高考数学二轮复习 专题限时集训(二十三)第23讲 几何证明选讲配套作业 理(解析版)
几何证明选讲[高考数学总复习][高中数学课时训].doc
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几何证明选讲自主学习Q基础自测1.如图所示，己知在AABC中，ZC二90°,正方形DEFC内接于AABC, DE〃AC, EF〃BC,AC=1, BC=2,贝lj AF : FC= ________ .答案&22•从不在00上的一点A作直线交00于B. C•且AB・AC二64, 0A=10,则00的半径等■*7 » 1 ‘•3•设P为Z\ABC内一点,HAP=- AB+- AC ,则ZSABP的面积与AABC的面积之比等于.54•如图所示,AC为00的直径,BD丄AC于P, PC二2, PA二8, 则CD的长为,cosZACB-答案2^5 £5•如图所示,PA与圆0相切于A, PCB为圆0的割线,并且不过圆心B 己知ZBPA=30° , PA=2 V3 , PC=1,则圆0的半径等于答案7典例剖析一例1已知：如图所示，以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作平行四边形ACED,连接EB, DC的延长线交BE于F. 求证：EF-BF.证明连接AE交DC于0.•・•四边形ACED为平行四边形,・・・0是AE的屮点（平行四边形对角线互相平分）.•・•四边形ABCD是梯形，・・・DC〃AB.在AEAB屮，OF/ZAB, 0是AE的中点,・・・F是EB的中点,即EF-BF.例2如图所示，在ZXABC中，AD为BC边上的中线,F为ABA上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE • BF=2DE • AF・证明过点D作AB的平行线DM交AC于点M,交FC于点N. 在ZiBCF中,D是BC的中点，DN〃BF, •••DN二丄BF.2VDN/7AF, AAAFE^ADNE,•AE _ DE•AF DN乂DN二丄BF, • AE - 2DE '~AF~ BF即AE ・ BF=2DE ・ AF.例3 （2008 •苏、锡、常、镇三检）自岡0外一点P引切线与鬪切于点A,M为PA的中点,过M引割线交圆于B, C两点.求证：ZMCP=ZMPB.证明TPA与圆相切于A,/. MA J=MB ・ MC,TM为PA中点,・・・PM二MA,PM =MB ・ MC,VZBMP=ZPMC, .•.△BMP S^PM C,•••ZMCP 二ZMPB.例4 （14分）如图所示，AB是00的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是。
高考数学总复习：选修4 1《几何证明选讲》1
逻辑不严密：在证明过 程中逻辑链条可能不严 密导致结论不成立或出 现漏洞。
忽视隐含条件：在几何 问题中有时会存在一些 隐含条件如果忽视这些 条件可能会导致证明过 程出错。
图形绘制错误：在解题 过程中如果图形绘制不 准确可能会导致证明过 程出现偏差或错误。
几何证明的拓展和提高
第五章
几何证明的进阶内容
掌握多种几何证明方法如反证法、归纳法等。 理解并运用各种几何定理和性质如相似三角形、余弦定理等。 提高逻辑推理能力能够根据已知条件进行合理的推断和证明。 培养空间想象能力能够理解并解决立体几何问题。
几何证明的数学思想
演绎推理：从 已知条件出发 按照严格的逻 辑规则推出结 论的思维方式。
归纳推理：从 大量具体事例 中概括出一般 原理的思维方
综合法：从已知条件出发经过推理逐步推导出结论的方法。 归纳法：从一些个别情况出发经过归纳总结出一般结论的方法。 反证法：通过否定结论来证明结论的方法。 演绎法：从一般到特殊的推理方法即从一般原理推导出特殊情况的结论。
几何证明的实践应用
第三章
几何证明在日常生活中的应用
建筑学：证明几何原理在建筑设计中的应用 物理学：解释物理现象和原理如力的合成与分解 计算机科学：算法设计和数据结构的基础 经济学：在决策分析和资源优化中的应用
常见题型：求 证题、证明题、
作图题等
几何证明的基本步骤
理解题意：明确题目给出的条件和 需要证明的结论
推导过程：按照证明方法逐步推导 得出结论
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确定思路：根据题意和已知条件选 择合适的证明方法
检查结果：检查推导过程方案。
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几何证明在经济学中 的应用：在金融、统 计学、市场分析等领 域中几何证明可以用 来证明经济理论和模 型的正确性以及解释
【高三数学试题精选】2018高考数学(理)二轮复习几何证明选讲配套试题
2018高考数学(理)二轮复习几何证明选讲配套试题
5 c 精品题库试题
理数
1 (1)2,解得r=
6(1,0)或N(1,0),使∠N=45°当x0≠0时,过作圆的两条切线,切点为A、B
若在圆上存在N,使得∠N=45°,
应有∠B≥∠N=45°,∴∠AB≥90°,∴-1≤x0 0或0 x0≤1综上,-1≤x0≤1
解法二过作P⊥N,P为垂足,P= sin 45°≤1,
∴≤ ,∴2≤2,∴ +1≤2,∴ ≤1,∴-1≤x0≤1
7（1几何证明选讲）
如图，△ABc为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD//Ac．过点A 作圆的切线与DB的延长线交于点E， AD与Bc交于点F．若AB = Ac，AE = ， BD = 4，则线段cF的长为______．
[答案] 16
[解析] 16 根据切割线定理可得，代入数据得EB=5 因为AB=Ac，可得∠c=∠ABc，又因为EA是切线，根据同弧对应的圆周角相等可得，∠c=∠EAB，所以可得∠E AB=∠ABc，所以可得EA//Bc，又因为BE//Ac，所以四边形AcBE为平行四边形，所以Ac=EB=5，Bc=EA= 因为Ac//BD，所以可得弧AB与弧cD相等，所以可得∠FAcA=∠AcB，所以△AFc∽△BAc，可得，代入数据得
17 (1几何证明选讲）
如图，如图，A，B是圆上的两点，且A⊥B，A=2，c为A的中点，连接Bc并延长交圆于点D，则cD=
[答案] 19
[解析] 19 由相交弦定理得 , 其中为直线与圆另一交点, 因为 , 所以。
高三数学二轮复习课件几何证明选讲
• (7)相似三角形的判定定理：如果一个三角 形的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两 角对应相等，两三角形相似)；如果一个三 角形的两条边和另一个三角形的两条边对 应成比例，并且夹角相等，那么这两个三 角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角 相等，两个三角形相似)；如果一个三角形 的三条边与另一个三角形的三条边对应成 比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三 边对应成比例，两个三角形相似)．
• 1．了解平行截割定理，会证明并应用直 角三角形射影定理；
• 2．会证明并应用圆周角定理、圆的切线 的判定定理及性质定理；
• 3．会证相交弦定理、圆内接四边形的性 质定理及判定定理、切割线定理，并会应 用相交弦定理；
• 4．平行投影的性质与圆锥曲线的统一定 义．
• 几何证明选讲是选考内容，也是新课标新 增的内容，从各地高考试题看，几年来， 这部分的考查题型，大题、小题都有，但 难度不大，从能力要求上来看，主要考查 学生的读图、识图能力，分析问题和解决 问题的能力．
• (3)经过三角形一边的中点与另一边平行的 直线必经过三角形第三边的中点．
• (4)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的 直线必经过梯形另一腰的中点．
• (5)平行于三角形一边的直线截其它两边 (或两边的延长线)所得的对应线段成比 例．
• (6)相似三角形的性质定理：相似三角形的 对应角相等．相似三角形的对应边成比 例．相似三角形对应高的比、对应中线的 比、对应角平分线的比都等于相似比；相 似三角形周长的比、外接圆的直径比、外 接圆的周长比都等于相似比；相似三角形 面积的比、外接圆的面积比都等于相似比 的平方．
• (2011·广东文，15)如右图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分 别为AD，BC上点，且EF＝3，EF∥AB， 则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 ________．
高考数学二轮复习 专题十三 选考部分 第1讲 几何证明
（通用版）2016年高考数学二轮复习 专题十三 选考部分 第1讲 几何证明选讲专题强化训练 理(时间：45分钟 满分：60分)1．如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E .证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ， 所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD，即AC ·BD ＝AD ·AB . (2)由AD 与⊙O 相切于点A ， 得∠AED ＝∠BAD . 又∠ADE ＝∠BDA ， 得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论知，AC ＝AE .2. 如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．解：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .(2)因为△ABE ∽△ADC ， 所以AB AE ＝AD AC， 即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE .则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.3. 如图，圆O 的直径AB ＝d ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝a ，割线PCD 交圆O 于点C ，D ，过点P 作AP 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F .(1)求证：∠PEC＝∠PDF；(2)求PE·PF的值．解：(1)证明：连接BC，易知∠ACB＝∠APE＝90°，即P，B，C，E四点共圆．所以∠PEC＝∠CBA.又A，B，C，D四点共圆，所以∠CBA＝∠PDF.所以∠PEC＝∠PDF.(2)由(1)，知∠PEC＝∠PDF，所以F，E，C，D四点共圆．所以PE·PF＝PC·PD＝PB·PA＝a(a＋d)．4.如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．