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中考数学压轴题、几何证明题

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中考数学压轴题的常见类型与解题思路

中考数学压轴题的常见类型与解题思路

中考数学压轴题的常见类型与解题思路中考数学压轴题通常是对学生多个知识点综合考察的题目，要求考生综合运用所学的数学知识进行解答。

下面是一些常见类型的中考数学压轴题及其解题思路。

1. 几何题几何题是中考数学中常见的题型之一。

几何题涉及图形的性质、计算图形的面积、周长和体积等等。

解决几何题的关键是要熟悉几何的基本定理和公式，并通过观察图形性质找到解题思路。

2. 基础运算题基础运算题是中考数学中的重点内容，包括四则运算、分数运算、百分数运算等等。

解决基础运算题的关键是熟练掌握运算规则和方法，有条理地进行计算。

3. 等式方程题等式方程题是中考数学中常见的题型之一。

解决等式方程题的关键是要根据题目给出的条件建立方程，然后通过运用方程的性质解题。

在解题过程中，要注意合理运用方程的基本性质和解方程的方法。

4. 函数题函数题是中考数学中的重要内容，要求考生熟练掌握函数的定义、性质和运算。

解决函数题的关键是要根据给定的函数关系或函数图像进行分析，确定函数的性质，并运用函数的定义和性质解答问题。

5. 统计与概率题统计与概率题是中考数学中常见的题型之一。

解决统计与概率题的关键是要对给定的数据进行统计分析，找到规律，并运用统计学和概率学的知识解答问题。

6. 证明题证明题是中考数学中的重点内容，要求考生运用数学的推理和证明方法，通过有条理的推理过程证明结论。

解决证明题的关键是要理解证明的目标和要求，清晰地表述证明过程，运用合适的证明方法解答问题。

解决中考数学压轴题的关键是要熟练掌握数学的基本知识和运算方法，同时要灵活运用数学知识，善于找到解题的思路和方法。

在解题过程中，要注重思维的逻辑性和严密性，慎重选择解题思路，合理运用数学知识解答问题。

通过对各个题型的系统练习和深入理解，可以提高解题能力，应对中考数学压轴题。

中考数学几何压轴题及答案及答案

中考数学几何压轴题及答案及答案

中考数学几何压轴题及答案一、解答题（共30小题）1.观察猜想（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝；（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长3．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE 和AF数量关系．（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α（0°＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在（2）的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．5.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB、AD交于点E、F，且∠EOF与∠BAD互补．（1）若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB：AD＝m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论.6.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．7.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．探索发现：图1中，的值为；的值为．（2）拓展探完若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△CDE旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BE的长．8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）解决问题是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．9.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE绕点A作360°旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD 的中点，连接MN、NF．问题提出：（1）如图1，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为，线段MN 和线段NF的数量关系为；深入讨论：（2）如图2，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；拓展延伸：（3）如图3，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为．10．四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则AC与BD的位置关系是，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．11．问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．12．如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，（1）问题发现的值为；（2）探究与证明将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，＝，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．14．如图，已知点E是射线BC上的一点，以BC、CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF，取AF的中点M，连接DM、MG（1）如图1，判断线段DM和GM的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC＝10，CE＝2，正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出△DMG的面积．15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．16.如图（1），在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN．（1）观察猜想，图（1）中△PMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图（2），△ADE绕点A按逆时针方向旋转，则△PMN的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．（3）拓展延伸，若△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD＝2，AB＝6，请直接写出△PMN 的周长的最大值．17.已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°.（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由.18.问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，点B的对应点落在点D，点C的对应点为点E，可知点C、D、E在一条直线上，则△ACE为三角形，BC、CD、AC的数量关系为；探究发现：（2）如图2，在⊙O中，AB为直径，点C为的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且AD＜BD，请求出CD、AD、BD间的数量关系.拓展延伸：（3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC＝13，平面内存在一点E，且AE＝10，CE＝13，当点Q为AE中点时，PQ＝.19.已知△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M、N分别在边CA，CB上（不与端点重合），BN＝AM，射线AG∥BC交BM延长线于点D，点E在直线AN上，EA＝ED．（1）【观察猜想】如图1，点E在射线NA上，当∠ACB＝45°时，①线段BM与AN的数量关系是；②∠BDE的度数是；（2）【探究证明】如图2点E在射线AN上，当∠ACB＝30°时，判断并证明线段BM与AN的数量关系，求∠BDE的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E在直线AN上，当∠ACB＝60°时，AB＝3，点N是BC 边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．20.如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’（1）问题发现：．（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．21.如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．（1）观察猜想将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是，直线AC与DE的位置关系是．（2）类比探究将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）拓展延伸将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．22.如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．23．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．25.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．（1）尝试探究如图（1），当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸如图（2），当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移如图（3），当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．26.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE ⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．27．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．28.【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．29．如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．30．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3＜x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．【解答】解：（1）如图①中，∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为：BF⊥BE，BC．（2）如图②中，作DH∥AC交BC于H．∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE＝BH，∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD＝DH＝2，∴BH＝2，∴BF+BE＝BH＝2；（3）如图③中，作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M．∵AC∥DH，∴∠ACB＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠DBH＝∠H，∴DB＝DH，∵∠EDF＝∠BDH＝α，∴∠BDF＝∠HDE，∵DF＝DE，DB＝DH，∴△BDF≌△HDE，∴BF＝EH，∴BF+BE＝EH+BE＝BH，∵DB＝DH，DM⊥BH，∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM，∴BM＝MH＝BD•sin．∴BF+BE＝BH＝2n•sin．2．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC×BC＝BC2，故答案为BC2．（2）不成立．理由：如图2中当∠BAC为锐角时，BB′+CC′﹣B′C′＝BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2+BC•B′C′．图3中∠BAC为钝角时，BB′+CC′+B′C′＝BC．AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2﹣BC•B′C′．（3）当AB＝5，AC＝6，BC＝9时，则AB2+AC2＜BC2，可知△ABC为钝角三角形，由图3可知：AB2+AC2＝BC2﹣BC•B′C′，∴52+62＝92﹣9B′C′，∴B′C′＝．3．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，＝1，故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，∵△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣4．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，∵四边形DFGE是正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF故答案为：BE＝AF；（2）成立；理由如下：当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵四边形DFGE为正方形，∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；综上所述，（1）中的结论BE＝AF成立；（3）在△ADE中，∵AE＜AD+DE，∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．如图④所示：则AD＝BC＝1，DE＝DF＝2，∴AE＝AD+DE＝3，即AE的最大值为3．5．【解答】解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是正方形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（2）（1）的结论成立；理由：如图2，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是菱形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（3）如图3，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴∠OGE＝∠OHF＝90°，∴∠BAD+∠GOH＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠GOH＝∠EOF，∴△EOG∽△FOH，∴，∵O是▱ABCD的对角线的交点，∴S△AOB＝S△AOD，∵S△AOB＝AB•OG，S△AOD＝AD•OH，∴AB•OG＝AD•OH，∴＝，∴．6．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．7．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵AB＝AC＝2，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠BEC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB＝1，根据勾股定理得，BE＝∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∴＝＝，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，∴＝＝，故答案为：，；（2）无变化，理由：由（1）知，CD＝1，CE＝BE＝，∴＝，，∴＝，由（1）知，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，（3）当点D在线段AE上时，如图2，过点C作CF⊥AE于F，∠CDF＝180°﹣∠CDE＝60°，∴∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝，∴CF＝DF＝，在Rt△AFC中，AC＝2，根据勾股定理得，AF＝＝，∴AD＝AF+DF＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝当点D在线段AE的延长线上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵∠CDG＝60°，∴∠DCG＝30°，∴DG＝CD＝，∴CG＝DG＝，在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝，∴AD＝AG﹣DG＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝即：线段BE的长为或．8．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴m＝2；③当6＜m＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴m＝14，综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．9．【解答】解：（1）如图1中，连接DB，MF，CE，延长BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，∴∠ADH+∠DCH＝90°，∴∠CHD＝90°，∴EC⊥BH，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．故答案为：45°（2）：如图2中，连接MF，EC，BD．设EC交AB于O，BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠AOC+∠ACO＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠OBH+∠BOH＝90°，∴∠BHO＝90°，∴EC⊥BD，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．（3）：如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．当直线PB与⊙A相切时，此时∠CBP的值最小，点P到BC的距离最小，即△BCP的面积最小，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，BD＝EC，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠CPO，∴∠CPB＝90°，∵PB是⊙A的切线，∴∠ADP＝90°，∵∠DPE＝∠ADP＝∠DAE＝90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AE＝AD，∴四边形ADPE是正方形，∴AD＝AE＝PD＝PE＝2，BD＝EC＝＝2，∴PC＝2﹣2，PB＝2+2，∴S△BCP的最小值＝×PC×PB＝（2﹣2）（2+2）＝4．10．【解答】（1）解：AC⊥BD，理由如下：连接AC、BD，如图2所示：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，故答案为：AC⊥BD；（2）解：AD2+BC2＝AB2+CD2；理由如下：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，设BD、AC相交于E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：如图3，连接CG、BE，∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根据勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，∴GE＝．11．【解答】解：问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．问题证明：如图2中，（1）中结论成立．理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵•BD•BE＝•DE•BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．12．【解答】解：（1）如图1中，作EH⊥CG于H．∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，∴∠ECH＝∠ECF＝30°，EC＝EG，∵EH⊥CG，∴GH＝CG，∴＝cos30°＝，∴＝2•＝，∵EG∥CD，AB∥CD，∴GE∥AB，∴＝＝．故答案为．（2）结论：AG＝BE．理由：如图2中，连接CG．∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，∴△ECG∽△BCE，∴＝，∵∠ECB＝∠GCA，∴△ECB∽△GCA，∴＝＝，∴AG＝BE．（3）如图3中，∵∠AGH＝∠CGF＝30°．∠AGH＝∠GAC+∠GCA，又∵∠DAC＝∠HAG+∠GAC＝30°，∴∠HAG＝∠ACH，∵∠AHG＝∠AHC，∴△HAG∽△HCA，∴HA：HC＝GH：HA，∴AH2＝HG•HC，∴FC＝2，CG＝CF，∴GC＝2，∵HG＝，∴AH2＝HG•HC＝•3＝9，∵AH＞0，∴AH＝3．故答案为3．13．【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝1，∴＝1（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴②成立．如图，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝，∴＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），③如图1，当点E在CA延长线上时，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）即：CE＝2或CE＝．14．【解答】解：（1）如图1，延长GM交AD于H，∵AD∥GF，∴∠GFM＝∠HAM，在△FMG和△AMH中，，∴△FMG≌△AMH（ASA），∴HM＝GM，AH＝FG，∵AD＝CD，AH＝FG＝CG，∴DH＝DG，∵∠HDG＝90°，HM＝GM，∴DM＝MG，DM⊥MG，故答案为DM＝MG，DM⊥MG．（2）结论成立：DM＝MG，DM⊥MG，理由：如图2中，延长GM使得MH＝GM，连接AH、DH、DG，延长AD交GF的延长线于N，交CD于O．∵AM＝MF，∠AMH＝∠FMG，MH＝MG，∴△AMH≌△FMG（SAS），∴AH＝GF＝CG，∠AHM＝∠FGM，∴AH∥GN，∴∠HAD＝∠N，∵∠ODN＝∠OGC＝90°，∠DON＝∠GOC，∴∠N＝∠OCG，∴∠HAD＝∠DCG，∵AH＝CG，AD＝CD，∴△HAD≌△GCD（SAS），∴DH＝DG，∠HDA＝∠CDG，∴∠HDG＝∠ADC＝90°，∴△HDG是等腰直角三角形，∵MH＝MG，∴DM⊥GH，DM＝MH＝MG，（3）①如图3﹣1中，连接AC．在Rt△ABC中，AC＝＝10，在Rt△ACE中，AE＝＝14，∴AF＝AE＝EF＝14﹣2＝12，∴FM＝AM＝AF＝6，在Rt△MGF中，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝20，②如图3﹣2中，连接AC．同法可得AE＝14，AF＝16，FM＝8，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝34，综上所述，满足条件的△DMG的面积为20或34．15．【解答】解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝，∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A'BC＝90°，∴cos∠A'CB＝＝，∴∠A'CB＝30°，∴∠ACA'＝60°；（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM＝∠MA'C，由旋转可得，∠MA'C＝∠A，∴∠A＝∠A'CM，∴tan∠PCB＝tan∠A＝，∴PB＝BC＝，∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，∴tan∠BQC＝tan∠A＝，∴BQ＝BC×＝2，∴PQ＝PB+BQ＝；（3）∵S四边形P A'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，∴S四边形P A'B′Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，法一：（几何法）取PQ的中点G，∵∠PCQ＝90°，∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CG min＝，PQ min＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣；法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，由射影定理得：xy＝3，∴当PQ最小时，x+y最小，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，当x＝y＝时，“＝”成立，∴PQ＝+＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣．16．【解答】解：（1）结论：△PMN是等边三角形．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故答案为等边三角形．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD，CE．由旋转可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM＝，且PM∥CE．同理可证PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．（3）∵PM＝EC，∴当EC最大时，等边△PMN的周长最大，∵EC≤AE+AC，∴EC≤8，∴PM≤4，∴PM的最大值为4，∴△PMN的周长的最大值为12．17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．18．【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，∠CAE＝90°，AC＝AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，∵CE＝CD+DE＝CD+BC，∴BC+CD＝AC，故答案为：等腰直角；BC+CD＝AC；（2）延长CO交⊙O于E，连接AE、BE、DE，则∠CDE＝90°，∵点C为的中点，∴点E为的中点，∴EA＝EB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由（1）得，DE＝（AD+BD），由勾股定理得，CD2＝CE2﹣DE2＝AD2+BD2﹣（AD+BD）2＝（AD﹣BD）2，∴CD＝（BD﹣AD）；（3）如图3，当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、PC，∵CA＝CB，点P为AB的中点，∴CP⊥AB，∵CA＝CE，点Q为AE中点，∴CQ⊥AE，AQ＝QE＝AE＝5，∴由勾股定理得，CQ＝＝12，由（1）得，AQ+CQ＝PQ，。

中考复习初中数学几何证明 试题(含答案)

中考复习初中数学几何证明 试题(含答案)

初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。

由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG , 即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =COCD,又CO=EO ，所以CD=GF 得证。

2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）.3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）APCDB D 2C 2 B 2 A 2D 1C 1B 1C B DA A 1 AFGCEBOD4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．BF求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值． A P CB P A D CB C B D A F PD E CB A APCB3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。

平面几何的证明题压轴题

平面几何的证明题压轴题

平面几何的证明题压轴题1. 问题描述给定平行四边形ABCD，证明以下结论：2. 证明过程步骤 1：作AE ⊥ AD，BF ⊥ AB，连接CF。

作AE ⊥ AD，BF ⊥ AB，连接CF。

作AE ⊥AD，BF ⊥AB，从而得到四边形AEBF是一个矩形。

步骤 2：作CF的中线DG，连接AG，BG。

作CF的中线DG，连接AG，BG。

作CF的中线DG，连接AG，BG，从而得到DG平分CF，并且DG ⊥ CF。

步骤 3：将四边形AEBF分为三个三角形：△AED，△BEF和△AFB。

将四边形AEBF分为三个三角形：△AED，△BEF和△AFB。

根据步骤1，我们知道△AED和△BEF是直角三角形。

步骤 4：分别证明△AED和△BEF为全等三角形。

分别证明△AED和△BEF为全等三角形。

根据步骤2，DG ⊥CF，所以△DEG和△FBG是全等三角形。

又因为△DEA和△BFA是直角三角形，且对边相等（DE = BF），根据勾股定理，△DEA和△BFA是全等三角形。

因此，根据全等三角形的性质，△AED和△BEF也是全等三角形。

步骤 5：根据全等三角形的性质，得到对应的边相等。

根据全等三角形的性质，得到对应的边相等。

根据步骤4，△AED和△BEF是全等三角形，所以对应的边相等：AE = BF，AD = BE步骤 6：得出结论。

得出结论。

根据平行四边形的性质，平行四边形的对边相等。

因此，由步骤5得出的结论，可以证明平行四边形ABCD的对边相等：AB = CD，AD = BC3. 结论通过以上证明过程，我们可以得出平行四边形ABCD的对边相等的结论：AB = CD，AD = BC。

