数学竞赛高一年级决赛试题及参考解答
高中数学竞赛试题
高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数\( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 0B. -8C. -6D. 12. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_3 \)的值。
A. 7B. 9C. 11D. 133. 若圆\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)与直线\( 2x + 3y - 6 = 0 \)相切，求圆心到直线的距离。
A. 5B. 10C. 15D. 204. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C的度数分别为40°、60°和80°，求\( \sin B \)的值。
A. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D. \(\frac{1}{2}\)二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} \)，\( a \)和\( b \)为正整数，求\( a + b \)的值。
6. 已知等差数列\( \{c_n\} \)的首项为2，公差为3，求第10项\( c_{10} \)的值。
7. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(2) \)的值。
8. 若正六边形的边长为1，求其外接圆的半径。
三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。
10. 解不等式：\( |x-2| + |x+3| > 8 \)。
11. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
高一数学竞赛试题含答案
高一数学竞赛试题高一数学竞赛试题时间：时间：8:30-11:00 8:30-11:00 8:30-11:00 总分：总分：总分：150150分一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分）分）1、如图，、如图，P P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC QC＝＝1，CD CD＝＝3，则PB PB＝＝________________。
2、若函数()()2ln f x x x a x=++为偶函数，则a = 。
3、函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则a 0 0，，b 0 0，，c 0 0。
4、已知()221x f x x=+，则()()()()111123...2015...232015f f f f f f f æöæöæö+++++++=ç÷ç÷ç÷èøèøèø。
5、函数则()()222log 2log 3f x x x =-+的单调递减区间为的单调递减区间为 。
6、若方程2104xxeae -+=有负实数根，则a 的取值范围是的取值范围是。
7、设函数()31,12,1x x x f x x -<ì=í³î，则满足()()()2f af f a =的a 的取值范围是的取值范围是 。
8、设集合}{1,2,3......6A =，则集合A 的所有非空子集元素和的和为的所有非空子集元素和的和为 。
9、设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于y x =-对称，且()()241f f -+-=，则a = 。
1010、已知实数、已知实数,x y 满足()()()()3312011*********x x y y ì-+-=-ïí-+-=ïî，则x y += 。
高一数学竞赛试题参考答案
高一数学竞赛试题参考答案一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
）1.[答案] B[解析] 当a ≤0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a >0时，欲使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－43＋a ≤4⇒a ≤1.故选B.2.[答案] C[解析] 由已知ax 2＋ax －3≠0恒成立， 当a ＝0时，－3≠0成立； 当a ≠0时，Δ<0，∴a 2＋12a <0， ∴－12<a <0，综上所述，a ∈(－12,0]．3．C 【解析】 依题意，函数y ＝x 2－ax ＋12存在大于0的最小值，则a >1且a 2－2<0，解得a∈(1，2)，选择C.4．B 【解析】 ∵2＝log 24>log 23>log 22＝1，故f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝124 5．C 【解析】 由f (x －1)＝f (x ＋1)知f (x )是周期为2的偶函数，因为x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，故当x ∈[－1,0]，－x ∈[0,1]时，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＝x 2，由周期为2可以画出图象，结合y ＝⎝⎛⎭⎫110x的图象可知，方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈⎣⎡⎦⎤0，103上有三个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎤3，103内无解． 6.[答案] D[解析] 由题意，DE ⊥平面AGA ′， ∴A ，B ，C 正确，故选D. 7.[答案] B[解析] 设f (x )＝2x －3－x ，因为2x ，－3－x 均为R 上的增函数，所以f (x )＝2x －3－x 是R 上的增函数．又由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )，即f (x )>f (－y )，∴x >－y ，即x ＋y >0.8.[答案] A[解析] m ＝x －1－x ，令t ＝1－x ≥0，则x ＝1－t 2，∴m ＝1－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋54≤1，故选A.9.[答案] B[解析] 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4. 当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 10.[答案] B[解析] 由已知得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2(－1≤x ≤32)，x －x 2(x <－1或x >32)，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2，应选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析
