7-有限长数字滤波器的设计

0,
其他n值
因h（n）是偶对称的。长度为N，所以其对称中心 应为 ，所以h（n）可写作
h（n）=
n为其他值
3、h（n）的频响 h（n）的频响 求得，为了便于与 用卷积定理
可通过傅式变换 的频响
相比较，利
(1)对于矩形窗的频响
其中， 为相位函数。 （2）对于理想LF的频响
为幅度函数，
其中，

为相位函数。
N 1 h(n)sin[( n) ] 2 n 0
所以，其幅度函数和相位函数分别为

N 1 H ( ) h(n)sin[( n) ] 2 n 0
N 1
N 1 ( ) ( ) 2 2
可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个 900相移，这样就使得通过filter的所有频率都相移900， 因此称它为正交变换网络。（相移900的信号与原信 号为正交的）。 0, ( )
通常， 与 不是呈线性的，这是IIR filter （无限长响应滤波器）的一大缺点。因此限制了 它的应用，如测试数据滤波，数据传输一般都要求 具有线性相位特性。
二、FIR DF的特点 1、单位抽样响应h（n）是有限长的，因此FIR DF一定 是稳定的。 2、经延时，h（n）总可变成因果序列，所以FIR DF总 可以由因果系统实现。 3、h（n）为有限长，可以用FFT实现FIRDF。
Z 2
( n
N 1 ) 2
]
H (e ) H ( Z ) e
j(
j
Z e j
N 1 N 1 ) 2 n 0
[
e
j (n
N 1 ) 2
e 2
j (n
N 1 ) 2
]h(n)
e e
j(
N 1 N 1 ) 2
N 1 h(n)cos[(n ) ] 2 n 0 N 1 h(n) cos[( n) ] 2 n 0
的通带内，这时应出现正的肩峰。
（ 4）
时，主瓣全部在通带外， 出现负的肩峰。
c 2 / N
（5）当
时，随
增加，
左边 旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积
也随着 变化而变化，故 的旁瓣在通带内的面积 将围绕着零值而波动。
(6)当
e
j
, c c
0, c
1 0
为群延时
0
因为其相位 其对称中心为
，所以 是偶对称， ，这是因为 时，即 为其最大，故 为其对称中心。 又是无限长的非因果序列
n
1 . 0 .
.
.
.
.
n
N 1
2、加矩形窗 加窗就是实行乘操作，而矩形窗就是截断数据，这 相当于通过窗口 看 ，称 为窗口函数。
0
1
2 3
4
5
6
7 8
9
n
3、N为奇数时的奇对称 例如，N=11，对称中心为
n 5, h(n) h(10 n)
0
1 2 3
4
5 6
7
8
9
10 n
4、N为偶数时的奇对称
例如，N=10，对称中心为4.5，
h(n) h(9 n)
0 1 2 3
4 5
6 7
8 9 n
二、线性相位的特点
Zi 1/ 2,1/ Zi 2
Zi
0
1 2
1/ Zi
1
2
（4） Z i 既在实轴上也在单位圆上。此时， 只有一个零点，且有两种可能，或位于Z=1， 或位于Z=-1。
Zi 1
Zi 1
H ( ) 0, Z 1
N为偶数时的偶对称 为其零点；N为偶数奇对称 H（0）=0，有Z=1零点； N为奇数奇对称H (0) H ( ) 0, 有零点Z=1，和Z= -1。
1 H ( ) b(n) cos[(n ) ] 2 n 1 N N b(n) 2h( n), n 1, 2, , 2 2 可见， H ( ) 0, H ( )对 呈奇对称。
N /2
3、N为奇数，h（n）为奇对称的情况

H ( )
( N 1)/2
N 1 H ( ) h( ) 2
( N 1)/2
( N 3)/2

n 0
N 1 2h(n) cos[( n) ] 2
N 1 N 1 h( ) 2 h( m) cos(m ) 2 2 m 1 N 1 其中，m n 2
H ()进一步表为

H ( )

(2) Z i 不在实轴上，但在单位圆上，共轭对的 倒数就是它们本身，如 2 2 * 2 2 Zi j , Zi j 2 2 2 2 2 2 2 2 * 1/ Zi j ,1/ Zi j 2 2 2 2
Zi 1/ Zi*
0
1
1 Zi Zi
*
（3） Z i在实轴上，不在单位圆上，实数零点， 没复共轭；只有倒数。 例如，
为幅度函数，
（3）h（n）的频响
其中， 为相位函数。
为幅度函数，
4、窗函数频响产生的影响 从几个特殊频率点的卷积过程就可看出其影响:
（1 ）
时，
也就 在 到 全部面积的积分。 因此，H（0）/H（0）=1（用H（0）归一化）。
0

0
（2 ）
时，
正好与 。
的一半相重叠。这时有
(3)
时，
的主瓣全部在
( N 1)/2

n 0
a(n) cos(n )
N 1 a(0) h( ) 2 N 1 N 1 a ( n ) 2h ( n), n 1, 2, , 2 2 可见，H ( ) 对 0, , 2 , 呈现偶对称。
2、N为偶数，h（n）为偶对称的情况