济南市中考数学几何综合压轴题易错专题

济南市中考数学几何综合压轴题易错专题

济南市中考数学几何综合压轴题易错专题一、中考数学几何综合压轴题1．如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明：四边形CEGF是正方形；（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG 与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝6，GH＝22，求BC的长．解析：（1）证明见解析；（2）AG2BE，理由见解析；（3）5【分析】（1）先说明GE⊥BC、GF⊥CD，再结合∠BCD=90°可证四边形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可证明；（2）连接CG，证明△ACG∽△BCE，再应用相似三角形的性质解答即可；（3）先证△AHG∽△CHA可得AG GH AHAC AH CH==，设BC＝CD＝AD＝a，则AC2，求出AH=23a，DH=13a，10，最后代入AG AHAC CH=即可求得a的值．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形．（2）结论：AG2；理由：连接CG，由旋转性质知∠BCE ＝∠ACG ＝α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG ＝cos45°2，2cos 45CB CA ︒== ， ∴2CE CA CG CB=， ∴△ACG ∽△BCE ， ∴2AG CA BE CB == ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG 2；（3）∵∠CEF ＝45°，点B 、E 、F 三点共线，∴∠BEC ＝135°，∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC ＝∠BEC ＝135°，∴∠AGH ＝∠CAH ＝45°，∵∠CHA ＝∠AHG ，∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AH AC AH CH==， 设BC ＝CD ＝AD ＝a ，则AC 2a ， 则由AG GH AC AH =222a = ∴AH ＝23a ， 则DH ＝AD ﹣AH ＝13a ，2210CH CD DH =+=， ∴AG AH AC CH =23210a a = ， 解得：a ＝5BC ＝5【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查相似形的判定和性质、正方形的性质等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题并利用参数构建方程解决问题．2．（1）（问题背景）如图1，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 是直线BC 上的一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°至AE ，连接CE ，求证：ABD ACE △≌△；（2）（尝试应用）如图2，在（1）的条件下，延长DE ，AC 交于点G ，BF AB ⊥交DE 于点F ．求证：2FG AE =；（3）（拓展创新）如图3，A 是BDC 内一点，45ABC ADB ∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，3BD =，直接写出BDC 的面积为_____________．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）32【分析】（1）【问题背景】如图1，根据SAS 证明三角形全等即可．（2）【尝试应用】如图2，过点D 作DK ⊥DC 交FB 的延长线于K ．证明△ECG ≌△DKF （AAS ），推出DF ＝EG ，再证明FG ＝DE ＝2AE 即可．（3）【拓展创新】如图3中，过点A 作AE ⊥AD 交BD 于E ，连接CE ．利用全等三角形的性质证明CE ＝BD ，CE ⊥BD ，再根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）【问题背景】证明：如图1，∵90BAC DAE ∠=∠=︒，∴DAB EAC ∠=∠，在ABD △和ACE 中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABD ACE SAS △≌△．（2）【尝试应用】证明：如图2，过点D 作DK DC ⊥交FB 的延长线于K ．∵DK CD ⊥，BF AB ⊥，∴90BDK ABK ∠=∠=︒，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∴45DBK K ∠=∠=︒，∴DK DB =，∵ABD ACE △≌△，∴135ABD ACE ∠=∠=︒，DB EC DK ==，∴45ECG ∠=︒，∵BF AB ⊥，CA AB ⊥，∴AG BF ∥，∴G DFK ∠=∠，在ECG 和DKF △中，ECG K G DFK CE KD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ECG DKF AAS ≌△△，∴DF EG =， ∵2DE AE =，∴2DF EF AE +=，∴2EG EF AE +=，即2FG AE =．（3）【拓展创新】如图3中，过点A 作AE AD ⊥交BD 于E ，连接CE ．∵45ADB ∠=︒，90DAE ∠=︒，∴ADE 与ABC 都是等腰直角三角形，同法可证ABD ACE △≌△， ∴3CE BD ==， ∵45AEC ADB ∠=∠=︒，∴90CED CEB ∠=∠=︒， ∴11333222BDC S BD CE =⋅⋅=⨯⨯=△． 故答案为：32． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．3．[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为 ；[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝10，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AM BM 的值； [拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠ACB ＝2∠A ，将△ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B ′处，折痕为CM ．①求线段AC 的长；②若点O 是边AC 的中点，点P 为线段OB ′上的一个动点，将△APM 沿PM 折叠得到△A ′PM ，点A 的对应点为点A ′，A ′M 与CP 交于点F ，求PF MF的取值范围． 解析：（1）AM ＝BM ；（2）169；（3）①AC ＝152；②310≤PF FM ≤34． 【分析】 （1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）利用相似三角形的性质求出BM ，AM 即可．（3）①证明△BCM ∽△BAC ，推出BC BM CM AB BC AC== 由此即可解决问题．②证明△PFA ′∽△MFC ，推出'PF PA FM CM =，因为CM =5，推出'5PF PA FM =即可解决问题． 【详解】 解：（1）如图①中，∵△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，∴MN 垂直平分线段BC ，∴CN ＝BN ，∵∠MNB ＝∠ACB ＝90°，∴MN ∥AC ，∵CN ＝BN ，∴AM ＝BM ．故答案为：AM ＝BM ．（2）如图②中，∵CA ＝CB ＝6，∴∠A ＝∠B ，由题意MN 垂直平分线段BC ，∴BM ＝CM ，∴∠B ＝∠MCB ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ，∴BC BM BA BC =， ∴6106BM =， ∴BM ＝185， ∴AM ＝AB ﹣BM ＝10﹣183255=，∴321651895AM BM ==； （3）①如图③中，由折叠的性质可知，CB ＝CB ′＝6，∠BCM ＝∠ACM ，∵∠ACB ＝2∠A ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ，∴BC BM CM AB BC AC == ∴696BM =， ∴BM ＝4，∴AM ＝CM ＝5，∴659AC=， ∴AC ＝152． ②如图③﹣1中，∵∠A ＝∠A ′＝∠MCF ，∠PFA ′＝∠MFC ，PA ＝PA ′，∴△PFA ′∽△MFC ，∴PF PA FM CM'=， ∵CM ＝5，∴5PF PA FM '=， ∵点P 在线段OB 上运动，OA ＝OC ＝154，AB ′＝152﹣6＝32， ∴32≤PA ′≤154， ∴310≤PF FM ≤34． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．4．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形ABCD 中，若180A C ∠+∠=︒或180B D ∠+∠=︒，则四边形ABCD 是“对补四边形”．（概念理解）（1）如图1，四边形ABCD 是“对补四边形”．①若::3:2:1A B C ∠∠∠=，则D ∠=________；②若90B ∠=︒．且3,2AB AD ==时．则22CD CB -=_______；（拓展提升）（2）如图，四边形ABCD 是“对补四边形”，当AB CB =，且12EBF ABC ∠=∠时，图中,,AB CF EF 之间的数量关系是 ，并证明这种关系； （类比应用）（3）如图3，在四边形ABCD 中，,AB CB BD =平分ADC ∠；①求证：四边形ABCD 是“对补四边形”；②如图4，连接AC ，当90ABC ∠=︒，且12ACDABC S S =时，求tan ACD ∠的值． 解析：（1）①90︒，②5；（2）AE CF EF +=，理由见解析；（3）①见解析，②23【分析】（1）①根据“对补四边形”的定义，结合::3:2:1A B C ∠∠∠=，即可求得答案； ②根据“对补四边形”的定义，由90B ∠=︒，得D ∠90=︒，再利用勾股定理即可求得答案；（2）延长EA 至点K ，使得AK CF =，连接BK ，根据“对补四边形”的定义，可证明ABK CBF △≌△，继而证明BEK BEF △≌△，从而可得结论； （3）①过点B 作BM AD ⊥于点M ，BN AC ⊥于点N ，则90BMA BNC ∠=∠=︒,可证Rt ABM Rt CBN △≌△，进而可证四边形ABCD 是“对补四边形”； ②设,AD a DC b ==，则tan a ACD b ∠=根据222AC a b =+，再运用12ACD ABC S S =建立方程，解方程即可求得tan ACD ∠．【详解】（1）::3:2:1A B C ∠∠∠=，设3,2,A x B x C x ∠=∠=∠=，根据“对补四边形”的定义，180A C ∠+∠=︒，即3180x x +=︒，解得45x =︒，290B x ∴∠==︒，180B D ∠+∠=︒，90D ∴∠=︒．故答案为：90︒．②如图1，连接AC ，90B ∠=︒，180B D ∠+∠=︒，90D ∴∠=︒，在Rt ABC 中22BC AC AB =-，在Rt ADC 中222CD AC AD =-，22222222()CD CB AC AD AC AB AB AD ∴-=---=-， 3,2AB AD ==，2222325CD CB ∴-=-=，故答案为：5．（2）AE CF EF +=，理由如下：如图2，延长EA 至点K ,使得AK CF =，连接BK ，四边形ABCD 是“对补四边形”， ∴180BAD C ∠+∠=︒， 180BAK BAD ∠+∠=︒，∴BAK C ∠=∠，,AK CF AB CB ==， ∴()ABK CBF SAS △≌△， ∴,ABK CBF BK BF ∠=∠=， ∴ABK ABF CBF ABF ∠+∠=∠+∠， 即KBF ABC ∠=∠， 12EBF ABC ∠=∠， ∴12EBF KBF ∠=∠， ∴EBK EBF ∠=∠， ,BK BF BE BE ==，∴()BEK BEF SAS △≌△, ∴EK EF =，∴AE CF AE AK EK EF +=+==， 即AE CF EF +=，故答案为：AE CF EF +=． （3）①证明：如图3，过点B 作BM AD ⊥于点M ，BN AC ⊥于点N ，则90BMA BNC ∠=∠=︒， BD 平分ADC ∠， BM BN ∴=，AB CB =，()Rt ABM Rt CBN HL ∴△≌△，BAM C ∴∠=∠， 180BAM BAD ∠+∠=︒，180C BAD ∴∠+∠=︒，BAD ∴∠与C ∠互补，∴四边形ABCD 是“对补四边形”；②由①可知四边形ABCD 是“对补四边形”， 180ABC ADC ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒，90ADC ∴∠=︒，设AD a DC b ==，，则22222AC AD CD a b =+=+， AB BC =，2222211()22AB BC AC a b ∴===+， 1122ACD S AD CD ab ∴=⋅=△， 222111()224ABC S AB BC AB a b =⋅==+△，12ACD ABCS S=， 22112=12()4ab a b ∴+，整理得：2()410a ab b-⨯+=，解得：2ab= 在Rt ABC 中，tan a ACD b∠=，∴tan ACD∠=2．【点睛】本题考查了勾股定理，四边形内角和定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，三角函数的定义等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质，准确理解新定义是解题的关键． 5．情境观察：将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D ，如图1所示.将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是▲，∠CAC′= ▲ °．问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.解析：情境观察：AD（或A′D），90问题探究：EP=FQ. 证明见解析结论： HE=HF. 证明见解析【详解】情境观察AD（或A′D），90问题探究结论：EP=FQ.证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.同理AG=FQ. ∴EP=FQ拓展延伸结论： HE=HF.理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，同理△ACG∽△FAQ，∵AB= k AE，AC= kAF，∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF6．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A 顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．解析：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由见解析；（3）10417或12﹣372．【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．【详解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′， ∴EB=ED′，设EB=ED′=x ， 由勾股定理得：42+（3+x ）2=（4+x ）2， 解得：x=4.5， 过点D ′作D′F ⊥CE 于F ， ∴D′F ∥AC ， ∴△ED′F ∽△EAC ， ∴D F ED AC AE ''=， 即4.544 4.5D F '=+， 解得：D′F=3617， ∴S △ACE =12AC×EC=12×4×（3+4.5）=15；S △BED′=12BE×D′F=12×4.5×3617=8117， 则S 四边形ACBD′=S △ACE ﹣S △BED′=15﹣8117=10417； （ii ）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E ⊥AC 于点E ， 如图3（ii ）所示，∴四边形ECBD′是矩形， ∴ED′=BC=3，在Rt △AED′中，根据勾股定理得：7， ∴S △AED′=12AE×ED′=12737S 矩形ECBD′=CE×CB=（47）×3=12﹣7， 则S 四边形ACBD′=S △AED′+S 矩形ECBD′37+12﹣737【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题．7．如图所示，在△ABC 中，AB BC =，D 、E 分别是边AB 、BC 上的动点，且BD BE =，连结AD 、AE ，点M 、N 、P 分别是CD 、AE 、AC 的中点，设B α∠=．（1）观察猜想 ①在求MNCE的值时，小明运用从特殊到一般的方法，先令60α=︒，解题思路如下： 如图1，先由,AB BC BD BE ==，得到CE AD =，再由中位线的性质得到PM PN =，60NPM ∠=︒，进而得出△PMN 为等边三角形，∴12MN NP CE CE ==． ②如图2，当90α=︒，仿照小明的思路求MNCE的值； （2）探究证明 如图3，试猜想MNCE的值是否与()0180αα︒<<︒的度数有关，若有关，请用含α的式子表示出MNCE，若无关，请说明理由； （3）拓展应用如图4，2,36AC B =∠=︒，点D 、E 分别是射线AB 、CB 上的动点，且AD CE =，点M 、N 、P 分别是线段CD 、AE 、AC 的中点，当1BD =时，请直接写出MN 的长． 解析：（1）②2MN CE =2）MN CE 的值与α的度数有关，sin 2MN CE α=；（3）MN 的长55-35+ 【分析】（1）②先根据线段的和差求出AD CE =，再根据中位线定理、平行线的性质得出,45PM PN APN CPM =∠=∠=︒，从而可得出90NPM ∠=︒，然后根据等腰直角三角形的性质即可得；（2）参照题（1）的方法，得出PMN 为等腰三角形和NPM ∠的度数，再利用等腰三角形的性质即可求出答案；（3）分两种情况：当点D 、E 分别是边AB 、CB 上的动点时和当点D 、E 分别是边AB 、CB 的延长线上的动点时，如图（见解析），先利用等腰三角形的性质与判定得出,ABC BCE CAB AFC ∠=∠∠=∠，再根据相似三角形的判定与性质得出BC 、CE 的长，由根据等腰三角形的三线合一性得出1,182BP AC CBP ABC ⊥∠=∠=︒，从而可得sin18︒的值，最后分别利用（2）的结论即可得MN 的长． 【详解】 （1）②,AB BC BD BE ==∴AD CE = ,90AB BC B =∠=︒∴ABC 为等腰直角三角形，45ACB CAB ∠=∠=︒∵点M 、N 、P 分别是CD 、AE 、AC 的中点 11//,,//,22PN CE PN CE PM AD PM AD ∴==,45,45PM PN APN ACB CPM CAB ∴=∠=∠=︒∠=∠=︒∴18090NPM APN CPM ∠=︒-∠-∠=︒ ∴PMN 为等腰直角三角形，∴222MN PN CE == 即22MN CE =； （2）MNCE的值与α的度数有关，求解过程如下： 由（1）可知，PM PN =，即PMN 为等腰三角形180180NPM APN CPM ACB CAB B α∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=∠=如图5，作PH MN ⊥ 则11,222NH MN NPH NPM α=∠=∠= 在Rt NPH 中，sin NHNPH PN∠=，即12sin 122MN CE α=则sin 2MN CE α=；（3）依题意，分以下两种情况： ①当点D 、E 分别是边AB 、CB 上的动点时如图6，作ACB ∠的角平分线交AB 边于点F ，并连结BP2,36,AC ABC AB AC =∠=︒=72ACB CAB ∴∠=∠=︒136,722ACE BCE ACB AFC ABC BCE ∴∠=∠=∠=︒∠=∠+∠=︒,ABC BCE CAB AFC ∴∠=∠∠=∠2BF CF AC ∴===，ACF ABC ~AF ACAC AB∴=，即2AC AF AB =⋅ 设==AB BC x ，则2AF AB BF x =-=- 22(2)x x ∴=-解得15x 或15x =-（不符题意，舍去）即15BC =+1515CE BC BE BC BD ∴=-=-=+-=由（2）可知，36sin sin182MN CE ︒==︒ sin185sin18MN CE ∴=⋅︒=︒点P 是AC 上的中点1,182BP AC CBP ABC ∴⊥∠=∠=︒，112CP AC ==（等腰三角形的三线合一）在Rt CBP 中，sin CP CBP BC ∠=，即151sin18415-︒==+51555sin18544MN --∴=︒=⨯=②如图7，当点D 、E 分别是边AB 、CB 的延长线上的动点时 同理可得：15BC =+15125CE BC BE BC BD ∴=+=+=++=+5135sin18(25)44MN CE -+∴=⋅︒=+⨯=综上，MN 的长为554-或354+．【点睛】本题考查了中位线定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分两种情况，并结合题（2）的结论是解题关键．8．()1问题发现如图①，正方形,ABCD DEFG 、将正方形DEFG 绕点D 旋转，直线AE CG 、交于点,P 请直接写出线段AE 与CG 的数量关系是 ，位置关系是 _；()2拓展探究如图②，矩形,2,2,ABCD DEFG AD DE AB DG ==、将矩形DEFG 绕点D 旋转，直线,AE CG 交于点,P ()1中线段关系还成立吗/若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AE CG 、的数量关系和位置关系，并说明理由；()3解决问题在()2的条件下，24,28,AD DE AB DG ====矩形DEFG 绕D 点旋转过程中，请直接写出当点P 与点G 重合时，线段AE 的长，解析：()1,AE CG AE CG =⊥；()()21中数量关系不成立，位置关系成立．1,2AE AE CG CG =⊥，理由见解析；()32565【分析】（1）证明△ADE ≌△CDG （SAS ），可得AE ＝CG ，∠DAG ＝∠DCG ，再由直角三角形两个锐角互余即可证得AE ⊥CG ；（2）先证明△ADE ∽△CDG ，利用相似三角形的性质证明即可．（3）先通过作图找到符合题意的两种情况，第一种情况利用勾股定理求解即可；第二种情况借助相似三角形及勾股定理计算即可． 【详解】（1）,AE CG AE CG =⊥；理由如下：由题意知在正方形ABCD DEFG 、中，90EDG ADC ∠=∠=︒，,AD DC DE DG ==， EDG GDA ADC GDA ∴∠+∠=∠+∠EDA GDC ∴∠=∠在△ADE 与△CDG 中，AD DC ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CDG （SAS ） ∴AE CG =，DEA DGC ∠=∠ ∵对顶角相等，∴,DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠ 90.GPE ∴∠=AE CG ∴⊥．（2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立．即：1,2AE AE CG CG =⊥ 理由如下：由题意知在矩形ABCD DEFG 、中，90EDG ADC ∠=∠=︒，EDG GDA ADC GDA ∴∠+∠=∠+∠EDA GDC ∴∠=∠2,2AD DE AB DG ==，2AD DC .EDAGDC ∴ 12AE CG ∴=，DEA DGC ∠=∠ ∵对顶角相等∴,DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠90.GPE ∴∠=AE CG ∴⊥．综上所述：1,2AE AE CG CG =⊥ （3）如图1，当点G 、P 在点A 处重合时，连接AE ，则此时∠ADE ＝∠GDE ＝90°∴在Rt △ADE 中，AE ＝22224225AD DE +=+= ，如图1，当点G 、P 重合时， 则点A 、E 、G 在同一直线上，∵AD ＝DG ＝4，∴∠DAG ＝∠DGA ，∵∠ADC ＝∠AGP ＝90°，∠AOD ＝∠COG ，∴∠DAG ＝∠COG ，∴∠DGA ＝∠COG ，又∵∠GDO ＝∠CDG ，∴△GDO ∽△CDG ，∴DO DG OG DG DC CG==48CG ∴DO ＝2，CG ＝2OG ，∴OC ＝DC －DO ＝8－2＝6，∵在Rt △COG 中，OG 2＋GC 2＝OC 2，∴OG 2＋（2OG ）2＝62，∴OG ＝655（舍负）， ∴CG ＝1255， 由（2）得：12AE CG = ∴AE ＝655， 综上所述，AE 的长为25或655． 【点睛】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键．9．[问题解决]（1）如图1．在平行四边形纸片ABCD （AD ＞AB ）中，将纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在AD 上的点B '处，折线AE 交BC 于点E ，连接B 'E ．求证：四边形ABEB '是菱形．[规律探索]（2）如图2，在平行四边形纸片ABCD （AD ＞AB ）中，将纸片沿过点P 的直线折叠，点B 恰好落在AD 上的点Q 处，点A 落在点A ′处，得到折痕FP ，那么△PFQ 是等腰三角形吗？请说明理由．[拓展应用]（3）如图3，在矩形纸片ABCD （AD ＞AB ）中，将纸片沿过点P 的直线折叠，得到折痕FP ，点B 落在纸片ABCD 内部点B '处，点A 落在纸片ABCD 外部点A '处，A B ''与AD 交于点M ，且A 'M ＝B 'M ．已知：AB ＝4，AF ＝2，求BP 的长．解析：（1）证明见解析；（2）是，理由见解析；（3）422．【分析】（1）由平行线的性质和翻折可推出CEB ABE '∠=∠，即//AB B E '．故四边形ABEB '是平行四边形，再由翻折可知AB AB '=，即证明平行四边形ABEB '是菱形．（2）由翻折和平行线的性质可知BPF QPF ∠=∠，BPF QFP ∠=∠，即得出QPF QFP ∠=∠，即PFQ △是等腰三角形．（3）延长PB '交AD 于点G ，根据题意易证()FA M GB M ASA ''≅，得出结论2A F B G AF ''===，FM GM =．根据（2）同理可知PFG △为等腰三角形，即FG =PG ．再在Rt A FM '中，FM =2PG FG FM ===2PB PB PG B G ''==-=．【详解】（1）由平行四边形的性质可知//AD BC ，∴AB E CEB ''∠=∠，由翻折可知AB E ABE '∠=∠，∴CEB ABE '∠=∠，∴//AB B E '．∴四边形ABEB '是平行四边形．再由翻折可知AB AB '=，∴四边形ABEB '是菱形．（2）由翻折可知BPF QPF ∠=∠，∵//AD BC ，∴BPF QFP ∠=∠，∴QPF QFP ∠=∠，∴QF =QP ，∴PFQ △是等腰三角形．（3）如图，延长PB '交AD 于点G ，根据题意可知90FA M GB M ''∠=∠=︒，在FA M '和GB M '中，90FA M GB M A M B M FMA GMB ''''∠=∠''=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()FA M GB M ASA ''≅，∴2A F B G AF ''===，FM GM =．根据（2）同理可知PFG △为等腰三角形．∴FG =PG ．∵2A F AM '==，∴在Rt A FM '中，FM =∴2FG FM ==∴PG =∴2PB PB PG B G ''==-=．【点睛】本题为矩形的折叠问题．考查矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性强．掌握折叠的性质和正确的连接辅助线是解答本题的关键．10．（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整：如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150°，求证：AP2+BP2=CP2证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP’B，连接PP’，则△APP’为等边三角形∴∠APP’=60° ，PA=PP’ ，PC=∵∠APB=150°，∴∠BPP’=90°∴P’P2+BP2= ，即PA2+PB2=PC2（2）类比延伸：如图②在等腰△ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明．（3）联想拓展：如图③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60°，满足（kPA）2+PB2=PC2（其中k＞0），请直接写出k的值．解析：（1）P’B，P’B2；（2）2PA2+PB2=PC2，见解析；（3）3【分析】（1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可．（2）将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，论证PP′=2PA，再根据勾股定理代换即可．（3）将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，论证3，再根据勾股定理代换即可．【详解】（1）PC=P’B，P’P2+BP2=P’B2（2）关系式为：2PA2+PB2=PC2证明：将△APC 绕A 点逆时针旋转90°，得到△AP’B ，连接PP’，则△APP’为等腰直角三角形，∴∠APP’=45°，PP’=2PA ，P C=P’B ，∵∠APB=135°，∴∠BPP’=90°，∴P’P 2+BP 2=P’B 2，∴2PA 2+PB 2=PC 2．（3）k=3将△APC 绕点A 顺时针旋转120°得到△AP’B ，连接PP’，过点A 作AH ⊥PP’，可得303,APP PP PA PC P B '︒''∠===60APB ︒∠=90BPP '︒∴∠=222P P BP P B ''∴+=222(3)PA PB PC ∴+=222()kPA PB PC +=3k ∴=【点睛】本题考查了旋转三角形的问题，掌握旋转的性质、勾股定理是解题的关键．11．如图1，在等腰三角形ABC 中，120,,A AB AC ∠==点D E 、分别在边AB AC 、上，,AD AE =连接,BE 点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点．（1）观察猜想图1中，线段NM NP 、的数量关系是____，MNP ∠的大小为_____；（2）探究证明把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接,MP BD CE 、、判断MNP △的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若1,3AD AB ==，请求出MNP △面积的最大值． 解析：（1）相等，60；（2）MNP △是等边三角形，理由见解析；（3）MNP △面积的3【分析】（1）根据＂120,,A AB AC ∠==,AD AE =点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点＂，可得MN //BD ，NP //CE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出MNP ∠．（2）先求出ABD ACE △≌△，得出ABD ACE ∠=∠，根据MN //BD ，NP //CE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN ，再等量代换求出MNP ∠，即可求解．（3）根据BD AB AD ≤+，可知BD 最大值，继而求出MNP △面积的最大值．【详解】()1由题意知：AB=AC ，AD=AE ，且点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点， ∴BD=CE ，MN //BD ，NP //CE ，MN=12BD ，NP=12EC∴MN=NP又∵MN //BD ，NP //CE ，∠A=120︒，AB=AC ，∴∠MNE=∠DBE ，∠NPB=∠C ，∠ABC=∠C=30根据三角形外角和定理，得∠ENP=∠NBP+∠NPB∵∠MNP=∠MNE+∠ENP ，∠ENP=∠NBP+∠NPB ，∠NPB=∠C ，∠MNE=∠DBE ，∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C=∠ABC+∠C =60． ()2MNP 是等边三角形．理由如下：如图，由旋转可得BAD CAE ∠=∠ 在ABD 和ACE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD ACE SAS ∴≌BD CE ABD ACE ，=∠=∠∴．点M N 、分别为DE BE 、的中点，MN ∴是EBD △的中位线，12MN BD ∴=且//MN BD 同理可证12PN CE =且//PN CE ,MN PN MNE DBE NPB ECB ，∴=∠=∠∠=∠MNE DBE ABD ABE ACE ABE ∠=∠=∠+∠=∠+∠ENP EBP NPB EBP ECB ∠=∠+∠=∠+∠MNP MNE ENP ACE ABE EBP ECB ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠60ABC ACB =∠+∠=︒．在MNP △中∵∠MNP=60︒，MN=PNMNP ∴是等边三角形．()3根据题意得:BD AB AD ≤+即4BD ≤，从而2MN ≤MNP △的面积212MN ==． ∴MNP △【点睛】本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识是解题的关键．12．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 上一动点，设DE ＝nEA ，连接CE 并延长，交AB 于点F ．（1）尝试探究：如图1，当∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，DE ＝EA 时，BF ，BA 之间的数量关系是 ；（2）类比延伸：如图2，当△ABC 为锐角三角形，DE ＝EA 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移：如图3，当△ABC 为锐角三角形，DE ＝nEA 时，请直接写出BF ，BA 之间的数量关系．解析：（1）23BF AB =；（2）仍然成立，见解析；（3）221BF n AB n =+ 【分析】 （1）尝试探究：过点D 作DMCF ，交AB 于M ，可证BDM BCF ∽, ，AFE AMD ∽ ，可得11,22BD BM AE AF BC BF AD AM ==== ，可证BM MF AF ＝＝， 可得BF ，BA 之间的数量关系； （2）类比延伸：过点D 作DMCF ，交AB 于M ，可证BDM BCF ∽，AFE AMD ∽，可得11,22BD BM AE AF BC BF AD AM ====，可证BM MF AF ＝＝，可得BF BA ，之间的数量关系； （3）拓展迁移：过点D 作DMCF ，交AB 于M ，由平行线分线段成比例可得BM MF FM nAF ＝，＝，可得22AB nAF AF BF nAF +＝，＝，即可求BF BA ，之间的数量关系．【详解】解：（1）尝试探究如图，过点D 作DM CF ，交AB 于M∵AD 是中线，AE DE ＝∴1122BD CD BC AE AD ＝＝，＝ ∵DM CF ，∴BDM BCF ∽，AFE AMD ∽ ∴11,22BD BM AE AF BC BF AD AM ==== ∴22BF BM AM AF ＝，＝∴BM MF AF FM ＝，＝∴BM MF AF ＝＝∴23BF AB =（2）类比延伸：结论仍然成立，理由如下：如图，过点D 作DM CF ，交AB 于M∵AD 是中线,AE DE ＝ ∴1122BD CD BC AE AD ＝＝，＝ ∵DM CF ，∴BDM BCF ∽，AFE AMD ∽ ∴11,22BD BM AE AF BC BF AD AM ==== ∴22BF BM AM AF ＝，＝∴BM MF AF FM ＝，＝∴BM MF AF ＝＝∴23BF AB = （3）拓展迁移 如图，过点D 作DMCF ，交AB 于M∵DM FC ，且BD CD ＝∴1BD BM DC FM== ∴BM MF ＝∵DM CF DE nEA ，＝∴1AE AF DE FM n== ∴FM nAF ＝∴BM MF nAF ＝＝∴2AB nAF AF +＝ 2BF nAF ＝ ∴221BF n AB n =+ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质综合，根据题干条件作出辅助线并得到对应的相似三角形是解决本题的关键.13．在Rt ABC 中，9072ACB AB AC ∠=︒==，，，过点B 作直线m AC ∥，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到A B C '''（点A B ，的对应点分别为A B ''，）．（1）问题发现如图1，若P 与A 重合时，则ACA '∠的度数为____________；（2）类比探究：如图2，设AB 与BC 的交点为M ，当M 为A B ''的中点时，求线段PQ 的长；（3）拓展延伸在旋转过程中，当点P Q ，分别在CA CB ''，的延长线上时，试探究四边形PA B O ''的面积是否存在最小值．若存在，直接写出四边形PA B O ''的最小面积；若不存在，请说明理由．解析：（1）60︒；（2）72；（3）33 【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到3∠A'BC=90°，可得3cos BC A CB A C ''∠==，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°； （2）根据M 为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM ，进而得到332PB ==，依据tan ∠Q=tan ∠33，进而得出PQ=PB+BQ=72； （3）依据S 四边形PA'B′Q =S △PCQ -S △A'CB '=S △PCQ 3S 四边形PA'B′Q 最小，即S △PCQ 最小，而S △PCQ =123，利用几何法或代数法即可得到S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA'B′Q =3-3 【详解】解：（1）由旋转可得：2AC A C ''==，90,7,2ACB AB AC ∠=︒==，3BC ∴90ACB ∠=︒，m AC ∥，90A BC '∴∠=︒，cos BC A CB A C '∴∠==' 30A CB '∴∠=︒，60ACA ∴'∠=︒．（2）M 为A B ''的中点，A CM MA C ''∴∠=∠,山旋转可得，MA C A '∠=∠，A A CM '∴∠=∠，tan tan PCB A ∴∠-∠32PB ∴==，tan tan BQC PCB ∠=∠=2BQ BC ∴===， 72PQ PB BQ ∴=+=；（3）S 四边形PA B Q PCQ A CB PCQ S S S ''''==-△△△S ∴四边形PA B Q ''最小即PCQ S 最小，12PCQ S PQ BC ∴=⨯⨯=△， 取PQ 的中点C ，90PQC ∠=︒，12CC PQ '∴=，即2PQ CC '=， 当CG 最小时，PQ 最小，CG PQ ∴⊥，即CG 与CB 正合时,CG 最小，min CG ∴=min PQ =，PCQ S ∴△的最小值3=， S 四边形PA B Q ''=3【点睛】此题考查四边形综合题，旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题关键在于掌握旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．14．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转()0180a a ︒<<︒得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，连接B C ''．当180a β+=︒时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=︒，8BC =时，则AD 长为________． 猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=︒，120A B ∠+∠=︒，123BC =6CD =，63DA =P ，使PDC △与PAB △之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由．解析：（1）①12；②4，（2）12AD BC =；理由见解析，（3）存在；313【分析】（1）①首先证明ADB '∆是含有30的直角三角形，可得1122AD AB BC '==，即可解决问题；②首先证明BAC B AC ''∆∆≌，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题． （2）AD 与BC 的数量关系为12AD BC =，如图5，延长AD 到M ，使AD DM =，连接B M '、C M '，先证四边形AC MB ''是平行四边形，再证明BAC AB M '∆∆≌，即可解决问题．（3）存在，如图6，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，做直线BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作PDC ∆的中线PQ ，连接DF 交PC 于O ，先证明PA PD =，PB PC =，再证明+180APD BPC ∠∠=︒，即可得出结论，再在Rt PDQ ∆中，根据勾股定理，即可求出PQ 的长．【详解】（1）①如图2，∵ABC ∆是等边三角形，把AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，∴===AB AC BC AB AC ''=，又∵AD 是AB C ''△边B C ''上的中线，∴=DB DC ''，∴AD B C ''⊥，即90ADB '∠=︒，∵60BAC ∠=︒，180BAC B AC ''∠+∠=︒，∴120B AC ''∠=︒，∴=30B C ''∠∠=︒，∴在ADB '∆中，90ADB '∠=︒，30B '∠=︒， ∴1122AD AB BC '==．故答案为：12． ②如图3，∵90BAC ∠=︒，+=180BAC B AC ''∠∠︒，∴==90BAC B AC ''∠∠︒，即ABC ∆和AB C ''∆为直角三角形，∵把AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '， ∴=AB AB '，=AC AC '，∴在ABC ∆和AB C ''∆中，===AB AB BAC B AC AC AC '''∠'⎧⎪∠⎨⎪⎩∴BAC B AC ''∆∆≌，∴=BC B C ''，∵AD 是AB C ''△边B C ''上的中线，AB C ''∆为直角三角形，∴1122AD B B C C ''==， 又∵8BC =， ∴11=8=422AD BC =⨯． 故答案为：4． （2）12AD BC =， 如图5，延长AD 到M ，使AD DM =，连接B M '、C M '，图5∵=B D DC ''，AD DM =，∴四边形AC MB ''是平行四边形，∴AC B M AC ''==，∵+=180BAC B AC ''∠∠︒，+=180B AC AB M '''∠∠︒，∴=BAC AB M '∠∠，∵=AB AB '，∴在BAC ∆和AB M '∆中，==AC B M BAC AB M AB AB ''=⎧'⎪∠∠⎨⎪⎩∴BAC AB M '∆∆≌，∴BC AM =， ∴12AD BC =． （3）存在，如图6，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，作直线BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作PDC ∆的中线PQ ，连接DF 交PC 于O ，图6∵+=120A B ∠∠︒，∴=180=60M A B ∠︒-∠-∠︒， ∵=90C ∠︒，∴=180=30MDC M MCD ∠︒-∠-∠︒，在Rt DCM ∆中，∵=6CD ，=90DCM ∠︒，=30MDC ∠︒， ∴3CM =43DM =60M ∠︒， 在Rt BEM ∆中，∵=90BEM ∠︒，143BM BC CM =+==30MDC ∠︒，∴1732EM BM ==， ∴33DE EM DM =-= ∵=63AD ∴=AE DE ，∵BE AD ⊥，∴PA PD =，PB PC =，在Rt CDF ∆中，∵=6CD ，=63CF∴tan 3CDF ∠=∴60CDF CPF =︒=∠∠，∴FCP CFD ∆∆≌，∴CD PF =，∵//CD PF ，∴四边形CDPF 是矩形，∴=90CDP ∠︒，∴=60ADP ADC CDP ∠∠-∠=︒，∴ADP ∆是等边三角形，∴==63PA PD AD =∵=60BPF CPF ∠∠=︒，∴120BPC ∠=︒，∴+180APD BPC ∠∠=︒，∴PDC ∆与PAB ∆之间满足小明探究的问题中的边角关系，在Rt PDQ ∆中，∵=90PDQ ∠︒，63PD PA AD ===，132DQ CD ==， ∴()2222=363313PQ DQ DP +=+=．【点睛】 本题考查了三角形的综合问题．掌握全等三角形的性质以及判定定理、直角三角形斜边中线定理、解直角三角形、勾股定理、中线的性质是解题的关键．在处理三角形的边旋转问题时，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系．在证明某点是否存在问题时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性．15．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：（问题）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a （x ﹣2）2﹣经过原点O ，与x 轴的另一个交点为A ，则a= ．（操作）将图①中抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G ，如图②．直接写出图象G 对应的函数解析式． （探究）在图②中，过点B （0，1）作直线l 平行于x 轴，与图象G 的交点从左至右依次为点C ，D ，E ，F ，如图③．求图象G 在直线l 上方的部分对应的函数y 随x 增大而增大时x 的取值范围．（应用）P 是图③中图象G 上一点，其横坐标为m ，连接PD ，PE ．直接写出△PDE 的面积不小于1时m 的取值范围． 解析：【问题】：a=；【操作】：y=；【探究】：当1＜x ＜2或x ＞2+时，函数y 随x 增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+． 【详解】 试题分析：【问题】：把（0，0）代入可求得a 的值；【操作】：先写出沿x 轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF 的坐标，根据图。

