第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线
解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2023届高考数学二轮复习含解析
专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质，与弦有关的计算问题1.若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.122.已知O 是坐标原点，椭圆221259x y +=上的一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是MF 的中点，则ON 的长为( ) A.8B.6C.5D.43.若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B.π0,3⎛⎫⎪⎝⎭C.ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ D.ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭ 4.已知双曲线2222:1(0,0)x y T a b a b-=>>，直线y b =-与T 交于A ，B 两点，直线7y b =与T交于C ，D 两点，四边形ABCD 的两条对角线交于点E ，60AEB ∠=︒，则双曲线T 的离心率为( )C.2D.45.已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>1C 同渐近线的双曲线2C 过点A ，直线:40l x y +-=与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且与双曲线2C 交于D ，若CD CB λ=，则λ=( ) A.2B.58C.38D.36.双曲线E 与椭圆22:162x y C +=焦点相同且离心率是椭圆C E的标准方程为( )A.2213y x -=B.2221y x -=C.22122x y -= D.2213x y -= 7.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则||||AB DE +的最小值为( )A.16B.14C.12D.108.（多选）已知点P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>所在平面内一点，12(,0),(,0)F c F c -分别为C 的左、右焦点，2121,4PF F F PF c ⊥=,线段12,PF PF 分别交双曲线于,M N 两点,11PF MF λ=,22PF NF μ=.设双曲线的离心率为e ,则下列说法正确的有( )A.若1PF 平行渐近线,则2e =B.若4λ=,则2e = C.若3μ=,则eD.λμ9. （多选）已知椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，且短轴长为2，离心率1F 作y 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( ) A.椭圆方程为2213y x +=B.椭圆方程为2213x y +=C.3PQ =D.2PF Q △的周长为10. （多选）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，若()01,M y 为抛物线C 上一点，直线MF的斜率为M 为圆心的圆与C 的准线相切于点Q ，则下列说法正确的是( )A.抛物线C 的准线方程为3x =-B.直线MF 与抛物线C 相交所得的弦长为15C.MFQ △外接圆的半径为4D.若抛物线C 上两点之间的距离为8，则该线段的中点到y 轴距离的最小值为111.双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的一条渐近线方程为320x y +=，则双曲线C 的焦距为__________.12.已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=︒，12||5||PF PF =，则C 的离心率为______.13.已知抛物线22(0)y px p =>的准线为l ，点P 在抛物线上，PQ l ⊥于点Q ，(2,0)M 与抛物线的焦点不重合，且||||PQ PM =，120MPQ ∠=︒，则p =______________.14.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为,F O 为坐标原点,的点P 在抛物线C 上,满足||||PF PO =. (1)求抛物线C 的方程.(2)过抛物线C 上的点A 作抛物线C 的切线,l A 与O 不重合,过O 作l 的垂线,垂足为B ,直线BO 与抛物线C 交于点D .当原点到直线AD 的距离最大时,求点A 的坐标.15.如图，已知椭圆22112x y +=.设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点10,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上，直线PA ，PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点.（Ⅰ）求点P 到椭圆上点的距离的最大值； （Ⅱ）求||CD 的最小值.答案以及解析1.答案：C解析：由题意，得b c =，则2222b a c c =-=，a =，则椭圆的离心率c e a==. 2.答案：D解析：椭圆221259x y +=上的一点M 到左焦点1F 的距离为2，则点M 到右焦点2F 的距离为8.又N 是1MF 的中点，所以2142ON MF ==. 3.答案：C解析：方程22sin cos 1x y αα+=，即22111sin cos x y αα+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则11cos sin αα>.又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin αα<，所以ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 4.答案：A解析：在22221x y a b-=中，令y b =-，得x =，不妨设,),(,)A b B b --，同理可得(,7),,7)C b D b -， 由对称性可知，四边形ABCD 的两条对角线的交点E 在y 轴上. 易知直线AC的方程为)y x b =-，令0x =，得3b y =，即0,3b E ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为60AEB ∠=︒，所以ABE △是等边三角形，|E A y y AB -=，所以22483b a b ==，因为222c a b =+，所以22358a c =，所以e =. 5.答案：C解析：由题意，双曲线1C的离心率c e a ==1ba=，∴设222:(0)C x y αα-=≠，将点A 代入得48α-=，解得4α=-，222:144y x C ∴-=，与直线l 联立得52D y =.易得0,4B C y y ==，CD CB λ=，()5,4,042D C B C x x x x λ⎛⎫∴--=-- ⎪⎝⎭，解得38λ=，故选C. 6.答案：C解析：由题知，椭圆22162x y +=的焦点坐标为(2,0)和(2,0)-设双曲线E的标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则224a b +=且2a =，解得222a b ==，所以双曲线E 的标准方程为22122x y -=，故选C.7.答案：A解析：如图所示，设直线AB 的倾斜角为θ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足为1A ，1B ，则1||AF AA =，1||BF BB =，过点F 向1AA 引垂线FG ，得||||cos ||||AG AF pAF AF θ-==， 则||1cos p AF θ=-，同理，||1cos pBF θ=+，则22||||||sin p AB AF BF θ=+=，即24|si |n AB θ=， 因为1l 与2l 垂直，所以直线DE 的倾斜角为π2θ+或π2θ-， 则24||cos DE θ=，则2244||||sin cos AB DE θθ+=+22224416sin cos sin 21sin 22θθθθ===⎛⎫⎪⎝⎭， 则易知||||AB DE +的最小值为16. 故选A. 8.答案：ACD解析：本题考查双曲线的定义、离心率问题、焦半径问题.由题意12PF F △为直角三角形,点P坐标为(,)c ±,直线1PF斜率1260k PF F =∠=.不妨设点P 在第一象限,如图.选项A,若1PF 平行渐近线,则ba,得2e =,故A 正确.选项B,若4λ=,则1MF c =.连接2MF (图略),由1260PF F ∠=︒,解得221,21)MF a MF MF c =∴=-=,得1e ,故B 错误.选项C,若3μ=,则2NF =.连接1NF (图略),由2190PF F ∠=︒,解得112,2NF a NF NF ∴=-=,得e 故C 正确. 选项D,114PF c MF λ==,14cMF λ∴=,点M 的坐标为2,M M cx c y λ=-=,代入双曲线方程得()2222ac c b λ+=,22b NF a =,则22PF NF λμμ==∴==故D 正确.