第六章 解线性方程组的迭代法
第6章 求解线性代数方程组和计算矩阵特征值的迭代法
数值计算与MATLAB1《数值计算与MATLAB 》第6章求解线性代数方程组和计算矩阵特征值的迭代法§1 求解线性代数方程组的迭代法§2 方阵特征值和特征向量的计算§3 矩阵一些特征参数的MATLAB计算《数值计算与MATLAB 》6.1 求解线性代数方程组的迭代法1、迭代法的基本原理如果线性方程组Ax=b的系数矩阵A非奇异，则方程组有唯一解。
把这种方程中的方阵A分解成两个矩阵之差：A=C-D若方阵C是非奇异的，把A它代入方程Ax=b中，得出 (C-D)x=b，两边左乘C-1，并令 M=C-1D，g= C-1b，移项可将方程Ax=b变换成：x=Mx+g据此便可构造出迭代公式： xk+1=Mx k+g，M=C-1D称为迭代矩阵。
《数值计算与MATLAB 》2. 雅可比（Jacobi）迭代法如果方程组Ax=b的系数矩阵A非奇异，aii≠0，若可以把A 分解成： A=D-L-U=D+(-L)+(-U)，D=diag(a11,a22,…,a nn)；-L是严格下三角阵；-U是严格上三角矩阵；x= D-1((L+U)x +b)=D-1(L+U)x+ D-1bx k+1=D-1((L+U)x k+b)= D-1(L+U)x k + D-1bMM=D-1(L+U)称为雅可比迭代矩阵《数值计算与MATLAB 》⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=67-4121-26-3-115-12A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=61-3-2D⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=74-1-2-1-L⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2-61-51-UM=D-1(L+U)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7/62/3-1/6-222-1/31/2-5/21/2-《数值计算与MATLAB 》雅可比迭代公式的向量形式x k=[( x k) 1,( x k) 2, …,(x k) n]T, k=0,1,2,……，D-1=diag( , ,… ,)，11a122a1nna1))((1)(11∑≠=++-=nijjijijiiikbxaaxk《数值计算与MATLAB》3. 赛德尔（Seidel）迭代法))((1)(11∑≠=++-=nijjijijiiikbxaaxkM= (D-L)-1U称为赛德尔迭代矩阵《数值计算与MATLAB 》4. 迭代法的敛散性方阵的谱半径《数值计算与MATLAB 》向量范数非负性：||x||≥0齐次性：||ax||=|a|||x||；三角不等式：||x||+||y||≥||x+y||。
第六章习题
,
BG
=
3 ab 100
故高斯—赛德尔迭代法收敛的充要条件是 ab < 100。 3
5、对线性方程组13
2 2
x1 x2
=
3 -1
若用迭代法x(k+1)
=x(k)
+
Ax(k) -b ,
k=0,1L 求解。问在什么范围内取值可使迭代收敛，取什么值可
第6章 解线性方程组的迭代解法
5x1+2x2 +x3=-12 1、对方程组 -x1+4x2 +2x3=20，试判断雅克比迭代法，
2x1-3x2 +10x3=3
高斯 — 赛德尔迭代法解此方程组的敛散性。
5 2 1
解:因A=
-1
4
2 ，
2 -3 10
5>2+1=3 , 4>1+2=3,10>2+3=5,
使迭代收敛最快？
解：所给迭代公式的迭代矩阵为B=I+ A=
1+3
其特征方程为
I -B
=
-（1+3） -
-2 -（1+2）=0
2
1+2
即2 -（2+5）+4 2 +5 +1= 2 -（2+5）+ +14 +1 = - +1 -4 +1 =0
-a
0
0
-a 10
0
解：雅可比法的迭代矩阵BJ
=
【K12学习】第6章 线性方程组的迭代法教案
第6章线性方程组的迭代法教案第六章解大型稀疏线性方程组的迭代法教学目的 1. 掌握Jacobi迭代法，G-S迭代法解大型线性方程组的方法及其收敛性的判别方法；2. 掌握SOR迭代法及收敛的必要条件(0<ω<2 )；3. 了解三种迭代法之间的改进关系从而掌握该思想方法；4. 理解迭代法基本定理。
教学重点及难点重点是三种迭代法及收敛性的判别方法；难点是迭代法基本定理及三种迭代法收敛定理的证明。
教学时数 8学时教学过程第六章解大型稀疏线性方程组的迭代法迭代法是一种不断套用一个迭代公式，逐步逼近方程组的精确解的方法。
适合解大型稀疏线性方程组。
大型稀疏线性方程组直接法：解低阶稠密线性方程组，电工学中的网络问题；用差分法或有限元法解偏微分方程边值问题时得到的方程组。
迭代法优点：O(n)计算量：⑴计算量小，近似解精度高。
⑵占用内存单元较少。
⑶设计程序简单。
考虑问题：⑴如何构造解Axb 的有效迭代法？⑵收敛性与收敛速度怎样？3 §1 引言、例子为非奇异阵，方程组Axb的精确解为x*，即Ax*b。
