosx+b;(2)y=cos 2x+sinx-2.解：(1)①若a ＞0，当cosx=1,即x=2k π时，y 取最大值,y 的最大值为a+b ； 当cosx=-1，即x=2k π+π时，y 取最小值，y 的最小值为b-a.②若a ＜0，当cosx=1即x=2k π时，y 取最小值，y 的最小值为a+b ； 当cosx=-1即x=2k π+π时，y 取最大值，y 的最大值为b-a. 总上知y 的最大值为|a|+b ，最小值为-|a|+b. (2)y=1-sin 2x+sinx-2=-sin 2x+sinx-1=-(sinx-21)2-43, 当sinx=12,即x=2k π+6π或x=2k π+π65(k∈Z )时，y 取得最大值，y 的最大值为-43;当sinx=-1即x=2k π-2π时，y 取得最小值,y 的最小值为-3. 类题演练3判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xsin(π+x);(2)f(x)=cos(2π-x)-x 3sinx;(3)f(x)=xxx sin 1cos sin 12+-+.解：(1)函数的定义域R 关于原点对称. f(x)=xsin(π+x)=-xsinx,f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x). ∴f(x)是偶函数.(2)函数f(x)的定义域R 关于原点对称,又f(x)=cosx-x 3sinx∴f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cosx-x 3sinx=f(x). ∴f(x)为偶函数.(3)函数应满足1+sinx≠0, ∴函数的定义域为{x∈R |x≠2k π+23π,k∈Z }, ∴函数的定义域关于原点不对称, ∴函数既不是奇函数也不是偶函数. 变式提升3(1)已知f(x)=ax+bsin 3x+1(a 、b 为常数)，且f(5)=7，求f(-5). (2)如果函数y 1=a-bcosx(b ＞0)的最大值是32，最小值是21-，那么函数y 2=-4asin3bx 的最大值是（ ）A.-2B.2C.32 D.-32 解：（1）因为f(-x)-1=a(-x)+bsin 3(-x)=-(ax+bsin 3x)=-［f(x)-1］,所以f(-5)=-6.（2）由题意a+b=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+,21,23b a b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧==,1,21b a∴y 2=-2sin3x.∴y 2的最大值为2. 答案：（1）-6 （2）B 类题演练4 函数y=2sin(6π-2x)(x∈［0,π］)为增函数的区间是（ ）A.［0，3π］ B.［12π，127π］C.［3π，65π］ D.［65π，π］解：2sin(6π-2x)=-2sin(2x-6π),当2k π+2π≤2x -6π≤2k π+π23,即k π+3π≤x≤k π+65π(k∈Z ),当k=0时得在［0，π］上的单调增区间为［3π，65π］.答案：C变式提升4求函数y=cos(6π-x 21)的单调递增区间. 解：∵y=cos(6π-2x)=cos(2x-6π),令2x-6π=u ,则y=cosu 的单调递增区间为 ［2k π-π,2k π］,k∈Z ,即2k π-π≤2x -6π≤2k π,k∈Z , ∴k π-π125≤x≤k π+12π,k∈Z ,∴函数y=cos(6π-x 21)的单调递增区间为［k π-π125,k π+12π］,k∈Z .。
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第2
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时 正、余弦函数的性质1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的性质：周期性、奇偶性，了解其图象的对称性． 2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，会结合它们的图象说出单调区间，并能根据单调性比较大小．3．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值、最小值，会求简单三角函数的值域或最值，并能指出取得最大(小)值时自变量x 的值的集合．1．正弦函数的图象与性质正弦函数的图象与性质如下表所示：____当x ＝____________时，y 取最大值1正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )，即正弦曲线与x 轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值．【做一做1】 已知函数y ＝sin x ，x ∈R ，则下列说法不正确的是( ) A ．定义域是RB ．最大值与最小值的和等于0C ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数 D ．最小正周期是2π2．余弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质如下表所示：__当x ＝________时，y 取最大值1余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，即余弦曲线与x 轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值．【做一做2】 已知函数y ＝cos x ，x ∈R ，则下列说法错误的是( ) A ．值域为[－1,1]B ．是奇函数C ．在定义域上不是单调函数D ．在[0，π]上是减函数答案：1．R [－1,1] 2k π＋π2(k ∈Z ) 2k π－π2(k ∈Z ) 2π 奇 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2【做一做1】 C2．R 2k π(k ∈Z ) 2k π＋π(k ∈Z ) 2π 偶 [(2k －1)π，2k π] [2k π，(2k ＋1)π]【做一做2】 B正、余弦函数的性质与图象的关系剖析：(1)定义域是R ，反映在图象上是所有垂直于x 轴的直线与图象有且只有一个交点．(2)正、余弦函数的单调性，反映在图象上是曲线的上升与下降的情况．(3)正、余弦函数的周期性，反映在图象上是曲线有规律地重复出现．相邻两对称中心的间隔是半个周期，相邻两对称轴的间隔也是半个周期，相邻的对称中心与对称轴的间隔是四分之一个周期．(4)正、余弦函数的奇偶性，反映在图象上是曲线关于原点或y 轴对称，即sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x .(5)正、余弦函数的最大值和最小值，反映在图象上，就是曲线的最高点和最低点．题型一 判断三角函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin x cos x ；(2)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x.分析：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系，进而可确定函数的奇偶性．反思：1.判断函数奇偶性的依据是函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提．另外还要注意诱导公式在判断f (x )与f (－x )之间关系时的应用．2．本例(2)中，易忽视f (x )的定义域，违背定义域优先的原则，而进行非等价变形，得f (x )＝sin x (1＋sin x )1＋sin x＝sin x ，从而导致结果错误．题型二 求三角函数的单调区间【例2】 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的单调递减区间． 反思：求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，利用整体思想，把ωx ＋φ看成一个整体，借助于正弦函数的单调区间来解决．题型三 求三角函数的值域(最值) 【例3】 求下列函数的值域： (1)y ＝3－2cos 2x ，x ∈R ；(2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R .分析：(1)将2x 看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2)把sin x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．反思：求三角函数的值域的方法：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则其值域为[－A ＋b ，A ＋b ]．如本例(1)小题；②把sin x 或cos x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数在闭区间上的值域，如本例(2)小题．题型四 比较三角函数值的大小 【例4】 比较下列各组数的大小： (1)sin 194°与cos 160°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8与sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8.分析：(1)先将异名三角函数化为同名三角函数，并且利用诱导公式化到同一单调区间上．(2)先比较sin 3π8与cos 3π8的大小，然后利用正弦函数单调性求解．反思：比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．题型五 易错辨析易错点 忽视x 的系数是－1【例5】 求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间．