人教A版高中数学必修2《 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系习题 2.3》教案_20

空间中的平行垂直关系（强化训练）
一：考纲解读 考情说明 二：(1)周考题重现
（第一周）
两个折叠问题（第五周）
19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ,四边形CDEF 是矩形，且ABCD CDEF ⊥面面,BAD CDA ∠=∠,1
22
AB AD DE CD ====，是线段AE 上的动点．
（1）确定点M 的位置，使//AC MDF 面，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求平面MDF 将几何体ADE BCF - 分成的较小部分与较大部分的体积比．
19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，,,PA
AD PA AB AB AD ⊥⊥=，AC 与BD 交于点O .（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；
（2）直线PD 与过直线AC 的平面α平行，平面α与棱PB 交于点M ，指明点M 的位置，并证明
.
（2）高考真题
1、（2016年天津高考）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF//AB ，
AB=2，BC=EF=1，
，DE=3，∠BAD=60º，G 为BC 的中点.
(Ⅰ)求证：FG//平面BED ； (Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ；
(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.
3、（2016年全国II 卷高考） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，AE CF =，EF 交BD 于点H ，将D EF ∆沿EF 折到'D EF ∆的位置. （Ⅰ）证明：'AC HD ⊥；
（Ⅱ）若5
5,6,,'4
AB AC AE OD ====求五棱锥D ABCEF '-体积.
（II ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.
理由如下：由已知可得PB PA ⊥，⊥PB PC ，又//EF PB ,所以
E F P A E F P ，⊥⊥,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.
连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心. 由（I ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2
.3
=
CD CG 由题设可得⊥PC 平面PAB ，⊥DE 平面PAB ，所以//DE PC ，因此
21
,.33
=
=PE PG DE PC
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ，可得2,==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114
222.323
=⨯⨯⨯⨯=V
3、（2016年全国II 卷高考） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，AE CF =，EF 交BD 于点H ，将D EF ∆沿EF 折到'D EF ∆的位置. （Ⅰ）证明：'AC HD ⊥；
（Ⅱ）若5
5,6,,'4
AB AC AE OD ===
=求五棱锥D ABCEF '-体积.
试题解析：（I ）由已知得，,.⊥=AC BD AD CD
又由=AE CF 得
=
AE CF
AD CD
，故//.AC EF 由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD . （II ）由//EF AC 得
1
.4
==OH AE DO AD
由5,6==AB AC 得 4.===DO BO
所以1, 3.'===OH D H DH
于是22222
19,''+=+==OD OH D H 故.'⊥OD OH
由（I ）知'⊥AC HD ，又,'⊥=AC BD BD HD H ，
所以⊥AC 平面,'BHD 于是.'⊥AC OD 又由,'⊥=OD OH AC OH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC
又由
=
EF DH AC DO 得9
.2
=EF 五边形ABCFE 的面积11969
683.2224
=⨯⨯-⨯⨯=S
所以五棱锥'ABCEF D -体积16934=⨯⨯=V
4、（2016年全国III 卷高考）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ，
3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的
中点．
（I ）证明MN
平面PAB ；
（II ）求四面体N BCM -的体积.
（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为
PA 2
1
. ....9分 取BC 的中点E ，连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥，522=-=BE AB AE .
由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故52542
1
=⨯⨯=∆BCM S . 所以四面体BCM N -的体积3
5423
1
=⨯⨯=
∆-PA S V BCM BCM N . .....12分 10、（2016年浙江高考）如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3. （I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；
（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值
.
解析：（1）延长,,AD BE CF 相交于一点K ，如图所示，
因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，所以 AC ⊥平面BCK ，因此BF AC ⊥，
又因为//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以 BCK ∆为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥， 所以BF ⊥平面ACFD .
（2）因为BF ⊥平面ACK ，所以BDF ∠是直线BD 与平面ACFD 所成的角， 在Rt BFD ∆
中，3
2
BF DF ==
，得cos BDF ∠=，
所以直线BD 与平面ACFD
. （2016年四川高考）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ， ∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=
1
2
AD 。

（I ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； （II ）证明：平面PAB ⊥平面PBD 。

【解析】
（I ）取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点.理由如下：
因为AD‖BC,BC =
1
2
AD ，所以BC‖AM , 且BC =AM . 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM‖AB . 又AB ⊂ 平面PAB ,CM ⊄ 平面PAB ,
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点) （II）由已知，PA⊥AB, PA⊥CD,
因为AD∥BC,BC=1
2
AD，所以直线AB与CD相交，
所以PA⊥平面ABCD. 从而PA⊥BD.
因为AD∥BC,BC=1
2
AD，所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形. 所以BM=CD=1
2
AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A, 所以BD⊥平面PAB. 又BD 平面PBD,
所以平面PAB⊥平面PBD。