《2.5 离散型随机变量》课件 1-优质公开课-北师大选修2-3精品

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高中数学第二章概率253离散型随机变量的方差课件北师大版选修2

(2)若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)，若ξ服从两点分布，则 D(ξ)＝p(1－p)，其中p为成功概率，应用上述两条可大大简化解题过程．
第20页
◎思考题 2 已知 X 是一个随机变量，随机变量 X＋5 的分
布列如下：
X＋5 －2 －1 0
1
2
P
0.2 0.1 0.1 0.4 0.2
第29页
n
【思路】解答本题可先利用分布列的性质 p i＝1求出a的
i＝1
值，然后写出相应的分布列并计算出相应期望与方差，最后结合甲、乙两人射中环数的期望与方差分析两人的射击技术的好坏．
第30页
【解析】 (1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1 解得 a＝0.1.
∵乙射中 10，9，8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2，
第17页
题型二方差的性质例2 已知随机变量ξ的分布列为
ξ1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 另一随机变量η＝2ξ－3，求E(η)，D(η)．
第18页
【解析】 E(η)＝2E(ξ)－3＝2×(1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋ 4×0.2＋5×0.1)－3＝2×3－3＝3，
n
偏离程度，而 D(X)＝ (xi－E(X))2pi 为这些偏离程度的加权平
i＝1
均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度．我们称 D(X)为随机变量 X 的方差，其算术平方根 D（X）为随机变量 X 的标准差．
第5页
3．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度，方差(或标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度，用它可以刻画样本数据的稳定性．

高中数学选修2-3 北师大版随机变量 ppt课件(38张)

【提示】 (1)可以，可用数字 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上． (2)X＝0,1,2，…10.
随机变量的概念及其表示 (1)随机变量的定义：将随机现象中试验( 或观测) 的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量． (2)随机变量通常用大写的英文字母如 X，Y 来表示.
【解】
(1)ξ 可取 3,4,5.
ξ＝3，表示取出的 3 个球的编号为 1,2,3； ξ＝4，表示取出的 3 个球的编号为 1,2,4 或 1,3,4 或 2,3,4； ξ＝5，表示取出的 3 个球的编号为 1,2,5 或 1,3,5 或 1,4,5 或 2,3,5 或 2,4,5 或 3,4,5. (2)ξ 的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间.
●重点难点重点：随机变量的概念．难点：用随机变量描述随机现象．教学时从具体实例出发，引导学生观察、分析、掌握随机变量的概念，通过例题与练习让学生在应用中更深入理解其概念以强化重点，引导学生通过对用随机变量表示随机试验的结果的理解来化解难点．
●教学建议本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“随机变量”为基本探究内容，以掷骰子试验为突破口，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过各种尝试活动，充分认识理解“随机变量”的概念及应用．
随机变量的概念
判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)北京国际机场候机厅中 2013 年 5 月 1 日的旅客数量； (2)2013 年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间所查酒驾的人数； (3)2013 年 6 月 1 日济南到北京的某次动车到北京站的时间； (4)体积为 1 000 cm3 的球的半径长．

(北师大版)数学选修2-3课件：第2章-离散型随机变量的方差ppt课件

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2.5 第一课时离散型随机变量的均值课件(北师大选修2-3)

解析：由题意知随机变量 X 服从 N＝7，M＝4，n＝3 4 12 的超几何分布，则 EX＝3× ＝ . 7 7
12 答案： 7
返回
5．(2012· 浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且
规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和． (1)求X的分布列； (2)求X的数学期望EX.
返回
∴顾客中奖的数学期望 1 3 3 1 EX＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝1.5. 8 8 8 8 (10 分)
设商场将每次中奖的奖金数额定为 x 元， 1.5x≤180，则解得 x≤120，即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为 120 元，才能使自己不亏本． (12 分)
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3．若随机变量 ________．
1 X～B n，2 ，EX＝2，则
P(X＝1)等于
解析：由
1 1 n， ∴EX＝n·＝2, X～B 2 2 2 2
1 11113 ∴n＝4，∴P(X＝1)＝C4 ＝ . 4
1 中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X表示取出的红球数，则EX为 ________．
返回
X的分布列为
X P 0 1 45 1 16 45 2 28 45
1 16 28 72 8 ∴EX＝ ×0＋ ×1＋ ×2＝＝ . 45 45 45 45 5
返回
[例 2]
甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标
1 2 的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的 2 3 次数为 X，乙击中目标的次数为 Y，求 (1)X 的概率分布； (2)X 和 Y 的数学期望． [思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．

