西南交通大学考研结构力学最新课件静定结构由于支座移动引起的位移
西南交通大学考研结构力学最新课件静定结构由于温度变化及杆件制造误差引起的位移计算
4－5 静定结构由于温度变化及杆 件制造误差引起的位移计算对于静定结构，杆件在温度变化以及杆件1制造误差情况下，不引起内力；由于材料具有发生膨胀和收缩的性质以及由于 杆件制造误差所引起的杆件变形，可使静定结 构自由地产生符合其约束条件的位移。
这种位移仍可应用变形体系的虚功原理计算。
（一）由于温度变化引起的位移计算K2ΔKt实际状态设： 温度沿杆件截面厚 度h为线性分布，即在发 生温度变形后，截面仍保 持为平面。
dutdθt（一）由于温度变化引起的位移计算K3ΔKtdut dθt位移状态 （实际状态）PK=1M N力状态 （虚拟状态）虚拟状态的外力和内力1 ⋅ ΔKt = ∑ ∫ N dut + ∑ ∫ M dθt实际状态的位移和变形(温度变化)材料的线膨胀系数为 α 平均温度dut4du t = αt 0 dsdθt = αt2ds − αt1ds h温差dθt1 当h l＝h 2，其形心轴处的温度为： t 0 = (t 1 + t 2 ) 2 Δt = t2 − t1 温差：t 1 h2 + t 2 h1 当h1≠h2 ，其形心轴处的温度为： t 0 = hα t2 − t1 ds αΔtds = = h h温度作用引起的位移计算公式 1⋅ Δ Kt = ∑ ∫ N dut + ∑ ∫ M dθ t αΔt = ∑ ∫ N α t ds + ∑ ∫ M ds h05如果 t 0 、 Δt 沿每一杆件的全长为常数，则得： αΔt Δ Kt = ∑ α t 0 ∫ N ds + ∑ ∫ M ds 直杆 的 N 图面积ωNh直杆 的 M 图面积ωMαΔt ωM ΔKt = ∑ αt 0 ωN + ∑ h正负号规定如下：αΔt ωM ΔKt = ± ∑ αt 0 ωN ± ∑ h（1）轴力 N 与 t 0的符号一致为正，相反为负。
6N以拉力为正t 0 以温度升高为正αΔt ω ΔKt = ± ∑ αt 0 ωN ± ∑ 取－ M h当 M 弯矩和温差Δt 引起的弯曲为同 一方向时，其乘积取正值；反之取负值。
静定结构位移PPT课件
x
dx
M(x)
α
x
x0
M
y0
l M ( x) M ( x)dx
tg x M( x)dx l M图静矩 Sy tgα A x0
A y0
以上简化Mohr积分的方法
——图乘法
1. 二图同侧为＋，反之为－ ；
2. 其中一图必须是直线；
y0 须取自直线图
第26页/共52页
二.图形面积和形心
• 一次斜直线
F1
M T
N Q
变形体系的两状态:
外力与内力 （平衡）
彼此独立
位移与变形（连续协调） 互不无关
（荷载/支座移动/变温…）
变形体的虚功原理:
ds
∆
d
d
d
外虚功 =
（荷载/反力在 位移上作功）
内虚功 （内力在 变形上作功）
单位荷载求变形体系位移
ds d
Nd Qd Md Td
第10页/共52页
Rk Ck
MM EI
ds
ห้องสมุดไป่ตู้
NN EA
l
TT GIt
d
s
应用莫尔定理求位移时， 需计算下列形式积分：
M(x)M(x)dx
l
M(x)、M(x) 中，只要有一是线性（一次函数） ——以上积分即可简化：
一.方法
下设 M(x)图形是直线,
（直杆M(x)图必定是直线）
第25页/共52页
y y
O
M(x)
（M图形面积） M CA
1/l
l B
AB
AB
W
1 l
C
1 l
B
B
（力偶矩=1）
C B
结构力学——静定结构位移计算 ppt课件
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
结构力学课件—结构位移计算
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§6-1 概述
四、 计算方法
结构力学
1.几何法 研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式 的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对复 杂的杆系不适用）。
2. 功能法
〈
虚功原理 应变能(卡氏定理)
本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。
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§6-2 变形体系的虚功原理 一、基本概念
W内 FN du M d Fs rds