中考数学总复习《几何压轴题》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《几何压轴题》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《几何压轴题》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________专题02三角形之直角、等腰问题 题型训练训练题01【2023·内蒙古·中考真题】如图，在Rt ABC △中90,3,1ACB AC BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒，得到AB C ''△．连接BB '，交AC 于点D ，则AD DC 的值为 ．训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC ，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80米，点A 处俯角为60︒，楼顶C 点处的俯角为30︒，已知点A 与大楼的距离AB 为70米（点A ，B ，C ，P 在同一平面内），求大楼的高度BC （结果保留根号）训练题03【2023·广东·中考真题】2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂10m AC BC ==，两臂夹角100ACB ∠=︒时，求A ，B 两点间的距离．(结果精确到0.1m ，参考数据sin500.766︒≈ cos500.643︒≈ tan50 1.192︒≈)训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD 的中点A 处竖直上升30米到达B 处，测得博雅楼顶部E 的俯角为45︒，尚美楼顶部F 的俯角为30︒，已知博雅楼高度CE 为15米，则尚美楼高度DF 为 米．（结果保留根号）训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】如图1，嘉淇在量角器的圆心O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M ．(1)在图1中，过点A 画出水平线，并标记观测M 的仰角α．若铅垂线在量角器上的读数为53︒，求α的值；(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地1.5米，站在B 处观测M 的仰角为（1）中的α，向前走1.25米到达D 处，此时观测点M 的仰角为45︒，求树MN 的高度．（注：3tan 374︒≈ 3sin 375︒≈ 4cos375≈︒） 训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】如图 在等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF == DG EF ⊥于点G 点M N 分别是DE DG 上的动点 且DN EM = 则FM FN +的最小值为 ．训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】如图 直线y ＝x ﹣3分别交x 轴 y 轴于B A 两点 点C （0 1）在y 轴上 点P 在x 轴上运动 则2PC ＋PB 的最小值为 ．训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】如图 腰长为22+2的等腰ABC 中 顶角∠A ＝45° D 为腰AB 上的一个动点将ACD 沿CD 折叠 点A 落在点E 处 当CE 与ABC 的某一条腰垂直时 BD 的长为 ．训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】如图 ABC 和AGF 是等腰直角三角形 90BAC G ∠=∠=︒ AGF 的边AF AG 交边BC 于点D E ．若4=AD 3AE = 则BEDC 的值是 ．训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】如图在直角△BAD中延长斜边BD到点C 使得BD=2DC 连接AC 如果则的值是（）A．B．C．D．答案&解析5 tanB3=tan CAD∠3 3351315训练题01【2023·内蒙古·中考真题】【答案】5【简证】因为tan 311tan 4522ABC CD ABD α∠=⎧⇒=⇒=⎨∠=︒⎩ 故5AD DC =【常规法】解：过点D 作DF AB ⊥于点F∵90ACB ∠=︒ 3AC = 1BC =∴223110AB =+=∵将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AB C ''△∴==10AB AB ' 90BAB '∠=︒∴ABB '是等腰直角三角形∴45ABB '∠=︒又∵DF AB ⊥∴45FDB ∠=︒∴DFB △是等腰直角三角形∴DF BF =∵1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ 即=10AD DF ∵ 90C AFD ∠=∠=︒ CAB FAD ∠=∠∴AFDACB ∴DF AF BC AC= 即3AF DF = 又∵=10AF DF -45°α∴10=4 DF∴105=10=42AD⨯51=3=22CD-∴52==512ADCD故答案为：5．训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】【答案】大楼的高度BC 为303m ．【分析】如图 过P 作PH AB ⊥于H 过C 作CQ PH ⊥于Q 而CB AB ⊥ 则四边形CQHB 是矩形 可得QH BC = BH CQ = 求解3sin 60804032PH AP =︒=⨯= cos6040AH AP =︒= 可得704030CQ BH ==-= tan 30103PQ CQ =︒= 可得403103303BC QH ==-=．【详解】解：如图 过P 作PH AB ⊥于H 过C 作CQ PH ⊥于Q 而CB AB ⊥则四边形CQHB 是矩形 ∴QH BC = BH CQ =由题意可得：80AP = 60PAH ∠=︒ 30PCQ ∠=︒ 70AB = ∴3sin 60804032PH AP =︒=⨯= cos6040AH AP =︒= ∴704030CQ BH ==-= ∴tan 30103PQ CQ =︒=∴403103303BC QH ==-= ∴大楼的高度BC 为303m ．训练题03【2023·广东·中考真题】【答案】15.3m【分析】连接AB 作作CD AB ⊥于D 由等腰三角形“三线合一”性质可知2AB AD = 1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中利用sin AD ACD AC∠=求出AD 继而求出AB 即可．【详解】解：连接AB 作CD AB ⊥于D∵AC BC = CD AB ⊥∴CD 是边AB 边上的中线 也是ACB ∠的角平分线∴2AB AD = 1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中 10m AC = 50ACD ∠=︒ sin AD ACD AC ∠= ∴sin 5010AD ︒= ∴10sin50100.7667.66AD =︒≈⨯=∴()227.6615.3215.3m AB AD =≈⨯=≈答：A B 两点间的距离为15.3m ．训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】【答案】3053-/5330-+【分析】过点E 作EM AB ⊥于点M 过点F 作FN AB ⊥于点N 首先证明出四边形ECAM 是矩形 得到15AM CE == 然后根据等腰直角三角形的性质得到15AC EM BM === 进而得到15==AD AC 然后利用30︒角直角三角形的性质和勾股定理求出53BN = 即可求解．【详解】如图所示 过点E 作EM AB ⊥于点M 过点F 作FN AB ⊥于点N由题意可得 四边形ECAM 是矩形 ∴15AM CE == ∵30AB = ∴15BM AB AM =-= ∵博雅楼顶部E 的俯角为45︒ ∴45EBM ∠=︒ ∴45BEM ∠=︒ ∴15AC EM BM ===∵点A 是CD 的中点 ∴15==AD AC 由题意可得四边形AMFN 是矩形 ∴15NF AD == ∵尚美楼顶部F 的俯角为30︒ ∴60NBF ∠=︒ ∴30BFN ∠=︒ ∴2BF BN =∴在Rt BNF △中 222BNNF BF += ∴()222152BN BN +=∴解得53BN =∴3053FD AN AB BN ==-=-．故答案为：3053-．训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】【答案】(1)37︒(2)树MN 的高度为5.25米【分析】(1)根据互余的性质计算即可．(2) 过点A 作AP MN ⊥ 垂足为P 则 1.5PN AB ==米．设MN x =米．解直角三角形求解即可．【详解】（1）如图1；905337α=︒-︒=︒；（2）如图 过点A 作AP MN ⊥ 垂足为P 则 1.5PN AB ==米．设MN x =米． 在Rt APM △中 4( 1.5)tan 373MP AP x ==-︒（米） 在Rt MCP 中 1.5CP MP x ==-（米） 4( 1.5)( 1.5) 1.253AC AP CP x x ∴=-=---=（米） 解得 5.25x =． 答：树MN 的高度为5.25米．训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】【答案】23【分析】过点E 作AE EF ⊥ 使得2AE DF == 证得AEM FDN ≅ 利用全等三角形的性质证得FN AM = 求FM FN +的最小值即求FM AM +的最小值 此时只有A M F 在一条直线上时 FM AM +的最小 即为AF 的长 在Rt AEF 中利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点E 作AE EF ⊥ 使得2AE DF == 如图所示∵等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF ==∴45DEF ∠=︒ 222222EF =+=∴9045AEM DEF ∠=︒-∠=︒∵等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF == DG EF ⊥∴45FDN ∠=︒∴FDN AEM ∠=∠在AEM △和FDN 中AE DF AEM FDN EM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEM FDN≅()SAS ∴FN AM =∴求FM FN +的最小值即求FM AM +的最小值 此时只有A M F 在一条直线上时 FM AM +的最小 即为AF 的长∴在Rt AEF 中()222222223AF AE EF =+=+=的最小值为23即FM FN故答案为：23训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】【答案】4【分析】过P作PD⊥AB于D依据△AOB是等腰直角三角形可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD进而得到△BDP是等腰直角三角形故PD22=PB当C P D在同一直线上时CD⊥AB PC+PD的最小值等于垂线段CD的长求得CD的长即可得出结论．【详解】如图所示过P作PD⊥AB于D∵直线y＝x﹣3分别交x轴y轴于B A两点令x＝0 则y＝﹣3；令y＝0 则x＝3∴A（0 ﹣3）B（3 0）∴AO＝BO＝3又∵∠AOB＝90°∴△AOB是等腰直角三角形∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD∴△BDP是等腰直角三角形∴PD22=PB∴2PC+PB2=（PC22+PB）2=（PC+PD）当C P D在同一直线上即CD⊥AB时PC+PD的值最小最小值等于垂线段CD 的长此时△ACD是等腰直角三角形又∵点C（0 1）在y轴上∴AC＝1+3＝4∴CD22=AC＝22即PC+PD的最小值为22∴2PC+PB的最小值为222⨯=4 故答案为：4．训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】【答案】2或22【分析】分两种情况：当CE ⊥AB 时 设垂足为M 在Rt △AMC 中 ∠A ＝45° 由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5° 证明△BCM ≌△DCM 得到BM ＝DM 证明△MDE 是等腰直角三角形 即可得解；当CE ⊥AC 时 根据折叠的性质 等腰直角三角形的判定与性质计算即可；【详解】当CE ⊥AB 时 如图设垂足为M 在Rt △AMC 中 ∠A ＝45°由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5°∵等腰△ABC 中 顶角∠A ＝45°∴∠B ＝∠ACB ＝67.5°∴∠BCM ＝22.5°∴∠BCM ＝∠DCM在△BCM 和△DCM 中90BMC DMC CM CM BCM DCM ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BCM ≌△DCM （ASA ）∴BM ＝DM由折叠得：∠E ＝∠A ＝45° AD ＝DE∴△MDE 是等腰直角三角形∴DM ＝EM设DM ＝x 则BM ＝x DE 2=x∴AD 2=x ．∵AB＝22+2∴2x2x＝22+2 解得：x2=∴BD＝2x＝22；当CE⊥AC时如图∴∠ACE＝90°由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°∵等腰△ABC中顶角∠A＝45°∴∠E＝∠A＝45°AD＝DE∴∠ADC＝∠EDC＝90°即点D E都在直线AB上且△ADC△DEC△ACE都是等腰直角三角形∵AB＝AC＝＝22+2∴AD22=AC＝22BD＝AB﹣AD＝（22+2）﹣（22）2=综上BD的长为2或22．故答案为：2或22．训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】【答案】916【分析】利用等腰直角三角形的性质先证明AED BEA ∽ 可得34BE AE AB AD ==,设3BE x = 则4AB x AC ==,再证明ADE CDA △∽△ 可得34AC AE CD AD == 可得163CD x = 从而可得结论． 【详解】解：∵ABC 和AGF 是等腰直角三角形 ∴45,B F FAG AB AC ∠=∠=∠=︒=∵AEB AED ∠=∠∴AED BEA ∽∴AD AE DE AB BE AE ==,而4=AD 3AE = ∴34BE AE AB AD == 设3BE x = 则4AB x AC ==同理可得：ADE CDA △∽△∴AD AE DE CD AC AD == ∴34AC AE CD AD == ∴BE AC AB CD = ∴344x x x CD =,即163CD x = ∴3916163BE x CD x ==.训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】【答案】D【详解】解：如图 延长AD 过点C 作CE ⊥AD 垂足为E∵ 即∴设AD ＝5x 则AB ＝3x∵∠CDE ＝∠BDA ∠CED ＝∠BAD∴△CDE ∽△BDA∴∴CE ＝ DE ＝∴AE ＝ ∴tan ∠CAD ＝．5tanB 3=53AD AB =12CE DE CD AB AD BD ===32x 52x 152x 15CE AE =。

几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)

几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)