故选ACD.9.答案：ACD解析：由已知，得22b =，3c a =，则1b =.又222a b c =+，所以23a =，所以椭圆的方程为2213y x+=.由题意，得223b PQ a ===，2PF Q △的周长为4a =.故选ACD. 10.答案：ACD解析：过点M 作MB 垂直于x 轴，垂足为B ，MF k =-，∴直线MF 的倾斜角为120°，60MFB ∴∠=︒，在Rt MBF △中，30BMF ∠=︒，||2||212pMF BF ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，又由抛物线的定义可得||12pMF =+，21122p p ⎛⎫∴-=+ ⎪⎝⎭，解得6p =，∴抛物线C 的方程为212y x =，抛物线C 的准线方程为3x =-，故A 正确；易知直线MF的方程为3)y x =-，代入抛物线C 的方程，得21090x x -+=，解得1x =或9x =，∴直线MF 与抛物线C 相交所得弦长为19616++=，选项B 不正确；易得M ，(3,0)F，(3,Q -，||QF ==120QMF ∠=︒，设MFQ △外接圆的半径为r，根据正弦定理可得||28sin QF r QMF ====∠，4r ∴=，选项C正确；设抛物线C 上的两点分别为()11,G x y ，()22,H x y ，则||||||8GF HF GH +≥=，当且仅当G ，H ，F 三点共线时，等号成立，由抛物线的定义可知，1212||||6GF FH x x p x x +=++=++，所以1268x x ++≥，即122x x +≥，所以线段GH 的中点到y 轴的距离122122x x +≥=，选项D 正确.故选ACD. 11.答案：解析：根据题意，双曲线222:1(0)4x y C b b -=>C:x 24-y 2b 2=1(b >0)的焦点在x 轴上，则其渐近线方程为2by x =±，又由该双曲线的一条渐近线方程为320x y +=，即32y =-=3=；所以2c ==15PF =122PF +=153a =，2PF =12PF F 中，由余弦定理可得：22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，而1260F PF ∠=︒，即222255429933a a a c a =+-⨯⨯712=，可得离心率c e a ==13.答案：45解析：如图，设抛物线的焦点为F ，连接PF ，由拖物线的定义知||||PQ PF =，又||||PQ PM =，所以||||PF PM =，由PQ l ⊥及120MPQ ∠=︒，得60PMF ∠=︒，于是PFM △为正三角形，||22pMF =-，所以点P 的坐标为1242p p ⎛⎫⎫+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将其代入22(0)y px p =>，得23221424p p p ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2556480p p +-=，即(12)(54)0p p +⋅-=，所以45p =. 14.答案：(1)24x y =(2)(2)-或( 解析：本题考查抛物线的标准方程,直线与抛物线的位置关系.(1)依题意设点1),(0,0),(0,)2p P O F p ,由||||PF PO =,又0p >,解得2p =,所以抛物线C 的方程为24x y =.(2)设()22,(0)A t t t ≠,由214y x =求导,得12y x '=, 所以过点A 的切线l 斜率为122k t t =⨯=, 所以切线l 的方程为2(2)y t t x t -=-, 即2y tx t =-.因为直线OB 与切线l 垂直,所以1OB k t=-, 直线OB 方程为1y x t=-,即0x ty +=,由20,4,x ty x y +=⎧⎨=⎩解得24,4,x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,0x y =⎧⎨=⎩(舍).即点244(,)D t t-.因为()22442,,(,)A t t D t t-,所以22242422ADt t t k t t t --==+, 则直线AD 的方程为222(2)2t y t x t t--=-,即()22240t x ty t --+=. 原点到直线AD 的距离d ===2≤=,当且仅当224t t=,即t =,等号成立. 所以原点到直线AD 的距离最大为2,此时点A 坐标为(2)-或(.15.解析：（Ⅰ）设,sin )([0,2))M θθθ∈π是椭圆上任意一点，由(0,1)P ，知222221441144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PM θθθθθ⎛⎫=+-=--=-+≤ ⎪⎝⎭， 故||PM即点P（Ⅱ）易知直线AB 的斜率存在，设直线AB ：12y kx =+，联立直线AB 与椭圆的方程，整理得22130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122112k x x k +=-+，12231412x x k =-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.直线PA 的方程为1111y y x x -=+，代入132y x =-+， 整理得111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-. 同理可得，222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-，则||C D CD x =-224(21)1x k x =-+-=====341431kk⨯+≥+=，当且仅当3|4|4k=，即3||16k=时等号成立，所以当3||16k=时，||CD.11。
平面解析几何与圆锥曲线
平面解析几何与圆锥曲线解析几何是数学中的一门学科，它研究的是几何图形在坐标系中的运动和性质。
圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，由直线和圆相交、旋转、平移等方式形成的曲线。
本文将探讨平面解析几何与圆锥曲线的关系及相关概念。
一、平面解析几何基本概念在平面解析几何中，我们常用的坐标系是笛卡尔坐标系，它由两条相互垂直的直线构成。
其中，横轴称为x轴，纵轴称为y轴。
平面上的点可以用有序数对(x, y)表示，x称为横坐标，y称为纵坐标。
根据欧氏距离公式，两点间的距离可以表示为d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。
在解析几何中，直线是一个基本图形。
根据两点确定一条直线的原理，我们可以通过已知的两个点求解直线的方程。
一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
二、圆锥曲线的基本类型圆锥曲线可以分为四种基本类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中最简单的一种形式。
它的定义是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点组成的图形。
如果两个定点的距离为2a，且椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上，那么椭圆的标准方程为(x²/a²) + (y²/b²) = 1。
2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中另一个重要的类型。
它的定义是平面上到两个定点的距离之差等于常数的点组成的图形。
如果两个定点的距离为2a，双曲线的标准方程为(x²/a²) - (y²/b²) = 1。
3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中非常常见的一种形式。
它的定义是平面上到一个定点的距离等于定直线的距离的点组成的图形。
抛物线的标准方程为y² = 2px，其中p是焦点到准线的垂直距离。
4. 直线直线可以看作是圆锥的一种特殊情况，它的标准方程可以表示为Ax + By + C = 0。
直线在平面解析几何中有着重要的应用，如直线的交点和直线与曲线的切点等。
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第9章 解析几何 第2课时 圆锥曲线中的定点(或定值)问题
将 x=0,y=-2 代入上式,整理得 12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)
6(+2)
因为 x1+x2=
2
4+3
3(+4)
,x1x2=
2
4+3
,
-8-16
所以 y1+y2=k(x1-1)-2+k(x2-1)-2=
在椭圆上,即 9
2
9(1- 1 )
9
( 1 +3)2
∴
联立
=
2
1- 2
9
2
( 2 -3)
9
+
( 2 -3)2
,
22
2
1 =1, 9
+ 22 =1,
,整理得 4x1x2-15(x1+x2)+36=0,
= + ,
2
=
22
+ 2 = 1,
得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
+ 4
则点 M
将
= 1,
= 1,
2 6
1,3
2 6
y=- 代入
3
解得
,N
=
2 6
1,
3
2
y= x-2,得
3
2 6或
3
= 1,
=
2 6
- 3 ,
.
x=3- 6,则点 T 3-
2 6
6,3
.