解：(1)证明：连接ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN ＝∠ONB，∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，∴∠PMN ＝∠PNM ， ∴PM ＝PN .根据切割线定理，有PN 2＝PA ·PC ，∴PM 2＝PA ·PC .(2)∵OA ＝3OM ，∴OM ＝2，在Rt △BOM 中，BM ＝OB 2＋OM 2＝4.延长BO 交⊙O 于点D ，连接DN . 由条件易知△BOM ∽△BND ，于是BO BN ＝BM BD，即23BN ＝443， ∴BN ＝6.∴MN ＝BN －BM ＝6－4＝2.5．如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长．解：(1)证明：连接DE ，因为ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE ＝∠BCA ， 又∠DBE ＝∠CBA ，所以△BDE ∽△BCA ，即有BE BA ＝DE CA，而AB ＝2AC ，所以BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，从而BE ＝2AD . (2)由条件得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t ，根据割线定理得BD ·BA ＝BE ·BC ， 即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，所以(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，所以AD＝12. 6．如图，BA 是⊙O 的直径，延长BA 至E ，使得AE ＝AO ，过E 点作⊙O 的割线交⊙O 于D 、C ，使得AD ＝DC .(1)求证：OD ∥BC ；(2)若ED ＝2，求⊙O 的内接四边形ABCD 的周长．解：(1)证明：连接AC ，因为OD 是⊙O 的半径，AD ＝DC ，所以OD ⊥AC ，又因为∠BCA ＝90°，所以BC ⊥AC ，所以OD ∥BC . (2)由(1)及EA ＝AO ，ED ＝2，知OD BC ＝ED EC ＝EO EB ＝23，所以EC ＝3.因为ED ·EC ＝EA ·EB ＝3EA 2，所以3EA 2＝2×3， 即EA ＝ 2.因为CD ＝EC －ED ＝1，BC ＝32OD ＝32EA ＝322， 所以四边形ABCD 的周长为AD ＋CD ＋BC ＋BA ＝2＋722.。
高考数学复习第二十三章选修系列23.1几何证明选讲市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
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∠CPO=∠ACB=90°.所以∠CPD=90°.
因为EC是切线,所以∠DCP=∠CBA,
从而△CPD∽△BCA,故 CP= DP,
BC AC
所以DP=15 .故OD=DP+OP=15 +1 =8.
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6.(湖北,15,5分)如图,P为☉O外一点,过P点作☉O两条切线,切点分别为A,B.过PA中点Q
∵ED=2,ME=3,∴AM=1.
在Rt△AMO中,易得OM=2 2,故CE=2 ,2
在Rt△CED中,CD= C=E22 ,故DEB2C=2 3.
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评析 本题考查圆性质、垂径定理及勾股定理,考查学生推理论证能力和运算求解能力.垂径 定理应用是求解本题关键.
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8.(课标全国Ⅱ理,22,10分)如图,CD为△ABC外接圆切线,AB延长线交直线CD于点D,E, F分别为弦AB与弦AC上点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆. (1)证实:CA是△ABC外接圆直径; (2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点圆面积与△ABC外接圆面积比值.
AC PA 2
4.(广东,15,5分)(几何证实选讲选做题)如图,已知AB是圆O直径,AB=4,EC是圆O切线,切
点为C,BC=1.过圆心O作BC平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD=
.
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答案 8
解析 易得AC= 4=2 ,由12 OP1∥5 BC,且O为AB中点可知CP= AC= ,O1 P= 15BC= 1 , 1
BC CD
又BC= 2,从而AB=3 . 2 所以AC= A=B42,所 B以CA2 D=3. 由切割线定理得AB2=AD·AE, 即AE= AB=2 6,
高考数学二轮复习 专题限时集训(二十三) 理(解析版)
专题限时集训(二十三)[第23讲不等式选讲](时间：30分钟)1．设f(x)＝x2＋m2，m>0为常数．(1)求证：|f(a)－f(b)|≤|a－b|；(2)设a2＋2b2＋2c2＝4m2，求f(a)＋f(b)＋f(c)的最大值．2．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围．3．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)解不等式|x－8|－|x－4|>2.4．已知函数f (x )＝|x －2|＋|x －4|的最小值为m ，实数a ，b ，c ，n ，p ，q 满足a 2＋b 2＋c 2＝n 2＋p 2＋q 2＝m .(1)求m 的值；(2)求证：n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c2≥2.专题限时集训(二十三)1．解：(1)方法一：|f (a )－f (b )|＝|a 2＋m 2－b 2＋m 2|＝|a 2－b 2|a 2＋m 2＋b 2＋m 2＝|a ＋b |a 2＋m 2＋b 2＋m 2|a －b |≤|a |＋|b |a 2＋m 2＋b 2＋m 2|a －b |≤|a －b |.方法二：|f (a )－f (b )|≤|a －b |⇔|a 2＋m 2－b 2＋m 2|≤|a －b | ⇔a 2＋m 2＋b 2＋m 2－2a 2＋m2b 2＋m 2≤a 2＋b 2－2ab⇔m 2＋ab ≤a 2＋m2b 2＋m 2，由柯西不等式得：a 2＋m 2b 2＋m 2≥ab ＋m 22＝|ab ＋m 2|≥ab ＋m 2，所以|f (a )－f (b )|≤|a －b |.方法三：设M (0，m )，A (a,0)，B (b,0)则由||MA |－|MB ||≤|AB |得|f (a )－f (b )|≤|a －b |. (2)f (a )＋f (b )＋f (c )＝a 2＋m 2＋b 2＋m 2＋c 2＋m 2≤1＋12＋12[a 2＋m 2＋2b 2＋m 2＋2c 2＋m 2]＝32m ，当且仅当a 2＋m 2＝4(b 2＋m 2)＝4(c 2＋m 2)且a 2＋2b 2＋2c 2＝4m 2.即a ＝±142m ，b ＝±24m ，c ＝±24m 时取等号． 所以f (a )＋f (b )＋f (c )最大值为32m .2．解：(1)由|2x －a |＋a ≤6得|2x －a |≤6－a,6－a <0时无解， ∴6－a ≥0，∴a －6≤2x －a ≤6－a ， 即a －3≤x ≤3，∴a －3＝－2，∴a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝|2x －1|＋1，令φ(n )＝f (n )＋f (－n )，则φ(n )＝|2n －1|＋|2n ＋1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧2－4n ，n ≤－12，4，－12<n ≤12，2＋4n ，n >12，φ(n )的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4，＋∞)．3．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4<x ≤8，－4，x >8.图象如下：(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2， 由－2x ＋12＝2得x ＝5.由函数f (x )图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．4．解：(1)方法1：f (x )＝|x －2|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －6x ≥4，22<x <4，－2x ＋6x ≤2，可得函数的最小值为2.故m ＝2.方法2：f (x )＝|x －2|＋|x －4|≥|(x －2)－(x －4)|＝2，当且仅当2≤x ≤4时，等号成立，故m ＝2.(2)证明：n 2a 2＋p 2b 2＋q 2c 2·(a 2＋b 2＋c 2)≥n 2a ·a ＋p 2b ·b ＋q 2c ·c 2，即n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c2×2≥(n 2＋p2n4 a2＋p4b2＋q4c2≥2.＋q2)2＝4，故。
高三数学二轮总复习 几何证明选讲试题