12023年中考数学压轴题专项训练1.几何最值问题一、压轴题速练1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为()A.8 B.45 C.10 D.45-2【答案】A【分析】根据∠BEC =90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化即可求解．【详解】解：如图，设点O 为BC 的中点，由题意可知，点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆O 关于AB 的对称图形(半圆O ')，点E 的对称点为E 1，连接O 'E 1,则PE =PE 1，∴当点D 、P 、E 1、O '共线时，PD +PE 的值最小，最小值为DE 1的长，如图所示，在Rt △DCO '中，CD =8，CO '=6，∴DO '=82+62=10，又∵O 'E 1=2，∴DE 1=DO '-O 'E 1=8，即PD +PE 的最小值为8，故选：A ．【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化时解题的关键．2(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB +PD 的最小值为()2A.334B.32C.3D.543【答案】A【分析】作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，可求得∠ABO =30°，从而得出PE =12PB ，进而得出PD +12PB =PD +EP ，进一步得出结果．【详解】解：如图，作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，抛物线的对称轴为直线x =--322×32=12，∴OD =12，当x =0时，y =-3，∴OB =3，当y =0时，32x 2-32x -3=0，∴x 1=-1，x 2=2，∴A (-1,0)，∴OA =1，∵tan ∠ABO =OA OB =13=33，∴∠ABO =30°，∴PE =12PB ，∴12PB +PD =PD +PE ≥DF ，当点P 在P 时，PD +PE 最小，最大值等于DF ，在Rt △ADF 中，∠DAF =90°-∠ABO =60°，AD =OD +PA =12+1=32，∴DF =AD ⋅sin ∠DAE =32×32-334，∴12PB +PD 最小=DF =334，故选：A ．【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造12PB ．3(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()3A.213-2B.45-2C.43-2D.215-2【答案】A【分析】先证明∠AEB =90°，即可得点E 在以AB 为直径的半圆上移动，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，问题随之得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，∴∠ABE +∠EBC =90°，∵∠EAB =∠EBC ，∴∠EAB +∠EBA =90°，∴∠AEB =90°，∴点E 在以AB 为直径的半圆上移动，如图，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，E∵∠G =90°，FG =BG =AB =4，∴OG =6，OA =OB =OE =2，∴OF =FG 2+OG 2=213，∴EF =OF -OE =213-2，故PE +PD 的长度最小值为213-2，故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E 的运动路线是解题的关键．4(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则PB +PD 的最小值为()4 A.154 B.245 C.5 D.203【答案】B【分析】作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，连接AB ，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，△ABC ≅△AB C ，根据S △ABB =S △ABC +S △AB C =2S △ABC ，即可求出PB +PD 的最小值．【详解】解：如下图，作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，连接AB ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =4,BC =3，∴AB =AC 2+BC 2=5，根据对称性的性质，可知：△ABC ≅△AB C ，∴S △ABB =S △ABC +S △ABC =2S △ABC ，即12×AB ⋅B D =2×12BC ⋅AC ，∴5B D =24，∴B D =245，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．5(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示，在△ABC 中，∠ABC =68°，BD 平分∠ABC ，P 为线段BD 上一动点，Q 为 边AB 上一动点，当AP +PQ 的值最小时，∠APB 的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°【答案】D【分析】先在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，证明△PBQ ≌△PBE SAS ，得出PE =PQ ，说明AP +PQ =AP +PE ，找出当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ 最小，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，根据三角形外角的性质可得答案．【详解】解：在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，如图：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC =68°，∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =34°，∵BP =BP ，∴△PBQ ≌△PBE SAS ，∴PE =PQ ，∴AP +PQ =AP +PE ，∴当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ最小，过点A作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，如图：∵∠AEB =90°，∠CBD =34°，∴∠APB =∠AEB +∠CBD =124°．故选：D ．5【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使AP +PQ 最小时点P 的位置．6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图，E 为正方形ABCD 边AD 上一点，AE =1，DE =3，P 为对角线BD 上一个动点，则PA +PE 的最小值为()A.5B.42C.210D.10【答案】A【分析】连接EC 交BD 于P 点，根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长，求出EC 的长即可.【详解】连接EC ，交BD 于P 点∵四边形ABCD 为正方形∴A 点和C 点关于BD 对称∴PA =PC∴PA +PE =PC +PE =EC根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长.∵AE =1，DE =3∴AD =4∴DC =4∴CE =DE 2+CD 2=32+42=5∴PA +PE 的最小值为5故选：A【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.7(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为()A.4B.42C.25D.5【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N ′，N ′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，6连接BD ，BM 交AC 于N ′，连接DN ′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =CM 2+BC 2=32+42=5故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线AC 的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键．8(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于A 、C 两点，与x 轴交于点C (3,0)，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,-1)，连接PD ，则2PD +PC 的最小值是()A.4B.2+22C.22D.32+232【答案】A【分析】过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，根据2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，求出DP +PJ 的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC ，过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于点C (3,0)，∴b =2，∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x +3，令y =0，-x 2+2x +3=0，解得x =-1或3，∴A (-1，0)，令x =0，y =3，∴B (0，3)，∴OB =OC =3，∵∠BOC =90°，∴∠OBC =∠OCB =45°，∵D(0，-1)，∴OD =1，BD =4，∵DH ⊥BC ，∴∠DHB =90°，设DH =x ，则BH =x ,∵DH 2+BH 2=BD 2，7∴x =22，∴DH =22，∵PJ ⊥CB ，∴∠PJC =90°，∴PJ =22PC ，∴2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，∵DP +PJ ≥DH ，∴DP +PJ ≥22，∴DP +PJ 的最小值为22，∴2PD +PC 的最小值为4．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC =∠OCB =45°，PJ =22PC 是解题的关键．9(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为矩形，AB =3，BC =4．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．∠ADM =∠BAP ，则BM 的最小值为()A.52 B.125 C.13-32 D.13-2【答案】D【分析】证明∠AMD =90°，得出点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上，从而计算出答案．【详解】设AD 的中点为O ，以O 点为圆心，AO 为半径画圆∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAP +∠MAD =90°∵∠ADM =∠BAP∴∠MAD +∠ADM =90°∴∠AMD =90°∴点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时，BM 最短∵BO 2=AB 2+AO 2，AO =12AD =2∴BO 2=9+4=13∴BO =13∵BN =BO -AO =13-2故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．810(2022·河南·校联考三模)如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，设AP =x ，PB +PE =y ，当点P 从A 向点C 运动时，y 与x 的函数关系如图2所示，其中点M 是函数图象的最低点，则点M 的坐标是()A.42，35B.22,35C.35,22D.35,42【答案】A【分析】根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，利用相似三角形，计算AG 的长即为横坐标．【详解】如图，根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，∵点E 是BC 的中点，∴BC =6，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，∵四边形ABCD 是正方形，AB =6，∴CE ∥AD ，AC =62+62=62，DE =62+32=35，∴△CGE ∽△AGD ，∴CG AG =CE AD =12，∴AC AG=32，∴AG =42，故点M 的坐标为(42，35)，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键．2二、填空题11(2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习)如图，矩形ABCD ，AB =4，BC =8，E 为AB 中点，F 为直线BC 上动点，B 、G 关于EF 对称，连接AG ，点P 为平面上的动点，满足∠APB =12∠AGB ，则DP 的最小值．【答案】210-22【分析】由题意可知，∠AGB =90°，可得∠APB =12∠AGB =45°，可知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的9圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)，设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，可知△AOB 为等腰直角三角形，求得OA =22AB =22=OP ，AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，OD =OQ 2+QD 2=210，再由三角形三边关系可得：DP ≥OD -OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，即可求得DP 的最小值．【详解】解：∵B 、G 关于EF 对称，∴BH =GH ，且EF ⊥BG∵E 为AB 中点，则EH 为△ABG 的中位线，∴EH ∥AG ，∴∠AGB =90°，∵∠APB =12∠AGB ，即∠APB =12∠AGB =45°，∴点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，则OA =OB =OP ，∵∠APB =45°，∴∠AOB =90°，则△AOB 为等腰直角三角形，∴OA =22AB =22=OP ，又∵E 为AB 中点，∴OE ⊥AB ，OE =12AB =AE =BE ，又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =90°，AD =BC =8，∴四边形AEOQ 是正方形，∴AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，∴OD =OQ 2+QD 2=210，由三角形三边关系可得：DP ≥OD-OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，∴DP 的最小值为210-22，故答案为：210-22．【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据∠APB =12∠AGB =45°得知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上是解决问题的关键．12(2023春·江苏连云港·八年级期中)如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点G 是BC 边的中点，E 、F 分别是AD 和CD 边上的点，则四边形BEFG 周长的最小值为．【答案】2410【分析】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G ，根据两点之间线段最短即可解决问题．【详解】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G∵EB =EB ,FG =FG ，∴BE +EF +FG +BG =B E +EF +FG +BG ，∵EB +EF +FG ≥B G ，∴四边形BEFG 的周长的最小值=BG +B G ，∵正方形ABCD 的边长为8∴BG =4，BB =16，BG =12，∴B G =162+122=20，∴四边形BEFG 的周长的最小值为=4+20=24．故答案为：24．【点睛】本题考查轴对称求线段和的最短问题，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．13(2022·湖南湘潭·校考模拟预测)如图，菱形草地ABCD 中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC <BD ，M 、N 分别是草地边BC 、CD 的中点，在线段BD 上有一个流动饮水点P ，若要使PM +PN 的距离最短，则最短距离是米．【答案】50【分析】作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出BC 长，即可得出答案．【详解】解：作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠QBP =∠MBP ，即Q 在AB 上，∵MQ ⊥BD ，∴AC ∥MQ ，∴M 为BC 中点，∴Q 为AB 中点，∵N 为CD 中点，四边形ABCD 是菱形，∴BQ ∥CD ，BQ =CN ，∴四边形BQNC 是平行四边形，∴NQ =BC ，设AC 与BD 的交点为点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD，OC =12AC =30米，OB =12BD =40米，∴BC =OB 2+OC 2=50米，∴PM +PN 的最小值是50米．故答案为：50．11【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P 的位置．14(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则2PC -PD 的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得2PC -PD=2PC -22PD =2PC -PM ，因为PC -PM ≤MC ，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP =24，连接MP ，证明△BMP ∼△BPD ，在BC 上做点N ，使BN BP=12，连接NP ，证明△BNP ∼△BPC ，接着推导出2PC -PD =22MN ，最后证明△BMN ∼△BCD ，即可求解．【详解】解法1如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，∴∠PDM =45，DM =PM =22PD ，∵四边形ABCD 正方形∴∠BDC =45°，DB DC=2又∵∠PDM =∠PDB +MDB ，∠BDC =∠MDB +MDC∴∠PDB =∠MDC在△BPD 与△MPC 中∠PDB =∠MDC ，DB DC=DP DM =2∴△BPD ∼△MPC∴PB MC=2∵BP =2∴MC =2∵2PC -PD =2PC-22PD =2PC -PM ∵PC -PM ≤MC ∴2PC -PD =2PC -PM ≤2MC =2故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2∴BP =2，BD =BC 2+CD 2=42+42=42∵BP BD =242=2412在BD 上做点M ，使BM BP=24，则BM =22，连接MP 在△BMP 与△BPD 中∠MBP =∠PBD ，BP BD =BM BP∴△BMP ∼△BPD∴PM PD =24，则PD =22PM ∵BP BC =24=12在BC 上做点N ，使BN BP=12，则BN =1，连接NP 在△BNP 与△BPC 中∠NBP =∠PBC ，BN BP =BP PC∴△BNP ∼△BPC∴PN PC=12，则PC =2PN ∴如图所示连接NM ∴2PC -PD =2×2PN -22PM =22PN -PM ∵PN -PM ≤NM ∴2PC -PD =22PN -PM ≤22NM在△BMN 与△BCD 中∠NBM=∠DBC ，BM BC =224=28，BN BD =142=28∴BM BC=BN BD ∴△BMN ∼△BCD∴MN CD=28∵CD =4∴MN =22∴22MN =22×22=2∴2PC -PD ≤22NM =2故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．15(2023秋·广东广州·九年级统考期末)如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，∠DAB =60°，AD =CD =4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD =90°，则△MBC 面积的最小值为．【答案】63-4【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM +ME ≥OF ，通过计算得出当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值，求出最小值即可．【详解】解：如图，取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则13OM +ME ≥OF ，∵AB ∥CD ，∠DAB =60°，AD =CD =4，∴∠ADC =120°，∵AD =CD ，∴∠DAC =30°，∴∠CAB =30°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB =90°∴∠B =90°-30°=60°，∴∠B =∠DAB ，∴四边形ABCD 为等腰梯形，∴BC =AD =4，∵∠AMD =90°，AD =4，OA =OD ，∴OM =12AD =2，∴点M 在以点O 为圆心，2为半径的圆上，∵AB ∥CD ，∴∠GCF =∠B =60°，∴∠DGO =∠CGF =30°，∵OF ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴∠DOG =∠DAC =30°=∠DGO ，∴DG =DO =2，∴OG =2OD ⋅cos30°=23，GF =3，OF =33，∴ME ≥OF -OM =33-2，∴当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值33-2，∴△MBC 面积的最小值为=12×4×33-2 =63-4．【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M 位置的确定是解题关键．16(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在等边△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，AD =3cm ．点P ,Q 分别为AB,AD 上的两个定点且BP =AQ =1cm ，点M 为线段BD 上一动点，连接PM ,QM ，则PM +QM 的最小值为cm ．【答案】5【分析】如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，且点P 在BC 上，则PM +QM =P M+QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，证明四边形PP QA 是平行四边形，P Q =AP =AB -BP ，由此即可求解．【详解】解：如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，∵△ABC 是等边三角形，BD ⊥AC ，∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =12×60°=30°，14∴点P 在BC 上，∴P M =PM ，则PM +QM =P M +QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，∵点P 关于BD 的对称点P ，∠ABD =∠DBC =30°，∴PP ⊥BM ，BP =BP =1cm ，∴∠BP P =60°，∴△BPP 是等边三角形，即∠BP P =∠C =60°，∴PP ∥AC ，且PP =AQ =1cm ，∴四边形PP QA 是平行四边形，∴P Q =AP =AB -BP ，在Rt △ABD 中，∠ABD =30°，AD =3，∴AB =2AD =2×3=6，∴AP =P Q =P M +QM =PM +QM =AB -BP =6-1=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称-最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形得性质，对称-最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键．17(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)如图，在周长为12的菱形ABCD 中，DE =1，DF =2，若P 为对角线AC 上一动点，则EP +FP 的最小值为．【答案】3【分析】作F 点关于BD 的对称点F ，连接EF 交BD 于点P ，则PF =PF ，由两点之间线段最短可知当E 、P 、F 在一条直线上时，EP +FP 有最小值，然后求得EF 的长度即可．【详解】解：作F 点关于BD 的对称点F ，则PF =PF ，连接EF '交BD 于点P ．∴EP +FP =EP +F P ．由两点之间线段最短可知：当E 、P 、F '在一条直线上时，EP +FP 的值最小，此时EP +FP =EP +F P =EF ．∵四边形ABCD 为菱形，周长为12，∴AB =BC =CD =DA =3，AB ∥CD ，∵AF =2，AE =1，∴DF =AE =1，∴四边形AEF D 是平行四边形，∴EF =AD =3．∴EP +FP 的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题，明确当E 、P 、F 在一条直线上时EP +FP 有最小值是解题的关键．18(2023春·上海·八年级专题练习)如图，直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A和B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，P 为OA 上一动点，当PC +PD 的值最小时，点P 的坐标为．15【答案】(-1,0)【分析】直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，可求出点A ，B 的坐标，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，可求出点C 、D 的坐标，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接C D 与x 轴的交点就是所求点P 的坐标．【详解】解：直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，∴当y =0，x =-4，即A (-4,0)；当x =0，y =4，即B (0,4)，∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴C (-2,2)，D (0,2)，如图所示，过点C 关于x 轴的对称点C，∴C (-2,-2)，∴直线C D 的解析式为：y =2x +2，当y =0，x =-1，即P (-1,0)，故答案为：(-1,0)．【点睛】本题主要考查一次函数与最短线段的综合，掌握对称中最短线段的解题方法是解题的关键．19(2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末)如图，抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA ,MC ,AC ，则△MAC 周长的最小值是．【答案】32+10【分析】根据“将军饮马”模型，先求出A 1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，从而C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，AC =OA 2+OC 2=10，则△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，从而得到CB =OC 2+OB 2=32，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，16∴当y =0时，0=x 2-4x +3解得x =1或x =3，即A 1,0 ,B 3,0 ；当x =0时，y =3，即C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，即MA =MB ，∴C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，∵AC =OA 2+OC 2=10，∴△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，∵CB =OC 2+OB 2=32，∴△MAC 周长的最小值为CA +CB =32+10，故答案为：32+10．【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．20(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)如图所示，∠ACB =60°，半径为2的圆O 内切于∠ACB．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于∠ACB 的两边，垂足为M 、N ，则PM +2PN 的取值范围为．【答案】6-23≤PM +2PN ≤6+23【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示，通过代换，将PM +2PN 转化为PN +12PM =PN +HP =NH ，得到当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．【详解】解：作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示：∵PM ⊥AC ，PN ⊥CB ，∴∠PMC =∠PNC =90°，∴∠MPN =360°-∠PMC -∠PNC -∠C =120°，∴∠MPH =180°-∠MPN =60°，∴HP =PM ⋅cos ∠MPH =PM ⋅cos60°=12PM ，∴PN +12PM =PN +HP =NH ，∵MF =NH ，∴当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大和最小，①连接OP ，OG ，OC ，如图1所示：可得：四边形OPMG 是正方形，∴MG =OP =2，在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG +GM =2+23，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3+3，∴HN =MF =3+3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6+23；②连接OP ，OG ，OC ，如图2所示：可得：四边形OPMG 是正方形，17∴MG =OP =2，由上同理可知：在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG -GM =23-2，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3-3，∴HN =MF =3-3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6-23，∴6-23≤PM +2PN ≤6+23．故答案为：6-23≤PM +2PN ≤6+23．【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．3三、解答题21(2022春·江苏·九年级专题练习)综合与探究如图，已知抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP +PC 的值最小，此时点P 的坐标是；(3)点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出△BCQ 面积的最大值．【答案】(1)y =-x 2+3x +4；y =-x +4(2)32,52(3)8【分析】(1)将A -1,0 ，B 4,0 两点，代入抛物线解析式，可得到抛物线解析式，从而得到C 0,4 ，再设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入，即可求解；(2)连接BC ，PB ，根据题意可得A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，从而得到当P 在直线AB 上三点共线时，AP +CP 的值最小，把x =32代入直线BC 的解析式，即可求解；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，可得QD =-d 2+4d ，从而得到S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d -2 2+8，即可求解；【详解】(1)解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，∴a -b +4=016a +4b +4=0，解得：a =-1b =3 ，18∴抛物线的解析式为y =-x 2+3x +4；∵抛物线与y 轴的交点为C ，∴C 0,4 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入得：4k +b =0b =4 ，解得：k =-1b =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4；(2)如图，连接BC ，PB ，∵y =-x 2+3x +4=-x -32 2+74，∴抛物线的对称轴为直线x =32，根据题意得：A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，∴AP =BP ，∴AP +CP =BP +CP ≥BC ，即当P 在直线AB 上时，AP +CP 的值最小，∴当x =32时，y =-32+4=52，∴P 32,52 ，故答案是：32,52 ；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，∴QD =-d 2+3d +4 --d +4 =-d 2+4d ，∵B 4,0 ，∴OB =4，∴S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d 2+8d =-2d -2 2+8，当d =2时，S ΔBCQ 取最大值，最大值为8，∴△BCQ 的最大面积为8；【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．22(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)如图1，直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于点C -3,0 ．(1)请直接写出直线BC 的关系式：(2)在直线BC 上是否存在点D，使得S △ABD =S △AOD 若存在，求出点D 坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，D 11,0 ，P 为x 轴正半轴上的一动点，以P 为直角顶点、BP 为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ，连接QA ,QD ．请直接写出QB -QD 的最大值：．19【答案】(1)y =2x +6(2)当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD (3)37【分析】(1)根据直线AB 与y 轴的交点，可求出点B 的坐标，再用待定系数法即可求解；(2)设D (a ,2a +6)，分别用含a 的式子表示出出S △AOD ,S △ABD ，由此即可求解；(3)△BPQ 是等腰直角三角形，设P (m ,0)(m >0)，可表示出QB ，再证Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值，可求得点R 的坐标，根据勾股定理即可求解．【详解】(1)解：∵直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，令x =0，则y =6，∴B (0,6)，且C -3,0 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴b =6-3k +b =0，解得，k =2b =6 ，∴直线BC 的解析式为y =2x +6，故答案为：y =2x +6．(2)解：由(1)可知直线BC 的解析式为y =2x +6，直线AB 的解析式为y =-x +6，∴A (6,0),B (0,6),C (-3,0)，∴OA =6,BO =6,OC =3，如图所示，点D 在直线BC 上，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，∴设D (a ,2a +6)，E (a ,0)，∴S △ABC =12AC ·OB =12×(6+3)×6=27，S △ADC =12AC ·DE =12×(6+3)×a =92a ，S △AOD =12OA ·DE =12×6×a =3a ，∴S △ABD =S △ABC -S △ADC =27-92a ，若S △ABD =S △AOD ，则27-92a =3a ，当a >0时，27-92a =3a ，解得，a =185，即D 185,665 ；当a <0时，27+92a =-3a ，解得，a =-185，即D -185,-65 ；综上所述，当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD ．(3)解：已知A (6,0),B (0,6),D (11,0)，设P (m ,0)(m >0)，∴在Rt △BOP 中，OB =6,OP =m ，∵△BPQ 是等腰直角三角形，∠BPQ =90°，∴BP =QP ；如图所示，过点Q 作QT ⊥x 轴于T ，20在Rt △BOP ,Rt △PTQ 中，∠BOP =∠PTQ =90°，∠BPO +∠QPA =∠QPA +∠PQT =90°，∴∠BPO =∠PQT ，∴∠BPO =∠PQT∠BOP =∠PTQ BP =QP，∴Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，∴OP =TQ =m ，OB =PT =6，∴AT =OP +PT -OA =m +6-6=m ，∴AT =QT ，且QT ⊥x 轴，∴△ATQ 是等腰直角三角形，∠QAT =45°，则点Q 的轨迹在射线AQ 上，如图所示，作点D 关于直线AQ 的对称点R，连接QR ,BR ,AR ，A (6,0)，B (0,6)，D (11,0)，∵△ATQ 是等腰直角三角形，即∠QAT =45°，根据对称性质，∴∠QAR =45°，∴RA ⊥x 轴，且△DQA ≌△RQA ，∴AR =AD =11-6=5，则R (6,5)，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值；∴由勾股定理得：BR =62+(6-5)2=37，故答案为：37．【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．23(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)△ABC 中，∠B =60°．(1)如图1，若AC >BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，且AD =3BD ．证明：∠A =30°；(2)如图2，若AC <BC ，取AC 中点E ，将CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，连接BF 并延长至G ，使BF =FG ，猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AC =BC ，P 为平面内一点，将△ABP 沿直线AB 翻折至△ABQ ，当3AQ +2BQ +13CQ 取得最小值时，直接写出BPCQ的值．【答案】(1)见解析(2)BC =AB +CG ，理由见解析(3)213+33913【分析】(1)过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，易得DE =DF ，由∠B =60°，可得DE =DF =32BD ，由AD =3BD ，求得sin A =DE AD=12，可证得∠A =30°；(2)延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，易证△BCH 为等边三角形，进而可证△BCF ≌△HCE SAS ，可得BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，可知∠AEH =∠CFG ，易证得△AEH ≌△CFG SAS ，可得AH =CG ，由BC =BH =AB +AH =AB +CG 可得结论；(3)由题意可知△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，可得CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，可知△ACQ ∽△MCN ，可得MN =32AQ ，由3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM 可知点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ+13CQ 有最小值，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，可得CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，可证△CBR ∽△MBT ，得BR CR =BT MT ，设BC =a 由等边三角形的性质，可得CM =32a ，进而可得CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，结合BR CR=BTMT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a 34a ，可得BQ CQ =213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，可求得BP CQ的值．【详解】(1)证明：过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，又∵∠B =60°，∴DE =BD ⋅sin60°=32BD ，则DE =DF =32BD ，又∵AD =3BD ，∴sin A =DE AD =32BD3BD=12，∴∠A =30°；(2)BC =AB +CG ，理由如下：延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，∵∠ABC =60°，BH =BC ，∴△BCH 为等边三角形，∴CB =CH ，∠BCH =60°，∵CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，∴CE =CF ，∠ECF =60°，则∠BCH -∠ACB =∠ECF -∠ACB ，∴∠ECH =∠FCB ，∴△BCF ≌△HCE SAS ，∴BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，则∠AEH =∠CFG ，∵BF =FG ，∴BF =HE =FG ，又∵E 为AC 中点，∴AE =CE =CF ，∴△AEH ≌△CFG SAS ，∴AH =CG ，∴BC =BH =AB +AH =AB +CG ；(3)∵∠ABC =60°，AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，则CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，∴sin ∠CQN =CN QN =313，cos ∠CQN =CQ QN =213，则∠ACM =∠QCN =90°，∴∠ACM -∠ACN =∠QCN -∠ACN ，则∠ACQ =∠MCN∴△ACQ ∽△MCN ，∴MN AQ =CM CA=32，即：MN =32AQ ，∴3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM即：点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ +13CQ 有最小值，如下图，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，则∠BRC =∠BTM =90°，CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，又∵∠CBR =∠MBT ，∴△CBR ∽△MBT ，∴BR CR=BT MT ，∵△ABC 是等边三角形，设BC =a ∴∠ACB =60°，AC =BC =a ，则CM =32a ，∵∠ACM =90°，∴∠MCT =30°，则CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，则由BR CR=BT MT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a34a ，整理得：133BQ CQ +23=4+333，得BQ CQ=213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，∴BP CQ =BQ CQ=213+33913．【点睛】本题属于几何综合，考查了解直角三角形，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，旋转的性质以及费马点问题，掌握费马点问题的解决方法，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．24(2023春·江苏·八年级专题练习)定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD =AE ，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN 填(“是”或“不是”)“等垂线段”．(2)△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若DE =2，BC =4，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．。