又 = ,所以点 H(5-2
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线，是由平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
圆锥曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、基本概念1. 定义：圆锥曲线是平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
2. 定点：圆锥曲线的两个定点分别称为焦点。
3. 对称轴：通过两个焦点并垂直于准线的直线称为对称轴。
4. 准线：通过两个焦点的直线段称为准线。
二、椭圆1. 定义：椭圆是圆锥曲线的一种，其离心率小于1，且焦点不重合的曲线。
2. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
3. 性质：椭圆具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：椭圆在天文学、建筑学和电子等领域应用广泛。
三、双曲线1. 定义：双曲线是圆锥曲线的一种，其离心率大于1的曲线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。
3. 性质：双曲线具有渐近线和切线性质，且有两个分支。
4. 应用：双曲线在物理学、天文学和通信等领域有重要应用。
四、抛物线1. 定义：抛物线是圆锥曲线的一种，其离心率等于1的曲线。
2. 方程：抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
3. 性质：抛物线具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学等领域有广泛应用。
五、圆1. 定义：圆是圆锥曲线的一种，其离心率等于0的曲线。
2. 方程：圆的标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径长度。
3. 性质：圆具有对称性、切线性质和切圆定理等。
4. 应用：圆在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
总结：圆锥曲线是解析几何的重要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。
解析几何中的圆锥曲线
解析几何中的圆锥曲线解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了几何图形的性质和变换，其中圆锥曲线是解析几何中的重要概念之一。
圆锥曲线由平面与一个双曲面或者一个抛物面相交而产生，包括椭圆、双曲线和抛物线。
本文将对这些圆锥曲线的性质和应用进行一些解析。
椭圆是一种非常常见的圆锥曲线。
它的定义是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆有很多有趣的性质，比如它的离心率小于1，离心率等于0时，椭圆就变成了一个圆。
椭圆也是一种对称图形，它的两个焦点和中心都在同一条直线上。
椭圆还有一些重要的应用，比如在天文学中，行星的轨道就可以近似看作是椭圆。
双曲线是另一种常见的圆锥曲线。
它的定义是平面上到两个给定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
这两个给定点同样称为焦点，而常数则是离心率。
与椭圆不同的是，双曲线的离心率大于1。
双曲线也有很多有趣的性质，比如它的两个焦点和中心不在同一条直线上。
双曲线在物理学和工程学中也有广泛的应用，比如电磁波的传播就可以用双曲线来描述。
抛物线是圆锥曲线中的最后一种形式。
它的定义是平面上到一个给定点的距离等于到一个给定直线的距离的点的集合。
这个给定点称为焦点，给定直线称为准线。
抛物线有很多有趣的性质，比如它是一种对称图形，焦点和准线都在对称轴上。
抛物线在物理学中也有重要的应用，比如抛物线的形状可以用来描述物体的抛射运动。
除了上述三种基本形式的圆锥曲线，解析几何还研究了它们的性质和变换。
例如，圆锥曲线的方程可以用代数的方法来表示，这样就可以通过方程来研究它们的性质。
此外，圆锥曲线还可以进行平移、旋转和缩放等变换，这些变换可以改变圆锥曲线的形状和位置。
在实际应用中，圆锥曲线有着广泛的应用。
比如在工程学中，圆锥曲线可以用来描述光的反射和折射现象，从而帮助设计光学器件。
在航天领域，圆锥曲线可以用来描述行星和卫星的轨道，从而帮助计算它们的运动轨迹。
在计算机图形学中，圆锥曲线可以用来描述曲线和曲面的形状，从而帮助生成逼真的图像。
圆锥曲线的分类及基本方程
圆锥曲线的分类及基本方程圆锥曲线是解析几何中最为重要的一类曲线，不仅在数学领域有广泛应用，在物理、化学、工程等多个领域中也有着重要的作用。
本文将围绕圆锥曲线的分类及基本方程展开讨论。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是指由一个固定点F（焦点）和一个固定直线L（直角母线）所确定的点P（动点）的轨迹。
如果点P在直线L同侧与焦点F的距离大于点P到直线L的距离，则称此为椭圆；如果点P在直线L同侧与焦点F的距离等于点P到直线L的距离，则称此为双曲线；如果点P在直线L的另一侧，且距离相等，则称此为圆。
二、圆锥曲线的分类根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为三类：椭圆、双曲线和圆。
下面分别进行讲解。
1. 椭圆椭圆是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之和为定值2a、固定数e小于1的点P所形成的轨迹。
其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴，c为椭圆的焦距，e为椭圆的离心率，有以下基本方程：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中，如果椭圆的中心在坐标系原点上，则方程为：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 12. 双曲线双曲线是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之差为定值2a、固定数e大于1的点P所形成的轨迹。
其中，a为双曲线的半轴，b为双曲线的次轴，c为双曲线的焦距，e为双曲线的离心率，有以下基本方程：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，如果双曲线的中心在坐标系原点上，则方程为：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 13. 圆圆是指在平面直角坐标系中离空间内一个固定点O距离相等的点P所组成的轨迹，该固定点称为圆心，离圆心最远的点称为圆的周围。
圆的方程为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，（a，b）为圆心坐标，r为圆的半径。
三、圆锥曲线的性质1. 椭圆的离心率小于1，且对称轴平行于 y 轴，故对称于 x 轴的部分也是椭圆。
圆锥曲线课件
标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)
1. 范围：双曲线在x轴上的范围是[±a, ±∞]，在y轴上 的范围是[0, b]。
3. 渐近线：双曲线有两条渐近线，斜率分别为y=±b/a 。
抛物线
定义：抛物线是指由平面内 与一个固定点F和一条直线l
的距离相等的点的轨迹。
极坐标系的基本概念
01
极坐标系是平面坐标系的一种形式，由极点、极轴和极径等构
成。
圆锥曲线在极坐标系中的表示
02
将圆锥曲线置于极坐标系中，探究其在极坐标系中的形式及其
性质。
极坐标与直角坐标的转换
03
掌握极坐标与直角坐标的转换公式，能够将极坐标方程转化为
直角坐标方程。
圆锥曲线在实际问题中的优化方案
实际问题的数学建模
折射定律
折射定律也是光学原理中的重要内容之一，它描述了 光线在不同介质之间传播时的偏转规律。在一些复杂 的光学系统中，如望远镜、显微镜等，需要对多个曲 面进行精确的设计和加工，而这些曲面常常是按照圆 锥曲线的形状进行设计和加工的。通过对这些曲面的 精确设计和加工，我们可以更好地控制光线的折射方 向和强度，从而制造出更好的光学器材和设备。
计算坐标
根据圆锥曲线的方程，计算出各个点的坐标 。
确定圆锥曲线的形状和大小
根据圆锥曲线的性质和特点，确定形状和大 小，选择合适的参数。
绘制图形
使用绘图软件或手绘，根据计算出的坐标绘 制圆锥曲线。
焦点半径法
01
02
03
确定焦点
根据圆锥曲线的类型和方 程，确定焦点位置。
计算半径
根据圆锥曲线的方程和焦 点的位置，计算出曲线的 半径。
解析几何与圆锥曲线
解析几何与圆锥曲线解析几何是数学中的一个分支，研究的是几何图形在坐标系中的性质和关系。
而圆锥曲线是解析几何中的一个重要概念，指的是在平面上由一个定点(焦点)和一个定直线(直角平分线)确定的几何图形。
本文将详细解析解析几何与圆锥曲线之间的关系。
一、解析几何基础解析几何的基础是坐标系，通常使用直角坐标系来描述平面上的点和几何图形。
在直角坐标系中，每个点都可以用两个坐标表示，分别表示该点在横轴和纵轴上的位置。
我们可以利用坐标系来描述线段、直线、曲线等几何图形，并通过代数的方法来研究它们的性质和关系。
二、圆锥曲线的定义与分类圆锥曲线是指在平面上由一个定点(焦点)和一个定直线(直角平分线)确定的几何图形。
根据焦点和直角平分线的相对位置，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
1. 椭圆：焦点到直角平分线的距离之和是一个常数，称为椭圆的离心率。
当离心率小于1时，椭圆是闭合曲线，当离心率等于1时，椭圆是一个线段，当离心率大于1时，椭圆是两个分离的曲线。
2. 双曲线：焦点到直角平分线的距离之差是一个常数，称为双曲线的离心率。
当离心率小于1时，双曲线是两个分离的曲线，当离心率等于1时，双曲线是两条渐进线，当离心率大于1时，双曲线是两个分离的曲线。
3. 抛物线：焦点到直角平分线的距离等于一个常数，称为抛物线的离心率。
抛物线有两种形式，一种是开口向上的抛物线，一种是开口向下的抛物线。
三、解析几何与圆锥曲线的关系解析几何主要研究的是几何图形在坐标系中的性质和关系，而圆锥曲线可以通过解析几何的方法进行研究和描述。
通过引入坐标系，我们可以将焦点和直角平分线的位置用代数的方式表示，从而推导出圆锥曲线的方程和各种性质。
以椭圆为例，假设焦点为F(a,0)，直角平分线为x=k，其中a和k为常数。
根据椭圆的定义，点P(x,y)到焦点和直角平分线的距离之和等于常数，即PF1+PF2=2a，可以得到以下方程：(x-a)^2+y^2+(x-a)^2+y^2=4a^2化简后即为椭圆的标准方程。
解析几何中的圆锥曲线方程推导
解析几何中的圆锥曲线方程推导圆锥曲线是解析几何中的一类重要的曲线，主要包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