北师大版高中数学选修2-3第二章概率—_ 第五节《离散型随机变量的均值与方差》ppt

,10), 则可以预计他任意n次射击的
平均环数是 0 P( 0) 1 P( 1) 10 P( 10) 记为 E 我们称
E 为此射手射击所得环数的期望，它刻划了所
得环数随机变量

所取的平均值。
数学期望的定义:
x1 x2 xi xn pn pi P p1 p2 则称 E x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随

机变量取值的平均水平.
一般地，随机变量的概率分布列为
根据定义可推出下面两个结论:
结论1：若 a b, 则 E aE b ; 结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
结论1：若 a b, 则 E aE b
P( axi b) P( xi ), i 1, 2, 3
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
前面，我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布列为
ξ P
x1 p1
x2 … xk p2 … pk
… …
xn pn
则称 E x1 p1 x2 p2 … xk pk … xn pn 为 ξ 的数学期望，简称期望．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．
解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是ξ 和η ,则 ξ ～B(20,0.9),η ～B(20,0.25)，所以Eξ ＝20×0.9＝18， Eη ＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5ξ 和5η .这样，他们在测验中的成绩的期望分别是 E(5ξ )＝5Eξ ＝5×18＝90， E(5η )＝5Eη ＝5×5＝25．

高中数学第2章概率5离散型随机变量的均值与方差第1课时离散型随机变量的均值课件北师大版选修2_3

x(0≤x≤0.29)．
依题意，EX≥4.73，即 4.76－x≥4.73，
解得 x≤0.03，所以三等品率最多为 3%.
1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
0.2
Eη＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
1．求随机变量的数学期望的方法步骤： (1)写出随机变量所有可能的取值． (2)计算随机变量取每一个值对应的概率． (3)写出分布列，求出数学期望．
2．离散型随机变量均值的性质 (1)Ec＝c(c 为常数)； (2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b 为常数)； (3)E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2(a，b 为常数).
4．已知 X～B100，12，则 E(2X＋3)＝________. 103 [EX＝100×12＝50，E(2X＋3)＝2EX＋3＝103.]
5．某运动员投篮投中的概率 P＝0.6.
(1)求一次投篮时投中次数 ξ 的均值；
(2)求重复 5 次投篮时投中次数 η 的均值．
[解] (1)ξ 的分布列为：
2．均值的性质 (1)若 X 为常数 C，则 EX＝_C_. (2)若 Y＝aX＋b，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量，且 EY ＝E(aX＋b)＝__a_E_X_＋__b___.
(3)常见的离散型随机变量的均值
分布名称
参数
超几何分布
N，M，n
二项分布
n，p
均值 M nN
_n_p__
思考：两点分布与二项分布有什么关系？
[母题探究 1] 本例条件不变，若 Y＝2X－3, 求 EY.

2.1离散型随机变量课件 (北师大版选修2-3)