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

中考数学几何证明题--(专题练习 答案详解)

中考数学几何证明题--(专题练习 答案详解)

中考数学24题专题练习1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G 为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD 为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；（2）延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已证），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已证），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已证），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G 为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，∴…（5分）（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，∴四边形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BE．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．（1）解：连接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．（2）证明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∴∠HDF=∠CBF ，由（1）得，∠ADB=∠CBD ，∴∠HDB=∠HBD ，∴HD=HB ，由（1）得CD=CB ，CBD CDBCBD HDF CDB CBH∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBDHB=HD∴△CDH ≌△CBH ，∴∠DCH=∠BCH ，∴∠BCH=∠BCD==．6、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm ，，求梯形ABCD 的面积；（2）若E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足EF=GH ，∠EFH=∠FHG ，求证：HD=BE+BF ．解：（1）连AC ，过C 作CM ⊥AD 于M ，如图，在Rt △ABC 中，AB=6，sin ∠ACB==，∴AC=10，∴BC=8，在Rt △CDM 中，∠D=45°，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD 的面积=•（8+14）•6=66（cm 2）；（2）证明：过G 作GN ⊥AD ，如图，∵∠D=45°，∴△DNG 为等腰直角三角形，∴DN=GN ，又∵AD ∥BC ，∴∠BFH=∠FHN ，而∠EFH=∠FHG ，∴∠BFE=∠GHN ，∵EF=GH ，∴Rt △BEF ≌Rt △NGH ，∴BE=GN ，BF=HN ，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE ．7、已知：如图，▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD 至F ，使DF=CD ，连接BF 交AD 于点E ．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，∴AE=DE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．（1）证明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），ED=DE（公共边），AE=CE（正方形的四条边长相等），∴△DAE≌△DCE （SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等边对等角）；而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；过点C作CH⊥AG于点H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH=EC．设EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E为CD的中点，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．（5分）（2）解：连接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四边形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD 为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．（1）证明：∵△ADF为等边三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）∵AE为公共边∴△FAE≌△BAE（4分）∴EF=EB（5分）（2）解：如图，连接EC．（6分）∵在等边三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．（8分）∵点G是BC的中点，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG为等边三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=（10分）；解法二：过C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．（1）证明：∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．（1分）由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）∴AE=DF（4分）∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）∴AE=GF．（6分）（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．（10分）13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∴AG=CG，∴∠E=30°．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．（2）答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延长AF交BC的延长线于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AD=BE，∴BE=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．解答：（1）证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）∴AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．（1）证明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中点，∴AE⊥BD．（2）解：延长AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已证），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中点（已知），所以由三角形中位线定理得：EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=×（14﹣4）=5．答：EF的长为5．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2（2分）在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．（2分）∴CE=AD，DE=AC．∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）（2）∵AD=CE，∴．（7分）∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面积为18．（8分）注：此题解题方法并不唯一．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等边三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS）．（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC∴∠F=30°，∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面积为．26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠DCF=60°，在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，∴DF=3，DC=6，由题得，四边形ABFD是矩形，∴AB=DF=3，∵AB=BC，∴BC=3，∴BF=BC﹣FC=3﹣3，∴AD=DF=3﹣3，∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3，答：梯形ABCD的周长是9+3．（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，∴CN=CE，可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，∴△DEC≌△DNC，∴ED=EN，∴ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点，∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AFE（AAS）．（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°．∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，∴△BCE≌△AFE．∴AF=BC=4．∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，∴EF=5．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，∴△DCF≌△BCF．（2）延长DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，∴四边形ABGD为平行四边形．∴AD=BG．∵△DFC≌△BFC，∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFG．∴DE=BG，EF=GF．∴AD=DE．（3）∵EF=GF，DF=BF，∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．∵DG=AB，∴BE=AB．∵C△DFE=DF+FE+DE=6，∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．∴AB+AD=6．又∵AD=2，∴AB=4．∴DG=AB=4．∵BG=AD=2，∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．又∵DC=BC=5，在△DGC中∵42+32=52∴DG2+GC2=DC2∴∠DGC=90°．∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DG=（2+5）×4=14．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．解答：解：（1）证明：∵AD∥BC，DE2=CD2+CE2=42+32=25，∴∠OAD=∠OEB，∴DE=5又∵AB=AD，AO⊥BD，∴AD=BE=5，∴OB=OD，∴S梯形ABCD=．又∵∠AOD=∠EOB，∴△ADO≌△EBO（AAS），∴AD=EB，又∵AD∥BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD∴四边形ABCD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DE=BE，。

2020年数学中考复习：压轴几何证明题的解法(含答案)

2020年数学中考复习：压轴几何证明题的解法(含答案)

2020年数学中考复习：压轴几何证明题的解法1.(2019.葫芦岛)如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =900，D 是射线CB 上一点（点D 不与点B 重合），以AD 为斜边作等腰直角三角形ADE （点E 和点C 在AB 的同侧），连接CE 。

（1）如图①，当点D 与点C 重合时，直接写出CE 与AB 的位置关系；（2）如图②，当点D 与点C 不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当∠EAC =150时，请直接写出AB CE 的值。

解析：（1）由∠ECA =∠CAB =450,可得EC ∥AB 。

（2）由22=AB AC =AD AE ,且∠EAC =∠DAB ,可得△EAC ∽△DAB 进而得出∠ECA =∠DBA =450=∠CAB ,所以CE ∥AB .(3)此问分两种情况点D 在BC 上，点D 在CB 延长线上。

①当点D 在BC 上时，如图（2），此时∠CAB =150能得出∠CAD =300，这样就有33=AC CD ,也就是BC -DB =33AC ,BC =AC ,所以BD =333－AC 。

又由△EAC ∽△DAB 得21=BD CE ,因此有BD =2CE ，所以可得CE =6623－AC ，又AB =2AC ，因此ABCE =６３－3.当D 点在CB 延长线上时，∠CDA =300,解三角形得3AC =3CD 。

CD =BC +BD ,由△AEC ∽△ABD ,可得BD =2AC ，就能得到CE =ＡＣ２－１3,AB =2AC ，所以２－１3=AB CE . 2.(2019.沈阳）思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD ∥AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得CD =200米，那么A ,B 间的距离是_200_米。

中考数学几何证明压轴题

中考数学几何证明压轴题

中考专题训练1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求证：DC=BC;(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3AB的延长线相交于点M，线段BD N，此时，（1由．4、AB E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。

（1）若sin∠BAD35，求EBFCDA图13－2G图13－3图13－1A( ) B( E )D（2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）。

5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G.（1）求证：点F 是BD 中点；（2）求证：CG 是⊙O 的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径．6、如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3），⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动．（１）当点P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标；（２）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由.7、如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA=AB ，DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线，垂足为点C .求证：∠ACB=31∠OAC . 8、如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为ο60．⑴求AO 与BO 的长；⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行.①如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；②如图３，当A 点下滑到A ’点，B 点向右滑行到B ’点时，梯子AB 的中点C A B DO EP 也随之运动到P ’点．若∠POP ’＝ ο15，试求AA ’的长．[解析]⑴AOB Rt ∆中,∠O=90o ,∠α=ο60∴,∠OAB=ο30，又ＡＢ＝4米，中考数学经典几何证明题（一）1.（1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与BD 相交于点O ，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结EF ，分别交AC 、BD 于点M N 、，试判断OMN △的形状，并加以证明；（2）如图2，在四边形ABCD 中，若AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ；（3）如图3，在ABC △中，AC AB >，点D 在AC 上，AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，与BA 的延长线交于点M ，若45FEC ∠=︒，判断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．2．（1）如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作⊥BD 于点F ，EG ⊥A C 于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH=EF+EG; (2) 若点E 在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥A C 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；(3) 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线,L 在BD 上，且BL=BC, 连结CL ，点E是CL 上任一点, EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具…有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；图 1 图2 图3 E D F E D A A B AC D E F M N OB G A FD E C H(4) 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形， 使它仍然具有EF 、EG 、ＣH 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.3. 如图，△ABC 是等边三角形，F 是AC 的中点，D 在线段BC 上，连接DF ，以DF 为边在DF 的右侧作等边△DFE ，ED 的延长线交AB 于H ，连接EC ，则以下结论：①∠AHE+∠AFD=180°；②AF=21BC ；③当D 在线段BC 上（不与B ，C 重合）运动，其他条件不变时BD BH 是定值；④当D 在线段BC 上（不与B ，C 重合）运动，其他条件不变时DCEC BC +21是定值； （1）其中正确的是-------------------；（2）对于（1）中的结论加以说明；4. 在ABC △中，AC=BC ，90ACB ∠=︒，点D 为AC 的中点．（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH FC ⊥，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．（2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．5. 如图12，在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 、F 分别在边AC 、AB 上，并且∠ABE =∠ACF ，BE 、CF 交于点O ．过点O 作OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，P 、Q 为垂足．求证：DP=DQ ．6. 如图。

中考数学几何压轴题第一部分ABC...

中考数学几何压轴题第一部分ABC...

中考数学几何压轴题第一部分 真题精讲例1．在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''(使E BC '∠＜180°)，连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O .(1)如图①，当AC =BC 时，D A ':E B '的值为 ；(2)如图②，当AC =5，BC =4时，求D A ':E B '的值； (3)在(2)的条件下，若∠ACB =60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值.图① 图②【解答】（1）1；…………………………………………………1分 （2）解：∵DE ∥AB ， ∴△CDE ∽△CAB ． ∴AC DC BCEC =． 由旋转图形的性质得，CD DC CE EC '='=,, ∴ACC D BCC E '='．∵D C E ECD ''∠=∠,∴,E AC D C E E AC ECD'∠+''∠='∠+∠即D AC E BC '∠='∠．∴E BC '∆∽D AC '∆.∴45==''BCAC E B D A ．……………………………4分（3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM =BC ·sin 60°=23．D'（如图2）A CB（如图3）CB（如图1)B ∵E 为BC 中点，∴CE =21BC =2．△CDE 旋转时，点E '在以点C 为圆心、CE 长为半径的圆上运动． ∵CO 随着E CB '∠的增大而增大，∴当E B '与⊙C 相切时，即C E B '∠=90°时E CB '∠最大，则CO 最大． ∴此时E CB '∠=30°，E C '=21BC =2 =CE ．∴点E '在AC 上，即点E '与点O 重合．∴CO =E C '=2又∵CO 最大时，AO 最小，且AO =AC -CO =3． ∴3321=∙=∆BM AO SOAB 最小．………………………………8分例2．点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ∆和BCF ∆，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ． (1)若ABE ∆和F B C ∆是等腰直角三角形，且090=∠=∠FBCABE(图1)，则MBN ∆是 三角形．(2)在ABE ∆和BCF ∆中，若BA =BE ,BC =BF ,且α=∠=∠FBCABE，(图2)，则MBN ∆是 三角形，且=∠MBN.(3)若将(2)中的ABE ∆绕点B 旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.【解答】（如图3）CB（1）等腰直角 ………1分（2）等腰 ………2分 α ……3分 （3）结论仍然成立 ………4分证明： 在A B F E B C ∆∆和中，B A B E A B F E B CB F B C=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△EBC.∴AF =CE . ∠AFB =∠ECB .……5分 ∵M ,N 分别是AF 、CE 的中点,∴FM =CN .∴△MFB ≌△NCB. ∴BM =BN . ∠MBF =∠NBC .……6分∴∠MBN =∠MBF +∠FBN =∠FBN +∠NBC =∠FBC =α.……7分例3．图1是边长分别为4 3 和3的两个等边三角形纸片A B C 和C D E '''叠放在一起(C 与C '重合)．(1)固定△A B C ，将△C D E '''绕点C 顺时针旋转30︒得到△C D E ，连结A DB E、(图2)此时线段B E 与A D 有怎样的数量关系？证明你的结论；(2)设图2中C E 的延长线交A B 于F ，并将图2中的△C D E 在线段C F 上沿着C F 方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△C D E 设为△Q R P(如图3)．设△Q R P 移动(点P Q 、在线段C F 上)的时间为x 秒，若△Q R P 与△A F C 重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；图1 图2 图3 图4BAM BC 'C CAN(C ')D 'E 'EADC(C ')E 'D '(3)若固定图1中的△C D E '''，将△A B C 沿C E ''方向平移，使顶点C 落在C E ''的中点处，再以点C 为中心顺时针旋转一定角度，设()3090A C C αα'∠=︒<<︒，边B C 交D E ''于点M ，边A C 交D C ''于点N (如图4)．此时线段C N E M '' 的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C N E M '' 的值；如果有变化，请你说明理由． 【解答】 （1）B EA D=. …………………………………………1分证明：如图2，∵△A B C 与△D C E 都是等边三角形，△C D E '''绕点C 顺时针旋转30°得到△C D E ，∴△C D E 也是等边三角形，且230∠=︒， ∴60A C BD CE ∠=∠=︒, ,C AC B C E C D==. (2)分∴130∠=︒,∴330∠=︒,∴23∠=∠.∴△BC E ≌△A C D ， ∴ B EA D=. ………………………………3分（2）如图3，设P R R Q 、分别与A C 交于点O L 、.∵△CDE 在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位的速度平移x 秒， 平移后的△C D E 为△P Q R ，C Q x ∴=. 由（1）可知60,30P Q RP R Q B C A B C F ∠=∠=∠=︒∠=︒，30A C F∴∠=︒，30C L Q R L O ∴∠=∠=︒.,90L Q C Q x R O L ∴==∠=︒.3Q R = ,3R L x∴=-.在R t R O L△中，11(3)22O R R L x ==-，c o s 30)2O L R L x =︒=- .21(3)28R O L S R O O L x ∆∴==- .………4分321 图2(C ')CDABE过点R 作R KP Q⊥于点K .在R t R K Q △中，s in 602R KR Q =︒=，124R P Q S P Q R K ∆∴==.2848R P Q R O L y S S x x ∆∆∴=-=-++. ……………5分 30,60B C F B ∠=︒∠=︒，90B F C∴∠=︒.当点P 与点F 重合时，3F QP Q ==，∵s in 606C FB C =︒= ，∴3C Q=.∴此函数自变量x 的取值范围是03x ≤≤ . ……………6分（3）C N E M '' 的值不变 . …………………7分 证明：如图4，由题意知，54180α∠+∠+∠=︒，∴1204α︒∠=-∠，在C M E '∆中，61204︒∠=-∠，∴6α∠=∠.又∵60C E ''∠=∠=︒， ∴△E M C '∽△C C N '，∴E M E C C CC N''=''．∵点C 是C E ''的中点，3C E ''=，∴32E CC C''==，∴3232E M C N'='，∴94C N E M''=． ……………………8分例4． 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,B A DC A E ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置及数量关系．(1)如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 ；(2)将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，α654D 'E '图4NC 'M AB图3如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 【解答】 （1）DEAM⊥，12A MD E=（2）结论仍然成立。

中考数学经典几何证明题60例附试题分析和参考答案

中考数学经典几何证明题60例附试题分析和参考答案

中考数学经典几何证明题60例一、解答题（共60小题）1．（遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．2．（珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，连接BD，AF，则BD AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．3．（镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=°时，四边形BFDE是正方形．4．（漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．5．（玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O 的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．6．（永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．7．（营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．8．（徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=时，四边形BFCE是菱形．9．（宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．10．（湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．11．（咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．12．（咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．13．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．14．（威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．15．（铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．求证：AD=CE．16．（通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．17．（铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．18．（天水）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：（1）AC•PD=AP•BC；（2）PE=PD．19．（泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E 为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．20．（随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．21．（绥化）如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延长线于点E．（1）求证：BD+2DE=BM．（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=．22．（苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的长度之和（结果保留π）．23．（上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．24．（厦门）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．25．（庆阳）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．（1）当AB=2时，求△GEC的面积；（2）求证：AE=EF．26．（青海）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E．求证：四边形ADCE是菱形．27．（钦州）如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=，AD=3，求直径AB的长．28．（黔东南州）如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．（1）求证：PN与⊙O相切；（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的长．29．（潜江）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．30．（盘锦）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；（2）求证：直线BF是⊙O的切线；（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．31．（内江）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC 于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．32．（南通）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．33．（南平）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）34．（南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．35．（南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．36．（南昌）（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D 的形状为A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D．①求证：四边形AFF′D是菱形．②求四边形AFF′D的两条对角线的长．37．（梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．38．（龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．（1）求证：AE=DC；（2）已知DC=，求BE的长．39．（柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．40．（辽阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．41．（连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F 处，DF交AB于点E．（1）求证；∠EDB=∠EBD；（2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．42．（莱芜）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD 交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．43．（酒泉）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE=cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE=cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）44．（荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O 于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．45．（吉林）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形=，由弧长l=，得S扇形==••R=lR．通过观察，我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分交作扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？46．（黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．47．（黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠BCP=∠BAN（2）求证：=．48．（湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．49．（葫芦岛）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？50．（呼伦贝尔）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．51．（呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB=AC；（2）若PC=2，求⊙O的半径．52．（贺州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的长（结果保留根号）．53．（贺州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．若DE=4，BD=8．（1）求证：AF=EF；（2）求证：BF平分∠ABD．54．（河南）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．（1）求证：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；②连接OD，当∠PBA的度数为时，四边形BPDO是菱形．55．（桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．（1）求证：四边形EBFD为平行四边形；（2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．56．（贵港）如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E 是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM．（1）若AB=4，求的长；（结果保留π）（2）求证：四边形ABMC是菱形．57．（甘南州）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．（1）求证：CF=CH；（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．58．（东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长．59．（大庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．（1）证明：AB=CD；（2）证明：DP•BD=AD•BC；（2）证明：BD2=AB2+AD•BC．60．（赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO 交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是的切线．（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．中考数学经典几何证明题60例参考答案与试题解析一、解答题（共60小题）1．（遵义）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．专题：证明题．分析：（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；（2）利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论；（3）由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论．解答：（1）证明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．∵DB=DC，∴AF=CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD=DC=BC，∴四边形ADCF是菱形；（3）解：设菱形DC边上的高为h，∴RT△ABC斜边BC边上的高也为h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面积为：DC•h=×=10．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，菱形的面积计算，主要考查学生的推理能力．2．（珠海）已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如图1，连接BD，AF，则BD=AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．专题：证明题．分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得AC与DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．解答：（1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB．由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB．在△ABF和△DFB中，，△ABF≌△DFB（SAS），BD=AF，故答案为：BD=AF；（2）证明：如图：MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=，=，∴MG=HN，MB=NF．在△BMH和△FNG中，，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．3．（镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=20°时，四边形BFDE是正方形．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．专题：证明题．分析：（1）由题意易证∠BAE=∠BCF，又因为BA=BC，AE=CF，于是可证△BAE≌△BCF；（2）由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分，只要∠EBF=90°即得四边形BFDE 是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°．解答：（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，∴∠BAE=∠BCF，在△BAE与△BCF中，∴△BAE≌△BCF（SAS）；（2）∵四边形BFDE对角线互相垂直平分，∴只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，∵△BAE≌△BCF，∴∠EBA=∠FBC，又∵∠ABC=50°，∴∠EBA+∠FBC=40°，∴∠EBA=×40°=20°．故答案为：20．点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的判定．本题关键是根据SAS证明△BAE≌△BCF．4．（漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据折叠的性质，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，易证FG=FE，故由四边相等证明四边形DEFG为菱形；（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．解答：（1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四边形DEFG为菱形；（2）解：设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．点评：本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键．5．（玉林）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O 的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．考点：切线的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算．专题：证明题．分析：（1）由∠BOD=60°E为的中点，得到，于是得到DE∥BC，根据CD 是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边形；（2）连接OE，由（1）知，，得到∠BOE=120°，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．解答：解：（1）∵∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴=，∵E为的中点，∴，∴DE∥AB，OD⊥BE，即DE∥BC，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴BE∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形；（2）连接OE，由（1）知，，∴∠BOE=120°，∵阴影部分面积为6π，∴=6π，∴r=6．点评：本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明是解题的关键．6．（永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据四边形的内角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，从而求出∠B=∠CDE；（2）根据“边角边”证明即可．解答：（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等的关键，也是本题的难点．7．（营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．考点：切线的判定；扇形面积的计算．专题：证明题．分析：（1）连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，证明结论；（2）证明△ADP∽△PDA，得到成比例线段求出BC的长，根据S阴=S⊙O﹣S△ABC 求出答案；（3）连接AE、BE，作BM⊥CE于M，分别求出CM和EM的长，求和得到答案．解答：（1）证明：如图1，连接OC，∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切线；（2）解：由（1）得PA，PC都为圆的切线，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△ODA，∴，∴AD2=PD•DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由题意知OD为△的中位线，∴BC=6，OD=6，AB=10．∴S阴=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；（3）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵点E是的中点，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB•cos45°=5，∴EM==4，则CE=CM+EM=7．点评：本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算和相似三角形的判定和性质，灵活运用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键．8．（徐州）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=4时，四边形BFCE是菱形．考点：平行四边形的判定；菱形的判定．专题：证明题．分析：（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果．解答：（1）证明：∵AB=DC，∴AC=DF，在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF=EC，∠ACE=∠DBF∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，∴BC=10﹣3﹣3=4，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=4，∴当BE=4 时，四边形BFCE是菱形，故答案为：4．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．9．（宿迁）如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．考点：平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）分①BC=BD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；②BC=CD时，过点C作CG⊥AF于G，判断出四边形AGCB 是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾．解答：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC与△FED中，，∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，又∵E是边CD的中点，∴CE=DE，∴四边形BDFC是平行四边形；（2）①BC=BD=3时，由勾股定理得，AB===2，所以，四边形BDFC的面积=3×2=6；②BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG===，所以，四边形BDFC的面积=3×=3；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；综上所述，四边形BDFC的面积是6或3．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．10．（湘西州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．解答：证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，则四边形BFDE为矩形．点评：此题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．11．（咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法．专题：证明题．分析：（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．解答：（1）证明：△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．12．（咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．考点：切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；（2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC•AF，进而求出AD．解答：（1）证明：如图1，连接OD、OE、ED．∵BC与⊙O相切于一点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AOE是等边三角形，∴AE=AO=0D，∴四边形AODE是平行四边形，∵OA=OD，∴四边形AODE是菱形．（2）解：设⊙O的半径为r．∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．∴，即10r=6（10﹣r）．解得r=，∴⊙O的半径为．如图2，连接OD、DF．∵OD∥AC，∴∠DAC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAC=∠DAO，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF=90°=∠C，∴△ADC∽△AFD，∴，∴AD2=AC•AF，∵AC=6，AF=，∴AD2=×6=45，∴AD==3．点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．13．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：证明题．分析：（1）先根据EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出结论；（2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论．解答：（1）证明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB与Rt△HFE中，，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；（2）解：由勾股定理得，BP===4．∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ=BP=2，∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=2×=．由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=4，∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．点评：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．14．（威海）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．专题：证明题．分析：（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．解答：（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．15．（铜仁市）已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．求证：AD=CE．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，即可得出结论．解答：证明：作DG∥BC交AC于G，如图所示：则∠DGF=∠ECF，在△DFG和△EFC中，，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GD=CE，。