在解析几何中，我们常常需要推导圆锥曲线的方程，以便研究曲线的性质和解决与曲线相关的问题。
本文将详细介绍几种常见圆锥曲线方程的推导方法。
一、圆的方程圆的方程是解析几何中最简单的曲线方程之一。
设圆心坐标为$(a,b)$，半径为$r$。
则圆心到圆上任一点的距离为$r$，设$(x,y)$为圆上任一点，则有：$$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$$移项并平方得到圆的标准方程：$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$这是圆的一般形式，当圆心在坐标原点时，圆的方程可以简化为：$$x^2+y^2=r^2$$如图所示，圆的方程描述了平面上距离固定点距离相等的一组点，这些点围绕着圆心形成一个圆。
二、椭圆的方程椭圆是平面上距离固定两点距离之和为定值的一组点构成的曲线。
设椭圆两焦点坐标分别为$(c,0)$和$(-c,0)$，焦距为$2a$，则椭圆的方程可以表示为：$$\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$$移项并平方可得椭圆的标准方程：$$\frac{(x-c)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，$b^2=a^2-c^2$。
定值的一组点构成的曲线。
三、双曲线的方程双曲线分为两种类型：正弦型和双曲型。
这里以双曲型为例进行介绍。
双曲线是平面上距离固定两点距离之差为定值的一组点构成的曲线。
设双曲线两焦点坐标分别为$(c,0)$和$(-c,0)$，焦距为$2a$，则双曲线的方程可以表示为：$$\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$$移项并平方可得双曲线的标准方程：$$\frac{(x-c)^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，$b^2=a^2+c^2$。
为定值的一组点构成的曲线。
【高考精品复习】第九篇 解析几何 方法技巧2 圆锥曲线的综合应用
方法技巧2圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的最值问题【考情快递】最值问题是高考的热点，可能出选择题、填空题和解答题．方法1：定义转化法解题步骤①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．适用情况此法为求解最值问题的常用方法，多数题可以用.【例1】►已知点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|P A|的最小值为________．解析如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，即|PF|－4＝|PF′|.又|P A|＋|PF′|≥|AF′|＝5，将|PF|－4＝|PF′|代入，得|P A|＋|PF|－4≥5，即|P A|＋|PF|≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线，即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|P A|的最小值为9.故填9. 答案9方法2：切线法解题步骤①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．适用情况当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时用此法.【例2】►求椭圆x22＋y2＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．解设椭圆的切线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程，得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0. 由Δ＝(4b )2－4×3×(2b 2－2)＝0，得b ＝±3.当b ＝3时，直线y ＝x ＋3与y ＝x ＋23的距离d 1＝62，将b ＝3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0，解得x ＝－233，此时y ＝33，即椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，33到直线y ＝x ＋23的距离最小，最小值是62； 当b ＝－3时，直线y ＝x －3到直线y ＝x ＋23的距离d 2＝362，将b ＝－3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0， 解得x ＝233，此时y ＝－33，即椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫233，－33到直线y ＝x ＋23的距离最大，最大值是362. 方法3：参数法解题步骤① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值．适用情况可以用参数表示某个曲线并求得最值的问题.【例3】►在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的最大值为________． 解析 因为椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝sin φ，(φ为参数)． 故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)， 其中0≤φ＜2π.因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，所以，当φ＝π6时，S 取最大值2.故填2.答案 2方法4：基本不等式法解题步骤①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．适用情况最值问题中的多数问题可用此法.【例4】►设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆相交于E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值． 解 依题设得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)． 设E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2， 且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2.① 根据点到直线的距离公式和①式， 得点E ，F 到AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)， h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2)，又|AB |＝22＋1＝5，所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12·5·4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2≤22，当2k ＝1，即k ＝12时，取等号． 所以四边形AEBF 面积的最大值为2 2. 二、圆锥曲线的范围问题【考情快递】 圆锥曲线中的范围问题是高考中的常见考点，一般出选择题、填空题．方法1：曲线几何性质法解题步骤 ①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．适用情况利用定义求解圆锥曲线的问题.【例1】►已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析 根据双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 2|＝r ， 则|PF 1|＝4r ，故3r ＝2a ，即r ＝2a 3，|PF 2|＝2a3. 根据双曲线的几何性质，|PF 2|≥c －a ，即2a3≥c －a ， 即c a ≤53，即e ≤53.又e ＞1，故双曲线的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.故填⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53方法2：判别式法解题步骤① 联立曲线方程，消元后求判别式；②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．适用情况当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零．此类问题可用判别式法求解.【例2】►(2011·浏阳一中月考)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP→＋OQ →与AB →共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知条件，知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程，得x 22＋(kx ＋2)2＝1， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.①由直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ， 得Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由方程①，知x 1＋x 2＝－42k 1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k 2.③由A (2，0)，B (0,1)，得AB→＝(－2，1)．所以OP →＋OQ →与AB →共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， 将②③代入，解得k ＝22. 由(1)知k ＜－22或k ＞22， 故不存在符合题意的常数k . 三、圆锥曲线的定值、定点问题【考情快递】 此类问题也是高考的热点，圆锥曲线中的定值问题是指某些几何量不受运动变化的点的影响而有固定取值的一类问题，定点问题一般是指运动变化中的直线或曲线恒过平面内的某个或某几个定点而不受直线和曲线的变化影响的一类问题． 方法1：特殊到一般法解题步骤① 根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行证明．适用情况根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题.【例1】►已知双曲线C ：x 2－y 22＝1，过圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点作圆的切线l ，若l 交双曲线于A ，B 两点，证明：∠AOB 的大小为定值． 