几何证明选讲制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、填空题(每一小题6分，一共48分)1．如下图，l 1∥l 2∥l 3，以下比例式正确的有________(填序号)． (1)AD DF ＝CE BC ；(2)AD BE ＝BC AF ；(3)CE DF ＝AD BC ；(4)AF DF ＝BECE.2．如下图，D 是△ABC 的边AB 上的一点，过D 点作DE ∥BC 交AC 于E .AD DB ＝23，那么S △ADE S 四边形BCED＝__________________________________________________________________.3．如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，那么EF BC ＋FGAD＝________.4．在直角三角形中，斜边上的高为6，斜边上的高把斜边分成两局部，这两局部的比为3∶2，那么斜边上的中线的长为________．5．(2021·模拟)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，假设AD ＝12，BC ＝20，那么EF ＝________.6．如下图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G ，EC 的长为4，那么EG ＝________.7．(2021·武清一模)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15，AF ＝4，那么DE ＝________.8．如下图，BD 、CE 是△ABC 的中线，P 、Q 分别是BD 、CE 的中点，那么PQ BC＝________.二、解答题(一共42分)9．(14分)如下图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AEEC.10．(14分)如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，M 是AD 上一点，BM 、CM 的延长线分别交AC 、AB 于F 、E .求证：EF ∥BC .11．(14分)(2021·模拟)如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O 点，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别相交于点M ，N ，R ，S 和P ，求证：PM ·PN ＝PR ·PS .1．(4)解析 由平行线分线段成比例定理可知(4)正确． 2．421解析 由AD DB ＝23知，AD AB ＝25，S △ADE S △ABC ＝425，故S △ADES 四边形BCED ＝421.3．1解析 ∵EF ∥BC ，∴EF BC ＝AF AC，又∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝CF AC，∴EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋CF AC ＝ACAC＝1.2解析 设斜边上的两段的长分别为3t,2t ，由直角三角形中的射影定理知：62＝3t ·2t ，解得t ＝6(t >0，舍去负根)，所以斜边的长为56，故斜边上的中线的长为562.5．15解析 ∵AD ∥BC ，∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53，∴OB BD ＝58，∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58，∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15. 6．2解析 连结DE ，因为AD ⊥BC ，所以△ADB 是直角三角形，那么DE ＝12AB ＝BE ＝DC .又因为DG ⊥CE 于G ，所以DG 平分CE ，故EG ＝2.7．6解析 设DE ＝x ，∵DE ∥AC ， ∴BE15＝x x ＋4，解得BE ＝15x x ＋4. ∴BD DC ＝BE EA ＝BE 15－BE ＝x 4. 又∵AD 平分∠BAC ，∴BD DC ＝BA AC ＝15x ＋4＝x4，解得x ＝6.4解析 连结DE ，延长QP 交AB 于N ， 那么⎩⎪⎨⎪⎧NP ＝12ED ＝14BC ，NP ＋PQ ＝12BC .得PQ ＝14BC .9．证明 由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ， ①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC， ②(4分)在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ， 即BD AB ＝ABBC. ③ (8分)由①③得：DF AF ＝AB BC ，④ (12分)由②④得：DF AF ＝AE EC. (14分)10．证明 延长AD 至G ，使DG ＝MD ，连结BG 、CG . ∵BD ＝DC ，MD ＝DG ，∴四边形BGCM 为平行四边形．(4分)∴EC ∥BG ，FB ∥CG ， ∴AE AB ＝AM AG ，AF AC ＝AM AG ， ∴AE AB ＝AFAC， (12分) ∴EF ∥BC .(14分)11．证明 ∵BO ∥PM ， ∴PM BO ＝PAOA， (4分)∵DO ∥PS ， ∴PS DO ＝PA OA ，∴PM BO ＝PS DO . (6分)即PM PS ＝BO DO， 由BO ∥PR 得PR BO ＝PC CO. (10分)由DO ∥PN 得PN OD ＝PCCO.(12分)∴PR BO ＝PN DO ，即PR PN ＝BO DO ， ∴PR PN ＝PM PS. ∴PM ·PN ＝PR ·PS .(14分)制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
2021年高考数学二轮复习 几何证明选讲专题训练(含解析)
2021年高考数学二轮复习几何证明选讲专题训练（含解析）一、填空题1．在△ABC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE＝13BD，延长AE交BC于点F，则BFFC的值为________．解析如图，过B作BG∥AC交AF的延长线于点G，则BGAD＝BEED＝12，∴BFFC＝BGAC＝BG2AD＝1 4 .答案1 42．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．解析∵DE∥BC，EF∥CD，又BC＝3，DE＝2，DF＝1，∴AFFD＝AEEC＝ADDB＝2.∴AF＝2，AD＝3，BD＝32，则AB的长为92.答案9 23．如图所示，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交边AC 于点D，AD＝2，则∠C的大小为________．解析连接BD，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°.∴∠ABD＝∠BCD，在直角△ABD中，∵AD＝2，AB＝4，∴∠ABD＝30°，故∠C＝∠ABD＝30°.答案30°4．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．解析由已知BC＝AB sin60°＝103，由弦切角定理∠BCD＝∠A＝60°，所以BD＝BC sin60°＝15，CD＝BC cos60°＝53，由切割线定理CD2＝DE·BD，所以DE＝5.答案 55．如图所示，AB是⊙O的直径，过圆上一点E作切线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB 的延长线于点C.若CB＝2，CE＝4，则AD的长为________．解析设⊙O的半径为r，由CE2＝CA·CB，解得r＝3.连接OE，∵Rt△COE∽Rt△CAD，∴CO CA ＝OEAD，解得AD＝245.答案24 56．如图，⊙O的直径AB＝6 cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA＝30°，则PC＝________cm.解析连接OC，因为PC为⊙O的切线，所以OC⊥PC.又因为∠CPA＝30°，OC＝12AB＝3 cm，所以在Rt△POC中，PC＝OCtan∠CPA＝333＝33(cm)．答案3 37．如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G .给出下列三个结论：①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ； ②AF ·AG ＝AD ·AE ； ③△AFB ∽△ADG .其中正确结论的序号是________． 解析∵CF ＝CE ，BF ＝BD ， ∴BC ＝CE ＋BD .∴AB ＋BC ＋CA ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝AD ＋AE ， 故结论①正确；连接DF ，则∠FDA ＝∠DGA . 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ADF ∽△AGD . ∴AD AG ＝AFAD.而AD ＝AE ，故结论②正确； 容易判断结论③不正确． 答案 ①②8．(xx·广东肇庆一模)如图，△ABC 的外角平分线AD 交外接圆于D ，若DB ＝3，则DC ＝________.解析 因为四边形ABCD 是圆的内接四边形， 所以∠BCD ＋∠BAD ＝π. 又因为∠BAD ＋∠DAE ＝π， 所以∠BCD ＝∠DAE .因为∠DAC 与∠DBC 为圆上同一段圆弧所对的角， 所以∠DAC ＝∠DBC .又因为AD 为∠CAD 的角平分线， 所以∠DAC ＝∠DAE . 综上⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠DAC ∠DAE ＝∠BCD∠DAC ＝∠DBC⇒∠DCB ＝∠DBC .所以△DBC 为等腰三角形， 则DC ＝BD ＝3，故填 3. 答案 39．(xx·湖北七市联考)如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA＝23，∠APB＝30°，则AE＝________.解析因为PA是⊙O的切线，所以OA⊥PA.在Rt△PAO中，∠APB＝30°，则∠AOP＝60°，AO＝AP tan30°＝2，连接AB，则△AOB是等边三角形，过点A作AM⊥BO，重足为M，则AM＝ 3.在Rt△AMD中，AD＝3＋4＝7，又ED·AD＝BD·DC，故ED＝37 7，则AE＝7＋377＝1077.答案107 7二、解答题10.如图所示，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，求tan∠ACD和sin P的值．解连接OC ，BC ，如图． 因为PC 为⊙O 的切线， 所以PC 2＝PA ·PB . 故82＝4·PB ， 所以PB ＝16. 所以AB ＝16－4＝12. 由条件，得∠PCA ＝∠PBC ， 又∠P ＝∠P ， 所以△PCA ∽△PBC . 所以AC BC ＝PC PB.因为AB 为⊙O 的直径， 所以∠ACB ＝90°. 又CD ⊥AB ， 所以∠ACD ＝∠B . 所以tan ∠ACD ＝tan B ＝AC BC ＝PC PB ＝816＝12. 因为PC 为⊙O 的切线， 所以∠PCO ＝90°. 又⊙O 的直径AB ＝12， 所以OC ＝6，PO ＝10. 所以sin P ＝OC PO ＝610＝35. 11.如图所示，AB是半径为1的圆O的直径，过点A，B分别引弦AD和BE，相交于点C，过点C作CF⊥AB，垂足为点F.已知∠CAB＝15°，∠DCB＝50°.(1)求∠EAB的大小；(2)求BC·BE＋AC·AD的值．解(1)因为AB为圆O的直径，故∠AEB＝90°，又因为∠ECA＝∠DCB＝50°，所以在Rt△AEC中，∠CAE＝40°，故∠EAB＝∠EAC＋∠BAC＝55°.(2)连接BD.由(1)，知∠AEC＋∠AFC＝180°，故A，F，C，E四点共圆，所以BC·BE＝BF·BA，①易知∠ADB＝90°，同理可得AC·AD＝AF·AB，②联立①②，知BC·BE＋AC·AD＝(BF＋AF)·AB＝AB2＝22＝4.B级——能力提高组1.