勾股定理的十六种的证明方法
勾股定理16种经典证明方法
ab c ab b a 21421422
2
⨯+=⨯++【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 整理得 222c b a =+.
【证法2】（邹元治证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21
. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF .
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的
正方形. 它的面积等于c 2.
∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.
又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2
b a +.
∴ ()2
2214c ab b a +⨯=+. ∴ 2
22c b a =+.
【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
勾股定理16种经典证明方法
勾股定理16种经典证明方法
勾股定理的证明
【证法1】
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即
ab
c ab b a 2
1
4214222⨯+=⨯++， 整理得 2
2
2
c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，
则每个直角三角形的面积等于ab 2
1. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.
b
a
b a b
a
b a
c b a
c b a c
b a
c b
a c
b a
c b a
a
b a b
c c C
D ∵ EF = FG =GH =H
E = b ―a , ∠HE
F = 90º.
∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2
a b -.
∴ ()2
2
2
14c a b ab =-+⨯. ∴ 2
2
2
c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfiel
d 证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，
则每个直角三角形的面积等于ab 2
1
. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.
勾股定理16种证明方法
勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即
ab
c ab b a 21
4214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.
【证法2】（邹元治证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积
等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，
使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、
C 三点在一条直线上，C 、G 、
D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHA
E ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BE
F .
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.
∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2
b a +.
∴
()2
22
14c ab b a +⨯=+. ∴ 2
22c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜
勾股定理的十六种证明方法
勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，
设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即
ab c ab b a 21
4214222⨯+=⨯++， 整理得 2
22c b a =+.
【证法2】（邹元治证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角
形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点
在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF ,
∴ ∠AHE = ∠BEF .
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的
正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2
b a +.
∴
()2
2
21
4c ab b a +⨯=+. ∴ 2
22c b a =+.
【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜
勾股定理16种经典证明方法
b a
2
2+【证法1】〔课本的证明〕
做8a 、b 、c 的正
.
2a 整
以a 、b ab
21
.把这四个直角三角C 、G
、D 三点在一条直线上.
∵Rt Δ∴∠AHE = ∠
BEF . ∵∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵Rt ΔGDH ≌Rt ΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA .
∵∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵∠GHE = 90º,
∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.
∴()2
2214c ab b a +⨯=+. ∴2
22c b a =+.
【证法3】〔爽证明〕
以a 、b 为直角边〔b>a 〕， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
三角形的面积等于ab
21. 把这四个直角三
角形拼成如下图形状.
∵Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB .
∵∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴∠EAB + ∠HAD = 90º，
∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.
∴EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2
a b -.
∴()2
2
214c a b ab =-+⨯.
勾股定理16种证明方法
勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即
ab
c ab b a 21
4214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.
【证法2】（邹元治证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积
等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、
C 三点在一条直线上，C 、G 、
D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHA
E ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BE
F .
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.
∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2
b a +.
∴
()2
22
14c ab b a +⨯=+. ∴ 2
22c b a =+.
【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
勾股定理16种经典证明方法
ab c ab b a 21421422
2⨯+=⨯++【证法1】〔课本的证明〕
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 整理得 2
22c b a =+.
【证法2】〔邹元治证明〕
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21
. 把这四个直角三
角形拼成如下图形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF .
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的
正方形. 它的面积等于c 2
.
∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.
又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2
b a +.
∴
()2
2
21
4c ab b a +⨯=+. ∴ 2
22c b a =+.
【证法3】〔赵爽证明〕 以a 、b 为直角边〔b>a 〕， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
勾股定理16种经典证明方法
ab c ab b a 21421422
2
⨯+=⨯++【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 整理得 222c b a =+.
【证法2】（邹元治证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21
. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF .
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的
正方形. 它的面积等于c 2.
∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.
又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2
b a +.
∴ ()2
2214c ab b a +⨯=+. ∴ 2
22c b a =+.
【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
勾股定理16种经典证明方法
ab c ab b a 21421422
2
⨯+=⨯++【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 整理得 222c b a =+.
【证法2】（邹元治证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab
21
. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF .
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的
正方形. 它的面积等于c 2.
∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.
又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2
b a +.
∴ ()2
2214c ab b a +⨯=+. ∴ 2
22c b a =+.
【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
勾股定理16种经典证明方法
ab c ab b a 21421422
2
⨯+=⨯++【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 整理得 222c b a =+.
【证法2】（邹元治证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21
. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF .
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的
正方形. 它的面积等于c 2.
∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.
又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2
b a +.
∴ ()2
2214c ab b a +⨯=+. ∴ 2
22c b a =+.
【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
勾股定理的十六种证明方法
勾股定理的十六种证明方法
1.几何法：构造一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边长。
2. 代数法：将直角三角形三边的长度带入勾股定理的公式中，证明等式成立。
3. 数学归纳法：证明当斜边长为n时，勾股定理成立，再证明当斜边长为n+1时，勾股定理仍然成立。
4. 三角函数法：利用正弦、余弦、正切等三角函数的定义，证明勾股定理。
5. 相似三角形法：利用相似三角形的性质，证明勾股定理。
6. 矩形法：将一个直角三角形内切于一矩形中，从而证明勾股定理。
7. 差积公式法：利用差积公式(a+b)(a-b)=a-b，证明勾股定理。
8. 面积法：利用直角三角形的两条直角边构成一个矩形，证明勾股定理。
9. 旋转法：将一个直角三角形绕其斜边旋转，证明勾股定理。
10. 图像法：将勾股定理表示为x+y=z的图像，证明勾股定理。
11. 平行四边形法：将直角三角形内切于一个平行四边形中，从而证明勾股定理。
12. 三角形面积法：利用直角三角形的面积公式1/2ab，证明勾股定理。
13. 坐标法：将直角三角形的三个顶点的坐标表示出来，利用距离公式证明勾股定理。
14. 行列式法：利用行列式公式证明勾股定理。
15. 夹角法：通过两向量的夹角关系推导出勾股定理。
16. 对数法：利用对数函数的性质，证明勾股定理。
勾股定理16种证明方法
勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
，整理得.
【证法2】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,
∴∠AHE = ∠BEF.
∵∠AEH + ∠AHE = 90o,
∴∠AEH + ∠BEF = 90o.
∴∠HEF = 180o―90o= 90o.
∴四边形EFGH是一个边长为c的
正方形. 它的面积等于c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,
∴∠HGD = ∠EHA.
∵∠HGD + ∠GHD = 90o,
∴∠EHA + ∠GHD = 90o.
又∵∠GHE = 90o,
∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o.
∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.
∴. ∴.
【证法3】（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a），以c为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角
三角形的面积等于. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴∠HDA = ∠EAB.
∵∠HAD + ∠HAD = 90o，
∴∠EAB + ∠HAD = 90o，
勾股定理地十六种证明方法
勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为
a 、
b ，斜边长为
c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即
ab
c ab b a 21
4214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.
【证法2】（邹元治证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的
正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE,
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2
b a +.
∴ ()2
22
14c ab b a +⨯=+. ∴ 2
22c b a =+.
【证法3】（赵爽证明）
以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
勾股定理的十六种证明方法
勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
做
8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即
ab
c ab b a 21
4214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.
【证法2】（邹元治证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角
形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点
在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.
∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF ,
∴ ∠AHE = ∠BEF .
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的
正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2
b a +.
∴
()2
22
14c ab b a +⨯=+. ∴ 2
22c b a =+.
【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