证明 当切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝±2. 当x ＝2时，代入双曲线方程，得y ＝±2， 即A (2，2)，B (2，－2)，此时∠AOB ＝90°， 同理，当x ＝－2时，∠AOB ＝90°.当切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋b ， 则|b |1＋k2＝2，即b 2＝2(1＋k 2)． 由直线方程和双曲线方程消掉y ， 得(2－k 2)x 2－2kbx －(b 2＋2)＝0， 由直线l 与双曲线交于A ，B 两点． 故2－k 2≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－(b 2＋2)2－k 2，y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2 ＝－k 2b 2－2k 22－k 2＋2k 2b 22－k 2＋2b 2－k 2b 22－k 2＝2b 2－2k 22－k 2，故x 1x 2＋y 1y 2＝－b 2－22－k 2＋2b 2－2k 22－k 2＝b 2－2(1＋k 2)2－k 2，由于b 2＝2(1＋k 2)，故x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →＝0，∠AOB ＝90°. 综上可知，若l 交双曲线于A ，B 两点， 则∠AOB 的大小为定值90°. 方法2：引进参数法解题步骤① 引进参数表示变化量；②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点．适用情况定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).【例2】►如图所示，曲线C 1：x 29＋y 28＝1，曲线C 2：y 2＝4x ，过曲线C 1的右焦点F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1，C 2依次交于B ，C ，D ，E 四点．若G 为CD 的中点、H 为BE 的中点，证明|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|为定值．证明 由题意，知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线y ＝k (x －1)，代入x 29＋y 28＝1，得8⎝ ⎛⎭⎪⎫y k ＋12＋9y 2－72＝0，即(8＋9k 2)y 2＋16ky －64k 2＝0，则y 1＋y 2＝－16k 8＋9k 2，y 1y 2＝－64k 28＋9k 2.同理，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， 则y 3＋y 4＝4k ，y 3y 4＝－4， 所以|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|＝|y 1－y 2||y 3－y 4|·12|y 3＋y 4|12|y 1＋y 2|＝(y 1－y 2)2(y 1＋y 2)2·(y 3＋y 4)2(y 3－y 4)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(y 1＋y 2)2·(y 3＋y 4)2(y 3＋y 4)2－4y 3y 4＝(－16k )2(8＋9k 2)2＋4×64k 28＋9k 2(－16k )2(8＋9k 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16＝3为定值．方法运用训练21．设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到x ＝－1直线的距离之和的最小值为( )． A. 2 B. 3 C. 5 D. 6解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)， 准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离； 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小；显然，连AF 交曲线于P 点．故最小值为22＋1，即为 5. 答案 C2．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆离心率e 的范围为( )． A.55＜e ＜35 B ．0＜e ＜25 C.25＜e ＜35D.35＜e ＜55解析 此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)与(0，b )一个在圆外、一个在圆内即： ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2b 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b2＋cb ＜b 2＋c⇒⎩⎪⎨⎪⎧(a －c )2＞14(a 2－c 2)a 2－c 2＜2c⇒55＜e ＜35. 答案 A3．(2011·长郡中学1次月考)设F 是椭圆x 27＋y 26＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1,2,3，…)，使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为________．解析 若公差d ＞0，则|FP 1|最小，|FP 1|＝7－1； 数列中的最大项为7＋1，并设为第n 项， 则7＋1＝7－1＋(n －1)d ⇒n ＝2d ＋1≥21⇒d ≤110， 注意到d ＞0，得0＜d ≤110；若d ＜0，易得－110≤d ＜0. 那么，d 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－110，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，110.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－110，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，110 4．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一定点P (x 0，y 0)(y 0＞0)作两直线分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则y 1＋y 2y 0的值为________．解析 设直线P A 的斜率为k P A ，PB 的斜率为k PB ， 由y 21＝2px 1，y 20＝2px 0，得k P A＝y 1－y 0x 1－x 0＝2p y 1＋y 0， 同理k PB ＝2py 2＋y 0， 由于P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 因此2p y 1＋y 0＝－2p y 2＋y 0，即y 1＋y 2＝－2y 0(y 0＞0)，那么y 1＋y 2y 0＝－2.答案 －25．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，过F 点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，当△PFO 的面积最大时，求直线l 的方程． 解 求直线方程，由于F (－c,0)为已知，仅需求斜率k ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22，由于S △PFO ＝12|OF |·|y 0|＝c2|y 0|只需保证|y 0|最大即可，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋c )b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b2⇒(b 2＋a 2k 2)y 2－2b 2cky －b 4k 2＝0， |y 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2ck b 2＋a 2k 2＝b 2c b 2|k |＋a 2|k |≤bc 2a得：S △PFO ≤bc 24a ，此时b 2|k |＝a 2|k |⇒k ＝±ba ， 故直线方程为：y ＝±ba (x ＋c )．6．(长沙雅礼中学最新月考)已知⊙O ′过定点A (0，p )(p ＞0)，圆心O ′在抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上运动，MN 为圆O ′在轴上所截得的弦． (1)当O ′点运动时，|MN |是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时，试判断抛物线C 的准线与圆O ′的位置关系，并说明理由．解 (1)设O ′(x 0，y 0)，则x 20＝2py 0(y 0≥0)， 则⊙O ′的半径|O ′A |＝x 20＋(y 0－p )2， ⊙O ′的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋(y 0－p )2， 令y ＝0，并把x 20＝2py 0，代入得x 2－2x 0x ＋x 20－p 2＝0，解得x 1＝x 0－p ，x 2＝x 0＋p ，所以|MN |＝|x 1－x 2|＝2p ， 这说明|MN |是不变化，其为定值2p . (2)不妨设M (x 0－p,0)，N (x 0＋p,0)．由题2|OA |＝|OM |＋|ON |，得2p ＝|x 0－p |＋|x 0＋p |， 所以－p ≤x 0≤p .O ′到抛物线准线y ＝－p 2的距离d ＝y 0＋p 2＝x 20＋p22p ，⊙O ′的半径|O ′A |＝x 20＋(y 0－p )2＝x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22p －p 2＝12p x 40＋4p 4.因为r ＞d ⇔x 40＋4p 4＞()x 20＋p 22⇔x 20＜32p 2， 又x 20≤p 2＜32p 2(p ＞0)，所以r ＞d ， 即⊙O ′与抛物线的准线总相交．。
平面解析几何的圆锥曲线
平面解析几何的圆锥曲线圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，它研究了二次方程在平面上的各种特殊情况。
圆和椭圆、双曲线、抛物线都是圆锥曲线的具体表现形式。
本文将从定义、性质、方程及实际应用等方面综述圆锥曲线的基本知识。
一、定义及基本性质圆锥曲线是通过切割一个圆锥体而得到的曲线。
根据切割位置和角度的不同，可以得到不同类型的圆锥曲线。
1. 圆：当切割的平面与圆锥体的底面平行时，所得曲线为圆。
