2019-2020学年甘肃省兰州市第五十五中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)

2019-2020学年甘肃省兰州市第五十五中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知全集{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,3,4}A =，集合{1,3,5}B =，则()U C A B =（ ）A ．{5}B ．{1,3}C ．{1,3,4,5}D ．∅ 【答案】A【解析】先求集合A 的补集,再与B 求交集即可.【详解】因为{1,2,3,4,5,6},U ={1,3,4}A =,{2,5,6}U C A ∴=, (){5}U C A B ∴⋂=,故选A .【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算,属基础题.2．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2y =B ．2(1)y x =-C ．2x y -=D ．12log y x = 【答案】A【解析】根据基本初等函数的图象与性质，即可判断函数的单调性，从而得出结论．【详解】解：对于A ，函数y 2=在定义域[0，+∞）上为单调增函数，满足题意； 对于B ，函数y ＝（x ﹣1）2在区间（﹣∞，1）上是单调减函数，（1，+∞）上是单调增函数，不满足题意；对于C ，函数y ＝2﹣x 在定义域R 上为单调减函数，不满足题意；对于D ，函数12log y x =在定义域（0，+∞）上为单调减函数，不满足题意． 故选：A ．【点睛】本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．3．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()||f x x =，()g x =B ．2()lg f x x =，()2lg f x x =C ．21()1x f x x -=-，()1g x x =+ D ．()f x =，()g x =【答案】A【解析】【详解】 选项B 、C 、D 中的两个函数的定义域都不相同，所以不是同一函数；因()(),f x x g x ==,且解析式也相同,是同一函数， 故应选A ．4．函数()3log 3f x x x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．7(,)2-∞B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4 【答案】C【解析】由函数的零点存在性定理直接判断即可.【详解】因为函数()f x 在()0,∞+上单调递增，()3log 1022f =-<，()130f =>，由函数的零点存在性定理可得()3log 3f x x x =+-的零点所在的区间是()2,3.故选C.【点睛】本题主要考查利用函数的零点存在性定理判断函数的零点所在的区间，属基础题. 5．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是( ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【解析】首先求得底面半径和圆锥的高，然后求解其体积即可.【详解】设圆锥的底面半径为r ，由题意可得：1222r R ππ=⨯⨯，解得：12r R =，圆锥的高2h R ==，则圆锥的体积：23111334V Sh R R R π⎛⎫==⨯⨯ ⎪⎝⎭. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．如图所示，平面l αβ=，A ，B α∈，C β∈，且C l ∉，直线AB l M ⋂=，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（ ）A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M【答案】D 【解析】由平面的基本性质易知γ与β的交线必通过点C 和点M .【详解】由已知可得点C αβ∈⋂，又AB l M ⋂=，所以M γ∈，M β∈，有平面的基本性质可得MC γβ⋂=，所以γ与β的交线必通过点C 和点M .故选D.【点睛】本题主要考查平面的基本性质，是常考题型，试题较易.7．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形 故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。

8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为11A B 的中点，2AB BC ==，11BB =，AC =BD 与AC 所成的角为（ ）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C 【解析】取11B C 的中点E ，连接BE ，DE ，则11////AC A C DE ,所以BDE ∠即为异面直线BD 与AC 所成的角或其补角.【详解】如图，取11B C 的中点E ，连接BE ，DE ，则11////AC A C DE ,所以BDE ∠即为异面直线BD 与AC 所成的角或其补角，由已知可得BD DE BE ===60BDE ∠=︒，所以异面直线BD 与AC 所成的角为60︒.故选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求解问题，属常规考题.9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ；②若//αγ，//βγ，则//αβ；③若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n ；④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 【答案】C【解析】由空间中直线与平面的位置关系逐项分析即可．【详解】当//,//,//m n αβαβ时，,m n 可能平行，也可能相交或异面，所以①不正确；当,αγβγ⊥⊥时，,αβ可以平行，也可以相交，所以④不正确；若//αγ，//βγ，则//αβ；若,,//m n αβαβ⊥⊥，则//m n ，故正确命题的序号是②③.【点睛】本题考查空间中平面与直线的位置关系，属于一般题．10．已知一个三棱柱高为3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图所示),则此三棱柱的体积为( )AB ．C ．13D ．【答案】D 【解析】由斜二测画法的规则可知，三棱柱的底面为直角三角形，且两条直角边分别为2，故此三棱柱的体积为1(232⨯⨯=D 。