2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）及答案（时间：5月16日18：40～20：40）满分：120分一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1．已知M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ）A. MB. NC. PD.P M 2.函数()142-+=xx x x f 是（ ）A 是偶函数但不是奇函数B 是奇函数但不是偶函数C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数3.已知不等式m 2＋(cos 2θ－5)m ＋4sin 2θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A . 0≤m ≤4B . 1≤m ≤4C . m ≥4或x ≤0D . m ≥1或m ≤04.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若0sin cos 2sin cos =+-+B B A A ，则cba +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0ab >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 56．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B CBAC Acos tan sin cos tan sin ++的取值范围是（ ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞．二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于 。
个个9.设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。
高一数学竞赛试题
高一数学竞赛试题一、选择题1、若A={3，4，5}，B={1，2}，f为集合A到集合B的映射，则这样的映射f的个数为（）A、8个B、6个C、9个D、12个2、已知I=R，A={x||x－a|≤2}，B={x||x－1|≥3}且A∩B= ，则实数a的取值范围是（）A、0≤a≤2B、0<a<2C、0≤a≤1D、0<a<13、已知函数，则它的定义域是（）A、[-2,0)∪(0,2]B、C、D、(0,2]4、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在（－∞，0）上递增，n=f(a2+a+1)，则m，n的大小关系是（）A、m>nB、m<nC、a>0时，m>nD、不能确定5、设a、b、c 分别是方程的实数根，则（）A、a>b>cB、b>a>cC、b>c>aD、c>a>b6、已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)=a x－a－x＋2，且g(b)=a，则f(2)=（）A、a2B、2C、b>c>aD、c>a>b6、已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)=a x－a－x＋2，且g(b)=a，则f(2)=（）A、a2B、2C、D、7、数的大小顺序为（）A、a>b>cB、a<b<cC、a<c<bD、c<a<b8、如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中如果某人不亚于其它99人，就称它为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（）A、1个B、2个C、50个D、100个[答案]二、填空题9、如果质数p、q满足关系式3p＋5q=31，那么= ___________．10、非空集合则具备这样性质的集合s共有______个．11、若，则a0＋a2＋a4＋a6=______．12、一个学校中有2001个学生，每人都学习法语或西班牙语，其中学习西班牙语的学生数在总人数中所占的比例介于80%与85%之间；学习法语的学生数在总人数中所占的比例介于30%与40%之间，设两门都学的学生数的最小值为m，最大值为M，则M－m的值为_____________．[答案]三、解答题13、设－1≤x≤0，求函数y=2x＋2－3×4x的最大值及最小值．[解答]14、已知A={x|x2－7x＋10≤0}，B={x|x2＋ax＋b<0}，且A∩B≠,A∪B={x||x－3|<4≤2x}，写出集合s={x|x=a＋b}．[解答]15、设其中a i∈N(i=1,2,3,4,5)，a1<a2<a3 <a4<a5，且A∩B={a1,a4},a1+a4=10,又A∪B元素之和为224，求A．[解答]16、函数f(n)是定义在正整数集上，并取非负整数值，且对所有m，n，有f(m＋n)－f(m)－f(n)=0或1，以及f(2)=0，f(3)>0，f(9999)=3333，求f(1982)．[解答]。
2019年度高一数学竞赛试题(含答案)
高一数学竞赛试题【本试题满分100分，考试时间120分钟】一．选择题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个正确的答案．1．已知集合M =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+013|x x x ，N ={}3|-≤x x ，则集合{}1|≥x x =（ ） A ．N M ⋂B ．N M ⋂C ．C R )(N M ⋂D ．C R )(N M ⋃ 2．已知43πβα=+，则)tan 1)(tan 1(βα--等于（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-3．设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，则不等式0)()(<--x x f x f 的解集为（ ）A ．)1,0()1,(⋃--∞B ．),1()0,1(+∞⋃-C ．),1()1,(+∞⋃--∞D ．)0,1()0,1(⋃-4．函数()ln |1|3f x x x =--+的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．05．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x 则=)(log 32f A ．823-B ．111C ．241D ．191 二．填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．将正确的答案写在题中横线上．6. 已知20π≤≤x ，则函数x x x x f 2cos cos sin 24)(+=的值域是 ．7． 已知：a ，b ，c 都不等于0，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则=+n m . 8. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)()4(x f x f -=-，且在区间]2,0[上是增函数，若方程)0()(>=m m x f 在区间]8,8[-上有四个不同的根4321,,,x x x x ，则=+++4321x x x x ．9.