迭代法的定义：(k)定义1用逐步代入设ARnnx(0)任取初始向量B是迭代矩阵(1)*(k)(0)x是x的k步近似BxfxBk1)(k)x((kBxBx(k)ff,,((k11,2,k,2,)) 求近似解的方法，称为迭代法。
(k)*(0)xx，称迭代法如果对任意初始近似x，都有limk 为收敛，否则称迭代法为发散。
§2 迭代法研究的问题：(k)x收敛)。
构造各种解Axb的有效迭代法(有效：研究迭代法的收敛性及收敛速度。
§3 注：为迭代公式，简记为：设ARnn非奇异。
问题：用迭代法解线性方程组Axb。
将A分离为三部分，即令Aaij,aii0，基本思想：nna11Aa2200a210an,naa0n1n,n1a120a1nDLUan1,n0§2 基本迭代法常用的是将A分裂为AMN其中M为可选择的非奇异阵使Mxd容易求解,一般M选为A的某AxbMxNxb或xM1NxM1b。
数值分析(李庆扬)第六章资料
（n1） B （n） g
若收敛
x x { （k）} * ，则
x* Bx* g
n 0，1，2，
即
(I B)x* g D1Ax* D1b
Ax* b
故如果序列收敛, 则收敛到解.B 称迭代矩阵.
例：用Jacobi迭代法求解 1x01x1 10xx2222xx337823 x1 x2 5x3 42
k
k
即x是方程组Ax b的解。
引入误差向量
(k 1) x(k 1) x
所以 lim x(k) x 等价于 lim (k) 0
k
k
由
x(k 1) Mx (k ) g
x Mx g
则可得
(k 1) M (k )
(k ) M (k 1) M k (0)
问题是在什么条件下
满足
x(k1) Bx(k) g (k 0,1, 2, )
此过程所给出的迭代法称为Jacobi迭代法，又称简单
迭代法。
Jacobid迭代的矩阵形式
0
B
b21
b12
0
b1n 1
b2n
0
0 1
0 1
0
b21
b 12 1
b1n b 2n
b b
n1
n2
0
0
0
1
, n).
0 b12 b13 若记 B b21 0 b23
bn1 bn2 bn3
b1n1 b1n
g1
b2n1
b2
n
g
g
2
bnn1 0
gn
则方程组可简记为 x Bx g
选初值向量x(0)代入 x(1) , x（1） Bx（0） g，代入x(1)
计算方法复习重点2
结论：
lim
k
vk
k 1
a1x1
(vk )i lim 1 k (v （第i个分量） k 1 ) i
1. 已知一个A矩阵，可以把它看成一下形式： a11 a A1 A 21 an1 c1 (a21 , a31 , , an1 )T . a12 a1n a22 a2 n a11 c1 an 2 ann
微分方程数值解关心的问题：
（1）局部的截断误差和阶数； （2）数值解Yn的误差估计和收敛性； （3）递推公式的稳定性；
内容主要为单步法 • 一：欧拉法
y f ( x, y ) y ( x0 ) y 0
积分曲线上每一点( x, y ) 的切线的斜率 y ( x) 等
于函数 f ( x, y ) 在这点的值。因此
但必须满足一定过的条件 1 2 n 0
第9章 常微分方程初值问题数值解法
实际问题一般可以归结为一阶常微分方程的初值问题：
y f ( x, y ) y ( x0 ) y 0
解存在条件：
在a ≤ x ≤ b,-∞ ＜ y ＜ ∞ 区域内连续； 满足李普希兹(Lipschitz)条件：
第六章 解线性方程组的迭代法
A R nn 非奇异， b R n 。线性方程组 Ax b 可
以转化为 x Gx d 。可以利用迭代法求 解线性方程组。 选定初始向量 x x , x , , x ( k 1) (k ) x Gx d (k 0,1,)
解线性方程组的迭代法
解线性方程组的迭代法Haha送给需要的学弟学妹摘要:因为理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的，但是实际情况是否如此，需要我们来具体检验。
系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，是著名的病态问题。
因而决定求解Hx b =此线性方程组来验证上述问题。
详细过程是通过用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法求解Hx b =线性方程组。
关键词：病态方程组、Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法、SOR 迭代法目录：一、问题背景介绍二、建立正确额数学模型 三、求解模型的数学原理1、Gauss 消去法求解原理2、Jacobi 迭代法求解原理3、G-S 迭代法求解原理4、SOR 迭代法求解原理5、Jacobi 和G-S 两种迭代法收敛的充要条件 四、计算过程（一）Hilbert 矩阵维数n=6时1、Gauss 消去法求解2、Jacobi 迭代法求解3、G-S 迭代法求解4、SOR 迭代法求解（二）Hilbert 矩阵维数n=20、50和100时1、G-S 迭代法求解图形2、SOR 迭代法求解图形 五、编写计算程序 六、解释计算结果1、Gauss 消去法误差分析2、G-S 迭代法误差分析3、SOR 迭代法误差分析G-S 迭代法与SOR 迭代法的误差比较 七、心得体会正文：一、问题背景介绍。