[例1]
判断下列各个变量是否是随机变量，若是，
是否是离散型随机变量？ (1)天成书业公司信息台一天接到的咨询电话个数； (2)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数； (3)某林场的树木最高达30 m，在此林场中任取一棵树木的高度；
(4)体积为27 cm3的正方体的棱长．
1．随机变量的概念及其表示
(1)定义：随着试验结果的不同而变化的变量称为随机变量． (2)表示：常用字母 X ， Y …等表示． 2．离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，
则称X为离散型随机变量．
1．对随机变量的认识 (1)随机变量是用来表示不同试验结果的量． (2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，
否则不是．
1．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b 是常数且a≠0，那么Y A．不一定是随机变量 ( )
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值 D．一定是离散型随机变量解析：若X是离散型随机变量，根据函数的性质，则Y 必是离散型随机变量．答案：D
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是 A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 ( )
[思路点拨] 判断．根据随机变量、离散型随机变量的定义
[精解详析]
(1)接到的ห้องสมุดไป่ตู้询电话的个数可能是
0,1,2,3，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量，并且是离散型随机变量． (2)被抽取的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量．
(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]
限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．

高中数学北师大版选修2-3课件：离散型随机变量的分布列

1 3
2a
．
3、一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，用X表示取出球的最小号码，求X 的分布列．
1.分布列的定义.
2.分布列的性质：
(1) pi 0, i 1， 2，
3.求分布列的步骤：
(2) p1 p2 1.
(1).确定随机变量X的所有可能的值； (2).求出各取值对应的概率； (3).画出表格.
课后作业
课本P37:
2题，3题.
X -1 0 1 2 3
P
0.16
a 10
a2
a 5
0.3
（1）求常数a;（2）求P(1< X <4) 解:(1)由离散型随机变量的分布列的性质有
a a 2 0.16 a 0.3 1 10 5
3 9 解得： a （舍）或 a 5 10
(2)P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)=0.12+0.3=0.42
(2) p1 p2 1
例1、一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，用X表示取出球的最大号码，求X 的分布列．
思考：（1）取出球的最大号码小于5的概率是多少？（2）结合X的分布列你能给同学提一个问题吗？
例2、随机变量X的分布列为
抛掷一枚骰子，所得的点数X有哪些值？X 取每个值的概率是多少？
（解析式法） P( X i ) 1 解： 6
X=i
i 1,2,3,6
1 2 3 5 6
（列表法）
P(X=i)
1 6
1 6
1 6
1 6

(北师大版)数学选修2-3课件：第2章-离散型随机变量的均值ppt课件

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《2.5 离散型随机变量》课件 4-优质公开课-北师大选修2-3精品

＝
(a
2 1
p1
＋
a
2 2
p2
＋
…
＋
a
2 n
pn)
－
2EX(a1p1
＋
a2p2
＋
…
＋
anpn)
＋
(EX)2(p1＋p2＋…＋pn)
＝EX2－2EX·EX＋(EX)2
＝EX2－(EX)2.
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课堂讲练互动
3．离散型随机变量期望与方差的求法 (1)理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值； (2)求X取每个值的概率； (3)写出X的分布列； (4)由期望的定义求EX； (5)由方差的定义求DX. 注意：若X～B(n，p)，则直接利用公式EX＝np，DX＝np(1 －p)求解．
X －1 0 1
P
1 2
11 36
求：(1)EX，DX； (2)设Y＝2X＋3，求EY，DY.
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解 (1)EX＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13， DX＝－1＋312×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59. (2)EY＝2EX＋3＝73，DY＝4DX＝290.
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2．利用公式 DX＝EX2－(EX)2 求方差
设 X 的所有可能取值为 a1，a2，…，an.
则 DX＝(a1－EX)2p1＋(a2－EX)2p2＋…＋(an－EX)2pn
＝[a21－2a1EX＋(EX)2]p1＋[a22－2a2EX＋(EX)2]p2＋…＋[a2n－
2anEX＋(EX)2]·pn
∴EX＝EY>z.
(6 分)
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课堂讲练互动
又 DX＝(4－1)2×12＋(－2－1)2×21＝9.