定义集合A ，B 的一种运算：},,{2121B x A x x x x x B A ∈∈+==*，若，则中的所有元素之和为 ．10.= 70sin 50sin 30sin 10sin ．三．解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答时须写出必要的解题步骤、文字说明和计算结果．11．已知函数2()23cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （2）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值．12．设a ，R b ∈，且2≠a ，定义在区间),(b b -内的函数)(x f =xax 211lg ++是奇函数 （1）求a 的值 （2）求b 的取值范围 （3）讨论)(x f 的单调性．13．已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意实数m ，n 都有)()()(n f m f n m f •=+，且当0>x 时，1)(0<<x f ．（1）证明1)0(=f ，且0<x 时，1)(>x f ．（2）若21)1(=f ，解关于x 的不等式 81)2(2<-x x f ．14．已知函数())(22R a a ax x x f ∈+-=，∈x [0，1]，求()x f 的最小值)(a g ，并求)(a g 的最大值．参考答案一．选择题：１．D ； ２．A ； ３．B ； ４．A ； ５．C ．二．填空题：6．]3,1[-； 7．0； 8．8-； 9．14； 10．161． 三．解答题：11．（本小题满分10分）（1）)62sin(2cos 2sin 31cos 2cos sin 32)(2π+=+=-+=x x x x x x x f ，…2分所以函数()f x 的最小正周期π=T . ……………………………………………3分 因为]2,0[π∈x ，所以]67,6[62πππ∈+x ， 所以1)62sin(21≤+≤-πx ，所以2)(1≤≤-x f ，所以当262ππ=+x 即6π=x 时，()f x 有最大值为2； 当6762ππ=+x 即2π=x 时，()f x 有最小值为1-. ……………………………6分 （2）由（1）知56)62sin(2)(00=+=πx x f ，所以53)62sin(0=+πx .7分 因为]2,4[0ππ∈x ，所以]67,32[620πππ∈+x ，所以54)62cos(0-=+πx ， …8分 所以6sin )62sin(6cos )62cos()662cos(2cos 0000ππππππ+++=-+=x x x x 1034321532354-=⨯+⨯-=．……………………………………………10分12．（本小题满分10分）（1）∵定义在区间),(b b -内的函数)(x f =xax 211lg ++是奇函数， ∴)()(x f x f -+=0411lg 211lg 211lg 2=--=--+++xx a x ax x ax ，…………………… 2分 ∴14112=--xx a ，∴42=a ，又∵2≠a ，∴2-=a ．……………………… 3分 （2）由（1）知)(x f =x x 2121lg+-，令02121>+-x x ，解得2121<<-x ，…………… 4分 ∴)21,21(),(-⊆-b b ，∴)21,0()0,21(⋃-∈b ．……………………………… 5分 （3）设1x ，)21,21(),(2-⊆-∈b b x ，且21x x <，则 )()(21x f x f -=21212121221122114)(214)(21lg )21212121lg(2121lg 2121lg x x x x x x x x x x x x x x x x --+---=-+⋅+-=+-++-， 7分 ∵1x ，)21,21(),(2-⊆-∈b b x ，∴04)(212121>---x x x x ，04)(212121>--+x x x x ，∵21x x <，∴212121214)(214)(21x x x x x x x x --+>---，……………… 9分∴14)(214)(2121212121>--+---x x x x x x x x ，∴0)()(21>-x f x f ，∴)()(21x f x f >， ∴)(x f 在),(b b -上单调递减．………………………………………………… 10分13．（本小题满分10分）（1）令1=m ，0=n ，则有)0()1()1(f f f =，∵1)1(0<<f ，∴1)0(=f ． 2分 当0<x 时，0>-x ，∴1)(0<-<x f ，又∵1)()())(()0(=-=-+=x f x f x x f f ，∴)(1)(x f x f -=，∴1)(>x f ．4分 （2）∵)()()(n f m f n m f =+，∴)()()()()(n f m f n f m f n m f =-=-．…………… 5分 设1x ，R x ∈2，且21x x <，则0)(2>x f ，且1)()()(2121>-=x x f x f x f ， ∴)()(21x f x f >，∴)(x f 在),(+∞-∞上单调递减． ……………………… 7分 又∵21)1(=f ，∴)3()1()1()1(21212181f f f f =⨯⨯=⨯⨯=， …………… 8分 ∴不等式81)2(2<-x x f 可化为)3()2(2f x x f <-， ∴322<-x x ，∴31<<-x ， ……………………………………………… 9分 即不等式 81)2(2<-x x f 的解集为}31{<<-x x ．…………………… 10分 14．（本小题满分10分） 二次函数())(22R a a ax x x f ∈+-=的图像开口向上，对称轴为2a x =．……… 1分 ①当02<a ，即0<a 时，()x f 在]1,0[上单调递增， 所以()x f 的最小值为2)0(a f =；………………………………………………… 3分②当120<≤a ，即20<≤a 时，(x f ]1,2(a 上单调递增，所以()x f 的最小值为24)2(2a a a f +-=；………………………………………… 5分 ③当12≥a ，即2≥a 时，()x f 在]1,0[上单调递减， 所以()x f 的最小值为21)1(a f -=．……………………………………………… 6分 综合①②③可得，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<≤+-<=2,2120,240,2)(2a a a a a a a a g ．………………………………… 7分 又当0<a 时，02)(<=a a g ；当20<≤a 时，4124)(02≤+-=≤a a a g ；当2≥a 时，021)(≤-=a a g ． …………………………………………………………………… 9分 所以当1=a 时，)(a g 有最大值为41．…………………………………………… 10分。
高一数学竞赛试题及答案