2. 椭圆：当切割的平面斜切圆锥体时，所得曲线为椭圆。
椭圆有两个焦点，对任意一点到两个焦点的距离之和是常数。
3. 双曲线：当切割的平面与圆锥体的底面不平行时，所得曲线为双曲线。
双曲线有两个焦点，对任意一点到两个焦点的距离之差是常数。
4. 抛物线：当切割的平面与与圆锥体的底面平行切成两半时，所得曲线为抛物线。
抛物线的焦点在无穷远处。
圆锥曲线的基本性质有：1. 对称性：椭圆、双曲线和抛物线在对应的轴上具有对称性。
2. 离心率：椭圆、双曲线和抛物线都有离心率这一重要性质。
离心率决定了曲线的形状，离心率越接近于0，曲线越接近于圆形，离心率越接近于1，曲线越拉长。
3. 弦段：圆锥曲线上的弦段在圆锥曲线内外的切线上截得的线段长度平方的比例是常数。
这个常数被称为圆锥曲线的离心率。
二、方程及参数表示圆锥曲线的方程有不同的表达形式，根据方程可以确定曲线的位置、形状和其他特征。
常见的表达形式有：1. 二次方程：圆锥曲线可以用二次方程的形式表示，如：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0。
通过该方程可以确定曲线的位置和形状。
2. 参数方程：圆锥曲线也可以用参数方程的形式表示，如：x = x(t)，y = y(t)。
通过参数方程可以确定曲线上各个点的坐标。
三、实际应用圆锥曲线在众多领域中被广泛应用，下面以几个具体的实际应用为例进行说明。
1. 天体运动：椭圆轨道是行星和其他天体的运动轨迹，通过研究椭圆轨道可以预测和解释行星和卫星的运动规律。
解析几何中的圆锥曲线性质
解析几何中的圆锥曲线性质圆锥曲线是解析几何中的重要概念，是由圆锥与平面相交产生的图形。
它包括椭圆、双曲线和抛物线三种，并具有许多重要的性质。
一、椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，具有很多独特的性质。
椭圆的中心为O，两个焦点分别为F和F'，长轴为2a，短轴为2b。
则有以下性质：1、椭圆两焦点到中心的距离相等。
即OF=OF'=c，c是椭圆离心率。
椭圆为两焦点间距的等差中项轨迹。
2、椭圆满足反射定律。
即从一个焦点出发的光线照射到椭圆上的任意点P，然后反射出去后的光线将直接通过另一个焦点。
这是最初发现椭圆的方式之一。
3、椭圆的周长公式周长为C=4a (1-e²) 的等效标准式，其中e是离心率。
4、椭圆面积公式面积为S=πab。
二、双曲线双曲线与椭圆相似，也是圆锥曲线的一种。
其中心为O，两个焦点分别为F和F'，距离为2a，离心率为c/a。
则有以下性质：1、双曲线离心率大于1。
离心率c/a＞1，两焦点同时在x轴中心两侧。
2、双曲线的渐近线。
双曲线上有两根等角的斜渐近线，在两根直线的中间，双曲线成了自己的渐近线。
渐近线k是y=±(a/c)x.3、双曲线的公切线从椭圆的任一点P引一条与焦点之间连线的中垂线M，与焦点之间连线交椭圆于A、B两点，P到A、B的两条公切线交于双曲线上的另一点Q。
三、抛物线抛物线也是圆锥曲线中的一种，拥有自己独特的性质。
其上的每个点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
抛物线的焦点为O，准线为x轴。
则有以下性质：1、抛物线的反射定律抛物线反射定律是一个光学原理，指入射光线垂直于抛物线，在焦点后方入射时，经过反射后的光线都汇聚到焦点上。
2、抛物线的标准式抛物线的标准式为 y²=2px，其中p为焦距；若以顶点为起点，则顶点V为坐标原点，到焦点的距离p为负，此时抛物线开口向上；反之，抛物线开口向下。
3、抛物线面积公式面积为S=2/3px²。
解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与关系
解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与关系解析几何是数学中重要的一个分支，研究几何图形在坐标系中的表示和性质。
其中，曲线和圆锥曲线是解析几何的重要内容。
本文将对曲线和圆锥曲线的性质与关系进行分析和解读。
一、曲线的定义与性质曲线在解析几何中被定义为由平面中的点组成的连续集合。
曲线可以是直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
不同曲线的性质各异，但它们都有一些共同的特点。
首先，曲线上的任意两点之间的直线称为切线。
在曲线上的任意一点，切线的斜率等于曲线在该点的导数。
这意味着通过求导可以确定曲线上每一点的切线，从而揭示曲线的变化趋势。
其次，曲线可以分为开曲线和闭曲线两种类型。
开曲线在坐标平面中的两个无限远点处不相交，如直线和双曲线；闭曲线形成一个封闭形状，如圆和椭圆。
闭曲线的特点是它们的切线在每个点上都与曲线相切。
曲线的性质还与其方程的形式相关。
例如，一次方程代表一条直线，二次方程代表抛物线，而椭圆和双曲线则对应于二次方程的变形形式。
通过分析曲线方程，我们可以得出关于曲线的更多信息。
二、圆锥曲线的定义与性质圆锥曲线是一类通过圆锥切割方式得到的曲线。
根据切割位置和角度的不同，圆锥曲线可以分为椭圆、抛物线和双曲线三种类型。
这三种曲线都有其独特的性质和特点。
首先，椭圆是圆锥切割后形成的曲线。
椭圆具有两个焦点和同一条长轴上的两个顶点。
椭圆的性质包括：焦点处的反射定律、离心率和焦距的关系、椭圆的离心角等。
椭圆在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
其次，抛物线是圆锥切割时圆锥轴与圆锥表面平行的情况下形成的曲线。
抛物线的性质包括：焦点与直角的关系、抛物线的对称性、顶点位置等。
抛物线以其特殊的形状和性质在自然界和人造结构中得到广泛应用。
最后，双曲线是圆锥切割时圆锥轴与圆锥表面夹角大于圆锥表面开口角的情况下形成的曲线。
双曲线的性质包括：焦点与直角的关系、双曲线的对称性、渐近线等。
双曲线在物理学、光学、电子等领域中有重要的应用价值。
三、曲线与圆锥曲线的关系曲线和圆锥曲线之间存在着密切的联系和关系。
解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与方程
解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与方程解析几何是数学的一个分支，研究几何图形的性质和方程。
在解析几何中，曲线是一个重要的概念，而圆锥曲线则是曲线的一种特殊类型。
本文将探讨曲线与圆锥曲线的性质与方程。
一、曲线的基本概念在解析几何中，曲线是由一组点构成，这些点满足一定的几何条件。
曲线可以是一条直线，也可以是一条弧线。
曲线有很多重要的性质，比如长度、弧度等。
曲线的方程是将曲线上的点与坐标系中的数值进行对应的数学表达式。
二、圆锥曲线的定义圆锥曲线是解析几何中的一类曲线，其定义是通过一个点（焦点）和一个直线（准线）来确定的。
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线三种类型。
这三种曲线都具有独特的性质和方程。
1. 椭圆的性质与方程椭圆是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离之和等于常数。
椭圆的中心是焦点所在的点，长轴和短轴是椭圆的两个重要参数。
椭圆的方程可以表示为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是椭圆的长轴和短轴长度。
2. 抛物线的性质与方程抛物线也是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离等于准线到点的距离。
抛物线具有对称性，焦点所在的直线称为对称轴。
抛物线的方程可以表示为y² = 4ax，其中a是抛物线的参数，代表焦点到准线的距离。
3. 双曲线的性质与方程双曲线是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离之差等于准线到点的距离。
双曲线具有两个分支，每个分支都有一个焦点和一个准线。
双曲线的方程可以表示为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b是双曲线的参数。
三、曲线与圆锥曲线的联系曲线可以包含圆锥曲线作为其特例。
例如，当圆锥曲线的焦点与准线重合时，圆锥曲线成为一条直线。
当圆锥曲线的参数满足一定条件时，圆锥曲线可以退化为点或者不存在任何实数解。
解析几何中的曲线与圆锥曲线的方程与关系
解析几何中的曲线与圆锥曲线的方程与关系解析几何是数学中的一个分支，研究了几何图形的性质、变换和方程。
其中，曲线和圆锥曲线是解析几何中的重要概念。
本文将重点探讨曲线与圆锥曲线的方程与关系，以便更好地理解解析几何的核心内容。
一、曲线的方程在解析几何中，曲线的方程是用来描述曲线上的点与坐标之间的关系的数学表达式。
常见的曲线方程有线性方程、二次方程、三次方程等等。
下面我们以直线和抛物线为例，分别介绍它们的方程。
1. 直线的方程直线的方程可以表示为 y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
直线方程中的斜率和截距可以通过给定的点或一些性质得到。
例如，如果已知一条直线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以通过斜率公式（y2-y1）/（x2-x1）来计算斜率k，进而可以通过其中任意一个点和得到的斜率来计算出截距b。
2. 抛物线的方程抛物线的方程通常可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
抛物线的形状可以根据二次项的系数a来判断。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标可以通过顶点公式 x = -b/2a 来得到。
进一步，可以通过给定的顶点或焦点来推导抛物线的具体方程。
二、圆锥曲线的方程与关系圆锥曲线是解析几何中的重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们都有各自特定的方程形式和几何性质。
1. 椭圆的方程与关系椭圆是一个闭合的曲线，其中所有点到两个焦点的距离之和是常数。
椭圆的方程可以表示为 (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中（h，k）表示椭圆的中心点坐标，a和b分别表示横轴和纵轴的半长轴。
椭圆的离心率可通过 a、b 计算得出，离心率e的值决定了椭圆的形状。
2. 双曲线的方程与关系双曲线是一条开口朝上或朝下的曲线，其特点是所有点到两个焦点的距离之差是常数。
双曲线的方程可以表示为 (x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，或者 (y-k)^2/b^2 - (x-h)^2/a^2 = 1，具体形式取决于是开口朝上还是朝下。
平面解析几何中的圆锥曲线和旋转曲面的性质
平面解析几何中的圆锥曲线和旋转曲面的性质在平面解析几何中，圆锥曲线和旋转曲面是两个重要的概念。
它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