(xx·广州一模)如图，PC 是圆O 的切线，切点为点C ，直线PA 与圆O 交于A ，B 两点，∠APC 的角平分线交弦CA ，CB 于D ，E 两点，已知PC ＝3，PB ＝2，则PEPD的值为________． 解析 由切割线定理可得PC 2＝PA ·PB ⇒PA ＝PC 2PB ＝322＝92，由于PC 切圆O 于点C ，由弦切角定理可知∠PCB ＝∠PAD ， 由于PD 是∠APC 的角平分线， 则∠CPE ＝∠APD ， 所以△PCE ∽△PAD ， 由相似三角形得PE PD ＝PC PA ＝392＝3×29＝23.答案232．(xx·湖北荆州二模)已知⊙O 的半径R ＝2，P 为直径AB 延长线上一点，PB ＝3，割线PDC 交⊙O 于D ，C 两点，E 为⊙O 上一点，且AE ︵＝AC ︵，DE 交AB 于F ，则OF ＝________.解析 如图所示，连接OC ，OE ，PE ，由于AC ︵＝AE ︵，所以AE ︵＝12CAE ︵. 因此∠AOE ＝12∠COE ， 而∠CDE ＝12∠COE ， 所以∠AOE ＝∠CDE ，故∠EOF ＝∠PDF .由于∠OFE ＝∠DFP ，因此△OEF ∽△DPF ，所以OF DF ＝EF PF.因此OF ·PF ＝EF ·DF ，设OF ＝x ，则PF ＝5－x ，所以EF ·DF ＝x ·(5－x )＝－x 2＋5x ，由相交弦定理得EF ·DF ＝AF ·BF ＝(2＋x )·(2－x )＝－x 2＋4，所以－x 2＋5x ＝－x 2＋4， 解得x ＝45，故OF ＝45. 答案45 3.(xx·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC，如图．由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径，由(1)得ED＝AB.F33191 81A7 膧V29257 7249 牉+o:20327 4F67 佧36678 8F46 轆36232 8D88 趈MD28810 708A 炊34977 88A1 袡=。
高考数学二轮复习 专题8 选修专题 第一讲 几何证明选
第一讲几何证明选讲配套作业一、选择题1．△ABC的三边长分别为2，6，2，△A′B′C′的两边长分别为1和3，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长为(A)A. 2B.22C.62D.33解析：∵△ABC∽△A′B′C′，则21＝63，则△A′B′C′的第三边长为22＝ 2.2．点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中的相似三角形共有(C)A．2对B．3对C．4对D．5对3．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AB，AD的中点，连接OM，ON，MN.则下列叙述正确的是(C)A．△AOM和△AON都是等边三角形B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形C．四边形AMON和四边形ABCD是相似形D．四边形MBCO和四边形OCDN都是等腰梯形4．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为(B)A ．105°B ．115°C ．120°D ．125°5．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为(C )A ．2B ．3C ．2 3D ．46．如图，直线BC 切⊙O 于点A ，则图中的弦切角共有(D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．如图所示，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，正方形DEFC 内接于△ABC，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AC ＝1，BC ＝2，则AF ∶FC ＝________．答案：1∶28．如图，在△ABC 中，已知DE∥BC，△ADE 的面积是a 2，梯形DBCE 的面积是8a 2，则AD AB ＝________．解析：∵S 梯形DBCE ＝8S △ADE ，∴S △ABC ＝9S △ADE ，∴S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9.∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC.∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB 2＝19.∴AD AB ＝13.答案：139．如图所示，已知△ABC 内接于圆O ，点D 在OC 的延长线上，AD 是圆的切线，若∠B ＝30°，AC ＝2，则OD 的长为________．解析：连接OA ，则∠COA＝2∠CBA＝60°.又OC ＝OA ，故△COA 为正三角形，所以OA ＝2.又因为AD 是⊙O 的切线，即O A⊥AD，所OD ＝2OA ＝4.答案：410．如图所示，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A ，B 两点且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝________．答案：15三、解答题11．如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.解析：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB ＝OC.故∠OCB＝∠B.因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B ＝∠D.因此∠OCB＝∠D.12．如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是圆O 上不同于A ，B 的两点，过点B 作圆O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN ＝BM.求证：(1)∠NBD＝∠DBM； (2)AM 是∠BAC 的角平分线．解析：(1)∵AB 是圆O 的直径，∴∠ADB ＝90°. 而BN ＝BM ，∴△BNM 为等腰三角形． ∴BD 为∠NBM 的角平分线，即∠NBD＝∠DBM.(2)BM 是圆O 的切线，⎭⎪⎬⎪⎫∠DBM ＝∠DAB ∠DBC＝∠DAC ∠DBC＝∠DBM ⇒∠DAB ＝∠DAC ⇒AM 是∠CAB 的角平分线．13．已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，∠ACB 的角平分线分别交AE ，AB 于点F ，D.(1)求∠ADF 的度数； (2)若AB ＝AC ，求ACBC的值．解析：(1)∵AC 为圆O 的切线，∴∠B ＝∠EAC.又DC 是∠ACB 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCB.∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD.又BE 为圆O 的直径，∴∠BAE ＝90°.∴∠ADF ＝12(180°－∠BAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB ＝∠ECA，∴△EAC ∽△ABC ，又∵AB＝BC ，∴∠B ＝∠ACB，∴∠B ＝∠ACB＝∠EAC，由∠BAE＝90°及三角形内角和知∠B＝30°，∴在Rt △ABE 中，AC BA ＝tan ∠B ＝33.。
2021年高考数学专题复习 第23讲 正弦定理和余弦定理练习 新人教A版
2021年高考数学专题复习第23讲正弦定理和余弦定理练习新人教A版[考情展望] 1.利用正、余弦定理实现边、角的转化，从而解三角形或判断三角形的形状.2.利用正、余弦定理求三角形(或多边形)的面积.3.与平面向量、三角恒等变换等知识相融合，考查学生灵活运用知识的能力．一、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc·cos_A，b2＝c2＋a2－2ca·cos_B，c2＝a2＋b2－2ab·cos C．变形形式①a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；②a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；③a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A.cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab.解决问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角二、三角形常用面积公式1．S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；2．S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .3．S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．三角形中的常用结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C (A 、B 、C ≠π2)．1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A.63B.223C ．－63D ．－223【解析】 由正弦定理，得sin B ＝b ·sin A a ＝33. ∵a ＞b ，A ＝60°，∴B ＜60°，cos B ＝1－sin 2B ＝63. 【答案】 A2．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定【解析】∵b sin A＝24sin 45°＝122＜18，∴b sin A＜a＜b，故此三角形有两解．【答案】 B3．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且A＝75°，则b＝( )A．2 B．4＋2 3C．4－2 3 D.6－ 2【解析】在△ABC中，易知B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos 30°＝4.∴b＝2.【答案】 A4．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．【解析】由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 120°，即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.