理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。
实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？二、建立正确的数学模型。
考虑方程组Hx b =的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，,,1(), , ,1,2,,1i j n n i j H h h i j n i j ⨯===+-这是一个著名的病态问题。
通过首先给定解（为方便计算，笔者取x 的各个分量等于1），再计算出右端,b Hx =这样Hx b =的解就明确了，再用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法分别求解,Hx b =将求解结果与给定解比较，而后求出上述四种方法的误差，得出哪种方法比较好。
_第六章_线性方程组的数值解法迭代法
b 1
a 11
b2
f
a 22 bn
a nn
x(k1) B0x(k)f
--------(5)
第四节 解线性方程组的迭代法
令：
0 0 0
L
a 21
0
0 A的下三角部分矩阵
a n1 a n 2 0
0
U
0
a12 0
a1n a2n
A的上三角部分矩阵
第三节 向量范数和矩阵范数
（2）范数的另一个简单例子是二维欧氏空间的长度
0M x2 y2
欧氏范数也满足三个条件：
（勾股定理）
设x = (x1, x2) ① x 0 x >0 ② ax = a x a为常数 ③ x+ y ≤ x + y 前两个条件显然，第三个条件在几何上解释为三角形一边的长度不大于其它 两边长度之和。因此，称之三角不等式。
满足：
① A0,且A0,当且A 仅 0当
，若 A
正定
② A A,为任意实数
奇次
③ ABAB,A和 B为任意 n阶两 方个 三阵 角不等
则称 A 为矩阵A的范数。
第三节 向量范数和矩阵范数
2、矩阵范数与向量范数的相容性 对于任意的n维向量x，都有：
Ax A x
这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。
n
A
max
1in
j1
aij
A的每行绝对值之和的最大值, 又称A的行范数
第三节 向量范数和矩阵范数
（3）矩阵的2范数
2范数 ||A|2 | ： (AT A )
(AAT) ?
矩阵的谱半径：
矩阵B的诸特征值为： i(i1,2, ,n)
解线性方程组的迭代法
0.9906
0.0355
5 1.01159 0.9953
1.01159 0.01159
6 1.000251 1.005795 1.000251 0.005795
7 0.9982364 1.0001255 0.9982364 0.0017636
可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解, 而且迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解.
a11x1 a12x2 a13x3 b1 a21x1 a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3
从而得迭代公式
x1
a12 a11
x2
a13 a11
x3
b1 a11
x2
a21 a22
x1
a23 a22
x3
b2 a22
x3
a31 a33
M 00.8 00..75
但(M)=0.8<1,所以迭代法 x(k+1)=Mx(k)+g 是收敛的.
由(3.5)式可见,‖M‖越小收敛越快,且当‖x (k) -x(k-1) ‖很小时,‖x(k) –x*‖就很小,实际中用‖x (k) x(k-1) ‖<作为
迭代终止的条件。 例如，对例1中的Jacobi迭代计算结果
+‖x(k+1) –x*‖‖M‖‖x(k) –x(k-1)‖+‖M‖‖x(k) –x*‖ 从而得‖x(k) –x*‖‖M‖‖x (k) -x(k-1) ‖/（1- ‖M‖）
(3.5) (3.6)
估计式(3.5)得证。利用(3.5)式和
‖x(k+1) 得到
-x(k)
‖‖M‖‖x
(k)
-x(k-1)
‖
解线性方程组 的迭代法
第六章 解线性方程组的迭代法.ppt
称 J 为解 Ax b的雅可比迭代法的迭代阵.
（2.5）
15
研究雅可比迭代法(2.5)的分量计算公式.
记 x(k ) ( x1(k ) ,, xi(k ) ,, xn(k ) )T ,
由雅可比迭代公式(2.5), 有
Dx(k1) (L U )x(k ) b,
或
i1
n
aii
9
定义1 (1) 对于给定的方程组 x Bx f，用公式(1.6) 逐步代入求近似解的方法称为迭代法(或称为一阶定常迭代 法，这里 B与 k无关).
