第一+二节(符号法,拉普拉斯变换)

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§6.1
函数 ϕ (t )
符号法
运算微积的原始形式是符号法。 运算微积的原始形式是符号法。 符号法
d 在函数 ϕ (t ) 的n阶导数可以看成求导算符 p = 阶导数可以看成求导算符 dt n
作用n次的结果 作用 次的结果
1 积分算符 ϕ (t ) = ∫ ϕ (τ )dτ 0 p t τ1 1 1 2 例： 1 1 = t 1dτ 1 = ∫ ∫ 1dτdτ 1 = t 2 ∫0 0 0 p p 2
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§6.2 拉普拉斯变换
(一) 拉普拉斯变换的定义
我们知道傅氏变换要求一个函数要满足狄氏条件，
同时这个函数还要满足在(− ∞， ∞ )内绝对可积. +
故傅氏变换的应用范围就受到相当大的限制.
拉普拉斯变换
存在的条件比傅里叶变换宽松的多
拉普拉斯变换常用于初始值问题 即已知某个物理量在初始 拉普拉斯变换常用于初始值问题,即已知某个物理量在初始 初始值问题 时刻t=0的值 求解初始时刻之后的变化情况f(t),至于初始 时刻 的值f(0),求解初始时刻之后的变化情况 的值 求解初始时刻之后的变化情况 至于初始 时刻之前的值,我们不感兴趣 可令 时刻之前的值 我们不感兴趣,可令 我们不感兴趣
0
t →∞
dt = f ( t ) e
− pt +∞ 0
−
+∞
∫
0
f ( t )d (e − pt )
取 Re p > σ 0 , lim e − pt f (t ) = 0 则
[ f ′(t )]
= − f (0) − ∫ f (t )d (e
0
∞
− pt
) = p ∫ f (t )e − pt dt − f (0)
σ + iω = p
1 dω = dp i
i∞ 1 σ + i∞ ip f (t ) = ∫σ −i∞ f ( p )e d p 2πi
黎曼—梅林反演公式 黎曼 梅林反演公式
原函数
像函数
拉普拉斯变换对
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f ( p) =
f (t ) =
−1
[ f ( p )]
[ f (t )]
f ( p ) = ∫ f (t )e − pt dt 存在的条件是：(1)在 (0 ≤ t < ∞ ) 存在的条件是： 在 0
1 ∞ 1 ∞ − iω t − (σ + iω ) t G (ω ) = dt ∫−∞ g (t )e dt = 2π ∫0 f (t )e 2π 记 σ + iω 为 p 且将 G (ω ) 记作 f ( p ) / 2π
f ( p ) = ∫ f (t )e − pt dt
0
∞
拉普拉斯积分
拉普拉斯变换
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∞ df ( p ) = ∫ e − pt (−t ) f (t )dt 0 dp d f ( p) ɺ 则可得 tf (t ) =(−1) ⋅ dp dn t n f (t ) =(−1) n n f ( p ) ɺ ⋅ dp
d [tf (t )] = (−1) f ( p) dp
[
dn t n f (t ) = (−1) n n f ( p) dp
同理可得
[t ] =
n
n! p
n +1
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例3
∞
求
e st , S为常数 为常数
− pt ∞ −( p − s )t
解 在Rep>Res 半平面上 半平面上,
∫
0
e ⋅e
st
故
dt = ∫ e 0 1 = p−s 1 st e = p − s (Re p > Re s )
f (t ) = 0 (t < 0)
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我们把f(t)加工成 我们把 加工成g(t) 加工成
g (t ) = e
−σ t
f (t )
e
−σ t
可以保证g(t)在区间 是收敛因子,可以保证 收敛因子 可以保证 在区间
( −∞ , ∞ )上绝对可积
可以对g(t)施行傅里叶变换 施行傅里叶变换: 可以对 施行傅里叶变换
的任意有限区间上,除了有限个第一类间断点外 函数 的任意有限区间上 除了有限个第一类间断点外,函数 及其导数 除了有限个第一类间断点外 函数f(t)及其导数 处处连续， 存在常数 存在常数M>0和 σ 处处连续， (2)存在常数 和
∞
≥ 0 对于任意 有 对于任意t,有
| f (t ) |< Me σ t
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拉普拉斯变换与傅立叶变换同为积分变换，故有类似性质