4、FIR的系统函数是Z-1的多项式，故IIR的方法不适用。 5、FIR的相位特性可以是线性的，因此，它有更广泛的 应用，非线性的FIR一般不作研究。
7-2
线性相位FIR DF的特点
一、线性相位的条件 如果FIR DF的单位抽样响应h（n）为实数，而且 满足偶对称h（n）=h（N-1-n），或满足奇对称 h（n）=-h（N-1-n），其对称中心在 n N 1 处，可证 2 明filter就具有准确的线性相位。
n 0 N 1 n
h( N 1 n) Z
n 0
N 1
n
h ( m) Z
m0
N 1
( N 1 m )
( m N 1 n, n N 1 m)
m
Z
( N 1)
m0
h ( m) Z
N 1
也就是 H ( Z ) Z ( N 1) H ( Z 1 )
( )
0
2

N , ( ) ( 1) 2 3 2 , ( ) ( N ) 2
2
N ( 1) 2 3 ( N ) 2

三、幅度函数的特点 1、N为奇数，h（n）为偶对称的情况
N 1 H ( ) h(n) cos[( n) ] 2 n 0 N 1 N 1 cos[( n) ] cos[ ( n )] 2 2 N 1 cos([ ( N 1 n)]) 2 N 1 cos[( n) ]也对( N 1) / 2呈偶对称， 2

N /2
呈奇对称，而对
呈偶对称。
这四种线性相位FIR filter的特性归纳在下表中。
四、系统函数H（Z）的零点分布情况 1、零点的分布原则
H (Z ) Z
( N 1)
H (Z )
1
所以，如果 Z Zi是零点，则Z 1/ Zi也一 定是H（Z） 的零点，h（n）为实数时，H（Z） * 的零点必成共轭对出现，即 Z Z i 也一定是 * H（Z）的零点， Z 1/ Z i也一定是H（Z）的零 点。

n 1
c(n) sin(n )
N 1 N 1 c ( n) 2h( n), n 1, 2, , 2 2
可见， H ( ) 0; 0, , 2 时， H ( )对 0, , 2呈奇对称。
4、N为偶数，h（n）为奇对称的情况
1 H ( ) d (n) sin[(n ) ] 2 n 1 N N d (n) 2h( n), n 1, 2, , 2 2 可见， H ( ) 0; H ( )对 0, 2 0, 2 时，

1 j j n hd (n) H ( e ) e d d 2 h(n) w(n)hd (n)
例如，低通filter
H d ( )
H d (e 是矩形的，则 ) hd (n) 一定是无限长
j
的且是非因果的。
c
0
c

二、窗函数对频响的影响 1、理想LF的单位抽样响应 理想低通filter的频响 为
N又分为偶数和奇数两种情况，所以有4种线性相 位FIR DF，如下所述。
1、N为奇数的偶对称 例如 N=11，对称中心为
11 1 n 5, h(n) h(10 n) 2
0
1
2 3
4
5
6
7
8 9
10
n
2、N为偶数时的偶对称 例如 N=10，对称中心为
10 1 n 4.5, h(n) h(9 n) 2
N 1
因此， 内的第n项与第( N 1 n)项 相等；可把第n 0项与第n N 1项 合并；把第n 1项与第n N 2项合 并等等，共合并为( N 1) / 2项。由于 N 是奇数，故留下中间一项 : n ( N 1) / 2。因此，H ( )可表为
j(
N 1 N 1 ) 2
所以，这时的幅度函数和相位函数如下所示:
幅度函数为
N 1 H ( ) h(n) cos[( n) ] 2 n 0
N 1
相位函数为
N 1 ( ) ( ) 2
显然 ( )与 呈正比，是严格的线性相位。
( )
0

2
Leabharlann Baidu
N 1 ( ) 2
( N 1)
N 1 , ( ) ( ) 2
2, () ( N 1)
2、h（n）为奇对称的情况 当h（n）= -h（N-1-n）时，可以通过类似的推导， 得到
H (e ) e
j
j(
N 1 ) j N 1 2 2
H (e ) H ( )e
j
j ( )
j
为幅度函数， H ( ) H ( ) H (e ) ， 是一个纯实数， ( )是相位函数，下面分
为奇、偶对称两种情况讨论 ( )
1、h（n）为偶对称情况
h( n) h( N 1 n) H ( Z ) h( n) Z
2、零点的位置
jI m [ Z ]
Z
0
1/ Z i*
i
1
Z i
Re[ Z ]
1/ Z i （1） Z i 既不在实轴上，也不在单位圆上，则零 点是互为倒数的两组共轭对，
1 1 * 1 1 Zi j , Zi j , 4 4 4 4
1/ Zi 2 j 2,1/ Zi 2 j 2
§7-3 窗函数设计法
一、设计方法 1、设计思想 j 先给定理想filter的频响 H d (e ) ，所要求设计一个 FIR的filter的频响为 H (e j ) ，使 H (e j ) 逼近 H d (e j ) 2、设计过程 设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理 想filter的单位抽样响应 hd (n) ，然后加时间窗 w(n) 对 hd (n) 截断，以求得FIR filter的单位抽样响应h(n)。
上式两边同时加H（Z），再用2去除得：
1 ( N 1) 1 H (Z ) [ H (Z ) Z H ( Z )] 2 1 N 1 n ( N 1) n h(n)[ Z Z Z ] 2 n 0
Z
( N21 )
h(n)[
n 0
N 1
Z
( n
N 1 ) 2
§ 7-1
引言
一、IIR DF的特点 1、DF的设计依托AF的设计，有图表可查，方便简单。 2、相位的非线性 H（Z）的频响： H (e j ) H ( Z ) j H (e j ) e j ( ) ,
Z e
j H ( e ) 是幅度函数， 其中， ( ) 是相位函数。