本文将探讨圆锥曲线和旋转曲面的性质，以及它们在实际问题中的应用。
一、圆锥曲线的性质圆锥曲线是一个平面和一个圆锥的交点所形成的曲线。
根据交点的位置和角度，圆锥曲线可以分为圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。
1. 圆当平面与圆锥的底面相交于一个圆时，圆锥曲线就是一个圆。
圆是一种特殊的圆锥曲线，具有以下性质：- 圆上的所有点到圆心的距离都相等。
- 圆的内角和为360度。
- 圆的半径和直径之间的关系为：直径是半径的两倍。
2. 椭圆当平面与圆锥的底面相交于两个圆时，圆锥曲线就是一个椭圆。
椭圆具有以下性质：- 椭圆上的所有点到两个焦点的距离之和是一个常数，称为椭圆的长轴。
- 椭圆上的所有点到两个焦点的距离之差的绝对值是一个常数，称为椭圆的短轴。
- 椭圆的长轴与短轴之间的关系为：长轴是短轴的两倍。
3. 双曲线当平面与圆锥的底面相交于两个不相交的曲线时，圆锥曲线就是一个双曲线。
双曲线具有以下性质：- 双曲线上的所有点到两个焦点的距离之差是一个常数，称为双曲线的离心率。
- 双曲线的离心率大于1。
- 双曲线有两条渐近线，渐近线是双曲线的对称轴。
4. 抛物线当平面与圆锥的底面相交于一个曲线时，圆锥曲线就是一个抛物线。
抛物线具有以下性质：- 抛物线上的所有点到焦点的距离与到准线的距离相等。
- 抛物线有对称轴，对称轴与准线垂直，并通过焦点。
二、旋转曲面的性质旋转曲面是由旋转曲线沿某个轴旋转一周形成的曲面。
根据旋转曲线的类型和旋转轴的位置，旋转曲面可以分为圆锥曲线、圆柱面和旋转抛物面等。
1. 圆锥曲线当旋转曲线为圆且旋转轴不与旋转曲线相交时，形成的旋转曲面是一个圆锥曲线。
圆锥曲线具有与平面圆锥曲线相似的性质。
2. 圆柱面当旋转曲线为直线且旋转轴平行于旋转曲线时，形成的旋转曲面是一个圆柱面。
圆柱面具有以下性质：- 圆柱面上的所有点到旋转轴的距离都相等。
平面解析几何中的圆锥曲线和旋转曲面的性质的应用
平面解析几何中的圆锥曲线和旋转曲面的性质的应用在平面解析几何中，圆锥曲线和旋转曲面是两个重要的概念。
它们的性质及其应用在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
本文将重点探讨圆锥曲线和旋转曲面的性质及其在实际问题中的应用。
一、圆锥曲线的性质圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一个移动点（准线）确定的曲线。
根据准线与焦点的位置关系，圆锥曲线分为三种类型：椭圆、双曲线和抛物线。
1. 椭圆椭圆是焦点到准线的距离之和等于常数的点的集合。
具有以下性质：- 椭圆的离心率小于1，焦点在椭圆内部。
- 椭圆是对称图形，有两个对称轴和两个焦点。
- 椭圆的长轴、短轴和焦距之间存在一定的关系。
2. 双曲线双曲线是焦点到准线的距离之差等于常数的点的集合。
具有以下性质：- 双曲线的离心率大于1，焦点在双曲线外部。
- 双曲线有两个分支，每个分支都有两个焦点和两个顶点。
- 双曲线的长轴、短轴和焦距之间存在一定的关系。
3. 抛物线抛物线是焦点到准线的距离相等的点的集合。
具有以下性质：- 抛物线是关于准线对称的曲线，有一个焦点和一个顶点。
- 抛物线的离心率等于1。
- 抛物线的方程可以用二次函数表示。
二、旋转曲面的性质旋转曲面是由曲线（母线）绕某一直线（旋转轴）旋转一周而形成的曲面。
根据旋转轴与母线的位置关系，旋转曲面可以分为三种类型：圆锥面、圆柱面和旋转抛物面。
1. 圆锥面圆锥面是由一个固定点（顶点）和一个移动曲线（母线）确定的曲面。
具有以下性质：- 圆锥面上任意一条直线都与顶点相交。
- 圆锥面可以通过选择不同的母线和顶点而得到不同的形状。
2. 圆柱面圆柱面是由平行于一个定曲线（母线）的直线（母线的延长线）组成的曲面。
具有以下性质：- 圆柱面的形状和大小由母线和延长线的距离决定。
- 圆柱面上任意一条直线都与母线平行。
3. 旋转抛物面旋转抛物面是由抛物线绕其对称轴旋转一周而形成的曲面。
具有以下性质：- 旋转抛物面是关于其对称轴对称的。
- 旋转抛物面也可以通过选择不同的抛物线和对称轴而得到不同的形状。
圆锥曲线与解析几何
圆锥曲线与解析几何
今天，我们将谈论圆锥曲线与解析几何。
圆锥曲线是一类极其重要的曲线，其对应的大类包括参数方程、笛卡尔以及抛物线形式，广泛应用于医学、电子、机械、机械工程、机电技术等领域。
本文旨在介绍圆锥曲线相关内容，并且介绍与圆锥曲线有关的解析几何。
首先，我们先看看圆锥曲线的基本定义。
圆锥曲线是指由参数方程、笛卡尔和抛物线形式所构成的曲线，它们可以用来绘制不同类型的二维或三维圆锥形空间图像。
它们也可以用来求解一系列复杂的数学问题。
常见的圆锥曲线函数有椭圆函数、双曲函数、抛物函数、三次样条线函数等。
接下来，我们来介绍圆锥曲线在解析几何中的应用。
解析几何是一门数学学科，它研究曲线、曲面、空间图形以及变换等几何学问题。
圆锥曲线在解析几何中有着广泛的应用，可以用来描述几何图形的几何结构，如圆环、椭圆环、旋转等。
它们也被用来求解复杂的问题，如三角形的解析、多维问题的解析等。
此外，圆锥曲线在机械工程中也有重要的应用。
由于圆锥曲线具有较高的刚度和可曲性，可以用于机械系统中，以此来满足实际工程中的动力传动系统的需求。
此外，圆锥曲线具有最小损耗、低造价等特点，这使其在机械和机电系统中非常流行。
综上所述，圆锥曲线在解析几何和机械工程中都有重要的应用，它们可以用来绘制各种不同类型的几何图形，也可以用来求解复杂的数学问题，是一类重要且广泛使用的曲线。
解析几何中的圆锥曲线与二次曲线
解析几何是数学中的一个分支领域，探究了几何图形的代数性质。
圆锥曲线和二次曲线是解析几何中的重要概念，它们是直线和点的集合，研究了它们的性质和特点，对于几何学的发展和应用有着重要的意义。
首先，我们来了解圆锥曲线的概念。
圆锥曲线是由一个平面与一个双曲面、椭球面或抛物面相交而产生的截面图形。
根据截面的形状，圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆是由双曲面与平面交于两个点的轨迹组成，它具有对称的性质，两个轴是它的重要特征。
双曲线是由双曲面与平面交于两个点的轨迹组成，它具有开口朝外的特点，两个焦点是它的重要特征。
抛物线是由抛物面与平面交于一条直线的轨迹组成，它具有对称的性质，焦点和准线是它的重要特征。
圆锥曲线在几何学中有着广泛的应用。
椭圆作为一个几何曲线，在光学领域中有重要作用。
在椭镜和折射率相关问题中，椭圆的性质被广泛研究和应用。
双曲线则在天文学、导航、射影几何等领域中被广泛应用。
在二体问题、经纬度计算、卫星通讯等方面，双曲线的性质和特点起着重要的作用。
抛物线则在机械学、物理学和航天工程等领域中应用广泛。
拱桥、子弹的弹道等都与抛物线的形状有关。
其次，我们来了解二次曲线的概念。
二次曲线是平面上一个点和一个固定点的距离与一个固定直线的距离之差等于一个常数的点的轨迹。
根据常数的正负和零，二次曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆是由一个点到两个焦点距离之和等于常数的点组成。
双曲线是由一个点到两个焦点距离之差等于常数的点组成。
抛物线是由一个点到焦点距离等于直线到焦点距离的点组成。
二次曲线也在几何学中有着广泛的应用。
椭圆在地图投影、轨迹规划等领域中有重要作用。
在计算机图形学中，椭圆的性质和算法用于处理图形的绘制和变换。
双曲线在导航、轨迹规划等领域中被广泛应用。
在引力场、电磁场等问题中，双曲线的性质和方程起到重要作用。
抛物线在物理学、建筑学和力学等领域中应用广泛。
拱桥、碗口的形状等都与抛物线的形状有关。
解析几何中的二次曲线与圆锥曲线
解析几何是数学中的一个分支，主要研究了直角坐标系下的几何图形。
而在解析几何中，二次曲线与圆锥曲线是非常重要的一部分。
二次曲线是在直角坐标系中由二次方程定义的曲线。
常见的二次曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
这些二次曲线在现实生活和科学研究中都具有广泛的应用。
首先，我们来看椭圆。
椭圆是平面上一点到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹。
我们可以通过数学公式来描述椭圆，例如(x/a)² + (y/b)² = 1。
其中，a是椭圆的长半轴的长度，b是椭圆的短半轴的长度。
椭圆具有很多有趣的性质，比如焦点到任意一点的距离之和是常数，等等。
接下来是双曲线。
双曲线是平面上一点到两个定点的距离之差为常数的点的轨迹。
我们可以用数学公式(x/a)² - (y/b)² = 1 来描述双曲线。
与椭圆不同的是，双曲线的两个焦点在横坐标上。
双曲线也有一些重要的性质，比如焦点到任意一点的距离差是常数，等等。
最后是抛物线。
抛物线是平面上一点到一个定点的距离等于到另一个定直线的距离的点的轨迹。
我们可以用数学公式y = ax² + bx + c来描述抛物线。
抛物线具有开口向上或向下的特点，具有对称性质。
除了二次曲线，解析几何还研究了圆锥曲线。
圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和与之距离之比（离心率）为常数的点的轨迹。
常见的圆锥曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线在现实生活和科学研究中也有广泛的应用。
圆是最简单的圆锥曲线，也是最常见的几何形状之一。
我们常用数学公式(x-h)² + (y-k)² =r²来描述一个圆，其中(h,k)是圆心的坐标，r是半径的长度。
圆具有很多独特的性质，比如圆心到圆上任意一点的距离都相等，等等。
通过以上的介绍，我们可以看到解析几何中的二次曲线与圆锥曲线的重要性。
它们在数学研究和实际生活中具有广泛的应用。
通过研究这些曲线，可以帮助我们更好地理解几何概念和现象，解决实际问题。