故S△ABC＝12AB·BC sin 120°＝12×5×3×32＝1534.【答案】153 45．(xx·湖南高考)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3 b，则角A等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】在△ABC中，a＝2R sin A，b＝2R sin B(R为△ABC的外接圆半径)．∵2a sin B＝3b，∴2sin A sin B＝3sin B.∴sin A＝32.又△ABC为锐角三角形，∴A＝π3.【答案】 D6．(xx·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】∵b cos C＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a22a＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．【答案】 B考向一 [065] 利用正、余弦定理解三角形(xx·临沂模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．【思路点拨】 (1)利用正弦定理把边转化为对角的正弦求解． (2)利用正弦定理把角的正弦转化为边的关系，借助余弦定理求解． 【尝试解答】 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.规律方法1 1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解.2.利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的.对点训练 (1)△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a 的值( )A.32B.33C.22D ．1(2)已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 等于( ) A.14 B ．－14C.13D ．－13(3)(xx·南昌模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30° B．60° C．120° D．150°【解析】 (1)法一 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋1－2a cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，∴(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝1.法二 由正弦定理b sin B ＝csin C得sin B ＝b sin Cc ＝12. ∵b ＜c ，∴B ＜C ，∴B ＝π6.又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π－B －C ＝π6，∴a ＝b ＝1.(2)由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4可知a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，设a ＝3x ，b ＝2x ，c ＝4x ， 则cos C ＝9x 2＋4x 2－16x22·3x ·2x＝－14.(3)由sin C ＝23sin B 可知c ＝23b . 又a 2－b 2＝3bc ，∴a ＝7b .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b2＝32.∴A ＝30°.【答案】 (1)D (2)B (3)A考向二 [066] 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状(xx·吉林模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．【思路点拨】 求解本题可采用两种思路，一是化边为角，二是化角为边． 【尝试解答】 法一(化边为角)：∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )， ∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )] ＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .由正弦定理得2sin 2A cos A sinB ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B . ∵0＜A ＜π，0＜B ＜π，∴sin 2A ＝sin 2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 法二(化角为边)： 同法一可得2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋b 2－b 22ac∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0. ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 规律方法2 判定三角形形状的两种常用途径 1通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.2利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断.【提醒】 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响.对点训练 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sinB ＋(2c ＋b )sinC .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 【解】 (1)由已知，根据正弦定理得 2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12.又0＜A ＜π，∴A ＝23π.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， ∴sin 2A ＝(sinB ＋sinC )2－sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32， ∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B 、C ∈(0，π2)，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．考向三 [067] 与三角形面积有关的问题(xx·浙江高考)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2a sin B ＝3b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积【思路点拨】 (1)利用已知条件和正弦定理可求出sin A ，进而求出A ；(2)利用余弦定理求出bc ，再用面积公式求面积．【尝试解答】 (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理asin A ＝b sin B ， 得sin A ＝32. 因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝36. 又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为12×283×32＝733.规律方法3 1.本例2在求解中通过,“b 2＋c 2－bc ＝b ＋c2－3bc ”实现了“b＋c ”与“bc ”间的互化关系.2.在涉及到三角形面积时，常常借助余弦定理实现“和与积”的互化.对点训练 (xx·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值． 【解】 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0. 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理，得sin B sin C ＝ba sin A ·c a sin A ＝bc a 2·sin 2A ＝2021×34＝57.规范解答之六 正、余弦定理在解三角形中的巧用 ———— [1个示范例] ———— [1个规范练] ————(12分)(xx·课标全国卷Ⅰ)如图3－7－1，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.图3－7－1(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .【规范解答】 (1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.2分 在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.4分故PA ＝72.6分 (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.7分 在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150° ＝sin αsin 30°－α，9分化简得3cos α＝4sin α，11分 所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.12分 【名师寄语】 1熟练掌握正、余弦定理的使用条件及可解三角形的范畴是解答此类问题的关键.2学会用“执果索因”的方式把待求的边角化归到一个三角形中，应用两定理求解.如图3－7－2，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．图3－7－2【解】 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.37235 9173 酳39106 98C2 飂k31069 795D 祝36511 8E9F 躟N27943 6D27 洧29283 7263 牣20437 4FD5 俕35534 8ACE 諎 27497 6B69 歩Ky32046 7D2E 紮。
高考数学二轮复习 专题8 选修专题 第一讲 几何证明选