高中数学北师大版选修2-3第2章第5节《离散型随机变量的均值》(共31张ppt)

解
用
X
、
1
X
和
2
X
分
3
别
表
示
三
种
方
案
的
损
失
.
于是 , EX 1 3 800(元 ),
EX2 62 000 PX2 62 000 2000 PX2 2000
62 000 0.01 2 000 1 0.01 2 600（元）,
EX3 60 000 PX3 60 000 10 000 PX3 10 000 0 PX3 0
均，这里的权数分别是价格应该为：
，所以混合糖果的合1理, 1 , 1 236
18 1 24 1 36 1 23(元 / kg)
2
3
6
如果混合糖果中每颗糖果的质量都相等，你能解
释权数的含义吗？
这就是我们本节课所要学习的主要内容.
1.理解随机变量均值的概念.（重点） 2.初步学会应用随机变量的均值分析有关随机现象. 3.掌握离散型随机变量均值的求法. (难点）
它表示，在一次的抽取中，3件产品中平均有1.2 件是次品，而 1.2 4 ，相当于10件产品中有4件次品.
3 10
这样，平均数1.2就代表了“取次品问题”中随机变量X的平均取值.
1.均值的概念
设随机变量X的可能取值为a1,a2, …,ar,取ai的概率为 pi(i=1,2,3,…,r) ,即X的分布列为：
实例分析
高二（1）班有45人，本学期期中考试数学平均
分为80分，高二（2）班有55人，平均分为90分，求两班的数学平均分。问题1：能否利用两个平均数相加除以二求平均数？如果不能，应该怎么做？
分析：两个平均数相加除以二显然不合适,可通过

北师大版高中数学选修2-3课件2.5离散型随机变量的均值与方差

当 ξ=2 时,即取到 1 个红球和 1 个黑球或者取到 2 个白球,
则
P(ξ=2)=CC3292
+
C21·C41 C92
=
1316;
当 ξ=3 时,即取到 1 个红球和 1 个白球,
则 P(ξ=3)=C31C·92C21 = 16;
学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固
题型一
题型二
题型三
求离散型随机变量 ξ 的均值(数学期望)的步骤为:
(1)确定随机变量的所有可能的值 xi; (2)求出随机变量各个取值对应的概率 P(ξ=xi)=pi; (3)利用公式 Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn 求出均值.
学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固
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12345
2 设随机变量 X~B(n,p),且 EX=1.6,DX=1.28,则( )
A.n=4,p=0.4
B.n=8,p=0.2
C.n=5,p=0.32
D.n=7,p=0.45
解析:∵X~B(n,p),∴EX=np,DX=np(1-p).
12345 5 某地有 A,B,C,D 四人先后感染了流感,其中只有 A 到过疫区,B 肯定是受 A 传染的.对于 C,因为难以判定他是受 A 还是受 B 传染的,于是假定他受 A 和受 B 传染的概率都是12.同样也假设 D 受 A,B 和 C 传染的概率都是13.在这种假设之下,B,C,D 中直接受 A 传染的人数 X 就是一个随机变量.写出 X 的分布列(不要求写出计算过程),并求 X 的均值(即数学期望). 解:随机变量 X 的分布列为

2.5.1《离散型随机变量的均值》课件(北师大版选修2-3)

P(A)=1-P即(A至)=少4摸, 出一个白球的概率等于 5
P(A)= 4.
C34 C36
=
1 5
.
5
第29页，共44页。
(2)X的所有可能取值为0、1、2、3.
∴ EX=0 1 +1 9 +2 9 +3 1 = 3 , 20 20 20 20 2
即X的数学期望为 3 .
2
第30页，共44页。
第31页，共44页。
(A) 1
(B) 1
(C) 3
(D) 1
【解2析】选B.由二4项分布均值4公式EX=np3得60·p=15，解得
p= 1 . 4
第24页，共44页。
3.设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的
数学期望为( )
(A) 3 (B) 3 (C) 2 (D)
8
【解1析0 】选B.由题5 意可知次品15数X服从N=1150,M=3,n=2的超几何分
EX=2 1 = 2 33
第26页，共44页。
5.（2010·银川高二检测）两个人射击，甲，乙各射击一次中
靶的概率分别是p1,p2,且 1 , 1是关于x的方程x2-5x+m=0
p1 p2
(m∈R)的两个根，若两人各射击5次，甲射击5次中靶的期望是2.5.
则p1=_______.p2=________.
7.袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验. （1）若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布列及其均值. （2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球
个数X的均值.
第32页，共44页。
【解析】（1）X的可能取值为1、2、3，