11．若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()x g x a b =+的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12．已知()f x 是R 上的偶函数，且在(],0-∞是减函数，若()30f =，则不等式()()0f x f x x +-<的解集是 （ ）A ．()(),33,-∞-⋃+∞B ．()()3,03,-⋃+∞C ．()(),30,3-∞-⋃D ．()()3,00,3-⋃ 【答案】C【解析】因为y =f (x )为偶函数,所以()()0f x f x x +-<等价为()20f x x <，所以不等式等价为{x >0f (x )<0或{x <0f (x )>0.因为函数y =f (x )为偶函数,且在(−∞,0]上是减函数,又f (3)=0，所以f (x )在[0,+∞)是增函数，则对应的图象如图：所以解得x <−3或0<x <3，即不等式的解集为(−∞,−3)∪(0,3).故选：C.二、填空题13．两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________． 【答案】【解析】试题分析：设两球半径分别为,r R ，由334834273r R ππ=可得23r R =，所以224449r R ππ=．即两球的表面积之比为49． 【考点】球的表面积，体积公式．14．函数log (23)4a y x =-+的图像恒过定点A ，且点A 在幂函数()f x 的图像上，则(3)f =__________．【答案】9【解析】log 10,a =∴当231x -=，即2x =时，4,y =∴点定点A 的坐标是()2,4P ，幂函数()f x x α=图象过点()2,4A ，42α∴=，解得2α=，∴幂函数为()2f x x =，则()39f =，故答案为9.15．如图所示，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，PA AB =，则直线PB 与平面ABC 所成角的度数为________.【答案】45︒【解析】因为PA ⊥平面ABC ，所以PBA ∠即为所求.【详解】由已知PA ⊥平面ABC ，所以PBA ∠即为直线PB 与平面ABC 所成角，又PA AB =，所以45PBA ∠=︒.故答案为45︒.【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的问题，属基础题.16．已知l ，m ，n 是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若l 与m 为异面直线，l α⊂，m β⊂，则//αβ；②若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m ；③若l αβ=，m βγ=，n γα=I ，//l γ，则//m n .其中所有真命题的序号为________.【答案】③【解析】由线线、线面、面面的位置关系及性质定理、判定定理逐个判断即可.【详解】①若l 与m 为异面直线，l α⊂，m β⊂，则α与β平行或相交，故①是假命题；②若//αβ，l α⊂，m β⊂，则l 与m 是平行直线或异面直线，故②是假命题；③由l αβ=，m βγ=，n γα=I ，//l γ可得//l m 且//l n ，即//m n .故③是真命题. 故答案为③【点睛】本题主要考查线线、线面、面面的位置关系的判断和辨析，属基础题.三、解答题17．计算下列各式的值：（1()(22301 4.38⎛⎫+-- ⎪⎝⎭； （2）32221ln lg0.01log 20log 16log 5e ++-+ 【答案】（1）354-； （2）1-. 【解析】（1）由实数指数幂的运算性质，即可求解；（2）由对数的运算性质和对数的运算公式，即可求解．【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，()(221123402334411135() 4.316()1122()1128224⨯⨯+--=++-=++-=-． （2）根据对数的运算性质， 可得32222211ln lg0.01log 20log 16log 32log 204log 55e ++-+=-+-+ 22213(log 20log )3log 43215=-++=-+=-+=-． 【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简、求值问题，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．18．已知函数()log (21)a f x x =+，()log (12)a g x x =-（0a >且1a ≠）. （1）求函数()()()F x f x g x =-的定义域；（2）判断()()()F x f x g x =-的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）见详解. 【解析】（1）由210120x x +>⎧⎨->⎩解之可得；（2）利用奇函数的定义判断即可. 