巍山高中高一数学竞赛训练试题 1一、填空题 （本题满分64分，每小题8分，直接将答案写在横线上）1.已知()()2222212f x x a b x a ab b =++-++-是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是2.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则()f x 的单调递减区间是3.cos1cos2cos3cos89...sin 46sin 47sin 48sin134++++=4.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量(1,2)OA =，(2,1)OB =-，若OP xOA yOB =+ 且12x y ≤≤≤，则点P 所有可能的位置所构成的区域面积是 .5.设实系数一元二次方程2220x ax b ++-=有两个相异实根，其中一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则41b a --的取值范围是6.在边长为1的正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上.AD 的长度的最小值为7.某学生对函数()2cos f x x x =⋅的性质进行研究，得出如下的结论：①函数()f x 在[],0π-上单调递增，在[]0,π上单调递减；②点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()y f x =图像的一个对称中心； ③函数()y f x = 图像关于直线x π=对称；④存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立．其中正确的结论是 .8. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为二、解答题（本题满分54分，每小题18分）9.已知向量9(sin ,1),(sin ,cos )8a xb x x ==-， 设函数()f x a b = []0,x π∈ （1）求()f x 的单调区间；（2）若()0f x =在区间[]0,π上有两个不同的根,αβ，求cos()αβ+的值.10.如图，已知点G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，线段DE 经过点G ，并绕点G 转动，分别交边AB 、AC 于点D 、E ；设AD mAB =，AE nAC =，其中01m <≤，01n <≤．（1）求表达式n m 11+的值，并说明理由； （2）求ADE ∆面积的最大和最小值，并指出相应的m 、11.线段AB 长度为1，在AB 上将m 个点染成红色，使得对任意实数0<d ≤1，线段AB 上每一个长度为d 的闭区间中的红点个数都不大于1+1000d 2，求m 的最大值．。
江苏高一高中数学竞赛测试带答案解析
江苏高一高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.____________．2.已知，，映射满足．则这样的映射有____________个．3.设函数，（其中表示不超过的最大整数），则函数的值域为____________．4.已知，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，则____________．5.已知数列满足,，则的最小值为____________．6.从椭圆外一点作椭圆的两条切线和，若，则点轨迹方程为____________．7.已知圆，抛物线，设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于线段的中点，如果这样的直线恰有4条，则的取值范围是____________．8.函数的定义域和值域为，的导函数为，且满足，则的范围是____________．9.已知函数，若存在非零实数使得，则的最小值为____________．10.集合中有____________对相邻的自然数，它们相加时将不出现进位的情形．二、解答题1.求的值．2.如图，圆和圆相交于点，半径、半径所在直线分别与圆、圆相交于点，过点作的平行线分别与圆、圆相交于点．证明：．3.设点，是正三角形，且点在曲线上．（1）证明：点关于直线对称；（2）求的周长．4.设是正数数列，，且．求证：．江苏高一高中数学竞赛测试答案及解析一、填空题1.____________．【答案】【解析】2.已知，，映射满足．则这样的映射有____________个．【答案】35【解析】对应同一个数:有5种;对应不同两个数:有种；对应不同三个数：有种，所以共35种3.设函数，（其中表示不超过的最大整数），则函数的值域为____________．【答案】【解析】当时，=当时，=所以值域为4.已知，是实系数一元二次方程的两个虚根，且，则____________．【答案】【解析】由题意可设，由得所以5.已知数列满足,，则的最小值为____________．【答案】【解析】点睛：在利用叠加法求项时，一定要注意使用转化思想.在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用基本不等式求最值时注意数列定义域，明确等于号是否取到.6.从椭圆外一点作椭圆的两条切线和，若，则点轨迹方程为____________．【答案】【解析】设点为，则方程为，与联立方程组得，所以，由题意得的两根乘积为-1，所以，当的斜率不存在时也满足，因此点轨迹方程为7.已知圆，抛物线，设直线与抛物线相交于、两点，与圆相切于线段的中点，如果这样的直线恰有4条，则的取值范围是____________．【答案】【解析】设直线方程 ,与抛物线方程联立得中点当时,显然有两条直线满足题意,因此时,还有两条直线满足题意,即点睛：解析几何范围问题，一般解决方法为设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中列不等关系，从而得到取值范围．8.函数的定义域和值域为，的导函数为，且满足，则的范围是____________．【答案】【解析】令，则即的范围是点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等9.已知函数，若存在非零实数使得，则的最小值为____________．【答案】【解析】由题意得即因此点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.集合中有____________对相邻的自然数，它们相加时将不出现进位的情形．【答案】167【解析】考虑从1000到1999,这些数中,个位为0、1、2、3、4且十位为0、1、2、3、4且百位为0、1、2、3、4时不发生进位,否则会发生进位.还有,末位为9、99、999时,也不发生进位.因此从1000到1999（实际是2000,即最后一对是【1999、2000】）中,共有：5×5×5 + 5×5 + 5 + 1= 156对考虑从2000到2017,这些数中,有5+6=11对,所以共有156+11=167对二、解答题1.求的值．【答案】【解析】解：2.如图，圆和圆相交于点，半径、半径所在直线分别与圆、圆相交于点，过点作的平行线分别与圆、圆相交于点．证明：．【答案】见解析【解析】试题分析:根据平角得三点共线，根据同弦所对角相等得四点共圆．根据四点共圆性质得，即得，同理可得，根据等量性质得．试题解析:解：延长、分别与圆、圆相交于点，连结．则，所以三点共线．又，于是四点共圆．故，从而，因此，同理．所以．3.设点，是正三角形，且点在曲线上．（1）证明：点关于直线对称；（2）求的周长．【答案】（1）见解析（2）的周长为．【解析】（1）即证，由，可化简得证（2）设，则．由化简得，其中，解得，反代即得，的周长为．试题解析:（1）证明：设上一点为，则其与点的距离满足．由，知，化简得，所以，，点关于直线对称．（2）解：设，则．则，而，令，由是正三角形有得，解得或（舍去），所以，的周长为．4.设是正数数列，，且．求证：．【答案】见解析【解析】放缩证明：先证，再证．前面用数学归纳法证明，后面用导数求证，再令，则有．由裂项相消法求和可得结论试题解析:下面用数学归纳法证明：当，时，，①当时，，上述结论成立；②设时，成立，则当时所以当时，结论也成立．综合①②得，对任意的，都有．当时，；当时，．下面证明：，即证明．设函数，则，所以在上是增函数，所以恒成立，即．令，则有．故所以．综上可得．。