由虚功方程： ΔK＝ FN du M d Fs rds－ RC 此式即为平面结构位移计算一般公式。
若结果为正，说明 FK 1 在 K 上做正功，这表明的实际 方向与方向相同。若结果为负，说明 FK 1 在 K 上做负功 ，这表明的实际方向与方向相反。
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§6-2 变形体系的虚功原理 二、虚功原理
1. 变形体的虚功原理
结构力学
设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变形体由 于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位移时，则外力 系在位移上做的虚功的总和δWe，等于变形体的内力在变形 上做的虚功的总和δ Wi，即，
δWe δWi
A
B
CDV CV DV
截面C、D 的相对角位移为:
C' D'
C
D
C
D
Δ CD C D
A B
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§6-1 概述
3.位移产生的原因
A
结构力学
引起结构位移的原因
结构力静定结构位移ppt课件
(M FQ 0 FN )ds
整根杆件的内虚功为：
Wi dWi (M FQ 0 FN )ds
14
根据虚功方程W=Wi，所以有：
q(s)w(s)ds FPii FRKCK
ΔCV ——给定的位移和变形。力和位移无关。
19
2）正负号规则：
若 M 及 d ds 使杆件同侧纤维伸长，则乘积为
正，反之为负；
乘积 FQγ0ds 及 FNεds 的正负号分别由力与应变的 正负号确定。FQ 使隔离体产生顺时针转动为正，反
之为负，γ0以顺时针方向为正，反之为负；FN以拉力
=
1 B
M1, FQ1, FN1
+
M2, FQ2, FN 2
c) 虚设单位荷载1
d) 虚设单位荷载2 27
虚设单位载荷如上图c) ，d)所示。
1 AH
M1 ds
FQ1 0ds
FN1 ds
1 BH M2 ds FQ2 0ds FN 2ds
6
2）为超静定结构的内力和位移计算准备条件
求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求 得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。
如右图示单跨 梁，若只满足平衡 条件，内力可以由 无穷多组解答，例 如FyB可以取任意值 。
9kN.m
12kN
A
B
7.5kN.m
2m 2m
FyB 3.75kN
7
三、实功和虚功：
在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷
载FP1=1，则虚功方程为 ：
FP1 FRKCK (M FQ 0 FN )ds K
结构力学——静定结构位移计算 ppt课件
ΔP
FP
FAx
ΔB
FAy
ppt课件
FB
第二节
变形体虚功原理
2 虚功原理 （1）刚体系的虚功原理
刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的 虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。
（2）变形体的虚功原理
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位 移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒 等于变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
ppt课件
回顾
（1）质点系的虚功原理
具有理想约束的质点系，在某一位 置处于平衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的虚位移，作用于质 点系的主动力所做虚功之和为零。也 即
FP1
FN 1
→. → Σfi δri=0
ppt课件
FP 2
m m
2
1
FN 2
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的虚位移， 作用于刚体系的所有外力所做 虚功之和为零。
ppt课件
第一节
位移计算概述
建筑起拱
如屋架在竖向荷 载作用下，下弦 各结点产生虚线 所示位移。
将各下弦杆做得 比实际长度短些， 拼装后下弦向上 起拱。 在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。
ppt课件
第一节
位移计算概述