北师大版高中数学选修2-3课件2.5 离散型随机变量课件 1

• 二项分布的均值与方差
某队共 3 人参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设该队中每人答对的概率均为23，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用 ξ 表示该队的总得分．求随机变量 ξ 的均值和方差．
[分析] 我们将每人回答问题看成做了一次试验，则一共有 3 次试验，且它们彼此独立；在每次试验中，把“答对问题” 看作“成功”，“答错问题”看作“失败”，则每次试验成功的概率都是23，分析可知总得分 ξ 服从参数为 n＝3，p＝23的二项分布．
• 3．若Y＝aX＋b(a、b为常数)则EY＝E(aX＋ b)＝___aE_X_＋_b__.
• 4．若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则 EX＝__n_p _.
• 5．D(aX＋b)＝___a2_D_X___.
• 6．若X～B(n，p)则DX＝___np_(1_－_p_)__．
学习方法指导
• 1．研究均值与方差的意义
(1)写出 ξ 的分布列； (2)求数学期望 Eξ.
[分析] 两位专家给三个方案做评审，则结果为支持的个数 X 可能为 0,1,2,3,4,5,6.本题可视为进行 6 次独立重复试验，获得支持即为试验成功，则获得支持的个数 X 服从 n＝6，p＝12 的二项分布．由题意知 X＝0 对应 ξ＝0，x＝1 对应 ξ＝5，x＝2 对应 ξ＝10，x＝3 对应 ξ＝15，X＝4 对应 ξ＝20，X＝5 对应 ξ ＝25，X＝6 对应 ξ＝30.
• DX乙＝(100－125)2×0.1＋(115－125)2×0.2 ＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋ (145－125)2×0.2＝165.
• 由EX甲＝EX乙可知，甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度是相等的，且平均抗拉强度都不低于120.但由DX甲<DX乙，即乙种钢筋的抗拉强度指标与平均值偏差较大，故可认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋．

北师大版高中数学选修2-3课件2.5 离散型随机变量课件 2

4
3
5
6 20 15
【典例】(12分)(2011·无锡高二检测)交5元钱，可以参加一次抽奖，一袋中装有同样大小的球10个，其中8个标有 “1元钱”，2个标有“5元钱”，抽奖者从中任取两个球，他所得奖金是所抽两球上标的钱数之和，求抽奖人获利的期望.
【审题指导】抽到的两个球上所标的钱数之和X是一个离散型随机变量，且每一个X取值时所代表的随机事件的概率值是可求的，但本题所求的是另一个离散型随机变量，即参加抽奖的人获利Y的数学期望，Y与X的关系为Y=X-5，利用公式Y=aX+b时EY=aEX+b可求得.
(2) EX 2 1 1 1 0 1 1 1 2 1 17 .
4
3 5 6 20 30
(3)方法一：由公式E(aX+b)=aEX+b
得EY=E(2X-3)=2EX-32= ( 17 ) 3 62 .
30
15
方法二：由于Y=2X-3，所以Y的分布列如下：
所以 EY 7 1 5 1 3 1 1 1 1 1 62 .
6
丙三位同学每人购买了一瓶该饮料. (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.
【审题指导】问题(1)甲中奖且乙、丙都没有中奖为独立事件可考虑利用独立事件的概率公式求解；问题(2)直接利用 n次独立重复试验概率公式P(ξ=k)= Cknpk(1-p)n-k,列出分布列，求期望.
【规范解答】(1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用.
则D=A∪(BC)， P(A)=0.5×0.5=0.25,P(B)=2×0.5×0.5=0.5,P(C)=0.3, P(D)=P(A∪(BC)) =P(A)+P(BC) =P(A)+P(B)P(C) =0.25+0.5×0.3 =0.40.