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第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线第二节 圆锥曲线2009年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线课堂练习一、选择题1.（2009全国卷Ⅰ理）设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于( )【解析】设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'0|2x x y x ==.由题意有002y x x =又2001y x =+解得: 201,2,b x e a =∴===【答案】C2.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF =( )D. 3【解析】过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =.又由椭圆的第二定义,得2||233BF =⋅=||AF ∴=故选A 【答案】A3.（2009浙江理）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10 【答案】C4.（2009浙江文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）A ．32 B ．22 C ．13 D ．12【答案】D5.（2009北京理）点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是（ ）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图， 设()(),,,1A m n P x x -， 则()2,22B m x n x ---， ∵2,A B y x =在上，∴2221(2)n m n x m x ⎧=⎨-+=-⎩消去n ,整理得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-= （1） ∵222(41)4(21)8850m m m m ∆=---=-+>恒成立， ∴方程（1）恒有实数解，∴应选A .【答案】A6.(2009山东卷理)设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A.45B. 5C. 25D.5【解析】双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b x x a -+=有唯一解,所以△=2()40ba-=, 所以2b a =,2c e a a ====故选D.【答案】D【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.7.(2009山东卷文)设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24y x =±B.28y x =±C. 24y x = D. 28y x =【解析】 抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4a ,则直线l 的方程为2()4a y x =-,它与y 轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242a a⋅=,解得8a =±.所以抛物线方程为28y x =±,故选B.【答案】B【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a 的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.8.（2009全国卷Ⅱ文）双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r = ( )A.3B.2C.3D.6【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r ，可求r =3. 【答案】A9.（2009全国卷Ⅱ文）已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。
若FB FA 2=,则k = ( )Ａ.31 Ｂ.32 Ｃ.32Ｄ.322【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由2FA FB =及第二定义知)2(22+=+B A x x 联立方程用根与系数关系可求k=223. 【答案】D1０.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为62的是Ａ.22124x y -= Ｂ.22142x y -= Ｃ.22146x y -= Ｄ.221410x y -=【解析】由62e =得222222331,1,222c b b a a a =+==，选B.【答案】Ｂ11.（2009福建卷文）若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于( )A. 2B.3C.32D. 1 【解析】 由22223123x y a a a+-===c 可知虚轴b=3，而离心率e=a ，解得a =1或a =3，参照选项知而应选D.【答案】D12.（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的 是(. ( )A. B. C. D.【解析】依据双曲线22221x y a b -=的离心率ce a=可判断得.62c e a ==.选B 。
【答案】B13.（2009江西卷文）设1F 和2F 为双曲线22221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A ．32 B ．2 C ．52D ．3 【答案】B14.（2009江西卷理）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为A ．2 B ．3 C ．12 D ．13【解析】因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=有232,b a a=从而可得3c e a ==，故选B【答案】B15.（2009天津卷文）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.x y 2±= B .x y 2±= C .x y 22±= D.x y 21±= 【解析】由已知得到2,3,122=-===b c a c b ，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为x x a b y 22±=±=【答案】C【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。
考察了同学们的运算能力和推理能力。
16.(2009湖北卷理)已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b +=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )A. 11,22K ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ B. 11,,22K ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. 22,22K ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ D. 22,,22K ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】A17.（2009四川卷文、理）已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝( ) A. －12 B. －2 C. 0 D. 4 【答案】C18.（2009全国卷Ⅱ理）已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =( )A.13B.23C.23D. 223【解析】设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-直线()()20y k x k =+>恒过定点P ()2,0- .如图过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , 由||2||FA FB =, 则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结OB ,则1||||2OB AF =, ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为22022(1,22)1(2)3k -∴==--, 故选D. 【答案】D19.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为 ( ) A ．65 B. 75 C. 58 D. 95【解析】设双曲线22221x y C a b-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率为,知直线AB 的倾斜角16060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=, 由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-11||(||||)22AB AF FB ==+.又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴= .【答案】A20.（2009湖南卷文）抛物线28y x =-的焦点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0） 【解析】由28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2p-=-，故选B. 【答案】B21.（2009宁夏海南卷理）双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为( )A.B.2D.1【解析】双曲线24x -212y =1的焦点(4,0)到渐近线y =的距离为d ==【答案】A22.（2009陕西卷文）“0m n >>”是“方程221mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】将方程221mx ny +=转化为 22111x y m n+=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须满足110,0,m n>>所以11n m >.【答案】C23.（2009全国卷Ⅰ文）设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于（ ）B.2【解析】由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即5522=⇔=e a c ，故选择C.【答案】C24.（2009湖北卷文）已知双曲线1412222222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b =( )A.3B.5C.3D.2【解析】可得双曲线的准线为21a x c=±=±,又因为椭圆焦点为(所以有1=.即b 2=3故b.故C.【答案】C27.（2009天津卷理）设抛物线2y =2x 的焦点为F ，过点M0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF =2，则∆BCF 与∆ACF 的面积之比BCFACFS S ∆∆=( )12又323221||-=⇒=⇒=+=B B B y x x BF 由A 、B 、M 三点共线有B M B M A M A M x x y y x x y y --=--即23330320-+=--AA x x ，故2=A x ，∴5414131212=++=++=∆∆A B ACF BCF x x S S ，故选择A 。