3、产生位移的主要原因 各种因素对静定结构的影响
内力
荷载
温度改变或 材料胀缩 支座移动或 制造误差
dWz=dWe+dWi Wz= We+ Wi
1 2 作功双方其一是虚设的； 作功双方均是实际存在的，但彼此无关。 ppt课件
结构力学课件 第五章 静定结构位移计算
N P l EA FN FNP
钢筋 混凝土
－4.74FP －1.58
Ab Ab 0.75Ab
Ag 3Ag 2Ag
1.97FPl/AbEb 1.84FPl/AbEb 0 0 0.63FPl/AgEg 0.5FPl/AgEg
CD DE CE
－4.42FP －1.58
0 0
0.263l
0.088l 0.278l
• 结构整体变形和支座移动共同产生的总位移计算
（ FN FQ Mk）ds FR K c K
欲求的实际位移
cK
实际发生的已知位移
FN
FQ
M
FR K
虚设单位力作用下产生的力
§5-3 荷载作用下的位移计算
• 计算公式 • 计算步骤 • 各类结构位移计算公式
（M k FN FQ）ds
kFQ FQP FN FN P MMP ds ds ds EI EA GA
欲求的实际位移 M P FNP FQP 实际荷载作用下产生的内力
M
FN
FQ
虚设单位力作用下产生的内力
每一积分式的两个内力若使杆件变形一致，则其乘积取正号， 反之则取负号。
计算结果若 0 若 0
Ay0 EI
ql 2
MP
1
1
M
B
ql 2 ql 2
1
1
1
q
l
ql
l
ql 2
FN P
1
1
FN
FN FNP l FN FNP N ds EA EA
N 1 ql ql 2 N 1 l （） M EA 2 2 EA
结构力学课件第六章结构位移计算
d
ya
yb
yb=2/3×d－1/3×c
返回
对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均
可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。
叠加后的抛物线
↶
图形（）与原抛物
线图形（）的面积
QA
MB
大小和形心位置以及
形心处的竖标仍然是
MA
QB
相同的。
MA
MB
返回
当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的
AB段： MP=
， BC段： MP=
3. 代入公式（6—6）得
△Ay=
=
(-x)(-qx2) 2
dx EI
+
qL2 dx (-L)(- 2 ) EI
()
返回
§6—5 图 乘 法
1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算
下面的积分
△KP=
y
当结构符合下述条件时：
d=MPdx
A MP
面积
MP
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
7
求B点水平位移,EI=常数。
Pl
1
MP
MP
l
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
8
求C、D两点相对水平位移 。
l
MP
l
l 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
9
已知： E、I、A为常数，求 。
D
P A
C
a
B
0
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
D
P A
C
a
B
D
（1）功
P B
A
dW=P dS Cos
西南交通大学考研结构力学最新课件矩阵位移法的计算坐标转换
i
k (e) 25
=
F2
= Yi
四.坐标变换示例
15
例1 求图示桁架①、②单元结构坐标下的
单元刚度矩阵。各杆 l = 2m， EA = 1.2 ×106 kN
Y
3
4
l
x
2
x
1
1
2
X
l
解： ①单元 θ (1) = 0 ，T 为单位矩阵，因此 16
结构单元刚度矩阵和局部单元刚度矩阵相
同。
⎡ 1 0 −1 0⎤
k(1)
=
(1)
k
=
EA
⎢ ⎢
0
000⎥⎥来自l ⎢−1 0 1 0⎥
⎢ ⎣
0
0
0
0⎥⎦
EA / l = 6 ×105 kN/m
l
⎡ 1 0 −1 0⎤
=
6×105
⎢ ⎢
0
0
0
0⎥⎥ k N / m
⎢−1 0 1 0⎥
⎢ ⎣
0
0
0
0⎥⎦
3
4
x
2
x
1
1
2
l
②单元 θ(2) = 225D EA/ 2l = 2.1213×105 kN/m 17
⎢
⎥
⎢⎣
0
0 1⎥⎦
t 和 T 均是正交矩阵，因此
t −1 = t T T −1 = T T
8