高一数学《函数与方程》竞赛试题与答案
高一数学《函数与方程》竞赛试题第I 卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数2229,0()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2．（2021·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）已知函数()lg ,010=11,10x x f x x x ⎧<≤⎨-+>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）A ．()1，10B ．()111，C ．()1011，D ．()10+∞，3．（2022安徽·高一竞赛）已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)4．（2022浙江温州·高一竞赛）已知函数32log ,0()41,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（）.A ．-4B ．-3C ．-2D ．-15．（2022广东潮州·高一竞赛）已知()()20f x ax bx c a =++>，分析该函数图像的特征，若方程()0f x =一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A ．232ba<-<B ．240ac b -≤C ．()20f <D ．()30f <6．（2022湖南·衡阳市八中高一竞赛）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．1,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2022陕西渭南·高二竞赛）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]222,1,0()2,0,1x x f x x x ⎧--∈-⎪=⎨-∈⎪⎩且(2)()f x f x +=，52()2xg x x -=-，则方程()()f x g x =在区间[]37-,上的所有实根之和为（）A ．14B ．12C ．11D ．78．（2022河南·高三竞赛（理））已知函数lg ,0,()2,0,x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若关于x 的方程2()()10f x af x -+=有且只有3个不同的根，则实数a 的值为A ．2-B ．1C ．2D ．3二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f （x ＋2）＝－f (x )＋f (1)，且在区间[0，2]上是增函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 在[6,5)--上单调递增，在[5,4)--上单调递减D ．方程()0f x =在[0，2021]内有1010个根10．（2022·湖南衡阳·高二竞赛）已知函数()22,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则（）A ．()f x 的单调递减区间为()0,1B ．a 的取值范围是()0,2C ．123x x x 的取值范围是(]2,0-D ．函数()()()g x f f x =有4个零点11．（2022·山东德州·高二竞赛）对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（）A ．[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B ．x ∀∈R ，[]1x x <+C ．函数[]y x x =-的值域为［0，1）D ．方程22022[]20230x x --=有两个实数根12．（2022·辽宁高二竞赛）已知函数()221,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()()222g x f x mf x =-+，下列说法正确的是（）A ．()y f x =只有一个零点()1,0B ．若()y f x a =-有两个零点，则2a >C ．若()y f x a =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，则121=x x D ．若()g x 有四个零点，则32m >第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数()11||f x x x x +=-++，则方程()()21f x f x -=所有根的和是___________．14．（2022浙江高三竞赛）已知()f x 是偶函数，0x ≤时，()[]f x x x =-(符号[]x 表示不超过x 的最大整数)，若关于x 的方程()() 0f x kx k k =+>恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为__________．15．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，，，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是_________.16．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数22log (2),20()21,0x x f x x x x +-<≤⎧=⎨-+>⎩，若函数[]2()(())(1)(())()g x f f x a f f x R a a =-++∈恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是____________．四、解答题:本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022湖南·高三竞赛）已知二次函数2()163f x x x p =-++.（1）若函数在区间[1,1]-上存在零点，求实数p 的取值范围；（2）问是否存在常数(0)q q ≥，使得当[,10]x q ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12q -.（注：区间[,]a b ()a b <的长度为b a -）.18．（2022浙江高二竞赛）已知函数()2,,f x x ax b a b =++∈R ，(1)0f =．(1)若函数()y f x =在[0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)设()()()21212x xF x f a =-+--，若函数()F x 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围；19．