错解：令π3－x ＝t ，∵y ＝sin t 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， ∴2k π－π2≤π3－x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得－2k π－π6≤x ≤－2k π＋56π，即2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． 错因分析：在π3－x 中，x 的系数－1是负数，应整体代入正弦函数的单调递减区间，求原函数的单调递增区间．答案：【例1】 解：(1)定义域为R .f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值应满足1＋sin x ≠0， ∴sin x ≠－1.∴x ≠2k π＋32π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋sin π2－cos2π21＋sinπ2＝1，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2无意义，∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 【例2】 解：由于函数y ＝2sin x 的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． 令2k π＋π2≤3x ＋π4≤2k π＋3π2，得2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12(k ∈Z )． 故所求的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )． 【例3】 解：(1)∵－1≤cos 2x ≤1，∴－2≤－2cos 2x ≤2. ∴1≤3－2cos 2x ≤5，即1≤y ≤5.∴函数y ＝3－2cos 2x ，x ∈R 的值域为[1,5]．(2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2.∵－1≤sin x ≤1，∴函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为[－4,0]． 【例4】 解：(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin 14°＜sin 70°， 从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°. (2)∵cos 3π8＝sin π8，∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1.而y ＝sin x 在(0,1)内递增，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8. 【例5】 正解：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴要求原函数的单调递增区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的单调递减区间．令2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴2k π＋5π6≤x ≤2k π＋116π(k ∈Z )．∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋116π(k ∈Z )．1．函数y ＝sin 2cos xx+是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin11°3．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________． 4．函数y ＝3－2π32cos 33x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为____________，此时自变量x 的取值集合是__________．5．求函数y ＝π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间．答案：1．A 定义域为R ，f (－x )＝sin()2cos()x x -+-＝sin 2cos xx-+＝－f (x )，则f (x )是奇函数．2．C ∵sin 168°＝sin(180°－168°)＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°， sin 11°＜sin 12°＜sin 80°， ∴sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.3.51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦设cos x ＝t ，－1≤t ≤1，则y ＝1－cos 2x －cos x ＝－t 2－t ＋1＝21524t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭. 由于－1≤t ≤1，则有－1≤y ≤54. 4．5 {x |x ＝3k π＋π，k ∈Z } 当2πcos 33x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－1时，y max ＝3－2×(－1)＝5.此时x 的取值集合为{x |x ＝3k π＋π，k ∈Z }． 5．解：y ＝π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π2sin 4x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，得 2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )．函数y ＝π2sin 4x ⎛⎫-⎪⎝⎭的递增区间为 3π7π2π,2π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．。
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第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值学习目标：1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．(重点、易混点)[自 主 预 习·探 新 知]n 的值吗？[提示] 由正弦函数和余弦函数的单调性可知m ＝π2，n ＝π.[基础自测]1．思考辨析(1)y ＝sin x 在(0，π)上是增函数．( ) (2)cos 1＞cos 2＞cos 3.( )(3)函数y ＝－12sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值为0.( )[解析] (1)错误．y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数．(2)正确．y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，且0＜1＜2＜3＜π，所以cos 1＞cos 2＞cos 3. (3)正确．函数y ＝－12sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为减函数，故当x ＝0时，取最大值0. [答案] (1)× (2)√ (3)√2．函数y ＝2－sin x 取得最大值时x 的取值集合为________．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π－π2，k∈Z [当sin x ＝－1时，y max ＝2－(－1)＝3，此时x ＝2k π－π2，k ∈Z .]3．若cos x ＝m －1有意义，则m 的取值范围是________． [0,2] [因为－1≤cos x ≤1， 要使cos x ＝m －1有意义， 须有－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2.][合 作 探 究·攻 重 难]． (2)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1，求函数f (x )的单调递增区间．[思路探究] 1.确定a 的范围→y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数→y ＝cos x 在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a 的范围．2．确定增区间→令u ＝π4＋2x →y ＝2sin u 的单调递增区间．(1)(－π，0] [(1)因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．](2)令u ＝π4＋2x ，函数y ＝2sin u 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤π4＋2x ≤π2＋2k π，k ∈Z得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z .所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z .[规律方法] 1.求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或形如y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (其中A ≠0，ω>0，b 为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx ＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x 的系数化为正；②在A >0，ω>0时，将“ωx ＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A <0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律． [跟踪训练]1．