专题八 选修专题 第一讲 几何证明选讲1．平行线等分线段定理．如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等，即若l 1∥l 2∥l 3，l 分别交直线l 1，l 2，l 3于A 1，A 2，A 3，l ′分别交直线l 1，l 2，l 3于B 1，B 2，B 3，A 1A 2＝A 2A 3，则B 1B 2＝B 2B 3.推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边，即在△ABC 中，若AD ＝DB ，DE ∥BC ，则AE ＝EC.推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线平分另一腰，即在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ＝EB ，EF ∥AD ，则DF ＝FC.2．平行线分线段成比例定理．三条平行线截任意两条直线，所截出的对应线段成比例，即若l 1∥l 2∥l 3，l 分别交直线l 1，l 2，l 3于A ，B ，C ，l ′分别交直线l 1，l 2，l 3于D ，E ，F ，则AB BC ＝DEEF.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，即在△ABC，DE ∥BC ，则AD DB ＝AE EC.3．相似三角形的定义．对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，解题时常常把对应点写在对应的位置上．4．相似三角形的判定方法．(1)两对对应角相等的两个三角形相似；(2)三边对应成比例的两个三角形相似；(3)两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．5．相似三角形的性质．(1)相似三角形对应边上的高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和它们周长的比都等于相似比(对应边的比)；(2)相似三角形的面积比等于相似比(对应边的比)的平方．6．射影定理．直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，则BD2＝AD·CD，AB2＝AD·AC，BC2＝CD·CA.7．与圆有关的角的概念．(1)圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角．如图1中的∠AOB.(2)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．如图2中的∠DEF.(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图3中的∠MPN.8．与圆有关的角的性质．(1)圆周角定理：圆上的一条弧所对的圆周角大小等于它所对的圆心角的一半．如图4，∠ACB ＝12∠AOB.(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，圆周角为90°时所对的弦是直径．如图5，∠DEF ＝90°.(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图6，∠MPN ＝∠PQM.9．圆的切线的判定和性质．(1)圆的切线的定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点． (2)圆的切线的判定：①若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；②经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．(3)圆的切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．10．与圆有关的比例线段．(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等．如图7，PA ·PB ＝PC·PD ．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．如图8，PA·PB＝PC·PD．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项．如图9，PA2＝PC·PD．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．如图10，PA＝PC，∠APO＝∠CPO.11．圆内接四边形．(1)圆内接四边形的判定：①如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上；②如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上．(2)圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于与它相邻的内角的对角．12．直线与圆的位置关系．(1)直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．①相交——直线与圆有两个公共点；②相切——直线与圆有一个公共点；③相离——直线与圆没有公共点．(2)判定直线与圆的位置关系的方法：直线与圆的位置决定于圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的大小关系．①直线与圆相交⇔d<r；②直线与圆相切⇔d＝r；③直线与圆相离⇔d>r．判定直线与圆的位置关系时，先看：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点；再算：算算圆心到直线的距离d和圆的半径为r之间的大小关系；后断：然后根据上述关系作出判断．13．圆与圆的位置关系．(1)平面内两圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．(2)判定两个圆的位置关系的方法：设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则①两圆外离⇔d>R＋r，有4条公切线；②两圆外切⇔d＝R＋r，有3条公切线；③两圆相交⇔R－r<d<R＋r(R>r)，有2条公切线；④两圆内切⇔d＝R－r(R>r)，有1条公切线；⑤两圆内含⇔d<R－r(R>r)，没有公切线．14．常用的辅助线的作法．出现切线就连接切点和圆心的半径为辅助线，求弦长就作弦心距解直角三角形．1．如下图所示，DE是△ABC的中位线，FG为梯形BCED的中位线，若DE＝4，则FG等于(A)A．6 B．8 C．10 D．122．如下图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AE⊥AD交CB的延长线于E，则下列结论正确的是(C)A ．△AED ∽△ACB B ．△AEB ∽△ACDC ．△BAE ∽△ACED ．△AEC ∽△DAC3．直线MN 切⊙O 于点C ，AB 是⊙O 的直径且∠CAB＝53°，则∠BOC ＝106°，∠ACB ＝90°，∠ACM ＝37°，∠BCN ＝53°．4．如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦且BD∥AC，过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为83．解析：由切割线定理，可知AE 2＝EB·ED＝EB(EB ＋BD)，即62＝EB(EB ＋5)，所以EB ＝4，由AE 为圆的切线，AB ＝AC ，可得∠EAB＝∠ACB＝∠ABC.所以AE∥BC.又AC∥BD，则AC∥BE，可得四边形AEBC 是平行四边形．所以AC ＝AB ＝EB ＝4，BC ＝AE ＝6.由BD∥AC，可得△AFC∽△DFB，则AC BD ＝CF FB ，即45＝CF 6－CF ，所以CF ＝83.一、选择题1．△ABC 的三边长分别为2，6，2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和3，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长为(A)A. 2B.22C.62D.33解析：∵△ABC∽△A′B′C′，则21＝63，则△A′B′C′的第三边长为22＝ 2.2．点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中的相似三角形共有(C)A．2对 B．3对 C．4对 D．5对3．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AB，AD的中点，连接OM，ON，MN.则下列叙述正确的是(C)A．△AOM和△AON都是等边三角形B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形C．四边形AMON和四边形ABCD是相似形D．四边形MBCO和四边形OCDN都是等腰梯形4．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为(B)A．105° B．115° C．120° D．125°5．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为(C )A ．2B ．3C ．2 3D ．46．如图，直线BC 切⊙O 于点A ，则图中的弦切角共有(D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题7．如图所示，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，正方形DEFC 内接于△ABC，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AC ＝1，BC ＝2，则AF∶FC＝1∶2．8．如图，在△ABC 中，已知DE∥BC，△ADE 的面积是a 2，梯形DBCE 的面积是8a 2，则AD AB ＝13． 解析：∵S 梯形DBCE ＝8S △ADE ，∴S △ABC ＝9S △ADE ，∴S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9.∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC.∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB 2＝19.∴AD AB ＝13.9．如图所示，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是圆的切线，若∠B ＝30°，AC＝2，则OD的长为4．解析：连接OA，则∠COA＝2∠CBA＝60°.又OC＝OA，故△COA为正三角形，所以OA＝2.又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，所OD＝2OA＝4.10．如图所示，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝15．