(2) 如果 lim x(k) 存在(记为 x * )，称此迭代法收敛， k
显然 x *就是方程组的解，否则称此迭代法发散. 研究 {x(k )}的收敛性. 引进误差向量
22
例2 用高斯-塞德尔迭代法解线性方程组(1.2).
8x1 3x2 2x3 4x1 11x2 x3
20, 33,
6x1 3x2 12x3 36.
（1.2）
取 x(0) (0, 0, 0)T， 按高斯-塞德尔迭代公式
x ( k 1) 1
记为 Ax b , 其中
（1.2）
8 A4
6
3 2 11 1, 3 12
x1 x x2 ,
x3
20 b 33 .
36
方程组的精确解是 x* (3, 2, 1)T . 现将(1.2)改写为
4
12
于是，求解 Ax b转化为求解 Mx Nx b，即求解
Ax b 求解x M 1Nx M 1b.
可构造一阶定常迭代法
线性方程组迭代法
线性方程组迭代法
线性方程组迭代法，又称坐标下降法，是一种用于解线性方程组的迭代求解方法，常用于线性规划以及单纯形法等技术。
早在上世纪50年代，此方法就在解决
线性规划问题中得到了广泛应用，到目前为止，这种技术仍然广泛使用。
线性方程组迭代法是一种基于不断迭代调整变量，使目标函数达到最优结果的
迭代求解法。
其基本步骤是：
(1) 初始化目标函数变量：首先，初始化线性方程组的目标函数的变量；
(2) 评估梯度：选择合适的算法计算目标函数的梯度；
(3) 根据该梯度更新变量：更新目标函数变量的值，使得在此次更新之后的值
更加有利于满足线性方程组的要求；
(4) 重复上述步骤，直到目标函数足够接近最优值为止；
线性方程组迭代法能够快速地求解出线性规划问题的最优解，因此，它在计算
机上经常被用来优化问题，进而提高系统运行效率。
随着网络技术的发展，线性方程组迭代法在互联网领域得到了广泛应用，这在大大缩短了计算机程序的运行时间，提高了互联网的效率。
同时，线性方程组迭代法也有助于提高系统的性能，改善用户的体验，提升企业的品牌形象。
线性方程组求解的迭代算法
线性方程组求解的迭代算法线性方程组是数学中常见的问题之一，求解线性方程组是很多科学和工程领域中必需的基本任务。
而迭代算法是一种常见的求解线性方程组的方法之一，通过不断逼近线性方程组的解来达到求解的目的。
本文将介绍一些常见的线性方程组迭代算法及其原理。
一、雅可比迭代法雅可比迭代法是最早被提出的线性方程组迭代算法之一。
其思想是通过不断迭代，在每一步都利用先前求得的近似解来逼近方程组的解。
具体算法如下：假设给定的线性方程组为Ax=b，其中A为系数矩阵，b为常数向量，x为未知向量。
1. 首先，将方程组转化为x=D^-1(b-Rx)，其中D为一个对角矩阵，R为矩阵A的剩余部分。
2. 设定一个初始解向量x0。
3. 迭代计算：重复执行以下步骤，直到满足终止条件。
a. 计算下一次迭代的解向量：x_k+1 = D^-1(b-Rx_k)，其中k为当前迭代的次数。
b. 检查终止条件是否被满足，如果是，则停止迭代；否则，返回步骤a。
雅可比迭代法的收敛性与系数矩阵A的特征值有关。
当A是严格对角占优矩阵时，迭代法收敛。
二、高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的一种改进方法。
在每一次迭代中，新的解向量x_k+1的计算会利用到之前已经计算得到的近似解向量的信息，从而加快迭代的速度。
具体算法如下：1. 设定一个初始解向量x0。
2. 迭代计算：重复执行以下步骤，直到满足终止条件。
a. 对于每个方程i，计算下一次迭代的解向量的每个分量：x_k+1[i] = (1/A[i][i]) * (b[i]-Σ(A[i][j]*x_k[j]，其中j为1到i-1之间的所有整数。
b. 检查终止条件是否被满足，如果是，则停止迭代；否则，返回步骤a。
高斯-赛德尔迭代法相比于雅可比迭代法，在每一次迭代中都会利用到之前计算得到的近似解向量的信息，因此收敛速度更快。
三、超松弛迭代法超松弛迭代法是对雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的进一步改进。
通过引入松弛因子ω，可以加速迭代的收敛速度。
数值分析课第三作业课后答案answer
第七章 方程求根 1. 用二分法求方程 x2 − x − 1 的正根，要求误差 < 0.05。 答案：1.609375。
2. 为求方程 x3 − x2 − 1 在 x0 = 1.5 附近的一个根，设将方程改写为下 列等价形式，并建立相应的迭代公式。
（1）x = 1 + 1/x2，迭代公式 xk+1 =√1 + 1/x2k；
4x1 − x2 = 1;
−x1
+ 4x2 − x3 −x2 + 4x3
= 4; = −3.