中考数学几何压轴题及答案及答案

中考数学几何压轴题及答案及答案

中考数学几何压轴题及答案一、解答题（共30小题）1.观察猜想（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝；（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长3．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE 和AF数量关系．（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α（0°＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在（2）的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．5.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB、AD交于点E、F，且∠EOF与∠BAD互补．（1）若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB：AD＝m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论.6.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．7.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．探索发现：图1中，的值为；的值为．（2）拓展探完若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△CDE旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BE的长．8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）解决问题是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．9.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE绕点A作360°旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD 的中点，连接MN、NF．问题提出：（1）如图1，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为，线段MN 和线段NF的数量关系为；深入讨论：（2）如图2，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；拓展延伸：（3）如图3，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为．10．四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则AC与BD的位置关系是，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．11．问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．12．如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，（1）问题发现的值为；（2）探究与证明将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，＝，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．14．如图，已知点E是射线BC上的一点，以BC、CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF，取AF的中点M，连接DM、MG（1）如图1，判断线段DM和GM的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC＝10，CE＝2，正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出△DMG的面积．15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．16.如图（1），在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN．（1）观察猜想，图（1）中△PMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图（2），△ADE绕点A按逆时针方向旋转，则△PMN的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．（3）拓展延伸，若△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD＝2，AB＝6，请直接写出△PMN 的周长的最大值．17.已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°.（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由.18.问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，点B的对应点落在点D，点C的对应点为点E，可知点C、D、E在一条直线上，则△ACE为三角形，BC、CD、AC的数量关系为；探究发现：（2）如图2，在⊙O中，AB为直径，点C为的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且AD＜BD，请求出CD、AD、BD间的数量关系.拓展延伸：（3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC＝13，平面内存在一点E，且AE＝10，CE＝13，当点Q为AE中点时，PQ＝.19.已知△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M、N分别在边CA，CB上（不与端点重合），BN＝AM，射线AG∥BC交BM延长线于点D，点E在直线AN上，EA＝ED．（1）【观察猜想】如图1，点E在射线NA上，当∠ACB＝45°时，①线段BM与AN的数量关系是；②∠BDE的度数是；（2）【探究证明】如图2点E在射线AN上，当∠ACB＝30°时，判断并证明线段BM与AN的数量关系，求∠BDE的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E在直线AN上，当∠ACB＝60°时，AB＝3，点N是BC 边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．20.如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’（1）问题发现：．（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．21.如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．（1）观察猜想将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是，直线AC与DE的位置关系是．（2）类比探究将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）拓展延伸将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．22.如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．23．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．25.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．（1）尝试探究如图（1），当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸如图（2），当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移如图（3），当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．26.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE ⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．27．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．28.【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．29．如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．30．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3＜x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．【解答】解：（1）如图①中，∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为：BF⊥BE，BC．（2）如图②中，作DH∥AC交BC于H．∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE＝BH，∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD＝DH＝2，∴BH＝2，∴BF+BE＝BH＝2；（3）如图③中，作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M．∵AC∥DH，∴∠ACB＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠DBH＝∠H，∴DB＝DH，∵∠EDF＝∠BDH＝α，∴∠BDF＝∠HDE，∵DF＝DE，DB＝DH，∴△BDF≌△HDE，∴BF＝EH，∴BF+BE＝EH+BE＝BH，∵DB＝DH，DM⊥BH，∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM，∴BM＝MH＝BD•sin．∴BF+BE＝BH＝2n•sin．2．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC×BC＝BC2，故答案为BC2．（2）不成立．理由：如图2中当∠BAC为锐角时，BB′+CC′﹣B′C′＝BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2+BC•B′C′．图3中∠BAC为钝角时，BB′+CC′+B′C′＝BC．AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2﹣BC•B′C′．（3）当AB＝5，AC＝6，BC＝9时，则AB2+AC2＜BC2，可知△ABC为钝角三角形，由图3可知：AB2+AC2＝BC2﹣BC•B′C′，∴52+62＝92﹣9B′C′，∴B′C′＝．3．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，＝1，故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，∵△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣4．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，∵四边形DFGE是正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF故答案为：BE＝AF；（2）成立；理由如下：当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵四边形DFGE为正方形，∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；综上所述，（1）中的结论BE＝AF成立；（3）在△ADE中，∵AE＜AD+DE，∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．如图④所示：则AD＝BC＝1，DE＝DF＝2，∴AE＝AD+DE＝3，即AE的最大值为3．5．【解答】解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是正方形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（2）（1）的结论成立；理由：如图2，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是菱形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（3）如图3，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴∠OGE＝∠OHF＝90°，∴∠BAD+∠GOH＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠GOH＝∠EOF，∴△EOG∽△FOH，∴，∵O是▱ABCD的对角线的交点，∴S△AOB＝S△AOD，∵S△AOB＝AB•OG，S△AOD＝AD•OH，∴AB•OG＝AD•OH，∴＝，∴．6．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．7．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵AB＝AC＝2，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠BEC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB＝1，根据勾股定理得，BE＝∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∴＝＝，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，∴＝＝，故答案为：，；（2）无变化，理由：由（1）知，CD＝1，CE＝BE＝，∴＝，，∴＝，由（1）知，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，（3）当点D在线段AE上时，如图2，过点C作CF⊥AE于F，∠CDF＝180°﹣∠CDE＝60°，∴∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝，∴CF＝DF＝，在Rt△AFC中，AC＝2，根据勾股定理得，AF＝＝，∴AD＝AF+DF＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝当点D在线段AE的延长线上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵∠CDG＝60°，∴∠DCG＝30°，∴DG＝CD＝，∴CG＝DG＝，在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝，∴AD＝AG﹣DG＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝即：线段BE的长为或．8．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴m＝2；③当6＜m＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴m＝14，综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．9．【解答】解：（1）如图1中，连接DB，MF，CE，延长BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，∴∠ADH+∠DCH＝90°，∴∠CHD＝90°，∴EC⊥BH，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．故答案为：45°（2）：如图2中，连接MF，EC，BD．设EC交AB于O，BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠AOC+∠ACO＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠OBH+∠BOH＝90°，∴∠BHO＝90°，∴EC⊥BD，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．（3）：如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．当直线PB与⊙A相切时，此时∠CBP的值最小，点P到BC的距离最小，即△BCP的面积最小，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，BD＝EC，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠CPO，∴∠CPB＝90°，∵PB是⊙A的切线，∴∠ADP＝90°，∵∠DPE＝∠ADP＝∠DAE＝90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AE＝AD，∴四边形ADPE是正方形，∴AD＝AE＝PD＝PE＝2，BD＝EC＝＝2，∴PC＝2﹣2，PB＝2+2，∴S△BCP的最小值＝×PC×PB＝（2﹣2）（2+2）＝4．10．【解答】（1）解：AC⊥BD，理由如下：连接AC、BD，如图2所示：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，故答案为：AC⊥BD；（2）解：AD2+BC2＝AB2+CD2；理由如下：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，设BD、AC相交于E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：如图3，连接CG、BE，∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根据勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，∴GE＝．11．【解答】解：问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．问题证明：如图2中，（1）中结论成立．理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵•BD•BE＝•DE•BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．12．【解答】解：（1）如图1中，作EH⊥CG于H．∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，∴∠ECH＝∠ECF＝30°，EC＝EG，∵EH⊥CG，∴GH＝CG，∴＝cos30°＝，∴＝2•＝，∵EG∥CD，AB∥CD，∴GE∥AB，∴＝＝．故答案为．（2）结论：AG＝BE．理由：如图2中，连接CG．∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，∴△ECG∽△BCE，∴＝，∵∠ECB＝∠GCA，∴△ECB∽△GCA，∴＝＝，∴AG＝BE．（3）如图3中，∵∠AGH＝∠CGF＝30°．∠AGH＝∠GAC+∠GCA，又∵∠DAC＝∠HAG+∠GAC＝30°，∴∠HAG＝∠ACH，∵∠AHG＝∠AHC，∴△HAG∽△HCA，∴HA：HC＝GH：HA，∴AH2＝HG•HC，∴FC＝2，CG＝CF，∴GC＝2，∵HG＝，∴AH2＝HG•HC＝•3＝9，∵AH＞0，∴AH＝3．故答案为3．13．【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝1，∴＝1（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴②成立．如图，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝，∴＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），③如图1，当点E在CA延长线上时，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）即：CE＝2或CE＝．14．【解答】解：（1）如图1，延长GM交AD于H，∵AD∥GF，∴∠GFM＝∠HAM，在△FMG和△AMH中，，∴△FMG≌△AMH（ASA），∴HM＝GM，AH＝FG，∵AD＝CD，AH＝FG＝CG，∴DH＝DG，∵∠HDG＝90°，HM＝GM，∴DM＝MG，DM⊥MG，故答案为DM＝MG，DM⊥MG．（2）结论成立：DM＝MG，DM⊥MG，理由：如图2中，延长GM使得MH＝GM，连接AH、DH、DG，延长AD交GF的延长线于N，交CD于O．∵AM＝MF，∠AMH＝∠FMG，MH＝MG，∴△AMH≌△FMG（SAS），∴AH＝GF＝CG，∠AHM＝∠FGM，∴AH∥GN，∴∠HAD＝∠N，∵∠ODN＝∠OGC＝90°，∠DON＝∠GOC，∴∠N＝∠OCG，∴∠HAD＝∠DCG，∵AH＝CG，AD＝CD，∴△HAD≌△GCD（SAS），∴DH＝DG，∠HDA＝∠CDG，∴∠HDG＝∠ADC＝90°，∴△HDG是等腰直角三角形，∵MH＝MG，∴DM⊥GH，DM＝MH＝MG，（3）①如图3﹣1中，连接AC．在Rt△ABC中，AC＝＝10，在Rt△ACE中，AE＝＝14，∴AF＝AE＝EF＝14﹣2＝12，∴FM＝AM＝AF＝6，在Rt△MGF中，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝20，②如图3﹣2中，连接AC．同法可得AE＝14，AF＝16，FM＝8，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝34，综上所述，满足条件的△DMG的面积为20或34．15．【解答】解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝，∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A'BC＝90°，∴cos∠A'CB＝＝，∴∠A'CB＝30°，∴∠ACA'＝60°；（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM＝∠MA'C，由旋转可得，∠MA'C＝∠A，∴∠A＝∠A'CM，∴tan∠PCB＝tan∠A＝，∴PB＝BC＝，∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，∴tan∠BQC＝tan∠A＝，∴BQ＝BC×＝2，∴PQ＝PB+BQ＝；（3）∵S四边形P A'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，∴S四边形P A'B′Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，法一：（几何法）取PQ的中点G，∵∠PCQ＝90°，∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CG min＝，PQ min＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣；法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，由射影定理得：xy＝3，∴当PQ最小时，x+y最小，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，当x＝y＝时，“＝”成立，∴PQ＝+＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣．16．【解答】解：（1）结论：△PMN是等边三角形．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故答案为等边三角形．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD，CE．由旋转可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM＝，且PM∥CE．同理可证PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．（3）∵PM＝EC，∴当EC最大时，等边△PMN的周长最大，∵EC≤AE+AC，∴EC≤8，∴PM≤4，∴PM的最大值为4，∴△PMN的周长的最大值为12．17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．18．【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，∠CAE＝90°，AC＝AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，∵CE＝CD+DE＝CD+BC，∴BC+CD＝AC，故答案为：等腰直角；BC+CD＝AC；（2）延长CO交⊙O于E，连接AE、BE、DE，则∠CDE＝90°，∵点C为的中点，∴点E为的中点，∴EA＝EB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由（1）得，DE＝（AD+BD），由勾股定理得，CD2＝CE2﹣DE2＝AD2+BD2﹣（AD+BD）2＝（AD﹣BD）2，∴CD＝（BD﹣AD）；（3）如图3，当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、PC，∵CA＝CB，点P为AB的中点，∴CP⊥AB，∵CA＝CE，点Q为AE中点，∴CQ⊥AE，AQ＝QE＝AE＝5，∴由勾股定理得，CQ＝＝12，由（1）得，AQ+CQ＝PQ，。