(1)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为________．(2)已知函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ，则它的单调减区间为________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) [(1)由π2＋2k π≤3x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 得π9＋2k π3≤x ≤4π9＋2k π3(k ∈Z )． 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3， 所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3.(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．](1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 【导学号：84352095】 [思路探究]用诱导公式化简→利用函数的单调性由自变量的大小推出对应函数值的大小[解] (1)∵－π2＜－π10＜－π18＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°＜16°＜66°＜90°， ∴sin 16°＜sin 66°， 从而－sin 16°＞－sin 66°， 即sin 196°＞cos 156°.(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0＜π4＜35π＜π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π＜cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. [规律方法] 三角函数值大小比较的策略1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2或⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内不同名的函数化为同名的函数自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.[跟踪训练]2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( ) A ．sin α＜sin βB ．cos α＜sin β C ．cos α＜cos β D ．cos α ＞cos β(2)比较下列各组数的大小：①cos 15π8，cos 14π9；②cos 1，sin 1.(1)B [(1)α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞π2，α＞π2－β，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，π2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β.](2)①cos 15π8＝cos π8，cos 14π9＝cos 4π9，因为0＜π8＜4π9＜π，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，所以cos π8＞cos 4π9，即cos 15π8＞cos 14π9.②因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，而0＜π2－1＜1＜π2且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＜sin 1，即cos 1＜sin 1.[1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x ∈[0，π]上最小值是多少？提示：因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22.2．函数y ＝A sin x ＋b ，x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？提示：不是．因为A >0时最大值为A ＋b ，若A <0时最大值应为－A ＋b .(1)函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为________．(2)已知函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b (a ＞0)．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值. 【导学号：84352096】[思路探究] (1)先用平方关系转化，即cos 2x ＝1－sin 2x ，再将sin x 看作整体，转化为二次函数的值域问题．(2)先由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求2x －π3的取值范围，再求sin2x⎭⎪⎫－π3的取值范围，最后求f (x )min ，f (x )max ，列方程组求解．(1)[－4,0] [(1)y ＝cos 2x ＋2sin x －2 ＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2. 因为－1≤sin x ≤1，所以－4≤y ≤0，所以函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为[－4,0]．] (2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴f (x )max ＝a ＋b ＝3，f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.母题探究：1.求本例(1)中函数取得最小值时x 的取值集合．[解] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2， 所以当sin x ＝－1时，y min ＝－4，此时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π－π2，k∈Z. 2．将本例(1)中函数改为y ＝cos 2x ＋sin x ，x ∈R 结果又如何？ [解]y ＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54.因为－1≤sin x ≤1，所以－1≤y ≤54，所以函数y ＝cos 2x ＋sin x ，x ∈R 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54.[规律方法] 三角函数最值问题的常见类型及求解方法：(1)y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)，利用换元思想设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值，t 的范围需要根据定义域来确定．(2)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)的范围，最后得最值．[当 堂 达 标·固 双 基]1．y ＝2cos x 2的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]D ．RA [因为x ∈R ，所以x 2≥0， 所以y ＝2cos x 2∈[－2,2]．]2．函数y ＝－cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先减后增函数D ．先增后减函数C [因为y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上先增后减，所以y ＝－cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上先减后增．] 3．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x≤5π6的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 [因为π4≤x ≤5π6，所以12≤sin x ≤1，即所求的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.]4．sin 2π7________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8(填“＞”或“＜”).＞ [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8，因为0＜π8＜2π7＜π2，y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以sin π8＜sin 2π7，即sin 2π7＞sin ⎝⎛⎭⎪⎫－15π8.]5．函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间．[解] 求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间，转化为求函数y ＝sin 2x 的单调递减区间，由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．。