精确解
x∗
=
(
1 2
,
1,
−
1 2
)。要求当
∥x∗
−
x(k)∥∞
<
5
×
10−6
时迭代终止。并
且对每一个 ω 值确定迭代次数。
答案：ω = 1.03 时迭代 5 次达到精度要求，
1
x(5) = (0.5000043, 1.000001, −0.4999999)T ； ω = 1 时迭代 6 次达到精度要求， x(6) = (0.5000038, 1.000002, −0.4999995)T ； ω = 1.1 时迭代 6 次达到精度要求， x(6) = (0.5000035, 0.9999989, −0.5000003)T 。
4. 用下列方法求 f (x) = x3 − 3x − 1 = 0 在 x0 = 2 附近的根，根的准 确值 x∗ = 1.87938524 · · · ，要求计算结果准确到四位有效数字。
（1）用牛顿法；
（2）用弦截法，取 x0 = 2，x1 = 1.9；
（3）用抛物线法，取 x0 = 1，x1 = 3，x2 = 2；
数值分析第六章线性方程组迭代解法
数值分析第六章线性方程组迭代解法线性方程组是数值分析中的重要内容之一，其求解方法有很多种。
其中一种常用的方法是迭代解法，即通过不断迭代逼近方程组的解。
本文将介绍线性方程组迭代解法的基本思想和常用方法。
线性方程组可以用矩阵形式表示为Ax=b，其中A是系数矩阵，b是常数向量，x是未知向量。
线性方程组的解可以是唯一解，也可以是无穷多个解。
迭代解法的基本思想是通过不断迭代，并利用迭代序列的极限，逼近线性方程组的解。
迭代解法适用于大型的线性方程组，而直接求解法则适用于小型的线性方程组。
常用的迭代解法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法。
雅可比迭代法是最简单的线性方程组迭代解法之一、它的基本思想是将线性方程组的每个方程都单独表示为未知数x的显式函数，然后通过不断迭代求解。
雅可比迭代法的迭代公式为：x(k+1)=D^(-1)(b-(L+U)x(k))其中，D是A的对角元素构成的对角矩阵，L是A的下三角矩阵，U 是A的上三角矩阵，x(k)是第k次迭代的解。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版。
它的基本思想是将每个方程的解带入到下一个方程中，而不是等到所有方程都迭代完毕后再计算下一组解。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：x(k+1)=(D-L)^(-1)(b-Ux(k))其中，D是A的对角矩阵，L是A的下三角矩阵（除去对角线），U是A的上三角矩阵（除去对角线），x(k)是第k次迭代的解。
逐次超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的改进。
它引入了松弛因子w，通过调节松弛因子可以加快收敛速度。
逐次超松弛迭代法的迭代公式为：x(k+1)=(D-wL)^(-1)[(1-w)D+wU]x(k)+w(D-wL)^(-1)b其中，D是A的对角矩阵，L是A的下三角矩阵（除去对角线），U是A的上三角矩阵（除去对角线），w是松弛因子，x(k)是第k次迭代的解。
线性方程组迭代解法需要设置迭代停止准则，通常可以设置迭代次数上限或者设置一个精度要求。
李庆杨数值分析第六章线性方程组的迭代法
y
n k=M? y 输出迭代 失败标志 输出 y1, y2,„ yn
§ 6.3 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法
§ 6.3.1 高斯-塞德尔迭代法的基本思想
在 Jacobi 迭代法中，每次迭代只用到前一次 的迭代值，若每次迭代充分利用当前最新的迭代值
( k 1) ( k 1) k 1) , x2 ,, xi( ，即在求 xi( k 1) 时用新分量 x1 1
据此建立迭代公式 写成 aij x j bi
j 1 n
i 1,2,, n
n 1 1) (k ) x ( i 1 , 2 , , n ) 0 若 , 分离出变量 xi( ka ( b a x ) i 1 , 2 , i n ii i ij j aii j 1 j n i 1 xi (bi aij x j ) i 1,2,, n 上式称为解方程组的 Jacobi迭代公式。 aii j 1