(1) 线性定理
若α , β是常数 ,
则有
[ f1 (t )] = f1 ( p ), [ f 2 (t )] = f 2 ( p ), [αf1 (t ) + βf 2 (t )] = α [ f1 (t )] + β [ f 2 (t )] −1 [αf1 ( p ) + βf 2 ( p )] = α −1[ f1 ( p )]+ β −1[ f 2 ( p )]
2
例如：电阻 和自感 和自感L串联电路微分方程是 例如：电阻R和自感 串联电路微分方程是
Ldj / dt + Rj = E
则有
d L + R j = E dt E j= 1 Lp + R
p在分母中， 在分母中， 在分母中 没有意义
然后分式展开
E E 1 j= 1= ⋅ 1= Lp + R Lp 1 + R 1 LP R 1 R 2 1 R3 E = + 2 2− 3 1 − Lp L p L p L
2
1 − 2i
[e
− iω t
]
p +ω
2
(Re p > 0)
p [cos ω t ] = 2 (Re p > 0) 2 p +ω
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(2) 导数定理
若
[ f (t )] = f ( p ) 则有 [ f ′(t )] = pf ( p ) − f (0 )
+∞ − pt
证 ∵
[ f ′(t )] = ∫ f ′(t )e
1 dt = − [ e − ( p − s ) t ]∞ 0 p−s
例4
∞
求
[ te
− pt
st
] ,s为常数 为常数
解 在Rep>Res半平面上 半平面上, 半平面上
∫
0
te ⋅ e
st
∞ 1 dt = − td [ e − ( p − s ) t ] ∫0 p−s
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∞ 1 −( p − s )t ∞ =− [te ]0 − ∫ e − ( p − s ) t dt 0 p−s
σ
例1 解
实际用中， 实际用中 的下界称为收敛横标 收敛横标,表示为 的下界称为收敛横标 表示为 σ 0 ,实际用中，大多数函数都 满足此充分条件. 满足此充分条件 求
[1 ]
σ >0
) 的半平面上 的半平面上, 故有
∞
在Rep>0 (即 即
∫
0
1⋅ e
− pt
1 dt = p
1 [1] = (Re p > 0) p
第六章 拉普拉斯变换
上章指出， 积分和Fourier变换存在的条件是原函数 上章指出，Fourier积分和 积分和 变换存在的条件是原函数 f(x)在任一有限区域上满足 在任一有限区域上满足Dirichlet 条件，并且在 (−∞, +∞) 条件， 在任一有限区域上满足 区间上绝对可积 这是很强的条件。在许多物理现象中， 绝对可积， 区间上绝对可积，这是很强的条件。在许多物理现象中，考虑 的是以时间为自变量的函数(如 研究电路中电流 电流、 的是以时间为自变量的函数 如，研究电路中电流、电压和电量 的时间变化规律)的初值问题 即已知物理量在初始时刻t=0(电路 的初值问题： 的时间变化规律 的初值问题：即已知物理量在初始时刻 电路 接通瞬时)的值 的值f(0),研究它们在 研究它们在t>0(联络接通后 的变化情况 联络接通后)的变化情况 接通瞬时 的值 研究它们在 联络接通后 的变化情况f(t),对于 对于 t<0(电路接通之前 的情况，可以不必考虑。另外，许多常见函数 电路接通之前)的情况 电路接通之前 的情况，可以不必考虑。另外， (如多项式、三角函数等 不满足 如多项式、 不满足Fourier变换的条件。 变换的条件。 如多项式 三角函数等)不满足 变换的条件 总之， 总之，对于物理学和工程技术上常遇到的定义在[0, +∞) 的 函数f(t) , Fourier变换不再有效，为此我们必须采用新的变换。 变换不再有效， 函数 变换不再有效 为此我们必须采用新的变换。 历史上， 变换出现于无线电工程师Heaviside发明的 历史上，Laplace变换出现于无线电工程师 变换出现于无线电工程师 发明的 符号法之后 后经Jeffreys发展为 发展为—— 求解线性微分方程的符号法之后———后经 后经 发展为 求解线性微分方程的符号法之后 运算微积。 运算微积。
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例2
∞
求
[t ]
1 ∞ dt = − ∫ td e − pt p 0 1 − pt ∞ 1 ∞ − pt = − te 0 + ∫ e dt p p 0 1 ∞ − pt 1 = ∫ e dt = 2 p 0 p
半平面上, 半平面上 解 在Rep>0半平面上
∫
0
t ⋅e
− pt
( )
[
]
故
1 [t ] = 2 (Re p > 0) p
同理可证逆变换. 同理可证逆变换