对于平面桁架来说，单元的坐标转换矩阵为
T
(e)
=
⎡t ⎢⎣0
⎡ cosθ sinθ 0
0 t
⎤ ⎥ ⎦
(e) 连= ⎢⎢−续si梁nθ 单co元sθ 需要0 进行⎢⎢⎣ 坐00 标转00 换吗−csoi？snθθ
建筑力学第11章静定结构的位移计算
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第五节 静定结构在支座移动时的位移 计算
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第六节 互等定理
• ■一、功的互等定理
• 设外力F１和F２分别作用于同一结构上，如图１１-１３（ａ）和图１ １-１３（ｂ）所示，分别称为结构的第一状态和第二状态。
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第一节 位移的概念及位移计算的目的
• ■二、位移计算的目的
• 结构位移计算的目的概括起来有以下两个方面： • （１）校核结构的刚度。为了保证结构或构件的正常工作，除满足强
度条件外，还需满足刚度要求，即在荷载作用下（或其他因素作用下 ）不致产生过大的位移，保证结构在正常工作时产生的位移不超过规 定的允许值。例如，吊车梁的挠度不得超过跨度的，屋盖和楼盖梁的 挠度不得超过跨度的１/４００。
δ１２，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的 位移δ２１。这就是位移互等定理。
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图 11 - 1
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图 11 - 2
返回
图 11 - 3
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图 11 - 11
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图 11 - 13
返回
图 11 - 14
返回
• 这表明：第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功，等于第二 状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功。这就是功的互等定理。
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第六节 互等定理
• ■二、位移的互等定理
• 位移的互等定理是功的互等定理的一个特例。 • 如图１１-１４所示，假设两个状态中的荷载都是单位力，即 • X１＝１，X２＝１，与其相应的位移用δ１２和δ２１表示， • 则由功的互等定理，有 • １·δ１２＝１·δ２１ • 得δ１２＝δ２１（１１-１１） • 这表明：第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移
《结构力学》静定结构的位移计算
03
在实际应用中，可以根据结构特点、计算精度和计算资源等因素综合考虑选择 合适的数值方法。
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桥梁横向位移限制
对于大跨度桥梁，需要限制其在风荷载、地震等横向力作用下的横 向位移，以保证桥梁的稳定性和行车安全。
支座位移控制
桥梁支座的位移也需要进行控制，以避免支座过度磨损或脱空等现 象，确保桥梁的正常使用。
建筑工程中变形缝设置要求
伸缩缝设置
为避免建筑物因温度变化、地基沉降等因素而产生裂缝或 破坏，需要在建筑物的适当位置设置伸缩缝，使建筑物能 够自由伸缩。
计算方法
采用分段叠加法，将组合结构分成若 干段，分别计算各段的位移再求和； 或采用有限元法直接求解整体位移。
需考虑不同材料或截面的变形协调问 题。
03 图乘法计算静定结构位移
图乘法基本原理及适用条件
基本原理
图乘法是基于结构力学的虚功原理，通过图形面积与形心位置的乘积来简化计 算结构位移的一种方法。
均布荷载作用
荷载沿梁长均匀分布，引 起梁产生均匀弯曲变形。
位移计算
采用图乘法或积分法求解， 考虑荷载、跨度、截面惯 性矩等因素。
悬臂梁在集中力作用下位移
悬臂梁基本概念
一端固定，另一端自由的 梁，承受集中力、均布荷 载等。
集中力作用
在悬臂梁自由端施加集中 力，引起梁产生弯曲和剪 切变形。
位移计算
采用叠加原理，分别计算 弯曲和剪切变形引起的位 移，再求和。
制造误差对结构位移的影响不同。