第六章 解线性方程组的迭代法
我们知道，凡是迭代法都有一个收敛问题 ，有时某种方法对一类方程组迭代收敛，而 对另一类方程组进行迭代时就会发散。一个 收敛的迭代法不仅具有程序设计简单，适于 自动计算，而且较直接法更少的计算量就可 获得满意的解。因此，迭代法亦是求解线性 方程组，尤其是求解具有大型稀疏矩阵的线 性方程组的重要方法之一。
x ( x x 1) / 8 ( k 1) ( k 1) (k ) (2 x1 x3 4) / 10 x2 ( k 1) ( k 1) ( k 1) x ( x x 3 ) / 5 3 1 2
( k 1) 1 (k ) 2 (k ) 3
如果
存在极限
x
(k )
x*
第6章 解线性方程组的迭代法
有 lim || Ak x || 0.所以就有定理的右边成 立。
k
反之，若定理的右边成 立，取x为第j个坐标向量e j， 则 lim Ak e j 0, 表示Ak的第j列元素极限均为零，当
k
j 1,2, , n时就证明了lim Ak 0，证毕。
k
给出的迭代法
( ( x1( k 1) (3x2k ) 2 x3k ) 20) / 8 ( k 1) (k ) (k ) x2 (4 x1 x3 33) / 11 的收敛性。 ( ( x3k 1) (6 x1( k ) 3x2k ) 36) / 12
第6章
解线性代数方程组的迭代法
§1 引言
考虑线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1x1 an2 x2 ann xn bn
(1.4)
即
x(k+1)=B0x(k)+f， (k=0,1,2,„)
x (10 ) (3.0000321.999838 0.9998813T , , , ) ε
(10 )
0.000187其中ε ,
(k )
(10 )
x
(10 )
x *.
从此例可以看出，由迭 代法产生的向量 序列x 逐步逼近此方程的精确 解。
3 8
0
3 12
2 8 1 11 0
20 x1 8 x 33 . 2 11 x3 36 12
任取初值,如x(0)=(0,0,0)T,代入(1.3)得到x(1)= (2.5,3,3)T. 反复迭代
第六章 解线性方程组的迭代法 习题六 1 A 零矩阵 故 2 方 …
第六章解线性方程组的迭代法习题六
1.证明对于任意的矩阵A，序列
2. 方程组
J法与GS法均收敛。
具有严格对角占优，故
（2）J法得迭代公式是
取
证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散
解：Jacobi迭代为
，而Gauss-Seide 迭代法为
其迭代矩阵
解：Jacobi法的迭代矩阵是
即
5. 设
得GS法收敛得充要条件是
7当
若取
第
对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速，题第
度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使
，故
J法收敛速度
72`*+b数
各a K＝15
对于GS法
，取K＝5
8. 填空题
(1)
7则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度R(B)=（）.
(3) 设方程组Ax=b,其中
(4) 用GS法解方程组
,a为实数.当a满足（），且0＜ω＜2时SOR迭代法收敛.
答:
(1)
(3)J法迭代矩阵是
(4)
(5)。
迭代解法全章
向量-矩阵范数旳相容性，得到
|λ| || x ||＝||λx|| =|| Ax|| ≤ || A || ||x||
从而，对A旳任何特征值λ均成立 |λ|≤|| A ||
（6.1）
设n阶矩阵A旳n个特征值为λ1,λ2，…λn。称
(
A)
max
1i n
i
为矩阵A旳谱半径，从（6.1）式得知，对矩阵A旳任何一
称(3)为求解(1)旳近似解旳迭代解法，称{x(k)}为(1)近
似解序列，称B为迭代矩阵。
假如 lim x (k ) x* 则有 k x*= Bx*+F
（4）
我们称迭代法(3)收敛，不然为发散。下面分析迭代格 式(3)收敛旳条件.