2023年各地中考几何压轴题汇编附详解

2023年各地中考几何压轴题汇编附详解

2023年各地中考几何压轴题汇编1.(2023·安徽)在Rt ABC △中.M 是斜边AB 的中点.将线段MA 绕点M 旋转至MD 位置.点D 在直线AB 外.连接,AD BD ．（1）如图1.求ADB ∠的大小；（2）已知点D 和边AC 上的点E 满足,ME AD DE AB ⊥∥．（ⅰ）如图2.连接CD .求证：BD CD =；（ⅱ）如图3.连接BE .若8,6AC BC ==.求tan ABE ∠的值．2.(2023·北京)在ABC 中、()045B C αα∠=∠=︒<<︒.AM BC ⊥于点M .D 是线段MC 上的动点（不与点M .C 重合）.将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．（1）如图1.当点E 在线段AC 上时.求证：D 是MC 的中点；（2）如图2.若在线段BM 上存在点F （不与点B .M 重合）满足DF DC =.连接AE .EF .直接写出AEF ∠的大小.并证明．3.(2023·福建)如图1.在ABC 中.90,,BAC AB AC D ∠=︒=是AB 边上不与,A B 重合的一个定点．AO BC ⊥于点O .交CD 于点E ．DF 是由线段DC 绕点D 顺时针旋转90︒得到的.,FD CA 的延长线相交于点M ．（1）求证：ADE FMC △∽△；（2）求ABF ∠的度数；（3）若N 是AF 的中点.如图2．求证：ND NO =．4.(2023·广西)如图.ABC是边长为4的等边三角形.点D.E.F分别在边AB.BC.CA==．上运动.满足AD BE CF≌；（1）求证：ADF BED（2）设AD的长为x.DEF的面积为y.求y关于x的函数解析式；（3）结合（2）所得的函数.描述DEF的面积随AD的增大如何变化．5.(2023·河北)如图1和图2.平面上.四边形ABCD 中.8,12,6,90AB BC CD DA A ====∠=︒.点M 在AD 边上.且2DM =．将线段MA 绕点M 顺时针旋转(0180)n n ︒<≤到,MA A MA ''∠的平分线MP 所在直线交折线—AB BC 于点P .设点P 在该折线上运动的路径长为(0)x x >.连接A P '．（1）若点P 在AB 上.求证：A P AP '=；（2）如图2．连接BD ．①求CBD ∠的度数.并直接写出当180n =时.x 的值；①若点P 到BD 的距离为2.求tan A MP '∠的值；（3）当08x <≤时.请直接．．写出点A '到直线AB 的距离．（用含x 的式子表示）．6.(2023·山西)问题情境：“综合与实践”课上.老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开.得到两个全等的三角形纸片.表示为ABC 和DFE △.其中90,ACB DEF A D ∠=∠=︒∠=∠．将ABC 和DFE △按图2所示方式摆放.其中点B 与点F 重合（标记为点B ）．当ABE A ∠=∠时.延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状.并说明理由．（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；（2）深入探究：老师将图2中的DBE 绕点B 逆时针方向旋转.使点E 落在ABC 内部.并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3.当ABE BAC ∠=∠时.过点A 作AM BE ⊥交BE 的延长线于点,M BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系.并加以证明．请你解答此问题；①“智慧小组”提出问题：如图4.当CBE BAC ∠=∠时.过点A 作AH DE ⊥于点H .若9,12BC AC ==.求AH 的长．请你思考此问题.直接写出结果．7.(2023·深圳)（1）如图.在矩形ABCD 中.E 为AD 边上一点.连接BE .①若BE BC =.过C 作CF BE ⊥交BE 于点F .求证：ABE FCB ≌△△；②若20ABCD S =矩形时.则BE CF ⋅=______．（2）如图.在菱形ABCD 中.1cos 3A =.过C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E .过E 作EF AD ⊥交AD 于点F .若24ABCD S =菱形时.求EF BC ⋅的值．（3）如图.在平行四边形ABCD 中.60A ∠=︒.6AB =.5AD =.点E 在CD 上.且2CE =.点F 为BC 上一点.连接EF .过E 作EG EF ⊥交平行四边形ABCD 的边于点G .若EF EG ⋅=.请直接写出AG 的长．8.(2023·无锡)如图.四边形ABCD 是边长为4的菱形.60A ∠=︒.点Q 为CD 的中点.P 为线段AB 上的动点.现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ''．（1）当45QPB ∠=︒时.求四边形BB C C ''的面积；（2）当点P 在线段AB 上移动时.设BP x =.四边形BB C C ''的面积为S .求S 关于x 的函数表达式．9.(2023·武汉)问题提出：如图（1）.E 是菱形ABCD 边BC 上一点.AEF △是等腰三角形.AE EF =.()90,α∠=∠=≥︒AEF ABC a AF 交CD 于点G .探究GCF ∠与α的数量关系．问题探究：（1）先将问题特殊化.如图（2）.当90α=︒时.直接写出GCF ∠的大小；（2）再探究一般情形.如图（1）.求GCF ∠与α的数量关系．问题拓展：（3）将图（1）特殊化.如图（3）.当120α=︒时.若12DG CG =.求BE CE 的值．10.(2023·徐州)【阅读理解】如图1.在矩形ABCD 中.若,AB a BC b ==.由勾股定理.得222AC a b =+.同理222BD a b =+.故()22222AC BD a b+=+．【探究发现】如图2.四边形ABCD 为平行四边形.若,AB a BC b ==.则上述结论是否依然成立？请加以判断.并说明理由．【拓展提升】如图3.已知BO 为ABC 的一条中线.,,AB a BC b AC c ===．求证：222224a b c BO +=-．【尝试应用】如图4.在矩形ABCD 中.若8,12AB BC ==.点P 在边AD 上.则22PB PC +的最小值为_______．11.(2023·黄冈)【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形.90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒==.连接AD .BE .探究AD .BE 的位置关系．（1）如图1.当1m =时.直接写出AD .BE 的位置关系：____________；（2）如图2.当1m ≠时.（1）中的结论是否成立？若成立.给出证明；若不成立.说明理由． 【拓展应用】（3）当4m AB DE ===时.将CDE 绕点C 旋转.使,,A D E 三点恰好在同一直线上.求BE 的长．12.(2023·十堰)过正方形ABCD 的顶点D 作直线DP .点C 关于直线DP 的对称点为点E .连接AE .直线AE 交直线DP 于点F ．（1）如图1.若25CDP ∠=︒.则DAF ∠=___________︒；（2）如图1.请探究线段CD .EF .AF 之间的数量关系.并证明你的结论；（3）在DP 绕点D 转动的过程中.设AF a =.EF b =请直接用含,a b 的式子表示DF 的长．13.(2023·随州)1643年.法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A .B .C .求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置.意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明.该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”.该问题也被称为“将军巡营”问题．（1）下面是该问题的一种常见的解决方法.请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空.①处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空.①处填写角度数.①处填写该三角形的某个顶点） 当ABC 的三个内角均小于120︒时.如图1.将APC △绕.点C 顺时针旋转60︒得到A P C ''.连接PP '.由60PC P C PCP ''=∠=︒，.可知PCP '△为 ① 三角形.故PP PC '=.又P A PA ''=.故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥.由 ① 可知.当B .P .P '.A 在同一条直线上时.PA PB PC ++取最小值.如图2.最小值为A B '.此时的P 点为该三角形的“费马点”.且有APC BPC APB ∠=∠=∠= ① ； 已知当ABC 有一个内角大于或等于120︒时.“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3.若120BAC ∠≥︒.则该三角形的“费马点”为 ① 点．（2）如图4.在ABC 中.三个内角均小于120︒.且3430AC BC ACB ==∠=︒，，.已知点P 为ABC 的“费马点”.求PA PB PC ++的值；（3）如图5.设村庄A .B .C 的连线构成一个三角形.且已知4km 60AC BC ACB ==∠=︒，，．现欲建一中转站P 沿直线向A .B .C 三个村庄铺设电缆.已知由中转站P到村庄A.B.C的铺设成本分别为a元/km.a元/km元/km.选取合适的P的位置.可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）14.(2023·东营)（1）用数学的眼光观察．如图.在四边形ABCD 中.AD BC =.P 是对角线BD 的中点.M 是AB 的中点.N 是DC 的中点.求证：PMN PNM ∠=∠．（2）用数学的思维思考．如图.延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E .延长线段BC 交MN 的延长线于点F .求证：AEM F ∠=∠．（3）用数学的语言表达．如图.在ABC 中.AC AB <.点D 在AC 上.AD BC =.M 是AB 的中点.N 是DC 的中点.连接MN 并延长.与BC 的延长线交于点G .连接GD .若60ANM ∠=︒.试判断CGD △的形状.并进行证明．15.(2023·临沂) 如图.90,,,A AB AC BD AB BC AB BD ∠=︒=⊥=+．（1）写出AB 与BD 的数量关系；（2）延长BC 到E .使CE BC =.延长DC 到F .使CF DC =.连接EF ．求证：EF AB ⊥． （3）在（2）的条件下.作ACE ∠的平分线.交AF 于点H .求证：AH FH =．16.(2023· 烟台)如图.点C 为线段AB 上一点.分别以,AC BC 为等腰三角形的底边.在AB 的同侧作等腰ACD 和等腰BCE .且A CBE ∠=∠．在线段EC 上取一点F .使EF AD =.连接,BF DE ．（1）如图1.求证：DE BF =；（2）如图2.若2AD BF =，的延长线恰好经过DE 的中点G .求BE 的长．17.(2023·邵阳)如图.在等边三角形ABC 中.D 为AB 上的一点.过点D 作BC 的平行线DE 交AC 于点E .点P 是线段DE 上的动点（点P 不与D E 、重合）．将ABP 绕点A 逆时针方向旋转60︒.得到ACQ .连接,EQ PQ PQ 、交AC 于F ．（1）证明：在点P 的运动过程中.总有120PEQ ∠=︒． （2）当APDP为何值时.AQF 是直角三角形？18.(2023·湘潭)问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后.进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G.以BG为边长向外作正方形BEFG.将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．特例感知：，相交于点P.小红发现点P恰为DF的中点.如图（1）当BG在BC上时.连接DF AC①．针对小红发现的结论.请给出证明；（2）小红继续连接EG.并延长与DF相交.发现交点恰好也是DF中点P.如图②.根据小∆的形状.并说明理由；红发现的结论.请判断APE规律探究：（3）如图③.将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α.连接DF.点P是DF中点.连接AP. EP.AE.APE∆的形状是否发生改变？请说明理由．19.(2023·岳阳)如图1.在ABC 中.AB AC =.点,M N 分别为边,AB BC 的中点.连接MN ．初步尝试：（1）MN 与AC 的数量关系是_________.MN 与AC 的位置关系是_________．特例研讨：（2）如图2.若90,BAC BC ∠=︒=先将BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角）.得到BEF △.当点,,A E F 在同一直线上时.AE 与BC 相交于点D .连接CF ．（1）求BCF ∠的度数；（2）求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒.将BMN 绕点B 顺时针旋转α.得到BEF △.连接AE .CF ．当旋转角α满足0360α︒<<︒.点,,C E F 在同一直线上时.利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系.并说明理由．20.(2023·大连)综合与实践问题情境：数学活动课上.王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知,90AB AC A =∠>︒.点E 为AC 上一动点.将ABE 以BE 为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D 落在BC 上时.2EDC ACB ∠=∠．”小红：“若点E 为AC 中点.给出AC 与DC 的长.就可求出BE 的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1.请你回答：问题1：在等腰ABC 中.,90,AB AC A BDE =∠>︒△由ABE 翻折得到．（1）如图1.当点D 落在BC 上时.求证：2EDC ACB ∠=∠；（2）如图2.若点E 为AC 中点.43AC CD ==,.求BE 的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成90A ∠<︒的等腰三角形.可以将问题进一步拓展．问题2：如图3.在等腰ABC 中.90,4,2A AB AC BD D ABD ∠<===∠=∠︒．若1CD =.则求BC 的长．2023年各地中考几何压轴题汇编详解1.(2023·安徽)在Rt ABC △中.M 是斜边AB 的中点.将线段MA 绕点M 旋转至MD 位置.点D 在直线AB 外.连接,AD BD ．（1）如图1.求ADB ∠的大小；（2）已知点D 和边AC 上的点E 满足,ME AD DE AB ⊥∥．（ⅰ）如图2.连接CD .求证：BD CD =；（ⅱ）如图3.连接BE .若8,6AC BC ==.求tan ABE ∠的值．【答案】（1）90ADB ∠=︒ （2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）21 【小问1详解】解：①MA MD MB ==.∴,MAD MDA MBD MDB ∠=∠∠=∠.在ABD △中.=180MAD MDA MBD MDB ∠+∠+∠+∠︒. ∴180902ADB ADM BDM ︒∠=∠+∠==︒. 【小问2详解】证明：（ⅰ）证法一：如图.延长BD AC 、.交于点F .则90BCF ∠=︒.∵ME AD ⊥.90ADB ∠=︒.∴EM BD ∥．又∵DE AB ∥.∴四边形BDEM 是平行四边形．∴DE BM =．∵M 是AB 的中点..∴AM BM =．∴DE AM =．∴四边形AMDE 是平行四边形．∵ME AD ⊥.∴AMDE 是菱形．∴AE AM =．∵EM BD ∥. ∴AE AM AF AB=． ∴AB AF =．∵90ADB ∠=︒.即AD BF ⊥.∴BD DF =.即点D 是Rt BCF 斜边的中点．∴BD CD =．证法二：∵90ACB ADB ∠=∠=︒.M 是斜边AB 的中点.∴点A C D B 、、、在以M 为圆心.AB 为直径的M 上．∵ME AD ⊥.∴ME 垂直平分AD ．∴EA ED =．∴EAD EDA ∠=∠．∵DE AB ∥.∴BAD EDA ∠=∠．∴EAD BAD ∠=∠．∴BD CD =．证法三：∵ME AD ⊥.90ADB ∠=︒.∴EM BD ∥．又∵DE AB ∥.∴四边形BDEM 是平行四边形．∴DE BM =．∵M 是AB 的中点.∴AM BM =．∴DE AM =．∴四边形AMDE 是平行四边形．∵ME AD ⊥.∴AMDE 是菱形．∴EAD MAD ∠=∠．∵90ACB ADB ∠=∠=︒.M 是斜边AB 的中点.∴点A C D B 、、、在以M 为圆心.AB 为直径的M 上．∴BD CD =．（2）如图所示.过点E 作EH AB ⊥于点H .①8,6AC BC ==.∴10AB =.则152AE AM AB ===. ∵,90EAH BAC ACB AHE ∠=∠∠=∠=︒.①AHE ACB ∽. ①510EH AH AE BC AC AB ===. ①3,4EH AH ==.∴1046BH AB AH =-=-=.∴31tan 62EH ABE BH ===. 2.(2023·北京)在ABC 中、()045B C αα∠=∠=︒<<︒.AM BC ⊥于点M .D 是线段MC 上的动点（不与点M .C 重合）.将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．（1）如图1.当点E 在线段AC 上时.求证：D 是MC 的中点；（2）如图2.若在线段BM 上存在点F （不与点B .M 重合）满足DF DC =.连接AE .EF .直接写出AEF ∠的大小.并证明．【答案】（1）见解析 （2）90AEF ∠=︒.证明见解析【小问1详解】证明：由旋转的性质得：DMDE =.2MDE α∠=.∵C α∠=.∴D DEC M E C α∠-∠∠==.∴C DEC ∠=∠.∴DE DC =.∴DM DC =.即D 是MC 的中点；【小问2详解】 90AEF ∠=︒；证明：如图2.延长FE 到H 使FE EH =.连接CH .AH .∵DF DC =.∴DE 是FCH ∆的中位线.∴DE CH ∥.2CH DE =.由旋转的性质得：DMDE =.2MDE α∠=.∴2FCH α∠=.∵B C α∠=∠=.∴ACH α∠=.ABC 是等腰三角形.∴B ACH ∠∠=.AB AC =.设DM DE m ==.CD n =.则2CH m =.CM m n =+.∴DF CD n ==.∴FM DF DM n m =-=-.∵AM BC ⊥.∴BM CM m n ==+.∴()2BF BM FM m n n m m =-=+--=.∴CH BF =.在ABF △和ACH 中.AB AC B ACH BF CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.∴()SAS ABF ACH ≅.∴AF AH =.∵FE EH =.∴AE FH ⊥.即90AEF ∠=︒．3.(2023·福建)如图1.在ABC 中.90,,BAC AB AC D ∠=︒=是AB 边上不与,A B 重合的一个定点．AO BC ⊥于点O .交CD 于点E ．DF 是由线段DC 绕点D 顺时针旋转90︒得到的.,FD CA 的延长线相交于点M ．（1）求证：ADE FMC △∽△；（2）求ABF ∠的度数；（3）若N 是AF 的中点.如图2．求证：ND NO =．【答案】（1）见解析 （2）135ABF ∠=︒ （3）见解析.【小问1详解】解： DF 是由线段DC 绕点D 顺时针旋转90︒得到的.45DFC ∴∠=︒.,AB AC AO BC =⊥.12BAO BAC ∴∠=∠． 90BAC ∠=︒.45BAO ABC ∴∠=∠=︒．BAO DFC ∴∠=∠．90,90EDA ADM M ADM ︒∠+∠︒=∠+∠=.EDA M ∴∠=∠．ADE FMC ∴△∽△．【小问2详解】解：如图1：设BC 与DF 的交点为I .45,DBI CFI BID FIC ︒∠=∠=∠=∠.BID FIC ∴△∽△.BI DI FI CI∴=. BI FI DI CI ∴=． BIF DIC ∠=∠.BIF DIC ∴△∽△.IBF IDC ∴∠=∠．又90IDC =︒∠.90IBF ∴∠=︒．45,ABC ABF ABC IBF ∠=∠︒=∠+∠.135ABF ∴∠=︒．【小问3详解】解：如图2：延长ON 交BF 于点T .连接,DT DO .90FBI BOA ∠︒∠==.BF AO ∴∥.FTN AON ∴∠=∠． N 是AF 的中点.AN NF ∴=．又TNF ONA ∠=∠.TNF ONA ∴△≌△.,NT NO FT AO ∴==．90,,BAC AB AC AO BC =︒∠=⊥.AO CO ∴=.FT CO ∴=．由（2）知.BIF DIC △∽△.DFT DCO ∴∠=∠．DF DC .DFT DCO ∴△≌△.,DT DO FDT CDO ∴=∠=∠.FDT FDO CDO FDO ∴∠+∠=∠+∠.即ODT CDF ∠=∠．90CDF ∠=︒.90ODT CDF ∴∠=∠=︒.12ND TO NO ∴==. 4.(2023·广西) 如图.ABC 是边长为4的等边三角形.点D .E .F 分别在边AB .BC .CA 上运动.满足AD BE CF ==．（1）求证：ADF BED ≌；（2）设AD 的长为x .DEF 的面积为y .求y 关于x 的函数解析式；（3）结合（2）所得的函数.描述DEF 的面积随AD 的增大如何变化．【答案】（1）见详解 ; （2）24y x =-+ ; （3）当24x <<时.DEF 的面积随AD 的增大而增大.当02x <<时.DEF 的面积随AD 的增大而减小.【小问1详解】证明：∵ABC 是边长为4的等边三角形.∴60∠=∠=∠=︒A B C .4AB BC AC ===.∵AD BE CF ==.∴AF BD CE ==.在ADF △和BED 中.AF BD A B AD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.∴()SAS ADF BED ≌；【小问2详解】解：分别过点C 、F 作CH AB ⊥.FG AB ⊥.垂足分别为点H 、G .如图所示：在等边ABC 中.60A B ACB ∠=∠=∠=︒.4AB BC AC ===.∴sin 60CH AC =⋅︒=∴12ABCSAB CH =⋅= 设AD 的长为x .则AD BE CF x ===.4AF x =-.∴)sin 6042FG AF x =⋅︒=-.∴()142ADFSAD FG x =⋅=-. 同理（1）可知ADF BED CFE ≌≌. ∴()344ADFBEDCFESSSx x ===-. ∵DEF 的面积为y .∴()234444ABCADFy SSx xx =-=-=-+ 【小问3详解】 解：由（2）可知：2y x=-+∴04a =>.对称轴为直线2x ==. ∴当2x >时.y 随x 的增大而增大.当2x <时.y 随x 的增大而减小；即当24x <<时.DEF 的面积随AD 的增大而增大.当02x <<时.DEF 的面积随AD 的增大而减小．5.(2023·河北)如图1和图2.平面上.四边形ABCD 中.8,12,6,90AB BC CD DA A ====∠=︒.点M 在AD 边上.且2DM =．将线段MA 绕点M 顺时针旋转(0180)n n ︒<≤到,MA A MA ''∠的平分线MP 所在直线交折线—AB BC 于点P .设点P 在该折线上运动的路径长为(0)x x >.连接A P '．（1）若点P 在AB 上.求证：A P AP '=； （2）如图2．连接BD ．①求CBD ∠的度数.并直接写出当180n =时.x 的值； ①若点P 到BD 的距离为2.求tan A MP '∠的值；（3）当08x <≤时.请直接．．写出点A '到直线AB 的距离．（用含x 的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2）①90CBD ∠=︒.13x =；①76①236 .（3）22816x x +. 【小问1详解】①将线段MA 绕点M 顺时针旋转()0180n n ︒<≤到MA '. ①A M AM '=.①A MA '∠的平分线MP 所在直线交折线AB BC -于点P . ①A MP AMP '∠=∠. 又①PM PM =.①)('SAS AMP MP A ∆≅∆. ①A P AP '=； 【小问2详解】①①8AB =.6DA =.90A ∠=︒.①10BD ==.①=BC 12CD =.①(222210144BC BD +=+=.2212144CD ==.①222BC BD CD +=. ①90CBD ∠=︒； 如图所示.当180n =时.①PM 平分A MA '∠. ①90PMA ∠=︒. ①PM AB ∥.①DNM ∆∽DBA ∆. ①DN DM MNDB DA BA ==. ①2DM =.6DA =. ①21068DN MN==. ①103DN =.83MN =.①203BN BD DN =-=. ①90PBN NMD ∠=∠=︒.PNB DNM ∠=∠. ①PBN ∆∽DMN ∆.①PB BNDM MN=.即203823PB =. ①解得5PB =.①8513x AB PB =+=+=．①如图所示.当P 点在AB 上时.2PQ =.A MP AMP '∠=∠.∵8,6,90AB DA A ==∠=︒.∴10BD ==.63sin 105AD DBA BD ∠===. ∴2103sin 35BQ BP DBA ===∠.①1014833AP AB BP =-=-= ∴1473tan tan 46AP A MP AMP AM '∠=∠===； 如图所示.当P 在BC 上时.则2PB =.过点P 作PQ AB ⊥交AB 的延长线于点Q .延长MP 交AB 的延长线于点H .∵90PQB CBD DAB ∠=∠=∠=︒. ①90QPB PBQ DBA ∠=︒-∠=∠. ①PQB BAD ∽.∴PQ QB PBBA AD BD ==. 即8610PQ QB PB==.∴4855PQ PB ==.3655BQ PB ==. ∴465AQ AB BQ =+=. ∵,PQ AB DA AB ⊥⊥. ∴PQ AD ∥. ∴HPQ HMA ∽.∴HQ PQHA AM=. ∴854645HQHQ =+. 解得：9215HQ =. ∴922315tan tan tan 865HQ A MP AMP QPH PQ '∠=∠=∠===. 综上所述.tan A MP '∠的值为76①236① 【小问3详解】 解：①当08x <≤时. ∴P 在AB 上.如图所示.过点A '作A E AB '⊥交AB 于点E .过点M 作MF A E '⊥于点F .则四边形AMFE 是矩形.①AE FM =.4EF AM ==.①A MP AMP '≌. ①90PA M A '∠=∠=︒. ①90PA E FA M ''∠+∠=︒. 又90A MF FA M ''∠+∠=︒. ∴PA E A MF ''∠=∠. 又∵90A EP MFA ''∠=∠=︒. ∴A PE MA F ''∽. ∴A P PE A EMA A F FM''==''. ∵A P AP x '==.4MA MA '==.设FM AE y ==.A E h '=即44x x y h h y-==-. ∴4hy x=.()()44x y x h -=-. ∴()444h x x h x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 整理得22816x h x =+. 即点A '到直线AB 的距离为22816x x +．6.(2023·山西)问题情境：“综合与实践”课上.老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开.得到两个全等的三角形纸片.表示为ABC 和DFE △.其中90,ACB DEF A D ∠=∠=︒∠=∠．将ABC 和DFE △按图2所示方式摆放.其中点B 与点F 重合（标记为点B ）．当ABE A ∠=∠时.延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状.并说明理由．（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；（2）深入探究：老师将图2中的DBE 绕点B 逆时针方向旋转.使点E 落在ABC 内部.并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3.当ABE BAC ∠=∠时.过点A 作AM BE ⊥交BE 的延长线于点,M BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系.并加以证明．请你解答此问题；①“智慧小组”提出问题：如图4.当CBE BAC ∠=∠时.过点A 作AH DE ⊥于点H .若9,12BC AC ==.求AH 的长．请你思考此问题.直接写出结果．【答案】（1）正方形.见解析 .（2）①AM BE =.见解析；①275. 【小问1详解】解：四边形BCGE 为正方形．理由如下： ①90BED ∠=︒.①18090BEG BED ∠=︒-∠=︒． ①ABE A ∠=∠. ①AC BE ∥．①90CGE BED ∠=∠=︒． ①90C ∠=︒.①四边形BCGE 为矩形． ①ACB DEB ≅. ①BC BE =．①矩形BCGE 为正方形． 【小问2详解】 ：①AM BE =．证明：①ABE BAC ∠=∠. ①AN BN =． ①90C ∠=︒. ①BC AN ⊥．①AM BE ⊥.即AM BN ⊥. ①1122ABN S AN BC BN AM =⋅=⋅△． ①AN BN =. ①BC AM =．由（1）得BE BC =. ①AM BE =．①解：如图：设,AB DE 的交点为M .过M 作MG BD ⊥于G . ①ACB DEB ≅.①9,12BE BC DE AC ====.A D ABC DBE ∠=∠∠=∠，. ①CBE DBM ∠=∠； ①CBE BAC ∠=∠. ①D BAC ∠=∠. ①MD MB =. ①MG BD ⊥. ①点G 是BD 的中点；由勾股定理得15AB ==.①11522DG BD ==； ①cos DG DED DM BD∠==.①1515752128DG BD DM DE ⨯⋅===.即758BM DM ==； ①75451588AM AB BM =-=-=； ①,AH DE BE DE ⊥⊥.AMH BME ∠=∠. ①AMH BME .①35AH AM BE BM ==. ①33279555AH BE ==⨯=.即AH 的长为275．7.(2023·深圳)（1）如图.在矩形ABCD 中.E 为AD 边上一点.连接BE . ①若BE BC =.过C 作CF BE ⊥交BE 于点F .求证：ABE FCB ≌△△； ②若20ABCD S =矩形时.则BE CF ⋅=______．（2）如图.在菱形ABCD 中.1cos 3A =.过C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E .过E 作EF AD ⊥交AD 于点F .若24ABCD S =菱形时.求EF BC ⋅的值．（3）如图.在平行四边形ABCD 中.60A ∠=︒.6AB =.5AD =.点E 在CD 上.且2CE =.点F 为BC 上一点.连接EF .过E 作EG EF ⊥交平行四边形ABCD 的边于点G .若EF EG ⋅=.请直接写出AG 的长．【答案】（1）①见解析；②20；（2）32；（3）3或4或32. 【详解】解：（1）①①四边形ABCD 是矩形.则90A ABC ∠=∠=︒. ①90ABE CBF ∠+∠=︒. 又①CF BC ⊥.∴90FCB CBF ∠+∠=︒.90CFB A ∠=∠=︒. ∴FCB ABE ∠=∠. 又∵BC BE =. ∴ABE FCB ≌△△；②由①可得FCB ABE ∠=∠.90CFB A ∠=∠=︒. ∴∽ABE FCB . ∴AB BE CF BC=. 又∵20ABCD S AB CD =⋅=矩形.∴20BE CF AB BC ⋅=⋅=.故答案为：20．（2）①在菱形ABCD 中.1cos 3A =. ∴AD BC ∥.AB BC =.则CBE A ∠=∠.①CE AB ⊥.①90CEB ∠=︒. ①cos BE CBE CB∠=. ∴1cos cos 3BE BC CBE BC A BC =⋅∠=⨯∠=. ①114333AE AB BE AB BC AB AB AB =+=+=+=. ①EF AD ⊥.CE AB ⊥.①90AFE BEC ∠=∠=︒.又CBE A ∠=∠.①AFE BEC △∽△. ∴AE EF AF BC CE BE==. ∴EF BC ⋅2443342433ABCD AE CE AB CE S =⨯==⨯⋅==菱形； （3）①当点G 在AD 边上时.如图所示.延长FE 交AD 的延长线于点M .连接GF .过点E 作EH DM ⊥于点H .①平行四边形ABCD 中.6AB =.2CE =.∴6CD AB ==.624DE DC EC =-=-=.①DM FC ∥.①EDM ECF ∽. ∴422EM ED EF EC ===. ∴2MGE FEG S EM SEF ==. ∴2MGE EFGS S ==EF EG ⋅=在Rt DEH △中.60HDE A ∠=∠=︒.则4EH ===.122DH DE ==. ∴12MG HE ⨯= ∴7MG =.∵,GE EF EH MG ⊥⊥.∴90MEH HEG HGE ∠=︒-∠=∠.∴tan tan MEH HGE ∠=∠.∴HE HM HG HE=. ∴2HE HM HG =⋅.设AG a =.则5GD AD AG a =-=-.527GH GD HD a a =+=-+=-.()77HM GM GH aa =-=--=.∴(()27x x =-.解得：3a =或4a =.即3AG =或4AG =.②当G 点在AB 边上时.如图所示.连接GF .延长GE 交BC 的延长线于点M .过点G 作GN AD ∥.则GN BC ∥.四边形ADNG 是平行四边形.设AG x =.则DN AG x ==.4EN DE DN x =-=-.①GN CM ∥.∴ENG ECM ∽. ∴42EG EN GN x EM EC CM -===. ∴21044GN CM x x ==--. ∴42GEF MEF S EG x S EM -==. ∵EF EG⋅=∴244GEF MEF S S x x==--. 过点E 作EH BC ⊥于点H .在Rt EHC △中.2,60ECECH =∠=︒.①EH =1CH =.①12MEF S MF EH =⨯⨯.则12MF = ∴144MF x =-. ∴14101444x FH MF CM CH x x x=--=--=---.1014144x MH CM CH x x-=+=+=--. 90MEF EHM ∠=∠=︒.∴90FEH MEH M ∠=︒-∠=∠.∴tan tan FEH M ∠=∠. 即FH EH EH HM=. ∴2EH FH HM =⋅.即21444x x x x-=⨯--. 解得：123,82x x ==（舍去）. 即32AG =； ③当G 点在BC 边上时.如图所示.过点B 作BT DC ⊥于点T .在Rt BTC 中.1522CT BC ==.2BT ==.∴115222BTC S BT TC =⨯==∵EF EG ⋅=∴EFG S =< ∴G 点不可能在BC 边上. 综上所述.AG 的长为3或4或32． 8.(2023·无锡)如图.四边形ABCD 是边长为4的菱形.60A ∠=︒.点Q 为CD 的中点.P 为线段AB 上的动点.现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ''．（1）当45QPB ∠=︒时.求四边形BB C C ''的面积；（2）当点P 在线段AB 上移动时.设BP x =.四边形BB C C ''的面积为S .求S 关于x 的函数表达式．【答案】（1）8（2）212S x =++ 【小问1详解】如图.连接BD 、BQ .四边形ABCD 为菱形.∴4CB CD ==.60A C ∠=∠=︒.∴BDC 为等边三角形． Q 为CD 中点.∴2CQ =.BQ CD ⊥.∴BQ =QB PB ⊥．45QPB ∠=︒.∴PBQ 为等腰直角三角形.∴PB =PQ =翻折.∴90BPB ∠='︒.PB PB '=.∴BB '=PE =同理2CQ =.∴CC '=QF = ∴((2211122228222PBB CQC BB C C PBCQ S S SS ''''=-+=⨯⨯+⨯⨯+⨯=四边形梯形；【小问2详解】 如图2.连接BQ 、B Q '.延长PQ 交CC '于点F ．PB x =.BQ =90PBQ ∠=︒.∴PQ=．∵1122PBQS PQ BE PB BQ =⨯=⨯.∴BQ PBBEPQ⨯==.∴QE=.∴21212QEBSx==+．90BEQ BQC QFC∠=∠=∠=︒.则90EQB CQF FCQ∠=︒-∠=∠.∴BEQ QFC~.∴2213QFCBEQS CQS QB⎛⎫===⎪⎝⎭.∴QFCS=．∵122BQCS=⨯⨯=∴()22222121212QEB BQC QFCS S S Sx x x⎛⎫=++=+=+⎪⎪+++⎝⎭．9.(2023·武汉)问题提出：如图（1）.E是菱形ABCD边BC上一点.AEF△是等腰三角形.AE EF=.()90,α∠=∠=≥︒AEF ABC a AF交CD于点G.探究GCF∠与α的数量关系．问题探究：（1）先将问题特殊化.如图（2）.当90α=︒时.直接写出GCF ∠的大小； （2）再探究一般情形.如图（1）.求GCF ∠与α的数量关系． 问题拓展：（3）将图（1）特殊化.如图（3）.当120α=︒时.若12DG CG =.求BE CE 的值． 【答案】（1）45︒（2）3902GCF α∠=-︒ （3）23BE CE = 【解析】【小问1详解】延长BC 过点F 作FH BC ⊥.∵90BAE AEB ∠+∠=︒.90FEH AEB ∠+∠=︒.∴BAE FEH ∠=∠.在EBA △和FHE 中ABE EHF BAE FEH AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE BHF ≌.∴AB EH =.BE FH =.∴BC EH =.∴BE CH FH .∴045=∠=∠FCH GCF ．故答案为：45︒．【小问2详解】解：在AB 上截取AN .使AN EC =.连接NE ．180∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ABC BAE AEB AEF FEC AEB . ABC AEF ∠=∠.∴∠=∠EAN FEC ．AE EF =.∴△≌△ANE ECF ．∴∠=∠ANE ECF ．,AB BC =BN BE ∴=α∠=EBN .1902α︒∴∠=-BNE ． ∴∠=∠-∠=∠-∠GCF ECF BCD ANE BCD()139********ααα⎛⎫=︒+-︒-=-︒ ⎪⎝⎭．【小问3详解】解：过点A 作CD 的垂线交CD 的延长线于点P .设菱形的边长为3m . 1,2DG CGm CG m DG 2==∴，．在Rt ADP 中.0120=∠=∠ABC ADC .60ADP ∴∠=︒.3,2∴==PD m AP ． 120α=︒.由（2）知.390902∠=-︒=︒GCF a ．FGC AGP ∠=∠ .FCG ∽∆∆∴APG ． ∴=AP PG CF CG. 5222=m CF m.5CF m ∴=. 在AB 上截取AN .使AN EC =.连接NE .作BO NE ⊥于点O ． 由（2）知.ANE ECF △≌△.①NE CF =.∵AB BC =.∴BN BE =.12OE EF EN ===． ∵120ABC ∠=︒.∴30BNE BEN ∠=∠=︒. BE OE =0cos30 . ∴6,5BE m m CE 59= . 23BE CE ∴=．。