影响系数
02
利用影响系数可以计算制造误差引起的结构位移，影响系数与
结构形式和荷载情况有关。
敏感性分析
结构力学-位移法-PPT(1)
五、解题示例 q
A
øB B øB
l
l
原结构
Z1
q
A
øB B øB
Z1= 14EI/l
CA
B
C
2EI/l 3EI/l
ql2/8M1图 ql2/8
A C
B
C
基本体系 4EI 3EI 7EI r11 l l l
Mp图
r11 Z1 R1 p
R1 P
ql 2 8
0
Z1
R1 p r11
ql2 8
7 EI
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
M AB
3
EI l
A
3
EI l2
Δ
M
f AB
M BA 0
QAB
3EI l2
a
b
3EI l3
Δ QAfB
QAB
3EI l2
a
b
3EI l3
Δ QBfA
令：i
EI l
称为“线刚度”、 AB
l
称为“旋转角”，则：
M AB
3i A
R1 r11Z1 r12 Z 2 R1P R2 r21Z1 r22 Z 2 R2P
要使基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的受力和 原结构受力相同，故本例中R1和R2应该为零
rr1211ZZ11
r12 Z 2 r22 Z 2
R1P R2P
0 0
上式既为二个未知量的位移法典型方程
计算系数和自由项
B øB
(c)
A
Z1= øB
øB
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1
静定结构支座移动时的位移计算，属于刚体体系的位移计算问题，可用刚体体系的虚功原理求解。
静定结构由于支座移动引起的位移
静定结构是无多余约束的几何不变体系，当发生支座移动时，静定结构将发生刚体位移。
支座移动不引起静定结构的应变，也不引起静定结构的内力。
Δ=c
K
ΔKc
实际状态
2
Δ=c
K
ΔKc
实际状态
1
虚拟状态
R
c R Δ1Kc =⋅+⋅由刚体体系的虚功方程
可得支座移动时的位移计算式：
c
R Δ1Kc ⋅−=⋅∑⋅−=⋅c
R Δ1Kc 已知的支座移动
虚拟状态中有支座移动的支座的虚反力
两者方向一致为正；相异为负
3
例1 支座B 下沉c B ，求C 点的竖向位移
1
虚拟状态
∑⋅−=⋅c
R Δ1Cyc )
( c 4
5
)c 45(B B ↓=×−−=Cyc
Δ
4
图示简支刚架，支座A 下沉a ，求B 点的水平位移和B 端截面的转角。
例2
l
h =
A R )
( l
ha
a)l h (c R ΔBxc ←−=×−=⋅−=∑
5
1
)1
( a l
c R ×−=⋅−=∑Bc
θl
R 1=
A （2）求
B 端截面的转角
逆时针转动
图示桁架的支座B 向下移动c ，试求BD 杆件的角位移。
θ
DB
顺时针转动
4a
c c)4a 1(c R θDB =
×−−=⋅−=∑a
R 41
=
B
静定结构支座移动时的位移，属于刚体位移对一些简单的结构，可用几何关系确定其刚体位移。
a
b ϕ
y A
a
b ϕ
y A
a
a
l
ϕ
)
(↓
+
=l
a
y
A
ϕ
b
ϕ
10用虚功方程确定其位移
a
b ϕ
y A
)
(
l
a
y
A
↓
+
=ϕ
1
1l
)
l
a
1
(
c
R
y
Ac
ϕ⋅
−
⋅
−
−
=
⋅
−
=∑
11
例4
图示结构支座A 移动a = 2cm , b =3cm, 求B 截面转角。
B
A
a
b
4m
4m
4m
1m
3m
V A =
17
H A =
17
)
03.002.0(71
+−=B ϕB
A
1
3.5
h M H A 0
=)
(00714.0rad −=712
7481
=
×=
12
例4 求图示C 点的竖向位移
P
Δ
c
y 2k
P Δ=
2
P 2
3l
EI k =
13
例5
C C
C y y y ′′+′=C
y ′C
y ′′P
Δ
==′′Δ2
1y C
2k
P
Δ=
4k P
14
例4
P
2
Pl 2
P
1
C
y ′EI
Pl y C
323
=′4
l 4k P 32EI Pl y y y 3
C C C =+=′′+′=′EI
l 96113
=2
3l
EI k =
15
位移计算式的推广
Δ
P
K
1
R
M
Q N 实际状态
虚拟状态
∑∫
∑∫∑∫∑++=⋅+⋅GA
ds
Q Q k EA ds N N EI ds M M c R ΔP P P KP 1外力虚功= 内力虚功
∑∫∑∑∫∑∫⋅−++=⋅c
R GA
ds
Q Q k EA ds N N EI ds M M ΔP P P KP 1。