【详解】（1） 因为()()()()()log 21log 12a a F x f x g x x x =-=+--，所以210120x x +>⎧⎨->⎩，解之得1122x -<<，所以函数的定义域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2） 函数21()log 12ax F x x +=-为奇函数， 因为函数的定义域关于原点对称且()2121()log log 1212aa x x F x F x x x-++-==-=-+-，所以函数为奇函数. 【点睛】 本题主要考查函数的定义域的求解及函数的奇偶性的判断问题，属常规考题. 19．如图所示，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 依次是AB ，AC 的中点，AD BC ⊥，EH BC ⊥，FG BC ⊥，D ，H ，G 为垂足，若将ABC ∆绕AD 旋转180︒，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.【答案】表面积为：12π+，体积为：3. 【解析】旋转后的几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，根据数据利用面积公式和体积公式可求得该几何体的表面积和体积.【详解】由题意所得几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，因为圆锥的底面半径为2、母线长为4、高为1，所以圆锥的表面积2122412S πππ=⨯+⨯⨯=，圆柱的侧面积221S π=⨯=，圆锥的体积21123V π=⨯⨯=，圆柱的体积221V π=⨯，则所求几何体的表面积1212S S S π=+=+，所求几何体的体积12V V V =-=. 【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积问题，关键是搞清楚旋转后是什么样的几何体，考查了空间想象能力及面积、体积公式的应用，属中等难度题.20．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2009年为第1年，且前4年中，第x 年与年产量()f x 万件之间的关系如下表所示：若()f x 近似符合以下三种函数模型之一：()f x ax b =+，()2xf x a =+，()12log f x x a =+．(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取其中你认为最适合的数据求出相应的解析式；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2015年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2015年的年产量．【答案】（1）见详解；（2）9.1万件.【解析】（1）把给出的三个模型分别验证，即可找出一个比较合适的模型；（2）利用（1）的模型，先计算出预计的2015年的年产量，再去掉减少的30%即可得出2015年的实际年产量.【详解】符合条件的函数模型是()f x ax b =+，理由如下：若模型为()12log f x x a =+，则()f x 是减函数，与已知不符合；若模型为()2x f x a =+，则由()124f a =+=，得2a =，即()22x f x =+，此时()26f =、()310f =、()418f =，与已知数据相差太大，不符合.故符合条件的函数模型是()f x ax b =+，由已知得437a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1.52.5a b =⎧⎨=⎩，所以() 1.5 2.5f x x =+，x N *∈. 由（1）知2015年的预计年产量为()7 1.57 2.513f =⨯+=（万件），2015年的实际年产量为()13130%9.1⨯-=（万件）.【点睛】本题主要考查函数的模型及应用，熟练掌握建立函数模型的方法及正确计算是解题的关键，本题是常考题型，属中等难度题.21．如图，在棱长为a 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F ，P ，Q 分别是BC ，C 1D 1，AD 1，BD 的中点，求证：（1）PQ ∥平面DCC 1D 1（2）EF ∥平面BB 1D 1D ．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）连结AC 、D 1C ，Q 是AC 的中点，从而PQ ∥D 1C ，由此能证明PQ ∥平面DCC 1D 1．（2）取CD 中点G ，连结EG 、FG ，由已知得平面FGE ∥平面BB 1D 1D ，由此能证明EF ∥平面BB 1D 1D ．（1）证明：连结AC 、D 1C ，∵ABCD 是正方形，∴Q 是AC 的中点，又P 是AD 1的中点，∴PQ ∥D 1C ，∵PQ ⊄平面DCC 1D 1，D 1C ⊂平面DCC 1D 1，∴PQ ∥平面DCC 1D 1．（2）证明：取CD 中点G ，连结EG 、FG ，∵E ，F 分别是BC ，C 1D 1的中点，∴FG ∥D 1D ，EG ∥BD ，又FG∩EG=G ，∴平面FGE ∥平面BB 1D 1D ，∵EF ⊂平面FGE ，∴EF ∥平面BB 1D 1D ．【考点】直线与平面平行的判定．22．如图，已知ABC ∆是正三角形，EA CD 、都垂直于平面ABC ，且2,,EA AB a DC a F ===是BE 的中点，求证：（1）//FD 平面ABC ；（2）AF ⊥平面EDB .【答案】(1)见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1） 取AB 的中点M,连FM,MC ，∵ F 、M 分别是BE 、BA 的中点，∴ FM ∥EA, FM ＝12EA ，∵ EA、CD都垂直于平面ABC，∴ CD∥EA∴ CD∥FM又DC＝a，∴FM＝DC ∴四边形FMCD是平行四边形，∴ FD∥MC，∴ FD∥平面ABC．（2）∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB，又CM⊥AE，AB∩AE＝A，∴CM⊥面EAB，CM⊥AF，FD⊥AF，∵F是BE的中点, EA＝AB，∴AF⊥EB，∴AF⊥平面EDB．。