（2022四川高一竞赛））已知函数()21log f x x =+，()2xg x =.(1)若()()()()()F x f g x g f x =⋅，求函数()F x 在[]1,4x ∈的值域；(2)若()H x 求证()()11H x H x +-=.求12320212022202220222022H H H H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(3)令()()1h x f x =-，则()()()()24G x h x k f x =+-，已知函数()G x 在区间[]1,4有零点，求实数k 的取值范围.20．（2022广东高一竞赛）已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎣⎦．(1)当2k =时，求函数()f x 在[0,)+∞的值域；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围．21．（2022·山西运城高二竞赛）已知函数()()44log 41log 2x x f x =+-，()142log 23x g x a a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.(1)若1x ∀∈R ，对[]21,1x ∃∈-，使得()221420x xf x m +≥-成立，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.22．（2022江苏盐城高一竞赛）若定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足()0a f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则称()f x 为“a 型”弱对称函数.(1)若函数sin ()ln 1x mf x x x +=-+为“1型”弱对称函数，求m 的值；(2)已知函数()f x 为“2型”弱对称函数，且函数()f x 恰有101个零点(1,2,...,101)i x i =，若1011i i x =∑>λ对任意满足条件函数()f x 的恒成立，求λ的最大值.高一数学《函数与方程》竞赛试题答案一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
湖北高一高中数学竞赛测试带答案解析
湖北高一高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图像向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m 的最小值是（）A．B．C．D．2.已知，则的值为（）A．B．－C．D．－3.函数在一个周期内的图象如右，此函数的解析式为（）A．B．C．D．4.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．5.各项均为正数的等比数列的前项和记为（）A．150B．-200C．150或-200D．-50或4006.已知数列的首项，且，则为（）A．7B．15C．30D．317.用火柴棒摆“金鱼”，按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．B．C．D．8.在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（）A ．5B ．6C ．7D ．89.等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ） A ．尺B ．尺C ．尺D ．尺二、填空题1.给出下面命题：①函数是奇函数；②存在实数，使得；③若是第一象限角且，则；④是函数的一条对称轴；⑤在区间上的最小值是－2，最大值是，其中正确命题的序号是．2.已知，若，化简______________．3.设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a,b,c ，若△ABC 的面积为 S=a 2－(b －c)2，则=.4.设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1，S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 ．5.已知函数f (x )＝sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，]上的最大值为3，则（1）m ＝；(2)对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为．三、解答题1.在中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 、C 成等差教列．（1）若，求边c 的值；(2)设，求t 的最大值．2.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin(A －B )＝cos C ． （1）若a ＝3，b ＝，求c ； (2)求的取值范围．3.已知向量，（1）求；（2）若的最小值是，求实数的值．4.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、.（1）求数列的通项公式;(2)数列的前n 项和为,求证:数列是等比数列.5.已知等差数列{}的首项为a ．设数列的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有．(1)求数列{}的通项公式及S n ；(2)是否存在正整数n 和k ，使得成等比数列？若存在，求出n 和k 的值；若不存在，请说明理由．6.已知数列的首项．（1）求证：数列为等比数列；（2）记，若，求最大正整数的值；（3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列，且成等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由.湖北高一高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图像向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m 的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】原函数数化为，图像向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的函数表达式为，此函数图像关于y轴对称，所以当，=2，可得，所以，可得m的最小值为.【考点】三角函数变换，三角函数的对称轴.2.已知，则的值为（）A．B．－C．D．－【答案】A【解析】，=====.【考点】诱导公式.3.函数在一个周期内的图象如右，此函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由图象最高点可知，，则，.原函数化为，图象过，则.可得 .【考点】的图像与系数的关系.4.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.5.各项均为正数的等比数列的前项和记为（）A．