2023年中考数学真题汇编几何综合压轴问题专项练习(共40题)(解析版)

2023年中考数学真题汇编几何综合压轴问题专项练习(共40题)(解析版)

几何综合压轴问题专项练习答案（40题）(1)将CDE 绕顶点C 旋转一周，请直接写出点M ，N 距离的最大值和最小值；(2)将CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒（如图2），求MN 【答案】(1)最大值为3，最小值为1(2)7【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出,CM CN 解；（2）过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点P ，根据旋转的性质求得进而可得1CP =，勾股定理解Rt ,Rt NCP MCP ，即可求解．【详解】（1）解：依题意，112CM DE ==，12CN AB =当M 在NC 的延长线上时，,M N 的距离最大，最大值为（2）解：如图所示，过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点∵CDE 绕顶点C 逆时针旋转∴120BCE ∠=︒，∵45BCN ECM ∠=∠=︒，∴MCN BCM ECM ∠=∠-∠=∴60NCP ∠=︒，∴30CNP ∠=︒，∴112CP CN ==，在Rt CNP 中，2NP NC =-在Rt MNP △中，MP MC CP =+∴2234MN NP MP =+=+【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含(1)如图1，求证：DE BF =；(2)如图2，若2AD BF =，的延长线恰好经过DE 的中点【答案】(1)见解析(2)22BE =+△∵点G 是DE 的中点，∴GH 是FCD 的中位线，∴11122GH CD AD ===，设BE a =，则CH EH ==(1)如图1，求AB边上的高CH的长．''．(2)P是边AB上的一动点，点,C D同时绕点P按逆时针方向旋转90︒得点,C D①如图2，当点C'落在射线CA上时，求BP的长．△是直角三角形时，求BP的长．②当AC D''∴90C PQ PC Q '∠+∠='︒∵90C PQ CPH ∠+∠='︒∴PC Q CPH ∠=∠'．由旋转知PC PC '=，设C D ''与射线BA 的交点为作CH AB ⊥于点H ．∵PC PC ⊥'，∴90CPH TPC ∠'+∠=︒，∵C D AT ''⊥，∴90PC T TPC ∠'+∠='︒，【答案】（1）①见解析；②AD DF BD =+，理由见解析；【分析】（1）①证明：ABE CBD ∠=∠，再证明ABE ≅△可得DF DC =．证明AE DF =，从而可得结论；（2）如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，得90BED ∠=︒，证明2DE BD =，证明2AB BC =，ABE CBD ∠=∠，可得②AD DF BD=+．理由如下：∵DF和DC关于AD对称，=．∴DF DC=，∵AE CD∴AE DF=．∴AD AE DE DF BD=+=+∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =，ADF ADC ∠=∠．∵CD BD ⊥，∴45ADF ADC ∠=∠=︒，∴45EBD ∠=︒．∴2DE BD =．∵AB AC AF ==，∴()11222HF BF BD DF ==-=，222262210BC BD CD =+=+=∴2221022AF AC BC ===⨯=25HF (2)知识应用：如图2Y是菱形；①求证：ABCD②延长BC至点E，连接OE交【答案】(1)见解析5∴1BG BO GC OD==，∴115222CG BC AD ===，∴552OF GC ．处从由60PC P C PCP ''=∠=︒，，可知PCP '△为①三角形，故PP PC '=，又P A PA ''=，故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥，由②可知，当B ，P ，P '，A 在同一条直线上时，PA PB PC ++取最小值，如图2，最小值为(3)如图5，设村庄A ，B ，C 的连线构成一个三角形，且已知4km 23km AC BC ==，，建一中转站P 沿直线向A ，B ，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A ，B ，C 元/km ，a 元/km ，2a 元/km ，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________用含的式子表示）∵ACP A CP ''∠=∠，∴ACP BCP A CP BCP ∠+∠=∠+∠''又∵60PCP '∠=︒过点A '作A H BC '⊥，垂足为H ，∵60ACB ∠=︒，90ACA '∠=︒，∴30A CH '∠=︒，1猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点∵1122 CHGS CH HG=⋅=∴154302CG HE⋅=⨯=，①求证：PD PB =；②将线段DP 绕点P 逆时针旋转，化时，DPQ ∠的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ 与OP 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②不变化，（2）AQ CP =，理由见解析【分析】（1）①根据正方形的性质证明②作,PM AB PN AD ⊥⊥，垂足分别为点∵四边形ABCD 是正方形，∴45DAC BAC ∠=∠=︒，∴四边形AMPN 是矩形，∴90MPN ∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴45BAC ∠=︒，90AOB ∠=∴45AEP ∠=︒，四边形OPEF=作PM AB⊥于点M，则QM MB=，∴QA BE=．∴AQ CP（1）求BCF ∠的度数；（2）求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，连接AE ，CF 满足0360α︒<<︒，点,,C E F 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系，并说明理由．【答案】初步尝试：（1）1MN AC =；MN AC ∥；（2）特例研讨：（1）30BCF ∠=︒；（2）CD∵MN 是BAC 的中位线，∴MN AC ∥，∴90BMN BAC ∠=∠=︒∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α∴,BE BM BF BN ==；BEF ∠=∵点,,A E F 在同一直线上时，2∵,ADN BDE ANB BED ∠=∠∠=∠∴ADN BDE ∽,∴2222DN AN DE BE ===,设DE x =，则2DN x =，在Rt ABE △中，2,2BE AE ==在Rt ADN △中，22AD DN AN =+∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC θ∠=︒-，∵MN 是ABC 的中位线，∴MN AC∥∴MNB MBN θ∠=∠=，∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，∴EBF MBN ≌，MBE NBF α∠=∠=，∴EBF EFB θ∠=∠=∴1802BEF θ∠=︒-，∵点,,C E F 在同一直线上，∴2BEC θ∠=∴180BEC BAC ∠+∠=︒，∴,,,A B E C 在同一个圆上，∴EAC EBC αθ∠=∠=-∴()()1802BAE BAC EAC θαθ∠=∠-∠=︒---180αθ=︒--∵ABF αθ∠=+，∴180BAE ABF ∠∠=+︒；如图所示，当F 在EC 上时，∵,BEF BAC BC BC∠=∠=∴,,,A B E C 在同一个圆上，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC BEF θ∠=∠=︒-，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，设NBF β∠=，则EBM β∠=，则360αβ+=︒，∴ABF θβ∠=-，∵BFE EBF θ∠=∠=,EFB FBC FCB∠=∠+∠∴ECB FCB EFB FBC θβ∠=∠=∠-∠=-，∵ EBEB =∴EAB ECB θβ∠=∠=-∴BAE ∠ABF=∠综上所述，BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+︒【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形，90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒==，连接AD ，BE ，探究AD ，BE 的位置关系．(1)如图1，当1m =时，直接写出AD ，BE 的位置关系：____________；(2)如图2，当1m ≠时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当3,47,4m AB DE ===时，将CDE 绕点C 旋转，使,,A D E 三点恰好在同一直线上，求（2）解：成立；理由如下：∵90DCE ACB ∠=∠=︒，∴DCA ACE ACE ∠+∠=∠+（3）解：当点E 在线段AD设AD y =，则AE AD DE =+根据解析（2）可知，DCA △∴3BE BC m AD AC===，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．(1)若点P 在AB 上，求证：A P AP '=；(2)如图2．连接BD ．①求CBD ∠的度数，并直接写出当180n =时，x 的值；②若点P 到BD 的距离为2，求tan A MP '∠的值；∵PM 平分A MA '∠∴90PMA ∠=︒∴PM AB∥∴DNM DBA V V ∽∴DN DM MN DB DA BA ==∵8,6,90AB DA A ==∠=︒，∴2226BD AB AD =+=+∴2103sin 3BQ BP DBA ===∠，∵90PQB CBD DAB ∠=∠=∠=︒，∴90QPB PBQ DBA ∠=︒-∠=∠，∵A MP AMP ' ≌，∴90PA M A '∠=∠=︒，（2）如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B '处，若24,6BC CE AB ⋅==，求BE 的值；（3）如图③，在ABC 中，45,BAC AD BC ∠=︒⊥，垂足为点,10,D AD AE ==于点F ，连接DF ，且满足2DFE DAC ∠=∠，直接写出53BD EF +的值．∵EF BC ∥，∴2CDF DFE ∠=∠=∴CDH FDH ∠=∠，又∵DH DH =，CHD ∠∴(ASA CHD FHD ≌【点睛】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键．13．（2023·湖南郴州·=，连接点E，使CE AD(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设4AB=，若AEB DEB∠=∠，求四边形BDFC的面积．【答案】(1)1CF BD=，理由见解析∴60,ADG ABC AGD ∠=∠=︒∠=∠∴ADG △为等边三角形，∴AD AG DG ==，∵AD CE =，AD AB AG AC -=-∴DG CE =，BD CG =，于点由①知：ADG △为等边三角形，∵ABC 为等边三角形，∴4,AB AC BC BH CH =====∴2223AH AB BH =-=，(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当90FEC ∠=︒时，求证：AEF DCE ∽△△；②如图2，当2tan 3FCE ∠=时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当1,sin 3GE DE FCE =∠=时，求证：，可得结论；正方形ABCD 中，①ADC BAD ∠=∠ ∴AEF CED ∠+∠=AEF ECD ∴∠=∠，延长DA ，CF 交于点G ，作GH CE ⊥，垂足为H ，90EDC EHG ∠=∠=︒ 且∠问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90α=︒时，直接写出GCF ∠的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF ∠与α的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120α=︒时，若12DG CG =，求BE CE 的值．故答案为：45︒．（2）解：在AB上截取ANABC BAE AEB∠+∠+∠=∠=∠，ABC AEF22⎝⎭（3）解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似．16．（2023·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为∠=∠=︒∠=∠．将ABCACB DEF A D90,和DFE△(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的DBE绕点B逆时针方向旋转，使点问题．∠①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE②“智慧小组”提出问题：如图AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】(1)正方形，见解析(2)①AM BE=，见解析；【分析】（1）先证明四边形形；∠（2）①由已知ABE【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）过正方形E ，连接AE ，直线AE 交直线(1)如图1，若25CDP ∠=︒，则DAF ∠=___________(2)如图1，请探究线段CD ，EF ，AF 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP 绕点D 转动的过程中，设AF a =，EF 【答案】(1)20︒。

2022年成都市中考数学二轮专题复习压轴题几何证明训练

2022年成都市中考数学二轮专题复习压轴题几何证明训练

2022年成都中考数学二轮专题复习压轴题几何证明训练31.已知四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AB、AD上的点，CE垂直平分BF，垂足为G，连接DG．①求证：DG＝CG；②若BC＝2AB，求∠DGC的大小；（2）如图2，AB＝BC＝6，M、N、P分别是AB、CD、AD上的点，MN垂直平分BP，点Q是CD的中点，连接MP，PQ，若PQ⊥MP，直接写出CN的长．2.在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．3. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，点M 是AB 的中点，连接MC ，点P 是线段BC 延长线上一点，且PC ＜BC ，连接MP 交AC 于点H ．将射线MP 绕点M 逆时针旋转60°交线段CA 的延长线于点D ． （1）找出与∠AMP 相等的角，并说明理由． （2）如图2，CP =12BC ，求ADBC 的值．（3）在（2）的条件下，若MD =√133，求线段AB 的长．4. 已知正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．（1）如图1，E ，G 分别是OB ，OC 上的点，CE 与DG 的延长线相交于点F ．若DF ⊥CE ，求证：OE =OG ；（2）如图2，H 是BC 上的点，过点H 作EH ⊥BC ，交线段OB 于点E ，连结DH 交CE 于点F ，交OC 于点G ．若OE =OG ， ①求证：∠ODG =∠OCE ； ②当AB =1时，求HC 的长．5.如图1，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，交BC于点E，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点G，交AB的延长线于点F．(1)求证：BE＝BF；(2)如图2，连接BG、BD，求证：BG平分∠DBF；(3)如图3，连接DG交AC于点M，求AE的值．DM6.如图，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为点G，点E为边AC上一点，BE=CE，点D为边BC上一点，GD=GB，连接AD交BE于点F．（1）求证：∠ABE=∠EAF；（2）求证：AE2=EF•EC；（3）若CG=2AG，AD=2AF，BC=5，求AE的长．7.如图1，在菱形ABCD中，AB=√3，∠BCD=120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN=CD，连接CM、AM、BN．（1）当∠DCM=30°时，求DM的长度；（2）如图2，延长BN、DC交于点E，求证：AM•DE=BE•CD；（3）如图3，连接AN，则AM+AN的最小值是______．8.已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图（1），若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：ADDE ＝CGCD；（2）如图（2），若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得ADDE ＝CGCD成立？并证明你的结论；（3）如图（3），若BA＝BC＝9，DA＝DC＝12，∠BAD＝90°，DE⊥CF．求出DECF的值．9.如图，在矩形ABCD中，E为CD上一点，将△ADE沿直线AE翻折，使点D落在BC边上点D′处（1）如图1，求证：△CD′E～△BAD′；（2）如图2，F为AD上一点，且DF=CD′，EF与BD相交于点G，试探究EF与BD 的位置关系，并说明理由；（3）设AD′与BD相交于点H，在（2）的条件下，若D′E // BD，HG=2，求BD的长．10.△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB 于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．S△ABC时，求线段EF的长．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当S△DEF=1411.在△ABC 中，∠ACB为锐角，AC=4，AB=6，点D为边AB上一点，且∠ACD≤∠ABC．（1）如图1，当∠ACD=∠ABC时，求BD的长；（2）当∠ACD＜∠ABC时，在CD上取点E，使∠ABE=∠ACD．①如图2，若点E恰好为CD的中点，求BD的长；②在①的条件下，若∠ABC=30°，如图3，求△BCD的面积．12.如图，点E是矩形ABCD的边BC的中点，DE交对角线AC于点F．（1）求证：AF＝2CF；（2）若∠EFC＝2∠ECF．①求证：AE＋EF＝AC；②求AB的值（直接写出结果，不必写出解答过程）．AC13.已知△ABC和△EFC中，∠ABC＝∠EFC＝α，点E在△ABC内，且∠CAE+∠CBE＝90°.（1）如图①，当△ABC和△EFC都是等腰三角形，且α＝90°时，连结BF.①求证：△ACE∽△BCF；②若BE＝1，AE＝2，求EF的长.（2）如图②，当∠ACB＝∠ECF，且α＝90°时，若CFCE=k，BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值.14.如图所示，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E，连接BP 并延长BP 交边AD 于点F，交CD 的延长线于点G．⑴求证：PB=PD；⑵若已知DFFA =12，求DPPF的值；⑶在⑵的条件下，当△DGP 是等腰三角形时，求cos∠DAB 的值．15.如图1，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，BD＝2DC，E为线段AD上一点，∠BED＝∠BAC．（1）求证：∠ABE＝∠CAD；（2）过点C作CF // BE交AD的延长线于点F，试探索AE与CF的数量关系；（3）如图2，若AD＝BD，AB＝6，求CE的长．16.如图，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE＝AD，∠BAE的平分线交DE的延长线于点P．（1）求∠APD的度数；（2）若DE︰EP＝4︰3，求AB︰AD的值；（3）在（2）的条件下，连接BP，作PF⊥AE交AE的延长线于点F，当AB＝20时，求BP的长。

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中考数学例题讲解
【例１】如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ．FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF 。

（1）求证：ΔBEF ∽ΔCEG ．
（2）当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
（3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？
解析过程及每步分值 （1） 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB DG ··········· 1分 所以,B GCE G BFE ∠=∠∠=∠
所以BEF CEG △∽△ ························· 3分
（2）BEF CEG △与△的周长之和为定值． ················· 4分 理由一：
过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ，
因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．所以 FH ＝CG ，FG ＝CH
因此，BEF CEG △与△的周长之和等于BC ＋CH ＋BH
由 BC ＝10，AB ＝5，AM ＝4，可得CH ＝8，BH ＝6，
所以BC ＋CH ＋BH ＝24 ·························· 6分 理由二：
由AB ＝5，AM ＝4，可知 在Rt △BEF 与Rt △GCE 中，有：
4343,,,5555
EF BE BF BE GE EC GC CE ====， 所以，△BEF 的周长是125BE ， △ECG 的周长是125CE 又BE ＋CE ＝10，因此BEF CEG 与的周长之和是24． ··········· 6分
（3）设BE ＝x ，则43,(10)55
EF x GC x =
=- 所以21143622[(10)5]2255255
y EF DG x x x x ==-+=-- ········· 8分 配方得：2655121()2566
y x =--+． 所以，当556x =时，y 有最大值． ····················· 9分 图10 M B D C E
F G x A A M x H G F E D C
B
最大值为
1216
． ······························ 10分 【例２】如图二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)与坐标轴交于点A 、B 、C 且OA ＝1 OB ＝OC ＝3．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）写出顶点坐标和对称轴方程．
（3）点M 、N 在y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像上(点N 在点M 的右边)，且MN ∥x 轴，求以MN 为直径且与x 轴相切的圆的半径．
解析过程及每步分值
（1）依题意(10)(30)(03)A B C --，，，，，分别代入
2y ax bx c =++ ·························
解方程组得所求解析式为223y x x =-- ··············
（2）2223(1)4y x x x =--=-- ·················
∴顶点坐标(14)-，，对称轴1x = ·················
（3）设圆半径为r ，当MN 在x 轴下方时，N 点坐标
为(1)r r +-， ··························
把N 点代入223y x x =--得r = ·················· 9分
同理可得另一种情形r =
∴圆的半径为12-+或12
+ 10分 【例3】已知两个关于x 的二次函数1y 与当x k =时，217y =；且二次函数2y 的图象的对称轴是直222112()2(0)612y y a x k k y y x x =-+>+=++，，线1x =-．
（1）求k 的值；
（2）求函数12y y ，的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数1y 的图象与2y 的图象是否有交点？请说明理由．
解析过程及每步分值
（1）由22112()2612y a x k y y x x =-++=++，
得22222121()612()2610()y y y y x x a x k x x a x k =+-=++---=++--． 又因为当x k =时，217y =，即261017k k ++=，
解得11k =，或27k =-（舍去），故k 的值为1．
（2）由1k =，得2222610(1)(1)(26)10y x x a x a x a x a =++--=-+++-， 所以函数2y 的图象的对称轴为262(1)
a x a +=--， 于是，有2612(1)
a a +-=--，解得1a =-， 所以2212212411y x x y x x =-++=++，．
（3）由21(1)2y x =--+，得函数1y 的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(12)，； 由22224112(1)9y x x x =++=++，得函数2y 的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(19)-，；
故在同一直角坐标系内，函数1y 的图象与2y 的图象没有交点．
【例4】如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB
所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点.
（1）求点A 的坐标;
（2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;
（3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当
46S +≤+,求x 的取值范围.
解析过程及每步分值
解：（1）∵4)2(42
2-+=+=x x x y
∴A(-2,-4)
（2）四边形ABP 1O 为菱形时，P 1(-2,4) 四边形ABOP 2为等腰梯形时，P 1(5
452-
，) 四边形ABP 3O 为直角梯形时，P 1(5
854，-) 四边形ABOP 4为直角梯形时，P 1(51256-，)。

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