12/29/2023
19
x(k+1)= Bx(k)+F , k=0 ,1 , … , x*= Bx*+F
及向量
x*
( x1* ,
x2* ,,
x
* n
)T
假如
lim x(k) x* 0
k
则称向量序列 x(k) 收敛于向量 x* 。记作
lim x(k ) x* 或 x(k ) x*
k
向量序列 {x(k)} 收敛于向量 x*，当且仅当它旳每一 种分量序列收敛于x*旳相应分量，即
x(k)
x*
x(k) i
1
求解线性方程组旳数值解除了使用直接解法，迭代解 法也是经常采用旳一种措施，这种措施更有利于编程计 算，本章将简介这种措施。
§1 向量和矩阵旳范数
为了对线性方程组数值解旳精确程度，以及方程组 本身旳性态进行分析，需要对向量和矩阵旳“大小”引 进某种度量，范数就是一种度量尺度，向量和矩阵旳范 数在线性方程组数值措施旳研究中起着主要旳作用。
第六章6.3迭代法的收敛性
一阶定常迭代法的收敛性
det 1 det( I B J) 2 2
2
2 3 1 0
所以
( B max(| |) 0 1 0 J)
即Jaobi迭代法收敛。
8
一阶定常迭代法的收敛性
(2) 求Gauss-Seidel法的迭代矩阵
j 1 j i 1 j i 1
14
i 1
n
n
如果 | | 1 ,则有
| | | a | | | | a | | a | ii ij ij
j 1 j i 1 i 1 n
则 [(DL )U] 为严格对角占优矩阵
从而 det[ ( D L ) U ] 0
16
补充例题
例：方程组
x1 x2 b1 x1 2x2 b2
(1)写出解该方程组的Jacobi迭代的迭代
阵，并讨论迭代收敛的条件；
(2)写出解该方程组的G-S迭代的迭代阵，
并讨论迭代收敛的条件。
17
补充例题
例：AX=b为二阶线性方程组， 证明：解该方程组的Jacobi迭代与G-S迭 代同时收敛或同时发散。
的充要条件为： (B ) 1
5
一阶定常迭代法的收敛性
例：判别下列方程组用Jacobi迭代法和G-S 法求解是否收敛。
1 2 2 x1 1 1 1 1 x2 1 2 2 1 x 1 3
6
一阶定常迭代法的收敛性
由于 B 的形式不易确定 , G
13
B 的特征值 满足 det( I B ) 0 G G
即
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
于是有 ‖x(k+1) -x(k) ‖≤‖M‖‖x (k) -x(k-1) ‖ ‖x(k+1) –x*‖≤‖M‖‖x (k) –x*‖ ‖x(k+1) -x(k) ‖=‖(x (k+1) –x* )-(x(k) –x* )‖ ≥‖x (k) –x*‖-‖x(k+1) –x*‖
(3)
, k = 1, 2,3,L
式(3)称为Jacobi迭代法,简称为J迭代法. Jacobi迭代法 Jacobi迭代法 J迭代法.
xi
( k +1) i −1 n 1 (k ) = (bi − ∑ a ij x j − ∑ a ij x (jk ) ) j =1 j = i +1 a ii
J法也记为
§2 迭代法的收敛性
讨论迭代法 x(k+1)=Mx(k)+g 的收敛性. k=0,1,2,…
记误差向量e(k)=x(k)-x*,则迭代法收敛就是e(k)→0. e x x e 由于 x(k+1)=Mx(k)+g x*=Mx*+g 所以 e(k+1)=Me(k) 递推可得 e(k)=Mke(0) , k=0,1,2,… 可见,当k→∞时, e(k)→0 ⇔ Mk →O. 定理1 定理 对任意初始向量x(0),迭代法收敛⇔ρ(M)<1. x 证 若‖Mk‖→0, 则ρk(M)=ρ(Mk)≤‖Mk‖→0, 所以ρ(M)<1. 若ρ(M)<1,则存在ε>0,使得ρ(M)+ε<1.则 ‖Mk‖≤‖M‖k ≤(ρ(M)+ε)k →0. , k=0,1,2,… k=0,1,2,… k=0,1,2,…
( ( 3 1 x1( k +1) = − 10 x 2k ) − 10 x 3k ) + 7 5 ( k +1) 1 ( k ) 3 ( k ) 1 x 2 = 5 x1 + 10 x 3 + 2 x ( k +1) = − 1 x ( k ) − 3 x ( k ) + 7 10 1 10 2 5 3
若记
g=(
b b1 b2 , , L , n ) T ,则J迭代法可写成 a11 a 22 a nn
x(k+1)=Bx(k)+g Bx g
k=0,1,2,…
若在J迭代法中,充分利用新值, 则可以得到如下的迭 J 代公式
a a a b ( k +1) x1 = − 12 x (2 k ) − 13 x3( k ) − L − 1n x (n k ) + 1 a11 a11 a11 a11 a2 n ( k ) b2 ( k +1) a21 ( k +1) a23 ( k ) x1 − x3 − L − xn + x2 = − a22 a22 a22 a22 LLLLLLLLLLLLLL an1 ( k +1) an 2 ( k +1) ann −1 ( k +1) bn ( k +1) x n = − a x1 − a x 2 − L − a x n−1 + a nn nn nn nn
同样取初始向量x(0)=(0,0,0)T, 计算结果为 x k 0 1 2 3 x1(k) x2(k) x3(k)
‖x(k)-x*‖∞
0 0 0 1 1.4 0.78 1.026 0.4 1.0634 1.02048 0.987516 0.0634 0.9951044 0.99527568 1.00190686 0.0048956 由计算结果可见,G-S迭代法收敛较快.取精确到小数