三、解答题11．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.证明：因为B，C是圆O上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.12．如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是圆O 上不同于A ，B 的两点，过点B 作圆O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN ＝BM.求证：(1)∠NBD＝∠DBM； (2)AM 是∠BAC 的角平分线．证明：(1)∵AB 是圆O 的直径，∴∠ADB ＝90°. 而BN ＝BM ，∴△BNM 为等腰三角形． ∴BD 为∠NBM 的角平分线，即∠NBD＝∠D BM. (2)BM 是圆O 的切线，⎭⎪⎬⎪⎫∠DBM ＝∠DAB ∠DBC＝∠DAC ∠DBC＝∠DBM ⇒∠DAB ＝∠DAC ⇒AM 是∠CAB 的角平分线． 13．已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，∠ACB 的角平分线分别交AE ，AB 于点F ，D.(1)求∠ADF 的度数； (2)若AB ＝AC ，求ACBC的值．解析：(1)∵AC 为圆O 的切线， ∴∠B ＝∠EAC.又DC 是∠ACB 的平分线， ∴∠ACD ＝∠DCB.∴∠B ＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD.又BE 为圆O 的直径，∴∠BAE ＝90°.∴∠ADF ＝12(180°－∠BAE)＝45°. (2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB ＝∠ECA，∴△EAC ∽△ABC ，又∵AB＝BC ，∴∠B ＝∠ACB， ∴∠B ＝∠ACB＝∠EAC，由∠BAE＝90°及三角形内角和知∠B ＝30°，∴在Rt △ABE 中，AC BA ＝tan ∠B ＝33.。
高三数学二轮复习专题能力提升训练23 几何证明选讲 理 试题
训练23 几何证明选讲制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日A 组(供高考题型为选择、填空题的份使用)1．如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，那么BE ＝________.2．如图，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，那么AF 的长为________．3．如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，那么EF ＝________.4．(2021·调研)如图，PA ，PB 是圆O 的切线，A ，B 分别为切点，C 为圆O 上不与A ，B 重合的另一点，假设∠ACB ＝120°，那么∠APB ＝________.5．(2021·模拟)如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，那么CD ＝________.6．(2021·六校联考)如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，假设AB ＝5，BC ＝3，CD ＝6，那么线段AC 的长为________．7．(2021·海淀二模)如图，⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D .假设AD ＝3，BD ＝2，且D 为OC 的中点，那么CD ＝________.8．(2021·调研)如图，⊙O 的割线PBA 过圆心O ，弦CD 交PA 于点F ，且△COF ∽△PDF ，假设PB ＝OA ＝2，那么PF ＝________.第8题图 第9题图9．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .假设PB PA ＝12，PC PD ＝13，那么BC AD的值是________．10．(2021·)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上点，且EF ＝3，EF ∥AB ，那么梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．11．(2021·)如图，Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，那么BD＝________cm.12．(2021·)如下图，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.假设AD＝m，AC＝n，那么AB＝________.13．(2021·)如图，AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝32，那么线段CD的长为________．14．(2021·)如下图，圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF ＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶CE与圆相切，那么线段CE的长为________．第14题图 第15题图15．(2021·)如图，点D 在⊙O 的弦AB 上挪动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，那么CD 的最大值为________． B 组(供高考题型为解答题的份使用)1．如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)假设△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．2.(2021·)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点一共圆．3．如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.(1)证明：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；(2)假设∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求△ABC外接圆的面积．5．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.(1)求证：AB2＝DE·BC；(2)假设BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．6．如下图，⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过A 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：AD ∥EC ；(2)假设AD 是⊙O 2的切线，且PA ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长．参考答案训练23 几何证明选讲A 组1．解析 ∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°，∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128， ∴CD ＝8 2.又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ， ∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝BE CD， ∴BE ＝AB ·CD AD ＝6×8212＝4 2. 答案 4 22．解析 如图，连接CE ，AO ，AB .根据A ，E 是半 圆周上的两个三等分点，BC 为直径，可得∠CEB ＝90°，∠CBE ＝30°，∠AOB ＝60°，故△AOB 为 等边三角形，AD ＝3，OD ＝BD ＝1，∴DF ＝33， ∴AF ＝AD －DF ＝233.答案2333．解析 连结DE ，由于E 是AB 的中点，故BE ＝a2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，∴四边形EBCD 是矩形．在Rt △ADE 中，AD ＝a ，F 是AD 的中点，故EF ＝a2.答案 a24．解析 如图，连接OA ，OB ，∠PAO ＝∠PBO ＝90°，∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°.又P ，A ，O ，B 四点一共圆，故∠APB ＝60°.答案 60°5．解析 由切割线定理知，PC 2＝PA ·PB ，解得PC ＝2 3. 又OC ⊥PC ，故CD ＝PC ·OC PO ＝23×24＝ 3. 答案36．解析 由切割线定理，得CD 2＝BD ·AD .因为CD ＝6，AB ＝5，那么36＝BD (BD ＋5)， 即BD 2＋5BD －36＝0，即(BD ＋9)(BD －4)＝0，所以BD ＝4.因为∠A ＝∠BCD ，所以△ADC ∽△CDB ，于是AC CB ＝CDBD.所以AC ＝CD BD ·BC ＝64×3＝92.答案 927．解析 延长CO 交圆O 于点M ，由题意知DC ＝r 2，DM ＝32r .由相交弦定理知AD ·DB ＝DC ·DM ，即34r 2＝6，∴r ＝22，∴DC ＝ 2. 答案28．解析 由相交弦定理可得BF ·AF ＝DF ·CF ，由△COF ∽△PDF 可得CF PF ＝OFDF， 即得DF ·CF ＝PF ·OF .∴BF ·AF ＝PF ·OF ， 即(PF －2)·(6－PF )＝PF ·(4－PF )，解得PF ＝3. 答案 39．解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠PAD ，∴△PCB ∽△PAD .∴PB PD ＝PC PA ＝BC AD. ∵PB PA ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66. 答案6610．解析 在梯形ABCD 中，过C 作CG ∥AD 交AB 于G ，EF 于H .那么HF ＝1，GBEF ∥AB ，即HF ∥GB ，∴HF GB ＝CF CB ＝12.∴F 应为CB 的中点．∴EF 为梯形ABCD 的中位线． 设梯形EFCD 的高为h ，那么梯形ABCD 的高为2h .S 梯形ABCD ＝AB ＋CD ·2h2＝4＋2·2h2＝6h ，S 梯形EFCD ＝CD ＋EF ·h2＝2＋3h 2＝5h2. 所以S 梯形ABCD ∶S 梯形EFCD ＝12∶5＝125，S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5.