150B．-200C．150或-200D．-50或400【答案】A【解析】由等比数列的前项和公式，，，由两式解得，，.【考点】等比数列的前项和.6.已知数列的首项，且，则为（）A．7B．15C．30D．31【答案】D【解析】由两边同加1，可得，，则是以2为首项，以2 为公比的等比数列.则，所以，.【考点】构造法求数列的通项公式.7.用火柴棒摆“金鱼”，按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】第一个需8根，第二个需8+6=14（根），第三个8+6+6=20（根），需要的火柴棒根数呈等差数列，首项为8，公差为6，则第个需（根）.【考点】等差数列的通项公式.8.在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】=.又，所以==.【考点】等比数列的性质，对数运算.9.等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.【考点】等差数列的性质.10.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（）A．尺B．尺C．尺D．尺【答案】B【解析】由题可知女子每天织布尺数呈等差数列，设为，首项为，，可得，解之得.【考点】等差数列的性质与应用.二、填空题1.给出下面命题：①函数是奇函数；②存在实数，使得；③若是第一象限角且，则；④是函数的一条对称轴；⑤在区间上的最小值是－2，最大值是，其中正确命题的序号是．【答案】①④【解析】①=为奇函数；②，最大值；③令,，，但；④对称轴可由，求得，也满足；⑤在区间上的最大值为2.【考点】三角函数的性质.2.已知，若，化简______________．【答案】【解析】，，又，则，所以【考点】三角恒等变形，三角函数的性质.3.设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a,b,c ，若△ABC 的面积为 S=a 2－(b －c)2，则=.【答案】4 【解析】,可化为，又，代入可得，所以=4.【考点】余弦定理.4.设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1，S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 ． 【答案】【解析】由题可知，且，据等比数列的前ｎ项和公式可得,解之.【考点】等比数列的前ｎ项和公式，等差数列的定义.5.已知函数f (x )＝sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，]上的最大值为3，则（1）m ＝；(2)对任意a ∈R ，f (x )在[a ，a ＋20π]上的零点个数为． 【答案】（1）0(2)40或41. 【解析】（1）,在区间[0，]上的函数值范围为，又最大值为3，刚.(2)原函数周期，区间[a ，a ＋20π]间距为，则与X 轴交点个数为40或41.【考点】二倍角公式，辅助角公式，的图角与性质.三、解答题1.在中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 、C 成等差教列．（1）若，求边c 的值；(2)设，求t 的最大值． 【答案】（1）（2）【解析】（1）由三内角成等差可求，再利用余弦定理可求c;(2)由，可将转化为，再由A 范围求出最值.试题解析：解：（1）因为角成等差数列，所以，因为，所以. 2分因为，，,所以.所以或(舍去)． 6分（2）因为，所以9分 因为，所以，所以当，即时，有最大值. 12分【考点】等差数列，余弦定理，的性质.2.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin(A－B)＝cos C．（1）若a＝3，b＝，求c；(2)求的取值范围．【答案】（1）c＝4(2)(－1，1)【解析】（1）由cos C＝sin(－C)．结合条件可得A－B＋C＝，从而B＝，再利用余弦定理求出c；（2）结合B＝，利用正弦定理和两角差的正弦将原式化为sin(2A－),由A的范围可得原式的范围. 试题解析：解：（1）由sin(A－B)＝cos C，得sin(A－B)＝sin(－C)．∵△ABC是锐角三角形，∴A－B＝－C，即A－B＋C＝，①又A＋B＋C＝π，②由②－①，得B＝．由余弦定理b2＝c2＋a2－2ca cos B，得()2＝c2＋(3)2－2c×3cos，即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．当c＝2时，b2＋c2－a2＝()2＋22－(3)2＝－4＜0，∴b2＋c2＜a2，此时A为钝角，与已知矛盾，∴c≠2．故c＝4． 6分（2）由（1），知B＝，∴A＋C＝，即C＝－A．∴＝＝＝sin(2A－)．∵△ABC是锐角三角形，∴＜A＜，∴－＜2A－＜，∴－＜sin(2A－)＜，∴－1＜＜1．故的取值范围为(－1，1)． 12分【考点】正弦定理，余弦定理，三角函数性质.3.已知向量，（1）求；（2）若的最小值是，求实数的值．【答案】（1）,=2cosx（2）【解析】（1）由向量的坐标运算，利用公式化简即可；（2）原函数由向量坐标运算可化为即又最小值，则结合二次函数最值可求得.试题解析：解：（1）==，∵，∴∴=2cosx. 6分（2）由（1）得即∵，∴时，当且仅当取得最小值－1，这与已知矛盾．时，当且仅当取最小值由已知得，解得时，当且仅当取得最小值由已知得，解得，这与相矛盾．综上所述，为所求． 12分【考点】向量的坐标运算，二次函数求最值，函数与方程的数学思想，分类讨论的数学思想.4.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、. （1）求数列的通项公式;(2)数列的前n项和为,求证:数列是等比数列.【答案】（1）(2)证明过程见试题解析.【解析】（1）设成等差数列的三个正数分别为,可得，又成等比，可得方程，则等比数列的三项进一步求公比,可得通项公式.(2)等比数列前n 项和为,由可知数列是等比数列.试题解析：解:(1)设成等差数列的三个正数分别为依题意,得所以中的依次为依题意,有(舍去)故的第3项为5,公比为2.由所以是以为首项,2为以比的等比数列,其通项公式为 6分(2)数列的前项和,即所以所以，数列是等比数列. 12分【考点】等差数列定义，等比数列的定义，等比数列的前n项和公式.5.已知等差数列{}的首项为a．设数列的前n项和为S，且对任意正整数n都有．n；(1)求数列{}的通项公式及Sn(2)是否存在正整数n和k，使得成等比数列？若存在，求出n和k的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1),;(2)存在正整数n=1和k=3符合题目的要求.；(2)假设存在，由题可得【解析】(1)令n=1，可得=3，又首项为a，可得等差数列的通项公式及Sn，由S可得可化为即，又n和k为正整数，所以得出n=1，k=3满足n要求.}的公差为d，试题解析：(1)设等差数列{an在中，令n=1可得=3，即故d=2a，。
淄博实验中学高一数学竞赛试题（带答案）
