第三章 第三节 课时限时检测

(时间60分钟，满分80分)

一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．函数y ＝ cos x －1

2的定义域为( )

A ．[－π3，π

3

]

B ．[k π－π3，k π＋π

3]，k ∈Z

C ．[2k π－π3，2k π＋π

3]，k ∈Z

D ．R

解析：由题意得cos x ≥1

2，

∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π

3，k ∈Z.

答案：C

2．函数y ＝sin x ＋cos x 的最小值和最小正周期分别是( ) A ．－2，2π B ．－2,2π C ．－2，π

D ．－2，π

解析：∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∴当x ＋π4＝2k π－π

2(k ∈Z)时，y min ＝－ 2.T ＝2π. 答案：A

3．若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π

4]上单调递增，则函数f (x )可以是( )

A ．1

B ．cos x

C ．sin x

D ．－cos x

解析：因为y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π

2，满足题意，所以函数f (x )可

以是－cos x .

答案：D

4．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，1

2]，则b －a 的值不可能是( )

A.π3

B.2π3 C ．π

D.4π3

解析：画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π

3]．

答案：A

5．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )

A.[k π－π12，k π＋5π

12

]，k ∈Z B.[k π＋

5π12，k π＋11π

12

]，k ∈Z C.[k π－π3，k π＋π

6]，k ∈Z

D.[k π＋π6，k π＋2π

3

]，k ∈Z

解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π

6

)(ω>0)．

∵f (x )图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2π

ω＝π，ω＝2.f (x )＝2sin(2x ＋π

6

)．

故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)．k π－π3≤x ≤k π＋π

6(k ∈Z)．

答案：C

6．(2011·绍兴模拟)已知ω为正实数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π

4

]上递增，那么

( )

A ．0<ω≤

247

B ．0<ω≤2

C ．0<ω≤3

2

D ．ω≥3

2

解析：由－π2≤ωx ≤π2可得－π2ω≤x ≤π

2ω

.

∵函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π

4]上递增，ω>0，

∴－

π2ω≤－π3，且π4≤π2ω

， ∴0<ω≤32.

答案：C

二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)

7．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π

3

)的值为________．

解析：f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.

答案：

32

8．设函数y ＝sin(π2x ＋π

3)，若对任意x ∈R ，存在x 1，x 2使f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则

|x 1－x 2|的最小值是__________．

解析：由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，可得f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值，|x 1－x 2|的最小值为半个周期．

答案：2

9．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭

⎫ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π

12

对称，则在下面四个结论：①图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；②图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎡⎦

⎤－π6，0上是增函数中，所有正确结论的编号为________．

解析：∵T ＝π，∴ω＝2.

又2×π12＋φ＝k π＋π2，∴φ＝k π＋π

3

.

∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π

3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 由图象及性质可知②④正确． 答案：②④

三、解答题(共3个小题，满分35分)

10．已知复数z 1＝3sin2x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －cos2x )i(λ，m ，x ∈R)，且z 1＝z 2. (1)若λ＝0且0

(2)设λ＝f (x )，求f (x )的最小正周期和单调增区间．

解：(1)∵z 1＝z 2，∴⎩⎨⎧

3sin2x ＝m ，

λ＝m －cos2x .

∴λ＝3sin2x －cos2x .

若λ＝0，则3sin2x －cos2x ＝0，得tan2x ＝3

3

. ∵0

∴x ＝π12，7π

12

.

(2)∵λ＝f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2(32sin2x －1

2

cos2x ) ＝2(sin2x cos π6－cos2x sin π

6)

＝2sin(2x －π

6

)，