答案 7∶511．解析 如图，连接DC ，那么CD ⊥AB ，Rt △ADC ∽Rt △ACB . 故AD AC ＝AC AB ，即AD 3＝35， AD ＝95(cm)，BD ＝5－95＝165(cm)．答案16512．解析 ∵直线PB 与圆相切于点B ，且∠PBA ＝∠DBA ，∴∠ACB ＝∠ABP ＝∠DBA ，由此可得直线AB 是△BCD 外接圆的切线且B 是切点，那么由切割线定理得|AB |2＝|AD |·|AC |＝mn ，即得|AB |＝mn . 答案mn13．解析 由相交弦定理得AF ·FB ＝EF ·FC ，∴FC ＝AF ·FBEF＝2.由△AFC ∽△ABD ，可知FC BD ＝AFAB， ∴BD ＝FC ·AB AF ＝83. 由切割线定理得DB 2＝DC ·DA ，又DA ＝4CD ， ∴4DC 2＝DB 2＝649，∴DC ＝43.答案 4314．解析 设AF ＝4k ，BF ＝2k ，BE ＝k ，由DF ·FC ＝AF ·BF ，得2＝8k 2，即k ＝12.所以AF ＝2，BF ＝1，BE ＝12，AE ＝72.由切割线定理，得CE 2＝BE ·EA ＝12×72＝74，所以CE ＝72. 答案7215．解析 当OD 的值最小时，DC 最大，易知D 为AB 的中点时，DB ＝DC ＝2最大．答案 2 B 组1．(1)证明 由条件，可得∠BAE ＝∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .(2)解 因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC， 即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC ·sin∠BAC ＝AD ·AE .那么sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.2．证明(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，那么△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点一共圆．3．证明(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，即ONOP ＝OMOK.又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.4．(1)证明如图，设F为AD延长线上一点．∵A、B、C、D四点一共圆，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF.对顶角∠EDF＝∠ADB，故∠EDF ＝∠CDF ，即AD 的延长线平分∠CDE .(2)解 设O 为外接圆圆心，连结AO 交BC 于H ，那么AH ⊥BC .连结OC ，由题意∠OAC ＝∠OCA ＝15°，∠ACB ＝75°，∴∠OCH ＝60°.设圆半径为r ，那么r ＋32r ＝2＋3，得r ＝2，外接圆面积为4π. 5．(1)证明 ∵AD ∥BC ，∴.∴AB ＝CD ，∠EDC ＝∠BCD . 又PC 与⊙O 相切，∴∠ECD ＝∠DBC .∴△CDE ∽△BCD .∴DC BC ＝DE DC.∴CD 2＝DE ·BC ，即AB 2＝DE ·BC . (2)解 由(1)知，DE ＝AB 2BC ＝629＝4， ∵AD ∥BC ，∴△PDE ∽△PBC ，∴PD PB ＝DE BC ＝49. 又∵PB －PD ＝9，∴PD ＝365，PB ＝815. ∴PC 2＝PD ·PB ＝365·815＝54252.∴PC ＝545. 6．(1)证明 连接AB ，如下图∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D .又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E .∴AD ∥EC .(2)解 设BP ＝x ，PE ＝y ，∵PA ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12.①∵根据(1)，可得△ADP ∽△CEP ，∴DP EP ＝AP CP ，即9＋x y ＝62，② 由①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4或者⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－12，y ＝－1(负值舍去)，∴DE ＝9＋x ＋y ＝16.∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16.∴AD ＝12.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
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专题限时集训(二十三)
[第23讲几何证明选讲]
(时间：30分钟)
1．如图23－1，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O 于点D.若PA＝PE，∠ABC＝60°，PD＝1，PB＝9，则EC＝________．
图23－1
2．已知AB是圆O的直径，AB＝2，AC和AD是圆O的两条弦，AC＝2，AD＝3，则∠CAD 的度数是________．
3．如图23－2所示，EB，EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是________．
23－2
23－3
4．如图23－3所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC＝3，AB＝4，延长AO到D点，则△ABD的面积是________．
5．如图23－4，点A，B，C是圆O上的点，且BC＝6，∠BAC＝120°，则圆O的面积等
于________．
23－4
23－5
6．如图23－5，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，若∠B ＝30°，AC＝2，则OD的长为________．
7．如图23－6，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E.已知⊙O的半径为3，PA＝2，则PC＝________，OE＝________．
23－6
23－7
8．如图23－7，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝4，PD＝3，则AD·DC＝________．
9．如图23－8，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4 cm，AC＝3 cm，DE∥BC且DE把△ABC 周长分为相等的两部分，则DE＝________ cm.
图23－8
10．如图23－9，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.
图23－9 图
23－10
11．如图23－10，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________．
12．如图23－11，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，
BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．
图23－11
专题限时集训(二十三)
【基础演练】
1．4 [解析] 由弦切角定理知∠PAC ＝∠ABC ＝60°，又PA ＝PE ，所以△PAE 为等边三角形，又PA 2
＝PD ×PB ＝9，所以PA ＝3，所以AE ＝PE ＝3，故BE ＝PB －PE ＝6，DE ＝PE －PE ＝2.由相交弦定理得AE ·EC ＝DE ·BE ，所以EC ＝4.
2．75°或15° [解析] 很容易求出∠CAB ＝45°，∠DAB ＝30°.若C ，D 在AB 两侧，则∠CAD 的度数是75°；若C ，D 在AB 同侧，则∠CAD 的度数是15°.
3．99° [解析] 分别连接OB ，OC ，AC ，∵EB ，EC 是⊙O 的两条切线， ∴OB ⊥EB ，OC ⊥EF ，
∵∠E ＝46°，∴∠BOC ＝134°，∴∠BAC ＝67°，∵∠DCF ＝32°，∴∠CAD ＝32°， ∴∠BAD ＝67°＋32°＝99°. 4.
485 [解析] 由题意知AO ＝5，AD ＝8，B 到AD 的距离为BO ·AB AO ＝125
，所以△ABD 的面积是12×8×125＝48
5
. 【能力训练】
5．12π [解析] 由正弦定理得BC sin120°＝2R ，所以2R ＝63
2
＝43，R ＝23，S ＝πR
2
＝12π.
6．4 [解析] 连接OA ，则∠COA ＝2∠CBA ＝60°，且由OC ＝OA 知△COA 为正三角形，所以OA ＝2.又因为AD 是⊙O 的切线，即OA ⊥AD ，所以OD ＝2OA ＝4.
7．4 9
5
[解析] PA ＝2，OA ＝3，则PB ＝8，故由切割线定理得PC ＝PA ·PB ＝4，连接
OC ，由12·OC ·CP ＝12·CE ·OP ，得CE ＝125，在Rt △CEO 中，由勾股定理得OE ＝95
.
8．7 [解析] ∵PA ＝PB ，∠APB ＝2∠ACB ，所以A ，B ，C 在以P 为圆心，PA 为半径的圆上．延长BP 交⊙P 于E ，则BD ＝PB －PD ＝1，DE ＝PD ＋PE ＝7.
由相交弦定理得AD ·DC ＝BD ·DE ＝7. 9.
30
7
[解析] ∵∠BAC ＝90°，∴BC ＝5 cm. 设AD ＝x cm ，AE ＝y cm ，则x ＋y ＝6.① ∵DE ∥BC ，得AD AB ＝
AE AC ，即x 4＝y
3
，②
由①②得x ＝247，y ＝187，DE ＝x 2＋y 2
＝307
(cm)．
10.35 [解析] 因为PA 为圆O 切线，所以∠PAB ＝∠ACB ，又∠APB ＝∠BAC ， 所以△PAB ∽△ACB ，所以PB AB ＝
AB CB
，所以AB 2
＝PB ·CB ＝35，所以AB ＝35. 11．4 2 [解析] ∵∠ACD ＝90°，AD ＝12，AC ＝4， ∴CD ＝AD 2
－AC 2
＝122
－42
＝8 2. 又Rt △ABE ∽Rt △ADC ，所以AB AD ＝BE DC ，即BE ＝AB ·DC AD ＝6×8212
＝4 2.
12.23
3
[解析] 连接EC ，AB ，OA ，由A ，E 是半圆周上的两个三等分点可知
∠EBC ＝30°，且△ABO 是正三角形，∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝30°＝∠ABE ，∴BF ＝AF ，BD ＝1.在Rt △BDF 中，BF ＝
BD
cos30°＝233，∴AF ＝233
.。