高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把符合题目要求的选项的字母填入答题卡中． 1．集合||23|5,x x x Z +<Î｛｝中所有元素之和为（中所有元素之和为（ ） （A ）－6 （B ）－5 （C ）5 （D ）6 2．设全集}5,4,3,2,1{=I ，}4,3,2,1{=A ，}5,4,3{=B ，则()()IA BI痧=（ ）（A ）Ø （B ）{1，2} （C ）{1，2，5} （D ） I 3．已知,65,0622++=£-+x x U x x 则U 的值域是（的值域是（ ）（A ）[0，20] （B ）[41-，)+¥ （C ）1[,0]4-（D ）1[,20]4-4．在对数式)5(log)2(a b a -=-中，实数a 的取值范围是（的取值范围是（ ） （A ）25<>a a 或（B ）52<<a （C ）2335a a <<<<或（D ）43<<a5．函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =×的图像可能是（的图像可能是（ ）y = f ( x ) oy xy=g(x)o yxoyxoyxoyxoyxA ABC D6．函数()()65log24+-=x xx f p的单调增区间为（的单调增区间为（ ））A 、÷øöçèæ¥-25, B B 、()2,¥-C C、、÷øöçèæ+¥,25 D D、、()+¥,37．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线ＡＢ、ＣＤ在原正方体中．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线ＡＢ、ＣＤ在原正方体中的位置关系是（的位置关系是（ ） （Ａ）平行（Ａ）平行 （Ｂ）相交且垂直（Ｂ）相交且垂直（Ｃ）异面直线（（Ｃ）异面直线（ＤＤ）相交成600 274510的中点，那么异面直线＝ .的解集是的解集是 ．四面体的体积为 3A F CE19．(本小题满分12分)已知四棱锥S-ABCD ，底面为正方形，SA ^底面ABCD ，AB=AS=a ，M ，N 分别为AB ，SC 中点。
2021年高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案时间： /3/18注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.总分150分,考试时间120分钟.1.（本小题满分15分）设集合{}()(){}222320,2150,A x x x B x x a x a a R =-+==+++-=∈，（1）若{}2A B =求a 值；（2）若A B A =,求a 取值范畴；（3）若(),U U R A C B A ==,求a 取值范畴.2.（本小题满分15分）设},)]([|{},)(|{x x f f x N x x f x M ====（1）求证：;N M ⊆（2）)(x f 为单调函数时，与否有N M =？请阐明理由.3．（本小题满分15分）已知函数444)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2,0[π∈x 有最大值5，求实数m 值．4．（本小题满分15分）已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根个数，并证明你结论．5．（本小题满分15分）已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(两个实数根为1x 和2x .（1）如果4221<<<x x ，设函数)(x f 对称轴为0x x =，求证：10->x ；（2）如果21<x ，212=-x x ，求b 取值范畴.6．（本小题满分15分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 中点，BD DC ⊥1。
（1） 证明：BC DC ⊥1；（2） 求二面角11C BD A --大小。
A BC D 1A 1B 1C7．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x ∈R)图象与两坐标轴有三个交点．通过三点圆记为C.(1)求实数b取值范畴；(2)求圆C方程；(3)问圆C与否通过定点(其坐标与b无关)？请证明你结论．8．（本小题满分20分） 设f （x ）是定义在R 上偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x 1,x 2∈[0，21]均有).()()(2121x f x f x x f ⋅=+且f （1）=a ＞0． （Ⅰ）);41(),21(f f 求 （Ⅱ）证明)(x f 是周期函数；（Ⅲ）记),212(nn f a n +=求).(ln lim n n a ∞→9．（本小题满分20分）设)(x f 是R 上奇函数，且当0>x 时，)10lg()(2+-=ax x x f ，R a ∈.（1）若5lg )1(=f ，求)(x f 解析式；（2）若0=a ，不等式0)14()2(>+++⋅k f k f xx 恒成立，求实数k 取值范畴；（3）若)(x f 值域为R ，求a 取值范畴.高一数学竞赛试题参照答案1、解：{}2,1=A （1）∵{}2A B = ∴B ∈2即，0)5(2)12222=-+⋅+⋅+a a （，解得13-=-=a a 或 ① 当3-=a 时， {}{}2044|2==+-=x x x B ② 当1-=a 时， {}{}2,204|2-==-=x x B 综上{}3,1--∈a（2）∵A B A =∴A B ⊆① 当φ=B 时，则该一元二次方程无解，即△<0，∴()[]0)5(41222<-⋅-+a a ，即3-<a ② 当φ≠B 时，则该一元二次方程有解，即△≥0，即3-≥a1. 当3-=a 时，{}2=B2. 当3->a 时，该一元二次方程有两个不同实数根1和2∴ )1(221+-=+a ，即25-=a 5212-=⋅a ，即7±=a （舍） ,∴综上(]3,-∞-∈a（3）∵(),U U R A C B A == ∴φ=B A① 当△<0时，即3-<a ，φ=B ，满足规定② 当△=0时，即3-=a ，{}2=B ，φ≠B A ，舍③ 当△>0时，即3->a ，因此只需B B ∉∉21且将1代入方程中得31±-=a ;将2代入方程中得13-=-=a a 或 因此3113±-≠-≠-≠a a a 和、综上，a 取值范畴为()()()()()+∞+-+---------∞-,3131,11,3131,33 ，2、3、解：422222)cos (sin cos sin 4)cos (sin 2)(x x m x x x x x f ++-+=42)cos (sin )cos sin 2(2x x m x x ++-= 令]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=πx x x t ，则1cos sin 22-=t x x ，从而12)1()1(2)(24422++-=+--=t t m mt t x f 证明：（1）若M φ=，显然有;M N ⊆ 若M φ≠，则存在0x M ∈，满足()00f x x =， 所以()()000f f x f x x ==⎡⎤⎣⎦，故0x N ∈，所以;M N ⊆ （2）.M N =用反证法证明 假设M N ≠，由于M N ⊆，必存在1,x N ∈ 但1x M ∉，因此()11f x x ≠，① 若()11f x x >，由于()f x 为单调增函数， 所以()()11f f x f x >⎡⎤⎣⎦，即()11x f x >，矛盾； ②若()11f x x <，由于()f x 为单调增函数， 所以()()11f f x f x <⎡⎤⎣⎦，即()11x f x <，矛盾。