, i = 1,2, L n, k = 0,1,2, L
例1 用J法和G-S法求解线性方程组
10 x1 + 3x 2 + x 3 = 14 2 x1 − 10 x 2 + 3 x 3 = −5 x + 3 x + 10 x = 14 1 2 3
方程组的精确解为x*=(1,1,1)T. x 解 J迭代法计算公式为
迭代法的基本思想是，把n元线性方程组 迭代法是从某一取定的初始向量x(0)出发,按照一个适 x
或
Ax=b
改写成等价的方程组 x1 = m11 x1 + m12 x2 + L + m1n xn + g1 x = m x + m x + L + m x + g 2 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLL xn = mn1 x1 + mn 2 x2 + L + mnn xn + g n
可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解, 而且迭代7次得到 精确到小数点后两位的近似解. G-S迭代法的计算公式为:
( ( 3 1 x1( k +1) = − 10 x 2k ) − 10 x 3k ) + 7 5 ( k +1) 1 ( k +1) 3 ( k ) 1 + 10 x 3 + 2 x 2 = 5 x1 x ( k +1) = − 1 x ( k +1) − 3 x ( k +1) + 7 5 10 1 10 2 3
(4)
, k = 1, 2,3,L
式(4)称为Gauss-Seidel迭代法 Gauss-Seidel迭代法,简称为G-S迭代法. Gauss 迭代法 G 迭代法. G-S迭代法也可记为
xi
( k +1) i −1 n 1 ( k +1) = (bi − ∑ a ij x j − ∑ a ij x (jk ) ) j =1 j = i +1 a ii
, i = 1,2, L n, k = 0,1,2, L
可见 ,J迭代法的迭代矩阵为 J
0 a 21 − B = a 22 M a n1 − a nn a12 − a11 0 M an2 − a nn a1n L − a11 a2n L − a 22 Mx(0),迭代法收敛,而且 x
x ( k ) − x* ≤ M 1− M
M
k
x ( k ) − x ( k −1)
x(1) − x(0)
(5)
x(k) − x* ≤
1− M
(6)
证
所以
由于 x(k+1)=Mx(k)+g x(k)=Mx(k-1)+g x*=Mx*+g x(k+1) -x(k)=M(x (k) -x(k-1) ) , x(k+1) –x*=M(x (k) –x* )
k=0,1,2,…
k=0,1,2,…
a1n L − a11 a L − 2n a 22 M L 0
b1 a11 b2 , g = D −1b = a 22 M bn a nn
G-S迭代法迭代公式可写成 D D D x(k+1)=D-1Lx(k+1)+D-1Ux(k)+D-1b
Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b Lx Ux b (D-L)x(k+1)=Ux(k)+b D L x Ux b x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b D L D L 所以G-S迭代法可以写成 G x(k+1)=Gx(k)+g Gx g 其中 D L G=(D-L)-1U , g=(D-L)-1b D L k=0,1,2,…
从而得迭代公式
a a ( a ( b ( k +1) x1 = − 12 x 2 k ) − 13 x3( k ) − L − 1n x n k ) + 1 a11 a11 a11 a11 a a a b ( k +1) x 2 = − 21 x1( k ) − 23 x3( k ) − L − 2 n x (n k ) + 2 a22 a22 a22 a22 LLLLLLLLLLLLLL an1 ( k ) an 2 ( k ) ann −1 ( k ) bn ( k +1) x n = − a x1 − a x 2 − L − a x n−1 + a nn nn nn nn
或
x=D-1(L+U)x+D-1b D L U x D
由此建立J迭代法迭代公式 J D L U x D x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b 或写成 x(k+1)=Bx(k)+g Bx g 其中
0 a 21 −1 − a B = D (L + U ) = 22 M a n1 − a nn a12 − a11 0 M a − n2 a nn
x2(k) 0 0.5 1.20 1.055 0.9645 0.9953 1.005795 1.0001255
x3(k) 0 1.4 1.11 0.929 0.9906 1.01159 1.000251 0.9982364
‖x(k)-x*‖∞
1 0.5 0.2 0.071 0.0355 0.01159 0.005795 0.0017636
取初始向量x(0)=(0,0,0)T,迭代可得 x
( ( x1(1) = 1.4, x 21) = 0.5, x 31) = 1.4 ( ( x1( 2 ) = 1.11, x 22 ) = 1.2, x 32 ) = 1.11
计算结果列表如下:
k 0 1 2 3 4 5 6 7
x1(k) 0 1.4 1.11 0.929 0.9906 1.01159 1.000251 0.9982364